12. Sınıf
GEOMETRİ
Mehmet ŞAHİN
Oğuzhan KIRIKOĞLU
REDAKSİYON
Alper Yıldız
İpek Etçioğlu
Nurdan Yalçınkaya
M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın 30.12.2009 tarih ve 334 sayılı kararı ve 2010-2011
öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre hazırlanmıştır.
PAL­ME YA­YIN­CI­LIK
An­ka­ra,­2014
i
PALME YAYINLARI: 616
12. Sınıf Geometri / Mehmet ŞAHİN – Oğuzhan KIRIKOĞLU
Yayın Editörü
: Cemil AYAN
Yayına Hazırlama
: PALME Dizgi–Grafik Tasarım Birimi
Yayıncı Sertifika No : 14142
Palme Yayıncılık © 2014
ISBN
: 978-605-4414-67-3
Baskı
: Tuna Matbaacılık San. ve Tic. A. Ş.
Basımevi Sertifika No : 16102
Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her
hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIĞA aittir. Kitapta kullanılan sistemin tamamı ya da bir
kısmı yayınevinin yazılı izni olmaksızın kullanılamaz.
www.palmeyayinevi.com
e-mail: [email protected]
G ENEL D AĞITIM
YAZIT Yayın-Dağıtım
Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-ANKARA
Tel 0312-433 63 85-433 56 65 Faks 0312-433 73 17
ii
´%HQLP0DQHYL0LUDV×P%ø/ø0YH$.,/',5µ
M. Kemal ATATÜRK
iii
EDİTÖR
Editör'den,
Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının
ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok matematiksel kavram gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yaklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve
uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde
artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere
sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme
yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır.
Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış
açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine
(YGS–LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır.
Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim.
Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle.....
Cemil AYAN
[email protected]
Ocak 2014
Ankara
iv
ÖNSÖZ
Değerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler.
Elinizdeki kitap Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nca kabul
edilen Orta Öğretim 12.Sınıf Geometri Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanmasındaki esas amaç;
• Orta Öğretim başarınızı artırmak,
• Üniversiteye giriş sınavlarında yüksek başarı elde etmenizdir.
Kitap 4 üniteden oluşmaktadır. Her ünite içindeki kavramlar, ağırlıklarına göre
ayrılmış ve her kavram kavramsal adım, uygulama adımı, pekiştirme adımı ve sınama
adımı başlıkları altında incelenmiştir.
Her kavramın detaylı bir şekilde ele alındığı bu sisteme Kademeli Modüler
Hücre Sistemi diyoruz.
Bu sistemin doğası gereğince kitaptaki her kavramla ilgili öğrencinin karşılaşabileceği her tür örnek yer almaktadır. Örnekler, öğrenme-öğretme sürecine uygun olarak
en kolay olandan daha çok bilgi içeren türlere doğru ele alınmıştır.
Kitabımızın öğrencilerimize ve öğretmenlerimize yararlı olacağına inanıyoruz.
Sağlık ve başarı dileklerimizle…
Ocak 2014
Ankara
Mehmet ŞAHİN – 0 532 423 41 32
Oğuzhan KIRIKOĞLU – 0 505 378 24 37
v
DERS NOTLARI
vi
İÇİNDEKİLER
Ünite
1
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN
ANALİTİK İNCELENMESİ
Ünite
2
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Ünite
9-69
70-113
3
TEK VE ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER
KATI CİSİMLER
Ünite
114-199
4
UZAYDA SÜSLEMELER, DÖNME VE
PERSPEKTİF ÇİZİMLER
200-223
vii
1
UZAYDA VEKTÖRLER
Sayfa No
1. BÖLÜM uzayda nokta, doğru ve düzlemler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. BÖLÜM
9
UZAYDA DİK KOORDİNAT EKSENLERİ VE ANALİTİK UZAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER, KONUM (YER) VEKTÖRÜ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. BÖLÜM VEKTÖRLERİN SKALER (İÇ) ÇARPIMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
UZAYDA NOKTA,
DOĞRU VE DÜZLEMLER
1
A.UZAYDA NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM
Tümü aynı düzlemde olmayan bütün noktaların kümesine uzay
denir. Uzay paralelyüz modeli ile gösterilebilir.
5. Uzayda farklı iki nokta bir düzlem üzerinde ise bu iki noktadan
geçen doğrunun tüm noktalarıda bu düzlemin üzerindedir.
B
C
d
C ∈ d ve C ∈ P dir.
A
P
UZAYIN TEMEL AKSİYOMLARI
1. Uzayda farklı iki noktadan bir tek
doğru geçer. Şekildeki A ve B
noktalarından bir tek doğru
geçer. Bu doğru AB veya d doğrusu şeklin de ifade edilir.
d
B
A
B.YARI DOĞRU, YARI DÜZLEM VE YARI UZAY
KAVRAMLARI
1. YARI DOĞRU: Uzayda bir nokta üzerinde bulunduğu doğruyu
iki yarı doğruya ayırır.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
BÖLÜM
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
d
Yarı doğru
Yarı doğru
A
A noktası yarı doğruların dayanak noktasıdır.
1. Bölüm
2. Uzayda bir doğru üzerinde bulunmayan farklı üç noktadan, bir
ve yalnız bir düzlem geçer.
A
P
A noktası yarı doğrulara dahil ise kapalı yarı doğru, dahil değil
ise açık yarı doğru adını alır.
B
3. Uzayda herhangi bir doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında
en az bir nokta vardır.
d
2. YARI DÜZLEM: Uzayda bir doğru bulunduğu düzlemi iki yarı
düzleme ayırır.
Yarı düzlem
B
A
C
d
P
4. Uzayda bir düzlemin dışında en az bir nokta vardır.
A
d doğrusu yarı
düzlemlerin dayanak doğrusudur.
Yarı düzlem
UYARI
P
d doğrusu yarı düzlemlere dahil ise kapalı yarı düzlem, dahil
değil ise açık yarı düzlem adını alır.
9
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
UYARI
C
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
3. YARI UZAY: Uzayda bir düzlem bulunduğu uzayı iki yarı uzaya
ayırır.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Dayanak düzlemi
4. Uzayda kesişmeyen doğrular paralel olmak zorunda değildir.
Uzayın aynı düzleminde bulunmayan ve kesişmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.
d
Yarı uzay
l
d∩l=Ø
E
Yarı uzay
D.UZAYDA BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN
UYARI
E düzlemi yarı uzaylara dahil ise kapalı yarı uzay, dahil değil ise
açık yarı uzay adını alır.
BİRBİRİNE GÖRE KONUMLARI
Uzayda bir doğru ile bir düzlem üç farklı konumda bulunabilir.
1. Doğru düzlemin içinde olabilir. Bu durumda doğrunun tüm
noktaları düzlemin içindedir.
C.UZAYDA İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE
d
1. Bölüm
KONUMLARI
1. Uzayda aynı düzlemde bulunan iki doğru çakışık olabilir.
d=l
l
d
d∩E=d
E
2. Doğru düzleme paralel olabilir. Bu durumda doğru ile düzlemin kesişimi boş kümedir.
d
Uzayda Nokta, Doğru ve Düzlemler
2. Uzayda aynı düzlemde bulunan iki doğru paralel olabilir.
l
d
d∩E=Ø
E
d // l
d∩l=Ø
3. Doğru düzlemi kesebilir. Bu durumda doğru ile düzlemin kesişimi bir noktadır.
d
E
3. Uzayda aynı düzlemde bulunan iki doğru bir noktada kesişebilir.
d
A
A
E
d ∩ l = {A}
l
E
10
d ∩ E = {A}
i.
UYARI
P
d
E // P + E ∩ P = Ø dir.
l
E
E
ii. Uzayda bir doğru ile bu doğrunun dışında verilen bir nokta
yalnız bir düzlem belirtir.
3. Uzayda iki düzlem kesişebilir. Bu durumda iki düzlemin arakesiti bir doğrudur. Bu doğruya bu düzlemlerin arakesit doğrusu
denir.
d
P
d
A
E∩P=d
d, arakesit doğrusudur.
E
E
iii. Uzayda kesişen iki doğru yalnız bir düzlem belirtir.
l
E
F.UZAYDA ÜÇ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE
KONUMLARI
Uzayda verilen üç düzlemin birbirine göre beş farklı konumu bulunabilir.
1. Uzayda verilen üç düzlem çakışık olabilir.
Uzayda Nokta, Doğru ve Düzlemler
E.UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE
E=F=P
KONUMLARI
P
Uzayda iki düzlem birbirine göre üç farklı konum da bulunur.
1. Uzayda iki düzlem çakışık olabilir. Bu durumda iki düzlemin
bir doğru üzerinde bulunmayan en az üç ortak noktası vardır.
F
E
2. Uzayda verilen üç düzlem paralel olabilir.
E
P
E // F // P
F
E
İki düzlem çakışık ise E = P dir.
1. Bölüm
d
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uzayda birbirine paralel olan iki doğru yalnız bir düzlem
belirtir.
2. Uzayda iki düzlem birbirine paralel olabilir. Bu durumda iki
düzlemin kesişimi boş kümedir.
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
P
11
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
3. Uzayda verilen üç düzlem bir noktada kesişebilir.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A
P
E ∩ F ∩ P = {A}
F
E
4. Uzayda verilen üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir. Bu
düzlemler bir düzlem demeti oluşturur.
G.UZAYDA DOĞRULTU KAVRAMI
Uzayda paralellik bağıntısına
göre birbirine paralel olan doğrular yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığından
bir denklik sınıfı oluşturur. Paralel olan doğrulardan herhangi
biri bu doğrular için bir doğrultu
olarak kabul edilebilir. Paralel
olan doğrular aynı denklik sınıfının elemanıdır.
UYARI
Aykırı ve kesişen doğruların doğrultuları farklıdır.
Doğru Parçası:
E
F
1. Bölüm
P
İki nokta ile bu noktalar arasında bulunan ve doğrudaş olan noktaların kümesine doğru parçası denir. Bu iki nokta doğru parçasının
uç noktalarıdır.
A
B
Bir doğru parçasının doğrultusu üzerinde bulunduğu doğrunun
doğrultusu ile aynıdır.
A
Uzayda Nokta, Doğru ve Düzlemler
5. Uzayda verilen üç düzlem bir doğru boyunca ikişer ikişer kesişebilir.
B
UYARI
Uç noktaları çakışan doğru parçaları birer nokta belirtir ve bütün
noktalar aynı denklik sınıfında bulunur.
Aykırı Doğru Parçaları:
İki doğru parçası, aykırı (paralel, kesişen, çakışan) iki doğru üzerinde ise bunlara aykırı (paralel, kesişen, çakışan) doğru parçaları
denir.
G
H
[AE] ile [HG] aykırı doğru parçala
rına, [AE] ile [BF] paralel doğru
parçalarına, [BF] ile [BC] kesişen
doğru parçalarına örnek olarak
verilebilir.
E
A
12
F
D
C
B
a. Vektörlerde Toplama-Çıkarma
1. Yönlü Doğru Parçası
Uzayda vektörlerde toplama işlemi, düzlemde uc uca ekleme yöntemi ile benzerdir.
Uzunluğu doğrultusu ve yönü olan doğru parçasına yönlü doğru
parçası denir. Başlangıç noktası A, bitim noktası B olan yönlü
H
H
G
G
"
v
$
doğru parçası AB biçiminde gösterilir.
B
E
"
u
"
v
F
D
C
A
B
F
G
" "
u–v
E
"
u
"
–v
H
G
D
Yönlü doğru parçaları üzerinde tanımlanan denklik (~) bağıntısı
"
u
" "
u+v
B
E
$
C
"
v
H
2. Vektör
$
D
A
A
E
F
F
D
C
"
u
C
$
$
“ AB + CD + AB ve CD nin doğrultuları, yönleri aynı ve uzunlukları eşit” şeklinde tanımlıdır. Yönlü doğru parçaları üzerinde tanımlanan denklik (~) bağıntısının her bir denklik sınıfına vektör denir.
B
A
A
B
$
$
6AB
@ denklik sınıfı genellikle AB
şeklinde ifade edilir.
"
u
H
F
"
v
"
v
"
v
D
C
$ $ $
u = HG = EF = AB
" $ $ $
v = EA = FB = GC
"
Uzayda vektörlerde skalerle çarpma işlemleri ve özellikleri düzlemdekine benzerdir.
H
A
"
u
G
B
F
E
K ∈ IR olmak üzere
K
D
$
$
AB = k.AP , k > 0
$
$
GC = k.CK , k < 0 dır.
C
A
B
P
★ Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
★ Başlangıç ve bitim noktası aynı olan yönlü doğru parçalarının
$
"
denklik sınıfına sıfır vektörü denir. 0 veya AA biçiminde gösterilir.
" "
★ Doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri farklı olan u ve v vek$
$
$ $
" "
törleri için u = – v dir. AB = –BA , CD = –DC gibi.
3. Vektörlerde İşlemler
H
E
S
"
w
"
t
L
D
A
G
K
C
N
"
u
M
Yandaki şekil iki tane birim
küpten oluşmuştur.
F
"
v
" " "
"
2 u + v – w – 2 t vektörünü
gösterelim.
B
Uzayda vektörlerde toplama ve skalerle çarpma işleminin özellikleri düzlemdeki işlemler ile benzerdir.
13
Uzayda Nokta, Doğru ve Düzlemler
"
" $
Uzayda bir A noktası ve bir u vektörü verildiğinde u = AB olacak
" $
şekilde tek bir B noktası, A ve B noktaları verildiğinde u = AB
"
olacak şekilde tek bir u vektörü vardır.
1. Bölüm
"
u
E
b. Vektörlerde Skalerle Çarpma
G
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
H.UZAYDA YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI VE VEKTÖR
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
H
G
K
UYARI
S
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
F
L
E
D
"+ "
"– 2t"
2u
v–w
"
2u
i.
Uzayda lineer bağımlı üç vektör düzlemseldir.
C
N
A
"
–w
"
w
"
v
M
B
"= a .u
"
"
w
1 + a2.v
"
v
"
u
P
H.UZAYDA LİNEER BAĞIMLI VE LİNEER BAĞIMSIZ
VEKTÖRLER
Uzayda, doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır. Yani biri
diğerinin reel katı olarak yazılabilir.
" "
" "
k ∈ R olmak üzere u = k v ise u ve v vektörleri lineer bağımlıdır.
H
G
"
u
E
" "
u = k.v
F
D
1. Bölüm
A
ii. Uzayda herhangi üçü aynı düzlemde bulunmayan dört vektör lineer bağımsız olamaz.
"
"+ a .v
"
"
s = a1.u
2 + a3.w
"
s
"
w
"
u
"
v
C
B
"
v
Uzayda, doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır yani
biri diğerinin reel katı olarak yazılamaz.
H
G
" "
"
"
iii. a ve a aynı doğrultuda olmayan iki vektör ve h ⊥ a, h ⊥ b
"
"
ise bu durumda h ⊥ (x. a + y . b ) dür.
F
E
Uzayda Nokta, Doğru ve Düzlemler
D
A
"
h
"
b
C
c"
B
O
"""
Uzayda u, v, w vektörleri verilsin.
"
"
"
w = a1. u + a2 v olacak şekilde a1, a2 ∈ R bulunabiliyorsa bu üç
vektöre lineer bağımlı, bulunamıyorsa lineer bağımsız vektörler
denir.
P
"
a
"
"
"
c = x. a + y. b
iv. A1, A2, A3 lineer bağımsız vektörler kümesi ve A1⊂ A2 ⊂ A3
ise
14
A1∪ A2 ∪ A3 kümesi de lineer bağımsızdır.
I. Uzayda doğrusal olmayan üç nokta düzlem belirtir.
II. Uzayda bir doğru ile dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
III. Uzayda aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
Çözüm:
I.
A)
d1
d 1 // d
d
d 2 // d
II.
4 & d 1 // d 2
d2
B)
d1
d1 // d2
B
Uzayda bir doğru ile
dışındaki bir nokta
bir düzlem belirtir.
E
d
A
d2
C)
C
Çözüm:
C
A
Doğrusal olmayan üç
nokta bir düzlem belirtir.
E
B
III.
Uzayda aykırı iki doğru
birden fazla düzlem belirtir.
1. Bölüm
d1
E
d1
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
1. Aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangilerinin doğru olduğuna bulalım.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
d2
D)
d2
d1
E)
Çakışık iki doğruyu içine alan sonsuz tane düzlem vardır.
d1
d2
2. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)Bir doğruya paralel iki doğru birbirine paraleldir.
B)Farklı paralel iki doğruya dik olan sonsuz sayıda dik doğru
çizilebilir.
