UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Uygulama: verilen çerçevenin yatay deprem yüklerinin hesaplanması. Yapının bulunduğu bölgenin deprem özellikleri: Z3, TA=0.15 s TB=0.60 s Ao=0.30 I=1.4 R=6 14 13 16 15 3.2m 11 10 9 Q=7.59 kN/m 5 G=31.605 kN/m Q=6.35 kN/m 6 12 3.2m Q=3.63 kN/m G=26.935 kN/m 7 G=16.725 kN/m 8 1 6.43m 2 30/60 3 4.82m 30/60 cm 30/60 cm 4m 5.51m 30/604 Çözüm: Kiriş yükleri tüm katlar için eşit olup tabloda hesaplanmıştır. Çerçeve Kiriş L Kirişin kendi yükü Döşemelerden gelen K103 6.43 3.125 (.25x.5x2.5) 28.48 (D101-103 trapez) B-B 1., 2. ve 3. K104 4.82 3.125 (.25x.5x2.5) 23.81(D102-104 trapez) kat K105 5.51 3.125 (.25x.5x2.5) 13.6 (D105 trapez) Toplam G Q nQ=0.3Q 3.125+28.48=31.6057.59 3.125+23.81=26.9356.35 3.125+13.6=16.725 3.63 2.28 1.91 1.09 G+nQ L(G+nQ) 31.605+2.28=33.88 6.43x33.88=217.86 28.84 17.81 4.82x28.84=139.01 5.51x17.81=98.16 ÇÖZÜM: Yatay deprem yüklerinin mod birleştirme yöntemi hesabında toblodaki yol izlenir. Bir yapının MOD yöntemi ile deprem yüklerinin hesabında izlenen aşamalar Sıra Açıklama 3 3 1 Çerçevenin rijitlik matrisi oluşturulur (k=12EI/h 2 Çerçevenin her katının kütlesi hesaplanarak sistemin kütle matrisi oluşturulur (m=(G+nQ)L/9.81) 3 Çerçevenin det = [K − ω2M] denklemi oluşturulur 4 det = [K − ω2M] denkleminden açısal hızlar bulur. 5 DY’nin 2.8.3 maddesine göre hesapta dikkate alınacak mod sayısı hesaplanır. 6 A (T) = AoI S(T) İvme spektrumu Spa = 7 Modal Kütle Çarpanı Hesabı [Modal Katılım Faktörü] 8 Maksimum yer değiştirmeler [Yi]. [Yi ]max = 9 Yer değiştirmelerinden x deplasmanlarına modlardan gelen katkı; [{x}i = {φ φi}(Yi)max] ω12 m x1 F2.mod dan = veya k=3EI/h ) Her bir ω için Periyotlar T=? Modlar φ=? A(Ti ) g (yapının ve bölgenin özelliklerine göre) R(Ti ) ω22 m α1 ={φi } [M] {r } T αiSpa ( Ti ) ωi2 10 F1.mod dan = 11 2 2 2 2 0.5 Fi = [F1i.mod dan ] + [F2i.moddan ] + [F3i.mod dan ] + [Fni.moddan ] x2 Fn.mod dan = ωn2 m Çekme Basınç xn 1/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Çerçevenin rijitlik ve kütle matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir. B-B çerçevesinin rijitliklerinin hesabı Depremin X-X Yönünde Etkimesi Halinde Yapının Periyodunun (T) Hesaplanması KAT AKS I (10-3m4) B1 1 B-B B2 B3 B4 B1 2 B-B B2 B3 B4 B1 3 B-B B2 B3 B4 k = 12EI / h3 (kN / m) E (kN/m2) h (m) 3 1.35 5.40 1.35 5.40 1.353 5.40 1.35 5.40 1.353 5.40 1.35 5.40 3.2.10 6 4 3.2.106 3.2 3.2.106 3.2 ∑ k1.KAT + ∑ k 2.KAT B-B Aksı [K ] = − ∑ k 2.KAT 0 810 3240 810 3240 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 − ∑ k 2.KAT ∑k Wi (kN) ∑ k1 = 8100 217.86 +139.01 +98.16= − ∑ k 3.KAT 455.03 46.38 ∑ k 3 = 15820.32 455.03 46.38 − ∑ k 3.KAT ∑ k 3.KAT 0 0 46,38 m = 0 46,38 0 0 0 46,38 RİJİTLİK MATRİSİ KÜTLE MATRİSİ det[k − mω2 ] −15820,32 31640,64 − 46,38ω −15820,32 −15820,32 =0 15820,32 − 46,38ω2 0 2 det=-99768,2 ω6 +1,535x108 ω4 -5,26543x1010 ω2 +2,027x1012 ) 46.38 ∑ k 2 = 15820.32 0 23920,32 −15820,32 B-B Aksı [K ] = −15820,32 31640,64 −15820,32 −15820,32 15820,32 0 23920,32 − 46,38ω2 −15820,32 det = 0 ( W kN − sn2 / m 9,81 455.03 0 ∑ k 2.KAT + ∑ k 3.KAT m= Bilinen bir yöntem ile hesaplanan açısal hızlar ω = 6,632 1 ω2 = 20,890 ω3 = 32,537 NOT: det=-99768.2 ω6 +1.535x108 ω4 -5.26543x1010 ω2 +2.027x1012 = 0 bu denklem çeşitli nümerik çözüm yöntemlerinden birisi ile çözülebilir. Burada determinant arama yöntemi ile çözüm yapılacak ve ve MSSN.MAT ile kontrol edilecek. Aşağıda örnek bir çerçeve çözümü verilmiştir. det[[K]-ω ω [M]]=0 bağıntısından elde edilen determinant denklemi çözülür. Determinant hesaplanırken 2 elde edilen fonksiyonun derecesi serbestlik derecesinin iki katı olur. Çerçeve 3 katlı olduğundan dolayı açısal hızlar [[ω ω1 -ω ω1], [ω ω2 -ω ω2], [ω ω3 -ω ω3]] 6 tane olup bunların artı değerde olan 3 tanesi [[ω ω1], [ω ω2], [ω ω3]] çözümlerde kullanılır. Bu tür denklemlerin çözümleri çok pratik olmamaktadır. Bunun için küçükten büyüğe doğru artan değerler verilerek bir deneme yanılma uygulanır. Bu şekildeki çözümdeki genel yaklaşım, açısal hızın değerlerine (0’dan başlayarak alınan değerler çünkü -ω değeri çözüm için anlamsızdır) göre –det ve +det değerleri hesaplanarak bu arada det=0 yapan açısal hızı bulma üzerinedir. Bunun için aşağıdaki adımlar izlenir. 2/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 1. Ordinatı determinant (det.) ve apsisi açısal hız (ω ω ) olan bir eksen takımı çizilir. 2 -det +det ω1 için ωx=? ise -det A y y’ ω 2 değer arasında determinantı sıfır yapan [ω2] bulunur z z’ 3 2 değer arasında determinantı sıfır yapan [ω2] bulunur ωx’ ise +det ωx’’ ise +det ω2 ω1 x’ y y’ ωy ise -det ω1 için ωx=? ise -det 1. açısal hız (ω ω1) bölgesi +det x’ B x” y -det ω1 için ωx=? ise -det ωx ise +det ω3 D z z’ ω z” ω3 için ωz=? ise -det ωy ise -det ωx’ ise +det ωz’ ise ωz’’ ise +det +det ω2 için ωy=? ise -det ω1 x C y’’ ω2 ω2 için ωy=? ise -det ωy’’ ise ω3 için ωz=? ise ωy’ ise -det -det -det -det x” ω4 3. açısal hız (ω ω3) bölgesi ωz ise +det B ω1 için ωx=? ise -det [ω ω3] ω3-ω ω4 arasında bir noktada bulunur 2. açısal hız (ω ω2) bölgesi ωx ise +det x A 3 verilerek determinant hesaplanır [-] arasında bir noktada bulunur SIFIRDAN BAŞLANIRSA 2 ω’ye bir değer x arasında bir noktada bulunur ω x’ 3 verilerek determinant hesaplanır [+] 2 değer arasında determinantı sıfır yapan [ω1] bulunur [ω ω1] ω1-ω ω2 DEĞERDEN BAŞLANIRSA [ω ω2] ω -ω ω 2 verilerek determinant hesaplanır [-] ω 1 ω2 için 2 ω’ye bir değer verilerek determinant hesaplanır [+] ω’ye bir değer ω2 için 1 ω’ye bir değer ω2 için +det ωy’ ise ω ise y’’ -det -det y’ y’’ ω3 ω2 C ωx’’ ise ω için ω =? ise 2 y +det -det ω2 için ωy=? ise -det ω3 için ωz=? ise -det z z’ D z” ω ω3 için ωz=? ise -det ωz ise +det ωz’ ise ωz’’ ise +det +det 2. İlk önce ω=0 değeri denklem 1’de yerine yazılarak determinant değeri det (A) hesaplanır (bu değer denklem 1’deki sabit terime karşılık gelir) ve det-ω ω grafiği üzerine işaretlenir (genellikle bu +det olur). 3. Sonra açısal hıza (ω ω) küçükten başlamak üzere –det elde edinceye kadar değer-değerler verilerek –det (B) değeri elde edilir [mümkün olduğunca küçük değerden başlanmalıdır aksi durumda 1. açısal hız değeri geçilerek 2. veya 3. açısal hız değerleri sınırları içine geçilebilinir] ve det-ω grafiği üzerine işaretlenir. 4. 2. maddede bulunan +det (A) değeri ile 3. maddede bulunan –det (B) değeri [det değerlerinin işaretleri ters olabilir, yani ilk önce –det değeri sonra +det değeri bulunarakta çözüm yapılabilir] birleştirilerek yatay ekseni kesen bir açısal hız değeri (ωx) bulunur. +det ile –det arasında bulunan açısal hız değeri (ωx) 1’de fonksiyonda yerine yazılarak yeni bir – det veya +det değeri hesaplanır. 4.1.’de bulunan -det ise +det (A) ile birleştirilerek yeni bir açısal hız değeri (ωx’) bulunur veya 3/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 4.1.’de bulunan +det ise -det (B) ile birleştirilerek yatay ekseni kesen yeni bir açısal hız değeri (ωx’) bulunur. 4.2 veya 4.3’ten hangisi kullanıldı ise bu durumdaki açısal hız ve buna karşı gelen determinant değeri ((ωx’) hesaplanır. 4.3. Eğer son hesaplanan det değeri sıfıra yakın ise işleme son verilir, 4.4. Değilse son bulunan bu det değeri (ωx’) -det ise +det (A) ile veya +det ise –det (B) birleştirilerek tekrar bir açısal hız (ωx’’) ve buna karşı gelen det değeri hesaplanarak sıfıra yakınlığı kontrol edilir. ωx’’ değeri denklemde yerine yazılarak det değerinin sıfıra yakınlığı kontrol edilir. 5. Genelde bu işlemlerde 3-4 adımdan sonra gerçeğe yakın ((ω) değer bulunur. 6. 2. açısal hız değerini bulmak için, 6.1. 1. açısal hız değerinin hesabında bulunan –det (B) değeri alınır. 6.2. Sonra açısal hıza 1. açısal hızdan (ω ω1) daha büyük üzere +det elde edinceye kadar değerdeğerler verilerek +det (C) değeri elde edilir [mümkün olduğunca küçük aralıkta değerden başlanmalıdır aksi durumda 2. açısal hız değeri geçilerek 3. açısal hız değerleri sınırları içine geçilebilinir] ve det-ω grafiği üzerine işaretlenir. 6.3. B ile C arasında 1. açısal hızın hesabında yapılan işlemlerin aynısı yapılarak 2. açısal hız hesaplanır. 7. 3. ve-veya 4.açısal hız değeri yukarıdaki açısal hızların hesabındaki yol izlenerek bulunur. 8. Açısal hızların giderek ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ωn attığının bilinmesi çözümü daha kolaylaştırır. det det 1. [ω1] Gerçeğe en yakın 2. açısal hız 3. [ω3] 2. [ω2] Gerçeğe en yakın 1. açısal hız Gerçeğe en yakın 3. açısal hız ω ω Gerçeğe en yakın 1. açısal hız -det 2. [ω2] 1. [ω1] Gerçeğe en yakın 3. açısal hız + det. değer vererek başlanması Gerçeğe en yakın 2. açısal hız -det 3. [ω3] - det. değer vererek başlanması NOT: ω=ω ω2 det=-99768.2 ω3 +1.535x108 ω2 -5.26543x1010 ω +2.027x1012 = 0 ile de çözüm yapılabilir ancak burada det=-99768.2 ω6 +1.535x108 ω4 -5.26543x1010 ω2 +2.027x1012 = 0 alınarak hesap yapılmıştır. Elektronik ortamda daha hasas çözüm yapılır. Ancak sistemin çözümü hakkında haberdar olmak için el hesabı terçih edilmiş ve açısal hızların hesabı aşağıdaki şekilde adım adım açıklanmıştır. 1. Açısal hız için önce ω=0 tahmini yapılarak det=2.027x10 12 12 det=-1.803x10 bulunmuş olsun. Sonra ω=10 için bulunarak aşağıdaki grafikte gösterilmiştir (unutulmamalı ki 2, 4, 6 veya 8 alınarakta determinant hesaplanır ancak hepsinde de +det değeri elde edildiği için anlamı olmaz çünkü burada +det değeri mevcut olduğu için ω eksenini kesmesi için –det değeri gerekli). 4/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) ω = 0 ise det = 2.027.1012 −15820,32 = 0 2 12 15820,32 − 46,38ω2 ω = 10 ise det = −1.803.10 det[k − mω2 ] 23920,32 − 46,38ω det = −15820,32 0 −15820,32 2 0 31640,64 − 46,38ω2 −15820,32 2. Aranan açısal hız 0-10 arasında bir noktada olduğu görülmektedir. Tam açısal hız değerini bulmak için ω=0 +det ile ω=10 -det birleşimi sonucu eksenini kesen değer (ωx) hesaplanır. ωx=5.292 deki det=0.67.10 12 12 değeri bulunur. 12 det=0.67.10 değeri ile det=-1.803.10 değeri birleştirilmesi sonucu ekseni kesen açısal hız değeri ωx’=5.292+1.28=6.572 değeri hesaplanır. ωx’=5.292+1.28=6.572 değerine karşı gelen det=0.0311.10 12 12 det=0.0311.10 12 değeri ile det=-1.803.10 bulunur. değeri birleştirilmesi sonucu ekseni kesen açısal hız değeri ωx’’=5.292+1.28+0.06=6.632 değeri hesaplanır. Çözüm adımlarından görüldüğü gibi açısal hızlardaki değişim minimum olduğu için işlemlere son verilir ve birinci açısal hız olarak ω1=6.632 alınır. 1. adım 2.adım 3.adım +det ω=0 için ω=5.292 için ω=5.292+1.28+0.06=6.632 det=2.027.1012 det=0.6706.1012 ω=5.292+1.28 için det=0.0311.1012 10 x x’ x” -det x= ise det=-453321690 det=-1.803.1012 2.027 ⋅ 10 = 5.292 (1.803 + 2.027) x′ = 10 0.6706 ⋅ (10 − 5.292) = 1.28 x′ ' = 3.111.10 10 ⋅ (10 − 6.572) = 0.06 0.6706 + 1.803 3.111.10 + 1.803.1012 NOT: ω1 = −6.632 alınması halinde sonuç değişmeyecektir, çünkü denklem sisteminin içine çift dereceden kuvveti girmektedir. ω2 açısal hızın hesabı için 10 değerine karşı gelen –det mevcut. Bundan sonra +det değeri veren bir açısal hız tahmin ederek (mümkün olduğunca küçük artırım yapılarak) hesaba başlanır. Örneğin açısal hız değeri ω2=20 alındığı zaman det=-8.60.10 11 bulunmaktadır. Bu eksi olduğu için daha önceki 10 değeride eksi olduğundan ekseni kesmeyecektir. Yani 20 değeri kullanılarak bir açısal hız değeri elde edilemez. Başka bir tahmin ω2=22 alındığı zaman 12 det=+1.19.10 bulunmakta ve bu değer çözüm için uygun. 