sayısal fotogrametri

T.C.
MİLLÎ SAVUNMA BAKANLIĞI
HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI
HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU
ANKARA
SAYISAL FOTOGRAMETRİ
DERS NOTLARI
Dr.Müh.Alb. Oktay AKSU
ANKARA
2006
ANALİTİK FOTOGRAMETRİ
Giriş
Fotogrametrik veri toplamada en doğru ve duyarlı
yöntemlerin uygulamaya sokulmasında başlangıç noktasını,
resim koordinatlarının stereo veya mono komparatorlar ile
ölçülmesi ölçülmesi oluşturmuştur.
Ölçülen resim koordinatlarının iyileştirilmesi ya da
düzeltilmesi (örneğin; sistematik film deformasyonlarının
düzeltilmesi, mercek distorsiyonu ve atmosferik kırılma
etkisinin giderilmesi, yer küreselliği etkisinin düzeltilmesi)
bilgisayar bağlantılı ya da bilgisayar ortamında çalışan
komparatorların uygulamada kullanılmaya başlaması ile
teorik düzeyden, uygulama düzeyine geçmiş konulardır.
Heleva ilk kez bu fikri hayata geçirme yönünde adım atmış ve 1957
yılında geliştirdiği prototip ile; cisim ve görüntü koordinatları
arasındaki matematiksel ilişkinin, bilgisayar ile desteklenmiş bir
universal stereoplotter’da oluşturulmasını sağlamıştır. Bu tarihten
20 yıl sonra birçok firma analitik fotogrametrik değerlendirme aleti
üretimine başlamıştır.
Analitik Fotogrametrik Sistemlerde Temel Yaklaşım
En basit işlem moduyla bir analitik kıymetlendirme aleti, bir
komparator gibi düşünülebilir, ancak bir sonraki adım yani
kıymetlendirme (veri toplama) için ihtiyaç duyulacak yöneltme
parametreleri de hesaplanabilir.
-Fotoğraflar iki resim taşıyıcısı üzerine yerleştirilir ve bu
taşıyıcılar birbirine dik iki doğrultuda (x’, y’) hareket edebilir.
Resim taşıyıcılar üzerinde birer adet durağan modda ölçü
markası yerleştirilmiştir.
-Resim taşıyıcıları el çarklarının hareketiyle doğrudan değil
ama bilgisayar işlemcisinin yardımıyla dolaylı olarak hareket
ederler.
-Döngüsel pals oluşturan sistem bir şekilde iki el çarkının
hareketi ile uyumlandırılmıştır. Oluşturulan palslar bir
elektronik sistemde sayılır ve işlem birimine x’, y’ makine
koordinatlarının artırılışı şeklinde transfer edilirç
-Komparator modunda bu makine koordinatları 1:1 oranıyla
resim koordinatlarına (x1, y1), (x2, y2) çevrilir. Bu gerçek
koordinatlar ile hesaplanmış veya ideal koordinatlar
karşılaştırılır ve farklar resim taşıyıcıların 4 servo-motoruna bir
komut olarak geri döner, azaltılmasını sağlar. Bu şekilde lup
saniyede 50 kez devam eder, yani kontrol hemen hemen
anlıktır. Operatör el çarklarının hareketinin doğrudan
taşıyıcılara yansıdığını sanır. Bu tür işlemler real-time proses
olarak adlandırılır.
-Operatör ölçü markasını bir noktaya tatbik etmek için her iki el
çarkını hareket ettirir ve sol ölçü markası nokta üzerine gelene
kadar devam eder. Bu arada her iki resim taşıyıcısı da aynı
miktar hareket etmiş olur. Terminalden gönderilen bir komut ile
sol taşıyıcının hareketi kesilir ve nokta üzerine stereoskopik
tatbik yapılıncaya kadar hareketini sürdürür.
İşlem birimi sonuçta ilgilenilen noktaya ilişkin her iki resimde
(x1, y1) ve (x2, y2) koordinatlarının elde edilmesini sağlar.
Sonuç olarak, özetleyecek olursak; analitik aletlerdeki el
çarkları ve ayak diskinin hareketleri ile işlem birimine
gönderilen palslar, x’, y’, z’ makine koordinatlarına, alet
bilgisayarında yüklü arazi koordinatlarının kullanımıyla da resim
koordinatlarına dönüştürülebilir.
Y
Z
x’
Xu
X
=
Yu
Zu
Arazi koordinatları
+ mM
y’
z’
Model veya alet ölçeği
(ölçek faktörü) dönüşüm
faktörü
olarak
da
yorumlanabilir
Uçuş ekseni X eksenine
parelel değilse (en genel
durum) öteleme değerleri
İç Yöneltme
Metrik bir fotoğraf; izdüşüm merkezinin fotoğrafın asal
noktasından c mesafesinde olduğu bir merkezsel izdüşümdür.
Basitleştirilmiş bu matemetik-geometrik modelin parametreleri, c
asal uzaklık ve fotoğrafın asal noktası (PP’) resim koordinatları
(x0, y0) ‘dır. Bu parametreler iç yöneltme elemanları olarak
tanımlanır.
Ancak, bu ideal model tam anlamıyla gerçek durumu yansıtmaz.
Mercek hataları, kamera ve fotoğrafın kendisinden kaynaklanan
kaçınılmaz hataların da dikkate alınması gerekir.
cisim uzayı
optik eksen
izd. ışını
s
P
görüntü düzlemi
H’
H
P’ resim noktası
τ
N=O
τ’= τ
N’=O’
s’=c
PP asal nokta
resim uzayı
IP
EP’
EP
P’
τ’
Optik
eksen
τ
P
O
Δρ
ρ
ctan τ
O’P
O’M
Δρ: ışınsal distorsiyon
τ
c
PPA
ρ= ( x - x 0 ) + ( y - y 0 )
2
ρ= ctanτ + Δρ
İç yöneltme eşitliği
-Görüntü düzlemindeki τ’ ile obje düzlemindeki τ açıları birbirine
eşit değildir. Bu nedenle O’M matematiksel bir izdüşüm merkezi ve
buna dik bir c asal uzaklığı (PPA’dan itibaren) tanımlanır.
2
Kamera kalibrasyon raporlarında;
-Kalibre edilmiş asal uzaklık ( c )
-Resim kenar göstergelerinin (4 veya 8 adet) resim koordinatları
-Resim kenar göstergeleri arasındaki uzunluklar
-10 mm aralıklarla ışınsal distorsiyon değerleri verilmektedir.
İç Yöneltme aşamasında, resim kenar göstergelerinin orta
noktaları ölçülür ve analitik değerlendirme sistemlerinde
genellikle kenar göstergeler arasındaki uzaklıklar, kalibrasyon
raporunda verilen uzaklıklar ile karşılaştırılır.
Ya da; kalibrasyon raporunda yer alan resim kenar
göstergelerinin kalibre edilmiş koordinatları ile, ölçülen ve
makine koordinatından resim koordinatına çevrilen (afin
dönüşümü ile) koordinatlar karşılaştırılır. Ayrıca kamera
objektifinin ortalama ışınsal distorsiyonu da hesaba katılarak,
merkezi izdüşüm eşitliklerinde düzeltilmiş (iyileştirilmiş) resim
koordinatları kullanılır.
Sayısal (dijital) fotogrametride ise, resim kenar göstergelerinin
piksel koordinatları ölçülür ve afin dönüşümü uygulanarak resim
koordinatlarına çevrilir. Bu koordinatlar aynı şekilde kalibrasyon
raporunda yer alan koordinatlar ile karşılaştırılır.
İç yöneltme açısından ele alındığında, hava kameralarının
yersel kameralardan farkları;
-asal uzaklık sabittir,
-görüntü formatı 23 x 23 cm’dir. Standartlık sözkonusudur (dij.
kameralar hariç),
-büyük boyutu nedeniyle film bir vakum sistemi yardımıyla
düz (hava kabarcıksız) tutulur,
-büyük ısı ve çalışma yüksekliği farklarına elverişlidir (inişkalkış arasında kısa dönemlerde 500 C ısı farkları ortaya
çıkabilir),
-resim kenar göstergeleri ışıklıdır, film üzerine pozlanır,
-kenar gösterge sayısı günümüzde 8’dir.
Düzeltilmiş Resim Koordinatları
y
y’
P’
P
x’
PBS
y0
x0
x
Kamera kalibrasyon sertifikası
Komparator ölçümleri
Stereo veya mono komparatorlarda ölçülen x’, y’ (alet koordinatları)
kullanılan aletin özelliğine bağlıdır. Diğer taraftan ölçüm
aşamasından sonraki tüm hesaplamalarda gerçek resim
koordinatlarına ihtiyaç duyulur. Bu koordinatlar (x, y) kamera
kalibrasyon raporunda tanımlanan koordinatlardır.
Ölçülen alet koordinatlarının gerçek resim koordinatları sistemine
dönüştürülmesinde
kullanılan
en
yaygın
yöntem,
afin
dönüşümüdür.