C)Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
D)Çakışık iki doğruyu içine olan sonsuz tane düzlem vardır.
E)Uzayda paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerinede diktir.
Uzayda paralel olan iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine dik olmayabilir. Doğru cevap E dir.
15
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
d2
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
3. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
I. Farklı üç doğru ikişer ikişer farklı üç noktada kesişebilir.
II. Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
III. İkişer noktaları ortak olan iki doğru çakışıktır.
IV. Farklı üç doğrudan ikisi paralel olup diğeri bu doğruları
kesebilir.
Çözüm:
I.
Doğrusal olmayan farklı üç
noktadan bir
düzlem geçer.
B
A
C
E
A
II.
Düzlemin dışında
en az bir nokta vardır.
Çözüm:
I.
E
d1 ∩ d3 = {B}
A
d1 ∩ d2 = {A}
d1
d2 ∩ d3 = {C}
III.
d2
C
B
d1
C
B
Kesişen iki doğru
bir düzlem belirtir.
A
d2
Farklı üç doğru ikişer ikişer farklı üç noktada kesişebilir.
II.
A
B
1. Bölüm
III. d
1
A
B
IV.
d
farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
E
d2
E
İkişer noktaları ortak olan iki doğru çakışıktır.
d3
IV.
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
A
B
d1 // d2
d1
d1 ∩ d3 = {A}
d2 ∩ d3 = {B}
d2
Dolayısıyla I, II, III, IV önermeleri doğrudur.
4. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. Doğrusal olmayan farklı üç noktadan bir ve yalnız bir
düzlem geçer.
II. Düzlemin dışında en az bir nokta bulunur.
III. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
IV. Bir düzlem uzayı iki yarı uzaya ayırır.
16
yarı
uzay
yarı
uzay
Bir düzlem uzayı iki yarı uzaya ayırır. Dolayısıyla I, II, III,
IV önermesinden hepsi doğrudur.
5. R3 te bir doğru ve bir düzlem için aşağıdaki önermelerden
hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. Doğru düzlemin içinde bulunabilir.
II. Doğru düzleme dik olabilir.
III. Doğru düzleme paralel olabilir.
IV. Doğru düzlemi bir noktada kesebilir.
Çözüm:
I.
d
E
Doğru düzlemin
içinde bulunabilir.
II.
II.
A
E2
E1
E
Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir tek paralel düzlem
çizilebilir. II. önerme yanlıştır.
III.
d
Doğru düzleme
paralel olabilir.
III.
1
1
2
3
2
4
3
E
E
IV.
Doğru düzlemi bir
noktada kesebilir.
A
7
4
6
5
E
Farklı üç doğru düzlemi en az 4, en fazla 7 bölgeye ayırır. Dolayısıyla III. önerme doğrudur.
IV.
Aykırı iki doğru uzay belirtir.
IV. önerme yanlıştır.
I, II, IV önermeleri yanlış III.
önerme doğrudur.
E
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Doğru düzleme dik
olabilir.
d
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
1. Bölüm
I. Bir doğru bir düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara paraleldir.
II. Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir çok paralel düzlem çizilebilir.
III. Üç farklı doğru düzlemi en az 4 en fazla 7 bölgeye ayırır.
IV. Aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
Çözüm:
I.
7. R2 de bir düzlemi en az 5 bölgeye ayıran doğrular aynı düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır?
Çözüm:
n tane doğru düzlemi en az n + 1 bölgeye ayırır.
n + 1 = 5 & n = 4 tür.
n tane doğru düzlemi en fazla
n = 4 için
n. (n + 1)
+ 1 bölgeye ayırır.
2
4.5
+ 1 = 11 bölgeye ayırır.
2
d1
d2
E
d1 // E, d2 ∈ E dir. Fakat d1 ile d2 aykırı doğrulardır. Dolayısıyla I önermesi yanlıştır.
8. İki düzlem uzayı en çok a bölgeye, üç düzlem uzayı en çok b
bölgeye ayırdığına göre, a + b toplamı kaçtır?
17
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
6. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
Çözüm:
Çözüm:
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
2
3
4
4
5
3
d1 // d2
d3 // d4
d5, d6, d7, d8 doğrularının doğrultuları
farklı olduğundan
paralellik bağıntısına
göre 6 denklik sınıfına ayrılır.
1
2
1
7
d4
6
8
İki düzlem uzayı en çok 4 bölgeye, üç düzlem uzayı en çok 8
bölgeye ayırır.
d6
d7
d2
d1
d8
d3
d5
a = 4, b = 8 & a + b = 4 + 8 = 12 bulunur.
9.
H
E
Yandaki şekilde dikdörtgenler prizması verilmiştir.
G
F
D
1. Bölüm
Prizmanın kenarlarından geçen doğrular paralellik bağıntısına göre
kaç farklı denklik sınıfına ayrılır?
C
A
B
d7
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
d8
Çözüm:
n tane farklı düzlemin oluşturacağı arakesit doğrularının san
yısı d n dir. Oluşacak doğru sayısı A olsun.
2
A =f
Çözüm:
11. 5’i bir birine paralel, 4’ü bir doğru boyunca kesişen 12 düzlemin ençok kaç arakesit doğrusu vardır?
d12
d11
d6
d4
d3
d5
d9
d10
d2
d1
d1 // d2 // d3 // d4
d5 // d6 // d7 // d8
d9 // d10 // d11 // d12
olduğundan bu doğrular paralellik bağıntısına göre 3 denklik
sınıfına ayrılır.
A=
12
5
4
p – f p – f p+1
2
2
2
12.11 5.4 4.3
–
–
+1
2.1
2.1 2.1
A = 66 – 10 – 6 + 1
A = 51 arakesit doğrusu oluşur.
12.
C
D
d
B
A
G
10.
Yandaki şekilde kare dik piramit verilmiştir.
T
D
A
18
C
B
Buna göre pramidin kenarlarından geçen doğrular paralellik bağıntısına göre kaç
farklı denklik sınıfına ayrılır?
E
F
Şekilde uzayda bir d doğrusu
ve bunun dışında A, B, C, D,
E, F, G noktaları veriliyor. Bu
noktaların herhangi birinden
geçen ve d doğrusunu üzerinde bulunduran en fazla kaç
düzlem çizilebilir?
Çözüm:
Uzayda bir doğru ve dışında ki bir nokta bir düzlem belirttiğin7
den d doğrusunu içinde bulunduran düzlemlerin sayısı f p = 7
1
dir.
N
Çözüm:
Uzayda herhangi üçü doğrusal olmayan 3 nokta bir düzlem belirtir. Bu 7 farklı noktadan oluşan düzlem sayısı
7
7. 6 .5
f p=
= 35 tir. Fakat bunların 4’ü doğrusal olduğundan
3 . 2 .1
3
4
4. 3 . 2
düzlem oluşturmaz. f p =
= 4 tür.
3 . 2 .1
3
35 – 4 = 31 tane düzlem oluşur.
L
H
K
D
F
C
A
B
Çözüm:
N
M
G
H
K
E
$ $
$ $ $ $ $
AC – GA + 2LK = AC + CM + MH = AH
dır.
D
F
C
9
9.8.7
Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 nokta f p =
= 84
3.2.1
3
$ $ $
–GA / AG / CM ve
$ $
2LK / MH olduğundan
L
Çözüm:
$ $
$
Buna göre AC – GA + 2LK toplam vektörünü bulalım.
E
14. Uzayda 5 i düzlemsel olan farklı 9 nokta en çok kaç farklı
düzlem oluşturur?
Şekilde düzgün altıgen dik prizma verilmiştir.
M
G
16.
A
B
9
5
A = f p – f p + 1 = 84 – 10 + 1 = 75 farklı düzlem oluşur.
3
3
17.
H
"
u
P
G
H
F
E
D
C
Şekilde bir kenarı 1 birim olan küp
verilmiştir.
$ $
Buna göre AF + FX toplamı birim
vektör ise x noktaları hangi noktalar olabilir?
Çözüm:
G
H
F
E
D
A
D
C
M
"
v
A
L
B
" " "
Buna göre 2 u – v + w toplam vektörünü bulalım.
Çözüm:
B
A
F
"
w
Yandaki şekil iki
tane küpten oluşmuştur. Bu küpler
" " "
üzerinde u, v, w
vektörleri verilmiştir.
C
B
H
$ $ $
AF + FE = AE
$ $
"
AF + FB = AB
$ $ $
AF + FD = AD
P
"
2u
K
E
D
olduğundan bu koşulu sağlayan
noktalar E, B, D noktalarıdır.
F
L
"
w
" " "
GB = 2u – v + w dır.
C
M
"
–v
A
G
N
B
19
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
K
E
15.
G
N
1. Bölüm
farklı düzlem oluşturur. Fakat bu noktalardan 5 i aynı düzlemde olduğundan oluşan düzlemlerin sayısı A ise
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
13. Uzayda 4 ü doğrusal olan farklı 7 nokta en çok kaç farklı düzlem oluşturur?
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
18.
T
S
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
"
w
G
Uzayda lineer bağımlı üç vektör düzlemsel olduğundan bu
$
$
koşulu sağlayan vektörler EG ve AL vektörleridir.
"
u
C
B
E
F
D
Q
"
v
Çözüm:
Çözüm:
N
Yukarıdaki şekil 3 tane birim küpten oluşmuş ve bu küpler
"""
"
üzerinde u, v, w ve t vektörleri verilmiştir. |DQ| = |QE| dir.
"""
Buna göre t vektörünün u, v, w vektörlerinin lineer bileşimi
şeklinde yazılışını bulalım.
"
t
H
P
M
L
K
A
R
T
S
R
N
M
L
K
P
G
1. Bölüm
I. İki vektör lineer bağımlı ise doğrultuları aynıdır.
II. Üç vektör lineer bağımlı ise doğrultuları aynıdır veya
düzlemseldir.
III. Herhangi üç düzlemsel olmayan dört vektör lineer bağımlıdır.
Çözüm:
"
w
"
t
H
20. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
E
F
"
2v
A
B
C
D
" " " "
t = 3u + 2v + w
şeklinde yazılabilir.
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
19.
"
3u
a
H
G
K
"
u
D
"
v
N
E
A
II. Üç vektör lineer bağımlı ise;
"
b
"
a
"
b
C
L
M
" "
b = k.a
"
b
F
B
"
"
"
c = k1.a + k2.b dir.
III.
"
d
"
c
"
a
"
b
"
"
"
"
d = k1 a + k2 b + k3 c dir.
"
c
"
a
"
c
Yukarıdaki şekil 2 tane küpten oluşmuştur.
" "
Bu küpler üzerinde verilen u ve v vektörleri aşağıdaki vektörlerden kaç tanesi ile lineer bağımlıdır?
$
I. EG
$
II. AL
$
III. AG
$
IV. AN
$
V. BH
20
I. İki vektör lineer bağımlı ise doğrultuları aynıdır.
Dolayısıyla I, II, III önermeleri doğrudur.
4. R3 te aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
I. Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
II. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
II. Aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
III. Aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
III. Aykırı iki doğru uzay belirtir.
IV. Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.
IV. Aykırı iki doğrunun bulunduğu düzlemler kesişebilir.
I, II, IV
2. R3 te aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri yanlıştır?
I. Kesişen iki düzlemin arakesiti bir doğru parçasıdır.
II. Aykırı doğruların kesişim kümesi bir noktadır.
III. Düzleme paralel olan bir doğru düzlem üzerindeki tüm
doğrulara paralel olmayabilir.
IV. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bir de ortak
doğruları vardır.
III, IV
5. 5 doğru düzlemi en çok x bölgeye, 3 düzlem uzayı en çok y
bölgeye ayırıyorsa x + y toplamı kaçtır?
19
K
I, II
P
N
L
3. R3 te aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri yanlıştır?
I. Bir düzleme dik olan farklı iki doğru birbirine paraleldir.
II. Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir tek paralel doğru
çizilebilir.
III. Uzayda bir noktadan bir düzlem geçer.
IV. Bir doğru ve üzerindeki bir nokta bir düzlem belirtir.
II, III, IV
M
Yandaki şekilde düzgün beşgen
prizma verilmiştir. Prizmanın kenarlarından geçen doğrular paralellik bağıntısına göre kaç farklı denklik
sınıfına ayrılır?
E
D
A
B
C
6
21
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
6.
1. Bölüm
I. Aykırı iki doğru paralel olabilir.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
1. R3 te aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
7. 6 sı birbirine paralel, 7 si bir doğru boyunca kesişen 15 düzlemin en çok kaç arakesit doğrusu vardır?
70
8. Uzayda 6 sı doğrusal olan farklı 11 nokta ancak kaç farklı
düzlem oluşturur?
10. Uzayda 7 si düzlemsel olan farklı 13 nokta en çok kaç farklı
düzlem oluşturur?
252
11.
T
G
H
R
M
L
K
A
N
E
F
C
B
P
D
Yandaki şekil üç tane
küpten oluşmuştur.
Buna göre,
$ $ $
KR + GC + MA toplam
vektörü hangi vektör
olabilir?
1. Bölüm
145
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
9.
S
R
P
N
K
M
L
Yandaki şekilde düzgün altıgen bir
prizma verilmiştir.
$ $ $ $
Buna göre 2BC + AP + NL + PC
toplam vektörü nedir?
$
AB
12.
T
K
D
E
L
M
G
P
N
A
B
"
O
B
"
u
C
Q
"
v
E
F
C
A
22
R
"
t
H
F
S
"
w
D
Yandaki şekil üç tane
küpten oluşmuştur. Bu
" "
küpler üzerinde u, v,
" "
w, t vektörleri verilmiştir. |PQ| = |QE| dir.
"
Buna göre t vektörü"""
nün u, v, w vektörlerinin lineer bileşimi
şeklinde yazılışı nedir?
" " " "
t = u – 2v – w
1. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
1
A)Uzayda doğrusal olmayan üç nokta düzlem belirtir.
B)Uzayda kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
C)Uzayda bir doğru ile dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
D)Uzayda paralel iki doğru bir düzlem belirtir.
I. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
II. Çakışık iki doğruyu içine alan sonsuz tane düzlem vardır.
III. Üç nokta düzlem belirtir.
A) Yalnız I
E)Uzayda aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
2. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)Herhangi üçü doğrusal olmayan ve düzlemsel olmayan
dört noktadan dört düzlem geçer.
B)Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bir ortak doğruları da vardır.
C)Paralel düzlemler arasında kalan paralel doğru parçaları
birbirine eştir.
D)Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
E)Uzayda paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine
de diktir.
5.
I. Bir doğruya paralel iki doğru birbirine paraleldir.
II. Bir doğruya dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda dik
doğru çizilebilir.
III. Farklı paralel iki doğruya dik olan sonsuz sayıda dik
doğru çizilebilir.
R3 te yukarıdaki önermelerden hangisi yada hangileri
doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) II ve III
E) I, II ve III
A)Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen düzlem diğerini
de keser.
6. R3 te üç farklı düzlem için aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
C)Uzayda paralel iki doğrudan geçen, kesişen iki düzlemin
arakesiti bu doğrulara paraleldir.
D)Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen doğru diğerini de
keser.
II. Üçü birbirine paralel olabilir.
III. Üçü aykırı olabilir.
A) Yalnız I
E)Uzayda paralel iki düzlemden birinin içinde bulunan doğru
diğer düzleme paraleldir.
1) E
2) E
3) ?
I. Üçü bir noktada kesişebilir.
B) Yalnız II
D) I ve II
4) C
5) D
6) D
C) Yalnız III
E) II ve III
23
Sınama Adımı
3. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
B)Uzayda paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
4. Aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
1
10. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
7. Düzlemde aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A)Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.
A)Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bir ortak doğrusuda vardır.
B)Üç doğru kesişmeyebilir.
B)Bir düzleme dışındaki bir noktadan geçen bir tek paralel
düzlem çizilir.
C)Doğrusal olan üç noktadan bir doğru geçer.
D)Paralel olan iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini
kesmeyebilir.
C)Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerinide keser.
D)Bir doğru dik kesişen iki düzlemden birine dikse diğerine
paraleldir.
E)Üç doğru üç noktada ikişer ikişer kesişebilir.
E)Bir düzlemi dik kesen iki farklı düzlem paraleldir.
11. R3 te verilen aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
8. R2 de bir düzlemi en az 9 bölgeye ayıran doğrular aynı
düzlemi en çok kaç farklı bölgeye ayırır?
A) 37
B) 46
C) 56
D) 67
I. Üç düzlem bir noktada kesişebilir.
II. Üç düzlem paralel olabilir.
III. Üç düzlem aykırı olabilir.
IV. İki düzlem birbirine paralel olup üçüncü düzlem bunları
dik kesebilir.