2. açısal hız 10 ile 22 arasında bir noktada bulunduğu aşağıdaki grafik üzerinde tespit edilmiştir. 1. adım +det ω=0 için det=2.027.10 x 12 2.adım ω=5.292+1.28+0.06=6.632 ise det=-453321690 ω=5.292 için det=0.6706.1012 ω=5.292+1.28 için det=0.0311.1012 10 y x” x’ 3.adım det=1.19.1012 ω=10+7.229+3.307+0.341=20.877 ise det=-2.32.10 y’ 10 (değişim çok fazla yani dik) y’’ 22 -det y= det=-1.803.10 1.803 ⋅ (22 − 10) = 7.229 (1.803 + 1.19) 12 ω=10+7.229 için ω=10+7.229 +3.307 için 12 det=-2.687.1012 det=-0.361.10 y' = 12 2.687 ⋅ (22 − 10 − 7.229) = 3.307 y " = 0.361.10 ⋅ (22 −1210 − 7.22912− 3.307) = 0.341 2.687 + 1.19 0.361.10 + 1.19.10 5/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) ω2 açısal hızı bulunduktan sonra ω3 açısal hızın hesabı için 22 değerine karşı gelen +det mevcut. Bundan sonra -det değeri veren bir açısal hız tahmin edilir. ω3=30 tahmin edilerek det=+6.24.10 12 hesaplanmış ve +det olduğu görülmektedir. Çözüm için –det değeri gerektiğinden bu değeri 30 açısal hız değerini artırmamız gerekir. ω3=31 ise det=+4.64.10 (değer arttıkça det küçülmekte ve –det değerine yaklaşmakta) 12 ω3=32 ise det=+1.19.10 12 ω3=33 ise det=-2.122.10 12 (- değerde olduğu için uygundur çünkü 22 için +det değeri ile 33 için –det değeri birleştirilince açısal hız eksenini kesmektedir.) 22 ile 33 arasında olan ω3 değeri aşağıdaki şekilde elde edilir. 1. açısal hız 3. açısal hız için çözüm (ω3) ω2 ω1 2. açısal hız -det +det ω=5.292+1.28+0.06=6.632 ise det=-453321690 z= ω=0 için ω=5.292 için det=2.027.1012 det=0.6706.1012 ω=5.292+1.28 için det=0.0311.1012 10 y x” x x’ ω=10+4.482+5.243+1.54 =21.27 ise 11 det=3.85.10 det=-1.803.1012 1.19 ⋅ (33 − 22) = 3.952 (1.19 + 2.122) 22 12 det=1.19.10 z ''' = için ω=10+7.229 için ω=10+7.229 +3.307 12 det=-2.687.1012 det=-0.361.10 z' = ω3 ω=22+3.952 için ω=22+3.952+5.139 için det=5.713.1012 det=4.445.1012 ω=22+3.952+5.139 ++1.292+0.129=32.51 ise det=5.18.1010 33 z z’ z” y’’ y’ 3. açısal hız 0.56 ⋅ (33 − 32.383) = 0.129 0.56 + 2.122 ω=33 için det=-2.122.1012 5.713 ⋅ (33 − 22 − 3.952) = 5.139 5.713 + 2.122 z'' = 4.445 ⋅ (33 − 22 − 3.952 − 5.139) = 1.292 4.445 + 2.122 Açısal hızların çözümleri incelendiğinde determinant değişimlerinin çok ani olduğu görülmektedir. Bu nedenle çözüm aralıkları çok küçük olmasından dolayı adım aralıkları küçük tutarak çözüm yapmak gerekir. Örneğin 3. açısal hız daha geniş aralık alınması sonucu aşağıda görüldüğü gibi daha faklı değerler bulunabilmektedir. Örneğin ω3=32.51 değerinde bile determinant değeri det=5.58.10 olurken ω3=33 de det=-2.122.10 12 olmaktadır. Yani açısal hızın çok küçük değişimine karşılık determinant aşırı değişmektedir. Bu halde bile bu değişim ihmal edilebilir. Adım aralıklarının değişik olması durumu 2.adım 1. adım ω=5.292+1.28+0.06=6.632 ise det=-453321690 +det ω=0 için ω=5.292 için det=2.027.1012 det=0.6706.1012 ω=5.292+1.28 için 12 det=0.0311.10 10 y x” x x’ -det z= ω=10+4.482+5.243+1.54 =21.27 ise 11 det=3.85.10 det=-1.803.1012 3.adım 12 det=6.242.10 12 det=5.40.10 det=4.47.1012 z’ z y’ ω=30+0.6+0.49+0.39=31 11 .48 ise det=3.85.10 40 z” 30 ω=10+4.482 için ω=14.482+5.243 için 12 det=3.185.1012 det=1.10.10 6.242 ⋅ (40 − 30) = 0.6 (6.242 + 97.91) z' = ω=40 için 12 det=-97.91.10 5.40 ⋅ (40 − 30.6) 4.47 ⋅ (40 − 30 − 0.6 − 0.49) = 0.49 y "' = = 0.39 5.40 + 97.91 4.47 + 97.91 Bilgisayar ve el ile yapılan çözümler aşağıdaki tabloda verilmiştir. det[[K] - ω2 [M]] = 0 El (klasik) çözümü det[k − mω2 ] 23920,32 − 46,38ω2 det = −15820,32 0 6/36 −15820,32 31640,64 − 46,38ω2 −15820,32 10 −15820,32 =0 2 15820,32 − 46,38ω ω1 = 6.632 0 ω2 = 20.877 ω3 = 32.51 Bilgisayar çözümü ω1 = 6.632 ω2 = 20.89 ω3 = 32.537 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Bu determinantın sonucu bulunan açısal hızların fonksiyonu aşağıdaki şekildeki gibi olmaktadır. ω1 ω3 ω2 MODLARIN (ÖZ VEKTÖR) HESABI [-ωi2 [M] + [K]] φi.mod = 0 denkleminde [-ωi2 [M] + [K]] = 0 çözümünden bulunan açısal hızlar (ω) (öz değerler) denklemde yerine yazılarak herbir açısal hıza (öz değere) sistem serbestlik derecesi sayısı kadar (öz vektör) karşı gelen modlar hesaplanır. Yani herbir açısal hıza karşı katsayısı kadar mod hesaplanır. Yapımız 8 katlı ise +8 tane açısal hız ve herbir açısal hıza karşı 8 adet olmak üzere toplam 2 8 kadarda mod hesaplanır. Her bir açısal hıza karşı gelen değerler, [-ω12 [M] + [K]] φ1.mod = 0 [-ω22 [M] + [K]] φ2.mod = 0 [-ω32 [M] + [K]] φ3.mod = 0 bağıntısıyla bulunur. 1. açısal hız [-ωi2 [M] + [K]] φi.mod = 0 denkleminde yerine yazılarak modlar hesaplanır. 23920,32 − 46.38 ⋅ 6.6322 ω12 = 6.632 ⇒ [K] − [M]ω12 φi ⇒ −15820,32 0 21880.37φ11 − 15820.32φ21 + 0.00φ31 = 0 −15820.32φ11 + 29600.69φ21 − 15820.32φ31 = 0 0.00φ11 − 15820.32φ21 + 13780.37φ31 = 0 −15820,32 31640,64 − 46.38 ⋅ 6.632 −15820,32 φ 0 11 −15820,32 φ21 = 0 15820,32 − 46.38 ⋅ 6.6322 φ31 0 0 2 φ11 = 1 kabul edilir ise 1. denklemden φ21 = 1.383 [1] [2] 3 homojen denklem φ11 = 1 ve φ21 = 1.383 ise 2. denklemden φ31 = 1.588 [3] 3. denklemden φ31 = 1.588 φ21 = 1.383 ise NOT: Bilinmeyen sayısı n olan bir homojen lineer denklem sisteminde, (φ11, φ21, ..., φn1 ) = (0, 0, ...,0) her zaman bir çözümdür. Bu çözüme homojen sistemin aşikar çözümü veya sıfır çözümü denir. Ayrıca, homojen bir sistemin sıfır çözümünden farklı çözümleri de olabilir. Yukarıda buluna normal modlar kullanılarak aşağıdaki şekilde normalize modlar hesaplanır. 7/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) NORMALİZE MODLAR ω12 = 6.6322 ⇒ φ11 = φij = T [φ j ] [M][φ j ] 1 1 = = 0.063 φ21 = 0.087 φ31 = 0.100 46.38 252.049 0 0 1 [1 1.383 1.588] 0 46.38 0 1.383 0 0 46.38 1.588 1. açısal hıza ( ω1) karşı gelen normal ve normalize mod sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir. φ11=1 için çözüm ω12 2 = 6.632 Normal Mod (Modal vektör) 21880.37 -15820.32 0 φ11 -15820.32 29600.69 -15820.32 φ21 0 -15820.32 13780.37 φ31 = Normal Mod (Modal vektör) 0 φ11 = 1 φ11 = 0.063 0 φ21 = 1.383 φ21 = 0.087 0 φ31 = 1.588 φ31 = 0.100 NOT: Modları hesaplarken φ11 değerine φ11=1 verilmesi homojen denklem sisteminin bağımlı çözüm şekillerinden birisidir. İlk değere istenilen keyfi değer verilebilir. Örneğin φ11=19 alınması halinde normal modların değiştiği ve hesaplarda esas olan normalize modların değişmediği aşağıdaki hesaplarda görülmektedir. φ11 = 19 KABUL edilir ise 3 denk. − 15820.32φ12 + 21880.37 x 19 = 0 → φ12 = 26.28 2. denk. − 15820.32x19 + 29600.69x 26.28 − 15820.32φ13 = 0 φ13 = 30.17 φ11 = 19 ise φ13 = 30.17 φ12 = 26.28 3. denk. − 15820.32 ⋅ 26.28 + 13780.37φ13 = 0 φ11=19 alınarak yapılan çözüm [Uğurlu sayınızı alabilirsiniz] 21880.37 -15820.32 ω12 2 = 6.632 0 -15820.32 29600.69 -15820.32 0 ω12 = 6.6362 ⇒ φ11 = -15820.32 13780.37 Normal Mod Normalize Mod (Modal vektör) Normal Mod (Modal vektör) φ11 0 φ11 = 0.063 φ11 = φ11 = 0.063 x φ21 = 0 φ12 φ31 0 = 26.28 φ12 = φ13 = 30.17 φ13 = 0.087 φ21 = 1.383 φ21 = 0.087 0.100 φ31 = 1.588 φ31 = 0.100 = 19 φ11 Normalize Mod 19 19 = = 0.0.063 46.38 90991.41 0 0 19 [19 26.28 30.17] 0 46.38 0 26.28 0 0 46.38 30.17 1 φ12 = 0.087 φ13 = 0.100 Yukarıda yapılan hesaplardan görüldüğü üzere φ11=1 ve φ11=19 alınmasının normalize mod değeri değişmemektedir. NOT: ω1’re karşı gelen normal modları bulmak için yapılan değer atama değişimleri; 1. φ11=1 alınarak çözüm yapılabildiği gibi φ12=1 veya φ13=1 alınarak da çözümler 2. φ11=19 alınarak çözüm yapılabildiği gibi φ12=19 veya φ13=19 alınarak da çözümler 3. 1. ve 2. maddeki işlemler diğer açısal hızlar ( ω2 ve ω3) içinde aynı çözümler yapılabilir. Normalize modlarda herhangi bir değişim olmadığı yapılan çözümlerden de açıkça görülmektedir. φ31 = 19 KABUL edilir ise 3 denk. − 15820.32φ12 + 13780.37 ⋅ 19 = 0 φ12 = 16.55 ise 1 denk. 21880.37φ11 − 15820.32 ⋅ 16.55 = 0 8/36 → φ12 = 16.55 φ11 = 11.97 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) φ31=19 alınarak yapılan çözüm [Uğurlu sayınızı alabilirsiniz] ω12 2 = 6.632 21880.37 -15820.32 0 φ11 -15820.32 29600.69 -15820.32 φ21 0 -15820.32 13780.37 φ31 ω12 = 6.6362 ⇒ φ11 = = Normal Mod Normalize Mod 0 φ11 = 11.97 φ11 = 0.063 0 φ21 = 16.55 φ21 = 0.087 0 φ31 = 19 φ31 = 0.100 19 11.97 = = 0.0063 46.38 36092,15 0 0 11.97 AYNI [11.97 16.55 19] 0 46.38 0 16.55 0 0 46.38 19 φ12 = 0.087 φ13 = 0.100 NORMALİZE MODLAR BULUNUR 2. ve 3. açısal hızlara karşı gelen normal ve normalize modlar 1. açısal hız için yapılan çözümlerin aynısı yapılarak aşağıdaki şekilde bulunur. ω2 için normal ve normalize modlar φ12=1 alınarak yapılan çözüm ω22 = 20.877 2 Normal Mod 1665.69 -15820.32 0 φ12 -15820.32 11425.96 -15820.32 φ22 0 -15820.32 -4394.36 φ32 = Normalize Mod 0 φ12 = 1 φ12 = 0.111 0 φ22 = 0.234 φ22 = 0.026 0 φ32 = -0.843 φ32 = -0.093 ω3 için normal ve normalize modlar φ13=1 alınarak yapılan çözüm ω23 = 32.512 Normal Mod -25098.71 -15820.32 0 φ13 -15820.32 -17378.39 -15820.32 φ23 0 -15820.32 -33198.71 φ33 = Normalize Mod 0 φ13 = 1 0 φ23 = -1.586 φ23 = -0.115 0 φ33 = 0.756 φ33 = 0.055 KONTROL: Bulunan normal modların doğru olup olmadığı, qi = [φ j ]T [M][1] [φ j ]T [M][φ j ] φ13 = 0.073 N olmak üzere ∑ qi = 1 i=1 bağıntısı kullanılarak kontrol edilir. 0 0 1 46.38 [1 1.383 1.588] 0 46.38 0 1 T 0 46.38 1 [ φ ] [M][1] 184.175 0 q1 = 1T = = = 0.73 0 0 1 46.38 252.049 [φ1] [M][φ1] [1 1.383 1.588] 0 46.38 0 1.383 0 46.38 1.588 0 0 0 1 46.38 [1 0.234 −0.843] 0 46.38 0 1 0 0 46.38 1 18.14 N q2 = = = 0.22 ∑ qi = 1 = 0.73 + 0.22 + 0.04 = 0.99 ≅ 1 0 0 1 46.38 81.88 i =1 [1 0.234 −0.843] 0 46.38 0 0.234 0 0 46.38 −0.843 0 0 1 46.38 [1 −1.586 0.756] 0 46.38 0 1 0 0 46.38 1 7.88 q3 = = = 0.04 0 0 1 46.38 189.55 [1 −1.586 0.756] 0 46.38 0 −1.586 0 0 46.38 0.756 Yukarıda yapılan modların etki oranları incelendiğinde 1. modun çok etkili olmasına karşın diğer modların etkisi oldukça az olduğu görülmektedir. 