Bu dönüşüm;
x
y
=
a01
a02
+
a11 a21
x’
a12 a22
y’
eşitliği ile gösterilir.
a01, a02 : alet koordinat sisteminin rastgele başlangıç noktasına
ilişkin iki öteleme
a11, a12, a21, a22 : ortogonallik koşullarını sağlamadığı için koordinat
eksenleri boyunca farklı ölçeklere ve eksenler arasında rastgele
açılara olanak sağlayan elemanlar
Bu altı doğrusal dönüşüm parametresi (aik) resim kenar
göstergelerinin kalibre edilmiş ve ölçülmüş koordinatlarından
türetilir.
Eğer eski Wild kameralarında olduğu gibi, fotoğrafın köşelerinde 4
adet kenar gösterge bulunuyorsa, afin yerine bilineer dönüşüm
uygulamak daha iyi sonuç verir.
x = a01 + a11x’ + a21y’ + a31x’y’
y = a02 + a12x’ + a21y’ + a32x’y’
Bu 8 parametre, 4 köşe markası için yazılacak 8 eşitlik ile
(doğrusal olmayan parametreler kısmı türevler ile Əx/Əy’,
Əy/Əx’, Əx/Əx’, Əy/Əy’ doğrusal hale getirilerek) çözülebilir.
Kamera
kalibrasyon
sistemine
dönüşümden
sonra;
dönüştürülen noktalar, x0, y0 asal nokta ve c asal uzaklık
fotogrametrik görüntünün üç boyutlu ışın demetini
tanımlarlar.
Diğer taraftan, matematiksel ışın demetine daha fazla
yaklaşmak için ilave düzeltmelere de ihtiyaç duyulur (örneğin,
mercek distorsiyonu, atmosferik kırılma, yer küreselliği
etkisi).
Işın Kırılması (atmosferik kırılma)
O(X0, Y0, Z0)
Z
c
τ
Δτ
p’
Δρ
ρ
P(X, Y, Z)
Y
X
x ve y koordinat eksenleri boyunca Δρ ışınsal distorsiyon hatasına
yönelik Δx ve Δy düzeltmeleri;
Δx =
x-x0
ρ
Δρ
Δy =
y - y0
ρ
Δρ
Atmosferik basınç, ısı ve nem, görüntü düzlemine ulaşıncaya
kadar uzun bir yol kat eden ışık ışınlarında, kırılma katsayısı
(indeksi) ile ifade edilen ve bu üç etkenin fonksiyonu olan bir
bozucu etkiye neden olur.
Kırılma katsayısının değişimi, görüntüyü sağlayan ışınların doğru
değil yayı andıran bir biçim sergilediğini ifade eder.
Bu nedenle p’ görüntü noktasının koordinatlarının Δρ gibi bir
değer ile düzeltilmesi gerekir.
Δτ = k . tanτ = k
ρ
c
k katsayısı pozlama anındaki meteorolojik şartlara göre değişir.
Z0 ve Z km olarak ortalama deniz seviyesinden olan yükseklikler
olmak üzere, bir yaklaşım;
k = 0.00241 (
Z0
Z02 – 6Z0 + 250
-
Z2
Z0(Z2 – 6Z + 250)
)
Işınsal distorsiyon ile birlikte ele alındığında;
Δρ. Cosτ = Δτ√ c2 + ρ2
Δρ =
C2 + ρ2
Δτ
c
Δρ = ρ ( 1 +
ρ2
c2
yerine eşidi yazılırsa
) k
Geniş açılı kameralar ile küçük ölçekli hava fotoğrafı alımında,
örneğin c= 85 mm, 9 km ort. arazi seviyesinden yükseklikte
1:100.000 ölçekli fotoğraf alınırsa Δρ = 15~30 μm (ρ= 90 mm ve
ρ= 130 mm için) olur.
Yer Küreselliğinin Etkisi
Işın kırılması görüntü oluşumunda bir hata kaynağı iken, yer
küreselliği arazi koordinatlarında bir problem olarak karşımıza
çıkar.
Fotogrametri; üç boyutlu kartezyen koordinat sistemi içerisinde,
obje noktalarının ortogonal bir izdüşüm ile uygun bir koordinat
düzlemine izdüşürülmesi konusunu esas alır. Diğer taraftan arazi
noktalarının jeodezik ölçüm sistemiyle belirlenen yükseklikleri
elipsoidi referans alır ve XY koordinatları az veya çok elipsoidden
düzleme izdüşümde bozulmaya uğrarlar.
Bununla birlikte, arazide ölçülen koordinat sistemi (jeodezik
koordinat sistemi) ile üç boyutlu kartezyen koordinat sistemi
arasındaki farklar küçüktür ve uygulamada bu problem basit kalır.
r
Δr
c
h
Δh
hr3
Δr =
2Rc2
Bu hata (-) yönlüdür, yani
ışın kırılmasının tersine
düzeltmesi (+) yönlüdür.
Stereomodel Kavramı
Model oluşturmada amaç, bir cismin şeklini ve konumunu iki
fotoğraf yardımıyla yeniden elde etmektir.
Normal durumda; düşey olarak ve belirli bir baz mesafesinde
bindirmeli (%60) çekilmiş bir çift hava fotoğrafı, stereoskop veya
benzeri araçlar ile gözlendiğinde üç boyutlu bir görüntü verir.
Stereomodel veya üç boyutlu model, kısaca model olarak
adlandırılır.
Model oluşturmak için;
-her iki fotoğrafa (ya da
parametrelerinin bilinmesi,
görüntüye)
ait
dış
yöneltme
-ya da sayısal veya analog aletler yardımıyla belirli işlemlerin
tatbik edilmesi gerekir.
Dış Yöneltme
• Karşılıklı yöneltme
•Mutlak yöneltme
Resim 1 : X01, Y01, Z01, ω1, φ1, к1
Resim 2 : X02, Y02, Z02, ω2, φ2, к2
Resim çekim noktalarının koordinatları ve resim eğiklikleri
yeterli doğrulukta bilindiği taktirde, herhangi bir arazi
noktasının koordinatları geometrik olarak bulunabilir.
Hava fotogrametrisinde resim çekim noktalarının koordinatları
ve
resim
eğiklikleri
önceden
yeterli
incelikte
belirlenememektedir (GPS-INS konusunu daha sonra
göreceğiz). Bunun yerine, arazi koordinatları bilinen yeterli
sayıda yer kontrol noktalarından yararlanılmaktadır. Bu
noktalar ile resim alım durumu yeniden oluşturulabilmekte,
yani resim çekim noktalarının koordinatları ve resim eğiklikleri
hesaplanabilmektedir. Bu durum uzayda çift nokta geriden
kestirmeye benzemektedir.
Uzaysal çift nokta geriden kestirme ile, her resmin altı elemanı
olmak üzere bir resim çiftinin toplam oniki elemanı aynı anda tayin
edilmektedir.
Yukarıda belirtilen 12 dış yöneltme elemanının 7’si mutlak yöneltme
ile belirleneceği için, birinci aşamada (karşılıklı yöneltmede) 5
parametrenin belirlenmesi gerekir.
Fotogrametrik iki ışın demetinde karşılıklı beş ışın kesiştirilecek
şekilde dönüklük ve eğiklik verilecek olursa, bu iki ışın demeti
birbirine göre (rölatif) konumunu almış olur. Yani, eşlenik ışınlardan
en az beş noktada çakışanlar bir model yüzeyi oluştururlar. Böylece
bütün karşılıklı ışınlar birbiriyle kesişeceği için arazinin benzeri bir
model elde edilmiş olur.
Bu işlem, yani karşılıklı yöneltme ile iki ışın demetinin rölatif
konumları belirlendiği için X, Y, Z referans sistemine ya da kontrol
noktası mevcudiyetine ihtiyaç duyulmamaktadır.
Analitik aletler ile karşılıklı yöneltmede operatör faktörü önemli
olup, yaklaşık 10-15 dk. içerisinde ölçüm tamamlanabilir.
Burada dikkat edilmesi gereken husus, en uygun yerde eşlenik
noktaları tanımlamak (seçmek) ve ölçmektir. Sonuçları
doğrulamak için 5’den fazla noktada ölçüm yapılmalıdır.
1. resim
φ2
φ1
к2
к1
ω2
ω1
2. resim
Sayısal
fotogrametride
yöneltme
parametrelerinin belirlenmesi ve kalitesinin
değerlendirilmesi
için
etkin
dengeleme
yöntemleri geliştirilmiştir. Burada uygulanan
yaklaşımlar, nokta bazlı eşleme yöntemlerine ve
eş doğrusallık veya eş düzlemsellik modellerine
dayalıdır.
O1
O2
p’’
p’
P2i
P1i
Pi
i = 1, 5
(b, P1i, P2i ) = 0
Yani; resim çiftlerinin izdüşüm merkezleri arasındaki b bazı ile
görüntü noktasını oluşturan P1i ve P2i eşlenik ışınları bir düzlem
içerisinde yer alırlar (coplanarity-eş düzlemsellik).