A) I, II ve IV
E) 76
B) I ve II
D) I, II ve III
C) I ve III
E) I, II, III ve IV
Sınama Adımı
12. R3 te verilen aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
9. R3 te birbirine eşit uzaklıkta en fazla kaç nokta vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
I. İki düzlem uzayı en fazla 4 bölgeye ayırır.
II. Bir doğru parçası bir düzleme paralelse dik izdüşümünün
uzunluğu kendi uzunluğuna eşittir.
III. Dik kesişen iki düzlemden birinin üzerinde bulunan bir
parabolün diğer düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir doğrudur.
E) 6
A) I ve II
B) I ve III
D) Yalnız I
24
7) D
8) A
9) D
10) E
11) A
12) E
C) Yalnız III
E) I, II ve III
A) 22
B) 29
C) 34
D) 37
4. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)Uzayda paralel iki doğru bir düzlem belirtir.
E) 45
B)Uzayda doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.
C)Uzayda bir doğru ile dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
D)Uzayda kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
E)Uzayda aykırı iki doğru bir düzlem belirtir.
2. Aynı düzlemde bulunan üç farklı doğru bir düzlemi en
fazla x bölgeye, uzayda bulunan üç farklı düzlem uzayı
en fazla y bölgeye ayırdığına göre x + y toplamı kaçtır?
A) 15
B) 17
C) 19
D) 20
E) 22
5. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi veya hangileri doğrudur?
I. İki düzlem uzayı en az 3, en çok 4 bölgeye ayırır.
II. Üç düzlem uzayı en çok 8 bölgeye ayırır.
III. Uzayda paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine dik olmayabilir.
IV. Bir düzleme eşit uzaklıktaki noktalar kümesi bu düzleme
paralel olan iki düzlemdir.
A) I ve II
B) I, II ve III
D) I, III ve IV
A)Düzlemde iki doğrunun iki ortak noktası varsa bu doğrular
çakışıktır.
B)Düzlemde iki doğrunun yalnız bir ortak noktası varsa bu
doğrular birbirini keser.
C)Düzlemde bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz sayıda dikme çizilebilir.
D)Düzlemde iki doğrunun ortak noktası yoksa bu doğrular
paraleldir.
2) A
3) C
E) I, II ve IV
6. Aşağıda verilen önermelerden hangisi veya hangileri yanlıştır?
I. İki düzlem paralel ise ara kesitleri boş kümedir.
II. Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de
diktir.
III. Dik kesişen iki düzlem üzerindeki tüm doğrular dik kesişir.
IV. Bir düzleme dik olan bir doğrudan geçen yalnız bir dik
düzlem vardır.
A) I ve II
E)Düzlemde bir doğru, iki paralel doğrudan herhangi birine
paralel ise digerinede paraleldir.
1) B
C) II ve IV
B) I ve III
D) I, III ve IV
4) E
5) E
6) C
C) III ve IV
E) II, III ve IV
25
Sınama Adımı
3. Düzlemde aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
1. R2 de verilen 6 doğru bulunduğu düzlemi en az x, en fazla
y bölgeye ayırdığına göre x + y toplamı kaçtır?
2
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
7.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
II. Doğru
III. Düzlem
IV. Paralel yüz
V. Küre
10. I. Birbirine dik olan iki düzlemden birine dik olan düzlem
diğerine daima paraleldir.
I. Nokta
Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri üç boyutludur?
A) Yalnız III
2
B) IV ve V
D) I ve III
C) I, II ve III
II. Paralel iki düzlemin herhangi birine ait olan bir doğru
diğer düzlemin üzerindeki bütün doğrulara paraleldir.
III. İki düzlemin ortak bir noktası varsa ortak bir doğrusuda
vardır.
R3 te yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri
yanlıştır?
E) I ve V
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
8. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
I. Bir noktadan birbirine dik olan üç farklı doğru çizilebilir.
II. Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel
doğru çizilebilir.
III. Aykırı iki doğruya paralel olan bir doğru vardır.
IV. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir dikme çizilebilir.
A) Yalnız I
B) Yalnız IV
D) I ve IV
C) I ve II
E) I, II ve III
11. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)Bir doğruya üzerindeki bir noktadan bir dik doğru çizilebilir.
B)Paralel iki doğru yada kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
C)Düzlemsel olmayan farklı 4 nokta uzay belirtir.
D)Paralel iki düzlem üzerindeki tüm doğrular birbirine paraleldir.
C) I, II ve IV
E) II ve III
E)Üç düzlem birbirine dik ise arakesit doğruları bir noktada
kesişir.
Sınama Adımı
9.
I. Doğru ve düzlem paralel ise ortak noktaları ya boş küme
yada bir doğrudur.
II. Doğru ile düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğru
düzlemi bu noktada deler.
III. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine dik
olmayabilir.
B)Bir düzlem ve bu düzleme paralel olan bir doğru uzay belirtir.
R3 te yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri
doğrudur?
C)Bir düzleme dik olan doğru düzlemdeki her doğruya dik
olmayabilir.
A) Yalnız I
D)Kesişen iki doğru farklı düzlemlerde bulunabilir.
D) I ve III
26
B) Yalnız II
12. R3 te aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)Aynı doğruya dik olan iki düzlem birbirine paraleldir.
C) I ve II
E)İki doğru kesişmiyorsa daima paraleldir.
E) I, II ve III
7) B
8) D
9) C
10) C
11) D
12) E
Prizmanın kenarlarından geçen doğrular paralellik bağıntısına göre kaç farklı
denklik sınıfına ayrılır?
T
Piramidin [BC] kenarının konumu ile seçeneklerde verilen
kenarların hangisinin konumu
hakkında verilen bilgi yanlıştır?
D
C
B
A
A) 4
B) 6
C) 7
D) 11
E) 14
A) [AD] ile paraleldir.
B) [TB] ile kesişir.
C) [TA] ile aykırıdır.
D) [TC] ile aykırıdır.
E) [DC] ile kesişir.
5. Yandaki şekilde kare dik piramit
verilmiştir.
2. Yandaki şekilde düzgün altıgen dik
prizma verilmiştir.
T
Buna göre aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
C
D
Prizmanın kenarlarından geçen
doğrular paralellik bağıntısına göre
kaç farklı denklik sınıfına ayrılır?
A)AB // DC
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
4. Yandaki şekilde kare dik piramit
verilmiştir.
1. Yandaki, şekilde düzgün beşgen dik
prizma verilmiştir.
3
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
B
A
B)AB ve TC doğruları aykırıdır.
C)BC ve TB doğruları aykırıdır.
D)AD ve DC doğruları kesişendir.
E)Şekilde 5 düzlem bulunmaktadır.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
6. Yandaki şekilde dikdörtgenler
prizması verilmiştir.
3. Yandaki şekilde düzgün altıgen dik
piramit verilmiştir.
R
D
A
C
P
B
A)A, D, R noktaları düzlemseldir.
D) 9
1) B
C)ABCD düzlemi ve BCGF düzlemlerinin ara kesiti bir doğrudur.
C
A
C) 7
B)D, P, C noktaları düzlemseldir.
D
E
F
B) 5
F
E
T
Buna göre, piramidin kenarları paralellik bağıntısına göre kaç farklı
denklik sınıfına ayrılır?
A) 4
Buna göre aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
2) B
B
D)B, C, H, E noktaları düzlemseldir.
E) 14
E)A, P, R noktaları doğrusaldır.
3) D
4) D
5) C
6) E
27
Sınama Adımı
G
H
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
7. Yandaki şekilde dikdörtgenler prizması verilmiştir.
Buna göre bu dikdörtgenin köşe noktalarından
geçen kaç farklı doğru
çizilebilir?
G
H
E
B) 16
10. Uzayda 6 sı doğrusal olan farklı 10 nokta en çok kaç farklı
düzlem oluşturur?
A) 80
F
D
B) 84
C) 96
D) 100
E) 120
C
A
A) 14
3
B
C) 22
D) 28
E) 32
11. Uzayda 8’i düzlemsel olan farklı 12 nokta en çok kaç farklı
düzlem oluşturur?
A) 164
8. 4 ü birbirine paralel, 3 ü bir doğru boyunca kesişen 11
düzlemin en çok kaç arakesit doğrusu vardır?
A) 47
B) 43
C) 36
Sınama Adımı
9. Şekilde uzayda bir d doğrusu
ve bunun dışında A, B, C,
D, E, F noktaları veriliyor.
Bu noktaların herhangi
birinden geçen ve d doğrusunu üzerinde bulunduran en fazla kaç düzlem
çizilebilir?
A) 2
28
B) 4
D) 34
C
D) 256
D
d
E) 281
12. Yandaki şekilde bir küp verilmiştir.
A
F
E
D) 8
7) D
C) 220
E) 29
B
C) 6
B) 165
8) A
E) 10
9) C
Buna göre, bu küpte birbirine
paralel olan düzlem sayısı m,
kenarların paralellik bağıntısına göre oluşturduğu farklı
denklik sınıfı sayısı n olduğuna
göre m + n toplamı kaçtır?
A) 6
10) D
B) 8
11) B
12) A
C) 10
G
H
E
F
D
A
C
B
D) 12
E) 20
$ $
Buna göre, AC + CX toplamı
birim vektör ise x noktası aşağıdaki noktalardan hangisi
olabilir?
G
H
E
F
B) D, H, F
D) F, G, H
C
E
F
D
G
H
F
D
$
C) AG
$
E) BG
5. Şekilde bir küp ve üzerinde
" $
u = AB vektörü verilmiştir.
" "
Buna göre u + v = 0 olduğuna
"
göre v vektörü aşağıdakilerden hangisi olamaz?
E
F
D
6. Şekilde eşkenar üçgen dik prizma
" "
üzerinde u ve v vektörleri verilmiştir.
" "
Buna göre, u + v vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
C
D
C
A
A
B
C) 4
D) 5
1) C
$
D) CE E) 6
2) C
$
B) BC $
A) DF lir?
B) 3
E
F
den farklı kaç tane yönlü
A) 2
D
"
v
E
noktaları küpün köşeleri olan
$
$
ve EF vektörüne eş olan EF
doğru parçası oluşturulabi-
F
3) B
4) A
5) E
6) D
B
"
u
$
C) AE
$
E) AF
29
Sınama Adımı
Buna göre, başlangıç ve bitiş
G
$
C) GH
$
E) HG
$
D) FE H
B
"
u
$
B) CD $
A) BA $
C) DE
$
3. Şekilde küp ve üzerinde EF
vektörü verilmiştir.
B
$
E) FG
$
D) EF C
C
A
$
B) CD G
H
A
$
A) BC C
B
$
B) CH $
A) AF $
D) AH E
G
H
A
E) E, H, G
Buna göre, aşağıdakilerden
hangisi birim vektör olamaz?
$ $
Buna göre EF + CG vektörü
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B
C) B, D, E
2. Şekilde bir kenarı 1 birim olan
küp verilmiştir.
D
A
A) B, D, G
$
4. Şekilde bir küp ve üzerinde EF
$
ve CG vektörleri verilmiştir.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
1. Şekilde bir kenarı 1 birim olan
küp verilmiştir.
4
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
7. Şekilde düzgün altıgen dik prizma ve
Eı
" "
üzerinde u ve v vektörleri verilmiştir.
Fı
" " " $
u + v + x = A ı B olduğuna göre,
ı
A
x vektörü aşağıdakilerin hangisi
olamaz?
10. I. Doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.
Dı
Cı
"
u
Bı
"
v
E
C)
$
D) CF II. Lineer bağımlı olan iki vektörün doğrultuları aynıdır.
III. Herhangi üçü düzlemsel olmayan dört vektör lineer bağımlıdır.
Uzayda başlangıç noktaları aynı olan vektörler için yukarıdaki önermelerden hangisi yada hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) I ve III
C
C) I ve II
E) I, II ve III
B
A
$
B) CB D
F
$
A) EF 4
$
AD
2
E) EıFı
11. I. Üç vektör düzlemseldir.
8. Şekilde dikdörtgenler priz"""
ması ve üzerinde u, v, w
vektörleri verilmiştir.
" " "
Buna göre, u – v + w
vektörü aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
Dı
Cı
"
w
Aı
B
D
II. Herhangi bir vektör diğer iki vektörün lineer bileşimi olarak yazılabilir.
III. Üç vektörün doğrultuları aynıdır.
R3 te lineer bağımlı üç vektör için yukarıdaki önermelerin
hangisi ya da hangileri doğru olabilir?
C
A) Yalnız I
"
u
A
B) Yalnız II
D) II ve III
B
$
B) C ı Dı $
A) AC "
v
ı
C) I ve II
E) I, II ve III
$
C) AD
$
E) BC ı
$
D) BD Sınama Adımı
9. Şekilde dikdörtgenler priz""
ması ve üzerinde u, v vektörleri verilmiştir.
" " " "
u + v + w = 0 olduğuna
"
göre w vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Dı
Cı
"
u
A
ı
B
C
"
v
A
ı
D
12. Şekilde kare dik prizma verilmiştir.
T
$ $ $
Buna göre AT – CT – BC vektörünün eşiti aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
D
B
B
A
$
B) AC ı $
A) AB $
D) BD 30
C
$
C) CD ı
$
A) DC $
E) BC
7) D
$
B) AD $
D) AC 8) A
9) B
10) D
11) E
12) A
$
C) TD
$
E) BD
Buna göre aşağıdakiler"
den hangisi u vektörü ile
lineer bağımlıdır?
E
D
"
u
A
C
B
$
B) BC $
A) NM K
H
G
F
L
M
N
$
C) EL
$
D) DM 4. Yandaki şekil iki tane küpten
oluşmuştur.
"
Bu küpler üzerinde u ve
"
v vektörleri verilmiştir.
" " "
2 u + v – w vektörü birim
"
vektör olduğuna göre, w
vektörü aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
$
A) HK $
E) HL
2. Yandaki şekilde kare dik prizma
""" "
ve bu prizma üzerinde u, v, w, t
vektörleri veriliyor.
"
" "
Buna göre, t vektörünün u, v,
"
w vektörlerinin lineer bileşimi
şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
N
G
E
F
F
"
t
"
w
D
D
C
B
$
B) NM Buna göre
$
C) ED
$
E) BC
E
ı
D
ı
Cı
Fı
$
EB $
+ F ı D ı toplam vek2
Bı
ı
A
törü aşağıdakilerden hangisidir?
C
K
E
"
u
A
5. Yandaki şekilde düzgün altıgen dik
$
prizma ve bu prizma üzerinde F ı Dı
$
ve EB vektörleri verilmiştir.
L
"
v
H
G
$
D) MG H
M
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
1. Yandaki şekil iki tane küpten
oluşmuştur. Bu küpler üze"
rinde u vektörü veriliyor.
5
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
D
E
"
v
"
u
A
" " "
A) u + v + w
" " "
C) u + 2 v – w
$
A) AL F
"
u
A
L
K
D
C
$
C) KN
$
E) CL
1) D
2) A
$
B) AD 6. Yandaki şekil 3 tane
birim küpten oluşmuş
ve bu küpler üzerinde
"" "
v, u, w vektörleri verilmiştir.
"
v
B
$
C) FC
$
E) A ı Cı
$
D) FB E
$
B) BM $
D) GD $
A) AB M
H
B
A
3) C
4) D
T
S
"
w
L
K
H
R
G
M
P
N
F
"
v
Buna göre w vektö" "
A "
D
C
u B
rünün u ve w vektörlerinin lineer bileşimi
şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
" "
" "
" "
A) u + v
B) 2 u + v
C) 2 u – v
" "
" "
D) 2 u + 3 v
E) u + 2 v
5) C
6) B
31
E
Sınama Adımı
Buna göre aşağıdakilerden
"
"
hangisi u ve v vektörleri
ile lineer bağımlıdır?
N
C
F
" " "
B) 2 u + v – w
" " "
D) u + v – w
" " "
E) u + v + 2 w
3. Yandaki şekil iki tane küpten
oluşmuştur. Bu küpler üze"
"
rinde u ve v vektörleri veril- G
miştir.
B
ÜNİTE – 1
SINAMA ADIMI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
7. Yandaki şekil 3 tane birim
T
S
R
P
küpten oluşmuş ve bu
" " "
"
küpler üzerinde a, b, c,
"
d L
N
M
b
K
"
d vektörleri verilmiştir.
G
F
H
"
E
Buna göre, d vektö"
c
" " "
rünün a, b, c vektörD
C
A "
a B
lerinin lineer bileşimi
şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
" " "
" " "
" " "
A) 3 a + b – c
B) 2 a + b + c
C) a + 2 b – c
" " "
"
"
D) a – b + 2 c
E) a – 2b + 3 c
1
10. Yandaki şekil 4 tane küpten
oluşmuş ve bu küpler üze"""
rinde a, b, c vektörleri verilmiştir.