9/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 46,38 0 0 2,92194 5,14818 3,38574 {φ φ1 }T [M] {φ φ1 } = M1 = [I] 0,063 0,111 0,073 0,087 0,026 -0,115 {φ1 } {φ φ1 } [M] Kontrol 0,1 -0,093 0,055 0 46,38 0 4,03506 1,20588 -5,3337 T 0,063 0,087 0,1 1,00 0,00 0,00 0 0 46,38 4,638 -4,31334 2,5509 T 0,111 0,026 -0,093 0,00 1,00 0,00 0,073 -0,115 0,055 0,00 0,00 1,00 T {φ1 } [M] {φ1} [M] {φ1 } = Mi = [I] Deprem anında bu modlar ayrı ayrı veya belli bir sıra ile oluşmazlar çünkü çok kısa bir süre içinde farklı yönlerden farklı karakterde hareketler aynı anda yapıya etkir. Önemli olan deprem anında zemin periyodu ile yapı dinamik davranışına büyük etkisi olan modların titreşim periyodlarının çakışmamasıdır. Çünkü böyle bir durumda rezonanstan yapıya depremden daha çok zarar verebilir. Bulunan modlar kullanılarak bazı kontroller yapmak mümkündür. Bu kontrollerden en önemlisi T -1 modların ortogonalliğinin (Dikliği-Betti Karşıtlık Teoreminden, A =A ise A ortogonal matris ve Tüm ortogonal matrislerin determinantı ±1'dir. Simetrik k matrisinin açısal hızlarına karşılık gelen modları ortogonaldir (diktir).) kontrolü aşağıdaki şekilde yapılır. Genel hareket denklemi [-ωi2 [M] + [K]] φi = 0 dir. Burada açısal hızı bulmak için ωi2 [M]φi = [K]φi almak dikliği sağlamadığı için yeterli değildir. Bunun için ωi2 [M]φi = [K]φi ifadesini yani dikliği sağlamak için ωi2 φiT [M]φi = φiT [K]φi şeklinde alınması gerekir. Aşağıda yapılan kontrollerde bu durum dikkate alınmıştır. K O N T R O L L E R φ3 k φ1T [k ][φ3 ] = 0 23920,32 -15820,32 0,073 46,38 0 -0,115 0 46,38 0,055 0,063 0,087 0,1 2,922 4,035 4,638 0,004 T φ1 [m][ φ3 ] = 0 7,2504 12,449 10,123 0,83 φ1T [k ] 46,38 0 0 0 φ1T φ1T 23920,32 φiT [k ][ φi ] = ωi2 T φ1 [m][ φ1 ] = 0 0,063 0,087 0,1 [k ] 46,38 0 0 46,38 0 0 0 0,063 0 0,087 46,38 0,100 2,922 4,035 4,638 φ1 φ2 φ3 15820,32 0,063 0,087 0,1 0,111 0,026 -0,093 0,073 -0,115 0,055 -15820,32 0 -15820,32 31640,64 -15820,32 0 -15820,32 1 φ1T [M] φ1T [k] Kontrol φ3 M 0 -15820,32 15820,32 0,055 φ1T φ3 M 0,073 -15820,32 31640,64 -15820,32 -0,115 0 0,063 0,087 0,1 0 0,063 0,087 0,1 130,61 174,02 205,66 ω12 = 43.94 -0,10 0,83 0,111 0,026 -0,093 2243,83 537,89 -1882,62 -0,10 ω22 = 438.13 -1,60 0,073 -0,115 0,055 3565,52 -5663,67 2689,45 0,83 -1,60 ω32 = 1059.53 {φ } T Yapılan diğer kontroller aşağıdaki şekilde yapılır. 10/36 T {φi } [k] φiT [k ][ φi ] = ωi2 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) [-ω2 [M] + [K]] φ = 0 i i 23920.32 −15820.32 0 0 0 46.38 φ ortagonallikten φT 2 i i 46.38 0 = [0.063 0.087 0.1] −15820.32 31640.64 −15820.32 6.632 [ 0.063 0.087 0.1] 0 değilse çarpılamaz 0 46.38 0 −15820.32 15820.32 0 T 2 T [-ωi [φi ][M] + [φi ][K]] = 0 2 T [128.51 177.48 203.99] = 130,6123 174,0235 205,6642 T [ ωi [φi ][M] = [φi ][K]] ω12 = 6.6322 ⇒ φ1T [K ][ φ1 ] = ω2 φ1T [m][ φ1 ] ⇓ 23920.32 15820.32 0 0.06 3 0 0 0.063 − 46.38 [0.063 0.087 0.10 ] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.087 = 6.6322 [0.063 0.087 0.100 ] 0 46.38 0 0.087 0 −15820.32 15820.32 0.100 0 46.38 0.100 0 43.935 = 43.935 0 23920.32 −15820.32 0.063 [0.063 0.087 0.10] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.087 T 0 −15820.32 15820.32 0.100 2 φ1 [K ][ φ1 ] ω = = = 43.98 ωİ = 6.632 uygun İ φT [m][ φ ] 46.38 0 0 0.063 1 1 [0.063 0.087 0.100] 0 46.38 0 0.087 0 0 46.38 0.100 ω22 = 20.8772 ⇒ φ1T [K ][ φ1 ] = ω2 φ1T [m][ φ1 ] ⇓ 0 0 0 0.111 23920.32 −15820.32 0.111 46.38 46.38 0 0.026 [0.111 0.026 − 0.093] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.026 = 20.8772 [0.111 0.026 − 0.093] 0 −0.093 0 −0.093 0 − 158 20.32 15820 .32 0 46.3 8 438.13 = 437.57 Modların kontrolü yapıldıktan sonra çerçevenin titreşim özellikleri tablo halinde gösterilmiştir. Açısal hızlar, frekanslar, periyotlar ve modlar Hesapta ω (rad/s) f=ω/2π (Hz) T=2π/ω (s) {φ1} {φ2} 1 ω1= ±6.632 f1=1.0555 T1=0.95 0.063 0.111 0.073 Deprem 2 ω2=± ± 20.89 f2=3.325 T2=0.30 0.087 0.026 -0.115 Yükleri 3 ± 32.54 ω3=± f3=5.179 T3=0.193 0.100 -0.093 0.055 Kat {φ3} Kullanılan ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ωn T1 > T2 > T3 > T4 > Tn 1. mod şekli 1. modda deprem yükü 2. mod şekli f1 < f2 < f3 < f4 < fn 1.mod 2. modda deprem yükü 1. mod şekli 2. modda deprem yükü 2.mod 3.mod Sonuç Modlara karşı gelen aşağıdaki ivme değerleri çözümü yapılan çerçeve için gerçek değerler olmayıp deprem kayıtlarından alınan muhtemel ivmeleri değerlerini göstermektedir. φ23 φ13 φ12 φ33 φ32 φ22 φ11 φ21 φ31 3.mod 2.mod 1.mod 6.0 2.0 0.2 0.0 0.0 0.0 -6.0 T(sn) 7.sn -2.0 T(sn) 7.sn -0.2 T(sn) 7.sn 11/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) HESAPTA GÖZ ÖNÜNE ALINACAK MOD SAYISI Modların herbirinin deprem yüklerine etkisi aynı ağırlıkta olmayıp ilk moddan son moda doğru gittikçe azalan orandadır. Bu nedenle tüm modların hesaplarda dikkate alınması gerekmez. Deprem Yönetmeliği bu değişimi aşağıdaki şekilde dikkate alınmasını öngörmektedir. “2.8.3. Hesaba Katılacak Yeterli Titreşim Modu Sayısı 2.8.3.1 - Hesaba katılması gereken yeterli titreşim modu sayısı, Y, gözönüne alınan birbirine dik x ve y yatay deprem doğrultularının her birinde, her bir mod için hesaplanan etkin kütle’lerin toplamının, Denk.(2.16)’da belirtildiği üzere, hiçbir zaman bina toplam kütlesinin %90’ından daha az olmaması kuralına göre belirlenecektir. Ayrıca gözönüne alınan deprem doğrultusunda etkin kütlesi, bina toplam kütlesinin %5’inden büyük olan bütün titreşim modları gözönüne alınacaktır. “ N L2xn ≥ 0.90 ∑ mi n =1 Mn i =1 Y Y Y ∑ Mxn = ∑ r =1 Y ∑ Myn = ∑ L2yn n =1 Mn r =1 N ≥ 0.90 ∑ mi (DY 2.14) i =1 Denk.(2.14)’de yer alan modal kütle Mr ile Lxn ve Lyn ifadeleri, kat döşemelerinin rijit diyafram olarak çalıştığı binalar için aşağıda verilmiştir: N N L xn = ∑ miφxin N L yn = ∑ miφ yin i =1 Mn = ∑ [miφ2xin + miφ2yin + mθiφθ2in ] i =1 (DY 2.15) i =1 2.8.3.2 - Bodrum katlarında rijitliği üst katlara oranla çok büyük olan betonarme çevre perdelerinin bulunduğu ve bodrum kat döşemelerinin yatay düzlemde rijit diyafram olarak çalıştığı binaların hesabında. sadece bodrum katların üstündeki katlarda etkin olan titreşim modlarının gözönüne alınması ile yetinilebilir. Bu durumda. Eşdeğer Deprem Yükü Yöntemi için verilen 2.7.2.4’ün (a) paragrafının karşılığı olarak Mod Birleştirme Yöntemi ile yapılacak hesapta. bodrumdaki rijit çevre perdeleri gözönüne alınmaksızın Tablo 2.5’ten seçilen R katsayısı kullanılacak ve sadece üstteki katların kütleleri gözönüne alınacaktır. 2.7.2.4’ün (b). (c) ve (d) paragrafları ise aynen uygulanacaktır. Deprem yönetmeliğin hesapta göz önüne alınacak mod sayısı kriterinin verilen çerçeveye uygulanması aşağıdaki şekilde yapılır. Normalize modlar ile hesaba katılacak mod sayısının belirlenmesi Mi = ∑ miφi2 Normalize Modlar N φ1 φ2 φ3 0.063 0,111 0,073 0,087 0,026 -0,115 0,100 -0,093 0,055 0.90 ∑ mi M1 (1.mod ) i =1 (46.38x3)x0.9= 1.00 125.226 46.38[0.063 +0.087 +0.12] 2 2 L2ri = ∑ [miφi ]2 (m) M2 M3 (2.mod) (3.mod) 1.00 1.00 L2r1 (1.mod) 134.444 [46.38x(0.063+0.08 7+0.10)]2 L2r2 (2.mod) 4.165 L2r3 N (3.mod) 0.364 [46.38x(0.11 [46.38x(0.073+ 1+0.0260.055-0.115)]2 0.093)]2 0.05 ∑ mi i =1 0.05[3x46.38]= 6.96 KONTROL N L2 L2 r1 + r2 0.90 ∑ mi M1 i=1 M2 L2 + r3 M3 134.444 + 4.165 + 0.364 > 125.226 İLK MOD YETERLİ N 134.444 4.165 0.364 + + > 125.226 1 1 1 > 0.90 ∑ mi i=1 Modal vektör Normal modlar ile hesaba katılacak mod sayısının belirlenmesi Mi = ∑ miφi2 Normalize Modlar φ1 φ2 φ3 1 1 1 1,383 0,234 -1,586 N 0.90 ∑ mi M1 (1.mod ) i =1 (46.38x3)x0.9= 25.226 1 252.05 M2 46.38[12+1.3832 +1.5882] L2ri = ∑ [miφi ]2 (m) (2.mod) 81.88 M3 (3.mod) 189.55 L2r1 (1.mod) 33920.42 L2r2 (2.mod) 328.86 DY1998 L2r3 N (3.mod) 62.17 [46.38x(1+1.383+1. [46.38x(1+0. [46.38x(1+0.75 588)]2 234-0.843)]2 6-1.586)]2 1,588 -0,843 0,756 KONTROL 2 2 L2 r1 + Lr2 + Lr3 > 0.90 N m ∑ i N M 0.90 ∑ mi 1 M2 M3 i=1 i=1 12/36 134.578 + 4.02 + 0.33 > 125.226 İLK MOD YETERLİ 33920.42 328.86 62.17 + + > 125.226 252.05 81.88 189.55 0.05 ∑ mi i =1 0.05[3x46.38]= 6.96 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Modların yatay deprem yüklerine katkı oranları hesaplanarak tablo halinde gösterilmiştir. 2 n ∑ Wiϕi [9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.063 + 0.087 + 0.10]]2 12938.37 = Mi = i =1n = = 134.59 2 2 2 9.81⋅ [9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.063 + 0.087 + 0.10 ]] 96.13 g ∑ Wiϕi2 i =1 1. Modun katkısı Mi 134.59 = = 0.967 = %97 M 46.38 + 46.38 + 46.38 ∑ M2 = [9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.111 + 0.026 − 0.093]]2 20.02 = = 0.207 2 2 2 2 [9.81 ⋅ 46.38 ⋅ [0.111 + 0.026 + 0.093 ]] 96.62 M3 = M3 0.061 [9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.073 − 0.115 + 0.055]]2 5.91 = = 0.061 3. Mod katkısı = M 3 ⋅ 46.38 [9.812 ⋅ 46.38 ⋅ [0.0732 + 0.1152 + 0.0552 ]] 96.32 ∑ 2. Mod katkısı M2 0.207 = ∑ M 3 ⋅ 46.38 = 0.015 = %0.15 ∑ 100 = 0.015 = %0.044 MODLARI BİLİNEN BİR YAPININ YATAY DEPREM YÜKLERİNİN HESABI Bir yapının yatay deprem yüklerini bulmak için, 1. Statik ve dinamik tüm yöntemlerde önce yapının sismik parametreleri (periyodu (T=0.403 s), ivmesi ) hesaplanır. 2. Yapının sismik parametreleri ile yapının bulunduğu bölgenin sismik değerlerine geçiş yapılır (2. derece DB, Z3 zemin sınıfı (TA=0.15 s TB=0.60 s), Ao=0.30) 3. Yapı önem katsayısı (I=1.4) belirlenir. 4. Yapının betonarme, yığma ve diğer özelliklerine göre yapı davranış katsayısı (R=6) belirlenir. Yukarıda belirlenen değerler kullanılarak yapıya gelen deprem kuvvetleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. Etkin yer ivme katsayısı (Ao) Etkin yer ivmesi, deprem esnasında oluşacağı ve yapıya etkiyeceği düşünülen deprem hareketinin 2 ivmesidir. Bu ivme yer çekimi ivmesinin (9.81 m/s ) bir oranı olarak dikkate alınır. Bu oran deprem yönetmeliğinde her deprem bölgesi için ayrı ayrı verilmiştir. Örnek olarak 1. derece deprem bölgesi İvme (cm/sn2) için, 1. Etkin yer ivme katsayısı=0.4 2. Etkin yer ivmesi=0.4g Ao/2 olarak alınır. T Deprem Bölgesi Ao=etkin yer ivme katsayısı Yerel Zemin Sınıfı TA (s) TB (s) 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 Z1 Z2 Z3 Z4 0.10 0.15 0.15 0.20 0.30 0.40 0.60 0.90 R yapı davranış katsayısı olup DY-Tablo 2.5 13/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Binanın Kullanım Amacı veya Türü 1. Deprem sonrası kullanımı gereken binalar ve tehlikeli madde içeren binalar Bina Önem Katsayısı I a) Deprem sonrasında hemen kullanılması gerekli binalar (Hastaneler, dispanserler, sağlık ocakları, itfaiye bina ve tesisleri, PTT ve diğer haberleşme tesisleri, ulaşım istasyonları ve terminalleri, enerji üretim ve dağıtım tesisleri; vilayet, kaymakamlık ve belediye yönetim binaları, ilk yardım ve afet planlama istasyonları) b) Toksik, patlayıcı, parlayıcı, vb özellikleri olan maddelerin bulunduğu veya depolandığı binalar 2. İnsanların uzun süreli ve yoğun olarak bulunduğu ve değerli eşyanın saklandığı binalar a) Okullar, diğer eğitim bina ve tesisleri, yurt ve yatakhaneler, askeri kışlalar, cezaevleri, vb. b) Müzeler 3. İnsanların kısa süreli ve yoğun olarak bulunduğu binalar Spor tesisleri, sinema, tiyatro ve konser salonları, vb. 4. Diğer binalar Yukarıdaki tanımlara girmeyen diğer binalar (Konutlar, işyerleri, oteller, bina türü endüstri yapıları, vb) 1.5 1.4 1.2 1.0 DAVRANIŞ SPEKTRUMU Davranış spektrumu, göz önüne alınan bir deprem yer hareketinin etkisi altında, doğal titreşim periyodu T olan lineer elastik tek serbestlik dereceli bir sistemde meydana gelen yapısal yerdeğiştirme veya toplam ivme büyüklüğünün T’ye bağlı olarak ifade edildiği bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Elastik deprem yüklerinin belirlenmesi için kullanılan ivme spektrumu, depremden