P noktasına ait iki eşlenik ışının kesişmesi için, bu iki ışın bir
düzlemde olmalıdır. Bunun analitik ifadesi;
Δ=
X01
Y01
Z01
1
X02
Y02
Z02
1
XP1i YP1i ZP1i
1
XP2i YP2i ZP2i
1
=0
Resim Koordinatları ile Analitik Karşılıklı Yöneltme
Z
b : resim çekim noktaları arasındaki
baz uzunluğu
O2
O1
h
b
bx
P1i
bx = xo2 – xo1
dbz
dby
by = Yo2 – Yo1
Y
P2i
P(X,Y,Z)
bz = Zo2 – Zo1
X
b = √ bx2 + by2 + bz2
Yaklaşık düşey konumda hava fotoğrafları alındığını kabul ederek;
model ve resim koordinatları arasındaki ilişkiyi (resim ve arazi
koordinatları arasındaki izdüşüm bağıntısından yararlanarak), XYZ
arazi koordinatları yerine x’, y’, z’ model koordinatları ve yöneltme
parametreleri yerine de diferansiyel büyüklükler yazarak, yani
Ω = d Ω, Φ = d Φ, к = dк
xo = yo = xo1 = yo1 = 0
xo2 = bx , yo2 = dby , zo2 = zo1 + dbz , h = zo1 – z
Üç boyutlu dönüklük matrisi, diferansiyel dönüklükler ile;
dR =
1
-dк
dк
1
-dΦ
dΩ
dΦ
-dΩ
‘ dir.
1
Resim (1) için izdüşüm eşitliği (model koordinatı x’ için)
x’ =
-h
x’ = -h
x1 – y1dк1 – cdφ1
-x1dφ1 + y1dω1 - c
-x1/c + y1/c.dк1 + dφ1
1 + x1/c. dφ1 – y1/c. dω1
-c’ ye bölersek,
Binom seri açılımı ( 1/(1+x) = 1-x+x2…………) ve yüksek dereceli
terimleri ihmal ederek;
x’ = - h (- x1/c + x12/c.dφ1 – x1y1/c2.dω1 + y1/c.dк1 + dφ1)
Aynı ilişkiyi y’ koordinatı için de
y’ =
-h
x1dк1 + y1 + cdω1
-x1dφ1 + y1dω1 - c
y’ = - h (- y1/c - y12/c.dω1 + x1y1/c2.dφ1 - x1/c.dк1 - dω1)
Şeklinde yazmak mümkündür.
Bu eşitlikler; yeniden düzenlenerek ve z’ yerine h alınarak x’,y’,h
model koordinatları ile bir Pi noktasının (1) resminde resim
koordinatları, yöneltme parametreleri ve asal uzaklık arasındaki
ilişki şeklinde aşağıdaki şekilde yazılabilir.
ö
æ x1
y
x12
xy
x1¢ = hçç - (1 + 2 )df1 + 1 2 1 dw1 - 1 dk 1 ÷÷
c
c
c
ø
èc
ö
æ y1 x1 y1
x
y12
y1¢ = hçç - 2 df1 + (1 + 2 )dw1 + 1 dk 1 ÷÷
c
c
c
ø
èc
aynı şekilde ikinci fotoğraf için de
æ x2
ö
x22
x y
y
x¢2 = bx + ( h + dbz )çç - (1 + 2 )df 2 + 2 2 2 dw2 - 2 dk 2 ÷÷
c
c
c
èc
ø
æ y 2 x2 y 2
ö
y22
x
y2¢ = dby + (h + dbz )çç - 2 df 2 + (1 + 2 )dw2 + 2 dk 2 ÷÷
c
c
c
è c
ø
Yaklaşık düşey alınmış hava fotoğraflarında (yani b, P1i,
P2i bir düzlemde koplanarite)
y2¢ = y1¢ kabul edilerek koplanarite koşulu;
æ y2 - y1 x1 y1
y2
yi2 ö
+ 2 df - (1 + 2 ) ÷÷dw1
O = dby + dbx + hçç
c
c
c ø
è c
x1
x2 y 2
y22
x2
- dk 1 - 2 df2 + (1 + 2 )dw2 + dk 2 )
c
c
c
c
Py paralaksının y 2¢ - y1¢ = Py
paralaks eşitliği;
olduğu dikkate alınarak,
c
y2
x1 y1
y12
Py = dby + dbz +
df - (c + ) dw1
h
h
c
c
x2 y 2
y22
- xdk 1 df2 + (c + )dw2 + x2 dk 2
c
c
olur. Bu eşitlik, yaklaşık düşey konumda alınmış hava
fotoğraflarında
y
paralaksasının
8
yöneltme
parametresinden æ df1 , dw1 , dk 1 , dby ö
ç
÷
ç df , dw , dk , db ÷
zø
2
2
è 2
ortaya çıktığını göstermektedir. Ancak, ölçülen y
paralaksası ile bu 8 yöneltme parametresini belirlemek
mümkün değildir.
Karşılıklı
yöneltme
tanımlanması
ile
beş
yöneltme
gerçekleştirildiğine
parametresinin
göre,
bu
8
bilinmeyenin üçünün sıfıra eşitlenmesi gerekir. Bundan
sonra beş bağımsız parametre belirlenebilir.
Burada bağımsız yöneltme parametrelerinin seçimine
dayalı olarak iki yöntem uygulanabilir;
* Bağımsız Resim Çiftleri İle Karşılıklı Yöneltme
b=bx keyfî seçilir dby=dbz=0 seçilir. Yaklaşık düşey
hava fotoğraflarında y1=y2 olduğu için dw1 ve dw2
terimleri birbiri yerine kullanılabilir. Yani birini seçmek
yeterlidir.
Bu durumda paralaks eşitliği
x1 y1
x2 y2
y 22
Py = - x1 dk 1 + x 2 dk 2 +
df1 df 2 + (c + )dw2
c
c
c
Örneğin dw2 seçildi.
* Bağıntılı (Ardışık) Resim Çift İle Karşılıklı Yöneltme
c
y2
x2 y 2
y22
Py = dby + dbz df 2 + (c + )dw2 + x2 dk 2
h
h
c
c
(Stereo çiftin bir fotoğrafı sabit, diğeri yerine ardışığı
geliyor)
Bu eşitlikler; karşılıklı yöneltme için beş bağımsız
yöneltme elemanına ya da diğer bir ifadeyle beş noktada
paralaks
ölçümüne
ihtiyaç
duyulduğunu
göstermektedir.
Örnek: 8 noktanın resim koordinatları ve asal uzaklık
152.67 mm verilmiş.
Nokta No
x1
y1
x2
y2
1
2
3
4
5
6
7
8
93.176
-27.403
83.951
-11.659
110.326
-12.653
37.882
41.503
5.890
6.672
107.422
101.544
-97.800
-87.645
40.969
-37.085
6.072
-112.842
-4.872
-99.298
34.333
-96.127
-48.306
-42.191
5.176
1.121
105.029
95.206
-99.522
-93.761
37.862
-40.138
Py = y1 - y2
0.714 mm
5.551
2.393
6.338
1.722
6.116
3.107
3.053
İstenen : Karşılıklı yöneltme parametreleri ve onların
doğrulukları
v = Axˆ - l
Gözlem eşitlikleri-hata denklemleri
AT Axˆ = AT l
xˆ = ( AT A) -1 AT l Normal denklemler
Birim ağırlıklı bir gözlemin karesel ortalama hatası
veya standart sapma
v t Pll v
so =
n-u
ù
é1 / s 12
ú
ê
2
1/ s 2
ú
ê
Pll = ê
ú
O
ú
ê
2
êë
1 / s n úû
v T Pll v = min
Herbir bilinmeyen xk’nın k.o.h.
sˆ xk = s 0 Qkk
Q = ( A Pll A)
T
-1
Normal denklemler matrisi tersinin
diyagonal
(köşegen)
terimleri
Qkk’dır.
Örneğimizdeki hata denklemleri
x2 y 2
x1 y1
df 2
df1 v = - x1 dk 1 + x 2 dk 2 +
c
c
y 22
+ (c + )dw2 - Py
c
Matris biçiminde;
6
4
0
é - 93
ê 27
1
- 113 - 1
ê
ê - 84
59
3
-5
ê
12
62
- 99 - 8
ê
v=
ê- 110 34
- 71 22
ê
7
- 96
- 59
ê 13
ê - 38 - 48 10
12
ê
êë - 42 - 42 - 10 - 11
153 ù
é0.714ù
ê 5.551ú
153 úú
ú
é dk 1 ù ê
ê 2.393ú
225ú ê
ú
ú ê dk 2 ú ê
ú
212ú
6.338ú
ê
× ê df1 ú 218ú ê
ú ê1.722 ú
ú ê df 2 ú ê
ú
210ú
6.116ú
êë dw2 úû ê
ê3.107ú
162 ú
ú
ê
ú
163 úû
êë3.053úû
Py ölçümünün k.o.h. s P =
y
vT v
n-u
8 5 bilinmeyen
ölçü
sˆ k = sˆ Py × Qkk
Q = ( AT A) -1
Analitik Mutlak Yöneltme
Analog fotogrametride adımlar halinde (baz-ölçek
ayarı, ω ve φ doğrultularında yükseklik ayarı)
gerçekleştirilen
mutlak
yöneltme,
analitik
fotogrametride en küçük kareler dengelemesi ile yer
değiştirir. 7 bilinmeyen parametre, istenildiği kadar
çok kullanılabilecek kontrol noktası ile bir işlem
bütünü içinde çözüleceği için, çok daha doğru sonuç
verir.
xi = f(x0, c, X0, Y0, Z0, ω, φ, к, Xi, Yi, Zi)
yi = f(y0, c, X0, Y0, Z0, ω, φ, к, Xi, Yi, Zi)
Bu fonksiyonların dolaylı ölçüler ile en küçük kareler
yöntemine
göre
dengelenmesi
için
doğrusallaştırılması gerekir.