"
" "
Buna göre a – 2 b – c
vektörü aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
Z
"
2a " "
+ b + c
A)
3
D)
S
"
c
"
d
"
b
R
P
" "
" 2b c
C) a –
+
5
3
"
"
" 2b c
E) a +
+
5
3
G
Sınama Adımı
L
"
a
B
A
"
b
E
F
"
c
$
B) EC "
$
$
" b "
| NV | = | VD | olduğuna göre 2 a – + c vektörü aşağıda3
kilerden hangisi olabilir?
$
B) KL $
C) AR
$
E) AD
Buna göre aşağıdakilerden
hangisi birim vektör olamaz?
E
F
C
A
$
B) HG $
A) AB $
D) GC 9) C
G
H
D
$
E) FL
8) B
D
D
$
C) BM
7) A
E
Yandaki şekil 3 tane küpten oluşmuş ve bu küpler üzerinde
"""
a, b, c vektörleri verilmiştir.
C
B
V
C
12. Şekilde bir kenar uzunluğu 1 birim
olan bir küp verilmiştir.
K
H
F
"
a
$
A) AE M
N
N
M
H
A
"
b
"
G
" " c
a–b+
vektörü aşağı2
32
C
B
$
C) KM
L
K
"
c
9. Yandaki şekil iki tane küpten
oluşmuştur.
$
D) HC "
a
D
$
E) AT
T
"
a
" " "
a b c
– + 5 3 2
$
A) AE E
" " "
–a + b + c
B)
5
dakilerden hangisi olabilir?
"
b
M
F
$
D) LM N
L
K
$
B) KV 11.
U
P
R
$
D) AD 8. Yandaki şekil birim küplerden
oluşmuş ve bu küpler üze""""
rinde a, b, c, d vektörleri verilmiştir.
"
"
Buna göre d vektörünün a,
" "
b, c vektörlerinin lineer bileşimi aşağıdakilerden hangisidir?
V
T
S
A
$
A) AE Y
"
c
10) E
11) A
12) C
B
$
C) AC
$
E) AE
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
UZAYDA DİK KOORDİNAT
2
EKSENLERİ VE ANALİTİK UZAY
Uzayda, bir O başlangıç
noktası (orijin) üzerinde
birbirine dik olan üç sayı
doğrusunun oluşturduğu
sisteme dik koordinat sistemi denir. Sayı doğrularının her birine dik koordinat eksenleri, koordinat
sisteminin oluşturduğu
uzaya analitik uzay denir.
yOz düzleminde x = 0, yani noktanın apsisi sıfırdır.
z
z(kod)
xOz düzleminde y = 0, yani noktanın ordinatı sıfırdır.
P(x,y,z)
xOy düzleminde z = 0, yani noktanın kodu sıfırdır.
y(ordinat)
y
O
ANALİTİK UZAYDA İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
Uzayda A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2) noktaları verilsin.
x(apsis)
x
z
R3 = {(x, y, z) ⏐ x, y, z ∈ R} kümesi ile uzayın bütün noktaları
birbirine eşlenir.
z2
Uzayda her P noktası P(x, y, z) şeklinde gösterilir.
z1
P(x, y, z) noktasında;
x → apsis
A
z2–z1
y1 C
O
y → ordinat
x2
z
x
x=0
yOz düzlemi
E
G y2–y1
F
&
EGF ’de pisagor uygulanırsa;
y
O(0,0,0)
z=0
xOy düzlemi
xO
y
x
2
EF
= ^x 2 – x 1h2 + ^y 2 – y 1h2
& EF = ^x 2 – x 1h2 + ^y 2 – y 1h2
&
ABC ’de pisagor uygulanırsa;
⎜AB⎜2 = ⎜AC⎜2 + ⎜BC⎜2, ⎜AC⎜ = ⎜EF⎜ olduğundan
z
B(0,y,z)
⎜AB⎜2 = ⎜EF⎜2 + ⎜BC⎜2
EF = ^x 2 – x 1h2 + ^y 2 – y 1h2
C(x,0,z)
ve ⎜BC⎜ = z2 – z1 eşitlikleri ya-
zılırsa
y
⎜AB⎜2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 elde edilir.
O(0,0,0)
x
A(x,y,0)
UYARI
P(x, y, z) noktasının orijine olan uzaklığı OP =
x2 + y2 + z2
dir.
33
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
y=
dü 0
zle
m
i
z
x2–x1
y2
2. Bölüm
x1
z → kod olarak adlandırılır.
x ve y eksenleri içine alan
xOy y ve z eksenlerini
içine alan yOz x ve z eksenlerini içine alan xOz
düzlemine koordinat düzlemleri denir.
B
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
BÖLÜM
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
BİR DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTASININ
KOORDİNATLARI
^x – ah2 + ^y – bh2 + ^z – ch2 = r dir.
MP = r ise
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa
z
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 elde edilir. Bu eşitlikteki parantezler açılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa;
z2
B
z0
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – r2 = 0 olur.
C
–2a = D, –2b = E, –2c = F, a2 + b2 + c2 – r2 = G yazılırsa;
z1
A
O
y1
y0
y2
y
x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 genel küre denklemi elde edilir.
Genel küre denkleminde
x1
x0
A′
C′
x2
B′
x
–2a = D & a =
–D
2
–2b = E & b =
–E
2
–2c = F & c =
–F
olduğundan küre merkezinin koordinatları
2
Uzayda A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2) noktaları verilsin. [AB] nin
orta noktasının koordinatları C(x0, y0, z0) olsun.
[AB] nin xOy düzlemi üzerindeki dik izdüşümü [A′B′] dır. C′
noktasının koordinatları
Cl b
x1 + x2 y1 + y2
,
, 0l dır.
2
2
yamuğunda [CC′] orta taban olduğundan CCl =
2. Bölüm
dir.
CCl =
AA′B′B
AA l + BBl
2
z1 + z2
olur.
2
–D –E –F
,
, l olur.
2 2 2
–D
–E
–F
yazıa2 + b2 + c2 – r2 = G eşitliğinde a =
, b=
, c=
2
2
2
lırsa;
Sonuç olarak A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) noktalarını birleştiren [AB]
nın orta noktasının koordinatları C(x0, y0, z0) noktası ise;
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
x0 =
M ^ a , b, c h = M b
D2 E2 F2 2
+
+
– r = G olur. İfadeyi düzenlersek
4
4
4
4r2 = D2 + E2 + F2 – 4G & 2r =
x1 + x2
y + y2
z + z2
, y0 = 1
, z0 = 1
dir.
2
2
2
r=
D 2 + E 2 + F 2 – 4G ve
1
D 2 + E 2 + F 2 – 4G elde edilir.
2
3 = D2 + E2 + F2 – 4G olsun.
KÜRENİN ANALİTİK İNCELENMESİ
3 > 0 ise küre belirtir.
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yerine küre denir. Sabit nokta kürenin merkezi, sabit
uzaklık kürenin yarı çapıdır.
3 = 0 ise nokta belirtir.
3 < 0 ise küre belirtmez.
z
P(x,y,z)
UYARI
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 denklemi ile verilen küre
M(a,b,c)
y
O
yOz düzlemine teğet ise r = ⎪a⎪
xOz düzlemine teğet ise r = ⎪b⎪
xOy düzlemine teğet ise r = ⎪c⎪ dir.
x
34
z
z
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
ETK‹NL‹K
y
x
x
r = lal
r = lbl
z
y
x
r = lcl
Merkezil Küre
z
r
x
y
2. Bölüm
r
Merkezi M(0, 0, 0) yarıçapı r olan küreye merkezil
küre denir. Denklemi
x2 + y2 + z2 = r2 dir.
ETK‹NL‹K
r
z
1
1
x
1
Merkezi M(0, 0, 0) yarıçapı 1 birim olan küreye
birim küre denir. Denklemi
y
x2 + y2 + z2 = 1 dir.
C ^–2, 1, 3h = b
m + 1 + 7m – 3 n + n + 2 k – 2 + 3k – 6
,
,
l
2
2
2
C(–2, 1, 3) = (4m – 1, n + 1, 2k – 4) eşitliğinden
4m – 1 = –2 & m = –
1
4
n + 1 = 1& n = 0
2k – 4 = 3 & k =
m+n+k = –
=
7
2
1
7
+0+
4
2
–1 + 0 + 14 13
bulunur.
=
4
4
35
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
A(m + 1, n, k – 2) ve B(7m – 3, n + 2, 3k – 6) noktalarının
belirttiği doğru parçasının orta noktası C(–2, 1, 3) olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulalım.
Birim Küre
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
y
x2 + y2 + z2 + (m + 1)x + my – 2z – 3 = 0 ile verilen denklemin bir
küre belirttiğini gösteriniz.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
1.
Aşağıda verilen noktaları analitik uzayda gösterelim.
3.
A(2, k, 3) ve B(–1, 5, –1)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
a) A(1, 2, 3)
b) B(–1, –3, 4)
noktaları arasındaki uzaklık
c) C(4, 0, 3)
d) D(0, 3, 1)
k nın alabileceği değerleri bulalım.
e) E(–2, 3, 0)
f) F(0, 0, 2)
Çözüm:
89 birim olduğuna göre,
BA = ^x 2 – x 1h2 + ^y 2 – y 1h2 + ^z 2 – z 1h2
Çözüm:
89 = ^–1 – 2h2 + ^5 – kh2 + ^–1 – 3h2
89 = ^–3h2 + ^5 – kh2 + ^–4h2
9 + ^5 – kh2 + 16 & 89 = 25 + ^5 – kh2
89 =
89 – 25 = ^5 – kh2
64 = ^5 – kh2 & 5 – k = 8
v 5 – k = –8
k = –3 v k = 13
4.
bulunur.
A(2, 3, 0), B(6, 3, 0), C(2, 7, 0), D(2, 7, 4)
noktaları uzayda tabanı dikdörtgen olan bir prizmanın dört
köşesidir.
Buna göre bu prizmanın ⎪AC⎪ yüz köşegeninin ve ⎪AD⎪ cisim
köşegeninin uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
2. Bölüm
z
D(2,7,4)
3
7
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
B(2,3,0)
2
y
C(2,7,0)
6
x
A(6,3,0)
⎪AB⎪ = 4 birim
2.
A(–1, 2, 3) ve B(4, –1, 7)
⎪BC⎪ = 4 birim
noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
⎪CD⎪ = 4 birim dir.
Buradan ⎪AC⎪2 = ⎪AB⎪2 + ⎪BC⎪2
Çözüm:
AB = ^x 2 – x 1h2 + ^y 2 – y 1h2 + ^z 2 – z 1h2 dir.
x1 = –1, y1 = 2, z1 = 3 ve x2 = 4, y2 = –1, z2 = 7
olduğundan
AB = ^4 – ^–1hh2 + ^–1 – 2h2 + ^7 – 3h2
AB =
36
5 2 + ^–3h2 + 4 2 = 25 + 9 + 16 = 50 = 5 2 br dir.
AC =
AC =
AB
2
+ BC
2
4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 birim
bulunur.
⎪AD⎪2 = ⎪AC⎪2 + ⎪DC⎪2 olduğundan
⎪AD⎪2 = ^4 2 h + 4 2
2
AD = 32 + 16 = 48 = 4 3 birim bulunur.
5.
P(–6, 2, k – 3) noktasının orijine olan uzaklığı 7 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulalım.
8.
A(k – 2, –1, m + 3) ve B(2, n – 7, –2) noktaları veriliyor.
Çözüm:
k.m – n farkını bulalım.
O(0, 0, 0) ve P(–6, 2, k – 3) noktaları arasındaki uzaklık
Çözüm:
⎪OP⎪ = 7 dir.
B(2, n–7 ,–2)
^–6 – 0h2 + ^2 – 0h2 + ^k – 3 – 0h2 = 7
C(–1, 3, –5)
^–6h2 + 2 2 + ^k – 3h2 = 7 & 36 + 4 + ^k – 3h2 = 7
& 40 + ^k – 3h2 = 49
A(k–2, –1, m+3)
(k – 3)2 = 9 ⇒ k – 3 = 3 v k – 3 = –3 olmalıdır.
6.
2+k –2
& k = –2
2
n–7–1
6=
& n = 20
2
m+3–2
–5 =
& m = –11
2
Buradan k = 6 v k = 0 bulunur.
–1 =
Uzayda A(1, –4, 12) noktasından 13 birim uzaklıkta ve x
ekseni üzerinde bulunan noktaları bulalım.
bulunur. Buradan k.m – n = –2.(–11) – 20 = 22 – 20 = 2 dir.
9.
Çözüm:
x ekseninde bulunan noktalar P(k, 0, 0) şeklinde olduğundan,
AP = ^k – 1h2 + ^0 – ^–4hh2 + ^0 – 12h2
13 = ^k – 1h2 + 4 2 + 12 2
Merkezi M(2, –1, 3) ve yarıçapı 4 birim olan kürenin denklemini yazalım.
Çözüm:
Merkezi M(a, b, c), yarıçapı r birim olan kürenin denklemi
2. Bölüm
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 dir.
169 = ^k – 1h + 16 + 144 & ^k – 1h = 9
Burada istenen kürenin denklemi
⇒ k – 1 = 3 v k – 1 = –3
(x – 2)2 + (y – (–1))2 + (z – 3)2 = 42
Buradan k = 4 v k = –2 bulunur.
(x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 16 bulunur.
2
2
A(–4, 0, 5) ve B(–2, 4, –13) noktaları veriliyor.
Çözüm:
K(1,–4,6)
[AB] nın orta noktasının koordinatları C(a, b, c) olduğuna göre;
a + b + c toplamını bulalım.
Çözüm:
M(–2,0,1)
B(–2,4,–13)
C(a,b,c)
A(–4,0,5)
–4 – 2
= –3
2
0+4
b=
=2
2
5 – 13
c=
= –4 bulunur.
2
a=
Buradan a + b + c = (–3) + 2 + (–4) = –5 bulunur.
⎪MK⎪ = r olduğundan,
^–2 – 1h2 + ^0 – ^–4hh2 + ^1 – 6h2 = MK = r
&
32 + 42 + 52 = r
& 50 = 5 2 = r dir.
Merkezi M(–2, 0, 1) yarıçapı 5 2 olan kürenin denklemi
^x – ^–2hh2 + ^y – 0h2 + ^z – 1h2 = ^5 2 h
2
^x + 2h2 + y 2 + ^z – 1h2 = 50 bulunur.
37
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
10. Merkezi (–2, 0, 1) olan ve K(1, –4, 6) noktasından geçen kürenin denklemini bulalım.
7.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
[AB] nın orta noktası C(–1, 6, –5) olduğuna göre,
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
11. Merkezi M(3, 4, –5) olan ve yOz düzlemine teğet olan kürenin
denklemini bulalım.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Çözüm:
13. Merkezi M(1, 2, 4) yarıçapı r = 6 olan kürenin xOy düzlemi ile
arakesiti olan çemberin yarıçapını bulalım.
Çözüm:
z
z
4
y
3
x
y
–5
M
3
x
yOz düzlemine teğet olduğundan r = ⎪3⎪ = 3 tür.
Çember xOy düzleminde olduğundan z = 0 dır.
Merkezi M(3, 4, –5) yarıçapı 3 birim olan kürenin denklemi
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 62
(x – 3)2 + (y – 4)2 + (z + 5)2 = 32
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (0 – 4)2 = 36
⇒ (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z + 5)2 = 9 bulunur.
(x – 1)2 + (y – 2)2 + 16 = 36
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 20 çember denklemi elde edilir.
2. Bölüm
Buradan çemberin yarıçapı r 2 = 20 & r = 2 5
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
12. P(1, 1, 2) noktasından geçen ve koordinat düzlemlerine teğet
olan kürenin denklemlerini bulalım.
bulunur.
14. Uzayda denklemi
x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0 olan kürenin merkezinin
koordinatlarını ve yarıçapının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
Küre koordinat düzlemlerine teğet ise merkezi M(a, a, a)
şeklinde olmalıdır. Kürenin yarıçapı a birim olacağından
MP = r & ^a – 1h2 + ^a – 1h2 + ^ a – 2h2 = a 2
& a 2 – 2a + 1 + a 2 – 2a + 1 + a 2 – 4a + 4 = a 2
& 2a 2 – 8a + 6 = 0
& a 2 – 4a + 3 = 0
Denklemi x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 olan kürenin
merkezi M b
2 –4 6
–D –E –F
,
, l noktasıdır. Buradan M b , , l
2 2 2
2 2 2
olan merkez koordinatları M(1, –2, 3) bulunur.