depreme ve yerel zemin sınıfları arasında farklılıklar gösterir. Bu nedenle, istatistiksel çalışmaların sonucu olarak deprem yönetmeliklerinde spektrum eğrisinin biçimi genellikle standart hale getirilir ve spektral ivmeler birtakım deprem parametrelerine bağlanarak analitik olarak ifade edilir. Genel anlamda deprem tehlikesi, herhangi bir yerde veya coğrafi bolgede, göz önüne alınan belirli bir zaman diliminde, depremi tanımlayan bir parametrenin belirli bir büyüklüğe ulaşma olasılığı olarak tanımlanabilir. Deprem tehlikesi olasılıksal (probabilistik) veya kesinsel (deterministik) olarak incelenebilir. Olasılıksal (probabilistik) deprem tehlikesi analizinde esas alınan temel girdiler; 1. Gözönüne alınan coğrafi bölgeyi etkileyen tüm deprem kaynakları (bölgenin tektonik yapısı, bölgeyi etkileyebilecek aktif faylar ve fay mekanizmaları), 2. Deprem oluşum özellikleri (bölgenin depremselliği, geçmiş depremlerin büyüklükleri ve sıklıkları) 3. Tipik bir yer hareketi parametresini (örneğin en büyük yer ivmesi veya spektral ivme), deprem büyüklüğüne ve faya olan mesafeye bağlı olarak hesaplamak üzere geliştirilen azalım ilişkileri olarak dikkate alınan bu bilgiler bir istatistiksel olasılık modeli çerçevesinde işlenerek, göz önüne alınan coğrafi bölgede belirli bir zaman dilimi içinde tipik yer hareketi parametresinin belirli bir büyüklüğe ulaşma olasılığı, diğer deyişle deprem tehlikesi hesaplanır. Öte yandan, gözönüne alınan yeri veya bölgeyi birinci planda etkileyeceği öngörülen belirli bir deprem kaynağı ve azalım ilişkileri dikkate alınarak kesinsel (deterministik) deprem tehlikesi analizi de yapılabilir. Deprem yönetmeliğinde spektrum eğrisinin sınırları; (0≤Tbulunan ≤TA ) ise S(T)=1+1.5Tbulunan /TA Spektrum Katsayısı; S(T) (TA <Tbulunan ≤TB )ise S(T)=2.5 DY2.2 (Tbulunan >TB ) ise S(T)=2.5(TB /Tbulunan )0.8 bağıntısı ile verilmektedir. Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme Katsayısı (A(T), 14/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) A(T) = A o I S(T) bağıntısı ile hesaplanır. 2. derece deprem bölgesi ve Z3 zemin sınıfı için DY 2.2. bağıntısı kullanılarak spektrum (S(T)) ve spektral ivme katsayısı (A(T)) eğrileri örnek olarak tabloda çizilmiştir. Z3 için Spektrum Grafiği (Tüm deprem bölgeleri için aynı) T(sn) T=0 S(T) AZ KATLI yapıların periyodunun düşük olmasından dolayı deprem yükleri çok katlı yapıya oranla fazla çıkar 1 0,8 1,99 0,9 1,81 1.0 1,66 1,2 1,44 1,4 1,6 1,8 2.0 1,27 1,14 1,04 0,95 ÇOK KATLI yapıların periyodunun yüksek olmasından dolayı deprem yükleri az katlı yapıya oranla fazla çıkar S(T)=2.5 2,21 S(T)=1+1.5T1/TA 2,5 0,7 TA < T1 ≤ TB ise 2,5 TB=0.60 S(T) TA=0.15 T1 > TB ise S(T)=2.5(TB/ T1) 0.8 TB TA Tek katlı yapı ise 14 13 16 15 ω1=[k/m] =[8100/46.38] =13.22 s 0.5 3.2m 11 10 9 Q=7.59 kN/m 5 G=31.605 kN/m Q=6.35 kN/m 6 G=26.935 kN/m 7 -1 T=[2π/ω]=[2π/13.22]=0.48 s 12 3.2m Q=3.63 kN/m 0.5 Q=7.59 kN/m Q=6.35 kN/m 5 G=31.605 kN/m G=16.725 kN/m 8 6 Q=3.63 kN/m G=26.935 kN/m 7 G=16.725 kN/m 8 6.43m 4.82m 5.51m 30/604 1 2 30/60 6.43m 4.82m 3 30/60 cm 3 4m 30/60 cm 2 30/60 30/60 cm 1 30/60 cm 4m m 30/604 5.51 B-B çerçevesinin rijitliklerinin hesabı T1 (s) Depremin X-X Yönünde Etkimesi Halinde Yapının Periyodunun (T) Hesaplanması KAT AKS I (10-3m4) B1 1 B-B B2 B3 B4 B1 2 B-B B2 B3 B4 B1 3 B-B B2 B3 B4 1.353 5.40 1.35 5.40 1.353 5.40 1.35 5.40 1.353 5.40 1.35 5.40 E (kN/m2) h (m) k = 12EI / h3 (kN / m) 3.2.106 4 3.2.106 3.2 3.2.106 3.2 810 3240 810 3240 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 1582.03 6328.13 ∑k Wi (kN) ∑ k1 = 8100 217.86 +139.01 +98.16= m= ( W kN − sn2 / m 9,81 46.38 ) 1 katlı 3 katlı 0.48 455.03 ∑ k 2 = 15820.32 455.03 ∑ k 3 = 15820.32 455.03 46.38 0.95 46.38 15/36 3 katlı Kat UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) T= 2π ω S(T1) T 0.80 0.60 0.80 S(T1) = 2.5 B = 2.5 = 1.73 T1=0.95 0.95 T1 A (T) = Ao S(T) A (T) = AoI S(T) 0.519 A(Tİ ) = 1.73 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 = (grafikten) 0.727 S(T1) = 2.5 0.75 A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 = [T1 =0.48 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB] (grafikten) 1.05 İvme spektrumu S = A(Ti ) g Spa = ae R(Ti ) Spa = 0.727 ⋅ 9.81 = 1.19 6 1 katlı [T1 =0.95 s > TB=0.60] T1=0.48 Spa = 1.05 ⋅ 9.81 = 1.72 6 Oran [3katlı/1katlı]100=(1-[1.19/1.72])100=%31 Tek katlı yapıda %31 daha fazla deprem yükü alınır. 1 ve 3 katlı yapılar için yapılan sayısal analizler, yapı yüksekliği arttıkça deprem yüklerinin salınımlarla karşılandığı veya az katlı yapıların çok katlı yapılara nazaran daha rijit olduğunu göstermektedir. Ancak az katlı yapıların petiyotlarının TA petiyodundan küçük olması durumunda yukarıda yapılan karşılaştırma çok gerçekci olmayacağı göz ardı edilmemelidir. Çünkü o bölgede spektrum değeri yani deprem yükü çarpanı 1’e kadar küçülebilmektedir. Problemin çözümü için gerekli olan yapı davranış katsayısı (R), (0≤Tbulunan ≤ TA ) ise Ra (T)=1.5+(R-1.5)Tbulunan /TA Deprem Yükü Azaltma Katsayısı; Ra (T) DY2.3 ise Ra (T)=R (Tbulunan > TA ) bağıntısı ile hesaplanır. Aşağıda tabloda aynı deprem bölgesi ve zemin sınıfı için Ra (Ra; R’nin periyoda göre düzenlenmiş hali ve 6. bölümde ayrıntılı olarak incelenecektir.) deprem yükü azaltma katsayısının grafiği çizilmiştir. Tüm deprem bölgeleri ve zemin sınıfları için spektrum eğrisi çizilerek gerekli olan bölge ve zemin sınıfı kullanılabilir. Yapıların dinamik davranışını incelemede ve analizinde ivme spektrum tercih edilir. Her depremin kendine özgü bir ivme spektrumu vardır. Bir binanın dinamik analizde belirli bir depremin ivme spektrumu kullanılabileceği gibi büyük depremler incelenerek genelleştirilmiş bir ivme spektrumu da kullanılabilir. Yapı Davranış Katsayısı R=6 için (Deprem bölgesinden bağımsız zemin sınıfına bağlı) T(sn) Ra(T) T=0 1,5 TA=0.10 4.5 TA=0.15 TB=0.60 TA 16/36 0,7 0,8 0,9 1 1,2 1,4 1,6 1,8 6 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Azaltılmış ivme spektrum değerleri, 1. DY’nin 2.2 bağıntısı ile verilen bağıntılar kullanılarak tasarım spektrum eğrisi elde edilir. 2. Elde edilen tasarım spektrum eğrisindeki değerler etkin yer ivmesi katsayısı (Ao) ile çarpılarak azaltılmış elastik tasarım (ivme spektrumu) değerleri elde edilir. 3. 2. madde de elde edilen elastik tasarım değerleri yapı davranış katsayısına (Ra) bölünerek azaltılmış tasarım spektrumu elde edilir (en alttaki eğriler). 4. Yapı davranış kaysayısı R artıkça yapı sünek azalması durumunda ise gevrek olur. 5. R aynı zamanda yapıların süneklik düzeyine yakından bağlıdır. Aşağıdaki şekilde 2. derece deprem bölgesindeki Z3 zemin sınıfında bulunan bir yapı için tanımlanan doğrusal elastik ivme tasarım spektrumu oluşturulmuştur. S(T) S(T).Ao A(T)/R(6) T=0 1 0,3 0.3:1.5=0.2 TA=0.15 2,5 0.75 0.125 TB=0.60 2,5 0.75 0.125 0,7 2,21 0,663 0.111 0,8 1,99 0,596 0.100 0,9 1 1,81 0,542 0.09 1,66 0.083 0,5 1,2 1,44 0,432 0.072 1,4 1,27 0,381 0.064 1,6 1,14 0,342 0.057 1,8 1,04 0,312 0.052 2 0,95 0,285 0.048 Z3 zemin sınıfı için ivme spektrum eğrisi (Her deprem bölgesi ve zemin sınıfı için farklı) 0,9 Spektral ivme katsayısı T(sn) 0,75 0,6 Elastik tasarım Z3 2oDD 2,5 2 1,5 0,45 1 Ao 0,5 0 0,3 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 R=6 R=8 R=1.5 0 1,2 1,35 1,5 Azaltılmış (R) tasarım Gevrek 0,15 0 1,05 Sünek 0,15 0,3 T(s) 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 Şekildeki azalım oranları (R=6) sadece basit elasto-plastik yapı modelindeki süneklik oranına bağlı değildir. Yapıların gerçek yatay yük dayanımları, taşıyıcı olmayan elemanların katkısı, tasarımda kullanılan yük ve malzeme katsayıları, minimum boyut ve donatı sınırlamaları gibi nedenlerle tasarımda göz önüne alınan dayanımlarından daha fazladır. Deprem Yönetmeliğindeki R katsayısı süneklik ve fazla dayanım unsurlarının ortak katkısı sonucu ortya çıkan bir değerlerdir. GERÇEK 17/36 1,5 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) NOT: Spektrum grafikleri incelendiğinde, 1. Az katlı yapıların periyodu (T) küçük olacağından (Tyaklaşık=0.1xNkatsayısı) deprem kuvvetlerinin hesabında etkili olan A(T) tepe sahanlık bölgesinde olacağından deprem kuvvetleri buna bağlı olarak büyük olur. 2. Çok katlı yapıların periyodu (T) büyük olacağından (Tyaklaşık=0.1xNkatsayısı) deprem kuvvetlerinin hesabında etkili olan A(T) tepe sahanlık bölgesinin solunda olacağından deprem kuvvetleri buna bağlı olarak az katlı yapılara göre küçük olur. 3. Zemin dayanımı veya taşıma gücü azaldıkça (Z1-2-3-4) yapıya gelen deprem kuvvetleri artar. 4. Zemin dayanımlarının deprem kuvvetlerine etkisi yapı periyodu artıkça azalmaktadır. Örneğin sahanlık bölgesindeki ile T=5 sn civarındaki değişim çok farklıdır. Bir veya birkaç farklı deprem yer hareketi kullanarak deprem tasarım kuvvetlerini belirlemek pek güvenilir olamaz. Eğer aynı tür zeminlerde kaydedilmiş pek çok yer hareketi kullanılır ve bunların sonuçları istatistiksel güvenlik sınırlamaları gözetilerek birleştirilirse, basitleştirilmiş deprem tasarım spektrumları elde edilebilir. Dünyada kabul görmüş deprem yönetmeliklerinde spektrum eğrisi kriterleri aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi kullanılamaktadır. Ülkemizdeki DY’nin bu yönetmeliklerden yararlanılarak hazırlandığı söylenebilir. Çünkü bu yönetmelikler depremlerin daha sık olduğu birçok ülke ve deprem araştırma merkezlerinin ortak çalışmaları sonucu elde edilmiş değerleri içermektedir. %5 sönüm oranı için tanımlanan Elastik İvme Spektrumu’nun ordinatı olan Elastik Spektral İvme, Sae(T), Spektral İvme Katsayısı ile yerçekimi ivmesi g’nin çarpımına karşı gelmektedir ve aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır. Sae (T) = A(T) g Çerçevenin spetral özellikleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. 