x’ model koordinatlarının yaklaşık olarak X arazi
koordinatları ile eşit olduğunu kabul ediyoruz. Yani;
X = x’ = Xº
Ω = dΩ
m = 1 + dm
Φ = dΦ
Xu = dXu
К = dк
Doğrusallaştırılmış dönüklük matrisi R, bu durumda;
dR =
1
-dк
dΦ
dк
1
-dΩ
-dΦ
X
Y
=
Xu
Yu
dΩ
+m
1
cosк -sinк
x
sinк
y
cosк
(Düzlemde
benzerlik
dönüşümünü hatırlayın)
m.R yerine m=1+dm alınarak doğrusallaştırılırsa,
1+dm
dк
m.R = (1 + dm) dR =
-dк
1+dm
- dΩ
dΩ
1+dm
-dΦ
=I+
dΦ
dm
-dк
dΦ
dк
dm
- dΩ
-dΦ
dΩ
dm
(I birim matris)
Doğrusallaştırılmış üç boyutlu benzerlik dönüşümü
eşitliği;
X = dXu + (1+dm)dR. Xº
Klasik cebirsel gösterim ile;
X = dXu
+ Xº dm
Y=
dYu
Z=
+ Zº dΦ - Yº dк + Xº
+ Yº dm - Zº dΩ
dZu
+Xº dк + Yº
+ Zº dm + Yº dΩ - Xº dΦ
+ Zº
Mutlak yöneltmenin burada görülen 7 parametresinin
doğrusal olmaya gerekliliği nedeniyle, eşitlikler dolaylı
ölçüler ile en küçük kareler dengelemesi için aşağıdaki
şekilde yazılır;
Vx = dXu
+ Xº dm
Vy =
+ Yº dm - Zº dΩ
Vz =
dYu
+ Zº dΦ - Yº dк – (X-Xº)
dZu + Zº dm + Yº dΩ - Xº dΦ
+ Xº dк – (Y-Yº)
- (Z-Zº)
Bu eşitliklerin matris gösterimi;
v = Axˆ - l
Full kontrol noktaları üç, planimetrik kontrol noktaları
ilk iki ve yükseklik kontrol noktaları da üçüncü gözlem
eşitliklerini sağlarlar.
Normal denklemler ve çözümü;
A Axˆ = A l
T
T
-1
xˆ = ( A A) A l
T
T
FOTOGRAMETRİK NİRENGİ
(Aerial triangulation)
Fotogrametrik yöntemle harita üretiminde kontrol
noktalarına olan gereksinim nedeni ile önem kazanan
fotogrametrik nirengi, havadan ve yerden çekilen
resimlerin ve uydu görüntülerinin kullanılmasıyla
gerçekleştirilen fotogrametrik nokta belirleme tekniği
olarak tanımlanabilir.
Fotogrametrik nirenginin temel amacı; bilinen yer kontrol
noktaları (nirengi) yardımı ile, en az iki resimde
tanımlanabilen noktaların arazi koordinatlarını, resimler
veya modeller üzerinde yapılan koordinat ölçümlerinden
hesaplamaktır. Arazide tesisi gerekli olan kontrol noktası
sayısını azaltan bu yöntemde kullanılan noktalar, uçuş
öncesi arazide tesisi ve ölçümü gerçekleştirilen işaretli
noktalar (kontrol noktaları), resimlerde seçilen detay
noktaları ve resimlere özel aletlerle işaretlenen yapay
delgi noktalarıdır.
Kolon Dengelemesi
Şerit (kolon) dengelemesini; bağımsız modellerle ve
polinomlarla dengeleme olmak üzere ikiye ayırmak
mümkündür.
Bu yöntemin temel esası; üç boyutlu benzerlik
dönüşümü ile, birbirine ardışık olarak bağlanmış
modellerin mutlak yöneltmelerinden ve bilinen kontrol
noktası koordinatlarından yararlanarak, fotogrametrik
yeni noktaların koordinatlarını hesaplamaktır.
Kolon dengelemesi; X, Y, Z koordinatlarının aynı anda
elde edilmesi şeklinde tek aşamalı olarak çözülebileceği
gibi, konum ve yükseklikler ayrı ayrı iki aşamalı olarak da
çözülebilir.
Tek aşamalı ya da iki aşamalı çözümlerin her ikisinde de;
yazılan düzeltme denklemlerinden normal denklemler
kurulur. Bilinen kontrol noktaları ve model ölçümleri
yardımıyla, önce dönüşüm parametreleri çözülür, sonra
bilinmeyen yeni nokta koordinatları hesaplanır.
Kolon dengelemesinin doğruluğu, kontrol noktaları
arasındaki uzaklığa bağlıdır. Kolonların başında ve
sonunda mutlaka ikişer nokta, orta bölümünde ise yeterli
sayıda kontrol noktası seçilmesi halinde uygun sonuçlar
elde edilebilir. Ancak çok uzun kolonlarda doğruluk
azalmakta ve çeşitli deformasyonlar oluşmaktadır.
Bu yöntem günümüzde çoğunlukla blok dengeleme
öncesinde, operatörlerin ölçümler sırasında yaptığı kaba
hatalar ile kontrol noktalarının koordinatlarının doğru
olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılmaktadır.
Polinomal Dengeleme
Bu yöntemle, kontrol noktaları yardımıyla dengelenen bir
kolon veya model verilerinden yararlanarak blok oluşumu
sağlanır , konum ve yükseklik için geliştirilmiş polinomlarla
yeni noktaların üç boyutlu koordinatları elde edilir .
Polinom yöntemi genelde analog aletlerde uygulanan bir
yöntemdir. Bu yöntemin diğer bir adının “ardışık yöntem”
olmasının nedeni, önce ardışık modellerin geçici bir
koordinat sisteminde ölçümlerinin yapılarak kolonların
oluşturulması ve kolon koordinatlarının temel dengeleme
birimi alınarak, arazi koordinat sistemine dönüşüm
yapılmasıdır.
Konum ve yükseklikler için ayrı ayrı geliştirilmiş uygun
polinomlar kullanılarak dengeleme yapılmakta, konum ve
yükseklik verileri ayrı ayrı çözülmektedir.
En çok
kullanılanlar ikinci ve üçüncü derece polinomlardır.
Bilinmeyen sayısı az olduğundan ve her kolon için sadece
bir grup parametre çözüldüğünden, orta kapasiteli
bilgisayarlarla çözüm olanaklıdır.
Fazla bellek ve bilgisayar hızı gereksinimi göstermez.
Ancak oldukça basit matematik modeller kullandığından,
doğruluğu diğer yöntemlere oranla daha azdır.
Analog olarak uygulanan bir yöntem olup, bugün pek
kullanılmamaktadır.
Bağımsız Modellerle Blok Dengeleme
Uygun boyuna bindirmeye (%60 - %70) sahip iki resmin
karşılıklı yöneltilmesi ile stereo model oluşturulması ve
sayısal mutlak yöneltme ile, oluşan modelde bilinen
kontrol noktaları yardımıyla, model koordinatlarının arazi
koordinat sistemine dönüştürülmesi esasına dayanan bir
yöntemdir.
Bu yöntemde konum ve yükseklikleri ayrı ayrı veya
birlikte üç boyutlu olarak çözmek mümkündür .
Modellerin karşılıklı yöneltme sonrası mutlak yöneltmesi
yaklaşık olarak yapılır. Uzaysal üç boyutlu benzerlik
dönüşümü ile bilinen nirengi noktası koordinatlarıyla arazi
koordinat sistemine dönüşüm sağlanır.
Her kolonda elde edilen modeller analitik tekniklerle ve
sayısal dönüşümlerle birbirine bağlanabilir.
Böylece
kolonların tüm modelleri, ilk modellerin koordinat
sistemine bağlanmış, ayrıca ortak bağlama noktaları
arasındaki uyuşum da sağlanmış olur.
Dönüşüm formülü;
éX ù
ê ú
êY ú
êZ ú
ë û
=
i
éX m ù
ê ú
l j * R J * êY m ú
êZ ú
ë mû
+
j
éX 0 ù
ê ú
êY 0 ú
êZ ú
ë 0û
j
Düzeltme denklemleri;
éV ù
ê xú
êV y ú
ê ú
êëV Z úû
=
éX ù
ê ú
êY ú
êZ ú
ë û
_
i
éX m ù
ê ú
l j * R J * êY m ú
êZ ú
ë mû
+
j
éX 0 ù
ê ú
êY 0 ú
êZ ú
ë 0û
j
lj
= Model koordinat sistemi ile arazi koordinat sistemi arasındaki
ölçek faktörü
Rj
= Model ve arazi koordinat sistemleri arasındaki uzaysal
dönüklüklere ( k , f ,W ) ait üç dönüklük elemanından oluşan
ortogonal dönüklük matrisi,
éX m ù
ú
ê
êY m ú
ú
ê
Z
êë m úû
= j modelindeki bir noktanın model koordinatları
J
éX 0 ù
ê ú
êY0 ú
êZ ú
ë 0û
éX ù
ê ú
êY ú
êZ ú
ë û
= İzdüşüm merkezinin arazi koordinat sistemindeki
koordinatları
j
= Model koordinatları ölçülen noktanın arazi koordinatları
i
Çözümde ilk yaklaşık değerler için; λ=1 ve açısal
büyüklükler (к,Φ,Ω) sıfır alınır. İzdüşüm merkezleri
bağlama noktaları gibi işlem görürler. Bu dengeleme
yöntemi iterasyonla uygulanır ve genellikle 2-3
iterasyonda yaklaşım sağlanır.
