UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Uygulama: verilen çerçevenin yatay deprem yüklerinin hesaplanması.
Yapının bulunduğu bölgenin deprem özellikleri: Z3, TA=0.15 s TB=0.60 s Ao=0.30 I=1.4 R=6
14
13
16
15
3.2m
11
10
9
Q=7.59 kN/m
5 G=31.605 kN/m
Q=6.35 kN/m
6
12
3.2m
Q=3.63 kN/m
G=26.935 kN/m 7
G=16.725 kN/m 8
1
6.43m
2 30/60
3
4.82m
30/60
cm
30/60
cm
4m
5.51m
30/604
Çözüm: Kiriş yükleri tüm katlar için eşit olup tabloda hesaplanmıştır.
Çerçeve
Kiriş
L Kirişin kendi yükü Döşemelerden gelen
K103 6.43 3.125 (.25x.5x2.5) 28.48 (D101-103 trapez)
B-B
1., 2. ve 3. K104 4.82 3.125 (.25x.5x2.5) 23.81(D102-104 trapez)
kat
K105 5.51 3.125 (.25x.5x2.5)
13.6 (D105 trapez)
Toplam G
Q nQ=0.3Q
3.125+28.48=31.6057.59
3.125+23.81=26.9356.35
3.125+13.6=16.725
3.63
2.28
1.91
1.09
G+nQ
L(G+nQ)
31.605+2.28=33.88 6.43x33.88=217.86
28.84
17.81
4.82x28.84=139.01
5.51x17.81=98.16
ÇÖZÜM: Yatay deprem yüklerinin mod birleştirme yöntemi hesabında toblodaki yol izlenir.
Bir yapının MOD yöntemi ile deprem yüklerinin hesabında izlenen aşamalar
Sıra
Açıklama
3
3
1
Çerçevenin rijitlik matrisi oluşturulur (k=12EI/h
2
Çerçevenin her katının kütlesi hesaplanarak sistemin kütle matrisi oluşturulur (m=(G+nQ)L/9.81)
3
Çerçevenin det = [K − ω2M] denklemi oluşturulur
4
det = [K − ω2M] denkleminden açısal hızlar bulur.
5
DY’nin 2.8.3 maddesine göre hesapta dikkate alınacak mod sayısı hesaplanır.
6
A (T) = AoI S(T) İvme spektrumu Spa =
7
Modal Kütle Çarpanı Hesabı [Modal Katılım Faktörü]
8
Maksimum yer değiştirmeler [Yi]. [Yi ]max =
9
Yer değiştirmelerinden x deplasmanlarına modlardan gelen katkı; [{x}i = {φ
φi}(Yi)max]
ω12 m
x1 F2.mod dan =
veya
k=3EI/h )
Her bir ω için
Periyotlar T=?
Modlar φ=?
A(Ti ) g
(yapının ve bölgenin özelliklerine göre)
R(Ti )
ω22 m
α1 ={φi } [M] {r }
T
αiSpa ( Ti )
ωi2
10
F1.mod dan =
11
2
2
2
2 0.5
Fi = [F1i.mod dan ] + [F2i.moddan ] + [F3i.mod dan ] + [Fni.moddan ]
x2
Fn.mod dan =
ωn2 m
Çekme Basınç
xn
1/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Çerçevenin rijitlik ve kütle matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
B-B çerçevesinin rijitliklerinin hesabı
Depremin X-X Yönünde Etkimesi Halinde Yapının Periyodunun (T) Hesaplanması
KAT
AKS
I (10-3m4)
B1
1
B-B
B2
B3
B4
B1
2
B-B
B2
B3
B4
B1
3
B-B
B2
B3
B4
k = 12EI / h3 (kN / m)
E (kN/m2) h (m)
3
1.35
5.40
1.35
5.40
1.353
5.40
1.35
5.40
1.353
5.40
1.35
5.40
3.2.10
6
4
3.2.106
3.2
3.2.106
3.2
∑ k1.KAT + ∑ k 2.KAT
B-B Aksı [K ] =
− ∑ k 2.KAT
0
810
3240
810
3240
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
− ∑ k 2.KAT
∑k
Wi (kN)
∑ k1 = 8100
217.86
+139.01
+98.16=
− ∑ k 3.KAT
455.03
46.38
∑ k 3 = 15820.32
455.03
46.38
− ∑ k 3.KAT
∑ k 3.KAT
0
0
46,38
m = 0
46,38
0
0
0
46,38
RİJİTLİK MATRİSİ
KÜTLE MATRİSİ
det[k − mω2 ]
−15820,32
31640,64 − 46,38ω
−15820,32
−15820,32
=0
15820,32 − 46,38ω2
0
2
det=-99768,2 ω6 +1,535x108 ω4 -5,26543x1010 ω2 +2,027x1012
)
46.38
∑ k 2 = 15820.32
0
23920,32 −15820,32
B-B Aksı [K ] = −15820,32 31640,64 −15820,32
−15820,32 15820,32
0
23920,32 − 46,38ω2
−15820,32
det =
0
(
W
kN − sn2 / m
9,81
455.03
0
∑ k 2.KAT + ∑ k 3.KAT
m=
Bilinen bir
yöntem ile
hesaplanan
açısal hızlar
ω = 6,632
1
ω2 = 20,890
ω3 = 32,537
NOT: det=-99768.2 ω6 +1.535x108 ω4 -5.26543x1010 ω2 +2.027x1012 = 0 bu denklem çeşitli nümerik
çözüm yöntemlerinden birisi ile çözülebilir. Burada determinant arama yöntemi ile çözüm yapılacak ve
ve MSSN.MAT ile kontrol edilecek. Aşağıda örnek bir çerçeve çözümü verilmiştir.
det[[K]-ω
ω [M]]=0 bağıntısından elde edilen determinant denklemi çözülür. Determinant hesaplanırken
2
elde edilen fonksiyonun derecesi serbestlik derecesinin iki katı olur. Çerçeve 3 katlı olduğundan dolayı
açısal hızlar [[ω
ω1 -ω
ω1], [ω
ω2 -ω
ω2], [ω
ω3 -ω
ω3]] 6 tane olup bunların artı değerde olan 3 tanesi [[ω
ω1], [ω
ω2],
[ω
ω3]] çözümlerde kullanılır. Bu tür denklemlerin çözümleri çok pratik olmamaktadır. Bunun için
küçükten büyüğe doğru artan değerler verilerek bir deneme yanılma uygulanır. Bu şekildeki
çözümdeki genel yaklaşım, açısal hızın değerlerine (0’dan başlayarak alınan değerler çünkü -ω değeri
çözüm için anlamsızdır) göre –det ve +det değerleri hesaplanarak bu arada det=0 yapan açısal hızı
bulma üzerinedir. Bunun için aşağıdaki adımlar izlenir.
2/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
1. Ordinatı determinant (det.) ve apsisi açısal hız (ω
ω ) olan bir eksen takımı çizilir.
2
-det
+det
ω1 için ωx=? ise
-det
A
y
y’
ω
2 değer arasında
determinantı sıfır yapan
[ω2] bulunur
z
z’
3
2 değer arasında
determinantı sıfır yapan
[ω2] bulunur
ωx’ ise
+det ωx’’ ise
+det
ω2
ω1
x’
y
y’
ωy ise
-det
ω1 için ωx=? ise
-det
1. açısal hız (ω
ω1) bölgesi
+det
x’
B
x”
y
-det
ω1 için ωx=? ise
-det
ωx ise
+det
ω3
D
z
z’
ω
z”
ω3 için ωz=? ise
-det
ωy ise
-det
ωx’ ise
+det
ωz’ ise ωz’’ ise
+det
+det
ω2 için ωy=? ise
-det
ω1
x
C
y’’
ω2
ω2 için ωy=? ise
-det
ωy’’ ise ω3 için ωz=? ise
ωy’ ise -det
-det
-det
-det
x”
ω4
3. açısal hız (ω
ω3) bölgesi
ωz ise
+det
B
ω1 için ωx=? ise
-det
[ω
ω3] ω3-ω
ω4
arasında bir
noktada
bulunur
2. açısal hız (ω
ω2) bölgesi
ωx ise
+det
x
A
3
verilerek
determinant
hesaplanır [-]
arasında bir
noktada bulunur
SIFIRDAN BAŞLANIRSA
2
ω’ye bir değer
x
arasında bir
noktada
bulunur
ω
x’
3
verilerek
determinant
hesaplanır [+]
2 değer arasında
determinantı sıfır
yapan [ω1] bulunur
[ω
ω1] ω1-ω
ω2
DEĞERDEN BAŞLANIRSA
[ω
ω2] ω -ω
ω
2
verilerek
determinant
hesaplanır [-]
ω
1
ω2 için
2
ω’ye bir değer
verilerek
determinant
hesaplanır [+]
ω’ye bir değer
ω2 için
1
ω’ye bir değer
ω2 için
+det
ωy’ ise ω ise
y’’
-det
-det
y’
y’’
ω3
ω2
C
ωx’’ ise ω için ω =? ise
2
y
+det
-det
ω2 için ωy=? ise
-det
ω3 için ωz=? ise
-det
z
z’
D
z”
ω
ω3 için ωz=? ise
-det
ωz ise
+det
ωz’ ise ωz’’ ise
+det
+det
2. İlk önce ω=0 değeri denklem 1’de yerine yazılarak determinant değeri det (A) hesaplanır (bu
değer denklem 1’deki sabit terime karşılık gelir) ve det-ω
ω grafiği üzerine işaretlenir (genellikle
bu +det olur).
3. Sonra açısal hıza (ω
ω) küçükten başlamak üzere –det elde edinceye kadar değer-değerler
verilerek –det (B) değeri elde edilir [mümkün olduğunca küçük değerden başlanmalıdır aksi
durumda 1. açısal hız değeri geçilerek 2. veya 3. açısal hız değerleri sınırları içine geçilebilinir]
ve det-ω grafiği üzerine işaretlenir.
4. 2. maddede bulunan +det (A) değeri ile 3. maddede bulunan –det (B) değeri [det değerlerinin
işaretleri ters olabilir, yani ilk önce –det değeri sonra +det değeri bulunarakta çözüm
yapılabilir] birleştirilerek yatay ekseni kesen bir açısal hız değeri (ωx) bulunur.
+det ile –det arasında bulunan açısal hız değeri (ωx) 1’de fonksiyonda yerine yazılarak yeni bir –
det veya +det değeri hesaplanır.
4.1.’de bulunan -det ise +det (A) ile birleştirilerek yeni bir açısal hız değeri (ωx’) bulunur veya
3/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
4.1.’de bulunan +det ise -det (B) ile birleştirilerek yatay ekseni kesen yeni bir açısal hız değeri (ωx’)
bulunur.
4.2 veya 4.3’ten hangisi kullanıldı ise bu durumdaki açısal hız ve buna karşı gelen determinant
değeri ((ωx’) hesaplanır.
4.3. Eğer son hesaplanan det değeri sıfıra yakın ise işleme son verilir,
4.4. Değilse son bulunan bu det değeri (ωx’) -det ise +det (A) ile veya +det ise –det (B)
birleştirilerek tekrar bir açısal hız (ωx’’) ve buna karşı gelen det değeri hesaplanarak
sıfıra yakınlığı kontrol edilir. ωx’’ değeri denklemde yerine yazılarak det değerinin sıfıra
yakınlığı kontrol edilir.
5. Genelde bu işlemlerde 3-4 adımdan sonra gerçeğe yakın ((ω) değer bulunur.
6. 2. açısal hız değerini bulmak için,
6.1. 1. açısal hız değerinin hesabında bulunan –det (B) değeri alınır.
6.2. Sonra açısal hıza 1. açısal hızdan (ω
ω1) daha büyük üzere +det elde edinceye kadar değerdeğerler verilerek +det (C) değeri elde edilir [mümkün olduğunca küçük aralıkta değerden
başlanmalıdır aksi durumda 2. açısal hız değeri geçilerek 3. açısal hız değerleri sınırları içine
geçilebilinir] ve det-ω grafiği üzerine işaretlenir.
6.3. B ile C arasında 1. açısal hızın hesabında yapılan işlemlerin aynısı yapılarak 2. açısal hız
hesaplanır.
7. 3. ve-veya 4.açısal hız değeri yukarıdaki açısal hızların hesabındaki yol izlenerek bulunur.
8. Açısal hızların giderek ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ωn attığının bilinmesi çözümü daha kolaylaştırır.
det
det
1. [ω1]
Gerçeğe
en yakın 2.
açısal hız
3. [ω3]
2. [ω2]
Gerçeğe
en yakın 1.
açısal hız
Gerçeğe
en yakın 3.
açısal hız
ω
ω
Gerçeğe
en yakın 1.
açısal hız
-det
2. [ω2]
1. [ω1]
Gerçeğe
en yakın 3.
açısal hız
+ det. değer vererek başlanması
Gerçeğe
en yakın 2.
açısal hız
-det
3. [ω3]
- det. değer vererek başlanması
NOT: ω=ω
ω2 det=-99768.2 ω3 +1.535x108 ω2 -5.26543x1010 ω +2.027x1012 = 0 ile de çözüm yapılabilir
ancak
burada
det=-99768.2 ω6 +1.535x108 ω4 -5.26543x1010 ω2 +2.027x1012 = 0
alınarak
hesap
yapılmıştır. Elektronik ortamda daha hasas çözüm yapılır. Ancak sistemin çözümü hakkında haberdar
olmak için el hesabı terçih edilmiş ve açısal hızların hesabı aşağıdaki şekilde adım adım açıklanmıştır.