Kürenin yarıçapının uzunluğu r =
& ^a – 3h ^a – 1h = 0
a = 3 v a = 1 bulunur. Yani P(1, 1, 2) noktasından
geçen ve koordinat düzlemlerine teğet iki küre bulunmaktadır
ve denklemleri (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 1 ve
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 9 dur.
38
Çözüm:
1
. D 2 + E 2 + F 2 – 4G
2
olduğundan
r=
1
1
. ^–2h2 + ^4h2 + ^–6h2 – 4.^–2h = . 4 + 16 + 36 + 8
2
2
r = 4 birim bulunur.
15. Uzayda x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + k = 0 denklemi nokta belirttiğine göre k değerini bulalım.
z2
+
+
+ Dx + Ey + Fz + G = 0 ifadesi bir nokta belirtiyorsa r = 0 demektir.
r=
r=
4 2 + 3 2 + 3 2 = 16 + 9 + 9
r = 34
1
D 2 + E 2 + F 2 – 4G = 0 dır.
2
Merkezi O(3, –1, –2) ve yarıçapı
Buradan D2 + E2 + F2 – 4G = 0
34 olan kürenin denklemi
D = –2, E = –4, F = 0, G = k olduğundan
(x – 3)2 + (y – (–1))2 + (z – (–2))2 = ^ 34 h
(–2)2 + 42 + 02 – 4k = 0 ⇒ 4 + 16 = 4k ⇒ 20 = 4k
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 34 elde edilir.
2
⇒ k = 5 bulunur.
16. Uzayda x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + k = 0 denklemi bir küre
belirtiyorsa k nın değer aralığını bulalım.
Çözüm:
Denklem küre belirtiyorsa 3 > 0 dır. Yani
D2 + E2 + F2 – 4G > 0 dır. D = 4, E = –2, F = 6, G = k
olduğundan (4)2 + (–2)2 + 62 – 4.k > 0 elde edilir.
16 + 4 + 36 – 4k > 0 ⇒ 4k < 56 ⇒ k < 14 bulunur.
19. Uzayda denklemi x2 + y2 + z2 + 8x – 6y + 10z – 25 = 0
olan kürenin 10 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik yerinin denklemini bulalım.
Çözüm:
17. Uzayda x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z – k = 0 denklemi bir küre
belirtmediğine göre, k nın değer aralığını bulalım.
Çözüm:
x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z – k = 0
1
1
8 2 + ^–6h2 + 10 2 – 4.^–25h =
64 + 36 + 100 + 100
2
2
r=
1
300 = 5 3
2
Mb
–8 6 –10
–D –E –F
,
, l = Mb , ,
l = M^–4, 3, –5h dir.
2 2 2
2 2 2
OOl = 5 2 birimdir.
olduğundan (–2)2 + (–4)2 + 22 – 4.(–k) < 0
A
4 + 16 + 4 + 4k < 0 ⇒ 4k < –24 ⇒ k < –6 bulunur.
5
5 2
18. A(–1, 2, –5) ve B(7, –4, 1) noktaları veriliyor. [AB] nı çap
kabul eden kürenin denklemini bulalım.
C
O
O′
5
B
5 3
5 3
D
Çözüm:
Merkezi M(–4, 3, –5) ve yarıçapı r = 5 2 olan küre
A(–1,2,–5)
B(7,–4,1)
O
(x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 5)2 = ^5 2 h
2
(x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 5)2 = 50 aradığımız geometrik yer
denklemidir.
39
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
denklemi küre belirtmiyorsa 3 < 0 olmalıdır.
D2 + E2 + F2 – 4G < 0 ve D = –2, E = –4, F = 2, G = –k
r=
2. Bölüm
Denklemi x2 + y2 + z2 + 8x – 6y + 10z – 25 = 0 olan kürenin
yarıçapı ve merkez koordinatları
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
y2
⎪AO⎪ = ⎪OB⎪ = r olduğundan
r = ^7 – 3h2 + ^–4 – ^–1hh2 + ^1 – ^–2hh2
Çözüm:
x2
[AB] nın orta noktası O olsun. Koordinatları O(3, –1, –2) dir.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
20. x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y – 8z + 2m = 0 kürenin yarıçapı
23. Uzayda x2 + y2 + z2 + 16x – 12z + 64 = 0
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
2 5 birim olduğuna göre, m nin pozitif değerini bulalım.
x2 + y2 + z2 – 8x – 10y – 12z + 52 = 0
Çözüm:
olan kürelerin birbirine en yakın uzaklığının kaç birim olduğunu bulalım.
1
2 5=
^–4mh2 + 4 2 + ^–8h2 – 4.2m
2
1
2 5=
16m 2 + 16 + 64 – 8m
2
Çözüm:
16m 2 – 8m + 80 & ^4 5 h = ^ 16m 2 – 8m + 80 h
2
2
4 5=
80 = 16m 2 – 8m + 80
16m 2 – 8m = 0 & 8m^2m – 1h = 0
m=0
v
m=
–D 1 –16
=
= –8
2
2
–E 1 0
E1 = 0 &
= =0
2
2
–F1 12
F1 = –12 &
=
=6
2
2
D 1 = 16 &
1
bulunur.
2
m’nin pozitif değeri
x2 + y2 + z2 + 16x – 12z + 64 = 0 küresinin merkezi M1 noktasının koordinatlarını ve yarıçapını bulalım.
1
dir.
2
21. Uzayda denklemi x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0 olan
kürenin P(–7, 4, 3) noktasına en yakın uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0
P(–7,4,3)
kürenin merkez koordinatları
K
M(1, –2, 3) tür.
M 1 ^–8, 0, 6h bulunur.
1
1
D 21 + E 21 + F 12 – 4G 1 =
16 2 + 0 2 + ^–1, 2h2 – 4.64
2
2
1
12
=
= 6 birim bulunur.
144 =
2
2
r1 =
2. Bölüm
24. x2 + y2 + z2 – 8x – 10y – 12z + 52 = 0
küresinin merkezi M2 noktasının koordinatları ve yarıçapını
bulalım.
M(1,–2,3)
Çözüm:
1
r=
^–2h2 + 4 2 + ^–6h2 – 4.5
2
1
r = . 4 + 16 + 36 – 20 = 3
2
MP = ^1 – ^–7hh2 + ^–2 – 4h2 + ^3 – 3h2 =
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
–D 2 8
= =4
2
2
–E 2 10
E 2 = –10 &
=
=5
2
2
–F2 12
F2 = –12
&
=
=6
2
2
D 2 = –8 &
8 2 + 6 2 + 0 = 10
P noktasının küreye en yakın noktası K olsun.
⎪PK⎪ = ⎪MP⎪ – ⎪MK⎪ olduğundan
M2(4, 5, 6) bulunur.
⎪PK⎪ = 10 – 3 = 7 birim bulunur.
r2 =
22. (x – 2)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 1
(x +
4)2
+ (y –
4)2 +
(z –
2)2
=
=4
1
2
D 22 + E 22 + F 22 – 4G 2 =
1
2
2
2
. ^–8h + ^–10h + ^–12h – 4.52
2
1
10
= 5 birim bulunur.
100 =
2
2
küreleri arasındaki en kısa uzaklığı bulalım.
Çözüm:
6
K
L
M1(–8,0,6)
1
K
M1(2,–4,2)
L
5
M2(4,5,6)
2
M2(–4,4,2)
M 1 M 2 = ^–8 – 4h2 + ^0 – 5h2 + ^6 – 6h2
M 1 M 2 = ^2 – ^–4hh2 + ^–4 – 4h2 + ^2 – 2h2
M1 M2 =
6 2 + 8 2 + 0 2 = 100 = 10
KL = 10 – 3 = 7 birim bulunur.
40
M 1 M 2 = 144 + 25 + 0
M 1 M 2 = 169 = 13 birim
KL = 13 – ^6 + 5h = 13 – 11 = 2 birim bulunur.
1.
Aşağıda verilen noktaları analitik uzayda gösteriniz.
d. D(0, 2, 3)
b. B(A, 2, –1)
e. E(–2, 0, 1)
c. C(3, –2, 4)
f. F(–3, 3, 0)
a)
z
77 birim olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
6
x
z
z
d)
y
4.
y
x
z
f)
2. Bölüm
z
A(5, 2, 0), B(2, 2, 0), C(2, 6, 0), D(2, 6, 4) noktaları uzayda
tabanı dikdörtgen olan bir dik prizmanın dört köşesidir.
Buna göre, bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç
birimdir?
x
y
y
x
41
2.
P(–3, 2, 6) ve T(5, 2, 0) noktaları arasındaki uzaklık kaç
birimdir?
5.
A(4, –7, m + 1) noktasının orijine uzaklığı 9 birim olduğuna
göre, m nin alabileceği pozitif değer kaçtır?
10
3
41
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
x
L(1, 2, x) noktaları arasındaki uzaklık
y
x
e)
ve
z
b)
y
c)
K(–4, –2, 3)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
a. A(–3, 4, 3)
3.
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
6.
Uzayda A(5, 3, 2) noktasından 7 birim uzaklıkta ve x ekseni
üzerinde bulunan noktaların koordinatları nedir?
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
(11, 0, 0); (–1, 0, 0)
7.
A(–5, b, 4), B(a, –3, –6) noktaları veriliyor. [AB] nın orta noktasının koordinatları C(2, 6, c) olduğuna göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
9.
Merkezi M(0, –2, 3) ve yarıçapı 3 birim olan kürenin denklemini bulunuz.
x2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9
10. Merkezi M(–4, 2, 3) olan ve P(–1, 0, 4) noktasından geçen kürenin denklemini bulunuz.
2. Bölüm
23
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
8.
A(3, –2, 1) noktasının B(–2, 1, 4) noktasına göre simetriği
C noktasıdır. C noktasının D(–3, 4, 4) noktasına olan uzaklığı
kaç birimdir?
(x + 4)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 14
11. Merkezi M(–4, –2, 7) olan ve xOz düzlemine teğet olan kürenin denklemini bulunuz.
(x + 4)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 4
5
42
12. A(2, 2, 4) noktasından geçen ve koordinat düzlemlerine teğet
olan kürenin denklemlerini bulunuz.
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
15. Uzayda x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + 6z + k = 0
(x – 2)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 4 veya
(x – 2)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 36
22
16. Uzayda x2 + y2 + z2 – 6x + 8y – 4z + k + 2 = 0
13. Merkezi M(4, 3, 2), yarıçapı 8 birim kürenin xOz düzlemi ile
arakesiti olan çemberin yarıçapı kaç birimdir?
denklemi bir küre belirtiyorsa k nın en büyük tamsayı değeri
kaçtır?
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
denklemi bir nokta belirtiyorsa k kaçtır?
2. Bölüm
55
26
14. Uzayda denklemi
+
y2
+
z2
+ 8x – 12y + 2z + 1 = 0
olan kürenin merkezinin koordinatları ve yarıçapını bulunuz.
denklemi bir küre belirtmiyorsa k nın en küçük tamsayı değeri
kaçtır?
M^–4, 6, –1h; r = 2 13
2
43
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
17. Uzayda x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + k + 4 = 0
x2
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
21. Uzayda denklemi x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 4z + 1 = 0
18. A(–4, 1, 7) ve B(2, –5, 3) noktaları veriliyor.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
[AB] nı çap kabul eden kürenin denklemini bulunuz.
olan kürenin A(–5, 4, 2) noktasına en yakın uzaklığı kaç
birimdir?
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 5)2 = 22
6
22. Uzayda denklemleri
19. Uzayda denklemi x2 + y2 + z2 – 12x + 16y – 10z + 25 = 0
olan kürenin 12 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik yerinin denklemini bulunuz.
x2 + y2 + z2 – 6x + 12y + 8z + 25 = 0
x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 8z + 20 = 0
olan kürelerin birbirine en yakın uzaklığı kaç birimdir?
2. Bölüm
(x – 6)2 + (y + 8)2 + (z – 5)2 = 64
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
5
23. Uzayda denklemi
20. Uzayda denklemi x2 + y2 + z2 – kx + 2y – 4z – 27 = 0
x2 + y2 + z2 – 4x + 4y – 2z – 1 = 0
olan kürenin yarıçapı 6 birim olduğuna göre, k nın pozitif değeri kaçtır?
4
44
olan kürenin merkezinin koordinat sisteminin başlangıç noktasına uzaklığı kaç birimdir?
3
UZAYDA VEKTÖRLER
KONUM (YER) VEKTÖRÜ
3
KONUM (YER) VEKTÖRÜ
Başlangıç noktası O(0, 0, 0), bitim noktası analitik uzayın herhangi
bir noktası olan vektöre konum (yer) vektörü denir. OP veya P
AB = OP = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) şeklinde gösterilir.
Dolayısıyla analitik uzayda her vektörün bir konum vektörü
bulunmaktadır.
şeklinde gösterilir.
Analitik uzayda her P ne analitik uzayın bir P noktası, her P nok-
SIFIR VEKTÖRÜ
tasınada bir P karşılık gelir. Analitik uzayın noktaları ile konum
Bitim noktası O(0, 0, 0) olan vektördür. O = (0, 0, 0) şeklinde gös-
vektörleri arasında birebir ve örten eşleme bulunur.
terilir.
z
z0
P(x0,y0,z0)
İKİ VEKTÖRÜN EŞİTLİĞİ
Analitik uzayda A = (x1, y1, z1) ve B = (x2, y2, z2) vektörleri ve-
y0
O
y
rilsin.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
BÖLÜM
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
A = B ise x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2 olmalıdır.
x
KONUM VEKTÖRÜNÜN
UZUNLUĞU
Analitik uzayda herhangi bir nokta P(x0, y0, z0) olsun. Bitim noktasının koordinatları
P = (x0, y0, z0) şeklinde gösterilir.
P ile gösterelim.
z2
x 20 + y 20 + z 20 dir.
z1
O
x2
x
x1
P
y
x0
x
BİRİM VEKTÖR
Analitik uzayda uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
u = 1&
B
A
y0
O
gösterilir.
u = (a, b, c) vektörü birim vektör ise
z
P
vektörünün uzunluğu P ile
P nün apsisli x0, ordinatı y0, kodu z0 dır.
B(x2, y2, z2) olan AB vektörünü ve AB nün konum vektörünü
z0
P = (x0, y0, z0) konum
P =
Analitik uzayda başlangıç noktası A(x1, y1, z1) bitim noktası
z
u = 1 dir.
a 2 + b 2 + c 2 = 1 dir.
UYARI
y1
y2
y
A = (a, b, c) vektörü verilsin.
A vektörü ile aynı yönde olan birim vektör
A
zıt yönde olan birim vektör –
dır.
A
A
, A vektörü ile
A
45
Uzayda Dik Koordinat Eksenleri ve Analitik Uzay
P(x0, y0, z0) olan P , bitim noktasının koordinatlarıyla ifade edilir.
3. Bölüm
x0
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
STANDART BİRİM VEKTÖRLER
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
R3 uzayının standart birim
vektörleri
z
z1+z2
z
z1
z2
e 1 = ^1, 0, 0h
e3=(0,0,1)
e 2 = ^0, 1, 0h
x1
e 3 = ^0, 0, 1h vektörleridir.
uzayında her A vektörü
y
x
e1=(1,0,0)
A = x. e 1 + y. e 2 + z. e 3 tür.
y1+y2
x1+x2
e2=(0,1,0)
standart birim vektörlerin x
lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. Yani;
y2
x2
y
x, y, z ∈ R olmak üzere R3
y1
O
u = ^ x 1, y 1, z 1 h
4 & u + v = ^x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2h dir.
v = ^ x 2, y 2, z 2h
İKİ VEKTÖRÜN FARKI
UYARI
e 1, e 2, e 3 birim baz vektörleri sırasıyla
i = ^1, 0, 0h, j = ^0, 1, 0h, k = ^0, 0, 1h şeklinde de gösterilebilir.
u , v ! V olmak üzere u + ^ – v h toplamına u ile v vektörünün
farkı denir ve u – v ile gösterilir.
u = ^x 1, y 1, z 1h, v = ^x 2, y 2, z 2h olmak üzere
VEKTÖRLERDE TOPLAMA İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ
u – v = ^x 1 – x 2, y 1 – y 2, z 1 – z 2h dir.
3. Bölüm
Analitik uzayda vektörler kümesini V ile gösterelim. u , v ! V;
u = (x1, y1, z1),
z
v = (x2, y2, z2) olsun.
u–v
v
u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) şeklinde tanımlanan vektöre u ile v nin toplam vektörü denir.
u
O
Buna göre;
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
1. Vektörler kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
y
u–v
6 u , v ! V için u + v ! V dir.
x
2. Vektörler kümesinde toplamanın değişme özelliği vardır.
6 u , v ! V için u + v = v + u dür.