18/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) T= 2π ω S(T1) A (T) = Ao S(T) A (T) = AoI S(T) T 0.80 0.60 0.80 S(T1) = 2.5 B = 2.5 = 1.73 0.95 T1 T1=0.95 [T1 =0.95 s > TB=0.60] (Tbulunan > TA ) 0.519 A(Tİ ) = 1.73 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 = (grafikten) 0.727 0.75 A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 = [T1 =0.30 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB] (Tbulunan > TA ) ise Ra (T)=R = 6 1.05 (grafikten) Spa = S(T1) = 2.5 T3=0.20 Spa = 0.727 ⋅ 9.81 = 1.19 6 ise Ra (T)=R = 6 S(T1) = 2.5 T2=0.30 İvme spektrumu Spa = [Sae = A(Ti )g] / [R(Ti )] [T1 =0.50 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB] (Tbulunan > TA ) ise Ra (T)=R = 6 0.75 A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 = (grafikten) 1.05 1.05 ⋅ 9.81 = 1.72 6 S(T) spektrum değerleri tablodaki şekilde hesaplanabildiği gibi DY de verilen spektrum eğrisi ölçekli olarak çizildiği zaman bulunan periyot değerleri yatay eksen üzerine işaretlenir ve yukarı çıkılarak spektrum eğrisini kestiği noktadan S(T) eksenine yatay gidilerek aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. o 1 [TA ] ≤ [Ti ] ≤ [TB ] S(T2)=2.5 2.5 S(T3)=2.5 S(T)xAo S(Ti ) = 2.5 [Ti ] ≤ [TA ] o 2 S(T1)=1.73 1.0 0 ≤ [Ti ] ≤ [TA ] 0.10 R 0.0 o 4 1.8 Rijit Yapı Esnek Yapı [TA ] 1.2 S(Ti ) = 1 + 1.5Ti 0.95 3 TB=0.60 0.52 0.8 0.20 0.30 o S(Ti ) = 2.5 [[TB ] / [Ti ]] TA=0.15 0.75 T(sn) T1=0.93 2 T3=0.2 0.95 0.30 T2=0.30 Yatay Deprem Kuvveti F = k ⋅ x aşağıdaki 3 bağıntıdan birisi ile hesaplanır 1.bağıntı 3.bağıntı {α } T [M] {r } A(Ti ) g i R(Ti ) αiSpa (Ti ) = m ⋅ [φ] ⋅ {α } T [M]{r} A(Ti ) g = ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅ = ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅ i R(T ) 2 2 ωi ωi i 2.bağıntı F = ω2 ⋅ m ⋅ x = ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅ Ymax 1. Modal Kütle Çarpanı Hesabı [Modal Katılım Faktörü] αİ ={φi } [M] {r } T 0,063 0,087 0,1 46,38 0 0 2,92194 0,111 0,026 -0,093 5,14818 0,073 -0,115 0,055 3,38574 T α1 ={φi } [M] {r } [M] 0 46,38 0 4,03506 0 0 46,38 4,638 1,20588 -4,31334 -5,3337 2,5509 T {φ1 } C T {φ1 } [M] r 1 1 1 α1=11,60 α2=2,040 α3=0,600 αİ n VEYA αi = [ φi ]T [M][q] [ φi ]T [M][φi ]T = ∑ φij mi j n 2 ∑ φij mi j = [0.063 + 0.087 + 0.100][46.38] [0.0632 + 0.0872 + 0.1002 ][46.38] = 11.607 α 2 = 2.04 α3 = 0.60 19/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 2. Maksimum Yer Değiştirmeler [Yi ]max 11.60 ⋅ 1.19 = 0.314 [Y1 ]max = 6.6322 αiSpa ( Ti ) 2.04 ⋅ 1.72 = = 0.00805 [Y2 ]max = 2 ωi 20.8772 0.6 ⋅ 1.72 [Y ] = = 0.0010 3 max 32.512 3. Yer değiştirmelerin etkisiyle mod seviyelerinde oluşan x deplasmanları; [{x}i = {φ φi}(Yi)max] Deplasmanların hesabı [x1 ] = [ Y ]max φi [x1 ] = Ai φi = 0.063 0.0198 ω12 = 6.6322 → [x1] = [ Y ]max φi = 0.314 0.087 = 0.0273 0.100 0.0314 0.111 0.0009 ω22 = 20.8772 → [x 2 ] = [ Y ]max φi = 0.00805 0.026 = 0.00021 −0.093 −0.00075 [x1] = Aiφi = [x2 ] = A iφi = 0.073 0.000073 ω32 = 32.512 → [x3 ] = [ Y ]max 3 φ3 = 0.001 −0.115 = −0.000120 0.055 0.00006 Lr Spa (Ti ) ϕimod Mr ω12 1 0.0198 Lr Spa (Ti ) 33920.420.5 1.19 ϕimod = 1.383 = 0.0273 2 2 Mr ω1 252.05 6.632 1.588 0.0314 1 0.00090 Lr Spa (Ti ) 328.860.5 1.72 ϕ = 0.234 = 0.00021 i mod Mr ω22 81.88 20.8772 −0.843 −0.00074 [x3 ] = Ai φi = 1 0.00007 Lr Spa (Ti ) 62.170.5 1.72 ϕi mod = −1.586 = −0.00011 2 2 Mr ω2 189.55 32.51 0.756 0.000051 Hesaplanan deplasmanların “Kareleri toplamının karekökü (SRSS) (Square Root of Sum of Squares)” kuralına göre hesabı aşağıdaki tabloda hesaplanmıştır. Kat Mod Mod 1 Mod 2 xmax= [ x 12 + x 22 + x 23 ]0.5 Mod 3 2 2 2 0.5 1 x1 0.0198 0.0009 0.000073 (x1)max = (0.0198 + 0.0009 + 0.000073 ) 2 x2 0.0273 0.00021 -0.00012 (x2)max = 0.0273 3 x3 0.0314 -0.00075 0.00006 (x3)max = 0.0314 = 0.0198 1. modun katkısı %97 olduğu için max. deplasmanlar 1. mod değerlerine eşit çıkmaktadır. Sönüm etkisi olmayan bir çerçevenin serbest titreşim hareketinin denge denklemi, ɺɺ + [K] {x} = 0 [M] {x} ɺɺ = -ω2 {x} {x} -ω2 [M] {x} + [K] {x} = 0 olur. Yapıların deprem hesaplarında esas olan ivme değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. 0.0198 0.871 2 ɺɺ [x1] = 6.632 0.0273 = 1.201 0.0314 1.381 0.00090 0.392 2 2 ɺɺ2 ] = 20.877 0.00021 = 0.092 ɺɺ = -ω {x}= [x 4. {x} −0.00075 −0.327 0.000073 0.077 2 [x ɺɺ ] = 32.51 −0.000120 = −0.127 3 0.00006 0.063 20/36 ɺɺ = [ ɺɺ [x] x12 + ɺɺ x 22 + ɺxɺ32 ]0.5 2 2 2 0.5 ɺɺ1] = [ 0.871 + 0.392 + 0.077 ] = 0.96 [x [x ɺɺ2 ] = [ 1.2012 + 0.0922 + 0.1272 ]0.5 = 1.21 2 2 2 0. 5 ɺɺ3 ] = [ 1.381 + 0.327 + 0.063 ] = 1.42 [x [ɺɺ 2 2 2 0.5 2 x] [0.96 + 1.21 + 1.42 ] = 2.1 0m / s = UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Yukarıdaki tablodaki deplasmanlar incelendiği zaman sadece 1. moddan dolayı olan deplasmanların daha etkili diğerlerinin etkisinin çok az olduğu görülmektedir. Bu genelde bütün sistemlerde ilk açısal hızlardan gelen katkının büyük diğerlerinin ise gittikçe küçülen oranda etkidiği görülür. Bu durum dünya deprem veya yapı yönetmeliklerinde hesapta göz önüne alınacak mod sayısına bir sınır getirilmesi şeklinde bir azaltıma gidilmesine sebep olmuştur. DY göre hesapta gözönüne alınacak mod sayısı hesabı ileride yapılmaltadır. Hesaplanan deplasmna (x) ve ivme ( ɺxɺ ) değerlerinin kontrolü aşağıda yapılmıştır. KONTROL ɺɺ ϕi + [K]{x}ϕi = 0 [M]{x} GENEL HAREKET DENKLEMİ 2 -ω [M] {x} + [K] {x} = 0 ⇒ or -[M] {ɺxɺ} + [K] {x} = 0 0 0,0198 23920,32 −15820,32 0,02022 2 − 6.632 46.38 0,0273 + − 15820,32 3164 0 ,6 4 − 15820,32 [ ] 0,0278 = 0 0,0314 0 −15820,32 15820,32 0,0320 a deplasman deplasm n 0 0.96 23920,32 −15820,32 0,0198 − [ 46.38] 1.21 + −15820,32 31640,64 −15820,32 0, 0273 = 0 0 −15820,32 15820,32 0,0314 1.42 ivme deplasman 1. Yatay deprem kuvvetlerin hesabı; birim 2 birim 2 kNsn m 1 F=k ⋅ x =ω2 ⋅ m ⋅ x = ω2 ⋅ m ⋅ x = kN sn m 1 2 kN k m m 2 F=m ⋅ ɺɺ x =[k/ω ] ⋅ ɺɺ x= 2 x 2 = kN ⋅ ɺɺ ω 1 sn sn2 Yukarıda kontrol edilen hesapta göz önüne alınan mod sayısı 1 için yatay kat deprem kuvvetleri hesaplanır. 46.38 ⋅ 0.0198 40.39 Fi.moddan = xi F1.mod = ω12 m x1 = 6.6322 46.38 ⋅ 0.0273 = 55.69 kN DEPLASMANDAN 46.38 ⋅ 0.0314 64.05 ωi2 m 0 0 0.871 40.40 46.38 ɺɺi = F1.mod = ma = mx ɺɺ1 = 0 Fi.moddan = ma = mx 4 6.38 0 1.201 = 55.70 kN 0 İVMEDEN 0 46.38 1.381 64.05 0,063 40.34 F1 = α1Spa1[M][φ1] = 11.60 ⋅ [1.19] ⋅ 46.38 ⋅ 0,087 = 55.70 kN 0,100 64.02 F1.mod 0 23920,32 −15820,32 −15820,32 31640,64 −15820,32 0.871 41.71 F1.kat 0 −15820,32 15820,32 = m ⋅ ɺɺ x=[k/ω2 ] ⋅ ɺɺ x = F2.kat = 1.201 = 53.95 kN 6.6322 F3.kat 1.381 64.74 k / ω2 ɺɺ x F3=65.28 F2=56.71 F1=41.21 İlk mod hesaba katılırsa F1.mod Tüm modlar hesaba katılması sonucu oluşan deprem kuvvetleri. 21/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 0.5 46.38 ⋅ 0.0198 40.39 44.44 40.392 + 18.192 + 3.582 = 55.69 2 2 F = ω m x = 6.632 46.38 ⋅ 0. 0273 1.mod 1 1 0.5 2 2 2 46.38 ⋅ 0.0314 64.05 F = 55.69 + 4.25 + 5.88 = 56.16 kN 0.5 64.052 + 15.162 + 2.942 46.38 ⋅ 0.0009 18.19 65.89 Fi.mod dan = ωi2 m xi F2.mod = ω22 m x 2 = 20.8772 46.38 ⋅ 0.00021 = 4.25 46.38 ⋅ ( −0.00075) −15.16 DEPLASMANDAN 1.Mod katkısı = 40.39 + 55.69 + 64.05 = 0.95 41.21 + 56.71 + 65.28 ∑ 18.19 + 4.25 − 15.16 46.38 ⋅ 0.000073 3 . 58 2 2 F = ω = ⋅− = − 8 8 m x 32.51 46.38 0.000120 5. 3.58 − 5.88 + 2.94 3 3 3.mod 46.38 ⋅ 0.00006 2.94 3.Mod katkısı = 0.004 2.Mod katkısı = 0.04 0.871 40.40 1.201 = 55.70 ɺɺ F = ma = mx = 46.38 1.mod 1 1.381 65.30 40.402 + 18.182 + 3.572 0.5 44.45 0.392 18.18 0.5 2 2 2 ɺɺi = F2.mod = ma = mx ɺɺ2 = 46.38 0.092 = = 56.17 kN Fi.moddan = ma = mx F = m 55.70 + 4.27 + 5.89 4.27 İVMEDEN 0.5 −0.327 −15.16 64.052 + 15.162 + 2.922 65.88 0.077 3.57 F3=67.08 F ɺɺ = = mx = 4 ma 6.38 3 −0.127 = −5.89 3.mod 0.063 2.92 F2=57.17 ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) F1=45.19 0,063 40.34 F1 = α1Spa1[M][φ1] = 11.60 ⋅ [1.19] ⋅ 46.38 ⋅ 0,087 = 55.70 Her 3 mod hesaba katılırsa 0,100 64.02 0.5 2 40.34 + 18.062 + 3.492 44.34 0,111 18. 06 2 2 2 Fi = αiSpai [M][φi ] = F2 = α2Spa2 [M][φ2 ] = 2.04 ⋅ [1.72] ⋅ 46.38 ⋅ 0,026 = 4.23 F = 55.70 + 4.23 + 5.50 = 56.13 -0,093 −15.14 64.022 + 15.142 + 2.632 65.84 0,073 3.49 F = α S [M][φ ] = 0.60 ⋅ 1.72 ⋅ 46.38 ⋅ -0,115 = −5.50 [ ] 3 3 pa3 3 0,055 2.63 Bulunan yatay deprem yüklerinden dolayı oluşan kesma kuvveti ve devrilme momenti hesaplanır. V1.moddan = [I]üstüçgen Fİi KESME KAT KESME V = V2.mod dan = [I]üstüçgen Fİi KESME V3.mod dan = [I]üstüçgen Fİi KESME 22/36 160.30 2 2 2 0.5 160.13 + 7.28 + 0.64 0.5 2 2 2 = 120.47 kN V = 119.94 + 10.91 + 2.94 0.5 2 2 2 64.05 + 15.16 + 2.94 65.89 1 18.19 7.28 1 ⋅ 4.25 = −10.91 kN 65.89 1 −15.16 −15.16 120.47 1 3.58 0.64 1 ⋅ −5.88 = −2.94 kN 1 2.94 2.94 160.30 Her 3 mod için MOMENT 1 1 1 40.39 160.13 0 1 1 ⋅ 55.69 = 119.94 kN 0 0 1 64.05 64.05 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 ( ( ( ) ) ) UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) M1.mod dan = [h]üstüçgen Fİi KESME M = M2.moddan = [h]üstüçgen Fİi KESME M3.moddan = [h]üstüçgen Fİi KESME 1230.78 2 2 2 0.5 1228.65 + 52.50 + 49.75 0.5 2 2 2 = 594.67 kNm M = 588.128 + 82.624 + 30.11 0.5 2 2 2 20 4.96 + 48.51 + 30.11 212.76 10.4 18.19 −52,50 6.4 ⋅ 4.25 = −82,62 kN 3.2 −15.16 −48,51 210.83 384.89 10.4 3.58 49,75 6.4 ⋅ −5.88 = 30,112 kN 3.2 2.94 30,11 546.06 Her 3 mod için MOMENT 4 7.2 10.4 40.39 1228,65 0 3.2 6.4 55.69 = 588,128 kN 0 0 3.2 64.05 204,96 4 7.2 0 3.2 0 0 4 7.2 0 3.2 0 0 ( ( ( ) ) ) Hesaplanan kat kesme kuvveti ve momentleri kolon rijitlikleri oranında kolonlara dağıtılır. Bu örnekte 2 değişik kesitte kolon olduğu için küçük kesitli kolonun rijitlik değeri birim alınarak diğer kolonun rijitliği bu oranda artırılır ve cross dağıtımı yapılarak herbir kolon kesma kuvveti bulunur. EĞİLME ÇERÇEVESİ KABULÜ (IKİRİŞ =0.25x0.53/12, Ikiriş≠∞) İLE YATAY DEPREM KUVVETLERİ Eğilme çerçevesi kabulünde kirişlerin rijitlikleri hesaba katılırken kesme çerçevesinde ise hesaba katılmaz. Çerçevenin açı metodu denklemleri u cinsinden (δ göreli kat ötelemeleri cinsinden değil) yazılarak indirgenmiş rijitlik matrisi 13 14 k=0.6 k=0.63 k=0.63 B-B 10 k=0.6 k=0.8 5 6 k=0.6 k=0.63 k=2.5 k=0.5 2 30/60 6.43m 12 3 8 k=2 30/60 4 1. kat düğümleri 5d 3.46 ϕ5 + 0,6ϕ6 +0.63ϕ9 - 0,375δ1 -0.591δ2 =0 2. kat düğümleri 9d 3.72ϕ5 + 0.63ϕ5 +0.6ϕ10 +0.63ϕ13-0.591δ2 -0.591δ3 =0 6d 11.8ϕ6 + 0,6ϕ5 +0.8ϕ7 +2.5ϕ10 -1.5δ1 -2.344δ2 =0 10d 12.8ϕ10 + 2.5ϕ6 +0.6ϕ9 +0.8ϕ11+2.5ϕ14-2.344(δ2+δ3) =0 7d 5.26ϕ7 + 0,8ϕ6 +0.7ϕ8 +0.63ϕ11 -0.375δ1 -0.591δ2 =0 11d 5.52ϕ11 +0.63ϕ7 +0.8ϕ10 +0.7ϕ12+0.63ϕ15-0.591(δ2 +δ3)=0 8d 10.4 ϕ8 + 0,7ϕ7 +2.5ϕ12 -1.5δ1 -2.344δ2 =0 12d 11.4ϕ12 +2.5ϕ8 +0.7ϕ11 +2.5ϕ16 -2.344δ2 -2.344δ3 =0 14d 7.8ϕ14 +2.5ϕ10 +0.6ϕ13 +0.8ϕ15 -2.344δ3=0 15d 4.26ϕ15 +0.63ϕ11 +0.8ϕ14 +0.7ϕ16 -0.591δ3=0 16d 6.4ϕ16 +2.5ϕ12 +0.7ϕ15 -2.344δ3=0 10.düğüm 4m 5.51m 4.82m 3. kat düğümleri 13d 2.46ϕ13 + 0.63ϕ9 +0.6ϕ14 -0.591δ3=0 3.2m k=0.7 7 k=2 30/60 cm k=0.5 k=0.8 m 3.2 k=2.5 k=0.7 11 k=2.5 k=0.63 16 k=0.7 15 k=2.5 9 1 k=0.8 30/60 cm −1K ]] bağıntısıyla elde edilir. krijitlik =[K 22 −K 21 [K11 12 2(2.5 + 2.5 +0.8 +0.6)ϕ10 +0.6ϕ9 +0.8 ϕ11 +2.5ϕ6 +2.5ϕ14 −(3⋅2.5/3)( δ2 +δ3 )=0 V9-13 2. kat için yatay denge örnek olarak yazılmıştır. F2 9 V9-5 V11-15 V10-14 10 V10-6 11 V12-16 12 V11-7 V12-8 23/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 3 ⋅ 0.63 3 ⋅ 2.5 6 ⋅ 2.5 6 ⋅ 0.63 F2 = − (ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) − (ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 2 (u3 − u2 ) + 2 (u3 − u2 ) 2 3.2 3.2 3.22 3.2 δ2 u1 3 ⋅ 2.5 6 ⋅ 2.5 3 ⋅ 0.63 6 ⋅ 0.63 − − (ϕ9 + ϕ13 ) + (ϕ11 + ϕ15 ) − (ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) + 2 (u3 − u2 ) + 2 (u3 − u2 ) 2 3.2 3.2 3.22 3.2 u1 u2 ∆2 u2 δ1 ∆1 F2 = V2 − V3 = −0.591(ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) − 2.344(ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 3.668u2 − 3.668u1 0.591 ϕ9 + ϕ13 + ϕ11 + ϕ15 ] + 2.344( ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) − 3.668u3 + 3.668u2 F2 = V2 − V3 = −0.591(ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) − 2.344(ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 3.668u2 − 3.668u1 + 0.591 ϕ9 + ϕ13 + ϕ11 + ϕ15 ] + 2.344( ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) − 3.668u3 + 3.668u2 = 29,79 − 15,41 = 14,38 Düğümlerdeki moment dengesi ve kat seviyesinde yatay denge denklemleri yazılarak aşağıdaki gibi rijitlik matris oluşturulur. ϕ5 K11 K21 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 ϕ14 ϕ15 ϕ16 3,46 0,6 0 0 0,63 0 0 0 0 0 0 0 0,6 11,8 0,8 0 0 2,5 0 0 0 0 0 0 0 0,8 5,26 0,7 0 0 0,63 0 0 0 0 0 0 0 0,7 10,4 0 0 0 2,5 0 0 0 0 0,63 0 0 0 3,72 0,6 0 0 0,63 0 0 0 0 2,5 0 0 0,6 12,8 0,8 0 0 2,5 0 0 0 0 0,63 0 0 0,8 5,52 0,7 0 0 0,63 0 0 0 0 2,5 0 0 0,7 11,4 0 0 0 2,5 0 0 0 0 0,63 0 0 0 2,46 0,6 0 0 0 0 0 0 0 2,5 0 0 0,6 7,8 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0,63 0 0 0,8 4,26 0,7 0 0 0 0 0 0 0 2,5 0 0 0,7 6,4 0,216 0,844 0,216 0,844 0,591 2,344 0,591 2,344 0 0 0 0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 0 0 0 0,591 2,344 0,591 2,344 0 0 0 0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 −1K ]]u F = krijitlik udeplasman =[K 22 −K 21[K11 12 −1 K 21K11 = −1 K11 = 0,302 -0,017 0,003 0,000 -0,055 0,007 -0,001 0,000 0,015 -0,003 0,001 0,000 -0,017 0,091 -0,015 0,001 0,007 -0,020 0,005 -0,001 -0,003 0,007 -0,002 0,000 0,003 -0,015 0,197 -0,015 -0,001 0,005 -0,024 0,005 0,001 -0,002 0,004 -0,003 0,000 0,001 -0,015 0,103 0,000 -0,001 0,005 -0,025 0,000 0,000 -0,003 0,010 -0,055 0,007 -0,001 0,000 0,294 -0,018 0,003 0,000 -0,078 0,012 -0,003 0,000 0,007 -0,020 0,005 -0,001 -0,018 0,090 -0,015 0,001 0,012 -0,030 0,008 -0,001 0,034 0,030 0,027 0,028 0,127 0,180 0,049 0,215 -0,018 -0,058 0,018 -0,086 -0,139 -0,183 -0,058 -0,213 -0,002 -0,022 0,012 -0,037 0,169 0,020 0,379 0,293 0,016 0,027 -0,001 0,034 -0,115 -0,131 -0,066 -0,142 -0,151 -0,243 U1 U2 0,216 0,844 0,216 0,844 0,591 2,344 0,591 2,344 0 0 0 0 5,543 -3,668 0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 0 0 0 0,591 2,344 0,591 2,344 -3,668 7,336 -3,668 -0,001 0,005 -0,024 0,005 0,003 -0,015 0,192 -0,015 -0,003 0,008 -0,031 0,009 0,000 -0,001 0,005 -0,025 0,000 0,001 -0,015 0,103 0,000 -0,001 0,009 -0,041 U3 0 0 0 0 -0,591 -2,344 K12 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 -3,668 K22 3,668 0,015 -0,003 0,001 0,000 -0,078 0,012 -0,003 0,000 0,436 -0,038 0,008 -0,001 -0,003 0,007 -0,002 0,000 0,012 -0,030 0,008 -0,001 -0,038 0,144 -0,029 0,004 0,001 -0,002 0,004 -0,003 -0,003 0,008 -0,031 0,009 0,008 -0,029 0,250 -0,031 0,000 0,000 -0,003 0,010 0,000 -0,001 0,009 -0,041 -0,001 0,004 -0,031 0,176 1,092 -0,509 -0,692 −1 K 21K11 K 21 = -0,033 -0,307 -0,509 2,728 -1,552 -0,692 -1,552 2,147 5.543 − 3.668 0 1,092 -0,509 -0,692 192296,8944 -136473,552 29888,784 K = 43200 − 3.668 7.336 − 3.668 − -0,509 2,728 -1,552 [ ] = -136473,552 199055,6208 -91397,808 EI −3.668 3.668 -0,692 -1,552 2,147 29888,784 -91397,808 65721,7584 0 −1 K K ⋅ K ⋅ K 22 21 11 12 MOD BİRLEŞTİRME YÖNTEMİ İLE PERİYOT HESABI (IKİRİŞ =0.25x0.53/12, Ikiriş≠∞) 192296,8944-46.38ω2 -136473,552 2 det[K − Mω ] = -136473,552 199055,6208-46.38ω2 29888,784 -91397,808 ω1 = 12.93 ⇒ ω2 = 44.34 rad / sn -91397,808 ω3 = 87.88 65721,7584-46.38ω2 29888,784 Açısal hızlar, frekanslar, periyotlar ve modlar Kat ω (rad/s) f=ω/2π (Hz) T=2π/ω (s) 1.mod {φ1} 2.mod {φ2} 3.mod {φ3} 1 1.89 2.47 1 0.056 -0.083 1 -1.12 0.45 1 ω1= ±12.93 f1=2.04 T1=0.486 2 ω2=± 44.34 f2=7.14 T2=0.14 3 ω3=± 87.88 f3=14.29 T3=0.07 24/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ YÖNTEMİNE GÖRE T=? (F=ku) Hooke kanunu gereği bir maddenin deplasmanının, deplasmana sebep olan kuvvetle yaklaşık doğru orantılı yani "lineer elastik madde" olmasından dolayı F=ku bağıntısı yazılır. Bu bağıntı ile sisteme etkiyen kuvvet ve/veya şekil değiştirmeler yani yatay deplasmanlar bulunur. Kat kütleleri ve kabul edilen yatay deprem kuvvetinin (Vt=1) katlara dağılımı aşağıdaki tabloda DY verilerine göre yapılmıştır. KAT hi 3 2 1 10,4 7,2 4 m wi =gi+n qi 217.86+139.01+98.16= 455.03 217.86+139.01+98.16= 455.03 217.86+139.01+98.16= 455.03 Toplam k w i hi 46.38 46.38 46.38 455.03/9.81= 4732.31 3276.22 1820.12 9828.65 Vt Fi = Vt wi hi / Σwi hi Qi 1 0,481 0,334 8 0,185 0,481 0,815 1 u −1 F = k ⋅ u = EI ⋅ [K 22 − K 21 ⋅ K11 ⋅ K12 ] ⋅ u F1 F2 F3 0 1,091683 5.543 −3.668 = 43200 −3.668 7.336 −3.668 − -0,508889 EI −3.668 3.668 -0,691874 0 K 22 -0,508889 2,728231 -1,552314 −1 K 21 ⋅K11 ⋅K12 F1 192296,8944 -136473,552 29888,784 u1 0,185 F = -136473,552 199055,6208 -91397,808 u == 0,334 2 2 F3 29888,784 0,481 -91397,808 65721,7584 u3 -0,691874 u1 0,185 -1,552314 u2 = 0,334 2,146663 u3 0,481 u F u1 2,41E-05 u = 4,57E-05 2 u3 5,99E-05 F u deplasmanları yukarıdaki şekilde bulunur. u değerleri ile Rayleigh (1973 Lord Rayleigh) bağıntısı kullanılarak çerçevenin 1. periyodu hesaplanır. EI EI=32.106x0.33x0. KAT u F m 1 2,40894E-05 0,185 46,38 6/12 2 =43200 kNm2 3 4,57143E-05 0,334 46,38 5,99373E-05 0,481 46,38 1/2 N ∑46.38⋅[(2.41.10−5 )2 +(4.57.10−5 )2 +(5.994.10−5 )2 ] i=1 T=2π N = 0.49 s −5 −5 −5 ⋅ 0 )] ∑[0.185⋅(2.41.10 )+0.334⋅(4.57.10 )+0.481(5.994.1 i=1 Görüldüğü gibi çerçevenin 1. periyodu kirişlerin I≠∞ olması durumu için mod birleştirme yöntemi ve eşdeğer deprem yükü yöntemi ile aynı olmaktadır. Yani eşitliğin kirişlerin rijitliğinin hesaba katılması durumunda gerçerli olduğu bilinmelidir. VEYA ϕ5 5.d 6.d 7.d 8.d 9.d 10.d 11.d 12.d 13.d 14.d 15.d 16.d 1.yd 2.yd 3.yd ϕ6 ϕ7 ϕ8 DÖNÜŞ AÇILARI ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 3,46 0,6 0 0 0,63 0 0 0 0 0,6 11,8 0,8 0 0 2,5 0 0 0 0 0,8 5,26 0,7 0 0 0,63 0 0 0 0 0,7 10,4 0 0 0 2,5 0 0,63 0 0 0 3,72 0,6 0 0 0,63 0 2,5 0 0 0,6 12,8 0,8 0 0 0 0 0,63 0 0 0,8 5,52 0,7 0 0 0 0 2,5 0 0 0,7 11,4 0 0 0 0 0 0,63 0 0 0 2,46 0 0 0 0 0 2,5 0 0 0,6 0 0 0 0 0 0 0,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,5 0 ϕ14 ϕ15 ϕ16 0 0 0 0 0 2,5 0 0 0,6 7,8 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0,63 0 0 0,8 4,26 0,7 0 0 0 0 0 0 0 2,5 0 0 0,7 6,4 DEPLASMANLAR δ1 δ2 δ3 -0,375 -1,5 -0,375 -1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,375 -1,5 -0,375 -1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 1,875 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0 0 0 0 0 3,668 0 0 = 0 = 0 = 0 = -0,591 = -2,344 = -0,591 = -2,344 = -0,591 = -2,344 = -0,591 = -2,344 = 0 = 0 = 3,668 = DEPREM E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,805 0,481 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 ϕ14 ϕ15 ϕ16 δ1 δ2 δ3 = = = = = = = = = = = = = = = 0,197 0,260 0,088 0,303 0,168 0,197 0,097 0,216 0,077 0,113 0,027 0,138 1,041 0,934 0,614 δ göreli kat deplasmanlarından katların tam deplasmanları (u) aşağıdaki şekilde de hesaplanır. 25/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) u1 =δ1 u2 =δ1 +δ2 u3 =δ1 +δ2 +δ3 Bu değerler EI rijitliğine bölünerek gerçek değerleri tablodaki gibi bulunur. Kat 1 2 3 δgöreli ui=δi+δi+1 u/EI F m 1,041 0,934 0,614 1,041 1,975 2,589 2.410.10-5 4.572.10-5 5.993.10-5 0,185 0,334 0,481 46.38 46.38 46.38 N ∑Fu i fi ω= i=1 N ∑mi u2fi i=1 =12.96 ⇒⇒T = 2π = 2π =0.49sn ω 12.96 Yukarıda u cinsinden yapılan çözümden farkı olmadığı görülmektedir. STADOLA YÖNTEMİ İLE AÇISAL HIZLARIN ve MODLARIN HESABI Uygulama: Rijitlik ve kütle matrisi verilen çerçevenin Stadola Yöntemi ile ω1 = ? ω2 = ? ω3 = ? G=30 kN/m Q=7.5 kN/m 13 14 B-B Q=10 kN/m 10 9 3.2 12 11 6 5 m G=40 kN/m Q=10 kN/m 0 23920,32 −15820,32 k = −15820,32 31640,64 −15820,32 0 −15820,32 15820,32 16 15 RİJİTLİK MATRİSİ m G=40 kN/m 3.2 0 0 46,38 m = 0 46,38 0 0 0 46,38 8 7 1 2 30/60 6.43m 30/60 cm 30/60 cm 4m 3 KÜTLE MATRİSİ 30/60 4 5.51m 4.82m -1 Çözüm: Çerçevenin dinamik (k ) matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir. 1 k1 1 −1 d=k = k1 1 k1 1 8100 1 1 1 + = k1 k 2 8100 1 1 1 1 + + k1 k 2 k1 8100 1 k1 1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2 1.235 1.235 1.235 1 1 1 1 = 10 −4 1.235 1.867 1.867 + + 8100 15820.32 8100 15820.32 1.235 1.867 2.499 1 1 1 1 1 + + + 8100 15820.32 15820.32 15820.32 15820.32 1 8100 1 8100 Çerçevenin dinamik matrisi 2 değişik yoldan bulunmuştur. 23920,32 Excel K = -15820,32 -15820,32 31640,64 -15820,32 0 -15820,32 15820,32 D=d m 0,0057 0,0057 0,0057 ω1 = 0 0,0057 0,0087 0,0087 K-1 = [r1] 1.adım [D] [r1] 0,0057 0,0087 0,0116 1 1 1 1.000 1 −1 = 6.637 s a1.mod = 1.383 0.0227 1.586 0,0172 0,0172 0,0230 0,0260 T1 = m 0,0001235 0,0001235 0,0001235 46,38 0 0,0001235 0,0001867 0,0001867 0 46,38 0 0,0001235 0,0001867 0,0002499 0 0 46,38 [r2] [D] [r2] 1,0000 1,3372 1,5116 0,0220 0,0304 0,0348 [r3] 0 [D] [r3] 0,0220 1,0000 0,0227 1,3812 0,0314 1,5820 0,0360 [r4] 0,2270 Değişim minimum olduğu için işlemlere son verildi 2π = 0.95 s 6.637 Yukarıdaki determinant arama yöntemi ile çözümde bulunan değerlerin aynısı olduğu görülmektedir. Çarpıma dikkatediniz m olan matrisi elde edilerek 2. modun hesabı D2 =DS2 = D[I]−a1 a1T m =D[I]− a1aT 1 M2 [a1T ma1 ] birinci modun hesabında izlenen yol aynen izlenerek hesaplanır. 26/36 1,000 1,383 1,586 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) a1T M a1 a1T 1,000 1,383 1,586 46,38 0 0 1,000 1,000 1,383 1,586 1,383 1,383 1,913 2,193 1,586 1,586 2,193 2,515 0 0 46,38 0 0 46,38 1 a1 a1T a1 1 0 0 0 1 0 X 0.184 0 0 0 0 0.184 0 0 0.184 0,81580 -0,25475 -0,29214 -0,25475 0,64768 -0,40403 -0,29214 -0,40403 0,53666 a1T ma1 0,184 0 0 a1 a1T 0 0,184 0 0 0 0,184 = S2 = [I]−a1a1T [m/[a1T ma1 ] M/[a1T ma1 ] 2. açısal hız için yapılan işlemler [r1] 1.adım [D1] [r1] [r2] 2.adım [D1] [r2] [r3] 3.adım [D1] [r3] [r4] 4.adım [D1] [r4] [r5] 5.adım [D1] [r5] [r6] 6.adım D1=k-1 m S2 =D S2 0,00154 -0,00006 -0,00091 -0,00006 0,00065 -0,00052 -0,00092 -0,00053 0,00105 ω2 = a1T m 1,000 1,383 1,586 - 1,383 1,913 2,193 1,586 2,193 2,515 [I] 1,000 1,383 1,586 1.383 1.586 46,380 64,14354 73,55868 251,755 a1T 0 0 1 M/[a1T ma1 ]= 46.38/251.755=0.184 a1 1 1 1 1 ω22 = 20.8962 = 436.68 s−1 a2.mod = 0.227 −0.834 1 = 20.897 s−1 0.00229 3. modun hesabı 0,0006 1,0000 0,0022 1,0000 0,0023 1,0000 0,0023 1,0000 0,0023 1,0000 0,0001 0,1070 0,0004 0,1740 0,0005 0,2044 0,0005 0,2203 0,0005 0,2270 -0,0004 -0,7140 -0,0017 -0,7854 -0,0018 -0,8178 -0,0019 -0,8326 -0,0019 -0,8340 T2 = 2π = 0.30 s 20.896 f2 = 20.896 = 3.32 s−1 2π Çarpıma dikkatediniz m m olan matrisi elde T D3 =DS3 = D[S2 ]−a2 a2 T a 2 aT =D[S2 ]− 2 M2 [a2 ma2 ] S3 edilerek ikinci modun hesabında izlenen yol aynen izlenerek hesaplanır. aT2 M a2 aT2 1,0 0,227 -0,834 1,000 1,00 0,2270 -0,8340 0,227 0,227 0,0515 -0,1893 -0,834 -0,834 -0,1893 0,6956 46,38 1,00 a2 aT2 a2 0 0 0,227 -0,834 46,38 aT2 0,8158 -0,2548 -0,2921 -0,2548 0,6477 -0,4040 -0,2921 -0,4040 0,5367 1,00 0 0 46,38 0 0 46,38 10,53 -38,68 aT2 m 0,2270 -0,8340 - 0,227 0,0515 -0,1893 X -0,834 -0,1893 0,6956 0,5724 0 0 0,5724 0 0 a2 aT2 S2 M/[aT2 ma2 ]= 46.38/81.03 =0.5724 a2 1,000 0.5724 0 0 0,227 -0,834 0 0 0.5724 0 0 0.5724 0,2434 -0,3847 0,1853 -0,3847 0,6182 -0,2956 0,1853 -0,2956 0,1386 81,03 aT2 ma2 0 = 0 0,5724 S3 = [S2 ]−a2 aT2 [m/[a2T ma2 ] M/[aT2 ma2 ] D=k-1 m=d m D=d m S3 S3 0,0057 0,0057 0,0057 0,0057 0,0087 0,0087 0,0057 0,0087 0,0116 x 0,2434 -0,3847 0,1853 -0,3847 0,6182 -0,2956 0,1853 -0,2956 0,1386 = 0,0003 -0,0004 0,0002 -0,0003 0,0006 -0,0003 0,0002 -0,0002 0,0001 3. açısal hız için yapılan işlemler D3=D S3 0,0003 -0,0004 0,0002 -0,0003 0,0006 -0,0003 0,0002 -0,0002 0,0001 ω3 = [r1]1.adım [D1] [r1] [r2] 2.adım [D1] [r2] [r3] 3.adım [D1] [r3] [r4] 4.adım [D1] [r4] [r5] 5.adım [D1] [r5] [r6] 6.adım 1 1 1 0,000058 1,000000 0,000622 1,000000 0,000938 1,000000 0,000951 1,000000 0,000951 1 -0,000043 -0,741000 -0,001010 -1,623800 -0,001559 -1,662000 -0,001582 -1,663500 -0,001583 -1,665 0,000039 0,693 0,672400 0,000432 1 = 32.49 s−1 ω32 = 32.492 = 157.50 s−1 0.00951 0,694500 0,000649 1 a3.mod = −1.665 0.693 0,691900 T3 = 0,000658 0,691900 2π = 0.20 s 32.49 0,000659 f2 = 32.49 = 2.00 s−1 2π 27/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) mod Uygulama: Rijitlik ve kütlesi verilen çerçevenin RAYLEIGH ile ω1 = ? φ11 = ? φ21 = ? φ31 = ? G=30 kN/m Q=7.5 kN/m 13 B-B 14 Q=10 kN/m 10 9 12 11 6 5 m 3.2 G=40 kN/m Q=10 kN/m 0 23920,32 −15820,32 k = −15820,32 31640,64 −15820,32 0 −15820,32 15820,32 16 15 RİJİTLİK MATRİSİ 3.2m G=40 kN/m 0 0 46,38 m = 0 46,38 0 0 0 46,38 8 7 m 2 30/60 6.43m 3 4.82m 30/60 cm 1 30/60 cm 4 KÜTLE MATRİSİ 30/60 4 m 5.51 ÇÖZÜM: Sistemin bilinmeyen birinci açısal hızına [ ω 12 ] karşı gelen modları φ1T = [1 2 3] kabul edilmiş olsun. Bu normal modları kabul yaparken daha önceki çözümlerde bulunan değerler ile uyum içinde olmasına dikkat edilmesi yani artan değerler alınması sonuca ulaşmayı daha kolaylaştıracaktır. Çözüm aşağıdaki maddeler halinde yapılır. 