1. Açısal hız için önce ω=0 tahmini yapılarak det=2.027x10
12
12
det=-1.803x10
bulunmuş olsun. Sonra ω=10 için
bulunarak aşağıdaki grafikte gösterilmiştir (unutulmamalı ki 2, 4, 6 veya 8
alınarakta determinant hesaplanır ancak hepsinde de +det değeri elde edildiği için anlamı
olmaz çünkü burada +det değeri mevcut olduğu için ω eksenini kesmesi için –det değeri
gerekli).
4/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
ω = 0 ise det = 2.027.1012
−15820,32
= 0
2
12
15820,32 − 46,38ω2
ω = 10 ise det = −1.803.10
det[k − mω2 ]
23920,32 − 46,38ω
det =
−15820,32
0
−15820,32
2
0
31640,64 − 46,38ω2
−15820,32
2. Aranan açısal hız 0-10 arasında bir noktada olduğu görülmektedir.
Tam açısal hız değerini bulmak için ω=0 +det ile ω=10 -det birleşimi sonucu eksenini kesen değer
(ωx) hesaplanır.
ωx=5.292 deki det=0.67.10
12
12
değeri bulunur.
12
det=0.67.10
değeri ile det=-1.803.10
değeri birleştirilmesi sonucu ekseni kesen açısal hız
değeri ωx’=5.292+1.28=6.572 değeri hesaplanır.
ωx’=5.292+1.28=6.572 değerine karşı gelen det=0.0311.10
12
12
det=0.0311.10
12
değeri ile det=-1.803.10
bulunur.
değeri birleştirilmesi sonucu ekseni kesen açısal hız
değeri ωx’’=5.292+1.28+0.06=6.632 değeri hesaplanır.
Çözüm adımlarından görüldüğü gibi açısal hızlardaki değişim minimum olduğu için işlemlere son
verilir ve birinci açısal hız olarak ω1=6.632 alınır.
1. adım
2.adım
3.adım
+det ω=0 için
ω=5.292 için
ω=5.292+1.28+0.06=6.632
det=2.027.1012 det=0.6706.1012
ω=5.292+1.28 için
det=0.0311.1012
10
x
x’
x”
-det
x=
ise det=-453321690
det=-1.803.1012
2.027 ⋅ 10
= 5.292
(1.803 + 2.027)
x′ =
10
0.6706 ⋅ (10 − 5.292)
= 1.28 x′ ' = 3.111.10 10 ⋅ (10 − 6.572)
= 0.06
0.6706 + 1.803
3.111.10 + 1.803.1012
NOT: ω1 = −6.632 alınması halinde sonuç değişmeyecektir, çünkü denklem sisteminin içine çift
dereceden kuvveti girmektedir. ω2 açısal hızın hesabı için 10 değerine karşı gelen –det mevcut.
Bundan sonra +det değeri veren bir açısal hız tahmin ederek (mümkün olduğunca küçük artırım
yapılarak) hesaba başlanır. Örneğin açısal hız değeri ω2=20 alındığı zaman det=-8.60.10
11
bulunmaktadır. Bu eksi olduğu için daha önceki 10 değeride eksi olduğundan ekseni kesmeyecektir.
Yani 20 değeri kullanılarak bir açısal hız değeri elde edilemez. Başka bir tahmin ω2=22 alındığı zaman
12
det=+1.19.10
bulunmakta ve bu değer çözüm için uygun. 2. açısal hız 10 ile 22 arasında bir noktada
bulunduğu aşağıdaki grafik üzerinde tespit edilmiştir.
1. adım
+det ω=0 için
det=2.027.10
x
12
2.adım
ω=5.292+1.28+0.06=6.632
ise det=-453321690
ω=5.292 için
det=0.6706.1012
ω=5.292+1.28 için
det=0.0311.1012
10
y
x”
x’
3.adım
det=1.19.1012
ω=10+7.229+3.307+0.341=20.877 ise
det=-2.32.10
y’
10
(değişim çok fazla yani dik)
y’’
22
-det
y=
det=-1.803.10
1.803 ⋅ (22 − 10)
= 7.229
(1.803 + 1.19)
12
ω=10+7.229 için ω=10+7.229 +3.307 için
12
det=-2.687.1012 det=-0.361.10
y' =
12
2.687 ⋅ (22 − 10 − 7.229)
= 3.307 y " = 0.361.10 ⋅ (22 −1210 − 7.22912− 3.307) = 0.341
2.687 + 1.19
0.361.10 + 1.19.10
5/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
ω2 açısal hızı bulunduktan sonra ω3 açısal hızın hesabı için 22 değerine karşı gelen +det mevcut.
Bundan sonra -det değeri veren bir açısal hız tahmin edilir. ω3=30 tahmin edilerek det=+6.24.10
12
hesaplanmış ve +det olduğu görülmektedir. Çözüm için –det değeri gerektiğinden bu değeri 30 açısal
hız değerini artırmamız gerekir.
ω3=31 ise det=+4.64.10 (değer arttıkça det küçülmekte ve –det değerine yaklaşmakta)
12
ω3=32 ise det=+1.19.10
12
ω3=33 ise det=-2.122.10
12
(- değerde olduğu için uygundur çünkü 22 için +det değeri ile 33 için –det değeri birleştirilince açısal hız
eksenini kesmektedir.)
22 ile 33 arasında olan ω3 değeri aşağıdaki şekilde elde edilir.
1. açısal hız
3. açısal hız için çözüm (ω3)
ω2
ω1
2. açısal hız
-det
+det
ω=5.292+1.28+0.06=6.632
ise det=-453321690
z=
ω=0 için
ω=5.292 için
det=2.027.1012 det=0.6706.1012
ω=5.292+1.28 için
det=0.0311.1012
10
y
x”
x
x’
ω=10+4.482+5.243+1.54
=21.27 ise
11
det=3.85.10
det=-1.803.1012
1.19 ⋅ (33 − 22)
= 3.952
(1.19 + 2.122)
22
12
det=1.19.10
z ''' =
için
ω=10+7.229 için ω=10+7.229 +3.307
12
det=-2.687.1012 det=-0.361.10
z' =
ω3
ω=22+3.952 için ω=22+3.952+5.139 için
det=5.713.1012 det=4.445.1012
ω=22+3.952+5.139 ++1.292+0.129=32.51
ise det=5.18.1010
33
z
z’
z”
y’’
y’
3. açısal hız
0.56 ⋅ (33 − 32.383)
= 0.129
0.56 + 2.122
ω=33 için
det=-2.122.1012
5.713 ⋅ (33 − 22 − 3.952)
= 5.139
5.713 + 2.122
z'' =
4.445 ⋅ (33 − 22 − 3.952 − 5.139)
= 1.292
4.445 + 2.122
Açısal hızların çözümleri incelendiğinde determinant değişimlerinin çok ani olduğu görülmektedir. Bu
nedenle çözüm aralıkları çok küçük olmasından dolayı adım aralıkları küçük tutarak çözüm yapmak
gerekir. Örneğin 3. açısal hız daha geniş aralık alınması sonucu aşağıda görüldüğü gibi daha faklı
değerler bulunabilmektedir. Örneğin ω3=32.51 değerinde bile determinant değeri det=5.58.10
olurken ω3=33 de det=-2.122.10
12
olmaktadır. Yani açısal hızın çok küçük değişimine karşılık
determinant aşırı değişmektedir. Bu halde bile bu değişim ihmal edilebilir.
Adım aralıklarının değişik olması durumu
2.adım
1. adım
ω=5.292+1.28+0.06=6.632
ise det=-453321690
+det ω=0 için
ω=5.292 için
det=2.027.1012 det=0.6706.1012
ω=5.292+1.28 için
12
det=0.0311.10
10
y
x”
x
x’
-det
z=
ω=10+4.482+5.243+1.54
=21.27 ise
11
det=3.85.10
det=-1.803.1012
3.adım
12
det=6.242.10
12
det=5.40.10
det=4.47.1012
z’
z
y’
ω=30+0.6+0.49+0.39=31
11
.48 ise det=3.85.10
40
z”
30
ω=10+4.482 için ω=14.482+5.243 için
12
det=3.185.1012 det=1.10.10
6.242 ⋅ (40 − 30)
= 0.6
(6.242 + 97.91)
z' =
ω=40 için
12
det=-97.91.10
5.40 ⋅ (40 − 30.6)
4.47 ⋅ (40 − 30 − 0.6 − 0.49)
= 0.49 y "' =
= 0.39
5.40 + 97.91
4.47 + 97.91
Bilgisayar ve el ile yapılan çözümler aşağıdaki tabloda verilmiştir.
det[[K] - ω2 [M]] = 0
El (klasik) çözümü
det[k − mω2 ]
23920,32 − 46,38ω2
det =
−15820,32
0
6/36
−15820,32
31640,64 − 46,38ω2
−15820,32
10
−15820,32
=0
2
15820,32 − 46,38ω
ω1 = 6.632
0
ω2 = 20.877
ω3 = 32.51
Bilgisayar çözümü
ω1 = 6.632
ω2 = 20.89
ω3 = 32.537
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Bu determinantın sonucu bulunan açısal hızların fonksiyonu aşağıdaki şekildeki gibi olmaktadır.
ω1
ω3
ω2
MODLARIN (ÖZ VEKTÖR) HESABI
[-ωi2 [M] + [K]] φi.mod = 0 denkleminde [-ωi2 [M] + [K]] = 0 çözümünden bulunan açısal hızlar (ω) (öz
değerler) denklemde yerine yazılarak herbir açısal hıza (öz değere) sistem serbestlik derecesi sayısı
kadar (öz vektör) karşı gelen modlar hesaplanır. Yani herbir açısal hıza karşı katsayısı kadar mod
hesaplanır. Yapımız 8 katlı ise +8 tane açısal hız ve herbir açısal hıza karşı 8 adet olmak üzere toplam
2
8 kadarda mod hesaplanır. Her bir açısal hıza karşı gelen değerler,
[-ω12 [M] + [K]] φ1.mod = 0
[-ω22 [M] + [K]] φ2.mod = 0
[-ω32 [M] + [K]] φ3.mod = 0
bağıntısıyla bulunur. 1. açısal hız [-ωi2 [M] + [K]] φi.mod = 0 denkleminde yerine yazılarak modlar
hesaplanır.
23920,32 − 46.38 ⋅ 6.6322
ω12 = 6.632 ⇒ [K] − [M]ω12 φi ⇒
−15820,32
0
21880.37φ11 − 15820.32φ21 + 0.00φ31 = 0
−15820.32φ11 + 29600.69φ21 − 15820.32φ31 = 0
0.00φ11 − 15820.32φ21 + 13780.37φ31 = 0
−15820,32
31640,64 − 46.38 ⋅ 6.632
−15820,32
φ 0
11
−15820,32
φ21 = 0
15820,32 − 46.38 ⋅ 6.6322 φ31 0
0
2
φ11 = 1 kabul edilir ise 1. denklemden φ21 = 1.383
[1]
[2] 3 homojen denklem φ11 = 1 ve φ21 = 1.383 ise 2. denklemden φ31 = 1.588
[3]
3. denklemden φ31 = 1.588
φ21 = 1.383 ise
NOT: Bilinmeyen sayısı n olan bir homojen lineer denklem sisteminde, (φ11, φ21, ..., φn1 ) = (0, 0, ...,0)
her zaman bir çözümdür. Bu çözüme homojen sistemin aşikar çözümü veya sıfır çözümü denir.
Ayrıca, homojen bir sistemin sıfır çözümünden farklı çözümleri de olabilir.
Yukarıda buluna normal modlar kullanılarak aşağıdaki şekilde normalize modlar hesaplanır.
7/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
NORMALİZE MODLAR
ω12 = 6.6322 ⇒ φ11 =
φij
=
T
[φ j ] [M][φ j ]
1
1
=
= 0.063 φ21 = 0.087 φ31 = 0.100
46.38
252.049
0
0
1
[1 1.383 1.588] 0
46.38
0 1.383
0
0
46.38 1.588
1. açısal hıza ( ω1) karşı gelen normal ve normalize mod sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
φ11=1 için çözüm
ω12
2
= 6.632
Normal Mod
(Modal vektör)
21880.37
-15820.32
0
φ11
-15820.32
29600.69
-15820.32
φ21
0
-15820.32
13780.37
φ31
=
Normal Mod
(Modal vektör)
0
φ11 =
1
φ11
=
0.063
0
φ21 =
1.383
φ21
=
0.087
0
φ31 =
1.588
φ31
=
0.100
NOT: Modları hesaplarken φ11 değerine φ11=1 verilmesi homojen denklem sisteminin bağımlı çözüm
şekillerinden birisidir. İlk değere istenilen keyfi değer verilebilir. Örneğin φ11=19 alınması halinde
normal modların değiştiği ve hesaplarda esas olan normalize modların değişmediği aşağıdaki
hesaplarda görülmektedir.