3. Vektörler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
6 u , v , w ! V için u + ^ v + wh = ^ u + v h + w dir.
4. Vektörler kümesinde O = ^0, 0, 0h vektörü toplama işleminin
birim (etkisiz) elemanıdır.
BİR VEKTÖRÜN k ∈ R SAYISI İLE ÇARPIMI
R3 uzayında u = (x1, y1, z1) vektörü ile k ∈ R sayısı verilsin.
u vektörünün k ∈ R ile çarpımı k. u = (kx1, ky1, kz1) dir.
i.
k > 0 ise k. u ile u aynı yönlü,
ii.
k < 0 ise k. u ile u zıt yönlüdür.
6 u ! V için u + O = O + u = u dur.
5. Vektörler kümesinde her vektörün toplama işlemine göre tersi
vardır.
iii. k = 0 ise k. u = O dır.
6 u ! V için – u ! V dir ve u + ^– u h = ^– u h + u = O dır.
iv.
46
k. u = k. u
dur.
LİNEER BAĞIMLILIK – LİNEER BAĞIMSIZLIK
6 u , v ! V , a, b ∈ IR olmak üzere;
Rn de v 1, v 2, v 3 gv n vektörleri verilsin.
1.
a.^ u + v h = a. u + a. v dür.
c 1 .v 1 + c 2 .v 2 + c 3 .v 3 + g + c n v n denklemi yalnız
2.
(a + b). u = a. u + b. u dür.
c1 = c2 = c3 ... = cn = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımsız; c1, c2, c3, cn değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak
şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.
3.
(a.b). u = a.(b. u ) dür.
4.
1. u = u ve –1. u = – u dür.
İKİ VEKTÖRÜN PARALELLİĞİ
k ∈ R – {0} ve u, v ∈ V verilsin. Sıfır vektöründen farklı u ve v
i.
O vektörünü içeren her vektör kümesi lineer bağımlıdır.
ii.
Lineer bağımlı bir kümeyi kapsayan her vektör kümesi lineer
bağımlıdır.
iii. Bir vektör kümesi lineer bağımlı ise onun her alt kümeside lineer bağımlıdır.
vektörleri arasında u = k. v eşitliği varsa u vektörü ile v vek-
UYARI
törü birbirine paraleldir denir.
V = " v 1, v 2, g , v n, , Rn uzayının bir alt kümesi olmak üzere
u // v ile gösterilir.
u = (x1, y1, z1),
det ^v 1, v 2, g v nh = A olsun.
v = (x2, y2, z2)
u = k.v ⇒ (x1, y1, z1) = k.(x2, y2, z2)
i.
A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı
ii.
A ≠ 0 ⇔ V kümesi liner bağımsızdır denir.
vektör eşitliğinden,
BİR UZAYI GERME (OLUŞTURMA, DOĞURMA)
x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2 bulunur. Buradan
Rn de V = $ V1, V2 , ..., Vn. vektör kümesi verilsin. Rn nin her vek-
x1 y1 z1
x 2 = y 2 = z 2 = k elde edilir.
törü bu vektörlerin lineer bileşimi şeklinde yazılıyorsa V kümesi
Rn i gerer (doğurur, oluşturur) denir.
BAZ – BOYUT KAVRAMI
Rn de V = $ V1, V2, g Vn. vektör kümesi verilsin.
LİNEER (DOĞRUSAL) BİLEŞİM
a1, a2, a3, ..., an ∈ R olmak üzere
u = a1. v 1 + a2. v 2 + a3. v 3 + ... + an v n vektörüne v 1, v 2, g v n
vektörlerinin
yonu) denir.
lineer (doğrusal) bileşimi (veya lineer kombinas-
R3 uzayında her P = (x, y, z) vektörü e 1, e 2 . e 3 standart birim
baz vektörlerinin lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir.
(x, y, z) = x. e 1 + y. e 2 + z. e 3 tür.
Bu küme,
i.
Lineer bağımsız
ii.
IRn i gerer.
koşullarını sağlıyorsa, Rn nin bir bazı (tabanı) dır denir. Bazdaki
vektör sayısı uzayın boyutunu verir.
R için baz, " e 1 = ^1h,
R2 için baz, " e 1 = ^1, 0h, e 2 = ^0, 1h,
R3 için baz, " e 1 = ^1, 0, 0h, e 2 = ^0, 1, 0h, e 3 = ^0, 0, 1h, dir.
47
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
Dolayısıyla birbirine paralel iki vektörün bileşenleride orantılıdır
denir.
3. Bölüm
(x1, y1, z1) = (kx2, ky2, kz2)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Bir Vektörün k ∈ IR ile Çarpma İşleminin Özellikleri
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
1.
A = (–1, 3, 4) ve B = (0, –2, 5) vektörleri veriliyor.
5.
A = (–1, 4, 3)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
AB konum vektörünün bileşenlerini bulalım.
B = (–2, 7, 2)
Çözüm:
C = (3, –1, 4) vektörleri veriliyor.
A = (x1, y1, z1) ve B = (x2, y2, z2) ise
AB = CD
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) idi.
bulalım.
Buradan AB = ((0 – (–1)), (–2 –3), (5 – 4)) ⇒ AB = (1, –5, 1)
konum vektörü bulunmuş olur.
Çözüm:
olduğuna göre, D vektörünün koordinatlarını
D = (x, y, z) olsun.
AB = B – A = ^–2 + 1, 7 – 4, 2 – 3h = ^–1, 3, –1h
CD = D – C = ^x – 3, y + 1, z – 4h
2.
AB = CD & ^–1, 3, –1h = ^x – 3, y + 1, z – 4h
A = (–5, 12, –13) olduğuna göre, A vektörünün normunu
& –1 = x – 3 & x = 2
bulalım.
3= y +1 & y = 2
Çözüm:
A = ^x, y, zh & A =
–1 = z – 4 & z = 3
x 2 + y 2 + z 2 olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla D = (x, y, z) = (2, 2, 3) bulunur.
Buradan
A = ^–5h2 + 12 2 + ^–13h2 = 25 + 144 + 169 = 13 2
bulunur.
3. Bölüm
6.
3.
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
4.
A = (2, 0, –3) ve B = (4, –1, 2) olduğuna göre,
2 A + 3 B vektörünü bulalım.
A = (–3, 2, 8) ve B = (1, 5, 3) vektörleri veriliyor.
AB konum vektörü için AB değerini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
A = (2, 0, –3) ⇒ 2 A = (4, 0, –6)
AB = B – A = ^1 – ^–3h, 5 – 2, 3 – 8h = ^4, 3, –5h
B = (4, –1, 2) ⇒ 3 B = (12, –3, 6)
AB = 4 2 + 3 2 + ^–5h2 = 16 + 9 + 25 = 50 = 5 2
bulunur.
2 A + 3 B = (4, 0, –6) + (12, –3, 6) = (16, –3, 0) dır.
A = (–2, 4, 6) ve B = (0, a, 3) vektörleri veriliyor.
AB = 7 birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerleri
bulalım.
Çözüm:
AB = 7 & ^0 – ^–2hh2 + ^a – 4h2 + ^3 – 6h2
&7=
4 + ^a – 4h2 + 9 & 49 = 13 + ^a – 4h2 & ^a – 4h2 = 36
a – 4 = 6 v a – 4 = –6 olmalı. Buradan a = 10 v a = –2
bulunur. a nın alabileceği değerler toplamı 10 + (–2) = 8 dir.
48
7.
A = (4, 3, 2) ve B = (–1, –2, –3) olduğuna göre,
3 A – AB vektörünü bulalım.
Çözüm:
A = (4, 3, 2) ⇒ 3 A = (12, 9, 6)
AB = B – A ⇒ AB = (–1, –2, –3) – (4, 3, 2) = (–5, –5, –5)
3 A – AB = (12, 9, 6) – (–5, –5, –5) = (17, 14, 11) bulunur.
Soru
8.
A = (–2, 3, 6)
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
11. A = (2, –2, 6)
B = (–4, 0, 8) vektörleri veriliyor.
C = (3, –2, 5) vektörleri veriliyor.
2 A + B = 4 C olduğuna göre, C vektörünün koordinatlarını
2AB + 3 BC vektörünü bulalım.
Çözüm:
bulalım.
Çözüm:
AB = B – A = ^1, –4, 2h – ^–2, 3, 6h = ^3, –7, –4h
BC = C – B = ^3, –2, 5h – ^1, –4, 2h = ^2, 2, 3h
2AB + 3 BC = 2.^3, –7, –4h + 3.^2, 2, 3h = ^6, –14, –8h + ^6, 6, 9h
2AB + 3 BC = ^12, –8, 1h bulunur.
C = (x, y, z) olsun.
A = (2, –2, 6) ⇒ 2 A = (4, –4, 12)
B = (–4, 0, 8)
2 A + B = 4 C ⇒ (4, –4, 12) + (–4, 0, 8) = 4(x, y, z)
9.
⇒ (0, –4, 20) = (4x, 4y, 4z)
A = (1, 2, –4)
⇒ 4x = 0 ⇒ x = 0
B = (1, 1, k – 1) vektörleri veriliyor.
4y = –4 ⇒ y = –1
A + B = 7 birim olduğuna göre, k nın pozitif değerini
bulalım.
4z = 20 ⇒ z = 5 bulunur.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (1, –4, 2)
C = (0, –1, 5) bulunur.
A = (1, 2, –4),
A+ B = 7&
3. Bölüm
Çözüm:
B = (1, 1, k – 1) ⇒ A + B = (2, 3, k – 5)
2 2 + 3 2 + ^k – 5h2 = 7
& 4 + 9 + ^k – 5h2 = 49 & ^k – 5h2 = 36
k – 5 = 6 ∨ k – 5 = –6 ⇒ k = 11 ∨ k = –1
k nın pozitif değeri 11 dir.
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
12. A = (–7, 3, 10)
B = (–4, –1, –2) vektörleri veriliyor.
10. AB = –3 i + 3 j + 7 k
AB vektörü ile aynı yönlü birim vektörünü bulalım.
BC = j + 5 k
vektörleri veriliyor. AC değerini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
AB = B – A = (–4 – (–7), –1 –3, –2 – 10)
AB = B – A = ^–3, 3, 7h
AB = (3, –4, –12)
BC = C – B = ^0, 1, 5h
+
–––––––––––––––––
AB =
3 2 + ^–4h2 + ^–12h2 = 9 + 16 + 144 = 13
C – A = ^–3, 4, 12h
AC = ^–3, 4, 12h &
AC = ^–3h2 + 4 2 + 12 2
= 9 + 16 + 144
= 169 = 13 bulunur.
AB ile aynı yönlü birim vektör e =
e=b
AB
AB
ise
3 –4 –12
,
,
l bulunur.
13 13 13
49
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
16. A = 4 e 1 – 5 e 2 + e 3
13. A = (3, –5, 14)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (7, 0, –6) vektörleri veriliyor.
B = 2 e 1 – me 2 – 2 e 3
AB ile zıt yönlü birim vektörünü bulalım.
C = –4 e 1 + 4 e 2 + ^k – 2h e 3
Çözüm:
vektörleri veriliyor. AB // C olduğuna göre,
AB = B – A = (7 – 3, 0 – (–5), –6 – 14)
m ve k değerlerini bulalım.
AB = (4, 5, –20)
AB ile zıt yönlü birim vektör f ise f = –
AB =
f=–
AB
AB
Çözüm:
dir.
4 2 + 5 2 + ^–20h2 = 441 = 21
AB
–4 –5 20
=b ,
,
l bulunur.
21 21 21
AB
AB = B – A = ^2 – 4, –m – ^–5h, –2 – 1h = ^–2, 5 – m, –3h
C = ^–4, 4, k – 2h
&
–2 5 – m
–3
& 5–m = 2& m = 3
=
=
–4
4
k–2
k – 2 = –6 & k = –4 bulunur.
3. Bölüm
14. A = (0, –3, 1)
17. A(–1, 2, –1) ve B(3, 1, –6) noktaları ve
B = (4, –3, 2)
u = (k – 2, m + 3, –10) vektörü veriliyor.
C = (0, 0, 12) vektörleri veriliyor.
AB // u olduğuna göre, m ve k değerlerini bulalım.
AB + AC vektörü ile aynı yönlü birim vektörünü bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
AB = B – A = ^3 – ^–1h, 1 – 2, –6 + 1h = ^4, –1, 5h
AB + AC = (4, 0, 1) + (0, 3, 11) = (4, 3, 12)
u = ^k – 2, m + 3, 5h
AB + AC =
4 2 + 3 2 + 12 2
= 16 + 9 + 144 = 169 = 13
& AB + AC vektörü ile aynı yönlü birim vektör e ise
e=b
4 3 12
,
,
l bulunur.
13 13 13
–1
4
5
=
=
k – 2 m + 3 –10
m + 3 = 2 & m = –1
AB // u &
k – 2 = –8 & k = –6 bulunur.
18. A = (a, 2, 4)
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
B = (–1, 0, 1)
15. A = (2, a, 6)
C = (3, –1, 0) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre,
B = (–1, 4, b) vektörleri birbirine paralel ise
a nın alabileceği değeri bulalım.
a – b farkını bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
det ^ A, B, C h = 0 ise A, B, C vektörleri lineer bağımlıdır.
x
y
z
A = ^x 1, y 1, z 1h ve B = (x2, y2, z2) A //B & x1 = y1 = z1 dir.
2
2
2
Buna göre,
A = (2, a, 6), B = (–1, 4, b) vektörleri paralel
2
a 6
ise
dir.
= =
–1 4 b
–2 a
= & a = –8
1
4
–2 6
= & –2b = 6 & b = –3
1
b
a – b = –8 – ^–3h = –5 bulunur.
50
0
–a
+ 0
–a
a
2
4
–1
0
1
3
–1
0
a
2
4
–1
0
1
10 – (–a) = 0
a + 10 = 0 ⇒ a = –10
0
4
+ 6
10
Soru
bulunur.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
21. A = 4 e 1 – 2 e 2
19. A = (2, 1, 0)
B = ke 1 – e 3
C = (–2, 5, k) vektörleri lineer bağımsız olduğuna göre,
k nın alamayacağı değeri bulalım.
C = –3 e 1 + 4 e 2 – 2 e 3
Çözüm:
vektörleri R3 uzayını germediğine göre, k nın alacağı değeri
bulalım.
A, B, C vektörleri lineer bağımsız ise det ^ A, B, C h ≠ 0
Çözüm:
olmalıdır.
A, B, C vektörleri R3 uzayını germez ise lineer bağımlıdır.
0
10
+ 0
2
1
0
0
3
1
–2
5
k
2
1
0
0
3
Dolayısıyla det ^ A, B, C h = 0 olmalıdır.
6k – 2 – 10 ≠ 0
6k – 12 ≠ 0
6k ≠ 12
6k
0
+ –2
1
k ≠ 2 bulunur.
0
–16
6k – 2
10
+
4k
4
–2
0
k
0
–1
–3
4
–2
4
–2
0
k
0
–1
4k – 16
–6 – (4k – 16) = 0
–6 – 4k + 16 = 0
0
0
+ –6
–6
4k = 10
10
4
5
k = bulunur.
2
k=
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (0, 3, 1)
3. Bölüm
20. A = 2 e 1 + e 2
B = –e 1 – e 2 + e 3
C = –3 e 2 – ke 3
22. V = 2 e 1 – 4 e 2 + 4 e 3
R3
A = e1 – e3
Çözüm:
B = 4e 1 + 3e 3
A, B, C vektörleri
R3
uzayını gerer ise lineer bağımsız olma-
lıdır, dolayısıyla det ^ A, B, C h ≠ 0 olmalıdır.
C = 2e 1 + 4e 2 + 6e 3
vektörleri veriliyor. V vektörünün A, B, C nin lineer bileşimi
0
–6
+
k
k–6
2
1
0
–1
–1
1
0
–3
–k
2
1
0
–1
–1
1
olarak yazılışını bulalım.
2k
0
+0
2k
2k – (k – 6) ≠ 0
Çözüm:
2k – k + 6 ≠ 0
V = x. A + y. B + z. C
k+6≠0
(2, –4, 4) = x.(1, 0, –1) + y.(4, 0, 3) + z(2, 4, 6)
k ≠ –6 bulunur.