Burada bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri değil,
ölçümler düzeltme alır. Doğruluk kaybı olmaması için,
her iterasyondan sonra modellere ortogonal dönüşüm
uygulanır.
Blok kenarlarında ve içinde n adet kontrol noktasından
(X,Y,Z) ve m adet model noktasından oluşan bir blok
dengelemede,
7*m
adet
bilinmeyen
dönüşüm
parametresi (3 öteleme, 3 dönüklük ve 1 ölçek) ve 3*n
adet bilinmeyen arazi noktası koordinatları mevcuttur.
Bağımsız modellerle blok dengelemede ; genellikle (Xm,
Ym)j model koordinatlarının ağırlığı 1, (Zm)j model
koordinatlarının ağırlığı da geniş açılı kameralar için 0.5
alınır.
Yatay (horizontal)/düşey (vertical) dengeleme yönteminde;
yatay ve düşey konumlar için iki ayrı dengeleme
gerçekleştirildiğinden, dengeleme sonucunda biri yatay
(so Pl ), diğeri düşey (s0 H ) konumlama için olmak üzere iki
ayrı s0 değeri elde edilir.
Blok dengeleme ile bağlama noktaları mümkün olduğunca
birbirine uyumlandırılır,
kontrol noktalarındaki artık
hatalar küçük tutulmaya çalışılır.
Yöntem ilk iki yönteme oranla hata teorisine daha
uygundur ve daha hassas sonuçlar verir.
Ölçülmüş Model Koordinatları
X ij Yij Z ij
Yatay Dengeleme
Planimetrik Gözlem Eşitlikleri
Normal Denklemler
Ortogonal
Model
Dönüşümü
X Y Z
ij ij ij
lj kj
Xoj Yoj Çözümü
X i Y iZ i
VxVy Vz
s 0 pl
Yaklaşık Değerler
f=0 v=0
Doğrusallaştırılmış Hata Denklemleri
Normal Denklemler
Düşey Dengeleme
Ardışık Çözüm
İndirgenmiş Normal Denklemler
İndirgenmiş Normal Denklemler
Ortogonal
Model
Dönüşümü
X Y Z
ij ij ij
df dv Zoj çözümü
X i Y iZ i
VxVy Vz
s0 h
Işın Demetleriyle Blok Dengeleme
Bu dengeleme yöntemi tam analitik bir yöntem olup
ışın demetlerinin eşlenik noktalarda kesiştirilmesi
esasına dayanır. Bu yöntemde iki resme ait 12 dış
yöneltme elemanı, bilinen kontrol noktası koordinatları
yardımıyla hesaplanır. Yöntem çok sayıdaki resme,
blok oluşturmak sureti ile aynı anda uygulanabilir.
Teorik açıdan oldukça sıhhatli sonuçlar verebilen,
fonksiyonel modelin en iyi geliştirildiği bir yöntemdir.
Yöntem aynı zamanda hata teorisi yönünden oldukça
duyarlıdır, ancak çok fazla hesap işlemine gerek
duymaktadır.
Her bir resimde ideal olarak en az dokuz adet bağlama
noktası olması istenir. 15-25 adet bağlama noktası iyi
bir blok geometrisi sağlar.
Bu durumda hatalı
gözlemler kolayca saptanıp elemine edilebilir. Ancak
bunun için blok kenarlarında yeteri kadar kontrol
noktası bulunması gerekir.
r 11 * ( X - X 0 ) + r
x = x h - c*
r 13 ( X - X 0 ) + r
y = y h - c*
23
21
* (Y - Y 0 ) + r
* (Y - Y 0 ) + r
33
r 12 * ( X - X 0 ) + r 22 * ( Y - Y 0 ) + r
*( Z - Z 0 )
* (Z - Z 0 )
32
*( Z - Z 0 )
r 13 ( X - X 0 ) + r 23 * ( Y - Y 0 ) + r 33 * ( Z - Z 0 )
x ,y
= Noktaların ölçülen resim koordinatlar
xh , yh
= Asal noktanın konumu
c
= Kamera sabitesi
X 0 , Y 0, Z 0 =
31
İzdüşüm merkezi koordinatları
Her bir nokta için yazılan düzeltme denklemlerinin
doğrusal (lineer) hale getirilmesi gerekir. Bu amaçla
ölçülen resim koordinatları (x,y) ve bilinen arazi
koordinatları (X,Y,Z) yanında, resimlerin dış yöneltme
bilinmeyenlerine ait yaklaşık değerlere de ihtiyaç
vardır.
Genellikle bilinmeyenlerin (yöneltme parametreleri ve
noktaların arazi koordinatları) yaklaşık değerlerinin,
girilen verilerin kullanılmasıyla, bilgisayar programı
tarafından belirlenmesi istenir .
İlk yaklaşık değerlerle çalışan program iterasyonlarla
devam eder ve her iterasyonda yaklaşık değerler yeni
düzeltmeler alır.
Dengelemenin
doğruluğu;
kontrol
noktalarının
doğruluğu, dağılımı ve sayısı ile yakından ilgilidir.
Ölçülen resim koordinatlarında çeşitli sistematik ve
rasgele hatalar mevcuttur. Bu hatalar, resmin ve
merkezi izdüşümün geometrik özelliğini bozmaktadır.
Bu nedenle de bu hataların giderilmesi gereklidir. Bu
hatalar çeşitli alet ve ilave donanımlarla giderilmekte
veya dengelemede sayısal olarak çözülmektedir.
Ölçülmüş resim
koordinatları
(x,y)
Bilinmeyenlerin yaklaşık
değerleri
(başlangıç için 0 alınır)
Doğrusallaştırılmış hata
denklemleri
Normal denklemler
Normal denklemlerin çözümü
İterasyon :
Kesin değer = Yaklaşık değer +düzeltme
Yaklaşım Hayır
sağlandı mı ?
Evet
Arazi koordinatlarının ve yöneltme
parametrelerinin çözümü
s0
Yüksek
doğruluk
isteyen
çalışmalarda,
ilave
parametreli çözüm yapmak daha uygundur. Ölçülen
resim koordinatlarının inceliği, resim ölçeği ve
bindirme
oranları,
yöntemin
doğruluğunu
etkilemektedir.
İlave parametreli demet dengelemesinde, 12 veya 44
parametre ilave olarak dengelemeye (PATB) sokularak,
resim koordinatlarındaki sistematik hatalar düzeltilir .
Işın demetleri ile bağımsız modeller farklı ölçümler
kullandığı için ; ışın demetleri ile blok dengeleme
sonucu elde edilen s0 değeri, bağımsız modellerle elde
edilen so Pl
ve so H
değerleri ile doğrudan
kıyaslanamaz. İki yöntem arasında ortalama bir oran
olarak;
so Pl (bağımsız modelller ) = 1.5 so (ışın demetleri)
so H (bağımsız modelller ) = 2.4 so (ışın demetleri)
kabul edilebilir.
Öte yandan, arazi koordinatlarının standart sapmaları
için kabul edilen matematiksel model dikkate
alındığında ;
(ışın demetleri) sxi = Ö Qxixi . s0 ,
szi = Ö Qzizi . s0
syi = Ö Qyiyi . s0 ,
(bağımsız modelller ) sxi = Ö Qxixi . s0Pl ,
szi = Ö Qzizi . s0H
syi = Ö Qyiyi . s0Pl ,
KİNEMATİK GPS
Bilindiği gibi fotogrametrik çift resim değerlendirmesinde
karşılaşılan en önemli sorun, resimlerin dış yöneltme
elemanlarının
belirlenmesidir.
Dış
yöneltme
parametrelerinden
kamera
izdüşüm
merkezi
koordinatlarının (X0, Y0, Z0) belirlenmesi için, arazide
yeteri kadar kontrol noktası tesisi gereklidir. Ancak
fotogrametrik nirengi amaçlı GPS yöntemi kullanılarak,
yani; kamera izdüşüm merkezi koordinatlarının yüksek
incelikli rölatif kinematik GPS konumlama ile
belirlenmesi ve bu verilerin birleşik blok dengelemede
kullanılmasıyla, arazide az sayıda kontrol noktası tesis
edilmesi yeterli olur ve böylece fotogrametrik nirengi
konusunda büyük bir ekonomi sağlanabilir.
Fotogrametrik nirengi amaçlı kamera konumlamada,
doğruluk nedeniyle genellikle diferansiyel modda faz
gözlemleri kullanılır.
Konum belirlemenin inceliği,
öncelikle uydu kümesinin geometrisine bağlıdır.
Günümüzde günün her saatinde ve herhangi bir yerde
PDOP’un en az 6’ya eşit veya daha küçük olacağı biçimde
GPS uydu dağılımı mümkün hale gelmiştir.