φ11 = 19 KABUL edilir ise
3 denk.
− 15820.32φ12 + 21880.37 x 19 = 0
→ φ12 = 26.28
2. denk. − 15820.32x19 + 29600.69x 26.28 − 15820.32φ13 = 0 φ13 = 30.17
φ11 = 19
ise
φ13 = 30.17
φ12 = 26.28 3. denk. − 15820.32 ⋅ 26.28 + 13780.37φ13 = 0
φ11=19 alınarak yapılan çözüm
[Uğurlu sayınızı alabilirsiniz]
21880.37 -15820.32
ω12
2
= 6.632
0
-15820.32 29600.69 -15820.32
0
ω12 = 6.6362 ⇒ φ11 =
-15820.32 13780.37
Normal Mod
Normalize Mod
(Modal vektör)
Normal Mod
(Modal vektör)
φ11
0
φ11
=
0.063
φ11
=
φ11
= 0.063
x φ21
= 0
φ12
φ31
0
= 26.28 φ12 =
φ13 = 30.17 φ13 =
0.087
φ21
= 1.383 φ21
= 0.087
0.100
φ31
= 1.588 φ31
= 0.100
= 19
φ11
Normalize Mod
19
19
=
= 0.0.063
46.38
90991.41
0
0 19
[19 26.28 30.17] 0
46.38
0 26.28
0
0
46.38 30.17
1
φ12 = 0.087
φ13 = 0.100
Yukarıda yapılan hesaplardan görüldüğü üzere φ11=1 ve φ11=19 alınmasının normalize mod değeri
değişmemektedir.
NOT: ω1’re karşı gelen normal modları bulmak için yapılan değer atama değişimleri;
1. φ11=1 alınarak çözüm yapılabildiği gibi φ12=1 veya φ13=1 alınarak da çözümler
2. φ11=19 alınarak çözüm yapılabildiği gibi φ12=19 veya φ13=19 alınarak da çözümler
3. 1. ve 2. maddeki işlemler diğer açısal hızlar ( ω2 ve ω3) içinde aynı çözümler
yapılabilir. Normalize modlarda herhangi bir değişim olmadığı yapılan çözümlerden de açıkça
görülmektedir.
φ31 = 19 KABUL edilir ise
3 denk.
− 15820.32φ12 + 13780.37 ⋅ 19 = 0
φ12 = 16.55 ise 1 denk. 21880.37φ11 − 15820.32 ⋅ 16.55 = 0
8/36
→ φ12 = 16.55
φ11 = 11.97
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
φ31=19 alınarak yapılan çözüm [Uğurlu sayınızı alabilirsiniz]
ω12
2
= 6.632
21880.37
-15820.32
0
φ11
-15820.32
29600.69
-15820.32
φ21
0
-15820.32
13780.37
φ31
ω12 = 6.6362 ⇒ φ11 =
=
Normal Mod
Normalize Mod
0
φ11 =
11.97
φ11
=
0.063
0
φ21 =
16.55
φ21
=
0.087
0
φ31 =
19
φ31
=
0.100
19
11.97
=
= 0.0063
46.38
36092,15
0
0 11.97
AYNI
[11.97 16.55 19] 0
46.38
0 16.55
0
0
46.38 19
φ12 = 0.087
φ13 = 0.100
NORMALİZE MODLAR BULUNUR
2. ve 3. açısal hızlara karşı gelen normal ve normalize modlar 1. açısal hız için yapılan çözümlerin
aynısı yapılarak aşağıdaki şekilde bulunur.
ω2 için normal ve normalize modlar
φ12=1 alınarak yapılan çözüm
ω22
= 20.877
2
Normal Mod
1665.69
-15820.32
0
φ12
-15820.32
11425.96
-15820.32
φ22
0
-15820.32
-4394.36
φ32
=
Normalize Mod
0
φ12 =
1
φ12
=
0.111
0
φ22 =
0.234
φ22
=
0.026
0
φ32 =
-0.843
φ32
=
-0.093
ω3 için normal ve normalize modlar
φ13=1 alınarak yapılan çözüm
ω23 = 32.512
Normal Mod
-25098.71
-15820.32
0
φ13
-15820.32
-17378.39
-15820.32
φ23
0
-15820.32
-33198.71
φ33
=
Normalize Mod
0
φ13 =
1
0
φ23 =
-1.586
φ23
=
-0.115
0
φ33 =
0.756
φ33
=
0.055
KONTROL: Bulunan normal modların doğru olup olmadığı, qi =
[φ j ]T [M][1]
[φ j ]T [M][φ j ]
φ13
=
0.073
N
olmak üzere ∑ qi = 1
i=1
bağıntısı kullanılarak kontrol edilir.
0
0 1
46.38
[1 1.383 1.588] 0
46.38
0 1
T
0
46.38 1
[ φ ] [M][1]
184.175
0
q1 = 1T
=
=
= 0.73
0
0 1
46.38
252.049
[φ1] [M][φ1]
[1 1.383 1.588] 0
46.38
0 1.383
0
46.38 1.588
0
0
0 1
46.38
[1 0.234 −0.843] 0
46.38
0 1
0
0
46.38 1
18.14
N
q2 =
=
= 0.22
∑ qi = 1 = 0.73 + 0.22 + 0.04 = 0.99 ≅ 1
0
0 1
46.38
81.88
i =1
[1 0.234 −0.843] 0
46.38
0 0.234
0
0
46.38 −0.843
0
0 1
46.38
[1 −1.586 0.756] 0
46.38
0 1
0
0
46.38 1
7.88
q3 =
=
= 0.04
0
0 1
46.38
189.55
[1 −1.586 0.756] 0
46.38
0 −1.586
0
0
46.38 0.756
Yukarıda yapılan modların etki oranları incelendiğinde 1. modun çok etkili olmasına karşın diğer
modların etkisi oldukça az olduğu görülmektedir.
9/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
46,38
0
0
2,92194
5,14818
3,38574
{φ
φ1 }T [M] {φ
φ1 } = M1 = [I]
0,063
0,111
0,073
0,087
0,026
-0,115
{φ1 }
{φ
φ1 }
[M]
Kontrol
0,1
-0,093
0,055
0
46,38
0
4,03506
1,20588
-5,3337
T
0,063
0,087
0,1
1,00
0,00
0,00
0
0
46,38
4,638
-4,31334
2,5509
T
0,111
0,026
-0,093
0,00
1,00
0,00
0,073
-0,115
0,055
0,00
0,00
1,00
T
{φ1 } [M]
{φ1} [M] {φ1 } = Mi = [I]
Deprem anında bu modlar ayrı ayrı veya belli bir sıra ile oluşmazlar çünkü çok kısa bir süre içinde
farklı yönlerden farklı karakterde hareketler aynı anda yapıya etkir. Önemli olan deprem anında zemin
periyodu ile
yapı
dinamik
davranışına büyük
etkisi olan modların
titreşim
periyodlarının
çakışmamasıdır. Çünkü böyle bir durumda rezonanstan yapıya depremden daha çok zarar verebilir.
Bulunan modlar kullanılarak bazı kontroller yapmak mümkündür. Bu kontrollerden en önemlisi
T
-1
modların ortogonalliğinin (Dikliği-Betti Karşıtlık Teoreminden, A =A
ise A ortogonal matris ve Tüm
ortogonal matrislerin determinantı ±1'dir. Simetrik k matrisinin açısal hızlarına karşılık gelen modları
ortogonaldir (diktir).) kontrolü aşağıdaki şekilde yapılır. Genel hareket denklemi [-ωi2 [M] + [K]] φi = 0 dir.
Burada açısal hızı bulmak için ωi2 [M]φi = [K]φi almak dikliği sağlamadığı için yeterli değildir. Bunun için
ωi2 [M]φi = [K]φi ifadesini
yani dikliği sağlamak için
ωi2 φiT [M]φi = φiT [K]φi şeklinde alınması gerekir.
Aşağıda yapılan kontrollerde bu durum dikkate alınmıştır.
K O N T R O L L E R
φ3
k
φ1T
[k ][φ3 ] = 0
23920,32 -15820,32
0,073
46,38
0
-0,115
0
46,38
0,055
0,063 0,087 0,1 2,922 4,035 4,638
0,004
T
φ1 [m][ φ3 ] = 0
7,2504
12,449
10,123
0,83
φ1T [k ]
46,38
0
0
0
φ1T
φ1T
23920,32
φiT [k ][ φi ] = ωi2
T
φ1 [m][ φ1 ] = 0
0,063 0,087 0,1
[k ]
46,38
0
0
46,38
0
0
0
0,063
0
0,087
46,38 0,100
2,922 4,035 4,638
φ1
φ2
φ3
15820,32
0,063
0,087
0,1
0,111
0,026
-0,093
0,073
-0,115
0,055
-15820,32
0
-15820,32
31640,64
-15820,32
0
-15820,32
1
φ1T [M]
φ1T
[k]
Kontrol
φ3
M
0
-15820,32 15820,32 0,055
φ1T
φ3
M
0,073
-15820,32 31640,64 -15820,32 -0,115
0
0,063 0,087 0,1
0
0,063
0,087
0,1
130,61
174,02
205,66
ω12 = 43.94
-0,10
0,83
0,111
0,026
-0,093
2243,83
537,89
-1882,62
-0,10
ω22 = 438.13
-1,60
0,073
-0,115
0,055
3565,52
-5663,67
2689,45
0,83
-1,60
ω32 = 1059.53
{φ }
T
Yapılan diğer kontroller aşağıdaki şekilde yapılır.
10/36
T
{φi } [k]
φiT [k ][ φi ] = ωi2
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
[-ω2 [M] + [K]] φ = 0
i
i
23920.32 −15820.32
0
0
0
46.38
φ ortagonallikten φT
2
i
i
46.38
0 = [0.063 0.087 0.1] −15820.32 31640.64 −15820.32
6.632 [ 0.063 0.087 0.1] 0
değilse çarpılamaz
0
46.38
0
−15820.32 15820.32
0
T
2 T
[-ωi [φi ][M] + [φi ][K]] = 0
2 T
[128.51 177.48 203.99] = 130,6123 174,0235 205,6642
T
[ ωi [φi ][M] = [φi ][K]]
ω12 = 6.6322 ⇒ φ1T [K ][ φ1 ] = ω2 φ1T [m][ φ1 ]
⇓
23920.32
15820.32
0
0.06
3
0
0 0.063
−
46.38
[0.063 0.087 0.10 ] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.087 = 6.6322 [0.063 0.087 0.100 ] 0
46.38
0
0.087
0
−15820.32 15820.32 0.100
0
46.38 0.100
0
43.935 = 43.935
0
23920.32 −15820.32
0.063
[0.063 0.087 0.10] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.087
T
0
−15820.32 15820.32 0.100
2 φ1 [K ][ φ1 ]
ω
=
=
= 43.98 ωİ = 6.632 uygun
İ
φT [m][ φ ]
46.38
0
0 0.063
1
1
[0.063 0.087 0.100] 0 46.38 0 0.087
0
0
46.38 0.100
ω22 = 20.8772 ⇒ φ1T [K ][ φ1 ] = ω2 φ1T [m][ φ1 ]
⇓
0
0
0 0.111
23920.32 −15820.32
0.111
46.38
46.38
0 0.026
[0.111 0.026 − 0.093] −15820.32 31640.64 −15820.32 0.026 = 20.8772 [0.111 0.026 − 0.093] 0
−0.093
0
−0.093
0
−
158
20.32
15820
.32
0
46.3
8
438.13 = 437.57
Modların kontrolü yapıldıktan sonra çerçevenin titreşim özellikleri tablo halinde gösterilmiştir.
Açısal hızlar, frekanslar, periyotlar ve modlar
Hesapta
ω (rad/s)
f=ω/2π (Hz)
T=2π/ω (s)
{φ1}
{φ2}
1
ω1= ±6.632
f1=1.0555
T1=0.95
0.063
0.111
0.073
Deprem
2
ω2=±
± 20.89
f2=3.325
T2=0.30
0.087
0.026
-0.115
Yükleri
3
± 32.54
ω3=±
f3=5.179
T3=0.193
0.100
-0.093
0.055
Kat
{φ3}
Kullanılan
ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ωn
T1 > T2 > T3 > T4 > Tn
1. mod şekli 1. modda deprem yükü 2. mod şekli
f1 < f2 < f3 < f4 < fn
1.mod
2. modda deprem yükü 1. mod şekli 2. modda deprem yükü
2.mod
3.mod
Sonuç
Modlara karşı gelen aşağıdaki ivme değerleri çözümü yapılan çerçeve için gerçek değerler olmayıp
deprem kayıtlarından alınan muhtemel ivmeleri değerlerini göstermektedir.