(2, –4, 4) = (x + 4y + 2z, 4z, –x + 3y + 6z)
x + 4y + 2z = 2 _
b
4z = –4` Bu denklemler çözülürse
b
–x + 3y + 6z = 4 a
x = –4, y = 2, z = –1 V = –4 A + 2 B – C bulunur.
51
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
vektörleri
ü gerdiğine göre, k nın hangi değeri alamayacağını bulalım.
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
A = (–4, 7, –6) ve B = (–2, 1, –3) vektörleri veriliyor.
4.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
AB konum vektörünün bileşenlerini bulunuz.
A = (2, –1, 4) ve B = (a, 3, –8) vektörleri veriliyor.
AB = 13 birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
(2, –6, –3)
4
5.
2.
A = (–7, –3, –4)
B = (–5, –2, –1)
A = (–10, 6, 8) olduğuna göre, A vektörünün normunu bulunuz.
C = (1, 2, 3)
vektörleri veriliyor. AB = CD olduğuna göre, D vektörünün
koordinatlarını bulunuz.
3. Bölüm
10 2
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
D = ^3, 3, 6h
3.
A = (1, 2, 8) ve B = (5, –3, –12) vektörleri veriliyor.
6.
A = (–4, 1, 2)
B = (–6, –3, 5)
AB konum vektörünün uzunluğunu bulunuz.
vektörleri veriliyor. Buna göre, –3 A + 2 B vektörlerini bulunuz.
AB = 21
–3 A + 2 B = ^0, –9, 4h
52
Soru
7.
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
10. AB = 4 e 1 + 4 e 2 + 3 e 3
A = (0, –2, 4) ve B = (3, 1, 2) vektörleri veriliyor.
BC = 3 e 1 + 5 e 2 + 2 e 3
vertörleri veriliyor.
AC
değeri kaçtır?
(–9, –13, 14)
155
8.
11. A = (3, 4, 3)
A = (–4, 0, 2) ve B = (–15, 5, 2) vektörleri veriliyor.
B = (4, 5, 1)
AB + BC vektörünü bulunuz.
vektörleri veriliyor. 2 A – B = C olduğuna göre, C
nin de-
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
5 A – 3 B vektörlerini bulunuz.
ğerini bulunuz.
3. Bölüm
(–11, 5, 0)
12. A = (–2, 1, 1)
9.
B = (0, –2, 7)
A = (1, 0, 2) ve B = (k, 4, 1) vektörleri veriliyor.
A + B = 13 birim olduğuna göre, k nın pozitif değeri kaçtır?
vektörleri veriliyor. AB vektörü ile aynı yönlü birim vektörünü
bulunuz.
11
–3
53
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
38
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
16. A = 8 e 1 – 4 e 2 + 2 e 3
13. A = (–6, 4, 8)
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (–3, 0, –4)
vektörleri veriliyor. AB ile zıt yönlü birim vektörünü bulunuz.
a
B = –2 e 1 + ^k – 1h e 2 + m e 3
vektörleri veriliyor. A // B
ise, k – m farkı kaçtır?
–3 4 12
k
,
,
13 13 13
14. A = (–2, 3, 5)
5
2
17. A = (–1, 2, 2), B = (–4, 3, 0) noktaları ve
B = (1, –4, 3)
u = (3k, m, 8) vektörü veriliyor.
C = (–3, 7, 1)
vektörleri veriliyor. AB + AC vektörü ile aynı yönlü birim
AB // u olduğuna göre, k.m çarpımının değeri kaçtır?
vektörünü bulunuz.
3. Bölüm
–16
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
2 –3 – 6
a , , k
7 7 7
18. A = (k, 2, 8)
15. A = (–6, 2, 4) ve B = (–3, k, 2) vektörleri birbirine paralel ise,
B = (0, 0, 4)
C = (–1, 2, 1)
k kaçtır?
vektörleri lineer bağımlı ise, k kaçtır?
1
k = –1
54
Soru
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
22. V = 4 e 1 – 8 e 2 + 6 e 3
19. A = (4, 4, 2)
A = 2e 1 – 4e 2
C = (5, 3, k)
B = 3e 1 – 4e 2 + 3e 3
vektörleri lineer bağımsız ise, k hangi değeri alamaz?
C = e 1 + 2e 2
vektörleri veriliyor. V vektörünün A, B, C nin lineer bileşimi
olarak yazılışını bulunuz.
k≠–
1
2
V=
20. A = 2 e 1 + 2 e 2 – e 3
A
+ 2B – C
2
B = e 3 – 3e 2
C = ke 1 – 4 e 3
vektörleri
R3
23. Analitik uzayda A(–1, 3, 5), B(m, –2, 3), C(3, 4, –7) ve
uzayını gerdiğine göre, k hangi değeri alamaz?
D(1, 2, k) noktaları veriliyor. AB // C D olduğuna göre,
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (3, 4, 3)
m – k farkının değeri kaçtır?
3. Bölüm
9
5
21. A = (–4, 2, 2)
B = (1, 2, –3)
24. Analitik uzayda A = (–5, 9, 1), B = (–1, 3, 4), C = (3, 0, 1),
C = (k, –4, –3)
D = (0, 1, –2) vektörleri veriliyor.
vektörleri R3 uzayını germediğine göre, k kaçtır?
vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılışını bulunuz.
k=7
A vektörünün B ,C ,D
A = 2B – C + 3D
55
Uzayda Vektörler Konum (Yer) Vektörü
k ≠ 24
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
BÖLÜM
VEKTÖRLERİN SKALER
(İÇ) ÇARPIMI
4
R3 te A = (x1, y1, z1) ve B = (x2, y2, z2) vektörleri verilsin. ^ A, B h
İKİ VEKTÖR ARASINDAKİ AÇI
vektör ikilisini x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 reel sayısına eşleyen fonksi-
z →
B =(x2, y2, z2)
→
BA
→
z1
A=(x1,y1,z1)
yona öklid iç çarpımı işlemi denir. Elde edilen reel sayıya A ve B
z2
vektörlerinin öklid iç çarpımı denir.
Öklid iç çarpımı < A, B > ya da A. B ile gösterilir.
a
A. B = x1x2 + y1y2 + z1z2
O
x
A, B, C ! IR 3 , a, b, c ∈ IR olmak üzere, skaler çarpımının;
A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ve A ile B arasındaki açı a
olsun. AOB üçgeninde cosinüs teoremini uygulayalım.
A. B = B. A (simetri)
4. Bölüm
BA
iii.
a. A.^b. B + c. C h = a.b. A. B + a.c. A. C (ikili lineerlik)
A ≠ O & A. A > 0
A. A = O & A = O
y
x2
SKALER (İÇ) ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ
ii.
y1
x1
Öklid iç çarpımının değeri bir reel sayı olduğundan bu çarpıma
skaler çarpım da denir.
i.
y2
4 (pozitif tanımlılık özelliği)
2
= A
2
+ B
2
– 2 A . B . cos a
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 = x12+y12+z12 + x22 + y22
+ z22 – 2. A . B . cos a
x 22 – 2x 1 x 2 + x 12 + y 12 – 2y 1 y 2 + y 22 + z 2 2 – 2z 1 z 2 + z 12
özellikleri vardır.
= x 12 + y 12 + z 12 + x 22 + y 22 + z 22 – 2 A . B . cos a
UYARI
–2 ^x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2h = –2 A . B . cos a
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
İç çarpımının birleşme özelliği yoktur.
A. B = A . B . cos a & cos a =
A.^ B. C h ≠^ A. B h . C
A. B
A . B
bulunur.
SKALER ÇARPIM – VEKTÖR NORMU İLİŞKİSİ
UYARI
A = ^x 1, y 1, z 1h vektörü verilsin.
A
2
A =
x 21 + y 21 + z 21
= x 21 + y 21 + z 21 g ^1h dir.
A. B = A . B . cos
90°
\
0
= A. B = 0 olur.
A. A = x 21 + y 21 + z 21 g ^2h dir.
56
2
= A. A & A =
A ≠ 0, B ≠ 0 ; A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ve
A ile B vektörleri arasındaki açı a = 90° ise
A. A = x1.x1 + y1.y1 + z1.z1
(1) ve (2) den A
dir.
Yani A = B ise A. B = 0
A. A dır.
→
A
→
B
a
O
verir.
H
→
u
A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) vektörleri verilsin. A vektörünün
B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OH = u olsun. A ile
B arasındaki açı a olmak üzere;
A. B
cos a =
A . B
u
A
=
A. B
A . B
dir. cos a =
&
u =
u
A
Özellikleri: 6 A, B, C ∈ R3 ve k ∈ IR olmak üzere;
i.
A#A=0
ii.
A # B = –B # A
iii.
A # ^ B + Ch = ^ A # B h + ^ A # Ch
iv.
^k. A h # B = A # ^k.Bh = k.^A # Bh, k ! IR
yazılırsa
A. B
dikizdüşüm vektörünün uzunluB
v.
vi.
A # B = A . B . sin θ , θ: A ve B vektörleri arasındaki açı
< A # B, A > = 0
3 & A = A # B, B = A # B
< A # B, B > = 0
ğudur.
vii. (A # B) # C = < A, C > B – < B, C > A
B
u= u .
B
olacağından
A # (B # C) = < A, C > B – < A, B > C
viii. A, B, C, D ∈ R3 olmak üzere,
< A # B, C # D > = < A, C > < B, D > – < A, D > < B, C >
özdeşliği vardır. (Lagrange özdeşliği)
VEKTÖREL (ÇAPRAZ) ÇARPIM
R3
4. Bölüm
^ A. B h
A. B B
& u=
u=
.
2 . B dik izdüşüm vektörünü verir.
B
B
B
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
e1 e2 e3
C = A # B = x 1 y 1 z 1 determinantının değeri vektörel çarpımı
x2 y2 z2
DİK İZDÜŞÜM VEKTÖRÜ
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
PARALELKENARIN ALANI
te A = (x1, y1, z1) ve B = (x2, y2, z2) vektörleri verilsin.
A
C = A x B şeklinde gösterilir.
a
B
a; A vektörü ile B vektörü arasındaki açı
P ; A vektörü ile B vektörünün yönünü gösteren birim vektör
olmak üzere;
A ile B nin vektörel çarpımı
C = A # B = P. A . B . sin a dır.
Elde edilen C vektörü A ve B vektörlerinin düzlemine dik olan bir
vektördür.
h
A ve B vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın alanı S olsun.
S = A # B dir.
S = h. B , sin θ =
h
A
olduğundan
S = A . sin θ. B
S = A . B . sin θ
Lagrange özdeşliğinde A = C, B = D alınırsa
57
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı bir C vektörünü verir.
ÜNİTE – 1
KAVRAMSAL ADIM
< A # B, A # B > = < A, A > . < B, B > – < A, B > < A, B >
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A#B
2
= A
2
. B
2
– < A, B > 2
A#B
2
= A
2
. B
2
– A
A#B
2
= A
2
. B
2
^1 – cos 2 θh
A#B
2
= A
2
. B
2
sin 2 θ
2
. B
SONUÇ: A ,B ,C vektörleri aynı düzlemde ise ^ A ,B ,C h = 0 dır.
Bu önermenin karşıtıda doğrudur.
2
. cos 2 θ
ETK‹NL‹K
A # B = A . B sin θ
1.
Sonuç olarak S = A . B . sin θ = A # B
Analitik uzayda A = ^1,—1,2h B = ^3,—2,0h ve C = ^0,2,4h
vektörleri üzerine kurulan paralel yüzün hacmini bulunuz.
Paralelyüzün hacmini V ile gösterirsek V = ^A ,B ,C h dir.
KARMA ÇARPIM
6 A ,B ,C ∈ IR3 için < A # B, C> reel değerine A, B ve C nin
karma çarpımı denir ve (A, B, C) ile gösterilir.
1
–1
2
3
–2
0
2
4
0
Özellikleri:
0
0
+ –12
6 A, B, C ∈ R3 için
1.
<A # B, C> = <A, B # C>
2.
(A, B, C) = det(A, B, C) dir.
–12
1
3
–1
–2
2
0
–8
12
+ 0
4
4. Bölüm
det(A, B, C) = 4 – (–12) = 16 Paralelyüzün hacmi V = 16
birimküp bulunur.
PARALELYÜZÜN HACMİ
2.
Analitik uzayda A = ^2,1,1h, B = ^3,—1,1h, C = ^1,2,2h
vektörleri üzerine kurulan paralel yüzün hacmini bulunuz.
C
θ
A
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
B
6 A, B, C ∈
IR3
vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün hacmi V
olsun.
V = (A, B, C) dir.
A ve B vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın alanı S ise V = S.h
tır.
S = A#B
ve h = C . cos θ olduğundan
V = A # B . C . cos θ
AxB ,A ile B üzerine kurulan paralelkenarın taban alanı ve
C .cos θ bu üç vektör üzerine kurulan paralelyüzün yüksekliği
olduğundan A ,B ,C üzerine kurulan paralelyüzün hacmi
V = ^ A ,B ,C h birimküptür.
58
1.
A = (–1, 0, 2) ve B = (4, –2, 2) vektörleri veriliyor.
5.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
A = 5e 1 + e 2 – 4e 3
B = –2 e 1 + e 3
Çözüm:
C = e 1 – 3e 2 + 2e 3
vektörleri veriliyor. AB. BC skaler çarpımının değerini bulalım.
A = ^–1, 0, 2h & A .B = —1.4 + 0.^—2h + 2.2
4
r
B = ^4, –2, 2h & A .B = 0 dı.
Çözüm:
A = 5 e 1 + e 2 – 4 e 3 & A = ^5, 1, –4h
B = –2 e 1 + e 3 & B = ^–2, 0, 1h
2.
C = e 1 – 3 e 2 + 2 e 3 & C = ^1, –3, 2h
A = (4, 0, 3) ve B = (–3, 1, 1) vektörleri veriliyor.
AB = B – A = ^–2 – 5, 0 – 1, 1 – ^–4hh = ^–7, –1, 5h
A.^ABh skaler çarpımının değerini bulalım.
BC = C – B = ^1 – ^–2h, –3 – 0, 2 – 1h = ^3, –3, 1h
Çözüm:
bulunur.
AB. BC = –7.3 + ^–1h .^–3h + 5.1 = –21 + 3 + 5 = –13
AB = B – A = ^–3 – 4, 1 – 0, 1 – 3h = ^–7, 1, –2h
A = ^4, 0, 3h
A . ^ABh = ^4. (–7) + 0.1 + 3. (–2)h = –28 – 6 = –34 tür.
6.
A = (2cosa, log3x, sina)
B = (cosa, log527, 2sina)
3.
A = e 1 + 2e 2 – 3e 3
Çözüm:
A. B = 2cosa.cosa + log3x.log527 + sina.2sina = 11
B = e 2 – 2e 3
⇒ 2cos2a + 2sin2a + log3x533 = 11
vektörlerinin skaler çarpımını bulalım.
& 2 + 3. log 3 x. log 5 3 = 11 & 3 log 3 x. log 5 3 = 9
Çözüm:
& log 3 x. log 5 3 = 3 & log 5 x = 3 & x = 125 bulunur.
A = e 1 + 2 e 2 – 3 e 3 & A = ^1, 2, –3h
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
B = e 2 – 2 e 3 & B = ^0, 1, –2h
A. B = 1.0 + 2.1 + ^–3h .^–2h = 8 dir.
7.
z
G
F
D
4.
E
C
O
A = (–6, 1, 3) ve B = (1, 0, k) vektörleri veriliyor.
A. B = –12 olduğuna göre, k değerini bulalım.
4. Bölüm
vektörleri veriliyor. A. B = 11 olduğuna göre, x değerini
bulalım.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A . B değerini bulalım.
A
y
B
x
Çözüm:
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
A . B = –6.1 + 1.0 + 3.k = –12 ⇒ 3k – 6 = –12
A(2, 0, 0), B(2, 4, 0), F(2, 4, 6) olduğuna göre,
⇒ 3k = –6 ⇒ k = –2 bulunur.
GB. DC skaler çarpımının değerini bulalım.
59
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
Çözüm:
Çözüm:
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
G^0, 0, 6h
4 & GB = ^2 – 0, 4 – 0, 0 – 6h & GB = ^2, 4, –6h
B^2, 4, 0h
D^2, 0, 6h
4 & DC = ^0 ^–2h, 4 – 0, 0 , 6h & DC = ^–2, 4, –6h
C^0, 4, 0h
A = ^2, 4, 0h
A. B
4 & cos θ =
A . B
B = ^0, 2, 1h
2.0 + 4.2 + 0.1
22 + 42 + 02 . 02 + 22 + 12
4
8
8
=
=
=
2 5 . 5 10 5
cos θ =
GB. DC = 2.^–2h + 4.4 + ^–6h .^–6h = –4 + 16 + 36 = 48
8.