GPS yöntemi, fotogrametride kamera ve algılayıcıların
konumlarını belirlemek amacı ile ve ayrıca uçuş
navigasyonu ile fotoğraf alımı planlamasında kullanılır.
Kameranın önceden belirlenen çekim noktalarında ve
istenen çekim odaklarında alım yapıp yapmadığı GPS
ölçümleri ile kontrol edilebilmektedir.
Gerekli GPS
ölçümleri ile çekim zamanları, bulunulan yerin enlem,
boylam değerleri ve diğer tüm ilave bilgileri elde edilerek
bilgisayar ortamına kaydedilir.
Rölatif kinematik konumlama yönteminde en az iki adet
GPS alıcısı kullanılır. Bunlardan birisi proje alanında
veya 30-50 km. kadar çevresinde, diğeri uçakta bulunur.
Her iki alıcı da aynı anda GPS uydularından, bir saniye
veya daha az bir aralıkta taşıyıcı dalga faz ölçümleri
(L1, L 2) ile birlikte C/A ve/veya P kodunda uydu alıcı
uzaklıklarını (pseudorange) kaydederler.
GPS destekli konum belirlemede; işlem anında üç
önemli durum göze çarpmaktadır. Bunlar ;
•Tam çekim anında, GPS alıcısı ve hava kamerası
birbirinden bağımsız işlem yapmaktadır,
•GPS anteni ve hava kamerası uçakta fiziksel anlamda
üç boyutlu olarak farklı konumlandırılır,
•Taşıyıcı faz ölçümlerinin işlenmesi sırasında faz
belirsizliği sorunu önem kazanmaktadır.
Bu sorunlar değişik işlemlerle aşılabilir. Modern hava
kameraları pozlamanın tam ortasında bir sinyal
göndermekte ve bu sinyal GPS alıcılarındaki özel ve
duyarlı zaman ölçen aletlerle ölçülmektedir. Böylece
uçaktaki GPS anteninin konumu, iki komşu konumlama
arasında
doğrusal
bir
enterpolasyon
ile
belirlenmektedir. GPS anteni ile hava kamerası
arasındaki kayıklık, jeodezik yöntemlerle ve kamera
koordinat sistemine göre belirlenmektedir. GPS ile
konum belirlemede sözü edilen başlangıç belirsizliği
ise, uçağın harekete başlamasından önce GPS faz
ölçümleri ile çözülebilir.
GPS ile kinematik konum belirleme doğruluğunu
etkileyen en önemli faktör, koordinatların zamana bağlı
değişimlerinin yani sürüklenme (drift) hatası etkisinin
belirlenmesidir. Bu hatanın oluşmasının temel nedenleri;
öncül (A priori) düzeltmelerde atmosferik kırılma
düzeltmesi gibi artık bilinmeyenler ile uydu hatası gibi
modellendirilmemiş hataların bulunmasıdır. Ancak tüm
bunlara rağmen bu hatalar GPS destekli fotogrametrik
blok dengeleme ile giderilebilmektedir.
Kinematik GPS uygulamalarında en çok tercih edilen
yöntem, yaklaşık çözümdür.
Bu yöntem, C/A kod
pseudorange konumlamaya dayalı olup, içerdiği
doğrusal sürüklenme hatalarının daha sonraki birleşik
blok dengelemede düzeltilecek olması nedeniyle, geçici
olarak kabul edilmesi biçiminde karakterize edilebilir.
Yaklaşım, modellendirilmemiş diğer sistematik GPS
hatalarının da düzeltileceğini hesaba kattığı için
herhangi bir özel dikkat gerektirmez.
éXù
êYú
ê ú
êëZ úû
AC
éXù
êYú
= ê ú
êëZ úû
+R w , f , k
PC
éXPC
ù
AC
éb X ù
éa X ù
ê PC ú
êb ú
êa ú
Y
Y
+
+
ê AC ú
ê Y ú . dt
ê ú
êëb Z úû
êëa Z úû
ê PC ú
Z
ë AC û
Belirsizlik çözümü her bir kolon için ayrı ayrı
gerçekleştirilir. Bu durumda kolon dönüşlerindeki
GPS kayıtlarının hem fotogrametrik nirengide hem de
kamera
konumlamada
kullanılmasına
ihtiyaç
duyulmaz. Uygulamadaki kolon uçuşlarının çoğu 20
dakikayı geçmez. Bütün deneysel veriler, bu süre
içerisindeki
sürüklenme
hatalarının
genellikle
doğrusal olduğunu göstermektedir.
Sürüklenme
parametreleri
blok
dengeleme
ile
belirlenmeye çalışılırsa, blok geometrisinin zayıfladığı
görülür.
Bunu engellemek için blok köşelerindeki
kontrol noktaları ile birlikte başta ve sonda olmak üzere
birer çapraz kolon uçuşu gereklidir. Bu çapraz kolonlar
iki sıra yükseklik kontrol noktaları zinciri yerine geçer,
ancak bağlama noktalarında bir miktar doğruluk kaybına
da neden olur. Kolonlar arasındaki bütün dönü
kayıklıklarını gidermek mümkün olursa, tüm blok için altı
sürüklenme parametresi tatminkar bir sonuç verir. Bu
takdirde çapraz kolonlara gerek kalmaz [9].
GPS Destekli Birleşik Blok Dengelemenin Matematik
Modeli ve Dengeleme Girdileri
Rölatif kinematik GPS verileri ile fotogrametrik nirenginin
temel kavramına göre, uçaktaki GPS anteni konumları,
kamera pozlama anlarına enterpole edilir. Enterpole
edilmiş GPS anten koordinatları, izdüşüm merkezi
bilinmeyenlerine ilişkin ilave gözlemler olarak blok
dengelemeye sokulur. Dengelemenin matematik modeli
aşağıdadır.
éXù
êYú
ê ú
êëZ úû
éXù
êYú
ê ú
êëZ úû
GPS anten koordinatları
AC
İzdüşüm merkezi koordinatları
PC
éX PA CC ù
ê PC ú
êY A C ú
ê PC ú
ëZ A C û
Anten dışmerkezlik vektörü
R ( w , f ,k ) = Ortogonal dönüklük matrisi
éa X ù
êa ú
ê Yú
êëa Z úû
GPS sürüklenme parametreleri
(sabit terimler)
ébX ù
êb ú
ê Yú
êëbZ úû
(doğrusal terimler)
d t = Zaman aralığı (kolon başından sonuna kadar geçen süre)
Yeniden düzenle
Dengelemenin
özetlenebilir:
girdileri
aşağıdaki
biçimde
•Kinematik GPS gözlemleri değerlendirildikten sonra,
öncelikle WGS84 sisteminden yaklaşık ulusal referans
sisteme dönüştürülmüş olarak kullanılır. GPS kamera
konumları her bir uçuş kolonu için ayrı ayrı işleme
alınır ve her bir kolon için ayrı bir yaklaşık belirsizlik
çözümü yapılır.
•GPS anteninden kameraya olan üç boyutlu dış
merkezlik
vektörü
blok
dengelemenin
ilk
çalıştırılışından sonra elde edilebilir olmasına rağmen,
normalde önceden bilindiği kabul edilir. Bu biçimde
düzeltilmiş ve yaklaşık olarak dönüştürülmüş GPS
kamera konum koordinatları dengelemenin girdisini
oluşturur.
•Fotogrametrik açıdan dengelemenin girdileri, klasik
uygulamalarda olduğu gibi resim koordinatlarıdır.
Fotogrametrik nirenginin tüm adımları (bağlama
noktası seçimi, işaretlenmesi, ölçümü vb) burada da
aynen geçerlidir. Yalnızca GPS bloklarında yer kontrol
noktası sayısı normal bloklara göre oldukça azalmış
durumdadır.
•Dengelemenin diğer bir girdi verisi de, ulusal yatay ve
düşey referans sistemdeki yer kontrol noktalarıdır.
GPS bloklarında geometriyi sağlam tutmak ve
sürüklenme parametreleri dahil tüm bilinmeyenleri
çözebilmek için, önerilecek blok konfigürasyonları
(şekil-3.1) üç değişik biçimdedir [11,17] ;
•Dört yer kontrol noktası ve % 60 yan bindirmeli
kolonlar,
•Dört yer kontrol noktası ve standart ileri ve yan ( % 60
, % 30 ) bindirmeli kolonlar ile blok kenarlarında
yükseklik kontrol noktaları dizisi,
•Bloğun başına ve sonuna birer dik kolon ilavesi ile
köşelerde birer yer kontrol noktası ve tercihen birer
yükseklik kontrol noktası.
KİN EM ATİK GPS D EST EKLİ
FOTO G RAM ETR İK NİRE NG İ İŞ A KIŞI
GPS
UYDULARI
GPS
SİNYAL İ
GPS
SİNYALİ
GPS
ALICISI
GPS
VE RİLERİ
HAVA
FOTOĞRAFLAR I
VERİ İŞLEM E
FO TO-L ABO RATUVAR
İŞLEM LER İ
DİAPOZİTİF
KART BASKI
P LANICOM P
ANALİTİK ALET
BİRLEŞİK BLO K
DENGELEM E
PATB-GPS
MO DEL
Ö LÇÜM LERİ
İŞ HAZIRLAM A
NO KTA TRANSFER
İŞLEMLER İ
KONTROL
NOKTALARI
DE NGELEM E
ÇIKTILARI
BACK-UP
İŞLEM İ
P M -1 NOK TA
AK TARM A ALETİ
PLANITAB T110
PEN PLO TTER
PAFTA
AÇIM I
PAFTA KÖŞE
KOORDİNATL ARI
JEO DEZİ D.