φ23
φ13
φ12
φ33
φ32
φ22
φ11
φ21
φ31
3.mod
2.mod
1.mod
6.0
2.0
0.2
0.0
0.0
0.0
-6.0
T(sn)
7.sn
-2.0
T(sn)
7.sn
-0.2
T(sn)
7.sn
11/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
HESAPTA GÖZ ÖNÜNE ALINACAK MOD SAYISI
Modların herbirinin deprem yüklerine etkisi aynı ağırlıkta olmayıp ilk moddan son moda doğru gittikçe
azalan orandadır. Bu nedenle tüm modların hesaplarda dikkate alınması gerekmez. Deprem
Yönetmeliği bu değişimi aşağıdaki şekilde dikkate alınmasını öngörmektedir.
“2.8.3. Hesaba Katılacak Yeterli Titreşim Modu Sayısı
2.8.3.1 - Hesaba katılması gereken yeterli titreşim modu sayısı, Y, gözönüne alınan birbirine dik x ve y yatay deprem
doğrultularının her birinde, her bir mod için hesaplanan etkin kütle’lerin toplamının, Denk.(2.16)’da belirtildiği üzere, hiçbir zaman
bina toplam kütlesinin %90’ından daha az olmaması kuralına göre belirlenecektir. Ayrıca gözönüne alınan deprem
doğrultusunda etkin kütlesi, bina toplam kütlesinin %5’inden büyük olan bütün titreşim modları gözönüne alınacaktır. “
N
L2xn
≥ 0.90 ∑ mi
n =1 Mn
i =1
Y
Y
Y
∑ Mxn = ∑
r =1
Y
∑ Myn = ∑
L2yn
n =1 Mn
r =1
N
≥ 0.90 ∑ mi
(DY 2.14)
i =1
Denk.(2.14)’de yer alan modal kütle Mr ile Lxn ve Lyn ifadeleri, kat döşemelerinin rijit diyafram
olarak çalıştığı binalar için aşağıda verilmiştir:
N
N
L xn = ∑ miφxin
N
L yn = ∑ miφ yin
i =1
Mn = ∑ [miφ2xin + miφ2yin + mθiφθ2in ]
i =1
(DY 2.15)
i =1
2.8.3.2 - Bodrum katlarında rijitliği üst katlara oranla çok büyük olan betonarme çevre perdelerinin bulunduğu ve bodrum kat
döşemelerinin yatay düzlemde rijit diyafram olarak çalıştığı binaların hesabında. sadece bodrum katların üstündeki katlarda
etkin olan titreşim modlarının gözönüne alınması ile yetinilebilir. Bu durumda. Eşdeğer Deprem Yükü Yöntemi için verilen
2.7.2.4’ün (a) paragrafının karşılığı olarak Mod Birleştirme Yöntemi ile yapılacak hesapta. bodrumdaki rijit çevre perdeleri
gözönüne alınmaksızın Tablo 2.5’ten seçilen R katsayısı kullanılacak ve sadece üstteki katların kütleleri gözönüne alınacaktır.
2.7.2.4’ün (b). (c) ve (d) paragrafları ise aynen uygulanacaktır.
Deprem yönetmeliğin hesapta göz önüne alınacak mod sayısı kriterinin verilen çerçeveye
uygulanması aşağıdaki şekilde yapılır.
Normalize modlar ile hesaba katılacak mod sayısının belirlenmesi
Mi = ∑ miφi2
Normalize Modlar
N
φ1
φ2
φ3
0.063
0,111
0,073
0,087
0,026
-0,115
0,100 -0,093
0,055
0.90 ∑ mi
M1 (1.mod )
i =1
(46.38x3)x0.9=
1.00
125.226
46.38[0.063 +0.087
+0.12]
2
2
L2ri = ∑ [miφi ]2
(m)
M2
M3
(2.mod)
(3.mod)
1.00
1.00
L2r1
(1.mod)
134.444
[46.38x(0.063+0.08
7+0.10)]2
L2r2
(2.mod)
4.165
L2r3
N
(3.mod)
0.364
[46.38x(0.11
[46.38x(0.073+
1+0.0260.055-0.115)]2
0.093)]2
0.05 ∑ mi
i =1
0.05[3x46.38]=
6.96
KONTROL
N
L2
L2
r1 + r2
0.90 ∑ mi M1
i=1
M2
L2
+ r3
M3
134.444 + 4.165 + 0.364 > 125.226 İLK MOD YETERLİ
N
134.444 4.165 0.364
+
+
> 125.226
1
1
1
> 0.90 ∑ mi
i=1
Modal vektör
Normal modlar ile hesaba katılacak mod sayısının belirlenmesi
Mi = ∑ miφi2
Normalize Modlar
φ1
φ2
φ3
1
1
1
1,383 0,234 -1,586
N
0.90 ∑ mi
M1 (1.mod )
i =1
(46.38x3)x0.9=
25.226
1
252.05
M2
46.38[12+1.3832
+1.5882]
L2ri = ∑ [miφi ]2
(m)
(2.mod)
81.88
M3
(3.mod)
189.55
L2r1
(1.mod)
33920.42
L2r2
(2.mod)
328.86
DY1998
L2r3
N
(3.mod)
62.17
[46.38x(1+1.383+1. [46.38x(1+0. [46.38x(1+0.75
588)]2
234-0.843)]2
6-1.586)]2
1,588 -0,843 0,756
KONTROL
2
2
L2
r1 + Lr2 + Lr3 > 0.90 N m
∑ i
N
M
0.90 ∑ mi 1 M2 M3
i=1
i=1
12/36
134.578 + 4.02 + 0.33 > 125.226 İLK MOD YETERLİ
33920.42 328.86
62.17
+
+
> 125.226
252.05
81.88 189.55
0.05 ∑ mi
i =1
0.05[3x46.38]=
6.96
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Modların yatay deprem yüklerine katkı oranları hesaplanarak tablo halinde gösterilmiştir.
2
n
∑ Wiϕi
[9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.063 + 0.087 + 0.10]]2
12938.37
=
Mi = i =1n
=
= 134.59
2
2
2
9.81⋅ [9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.063 + 0.087 + 0.10 ]]
96.13
g ∑ Wiϕi2
i =1
1. Modun katkısı
Mi
134.59
=
= 0.967 = %97
M
46.38
+
46.38 + 46.38
∑
M2 =
[9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.111 + 0.026 − 0.093]]2
20.02
=
= 0.207
2
2
2
2
[9.81 ⋅ 46.38 ⋅ [0.111 + 0.026 + 0.093 ]] 96.62
M3 =
M3
0.061
[9.81⋅ 46.38 ⋅ [0.073 − 0.115 + 0.055]]2
5.91
=
= 0.061 3. Mod katkısı
=
M
3
⋅ 46.38
[9.812 ⋅ 46.38 ⋅ [0.0732 + 0.1152 + 0.0552 ]] 96.32
∑
2. Mod katkısı
M2
0.207
=
∑ M 3 ⋅ 46.38
= 0.015 = %0.15 ∑ 100
= 0.015 = %0.044
MODLARI BİLİNEN BİR YAPININ YATAY DEPREM YÜKLERİNİN HESABI
Bir yapının yatay deprem yüklerini bulmak için,
1.
Statik ve dinamik tüm yöntemlerde önce yapının sismik parametreleri (periyodu (T=0.403 s), ivmesi ) hesaplanır.
2.
Yapının sismik parametreleri ile yapının bulunduğu bölgenin sismik değerlerine geçiş yapılır (2. derece DB, Z3
zemin sınıfı (TA=0.15 s TB=0.60 s), Ao=0.30)
3.
Yapı önem katsayısı (I=1.4) belirlenir.
4.
Yapının betonarme, yığma ve diğer özelliklerine göre yapı davranış katsayısı (R=6) belirlenir.
Yukarıda belirlenen değerler kullanılarak yapıya gelen deprem kuvvetleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Etkin yer ivme katsayısı (Ao)
Etkin yer ivmesi, deprem esnasında oluşacağı ve yapıya etkiyeceği düşünülen deprem hareketinin
2
ivmesidir. Bu ivme yer çekimi ivmesinin (9.81 m/s ) bir oranı olarak dikkate alınır. Bu oran deprem
yönetmeliğinde her deprem bölgesi için ayrı ayrı verilmiştir. Örnek olarak 1. derece deprem bölgesi
İvme (cm/sn2)
için,
1. Etkin yer ivme katsayısı=0.4
2. Etkin yer ivmesi=0.4g
Ao/2
olarak alınır.
T
Deprem Bölgesi
Ao=etkin yer ivme katsayısı
Yerel Zemin Sınıfı
TA (s)
TB (s)
1
2
3
4
0.4
0.3
0.2
0.1
Z1
Z2
Z3
Z4
0.10
0.15
0.15
0.20
0.30
0.40
0.60
0.90
R yapı davranış
katsayısı olup
DY-Tablo 2.5
13/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Binanın Kullanım Amacı veya Türü
1. Deprem sonrası kullanımı gereken binalar ve tehlikeli madde içeren binalar
Bina Önem Katsayısı I
a)
Deprem sonrasında hemen kullanılması gerekli binalar (Hastaneler, dispanserler, sağlık ocakları, itfaiye
bina ve tesisleri, PTT ve diğer haberleşme tesisleri, ulaşım istasyonları ve terminalleri, enerji üretim ve
dağıtım tesisleri; vilayet, kaymakamlık ve belediye yönetim binaları, ilk yardım ve afet planlama
istasyonları)
b) Toksik, patlayıcı, parlayıcı, vb özellikleri olan maddelerin bulunduğu veya depolandığı binalar
2. İnsanların uzun süreli ve yoğun olarak bulunduğu ve değerli eşyanın saklandığı binalar
a) Okullar, diğer eğitim bina ve tesisleri, yurt ve yatakhaneler, askeri kışlalar, cezaevleri, vb.
b) Müzeler
3. İnsanların kısa süreli ve yoğun olarak bulunduğu binalar
Spor tesisleri, sinema, tiyatro ve konser salonları, vb.
4. Diğer binalar
Yukarıdaki tanımlara girmeyen diğer binalar (Konutlar, işyerleri, oteller, bina türü endüstri
yapıları, vb)
1.5
1.4
1.2
1.0
DAVRANIŞ SPEKTRUMU
Davranış spektrumu, göz önüne alınan bir deprem yer hareketinin etkisi altında, doğal titreşim
periyodu T olan lineer elastik tek serbestlik dereceli bir sistemde meydana gelen yapısal yerdeğiştirme
veya toplam ivme büyüklüğünün T’ye bağlı olarak ifade edildiği bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.
Elastik deprem yüklerinin belirlenmesi için kullanılan ivme spektrumu, depremden depreme ve yerel
zemin sınıfları arasında farklılıklar gösterir. Bu nedenle, istatistiksel çalışmaların sonucu olarak
deprem yönetmeliklerinde spektrum eğrisinin biçimi genellikle standart hale getirilir ve spektral ivmeler
birtakım deprem parametrelerine bağlanarak analitik olarak ifade edilir. Genel anlamda deprem
tehlikesi, herhangi bir yerde veya coğrafi bolgede, göz önüne alınan belirli bir zaman diliminde,
depremi tanımlayan bir parametrenin belirli bir büyüklüğe ulaşma olasılığı olarak tanımlanabilir.
Deprem tehlikesi olasılıksal (probabilistik) veya kesinsel (deterministik) olarak incelenebilir. Olasılıksal
(probabilistik) deprem tehlikesi analizinde esas alınan temel girdiler;
1. Gözönüne alınan coğrafi bölgeyi etkileyen tüm deprem kaynakları (bölgenin tektonik yapısı,
bölgeyi etkileyebilecek aktif faylar ve fay mekanizmaları),
2. Deprem oluşum özellikleri (bölgenin depremselliği, geçmiş depremlerin büyüklükleri ve
sıklıkları)
3. Tipik bir yer hareketi parametresini (örneğin en büyük yer ivmesi veya spektral ivme), deprem
büyüklüğüne ve faya olan mesafeye bağlı olarak hesaplamak üzere geliştirilen azalım ilişkileri
olarak dikkate alınan bu bilgiler bir istatistiksel olasılık modeli çerçevesinde işlenerek, göz önüne
alınan coğrafi bölgede belirli bir zaman dilimi içinde tipik yer hareketi parametresinin belirli bir
büyüklüğe ulaşma olasılığı, diğer deyişle deprem tehlikesi hesaplanır. Öte yandan, gözönüne alınan
yeri veya bölgeyi birinci planda etkileyeceği öngörülen belirli bir deprem kaynağı ve azalım ilişkileri
dikkate alınarak kesinsel (deterministik) deprem tehlikesi analizi de yapılabilir. Deprem yönetmeliğinde
spektrum eğrisinin sınırları;
(0≤Tbulunan ≤TA ) ise S(T)=1+1.5Tbulunan /TA
Spektrum Katsayısı; S(T) (TA <Tbulunan ≤TB )ise S(T)=2.5
DY2.2
(Tbulunan >TB ) ise S(T)=2.5(TB /Tbulunan )0.8
bağıntısı ile verilmektedir. Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme
Katsayısı (A(T),
14/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
A(T) = A o I S(T)
bağıntısı ile hesaplanır. 2. derece deprem bölgesi ve Z3 zemin sınıfı için DY 2.2. bağıntısı kullanılarak
spektrum (S(T)) ve spektral ivme katsayısı (A(T)) eğrileri örnek olarak tabloda çizilmiştir.