1. Kabul edilen φ1T = [1 2 3] modlara karşı gelen açısal hız ω 2 = k m bağıntısı ile hesaplanır. 0 46.38 T 46.38 Genel kütle m = φ1 M φ1 = [1 2 3] 0 0 0 ω için 1. adım 23920,32 T Genel rijitlik k = φ1 K φ1 = [1 2 3]k = −15820,32 0 k 39740.64 2 = 61.20 Açısal hız ω1 = = m 649.32 0 1 0 2 = 649.32 46.38 3 −15820,32 1 31640,64 −15820,32 2 −15820,32 15820,32 3 0 = 39740.64 2. 1. madde de hesaplanan açısal hıza karşı gelen modlar tekrar hesaplanır (eğer yukarıda bulunan hız gerçek değer ise hesaplanan modlar başta kabul edilen modların aynısı φ1T = [1 2 3] olur, değilse bir iterasyon daha yapılır.) 0 0 1 0.169 0.005726 0.005726 0.005726 46.38 1.000 46.38 0 1 = 0.226 = 0.169 1.337 = 9.810.005726 0.008658 0.008658 0 φ2 = gK −1 mr 0.005726 0.008658 0.011589 0 1.509 0 46.38 1 0.255 Kφ2 = gmr 3. 2. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların başta kabul edilen modlar ile aynısı olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni bulunan modlar kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır. 0 46.38 T 46.38 Genel kütle m = φ1 M φ1 = [1 1.337 1.509] 0 0 0 ω için 2. adım 23920,32 T Genel rijitlik k = φ1 K φ1 = [1 1.337 1.509] = −15820,32 0 k 10364.73 2 = 44.12 Açısal hız ω1 = = m 234.90 28/36 0 1 0 1.337 = 649.32 46.38 1.509 −15820,32 1 31640,64 −15820,32 1.337 −15820,32 15820,32 1.509 0 = 39740.64 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 4. Yukarıda hesaplanan açısal hızın bir önceki (1. madde) ile aynı olmadığından ve azalan bir eğilimde olduğundan bu değere karşı gelen yeni modlar tekrar hesaplanır. Kφ3 = mφ1 0 0 0.005726 0.005726 0.005726 46.38 φ3 = K −1m φ1 = 0.005726 0.008658 0.008658 0 46.38 0 0.005726 0.008658 0.011589 0 0 46.38 1.000 0.0220 1.000 1.337 = 0.0304 = 0.0220 1.382 1.509 0.0348 1.582 5. 4. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların 2. madde de hesaplanan edilen modlar ile aynısı olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni bulunan modlar kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır. 0 46.38 0 T Genel kütle m = φ M φ = [1 1.382 1.582] 46.38 1 1 0 0 ω için 3. adım 23920,32 T Genel rijitlik k = φ K φ = [1 1.382 1.582] = 1 1 −15820,32 0 k 11041.38 2 = 43.98 Açısal hız ω1 = = m 251.04 0 1 0 1.382 = 251.04 46.38 1.582 −15820,32 0 31640,64 −15820,32 −15820,32 15820,32 1 1.382 = 11041.38 1.582 6. 5. madde de hesaplanan açısal hızın bir önceki (3. madde) ile aynı olmadığından ve azalan bir eğilimde olduğundan bu değere karşı gelen yeni modlar tekrar hesaplanır. Kφ3 = mφ1 0 0 0.005726 0.005726 0.005726 46.38 φ3 = K −1m φ1 = 0.005726 0.008658 0.008658 0 46.38 0 0 46.38 0.005726 0.008658 0.011589 0 1.000 0.0227 1.000 = = 1.382 0.0313 0.0227 1.379 1.582 0.0360 1.586 7. 5. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların 4. madde de hesaplanan edilen modlar ile aynısı olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni bulunan modlar kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır. 0 0 1 46.38 Genel kütle m = φ3T M φ3 = [1 1.379 1.586] 0 46.38 0 1.379 = 250.95 0 0 46.38 1.586 Genel rijitlik ω için 4. adım 0 23920,32 −15820,32 k = φ K φ3 = [1 1.379 1.586] −15820,32 31640,64 −15820,32 −15820,32 15820,32 0 T 3 SONUÇ DEĞERLER Açısal hız ω12 = k 11037.23 = = 43.98 m 250.95 1 1.379 = 11037.23 1.586 1.000 Modlar φ3 = 1.378 1.586 8. Çözüm adımları incelendiğinde mod ve açısal hızdaki değişimler minimuma inmiş durumdadır. Burada çözüme son verilere bulunan mod ve açısal hız kullanılarak deprem hesabına devam edilir. Görüldüğü gibi birinci açısal hız ve buna karşı gelen modlar daha önce çözülen yöntemdekiler ile (Stadola, determinant) aynısı bulunmuştur. 29/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Uygulama: Mod özellikleri verilen çerçevenin etkili kütle Mi* ve yüksekliklerinin hi* bulunması. G=30 kN/m Q=7.5 kN/m 13 14 B-B Q=10 kN/m 10 9 3.2m G=40 kN/m 6 RİJİTLİK MATRİSİ m G=40 kN/m 3.2 8 7 m 2 30/60 6.43m 3 4.82m 30/60 cm 30/60 cm 4 1 0 23920,32 −15820,32 k = −15820,32 31640,64 −15820,32 0 −15820,32 15820,32 12 11 Q=10 kN/m 5 16 15 0 0 46,38 m = 0 46,38 0 0 0 46,38 KÜTLE MATRİSİ 3.MOD 2.MOD 1.MOD 0.063 0.111 0.073 0.087 0.026 −0.115 0.100 −0.093 0.055 30/60 4 5.51m ÇÖZÜM: Etkili kütle ve yükseklikler aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. 0 0 1 46.38 0.087 0.10] 0 46.38 0 1 2 T 2 0 0 46.38 1 [11.60] = 134.56 M* = 4.16 [φ m 1] = = M1* = 1T 2 0 0 0.063 [φ1 m φ1 ] 1 46.38 134.56 + 4.16 + 0.36 = 46.38x3 ∑ [0.063 0.087 0.10] 0 46.38 0 0.087 139.08 =139.14 0 0 46.38 0.100 [0.063 0 0 0.063 46.38 7.2 10.40] 0 46.38 0 0.087 T 2 0 0 46.38 0.100 [88.975] [h m φ1 ] h1* = = = = 7.67 0 0 1 [φ1Tm 1] 11.60 46.38 [0.063 0.087 0.10] 0 46.38 0 1 0 46.38 1 0 M3* = 0.36 [4 3 ∑m * i 1 h2* = −7.64 h3* = 2.77 0 0 1 46.38 ⋅ hi* = [ 4 7.2 10.40] 0 46.38 0 1 = 1001.88 = 134.56 ⋅ 7.67 − 4.16 ⋅ 7.64 + 0.36 ⋅ 2.77 = 1001.29 0 46.38 1 0 4.16 h1=7.64 0.36 2.77 h1=7.67 134.56 F11 = M1* ⋅Spa ( T1 ) m⋅φ11 3 ∑ m⋅φi 1 n=1 F12 = M2* ⋅Spa ( T2 ) m⋅φ12 3 ∑ m⋅φi 2 n=1 F13 = M3* ⋅Spa ( T3 ) m⋅φ13 3 ∑ m⋅φi 3 n=1 30/36 Yatay F21 = 55.73 F31 = 64.05 Deprem Kuvvetleri 46.38⋅0.111 = [4.16⋅1.72] =18.05 F22 = 4.23 F32 = −15.12Önce 46.38⋅( 0.111+ 0.026 − 0.093 ) Bulunanlarla Aynısı 46.38 ⋅0.073 = [0.36⋅1.72] = 3.48 F23 = −5.48 F33 = 2.62 46.38⋅( 0.073 − 0.115 + 0.055 ) Bulunmuştur . 46.38⋅0.063 = [134.56⋅1.19] = 40.35 46.38 ⋅( 0.063 + 0.087 + 0.10 ) UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) −1 Yatay deplasmanlar, Fi.mod =k ⋅ x kN x = k i−1 ⋅ Fi.mod = ⋅ kN = m m Bağıntısı ile hesaplanır. 0,000123 0,000123 0,000123 k-1 0,000123 0,000187 0,000187 0,000123 0,000187 0,000250 Yukarıda hesaplanan [x1 ] = [ Y ]max φi F1.mod F2.mod F3.mod 40,35 55,73 64,05 0,019769 0,027340 0,031389 18,05 4,23 -15,15 0,000880 0,000190 -0,000768 3,48 -5,48 2,62 0,000077 -0,000104 0,000061 0.0198 0.0009 0.000073 ω12 = 6.6322 → [x1] = 0.0273 ω22 = 20.8772 → [x 2 ] = 0.00021 ω32 = 32.512 → [x3 ] = −0.000120 0.0314 −0.00075 0.00006 Yapılan hesaplardan görülebildiği üzere daha önce bulunan büyüklüklerin aynısının bulunduğu görülmektedir. Yapının tamamı yerine etkili mod ve yüksekliklerin alınmasıyla hesap yapmak daha kolay olur. SINAVDA BUNDAN SONRASI YOK SINAVINIZDA BAŞARILAR DİLERİM 31/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) 2.8.4. Mod Katkılarının Birleştirilmesi Binaya etkiyen toplam deprem yükü, kat kesme kuvveti, iç kuvvet bileşenleri, yerdeğiştirme ve göreli kat ötelemesi gibi büyüklüklerin her biri için ayrı ayrı uygulanmak üzere, her titreşim modu için hesaplanan ve eşzamanlı olmayan maksimum katkıların istatistiksel olarak birleştirilmesi için uygulanacak kurallar aşağıda verilmiştir: 2.8.4.1 – Tm<Tn Tm < 0.8 Tn olmak üzere, gözönüne alınan herhangi iki titreşim moduna ait doğal periyotların daima [Tm < Tn ] koşulunu sağlaması durumunda, maksimum mod katkılarının birleştirilmesi için Karelerin Toplamının Kare Kökü Kuralı uygulanabilir. [Binanın m’inci ve n’inci doğal titreşim periyotları [s]] 2.8.4.2–Yukarıda belirtilen koşulun sağlanamaması durumunda, maksimum mod katkılarının birleştirilmesi için Tam Karesel Birleştirme (CQC) Kuralı uygulanacaktır. Bu kuralın uygulanmasında kullanılacak çapraz korelasyon katsayıları’nın hesabında, modal sönüm oranları bütün titreşim modları için %5 olarak alınacaktır. Mod Katkılarının Birleştirilmesi Kombinasyonlar Modal tepkiler analizlerde belirli kombinasyonlara göre yönetmeliklerde kabul edilen belirli metotlara göre kullanılır. 1. Modal Kombinasyonlar yapılır. Bu kombinasyonlar farklı 2. Direkt Kombinasyonlar 1. Modal Kombinasyonlar: İstatistiksel modal kombinasyon metotlarıdır. Bu metotlarda her ülkenin kendi yönetmeliğindeki uygulamak istediği modal etkilerin matematiksel olarak formüle edilmesiyle elde edilen arttırılmış veya azaltılmış ya da ortalama değer olarak alınan değerlerdir. Bu metotlar arasında en çok kullanılanlar aşağıdaki gibidir. - CQC (Complete Quadratic Combination) : Tam karesel birleştirme - SRSS (Square Root of Sum of Squares) : Karelerin toplamının karekökü - ABS (Sum of the Absolute Value) : Mutlak değer - GMC (General or Gupta Modal Combination) : Modal kombinasyon 2 = R12 + R 22 + R 23 SSRS Rmax s = ∑ Ri GMC,CQC R max s = ∑ ∑ Ri .pij .R j ABS R max s = max[R1 + R 2 + ...] = max[[R1 + ν(R 2 + R 3 )].[R 2 + ν(R 2 + R 3 )].... = Ri = modaletkiler CQC: Modal sönümlemenin hesaba katıldığı bir yöntemdir. Bu hesap yönteminde modal sönümleme sıfır alınırsa aynı SRSS yöntemindeki gibi benzer bir hesap yöntemi oluşur. Nispeten yeni mod birleştirme yöntemi; Tam Kare Birleştirme (CQC) olup, bu yöntem ilk defa 1981 de yayınlanmıştır. Rasgele titreşim teorilerine dayanan ve mühendislerin çoğu tarafından geniş kabule mahzar olan bu yöntem, sismik analiz yapan modern bilgisayar programlarının çoğuna bir seçenek olarak girmiştir. Mod değerlerinden tipik bir kuvvetin pik değeri çift toplam denklemini uygulayarak, CQC yöntemi ile tahmin edilebilir. Mutlak değerlerin toplamı, çok kaba bir şekilde, bütün sonuçları gerçek değerinden fazla vermektedir. Buna karşılık CQC yöntemi, zaman tanım alanında kesin hesaba yakın ve çok gerçekçi değerler vermektedir (Wilson, 2000). 