K IYMETLENDİRM E
DENGEL ENM İŞ
KOORDİNAT LAR
SAYISAL - ÇİZG İSEL
HARİTA
Koordinat Dönüşümleri
Bilinmeyen noktaların rastgele bir koordinat sisteminde olması;
-stereokomparator, analitik alet vb. ile ölçülmüş koordinatlar,
- kamera resim koordinat sistemine
sistemine dönüştürülme gereği.
veya
arazi
koordinat
Koordinat dönüşümü, bir koordinat sisteminden diğerine geçiş
işlemleridir.
Bu işlemler için; bazı noktaların her iki koordinat sistemindeki
koordinatlarının bilinmesine ihtiyaç duyulur. Bu tür noktalara
kontrol noktası denir.
İki Boyutlu Konformal Koordinat Dönüşümü
“İki-boyutlu” kavramı, koordinat sistemlerinin düzlem yüzeyler
üzerinde olduğunu ifade eder.
Konformal dönüşüm ise; dönüşümden sonra da gerçek şeklin
korunması
anlamına
gelir.
İki
boyutlu
konformal
(benzerlik,similarity,
Helmert)
koordinat
dönüşümünü
gerçekleştirmek için, her iki koordinat sisteminde de koordinatları
bilinen en az iki noktaya ihtiyaç vardır.
Dönüşümün doğruluğu ile, seçilen iki noktanın birbirine olan
uzaklığı doğrusal ilişkilidir.
Eğer iki noktadan fazla kontrol noktası varsa, en küçük kareler
yöntemi uygulanarak daha iyi bir sonuç elde edilebilir.
İki boyutlu benzerlik dönüşümü üç temel adımdan oluşur;
-Ölçek faktörü,
- Dönüklük,
- Öteleme.
Y
N
c
A
Xa-Xb
a
Ya-Yb
α
EA-EB
NA-NB
β
B
X
C
E
b
1.a. Rastgele bir XY koord. sis.
1.b. İki boyutlu (EN) arazi koord. sis.
Şekil (a) da; XY rastgele koordinat sisteminde koordinatları bilinen
bir a,b vasıtasıyla c noktasının konumu
(b) de ise; aynı noktanın EN arazi koordinat sisteminde koordinatları
bilinen A,B’ye göre konumu görülmektedir.
A,B biliniyor; C’nin arazi koordinatları isteniyor.
Birinci adım; ölçek faktörü
Şekillerdeki ab ve AB doğrularının uzunlukları eşit değildir,
dolayısıyla iki koordinat sistemi eşit değildir.
XY koordinat sisteminin her bir X,Y koordinatı s ölçek faktörü
ile çarpılarak; XY sisteminin ölçeği EN sisteminin ölçeğine
eşitlenir.
X,Y’nin ölçeklendirilmiş durumu X’, Y’ (ölçekli koordinatlar)
olur.
Ölçek faktörü,
yardımıyla;
S=
AB
ab
mevcut
=
kontrol
noktalarının
( E B - E A ) 2 + ( N B- N A) 2
( X b - X a ) 2 + (Y b-Y a) 2
koordinatları
İkinci adım; dönüklük
N’
N
E’C
X’
X’C
A
θ
Y’Ccosθ
C
Y’
Y’C
Y’Csin θ
N’C X’ sin θ
C
E’
TN
B
TE
E
X’Ccos θ
Şekil 1’deki EN arazi koordinat sistemi üzerine ölçeklendirilmiş X’Y’
koordinat sistemi çakıştırılırsa, her iki sistemde de AB uzunlukları birbirine
karşılık gelir.
X’Y’ koordinat sisteminin başlangıç noktasından EN eksenlerine paralel
olmak üzere, bir E’N’ rastgele koordinat sistemi oluşturulursa; X’Y’ den E’N’
ye θ kadar döndürme ya da diğer bir deyişle bilinmeyen noktanın ( C ) X’, Y’
koordinatlarından E’, N’ koordinatlarının hesaplanmasına ihtiyaç duyulur.
C noktasının E’N’ koordinatları θ dönüklük açısı kullanılarak;
E’C= X’Ccos θ- Y’Csin θ
N’C= X’Csin θ+ Y’Ccos θ
θ dönüklük açısı şekil 1a ve 1b’deki α ve β açılarının toplamı olup iki
kontrol noktasının koordinatlarından yararlanılarak hesaplanabilir.
α =
arctan (
Xa - Xb
Ya – Yb
)
β=
arctan (
EA - EB
NA– NB
)
Üçüncü adım; öteleme
Koordinat dönüşümündeki son adım E’,N’ sisteminin
başlangıcını E,N sisteminin başlangıcına ötelemektir.
TE ve TN faktörlerinin belirlenmesine ihtiyaç duyulmaktadır.
C noktasının E,N arazi koordinat sistemindeki koordinatları;
EC = E’C + TE
NC = N’C + TN olacaktır. TE ve TN öteleme faktörleri;
TE = EA – E’A = EB – E’B
TN = NA – N’A = NB – N’B dir.
Benzerlik dönüşümü eşitliklerinde;
EA = sXacosθ - sYasin θ + TE
NA = sXasin θ + sYacos θ + TN
a = scos θ ve b = ssin θ
EA = aXa – bYa + TE
NA = aYa + bXa + TN
(A noktasının
sistemindeki
biliniyordu)
olarak gösterilirse, sonuç
XY ve EN
koordinatları
Yani yukarıdaki eşitliklerde a, b, TE ve TN bilinmeyen olarak kalır.
İki kontrol noktası (A, B) için yazılacak 4 eşitlik (EA, NA, EB, NB)
ile bu 4 parametre (bilinmeyenler) bulunur ve yalnızca bir
sistemdeki (X,Y) koordinatları bilinen diğer noktaların (C ve
,,,,) arazi koordinat sistemindeki koordinatları (E, N olarak
adlandırdık) bulunabilir.
Örnek :
Rastgele Koordinatlar
Arazi Koordinatları
X
E
Y
N
A
632.17
121.45
1100.64
1431.09
B
355.20
-642.07
1678.39
254.15
C
1304.81
596.37
?
?
İki Boyutlu Afin Dönüşümü
y’
x
Y
Xd
θ
O
Xo
Yo
xd
d
yd
Yd
x’
Benzerlik
dönüşümünün
biraz değiştirilmiş durumu
olan afin dönüşümü, x ve y
doğrultularında
ayrı
ayrı
ölçek faktörleri içerir.
y
X
Fotogrametride en bilinen problemlerden birisi; örneğin, analitik alette
rastgele bir konumda ölçülen resim koordinatlarının, kalibrasyon
raporunda tanımlanmış resim kenar göstergeleri koordinat sistemine
dönüştürülmesi veya sayısal görüntülerde piksel koordinat sisteminden
resim koordinat sistemine dönüşümlerdir (4 veya 8 resim kenar
göstergesinin ölçülen koordinatları ile kalibrasyon raporu koordinatları
arasındaki dönüşümler
İç yöneltme).
Yukarıdaki şekilde, örneğin komparator koordinat sistemi
başlangıç noktası ile resim koordinat sistemi başlangıç noktası
arasındaki ötelemeler Xo ve Yo (XY ile xy arasındaki öteleme), iki
koordinat sistemi arasındaki dönüklük θ ise;
XY’den xy’ye afin dönüşümü
x = a1 + a2X + a3Y
y = b1 + b2X + b3Y
dir.
6 parametreli bu dönüşümün gerçekleştirilebilmesi için, her bir
resim kenar göstergesine x, y eşitliklerinden birer çift yazılabilir. 3
resim kenar göstergesi ölçüldüğünde 3 adet a ve b parametresi
çözülmüş olur. Hava fotoğraflarında 8 resim kenar göstergesi iç
yöneltme aşamasında ölçülür ve dolayısıyla dengelemeli afin
dönüşümü uygulanır.
İki Boyutlu Projektif Koordinat Dönüşümü
X,Y koordinat sistemindeki noktaların birbirine paralel olmayan
bir düzlemden diğerine izdüşürülmesinden sonra, analitik
çözümleri iki boyutlu projektif dönüşüm eşitlikleri ile de
gerçekleştirilebilir.
a1X + b1Y + c1
x=
a3X + b3Y + 1
y=
a2X + b2Y + c2
a3X + b3Y + 1
a 1,
b 1,
c1,………..
Toplam 8 parametreli
bir dönüşümdür. 4
kontrol noktası ile tek
bir
çözüm,
daha
fazlası ile dengelemeli
çözüm
sözkonusudur.
Düzlemde Dönüklük Konusunun Matrisler ile İfadesi
Y
P
y
XY koordinat sisteminin α açısı
kadar
döndürüldüğü
bir
xy
koordinat
sistemindeki
P(x,y)
noktasını ele alalım. Bu noktanın X,Y
koordinatlarını bulmak istiyoruz.
x
α
α
X
X = xcos α – ysinα
Y = xsin α + ycos α
Koordinat eksenleri arasındaki açıların cosünüs’leri ile matris formda
yeniden yazılırsa;
X
=
Y
cos(xX)
cos(yX)
x
cos(xY)
cos(yY)
y
*
R=
ya da
X=Rx
r11 r12
r21 r22
R : dönüklük matrisi
Kare matristir ancak simetrik değildir.