Z3 için Spektrum Grafiği (Tüm deprem bölgeleri için aynı)
T(sn)
T=0
S(T)
AZ KATLI yapıların periyodunun düşük
olmasından dolayı deprem yükleri çok
katlı yapıya oranla fazla çıkar
1
0,8
1,99
0,9
1,81
1.0
1,66
1,2
1,44
1,4
1,6
1,8
2.0
1,27
1,14
1,04
0,95
ÇOK KATLI yapıların periyodunun
yüksek olmasından dolayı deprem
yükleri az katlı yapıya oranla fazla çıkar
S(T)=2.5
2,21
S(T)=1+1.5T1/TA
2,5
0,7
TA < T1 ≤ TB ise
2,5
TB=0.60
S(T)
TA=0.15
T1 > TB ise S(T)=2.5(TB/ T1)
0.8
TB
TA
Tek katlı yapı ise
14
13
16
15
ω1=[k/m] =[8100/46.38] =13.22 s
0.5
3.2m
11
10
9
Q=7.59 kN/m
5 G=31.605 kN/m
Q=6.35 kN/m
6
G=26.935 kN/m 7
-1
T=[2π/ω]=[2π/13.22]=0.48 s
12
3.2m
Q=3.63 kN/m
0.5
Q=7.59 kN/m
Q=6.35 kN/m
5 G=31.605 kN/m
G=16.725 kN/m 8
6
Q=3.63 kN/m
G=26.935 kN/m 7
G=16.725 kN/m 8
6.43m
4.82m
5.51m
30/604
1
2 30/60
6.43m
4.82m
3
30/60
cm
3
4m
30/60
cm
2 30/60
30/60
cm
1
30/60
cm
4m
m
30/604
5.51
B-B çerçevesinin rijitliklerinin hesabı
T1 (s)
Depremin X-X Yönünde Etkimesi Halinde Yapının Periyodunun (T) Hesaplanması
KAT
AKS
I (10-3m4)
B1
1
B-B
B2
B3
B4
B1
2
B-B
B2
B3
B4
B1
3
B-B
B2
B3
B4
1.353
5.40
1.35
5.40
1.353
5.40
1.35
5.40
1.353
5.40
1.35
5.40
E (kN/m2) h (m) k = 12EI / h3 (kN / m)
3.2.106
4
3.2.106
3.2
3.2.106
3.2
810
3240
810
3240
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
1582.03
6328.13
∑k
Wi (kN)
∑ k1 = 8100
217.86
+139.01
+98.16=
m=
(
W
kN − sn2 / m
9,81
46.38
)
1 katlı 3 katlı
0.48
455.03
∑ k 2 = 15820.32
455.03
∑ k 3 = 15820.32
455.03
46.38
0.95
46.38
15/36
3 katlı
Kat
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
T=
2π
ω
S(T1)
T 0.80
0.60 0.80
S(T1) = 2.5 B
= 2.5
= 1.73
T1=0.95
0.95
T1
A (T) = Ao
S(T)
A (T) = AoI S(T)
0.519
A(Tİ ) = 1.73 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 =
(grafikten)
0.727
S(T1) = 2.5
0.75
A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 =
[T1 =0.48 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB]
(grafikten)
1.05
İvme spektrumu
S = A(Ti ) g
Spa = ae
R(Ti )
Spa =
0.727 ⋅ 9.81
= 1.19
6
1 katlı
[T1 =0.95 s > TB=0.60]
T1=0.48
Spa =
1.05 ⋅ 9.81
= 1.72
6
Oran [3katlı/1katlı]100=(1-[1.19/1.72])100=%31
Tek katlı yapıda %31 daha fazla deprem yükü alınır.
1 ve 3 katlı yapılar için yapılan sayısal analizler, yapı yüksekliği arttıkça deprem yüklerinin salınımlarla
karşılandığı veya az katlı yapıların çok katlı yapılara nazaran daha rijit olduğunu göstermektedir.
Ancak az katlı yapıların petiyotlarının TA petiyodundan küçük olması durumunda yukarıda yapılan
karşılaştırma çok gerçekci olmayacağı göz ardı edilmemelidir. Çünkü o bölgede spektrum değeri yani
deprem yükü çarpanı 1’e kadar küçülebilmektedir.
Problemin çözümü için gerekli olan yapı davranış katsayısı (R),
(0≤Tbulunan ≤ TA ) ise Ra (T)=1.5+(R-1.5)Tbulunan /TA
Deprem Yükü Azaltma Katsayısı; Ra (T)
DY2.3
ise Ra (T)=R
(Tbulunan > TA )
bağıntısı ile hesaplanır. Aşağıda tabloda aynı deprem bölgesi ve zemin sınıfı için Ra (Ra; R’nin
periyoda göre düzenlenmiş hali ve 6. bölümde ayrıntılı olarak incelenecektir.) deprem yükü azaltma
katsayısının grafiği çizilmiştir. Tüm deprem bölgeleri ve zemin sınıfları için spektrum eğrisi çizilerek
gerekli olan bölge ve zemin sınıfı kullanılabilir. Yapıların dinamik davranışını incelemede ve analizinde
ivme spektrum tercih edilir. Her depremin kendine özgü bir ivme spektrumu vardır. Bir binanın dinamik
analizde belirli bir depremin ivme spektrumu kullanılabileceği gibi büyük depremler incelenerek
genelleştirilmiş bir ivme spektrumu da kullanılabilir.
Yapı Davranış Katsayısı R=6 için (Deprem bölgesinden bağımsız zemin sınıfına bağlı)
T(sn)
Ra(T)
T=0
1,5
TA=0.10
4.5
TA=0.15
TB=0.60
TA
16/36
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
6
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Azaltılmış ivme spektrum değerleri,
1. DY’nin 2.2 bağıntısı ile verilen bağıntılar kullanılarak tasarım spektrum eğrisi elde edilir.
2. Elde edilen tasarım spektrum eğrisindeki değerler etkin yer ivmesi katsayısı (Ao) ile çarpılarak
azaltılmış elastik tasarım (ivme spektrumu) değerleri elde edilir.
3. 2. madde de elde edilen elastik tasarım değerleri yapı davranış katsayısına (Ra) bölünerek
azaltılmış tasarım spektrumu elde edilir (en alttaki eğriler).
4. Yapı davranış kaysayısı R artıkça yapı sünek azalması durumunda ise gevrek olur.
5. R aynı zamanda yapıların süneklik düzeyine yakından bağlıdır.
Aşağıdaki şekilde 2. derece deprem bölgesindeki Z3 zemin sınıfında bulunan bir yapı için tanımlanan
doğrusal elastik ivme tasarım spektrumu oluşturulmuştur.
S(T) S(T).Ao A(T)/R(6)
T=0
1
0,3
0.3:1.5=0.2
TA=0.15
2,5
0.75
0.125
TB=0.60
2,5
0.75
0.125
0,7
2,21 0,663
0.111
0,8
1,99 0,596
0.100
0,9
1
1,81 0,542
0.09
1,66
0.083
0,5
1,2
1,44 0,432
0.072
1,4
1,27 0,381
0.064
1,6
1,14 0,342
0.057
1,8
1,04 0,312
0.052
2
0,95 0,285
0.048
Z3 zemin sınıfı için ivme spektrum eğrisi (Her deprem bölgesi ve zemin sınıfı için farklı)
0,9
Spektral ivme
katsayısı
T(sn)
0,75
0,6
Elastik tasarım
Z3 2oDD
2,5
2
1,5
0,45
1
Ao
0,5
0
0,3
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0,9
R=6
R=8
R=1.5
0
1,2
1,35
1,5
Azaltılmış (R) tasarım
Gevrek
0,15
0
1,05
Sünek
0,15
0,3
T(s)
0,45
0,6
0,75
0,9
1,05
1,2
1,35
Şekildeki azalım oranları (R=6) sadece basit elasto-plastik yapı modelindeki süneklik oranına bağlı
değildir. Yapıların gerçek yatay yük dayanımları, taşıyıcı olmayan elemanların katkısı, tasarımda
kullanılan yük ve malzeme katsayıları, minimum boyut ve donatı sınırlamaları gibi nedenlerle
tasarımda göz önüne alınan dayanımlarından daha fazladır. Deprem Yönetmeliğindeki R katsayısı
süneklik ve fazla dayanım unsurlarının ortak katkısı sonucu ortya çıkan bir değerlerdir.
GERÇEK
17/36
1,5
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
NOT: Spektrum grafikleri incelendiğinde,
1. Az katlı yapıların periyodu (T) küçük olacağından (Tyaklaşık=0.1xNkatsayısı) deprem kuvvetlerinin
hesabında etkili olan A(T) tepe sahanlık bölgesinde olacağından deprem kuvvetleri buna
bağlı olarak büyük olur.
2. Çok katlı yapıların periyodu (T) büyük olacağından (Tyaklaşık=0.1xNkatsayısı) deprem kuvvetlerinin
hesabında etkili olan A(T) tepe sahanlık bölgesinin solunda olacağından deprem kuvvetleri
buna bağlı olarak az katlı yapılara göre küçük olur.
3. Zemin dayanımı veya taşıma gücü azaldıkça (Z1-2-3-4) yapıya gelen deprem kuvvetleri artar.
4. Zemin dayanımlarının deprem kuvvetlerine etkisi yapı periyodu artıkça azalmaktadır. Örneğin
sahanlık bölgesindeki ile T=5 sn civarındaki değişim çok farklıdır.
Bir veya birkaç farklı deprem yer hareketi kullanarak deprem tasarım kuvvetlerini belirlemek pek
güvenilir olamaz. Eğer aynı tür zeminlerde kaydedilmiş pek çok yer hareketi kullanılır ve bunların
sonuçları istatistiksel güvenlik sınırlamaları gözetilerek birleştirilirse, basitleştirilmiş deprem tasarım
spektrumları elde edilebilir. Dünyada kabul görmüş deprem yönetmeliklerinde spektrum eğrisi kriterleri
aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi kullanılamaktadır. Ülkemizdeki DY’nin bu yönetmeliklerden
yararlanılarak hazırlandığı söylenebilir. Çünkü bu yönetmelikler depremlerin daha sık olduğu birçok
ülke ve deprem araştırma merkezlerinin ortak çalışmaları sonucu elde edilmiş değerleri içermektedir.
%5 sönüm oranı için tanımlanan Elastik İvme Spektrumu’nun ordinatı olan Elastik Spektral İvme,
Sae(T), Spektral İvme Katsayısı ile yerçekimi ivmesi g’nin çarpımına karşı gelmektedir ve aşağıdaki
bağıntı ile hesaplanır.