A = (–2, –6, 1) ve B = (2, 6, –1) vektörleri arasındaki açıyı
⇒
5
bulalım.
3
tan θ =
θ
3
bulunur.
4
4
Çözüm:
12. A = e 1 + 2 e 2 – e 3
A. B = A . B . cos θ olduğundan
^–2h .2 + ^–6h 6 + 1.^–1h
2
2
2
2
2
2
= ^–2h + ^–6h + 1 . 2 + 6 + ^–1h . cos θ
–41 = 41. cos θ
cos θ = –1 & θ = 180°
B = 6 e 1 + ke 2
C = 4e 1 – 2 2 e 3
vektörleri veriliyor. B vektörü A ile C vektörlerinin oluşturduğu açının açıortayı olduğuna göre, k değerini bulalım.
9.
A = (–6, 6, 8) ve B = (4, 12, –6) vektörleri arasındaki açıyı
Çözüm:
→
A=(1,2,–1)
bulalım.
Çözüm:
4. Bölüm
A. B
A . B
cos θ =
→
B=(6,k,0)
dir.
A. B = –6.4 + 6.12 + 8.^–6h = 0 olduğundan A = B dir.
O
Dolayısıyla iki vektör arasındaki açı 90° dir.
%
%
cos ^AOBh = cos ^BOCh olduğundan
10. A = 2 e 1 + 2 e 3
B = 4 e 3 vektörleri veriliyor. A ve B vektörleri arasındaki
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
açıyı bulalım.
Çözüm:
cos θ =
A. B
A . B
& cos θ =
cos θ =
2.0 + 0.0 + 2.4
22 + 02 + 22 . 02 + 02 + 42
8
2 2 . 16
& cos θ =
8
8 2
& cos θ =
1.6 + 2.k + ^–1h .0
6 + k.0 + 0.^2 2 h
B. C
A. B
=
&
=
2
2
2
2
A . B
B . C
1 + 2 + ^–1h
4 2 + 0 2 + ^2 2 h
24 12
6 + 2k
=
&
12 6
6
& 6 + 2k = 12 & 2k = 6 & k = 3 bulunur.
13. A = 2 e 1 + 3 e 2 + k e 3
B = –6 e 1 – 4 e 2 + 4 e 3
vektörleri veriliyor. A ⊥ B olduğuna göre, k değerini bulalım.
1
2
& θ = 45° bulunur.
11. A = 2 e 1 + 4 e 2
B = 2 e 2 + e 3 vektörleri arasındaki açının tanjantını bulalım.
60
→
C=(4,0, 2 2)
Çözüm:
A = B , A. B = 0 dır.
A. B = 2.^–6h + 3.^–4h + k.4 = 0
–24 + 4k = 0
4k = 24
k = 6 bulunur.
14. A, B, C vektörleri ikişer ikişer birbirine diktir.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
16. x ∈ IR olmak üzere,
A = (x, 2, 1)
B = 3 birim
B = (2 – x, x, 4) vektörleri veriliyor.
C = 12 birim
A. B ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulalım.
olduğuna göre, 2 A + B + C
değerini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
A. B = x.(2 – x) + 2.x + 1.4
→
C
A. B = 2x – x2 + 2x + 4 = –x2 + 4x + 4
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun en büyük değeri r =
12
2 A + B = 5 bulunur.
3
O
→
B
olmak üzere f(r) = k değeri olduğundan
r=
2
→
A
–4
= 2 , f(2) = –(2)2 + 4.2 + 4 = 8 bulunur.
–2
17. A = (–1, 4, 2) vektörünün
→
B
→
2A
4
–b
2a
B = (2, 2, 1) vektörü üzerindeki
dik izdüşüm vektörünün uzunluğunu bulalım.
3
Çözüm:
→→
2A+B
A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü u
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A = 2 birim
olsun.
→
2A →
+B →
+C
→
||C||=12
4. Bölüm
u =
A. B
–1.2 + 4.2 + 2.1
& u =
B
22 + 22 + 12
8
8
=
u =
birim bulunur.
9 3
18. A = 2 e 1 – 3 e 2 + e 3
→ =5
→A+B||
2
||
5 2 + 12 2 = 169 = 13 bulunur.
15. A = e 1 + 2 e 2 + k e 3
A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün
uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
→
A=(2,–3,1)
B = –2 e 1 + 3 e 2 + e 3
C = 3 e 1 + n e 2 – 2 e 3 vektörleri veriliyor.
AB = BC olduğuna göre, n + 3k toplamını bulalım.
Çözüm:
AB = B – A = ^–2 –1, 3 – 2, 1 – kh = ^–3, 1, 1 – kh
BC = C – B = ^3 – ^–2h, n – 3, –2 – 1h = ^5, n – 3, –3h
AB. BC = 0 olmalı.
–3.5 + 1.(n – 3) + (1 – k). (– 3) = 0
–15 + n – 3 – 3 + 3k = 0 ⇒ n + 3k = 21 bulunur.
a
→
|u|
O
u =
H
→
B=(3,0,4)
A. B 2.3 + –3.0 + 1.4 6 + 4 10
=
=
=
=2
5
25
B
32 + 02 + 42
bulunur.
61
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
2A + B + C =
B = 3 e 1 + 4 e 3 vektörleri veriliyor.
ÜNİTE – 1
UYGULAMA ADIMI
19. A = (0, 1, 3) vektörünün B = (2, 3, 6) vektörleri doğrultu-
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
sundaki dik izdüşüm vektörünü bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
→ →
A xB=
→
A=(0,1,3)
→
u
→
B=(2,3,6)
+
0
→
–4 e1
→
6e
2
→
e1
→
e2
→
e3
2
0
–1
1
4
3
e1
e2
2
0
→
8 e3
→
+ – e2
→ →
8 e3 – e2
e3
–1
→ + 6e→
–4e
1
2
u=
A. B
0.2 + 1.3 + 3.6
2 .B & u =
2 .^2, 3, 6h
B
^ 22 + 32 + 62 h
21
u=
.^2, 3, 6h
49
6 9 18
u=b , ,
l bulunur.
7 7 7
20. A = e 1 + e 2 – e 3
4. Bölüm
B = 3 e 1 – 4 e 2 + 12 e 3 vektörleri veriliyor.
A vektörünün B vektörü doğrultusundaki dik izdüşüm vektörünü bulalım.
Çözüm:
A # B = ^8 e 3 – e 2h – ^–4 e 1 + 6 e 2h = 8 e 3 – e 2 + 4 e 1 – 6 e 2
= 4e 1 – 7e 2 + 8e 3
& A # B = ^4, –7, 8h bulunur.
22. A = 3 e 1 + 4 e 3
B = e 1 – 2 e 2 + 3 e 3 vektörleri veriliyor.
A # B vektörel çarpımını bulalım.
Çözüm:
A = ^–3, 0, 4h
B = ^1, –2, 3h
A = (1, 1, –1)
B = (3, –4, 12)
→ →
A xB=
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
A nün B ü doğrultusundaki dik izdüşüm vektörü u olsun.
1.3 + 1.^–4h + ^–1h .12
A. B
2 .B =
2 .^3, –4, 12h
B
_ 3 2 + ^–4h2 + 12 2 i
13
–3 4 –12
u=–
.^3, –4, 12h = b ,
,
l
169
13 13 13
bulunur.
u=
0
→
–8 e1
+
→
9e
2
→
e1
→
e2
→
e3
3
0
4
1
–2
3
e1
e2
e3
3
0
4
→– →
9e
8 e1
2
21. A = (2, 0, –1)
A # B = ^ –6 e 3 + 4 e 2 h – ^ – 8 e 1 + 9 e 2 h = – 6 e 3 + 4 e 2 + 8 e 1 – 9 e 2
= 8e 1 – 5e 2 – 6e 3
B = (1, 4, 3) vektörleri veriliyor.
A # B vektörel çarpımını bulalım.
62
0
→
– 6 e3
→
+ 4 e2
→
→
4 e2 – 6 e3
& A # B = ^8, –5, –6h bulunur.
1.
A = (4, –2, 1) ve B = (1, 1, –3) vektörleri veriliyor.
4.
A = (x, 0, 3) ve B = (2, 4, –6) vektörleri veriliyor.
A. B = 4 olduğuna göre, x değeri kaçtır?
–1
11
5.
2.
A = (–2, 2, 1) ve B = (7, 1, 4) vektörleri veriliyor.
A = e 2 – 3e 3
B = 2e 1 – 3e 2 + e 3
A.^ A + B h skaler çarpımının değeri kaçtır?
C = e 1 + e 2 – 4e 3
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A. B değeri kaçtır?
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
vektörleri veriliyor. AB. CA skaler çarpımının değeri kaçtır?
4. Bölüm
1
2
A = –2 e 1 + 3 e 2 – 5 e 3
6.
A = ^sin 45°, log
2
8, tan xh
B = ^2 cos 45°, ln y, cot xh
B = 4 e 2 – 3 e 3 vektörleri veriliyor.
vektörleri veriliyor. A. B = 8 olduğuna göre, y değeri kaçtır?
A. B değeri kaçtır?
e
27
63
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
3.
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
7.
ABCDEFGH kare dik
prizma olmak üzere,
z
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
H(1,3,6)
E
F
G
10. A = e 1 + 2 e 2 + x. e 3
BH. ED skaler çarpımı-
B = 2e 1 – 4e 2 + e 3
nın değeri kaçtır?
C = 3 e 1 + 6 e 2 + 6ke 3
vektörleri veriliyor. B vektörü A ile C vektörlerinin oluştur-
y
x
A(
2,
1,
0)
duğu açının açıortayı olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?
C(1,3,0)
B(4,2,0)
D(1,3,0)
2
11.
–36
A = 4 birim
B = 6 birim dir.
A ile B vektörleri arasındaki açı 60° olduğuna göre,
8.
^2 A + B h .^ A – B h skaler çarpımının değeri kaçtır?
A = ^ 2 , 1, 1h
4. Bölüm
B = ^– 2 , 1, –1h vektörleri arasındaki açı kaç derecedir?
–16
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
120
9.
12. A = –e 1 + 2 e 2
A = e 1 + 2e 2 + e 3
B = e 1 + 2e 2
B = 2e 1 + e 2 – e 3
vektörleri arasındaki açının tanjant değeri kaçtır?
vektörleri arasındaki açı kaç derecedir?
60
64
4
3
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
16. x ∈ IR olmak üzere,
B = ^5x, 1 – x, –2h
B = 2 e 1 + ke 2 – 2 e 3
vektörleri veriliyor. A. B skaler çarpımının en büyük değeri
vektörleri birbirine dik olduğuna göre, k değeri kaçtır?
kaçtır?
–3
15
17. A = (–4, 4, 1) vektörünün B = (1, 2, 2) vektörü üzerindeki
14. A, B, C vektörleri ikişer ikişer birbirine dik birim vektörler
dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir?
olmak üzere, 2 A – B + 3 C değeri kaçtır?
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
A = ^1, x, –3h
13. A = 4 e 2 – 6 e 3
4. Bölüm
2
14
B = 2e 1 + 3e 2 + 6e 3
15. A = ^1, 2, 1h vektörünün y ekseniyle yaptığı açının tanjant
değeri kaçtır?
vektörleri veriliyor. A vektörünün B vektörü üzerindeki dik
izdüşüm vektörünü bulunuz.
1
2
4 6 12
a , , k
7 7 7
65
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
18. A = 4 e 1 + 2 e 2
ÜNİTE – 1
PEKİŞTİRME ADIMI
19. A = (4, 3, 5) vektörünün B = (–3, 4, 5) vektörü doğrultusun-
22. u = ^– 2 ,1,–1h vektörü ile aynı yönlü birim vektörü bulunuz.
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
daki dik izdüşüm vektörünü bulunuz.
b – 2 , 1 , –1 l
2
2 2
–3 4 5
a , , k
2 2 2
20. A = (4, 3, 2)
B = (4, 2, 0)
23. A = (1, 1, –1) ve B = (2, 1, –2) vektörleri üzerine kurulan
vektörleri veriliyor. C = A # B eşitliğini sağlayan C vektö-
paralelkenarın alanını bulunuz.
rünü bulunuz.
4. Bölüm
2
(–4, 8, –4)
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
21. A = 2 e 1 – e 2 + e 3
24. Analitik uzayda A = (p, 0, 2), B = (1, 1, –1), C = (2, –1, 3)
vektörleri üzerine bir paralelyüz kurulamadığına göre p nin
değerini bulunuz.
B = 4 e 2 – 3 e 3 vektörleri veriliyor.
A # B vektörel çarpımını bulunuz.
3
(–1, 6, 8)
66
SINAMA ADIMI
A = (–2, 4, 0) vektörünün B = (4, 3, –12) vektörü üzerin-
4.
1
A)
13
2
B)
13
3
C)
13
4
D)
13
A = 4e 1 – e 2 + 2e 3
B = –2 e 1 + 4 e 2 – e 3
5
E)
13
C = e 1 – ke 2 + e 3
vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre, k kaçtır?
A) –
2.
A, B, C
2
7
B) –
5
8
C) 1
D)
5
3
E)
12
7
vektörleri ikişer ikişer birbirine dik birim vektörler
5.
olmak üzere 3A – 4B + 12C değeri kaçtır?
A = (k, –1, 0), B = (4, –1, 2) ve C = ^2, 2, 1h vektörleri
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
deki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir?
ÜNİTE – 1
1.
6
düzlemsel olduğuna göre, k kaçtır?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 13
E) 17
A) –2
C) 0
D) 1
E) 3
A = (0, 2, 4)
B = (1, 3, b)
3.
k ∈ R olmak üzere,
C = (a, 0, 2)
A = (2, k, 4)
vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre, a ile b arasındaki
bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
B = (4k, 2 – k, 8) vektörleri veriliyor.
A . B skaler çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A) 57
B) 63
C) 66
D) 74
1) D
A) a – 2b = 6
B) 2ab – 12a = 4
C) 4ab + 2b = 8
D) 2ab – 12b = 16
E) ab – 8b = 12
E) 81
2) D
3) A
4) B
5) C
6) B
67
Sinama Adımı
6.
B) –1
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1
7.
A = (2, 1, 2)
6
10. A = e 1 – 2e 2 + 4e 3
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
B = (2, a – 2, 4) vektörleri veriliyor.
B = e1 – e 3
a ∈ R3 ve A.B = 12 olduğuna göre,
vektörleri veriliyor. A # B vektörü aşağıdakilerden
B.B skaler çarpımı kaçtır?
hangisidir?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 20
E) 24
A) (1, 1, –4)
B) (2, 5, 2)
D) (2, 6, 2)
8.
A = 8e 1 + 12e 2 + 2e 3
E) (3, 5, 7)
11. A = e 1 – 4e 2 + 3e 3
B = 4e 1 – 8e 2 + e 3
B = 2e 1 – e 2 + 2e 3
C = 6e 1 + 4e 2 + ke 3
A ve B vektörlerine dik olan x vektörü x.c = —28
vektörleri üzerine kurulan paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
koşulunu sağlıyorsa k kaçtır?
A) 6
A) 1
Sinama Adımı
9.
C) (4, 1, 7)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 3 10
D) 9 3
C) 6 2
E) 12 5
A = 2e 1 – e 2 + e 3
B = 2e 1 + 6e 2 + 3e 3
12. A = (2, 1, 3)
vektörleri veriliyor. A vektörünün B vektörü üzerindeki
dik izdüşüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
2 6 3
A) b , ,
l
49 49 49
D) b
68
1 4 6
B) b , , l
7 7 7
4 –1 6
, , l
13 13 13
C = (3, 2, 2)
2 5 8
C) b , , l
13 13 13
E) b
vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın hacmi kaç birim
küptür?
3 7 9
, , l
10 10 10
7) D
8) A
B = (1, 0, 1)
A) 3
9) A
10) B
B) 4
11) B
C) 5
12) A
D) 6
E) 9
ÜNİTE – 1
DERS NOTLARI
UZAYDA VEKTÖR, DOĞRU VE DÜZLEMİN ANALİTİK İNCELENMESİ
3. Bölüm
Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımı
69

dosyayı indir - okulbahcemiz

Iktisada Giris Notu

1 - www.omersencar.com

ülkemizde karayollarının kısa tarihçesi

Bölüm-2

Kültür ve Tabiat Varlıklarını Koruma Kurultayı

4 - www.omersencar.com

Türkçe ve Yunanca Ortak Kelimeler, Terimler ve Atasözleri

Tıp_Ders5_Peptid bagı, peptidler, polipeptidler

İndir (PDF, 708KB) - Kimya Ders Notları