32/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) SRSS: Modal sönümlemenin hesaba katılmadığı bir hesap yöntemidir ve dolayısıyla değer sıfır olmaktadır. Bir yapıdaki kuvvet veya deplasmanın pik değerini tahmin etmek için kullanılan en korunumlu (güvenli tarafta kalan) yöntem, modal davranış büyüklüklerinin mutlak değerlerinin toplamını kullanmaktır. Bu yaklaşım, bütün modlar için maksimum mod değerlerinin aynı anda oluştuğunu kabul eder. Bir diğer çok yaygın yaklaşım ise (SRSS), deplasman veya kuvvetlerin değerlerini tahmin etmek için, maksimum mod değerlerinin karelerinin toplamının karekökünü kullanmaktır. SRSS yöntemi, bütün maksimum mod değerlerinin istatistiksel olarak bağımsız olduklarını kabul eder. Çok sayıda frekansın hemen hemen özdeş olduğu üç boyutlu yapılarda bu kabul doğrulanmaz. SRSS yöntemi, yükler doğrultusunda olan taban kesme kuvvetlerini, gerçek değere göre yaklaşık olarak yüzde 30 a kadar eksik ve yüklere dik doğrultudaki taban kesme kuvvetlerini ise on misli kadar fazla hesaplamaktadır (Wilson, 2000). ABS : Bu hesapta modal sonuçlar mutlak değerler toplamıdır. GMC: Bu hesap yönteminde de modal sönümleme hesaba katılır ve büyük frekanslardaki modlar arasında oluşan modal tepkiler birbirleri ile yüksek bir ilişkilendirme yapılarak hesabı yapılır. 2. Direkt Kombinasyonlar: Bu tür kombinasyonda, farklı yönlerdeki ivmesel yükleri de içine alan ve diğer yönlerdeki modal etkilerin hesaba katılarak analizinin yapılmasıdır. SRSS: Tek yönlü yapılan kombinasyon tekniğidir ve yükleme yönüne göre bağımsız olarak yapılan hesaplama yöntemidir. ABS: Farklı yönlerdeki oluşan modal etkileri de hesaba katan bir analiz yöntemidir. Tek bir yön için yapılan hesabın farklı yönlerde de belirli bir oran arttırarak uygulanmasıyla oluşan ve iki veya üç yönde de oluşabilecek durumları da inceleyebilen hesaptır. Mod birleştirme yöntemi, modal analizdeki bulunan yapının her modunun ayrı ayrı hesaplanıp ve daha sonra bu modların istatistiksel olarak analize katılarak hesaplanmasıdır. Bu nedenle modal analizin nasıl olduğu ve hesabı basit bir analizle sunulacaktır. Uygulama: Şekildeki çerçeve verilerini kullanarak yatay deprem yüklerinin, - CQC (Complete Quadratic Combination) : Tam karesel birleştirme - SRSS (Square Root of Sum of Squares) : Karelerin toplamının karekökü - ABS (Sum of the Absolute Value) : Mutlak değer yöntemleri ile belirlenmesi. Tam Karesel Birleştirme (CQC) Yöntemi ile modal katkıların birleştirilmesi ω ω1 = 6.632 rad/s ω2 = 20.89 rad/s ω3 = 32.54 rad/s ξ=0.05 ηij=ωi/ωj ηij j=1 j=2 j=3 i=1 ω1/ω ω1=1.000 ω1/ω ω2=0.317 ω1/ω ω3=0.204 i=2 ω2/ω ω1=3.150 ω2/ω ω2=1.000 ω2/ω ω3=0.642 i=3 ω1=4.907 ω3/ω ω3/ω ω2=1.558 ω3/ω ω3=1.000 33/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Çözümü yapılan T (s) [Ts / Tr ] T1=0.95 T2=0.30 T3=0.20 0.3/0.95=0.32 sağlanıyor 0.2/0.3=0.67 sağlanıyor bu uygulamada yönetmeliğin Tm < 0.8 Tn öngördüğü [Tm < Tn ] kriteri sağlanmadığından SRSS uygulanır. Ancak burada örnek olması bakımından CQC yöntemi uygulanmıştır. κij ξ=0.05 0.5 N N N Xmax = ∑ X 2jo + ∑ ∑ κijXio X jo i = 1 j= 1 j=1 i ≠ j 8 x0.05 2 (1 + 0.317) x 0.3173/ 2 = 0.0058 (1 − 0.317 2 )2 + 4 x 0.052 x 0.317(1 + 0.317)2 0.0024 i=2 0.0058 1.0000 0.0465 i=3 0.0024 0.0465 1.0000 0.000073 0.0198 0.0009 [x1] = 0.0273 [x2 ] = 0.00021 [x3 ] = −0.000120 0.00006 0.0314 −0.00075 Kat Mod Mod 1 Mod 2 Mod 3 1 2 3 x1 x2 x3 0.0198 0.0273 0.0314 0.0009 0.00021 -0.00075 0.000073 -0.00012 0.00006 ( 0.0058 x 0.0198x0.0009x0.000073 )i=1,j = 2(0.0058 ) + ( 0.0024 x 0.0198x0.0009x0.000073 ) i =1,j = 3(0.0024) +0.01982 1.mod N N N + ( 0.0058 x 0.0198x0.0009x0.000073 ) i = 2 j = 1(0.0058) + ∑∑ = ∑ +0.000922.mod j =1 + ( 0.0465 x 0.0198x0.0009x0.000073 ) i = 1 j = 1 i = 2 j = 3(0.0465) 2 + 0.00007 3 ( ) 3.mod + ( 0.0024 x 0.0198x0.0009x0.000073 ) i = 3 j = 1(0.00 24) + ( 0.0465 x 0.0198x0.0009x0.000073 ) i = 3 j = 2(0.04 65) ii= j( κ =1 olanlar [ x 12 + x 22 + x 32 ]0.5 (x1)max = 0.0198 (x2)max = 0.0273 (x3)max = 0.0314 MM (1 − ηij2 )2 + 4ξ2 ηij (1 + ηij )2 i=1 1.0000 κ12 = j=3 ABSU κij = 8ξ2 (1 + ηij )ηij3/2 j=2 SRSS j=1 0.5 X1max = 0.019821 alınmaz) ( 0.0058 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) ) i =1,j= 2(0.0058) + ( 0.0024 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) ) i=1,j= 3(0.0024) 2 +0.02731.mod + 0.0058 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) ) N i= 2 j =1(0.0058) N N ( 2 = ∑ +0.000212.mod + ∑∑ j =1 i=1 j =1 + ( 0.0465 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )i= 2 j =3(0.0465 ) 2 + ( −0.00012 )3.mod + ( 0.0024 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )i= 3 j =1(0.0024) + ( 0.0465 x0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) ) i = 3 j = 2(0.0465) i= j( κ=1 olanlar X 2max ( 0.0058 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 ) i=1,j = 2(0.0058) + ( 0.0024 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 ) i =1,j = 3(0.0024) 2 +0.03141.mod + 0.0058 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 ) N i = 2 j=1(0.0058) N N ( 2 = ∑ +0.000752.mod ∑∑ j =1 i=1 j =1 + ( 0.0465 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )i = 2 j=3(0.0465) 2 + ( −0.00006 )3.mod + ( 0.0024 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )i =3 j=1(0.0024 ) + ( 0.0465 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 ) ) i = 3 j = 2(0.0465 i = j( κ=1 olanlar = 0.027301 alınmaz) 0.5 X3max 34/36 = 0.031409 alınmaz) CQC 0.5 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) Bulunan deplasman (SRSS, CQC ve ABSSUM) değerleri aşağıdaki şekilde karşılaştırılır. Kat 1 2 3 x1 Mod Mod1 0.0198 x2 x3 0.0009 0.000073 Mod2 0.0273 0.00021 -0.00012 Mod3 0.0314 -0.00075 0.00006 x12 + x 22 + x32 + x 24 0.5 [DY Tam Karesel Birleştirme Kuralı [CQC] [DY2.8.4.2] ABSSUM 2.8.4.1] [x1]max = 0.019821 [x2]max =0.0273 [x3]max =0.0314 [x1]max = 0.0198+0.0009+0.000073=0.020773 [x2]max = 0.0273+0.00021+-0.00012=0.02763 [x3]max = 0.03014-0.00075+0.00006=0.03221 (x1)max = 0.0198 (x2)max = 0.0273 (x3)max = 0.0314 Deplasman (SRSS, CQC ve ABSSUM) değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanarak karşılaştırılması 46.38 ⋅ 0.0198 40.39 46.38 ⋅ 0.0009 18.19 46.38 ⋅ 0.000073 3.58 F1.mod = 6.6322 46.38 ⋅ 0.0273 = 55.69 kN F2.mod = 20.8772 46.38 ⋅ 0.00021 = 4.25 kN F3.mod = 32.512 46.38 ⋅ − 0.000120 = −5.88 kN 46.38 ⋅ 0.0314 64.05 46.38 ⋅ ( −0.00075) −15.16 46.38 ⋅ 0.00006 2.94 N N ( ( ( ) 0.5 2 2 2 40.39 + 18.19 + 3.58 0.5 F = 55.692 + 4.252 + 5.882 0.5 2 2 2 64.05 + 15.16 + 2.94 ) ) 44.44 = 56.16 kN 65.89 ( 0.0058 x 40.39 x18.19x3.58 )i =1,j = 2(0.0058) + ( 0.0024 x 40.39 x18.19x3.58 ) i =1,j = 3( 0.0024) +40.392 1.mod N + 0.0058 x 40.39 x18.19x3.58 ) i = 2 j=1(0.0058) N N ( 2 = ∑ +18.192.mod + ∑ ∑ j =1 i =1 j=1 + ( 0.0465 x 40.39 x18.19x3.58 )i = 2 j= 3(0.0465) +3.582 3 .mo d + ( 0.0024 x 40.39 x18.19x3.58 ) i = 3 j=1(0.0024) + ( 0.0465 x 40.39 x18.19x3.58 ) i = 3 j= 2( 0.0465) i= j( κ =1 olanlar SRSS Fmax 0.5 = ∑ Fjo2 + ∑ ∑ κijFioFjo i =1 j =1 j=1 i≠ j N ABS SUM yapılmıştır. 0.5 F1max = 47.571 kN alınmaz ) ( 0.0058 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) ) i =1,j = 2(0.0058) 55.692 + ( 0.0024 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) ) 1.mod i =1,j= 3(0.0024) + 0.0058 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) ) N i = 2 j=1(0.0058) N N ( = ∑ +4.2522.mod + ∑∑ j=1 i=1 j =1 + ( 0.0465 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )i = 2 j= 3(0.0465) + −5.88 2 + ( 0.0024 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )i =3 j=1(0.0024) ( ) 3.mod + ( 0.0465 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) ) i = 3 j= 2(0.0465) i= j( κ =1 olanlar F2max ( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i =1,j = 2(0.0058) 2 64.051.mod + ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i=1,j= 3(0.0024) N N + ( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 2 j =1(0.0058) N 2 = ∑ + ( −15.16 )2.mod + ∑ ∑ j=1 i=1 j =1 + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 2 j =3(0.0465) +2.942 + ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 3 j =1(0.0024) 3.mod + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i= 3 j = 2(0.0465) i = j( κ=1 olanlar = 54.787 kN CQC 0.5 alınmaz ) 0.5 F3max C: Mutlak Değerlerinin Toplamı (ABSSUM) için; r(t)max ≤ N = 63.469 kN alınmaz) ∑ rj (t)max = r10 + .... + rn0 + .... + rN0 j =1 bağıntısından, 35/36 UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI) < CQC TRSS F(2) = 55.69 + 4.25 + −5.88 = 65.82 Karşılaştırma F(3) = 64.05 + −15.16 + 2.94 = 82.15 160.13 KAT KESME V = V1.mod dan = 119.94 kN 64.05 0.5 N N N Fmax = ∑ Vjo2 + ∑ ∑ κij Vio Vjo j=1 i≠ j i =1 j =1 44.44 47.57 F = 56.16 t < 54.79 t 65.89 63.67 ) 0.5 2 2 2 160.13 + 7.28 + 0.64 2 2 F = 119.942 + ( −10.91) + ( −2.91) 0.5 64.052 + ( −15.16 )2 + 2.942 ( ( 62.16 < 65.82 t 82.15 0.64 V3.mod dan = −2.94 kN 2.94 7.28 V2.moddan = −10.91 kN −15.16 ( < ABSSUM ) ) 160.30 0.5 = 120.47 kN 65.89 ( 0.0058 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i=1,j= 2(0.0058) 2 160.131.mod + ( 0.0024 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 ) i=1,j = 3(0.0024) N N N + ( 0.0058 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i= 2j =1(0.0058) = ∑ +7.2822.mod + ∑ ∑ j =1 i =1 j=1 + ( 0.0465 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i= 2j =3(0.0465) + ( 0.0024 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 ) 2 i= 3 j =1(0.0024) +0.643.mod + ( 0.0465 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 ) i= 3 j = 2(0.0465 ) i ≠ j( κ=1 olanlar SRSS F(1) = 40.39 + 18.19 + 3.58 = 62.16 0.5 V1max = 160.55 kN alınmaz ) V2max ( 0.0058 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) ) i=1,j = 2(0.0058) 119.9412.mod + ( 0.0024 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) ) i =1,j = 3(0.0024) + 0.0058 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) ) N i = 2 j=1(0.0058) 2 N N ( = ∑ + ( −10.91)2.mod + ∑ ∑ = 122.21 kN j=1 i=1 j =1 + ( 0.0465 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )i = 2 j= 3(0.0465) 2 + ( 0.0024 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )i =3 j=1(0.0024) 2.94 + − ( ) 3.mod + ( 0.0465 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) ) i = 3 j= 2(0.0465 ) i ≠ j V3max ( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i=1,j = 2(0.0058) 2 64.051.mod + ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i =1,j = 3(0.0024) + 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) N i = 2 j=1(0.0058) 2 N N ( = ∑ + ( −15.16 )2.mod + ∑ ∑ j=1 i =1 j=1 + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i = 2 j= 3(0.0465) +2.942 + ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i =3 j=1(0.0024) 3.mo d + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 ) i = 3 j= 2(0.0465) i≠ j( κ=1 olanlar CQC 0.5 0.5 = 63.47 kN ABSSUM alınmaz) V(1) = 160.13 + 7.28 + 0.64 = 168.05 V(2) = 119.94 + −10.91 + −2.94 = 133.79 V(3) = 64.05 + −15.16 + 2.94 = 82.15 TRSS Karşılaştırma 36/36 < CQC 160.30 160.55 F = 120.47 kN < 122.21 kN 63.47 65.89 < ABSSUM 168.05 < 133.79 82.15 kN TASARIMDA KULLANILMAZ
© Copyright 2024 Paperzz