Sae (T) = A(T) g
Çerçevenin spetral özellikleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
18/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
T=
2π
ω
S(T1)
A (T) = Ao S(T)
A (T) = AoI S(T)
T 0.80
0.60 0.80
S(T1) = 2.5 B
= 2.5
= 1.73
0.95
T1
T1=0.95
[T1 =0.95 s > TB=0.60]
(Tbulunan > TA )
0.519
A(Tİ ) = 1.73 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 =
(grafikten)
0.727
0.75
A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 =
[T1 =0.30 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB]
(Tbulunan > TA )
ise Ra (T)=R = 6
1.05
(grafikten)
Spa =
S(T1) = 2.5
T3=0.20
Spa =
0.727 ⋅ 9.81
= 1.19
6
ise Ra (T)=R = 6
S(T1) = 2.5
T2=0.30
İvme spektrumu
Spa = [Sae = A(Ti )g] / [R(Ti )]
[T1 =0.50 s TA=0.15 TB=0.60 TA < T1 < TB]
(Tbulunan > TA )
ise Ra (T)=R = 6
0.75
A(Tİ ) = 2.5 ⋅ 1.4 ⋅ 0.3 =
(grafikten)
1.05
1.05 ⋅ 9.81
= 1.72
6
S(T) spektrum değerleri tablodaki şekilde hesaplanabildiği gibi DY de verilen spektrum eğrisi ölçekli
olarak çizildiği zaman bulunan periyot değerleri yatay eksen üzerine işaretlenir ve yukarı çıkılarak
spektrum eğrisini kestiği noktadan S(T) eksenine yatay gidilerek aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
o
1
[TA ] ≤ [Ti ] ≤ [TB ]
S(T2)=2.5 2.5
S(T3)=2.5
S(T)xAo
S(Ti ) = 2.5
[Ti ] ≤ [TA ]
o
2
S(T1)=1.73
1.0
0 ≤ [Ti ] ≤ [TA ]
0.10 R
0.0
o
4
1.8
Rijit Yapı Esnek Yapı
[TA ]
1.2
S(Ti ) = 1 +
1.5Ti
0.95
3
TB=0.60
0.52
0.8
0.20
0.30
o
S(Ti ) = 2.5 [[TB ] / [Ti ]]
TA=0.15
0.75
T(sn)
T1=0.93
2
T3=0.2
0.95
0.30
T2=0.30
Yatay Deprem Kuvveti F = k ⋅ x aşağıdaki 3 bağıntıdan birisi ile hesaplanır
1.bağıntı
3.bağıntı
{α } T [M] {r } A(Ti ) g
i
R(Ti )
αiSpa (Ti )
= m ⋅ [φ] ⋅ {α } T [M]{r} A(Ti ) g
= ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅
= ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅
i
R(T )
2
2
ωi
ωi
i
2.bağıntı
F = ω2 ⋅ m ⋅ x = ω2 ⋅ m ⋅ [φ] ⋅ Ymax
1. Modal Kütle Çarpanı Hesabı [Modal Katılım Faktörü]
αİ ={φi } [M] {r }
T
0,063
0,087
0,1
46,38
0
0
2,92194
0,111
0,026
-0,093
5,14818
0,073
-0,115
0,055
3,38574
T
α1 ={φi } [M] {r }
[M]
0
46,38
0
4,03506
0
0
46,38
4,638
1,20588
-4,31334
-5,3337
2,5509
T
{φ1 } C
T
{φ1 } [M]
r
1
1
1
α1=11,60
α2=2,040
α3=0,600
αİ
n
VEYA αi =
[ φi ]T [M][q]
[ φi ]T [M][φi ]T
=
∑ φij mi
j
n
2
∑ φij mi
j
=
[0.063 + 0.087 + 0.100][46.38]
[0.0632 + 0.0872 + 0.1002 ][46.38]
= 11.607 α 2 = 2.04 α3 = 0.60
19/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
2. Maksimum Yer Değiştirmeler [Yi ]max
11.60 ⋅ 1.19
= 0.314
[Y1 ]max =
6.6322
αiSpa ( Ti )
2.04 ⋅ 1.72
=
= 0.00805
[Y2 ]max =
2
ωi
20.8772
0.6 ⋅ 1.72
[Y ]
=
= 0.0010
3 max
32.512
3. Yer değiştirmelerin etkisiyle mod seviyelerinde oluşan x deplasmanları; [{x}i = {φ
φi}(Yi)max]
Deplasmanların hesabı
[x1 ] = [ Y ]max φi
[x1 ] = Ai φi =
0.063 0.0198
ω12 = 6.6322 → [x1] = [ Y ]max φi = 0.314 0.087 = 0.0273
0.100 0.0314
0.111 0.0009
ω22 = 20.8772 → [x 2 ] = [ Y ]max φi = 0.00805 0.026 = 0.00021
−0.093 −0.00075
[x1] = Aiφi =
[x2 ] = A iφi =
0.073 0.000073
ω32 = 32.512 → [x3 ] = [ Y ]max 3 φ3 = 0.001 −0.115 = −0.000120
0.055 0.00006
Lr Spa (Ti )
ϕimod
Mr ω12
1 0.0198
Lr Spa (Ti )
33920.420.5 1.19
ϕimod =
1.383 = 0.0273
2
2
Mr ω1
252.05 6.632
1.588 0.0314
1 0.00090
Lr Spa (Ti )
328.860.5 1.72
ϕ
=
0.234 = 0.00021
i
mod
Mr ω22
81.88 20.8772
−0.843 −0.00074
[x3 ] = Ai φi =
1 0.00007
Lr Spa (Ti )
62.170.5 1.72
ϕi mod =
−1.586 = −0.00011
2
2
Mr ω2
189.55 32.51
0.756 0.000051
Hesaplanan deplasmanların “Kareleri toplamının karekökü (SRSS) (Square Root of Sum of Squares)”
kuralına göre hesabı aşağıdaki tabloda hesaplanmıştır.
Kat
Mod
Mod 1
Mod 2
xmax= [ x 12 + x 22 + x 23 ]0.5
Mod 3
2
2
2 0.5
1
x1
0.0198
0.0009
0.000073
(x1)max = (0.0198 + 0.0009 + 0.000073 )
2
x2
0.0273
0.00021
-0.00012
(x2)max = 0.0273
3
x3
0.0314
-0.00075
0.00006
(x3)max = 0.0314
= 0.0198
1. modun katkısı
%97 olduğu için
max. deplasmanlar
1. mod değerlerine
eşit çıkmaktadır.
Sönüm etkisi olmayan bir çerçevenin serbest titreşim hareketinin denge denklemi,
ɺɺ + [K] {x} = 0
[M] {x}
ɺɺ = -ω2 {x}
{x}
-ω2 [M] {x} + [K] {x} = 0
olur. Yapıların deprem hesaplarında esas olan ivme değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
0.0198 0.871
2
ɺɺ
[x1] = 6.632 0.0273 = 1.201
0.0314 1.381
0.00090 0.392
2
2
ɺɺ2 ] = 20.877 0.00021 = 0.092
ɺɺ = -ω {x}= [x
4. {x}
−0.00075 −0.327
0.000073 0.077
2
[x
ɺɺ ] = 32.51 −0.000120 = −0.127
3
0.00006 0.063
20/36
ɺɺ = [ ɺɺ
[x]
x12 + ɺɺ
x 22 + ɺxɺ32 ]0.5
2
2
2
0.5
ɺɺ1] = [ 0.871 + 0.392 + 0.077 ] = 0.96
[x
[x
ɺɺ2 ] = [ 1.2012 + 0.0922 + 0.1272 ]0.5 = 1.21
2
2
2
0.
5
ɺɺ3 ] = [ 1.381 + 0.327 + 0.063 ] = 1.42
[x
[ɺɺ
2
2
2 0.5
2
x]
[0.96
+
1.21
+
1.42
]
=
2.1
0m
/
s
=
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Yukarıdaki tablodaki deplasmanlar incelendiği zaman sadece 1. moddan dolayı olan deplasmanların
daha etkili diğerlerinin etkisinin çok az olduğu görülmektedir. Bu genelde bütün sistemlerde ilk açısal
hızlardan gelen katkının büyük diğerlerinin ise gittikçe küçülen oranda etkidiği görülür. Bu durum
dünya deprem veya yapı yönetmeliklerinde hesapta göz önüne alınacak mod sayısına bir sınır
getirilmesi şeklinde bir azaltıma gidilmesine sebep olmuştur. DY göre hesapta gözönüne alınacak mod
sayısı hesabı ileride yapılmaltadır. Hesaplanan deplasmna (x) ve ivme ( ɺxɺ ) değerlerinin kontrolü
aşağıda yapılmıştır.
KONTROL
ɺɺ ϕi + [K]{x}ϕi = 0
[M]{x}
GENEL HAREKET DENKLEMİ
2
-ω [M] {x} + [K] {x} = 0 ⇒
or
-[M] {ɺxɺ} + [K] {x} = 0
0
0,0198 23920,32 −15820,32
0,02022
2
−
6.632
46.38
0,0273
+
−
15820,32
3164
0
,6
4
−
15820,32
[
]
0,0278 = 0
0,0314
0
−15820,32 15820,32 0,0320
a
deplasman
deplasm
n
0
0.96 23920,32 −15820,32
0,0198
− [ 46.38] 1.21 + −15820,32 31640,64 −15820,32 0, 0273 = 0
0
−15820,32 15820,32 0,0314
1.42
ivme
deplasman
1. Yatay deprem kuvvetlerin hesabı;
birim
2
birim
2
kNsn m
1
F=k ⋅ x =ω2 ⋅ m ⋅ x = ω2 ⋅ m
⋅ x = kN
sn
m 1
2
kN
k m
m
2
F=m ⋅ ɺɺ
x =[k/ω ] ⋅ ɺɺ
x= 2
x 2 = kN
⋅ ɺɺ
ω 1
sn
sn2
Yukarıda kontrol edilen hesapta göz önüne alınan mod sayısı 1 için yatay kat deprem kuvvetleri hesaplanır.
46.38 ⋅ 0.0198 40.39
Fi.moddan =
xi F1.mod = ω12 m x1 = 6.6322 46.38 ⋅ 0.0273 = 55.69 kN
DEPLASMANDAN
46.38 ⋅ 0.0314 64.05
ωi2 m
0
0 0.871 40.40
46.38
ɺɺi = F1.mod = ma = mx
ɺɺ1 = 0
Fi.moddan = ma = mx
4
6.38
0 1.201 = 55.70 kN
0
İVMEDEN
0
46.38 1.381 64.05
0,063 40.34
F1 = α1Spa1[M][φ1] = 11.60 ⋅ [1.19] ⋅ 46.38 ⋅ 0,087 = 55.70 kN
0,100 64.02
F1.mod
0
23920,32 −15820,32
−15820,32 31640,64 −15820,32
0.871 41.71
F1.kat
0
−15820,32 15820,32
= m ⋅ ɺɺ
x=[k/ω2 ] ⋅ ɺɺ
x = F2.kat =
1.201 = 53.95 kN
6.6322
F3.kat
1.381 64.74
k / ω2
ɺɺ
x
F3=65.28
F2=56.71
F1=41.21
İlk mod hesaba katılırsa
F1.mod
Tüm modlar hesaba katılması sonucu oluşan deprem kuvvetleri.
21/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
0.5
46.38 ⋅ 0.0198 40.39
44.44
40.392 + 18.192 + 3.582
= 55.69
2
2
F
=
ω
m
x
=
6.632
46.38
⋅
0.
0273
1.mod
1
1
0.5
2
2
2
46.38 ⋅ 0.0314 64.05
F = 55.69 + 4.25 + 5.88
= 56.16 kN
0.5
64.052 + 15.162 + 2.942
46.38 ⋅ 0.0009
18.19
65.89
Fi.mod dan = ωi2 m xi F2.mod = ω22 m x 2 = 20.8772 46.38 ⋅ 0.00021 = 4.25
46.38 ⋅ ( −0.00075) −15.16
DEPLASMANDAN
1.Mod katkısı = 40.39 + 55.69 + 64.05 = 0.95
41.21 + 56.71 + 65.28
∑
18.19 + 4.25 − 15.16
46.38
⋅
0.000073
3
.
58
2
2
F
=
ω
=
⋅−
=
−
8
8
m
x
32.51
46.38
0.000120
5.
3.58 − 5.88 + 2.94
3
3
3.mod
46.38 ⋅ 0.00006 2.94
3.Mod katkısı = 0.004
2.Mod katkısı = 0.04
0.871 40.40
1.201 = 55.70
ɺɺ
F
=
ma
=
mx
=
46.38
1.mod
1
1.381 65.30
40.402 + 18.182 + 3.572 0.5 44.45
0.392 18.18
0.5
2
2
2
ɺɺi = F2.mod = ma = mx
ɺɺ2 = 46.38 0.092 =
= 56.17 kN
Fi.moddan = ma = mx
F = m 55.70 + 4.27 + 5.89
4.27
İVMEDEN
0.5
−0.327 −15.16
64.052 + 15.162 + 2.922
65.88
0.077 3.57
F3=67.08
F
ɺɺ
=
=
mx
=
4
ma
6.38
3
−0.127 = −5.89
3.mod
0.063 2.92
F2=57.17
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
F1=45.19
0,063 40.34
F1 = α1Spa1[M][φ1] = 11.60 ⋅ [1.19] ⋅ 46.38 ⋅ 0,087 = 55.70
Her 3 mod hesaba katılırsa
0,100 64.02
0.5
2
40.34 + 18.062 + 3.492
44.34
0,111
18.
06
2
2
2
Fi = αiSpai [M][φi ] = F2 = α2Spa2 [M][φ2 ] = 2.04 ⋅ [1.72] ⋅ 46.38 ⋅ 0,026 = 4.23 F = 55.70 + 4.23 + 5.50 = 56.13
-0,093 −15.14
64.022 + 15.142 + 2.632
65.84
0,073 3.49
F = α S [M][φ ] = 0.60 ⋅ 1.72 ⋅ 46.38 ⋅ -0,115 = −5.50
[
]
3
3
pa3
3
0,055 2.63
Bulunan yatay deprem yüklerinden dolayı oluşan kesma kuvveti ve devrilme momenti hesaplanır.
V1.moddan = [I]üstüçgen Fİi
KESME
KAT KESME V = V2.mod dan = [I]üstüçgen Fİi
KESME
V3.mod dan = [I]üstüçgen Fİi
KESME
22/36
160.30
2
2
2 0.5
160.13 + 7.28 + 0.64
0.5
2
2
2
= 120.47 kN
V = 119.94 + 10.91 + 2.94
0.5
2
2
2
64.05
+
15.16
+
2.94
65.89
1 18.19 7.28
1 ⋅ 4.25 = −10.91 kN
65.89
1 −15.16 −15.16
120.47
1 3.58 0.64
1 ⋅ −5.88 = −2.94 kN
1 2.94 2.94
160.30
Her 3 mod için MOMENT
1 1 1 40.39 160.13
0 1 1 ⋅ 55.69 = 119.94 kN
0 0 1 64.05 64.05
1 1
0 1
0 0
1 1
0 1
0 0
(
(
(
)
)
)
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
M1.mod dan = [h]üstüçgen Fİi
KESME
M = M2.moddan = [h]üstüçgen Fİi
KESME
M3.moddan = [h]üstüçgen Fİi
KESME
1230.78
2
2
2 0.5
1228.65 + 52.50 + 49.75
0.5
2
2
2
= 594.67 kNm
M = 588.128 + 82.624 + 30.11
0.5
2
2
2
20
4.96
+
48.51
+
30.11
212.76
10.4 18.19 −52,50
6.4 ⋅ 4.25 = −82,62 kN
3.2 −15.16 −48,51
210.83
384.89
10.4 3.58 49,75
6.4 ⋅ −5.88 = 30,112 kN
3.2 2.94 30,11
546.06
Her 3 mod için MOMENT
4 7.2 10.4 40.39 1228,65
0 3.2 6.4 55.69 = 588,128 kN
0 0
3.2 64.05 204,96
4 7.2
0 3.2
0 0
4 7.2
0 3.2
0 0
(
(
(
)
)
)
Hesaplanan kat kesme kuvveti ve momentleri kolon rijitlikleri oranında kolonlara dağıtılır. Bu örnekte 2
değişik kesitte kolon olduğu için küçük kesitli kolonun rijitlik değeri birim alınarak diğer kolonun rijitliği
bu oranda artırılır ve cross dağıtımı yapılarak herbir kolon kesma kuvveti bulunur.