Elemanları koordinat eksenleri
faktörlerinden oluşmaktadır.
cos.
x ve y eksenleri boyunca i ve j birim vektörleri
dikkate alınır ve XY sisteminde elemanları
j
α
açıların
R dönüklük matrisinin özellikleri;
Y
i
arasındaki
X
İ=
cosα
sinα
j=
-sinα
cosα
ile gösterilirse, * eşitliğindeki rik elemanlarının
birim matrisi i, j vektörleri olduğu görülür.
R = (i, j)
Birbirine karşılıklı dik iki birim vektör ortogonallik şartlarını sağlar.
iT i = cos2α
+ sin2 α
= 1 = r112 + r212
jT j = sin2 α
+ cos2 α
= 1 = r122 + r222
iT j = -cos α sin α + sin α cos α = 1 = r11r12 + r21r22
Ortogonallik koşullarını sağlayan matrisler ortogonal matris olarak
adlandırılır ( detR = 1, detR = -1 ise ayna tersliği ve dönüklük vardır).
Dolayısıyla dönüklük matrisinin dört elemanı üç ortogonallik koşulunu
sağlamalıdır, yalnızca bir parametresi bağımsızdır. Genellikle bu
parametre dönüklük açısı α’dır.
Tanım olarak, R-1. R = I (birim matris)
Diğer taraftan, RT. R = I
iT
jT
(i,j) =
iT i
iTj
jT i
jTj
=
1
0
0
1
Yani dönüşüm matrisinde; R-1 = RT (inversi transpozuna eşittir)
Buradan hareketle, ters dönüşüm; XY sistemindeki noktalar, xy
sistemine aşağıdaki şekilde dönüştürülür.
X = R.x
RT ile çarparak;
RT.X = RT. R.x = Ix = x
Yani, x = RT X =
r11
r21
r12 r22
X
Y
olur.
Üç Boyutlu Dönüşümler (uzaysal dönüklükler)
Z
y
z
x
j
k
X
Y
Z
=
Y
i
X
cos(xX)
cos(yX) cos(zX)
x
cos(xY)
cos(yY) cos(zY)
y
cos(xZ)
cos(yZ) cos(zZ)
z
r11 r12 r13
X=Rx
R=
r21 r22 r23
İki boyutlu dönüşümlerde
olduğu gibi i, j, k birim
vektörleri ile;
r31 r32 r33
R = (i, j, k)
Üç birim vektör ile onların rik elemanları arasındaki ilişkiler;
+ r22 r23
r11
i=
r21
=
r31
r32 r33
jxk=
-
r12
r13
r32
r33
r22r33 – r32r23
=
r32r13 - r12r33
r12r23 - r22r13
j=kxi
k=ixj
+
r11
r13
r22
r23
9 rik elemanı için ortogonallik koşulu
iT i = jT j = kT k = 1
iT j = iT k = jT k = 0
Uzaysal bir dönüklük üç bağımsız parametre ile tanımlanır.
Fotogrametride bu parametreler ω, Φ, к dönüklük açıları ile
tanımlanır.
Bir koordinat sisteminde üç dönüklüğün sırası
Z
ZωΦ
Zω
Yω
Y
Zω
YωΦ = Yω
Φ
ω
ω
ω
Xω
X=Xω
Birincil
Φ
XωΦ
Φ
ZωΦ = ZωΦк
ikincil
YωΦк
к
YωΦ
X’de ω birincil eksen
Y’de Φ ikincil eksen
к
к
Üçüncül
XωΦк
XωΦ
Z’de к üçüncül eksen
xyz koordinat sisteminde verilen bir P noktasının, XYZ sistemine
dönüşümü ω, Φ, к dönüklükleri ile sağlanabilir.
R üç boyutlu dönüşüm matrisi bu durumda;
cosΦcosк
RωΦ =
- cosΦsinк
sinΦ
cosωsinк+sinωsinΦcosк
cosωcosк–sinωsinΦsinк
-sinωcosΦ
sinωsinк-cosωsinΦcosк
sinωcosк+cosωsinΦsinк
cosωcosΦ
Dönüklük sırası yukarıda gösterilenden farklı olursa, buna bağlı
olarak dönüşüm matrisinin elemanları da değişir.
Ortogonallik koşullarının bir sonucu olarak R-1 = RT
Özetlemek gerekirse, R dönüşüm matrisinin rik elemanlarını üç
farklı şekilde yorumlayabiliriz;
- iki koordinat sisteminin eksen çiftleri arasındaki açıların cos.
faktörleri
- Döndürülen koordinat sisteminin daha üst dereceli koordinat
sistemine göre birim vektörlerinin elemanları
- bir kardan sistemin üç ekseninin dönüklüklerinin trigonometrik
fonksiyonları
Resim ve Arazi Koordinatları
y
Arasındaki Bağıntılar
PP
negatif
P2’
P1’
P’
c
PP
x
FC
O
c
pozitif
P1’
O : izdüşüm merkezi
PP : x0, y0 koordinatları
tanımlanan asal nokta
P2’
ile
c : asal uzaklık (kamera sabitesi,
odak uzaklık)
P2
P1
FC : resim kenar göstergelerini
birleştiren
doğruların
kesişim
noktası
O(X0, Y0, Z0)
c
P’(x,y)
PP(x0, y0)
Y
Z
Z0
X0
Resim ve arazi
arasındaki ilişki
P (X, Y, Z)
Y0
X
x, y
: iki boyutlu resim koordinatları
X, Y, Z
: üç boyutlu arazi koordinatları
X0, y0
: asal noktanın (PP) resim koordinatları
c
: asal uzaklık
X0, Y0, Z0 : izdüşüm merkezinin arazi koordinatları
koordinatları
Bir P’ resim noktasının x, y koordinatları ile P arazi noktasının X, Y, Z
koordinatları arasındaki matematiksel ilişki;
x = x0 - c
y = y0 - c
r11(X-X0) + r21(Y-Y0) + r31(Z - Z0)
r13(X-X0) + r23(Y-Y0) + r33(Z-Z0)
(1)
r12(X-X0) + r22(Y-Y0) + r32(Z - Z0)
r13(X-X0) + r23(Y-Y0) + r33(Z - Z0)
rik parametreleri R üç boyutlu dönüşüm matrisinin elemanları
olup, resim uzayının arazi koordinat sistemine göre
dönüklüklerini tanımlarlar.
Ω, Φ, к dönüklüklerinin fonksiyonları olarak açıklanabilir.
(1) eşitliği X, Y arazi koordinatları için yazılırsa;
X = X0 + (Z - Z0)
r11(x-x0) + r12(y-y0) – r13c
r31(x-z0) + r32(y-y0) - r33c
(2)
Y = Y0 + (Z – Z0)
r21(x-x0) + r22(y-y0) – r23c
r31(x-x0) + r32(y-y0) - r33c
olur.
Kavramsal olarak, izdüşüm eşitliği; resim ve arazi uzayı
arasında üç boyutlu bir benzerlik dönüşümü vasıtasıyla ortaya
çıkan ilişkiyi ifade eder.
(1) eşitliği; her bir arazi noktasına karşılık gelen bir resim
noktası olduğunu, (2) ise; her bir resim noktasına karşılık
sonsuz sayıda muhtemel arazi noktası olduğunu (Z
koordinatından dolayı) ifade etmektedir. Bu nedenle, yalnızca
bir resimden üç boyutlu bir cismi yeniden oluşturmak (modelini
elde etmek) mümkün değildir.
Aynı cisime ilişkin ikinci bir resime ya da Z koordinatına ilişkin
ilave bir bilgiye ihtiyaç duyulur.
(1) ve (2) eşitliklerinde tanımlanan dönüşümler için, aşağıdaki
bağımsız parametrelerin (yöneltme elemanlarının) bilinmesine
ihtiyaç duyulur.
x0, y0
c
X0, Y0, Z0
Ω, Φ, к
İç yöneltme elemanları (izdüşüm merkezinin resim
düzlemine göre konumunu tanımlar)
Dış yöneltme parametreleri (arazi koordinat
sisteminde kameranın konum ve durumunu
tanımlar)
İç yöneltme elemanları kamera üreticilerince, kalibrasyon
raporlarında verilir. Asal nokta ile resim kenar göstergelerini
birleştiren doğruların kesişim noktası birbirine çok yakın
olacak (birkaç mikron) şekilde üretimi gerçekleştirilir.
Dış yöneltmenin 6 elemanı, eğer koşullar izin veriyorsa
(örneğin yersel fotogrametride) ölçümler ile belirlenebilir.
Ancak, hava fotoğrafları için en yaygın yöntem, resim
(görüntü) ve arazi koordinatları bilinen kontrol noktalarının
kullanılmasıdır (GPS-INS uygulamalarını şimdilik gözardı
ettik).
3 adet yer kontrol noktası mevcut ise, her biri için (1)
eşitliklerinden toplam 6 eşitlik yazılarak 6 dış yöneltme
elemanı belirlenebilir.

Download Report