EĞİLME ÇERÇEVESİ KABULÜ (IKİRİŞ =0.25x0.53/12, Ikiriş≠∞) İLE YATAY DEPREM KUVVETLERİ
Eğilme çerçevesi kabulünde kirişlerin rijitlikleri hesaba katılırken kesme çerçevesinde ise hesaba katılmaz. Çerçevenin açı
metodu denklemleri u cinsinden (δ göreli kat ötelemeleri cinsinden değil) yazılarak indirgenmiş rijitlik matrisi
13
14
k=0.6
k=0.63
k=0.63
B-B
10
k=0.6
k=0.8
5
6
k=0.6
k=0.63
k=2.5
k=0.5
2 30/60
6.43m
12
3
8
k=2
30/60 4
1. kat düğümleri
5d 3.46 ϕ5 + 0,6ϕ6 +0.63ϕ9 - 0,375δ1 -0.591δ2 =0
2. kat düğümleri
9d 3.72ϕ5 + 0.63ϕ5 +0.6ϕ10 +0.63ϕ13-0.591δ2 -0.591δ3 =0
6d 11.8ϕ6 + 0,6ϕ5 +0.8ϕ7 +2.5ϕ10 -1.5δ1 -2.344δ2 =0
10d 12.8ϕ10 + 2.5ϕ6 +0.6ϕ9 +0.8ϕ11+2.5ϕ14-2.344(δ2+δ3) =0
7d 5.26ϕ7 + 0,8ϕ6 +0.7ϕ8 +0.63ϕ11 -0.375δ1 -0.591δ2 =0
11d 5.52ϕ11 +0.63ϕ7 +0.8ϕ10 +0.7ϕ12+0.63ϕ15-0.591(δ2 +δ3)=0
8d 10.4 ϕ8 + 0,7ϕ7 +2.5ϕ12 -1.5δ1 -2.344δ2 =0
12d 11.4ϕ12 +2.5ϕ8 +0.7ϕ11 +2.5ϕ16 -2.344δ2 -2.344δ3 =0
14d 7.8ϕ14 +2.5ϕ10 +0.6ϕ13 +0.8ϕ15 -2.344δ3=0
15d 4.26ϕ15 +0.63ϕ11 +0.8ϕ14 +0.7ϕ16 -0.591δ3=0
16d 6.4ϕ16 +2.5ϕ12 +0.7ϕ15 -2.344δ3=0
10.düğüm
4m
5.51m
4.82m
3. kat düğümleri
13d 2.46ϕ13 + 0.63ϕ9 +0.6ϕ14 -0.591δ3=0
3.2m
k=0.7
7
k=2
30/60
cm
k=0.5
k=0.8
m
3.2
k=2.5
k=0.7
11
k=2.5
k=0.63
16
k=0.7
15
k=2.5
9
1
k=0.8
30/60
cm
−1K ]] bağıntısıyla elde edilir.
krijitlik =[K 22 −K 21 [K11
12
2(2.5 + 2.5 +0.8 +0.6)ϕ10 +0.6ϕ9 +0.8 ϕ11 +2.5ϕ6 +2.5ϕ14 −(3⋅2.5/3)( δ2 +δ3 )=0
V9-13
2. kat için yatay denge örnek olarak yazılmıştır.
F2
9
V9-5
V11-15
V10-14
10
V10-6
11
V12-16
12
V11-7
V12-8
23/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
3 ⋅ 0.63
3 ⋅ 2.5
6 ⋅ 2.5
6 ⋅ 0.63
F2 = −
(ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) −
(ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 2
(u3 − u2 ) + 2
(u3 − u2 )
2
3.2
3.2
3.22
3.2
δ2
u1
3 ⋅ 2.5
6 ⋅ 2.5
3 ⋅ 0.63
6 ⋅ 0.63
− −
(ϕ9 + ϕ13 ) + (ϕ11 + ϕ15 ) −
(ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) + 2
(u3 − u2 ) + 2
(u3 − u2 )
2
3.2
3.2
3.22
3.2
u1
u2
∆2
u2
δ1
∆1
F2 = V2 − V3 = −0.591(ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) − 2.344(ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 3.668u2 − 3.668u1
0.591 ϕ9 + ϕ13 + ϕ11 + ϕ15 ] + 2.344( ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) − 3.668u3 + 3.668u2
F2 = V2 − V3 = −0.591(ϕ5 + ϕ9 + ϕ7 + ϕ11 ) − 2.344(ϕ6 + ϕ10 + ϕ8 + ϕ12 ) + 3.668u2 − 3.668u1
+ 0.591 ϕ9 + ϕ13 + ϕ11 + ϕ15 ] + 2.344( ϕ10 + ϕ14 + ϕ12 + ϕ16 ) − 3.668u3 + 3.668u2 = 29,79 − 15,41 = 14,38
Düğümlerdeki moment dengesi ve kat seviyesinde yatay denge denklemleri yazılarak aşağıdaki gibi rijitlik matris oluşturulur.
ϕ5
K11
K21
ϕ6
ϕ7
ϕ8
ϕ9
ϕ10
ϕ11
ϕ12
ϕ13
ϕ14
ϕ15
ϕ16
3,46
0,6
0
0
0,63
0
0
0
0
0
0
0
0,6
11,8
0,8
0
0
2,5
0
0
0
0
0
0
0
0,8
5,26
0,7
0
0
0,63
0
0
0
0
0
0
0
0,7
10,4
0
0
0
2,5
0
0
0
0
0,63
0
0
0
3,72
0,6
0
0
0,63
0
0
0
0
2,5
0
0
0,6
12,8
0,8
0
0
2,5
0
0
0
0
0,63
0
0
0,8
5,52
0,7
0
0
0,63
0
0
0
0
2,5
0
0
0,7
11,4
0
0
0
2,5
0
0
0
0
0,63
0
0
0
2,46
0,6
0
0
0
0
0
0
0
2,5
0
0
0,6
7,8
0,8
0
0
0
0
0
0
0
0,63
0
0
0,8
4,26
0,7
0
0
0
0
0
0
0
2,5
0
0
0,7
6,4
0,216 0,844 0,216 0,844 0,591 2,344 0,591 2,344
0
0
0
0
-0,591 -2,344 -0,591 -2,344
0
0
0
0
0,591 2,344 0,591 2,344
0
0
0
0
-0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344
−1K ]]u
F = krijitlik udeplasman =[K 22 −K 21[K11
12
−1
K 21K11
=
−1
K11
=
0,302
-0,017
0,003
0,000
-0,055
0,007
-0,001
0,000
0,015
-0,003
0,001
0,000
-0,017
0,091
-0,015
0,001
0,007
-0,020
0,005
-0,001
-0,003
0,007
-0,002
0,000
0,003
-0,015
0,197
-0,015
-0,001
0,005
-0,024
0,005
0,001
-0,002
0,004
-0,003
0,000
0,001
-0,015
0,103
0,000
-0,001
0,005
-0,025
0,000
0,000
-0,003
0,010
-0,055
0,007
-0,001
0,000
0,294
-0,018
0,003
0,000
-0,078
0,012
-0,003
0,000
0,007
-0,020
0,005
-0,001
-0,018
0,090
-0,015
0,001
0,012
-0,030
0,008
-0,001
0,034 0,030 0,027 0,028 0,127 0,180 0,049 0,215 -0,018 -0,058
0,018
-0,086
-0,139 -0,183 -0,058 -0,213 -0,002 -0,022 0,012 -0,037 0,169
0,020
0,379
0,293
0,016 0,027 -0,001 0,034 -0,115 -0,131 -0,066 -0,142 -0,151 -0,243
U1
U2
0,216
0,844
0,216
0,844
0,591
2,344
0,591
2,344
0
0
0
0
5,543
-3,668
0
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
0
0
0
0
0,591
2,344
0,591
2,344
-3,668
7,336
-3,668
-0,001
0,005
-0,024
0,005
0,003
-0,015
0,192
-0,015
-0,003
0,008
-0,031
0,009
0,000
-0,001
0,005
-0,025
0,000
0,001
-0,015
0,103
0,000
-0,001
0,009
-0,041
U3
0
0
0
0
-0,591
-2,344
K12
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
0
-3,668 K22
3,668
0,015
-0,003
0,001
0,000
-0,078
0,012
-0,003
0,000
0,436
-0,038
0,008
-0,001
-0,003
0,007
-0,002
0,000
0,012
-0,030
0,008
-0,001
-0,038
0,144
-0,029
0,004
0,001
-0,002
0,004
-0,003
-0,003
0,008
-0,031
0,009
0,008
-0,029
0,250
-0,031
0,000
0,000
-0,003
0,010
0,000
-0,001
0,009
-0,041
-0,001
0,004
-0,031
0,176
1,092 -0,509 -0,692
−1
K 21K11
K 21 =
-0,033 -0,307
-0,509 2,728
-1,552
-0,692 -1,552 2,147
5.543
−
3.668
0
1,092
-0,509
-0,692
192296,8944 -136473,552 29888,784
K
=
43200
−
3.668
7.336
−
3.668
−
-0,509
2,728
-1,552
[ ]
= -136473,552 199055,6208 -91397,808
EI
−3.668 3.668 -0,692 -1,552 2,147 29888,784
-91397,808 65721,7584
0
−1
K
K
⋅
K
⋅
K
22
21
11
12
MOD BİRLEŞTİRME YÖNTEMİ İLE PERİYOT HESABI (IKİRİŞ =0.25x0.53/12, Ikiriş≠∞)
192296,8944-46.38ω2
-136473,552
2
det[K − Mω ] =
-136473,552
199055,6208-46.38ω2
29888,784
-91397,808
ω1 = 12.93
⇒ ω2 = 44.34 rad / sn
-91397,808
ω3 = 87.88
65721,7584-46.38ω2
29888,784
Açısal hızlar, frekanslar, periyotlar ve modlar
Kat
ω (rad/s)
f=ω/2π (Hz)
T=2π/ω (s)
1.mod {φ1}
2.mod {φ2}
3.mod {φ3}
1
1.89
2.47
1
0.056
-0.083
1
-1.12
0.45
1
ω1= ±12.93
f1=2.04
T1=0.486
2
ω2=± 44.34
f2=7.14
T2=0.14
3
ω3=± 87.88
f3=14.29
T3=0.07
24/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ YÖNTEMİNE GÖRE T=? (F=ku)
Hooke kanunu gereği bir maddenin deplasmanının, deplasmana sebep olan kuvvetle yaklaşık doğru orantılı yani "lineer
elastik madde" olmasından dolayı F=ku bağıntısı yazılır. Bu bağıntı ile sisteme etkiyen kuvvet ve/veya şekil değiştirmeler
yani yatay deplasmanlar bulunur. Kat kütleleri ve kabul edilen yatay deprem kuvvetinin (Vt=1) katlara dağılımı aşağıdaki
tabloda DY verilerine göre yapılmıştır.
KAT
hi
3
2
1
10,4
7,2
4
m
wi =gi+n qi
217.86+139.01+98.16=
455.03
217.86+139.01+98.16= 455.03
217.86+139.01+98.16= 455.03
Toplam
k
w i hi
46.38
46.38
46.38
455.03/9.81=
4732.31
3276.22
1820.12
9828.65
Vt
Fi = Vt wi hi / Σwi hi
Qi
1
0,481
0,334
8
0,185
0,481
0,815
1
u
−1
F = k ⋅ u = EI ⋅ [K 22 − K 21 ⋅ K11
⋅ K12 ] ⋅ u
F1
F2
F3
0 1,091683
5.543 −3.668
= 43200 −3.668 7.336 −3.668 − -0,508889
EI
−3.668 3.668 -0,691874
0
K 22
-0,508889
2,728231
-1,552314
−1
K 21 ⋅K11
⋅K12
F1 192296,8944 -136473,552 29888,784 u1
0,185
F = -136473,552 199055,6208 -91397,808 u == 0,334
2
2
F3 29888,784
0,481
-91397,808 65721,7584 u3
-0,691874 u1 0,185
-1,552314 u2 = 0,334
2,146663 u3 0,481
u
F
u1 2,41E-05
u = 4,57E-05
2
u3 5,99E-05
F
u deplasmanları yukarıdaki şekilde bulunur. u değerleri ile Rayleigh (1973 Lord Rayleigh) bağıntısı
kullanılarak çerçevenin 1. periyodu hesaplanır.
EI
EI=32.106x0.33x0.
KAT
u
F
m
1 2,40894E-05 0,185 46,38
6/12
2
=43200 kNm2
3
4,57143E-05 0,334 46,38
5,99373E-05 0,481 46,38
1/2
N
∑46.38⋅[(2.41.10−5 )2 +(4.57.10−5 )2 +(5.994.10−5 )2 ]
i=1
T=2π N
= 0.49 s
−5
−5
−5
⋅
0 )]
∑[0.185⋅(2.41.10 )+0.334⋅(4.57.10 )+0.481(5.994.1
i=1
Görüldüğü gibi çerçevenin 1. periyodu kirişlerin I≠∞ olması durumu için mod birleştirme yöntemi ve
eşdeğer deprem yükü yöntemi ile aynı olmaktadır. Yani eşitliğin kirişlerin rijitliğinin hesaba katılması
durumunda gerçerli olduğu bilinmelidir. VEYA
ϕ5
5.d
6.d
7.d
8.d
9.d
10.d
11.d
12.d
13.d
14.d
15.d
16.d
1.yd
2.yd
3.yd
ϕ6
ϕ7
ϕ8
DÖNÜŞ AÇILARI
ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12
ϕ13
3,46 0,6
0
0
0,63
0
0
0
0
0,6 11,8 0,8
0
0
2,5
0
0
0
0
0,8 5,26 0,7
0
0
0,63
0
0
0
0
0,7 10,4
0
0
0
2,5
0
0,63
0
0
0
3,72 0,6
0
0
0,63
0
2,5
0
0
0,6 12,8 0,8
0
0
0
0
0,63
0
0
0,8 5,52 0,7
0
0
0
0
2,5
0
0
0,7 11,4
0
0
0
0
0
0,63
0
0
0
2,46
0
0
0
0
0
2,5
0
0
0,6
0
0
0
0
0
0
0,63
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2,5
0
ϕ14
ϕ15
ϕ16
0
0
0
0
0
2,5
0
0
0,6
7,8
0,8
0
0
0
0
0
0
0
0,63
0
0
0,8
4,26
0,7
0
0
0
0
0
0
0
2,5
0
0
0,7
6,4
DEPLASMANLAR
δ1
δ2
δ3
-0,375
-1,5
-0,375
-1,5
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,375 -1,5 -0,375 -1,5
0
0
0
0
0
0
0
0
1,875
-0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 0
0
0
0
0
0
0
0
0 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344 -0,591 -2,344
0
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
-0,591
-2,344
0
0
0
0
0
3,668
0
0 =
0 =
0 =
0 =
-0,591 =
-2,344 =
-0,591 =
-2,344 =
-0,591 =
-2,344 =
-0,591 =
-2,344 =
0 =
0 =
3,668 =
DEPREM
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0,805
0,481
ϕ5
ϕ6
ϕ7
ϕ8
ϕ9
ϕ10
ϕ11
ϕ12
ϕ13
ϕ14
ϕ15
ϕ16
δ1
δ2
δ3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,197
0,260
0,088
0,303
0,168
0,197
0,097
0,216
0,077
0,113
0,027
0,138
1,041
0,934
0,614
δ göreli kat deplasmanlarından katların tam deplasmanları (u) aşağıdaki şekilde de hesaplanır.
25/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
u1 =δ1
u2 =δ1 +δ2
u3 =δ1 +δ2 +δ3
Bu değerler EI rijitliğine bölünerek gerçek değerleri tablodaki gibi bulunur.
Kat
1
2
3
δgöreli
ui=δi+δi+1
u/EI
F
m
1,041
0,934
0,614
1,041
1,975
2,589
2.410.10-5
4.572.10-5
5.993.10-5
0,185
0,334
0,481
46.38
46.38
46.38
N
∑Fu
i fi
ω=
i=1
N
∑mi u2fi
i=1
=12.96 ⇒⇒T = 2π = 2π =0.49sn
ω 12.96
Yukarıda u cinsinden yapılan çözümden farkı olmadığı görülmektedir.
STADOLA YÖNTEMİ İLE AÇISAL HIZLARIN ve MODLARIN HESABI
Uygulama: Rijitlik ve kütle matrisi verilen çerçevenin Stadola Yöntemi ile ω1 = ?
ω2 = ?
ω3 = ?
G=30 kN/m Q=7.5 kN/m
13
14
B-B
Q=10 kN/m
10
9
3.2
12
11
6
5
m
G=40 kN/m
Q=10 kN/m
0
23920,32 −15820,32
k = −15820,32 31640,64 −15820,32
0
−15820,32 15820,32
16
15
RİJİTLİK MATRİSİ
m
G=40 kN/m
3.2
0
0
46,38
m = 0
46,38
0
0
0
46,38
8
7
1
2 30/60
6.43m
30/60
cm
30/60
cm
4m
3
KÜTLE MATRİSİ
30/60 4
5.51m
4.82m
-1
Çözüm: Çerçevenin dinamik (k ) matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
1
k1
1
−1
d=k =
k1
1
k1
1
8100
1
1 1
+
=
k1 k 2 8100
1
1
1 1
+
+
k1 k 2 k1 8100
1
k1
1
k1
1
1
+
k1 k 2
1
1
+
k1 k 2
1.235 1.235 1.235
1
1
1
1
= 10 −4 1.235 1.867 1.867
+
+
8100 15820.32
8100 15820.32
1.235 1.867 2.499
1
1
1
1
1
+
+
+
8100 15820.32 15820.32 15820.32 15820.32
1
8100
1
8100
Çerçevenin dinamik matrisi 2 değişik yoldan bulunmuştur.
23920,32
Excel
K
=
-15820,32
-15820,32
31640,64 -15820,32
0
-15820,32 15820,32
D=d m
0,0057
0,0057
0,0057
ω1 =
0
0,0057
0,0087
0,0087
K-1
=
[r1] 1.adım [D] [r1]
0,0057
0,0087
0,0116
1
1
1
1.000
1
−1
= 6.637 s a1.mod = 1.383
0.0227
1.586
0,0172 0,0172
0,0230
0,0260
T1 =
m
0,0001235 0,0001235 0,0001235
46,38
0
0,0001235 0,0001867 0,0001867
0
46,38
0
0,0001235 0,0001867 0,0002499
0
0
46,38
[r2]
[D] [r2]
1,0000
1,3372
1,5116
0,0220
0,0304
0,0348
[r3]
0
[D] [r3]
0,0220 1,0000 0,0227
1,3812 0,0314
1,5820 0,0360
[r4]
0,2270
Değişim minimum
olduğu için
işlemlere son verildi
2π
= 0.95 s
6.637
Yukarıdaki determinant arama yöntemi ile çözümde bulunan değerlerin aynısı olduğu görülmektedir.
Çarpıma dikkatediniz
m olan matrisi elde edilerek
2. modun hesabı D2 =DS2 = D[I]−a1 a1T m =D[I]−
a1aT
1
M2
[a1T ma1 ]
birinci modun hesabında izlenen yol aynen izlenerek hesaplanır.
26/36
1,000
1,383
1,586
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
a1T
M
a1 a1T 1,000 1,383 1,586
46,38
0
0
1,000 1,000 1,383 1,586
1,383 1,383 1,913 2,193
1,586 1,586 2,193 2,515
0
0
46,38
0
0
46,38
1
a1 a1T
a1
1
0
0
0
1
0
X
0.184
0
0
0
0
0.184
0
0
0.184
0,81580
-0,25475
-0,29214
-0,25475
0,64768
-0,40403
-0,29214
-0,40403
0,53666
a1T ma1
0,184
0
0
a1 a1T
0
0,184
0
0
0
0,184
=
S2 = [I]−a1a1T [m/[a1T ma1 ]
M/[a1T ma1 ]
2. açısal hız için yapılan işlemler
[r1] 1.adım [D1] [r1] [r2] 2.adım [D1] [r2] [r3] 3.adım [D1] [r3] [r4] 4.adım [D1] [r4] [r5] 5.adım [D1] [r5] [r6] 6.adım
D1=k-1 m S2 =D S2
0,00154 -0,00006 -0,00091
-0,00006 0,00065 -0,00052
-0,00092 -0,00053 0,00105
ω2 =
a1T m
1,000 1,383 1,586
- 1,383 1,913 2,193
1,586 2,193 2,515
[I]
1,000
1,383
1,586
1.383 1.586 46,380 64,14354 73,55868 251,755
a1T
0
0
1
M/[a1T ma1 ]= 46.38/251.755=0.184
a1
1
1
1
1
ω22 = 20.8962 = 436.68 s−1 a2.mod = 0.227
−0.834
1
= 20.897 s−1
0.00229
3. modun hesabı
0,0006 1,0000 0,0022 1,0000 0,0023 1,0000 0,0023 1,0000 0,0023 1,0000
0,0001 0,1070 0,0004 0,1740 0,0005 0,2044 0,0005 0,2203 0,0005 0,2270
-0,0004 -0,7140 -0,0017 -0,7854 -0,0018 -0,8178 -0,0019 -0,8326 -0,0019 -0,8340
T2 =
2π
= 0.30 s
20.896
f2 =
20.896
= 3.32 s−1
2π
Çarpıma dikkatediniz
m
m olan matrisi elde
T
D3 =DS3 = D[S2 ]−a2 a2 T
a 2 aT
=D[S2 ]−
2
M2
[a2 ma2 ]
S3
edilerek ikinci modun hesabında izlenen yol aynen izlenerek hesaplanır.
aT2
M
a2 aT2 1,0
0,227 -0,834
1,000 1,00 0,2270 -0,8340
0,227 0,227 0,0515 -0,1893
-0,834 -0,834 -0,1893 0,6956
46,38
1,00
a2 aT2
a2
0
0
0,227 -0,834 46,38
aT2
0,8158 -0,2548 -0,2921
-0,2548 0,6477 -0,4040
-0,2921 -0,4040 0,5367
1,00
0
0
46,38
0
0
46,38
10,53 -38,68
aT2 m
0,2270 -0,8340
- 0,227 0,0515 -0,1893
X
-0,834 -0,1893 0,6956
0,5724
0
0
0,5724
0
0
a2 aT2
S2
M/[aT2 ma2 ]= 46.38/81.03 =0.5724
a2
1,000
0.5724
0
0
0,227
-0,834
0
0
0.5724
0
0
0.5724
0,2434
-0,3847
0,1853
-0,3847
0,6182
-0,2956
0,1853
-0,2956
0,1386
81,03
aT2 ma2
0
=
0
0,5724
S3 = [S2 ]−a2 aT2 [m/[a2T ma2 ]
M/[aT2 ma2 ]
D=k-1 m=d m
D=d m S3
S3
0,0057
0,0057
0,0057
0,0057
0,0087
0,0087
0,0057
0,0087
0,0116
x
0,2434
-0,3847
0,1853
-0,3847
0,6182
-0,2956
0,1853
-0,2956
0,1386
=
0,0003
-0,0004
0,0002
-0,0003
0,0006
-0,0003
0,0002
-0,0002
0,0001
3. açısal hız için yapılan işlemler
D3=D S3
0,0003 -0,0004 0,0002
-0,0003 0,0006 -0,0003
0,0002 -0,0002 0,0001
ω3 =
[r1]1.adım [D1] [r1] [r2] 2.adım [D1] [r2] [r3] 3.adım [D1] [r3] [r4] 4.adım [D1] [r4] [r5] 5.adım [D1] [r5] [r6] 6.adım
1
1
1
0,000058
1,000000
0,000622
1,000000
0,000938
1,000000
0,000951
1,000000
0,000951
1
-0,000043 -0,741000 -0,001010 -1,623800 -0,001559 -1,662000 -0,001582 -1,663500 -0,001583
-1,665
0,000039
0,693
0,672400
0,000432
1
= 32.49 s−1 ω32 = 32.492 = 157.50 s−1
0.00951
0,694500
0,000649
1
a3.mod = −1.665
0.693
0,691900
T3 =
0,000658
0,691900
2π
= 0.20 s
32.49
0,000659
f2 =
32.49
= 2.00 s−1
2π
27/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
mod
Uygulama: Rijitlik ve kütlesi verilen çerçevenin RAYLEIGH ile ω1 = ? φ11 = ? φ21 = ? φ31 = ?
G=30 kN/m Q=7.5 kN/m
13
B-B
14
Q=10 kN/m
10
9
12
11
6
5
m
3.2
G=40 kN/m
Q=10 kN/m
0
23920,32 −15820,32
k = −15820,32 31640,64 −15820,32
0
−15820,32 15820,32
16
15
RİJİTLİK MATRİSİ
3.2m
G=40 kN/m
0
0
46,38
m = 0
46,38
0
0
0
46,38
8
7
m
2 30/60
6.43m
3
4.82m
30/60
cm
1
30/60
cm
4
KÜTLE MATRİSİ
30/60 4
m
5.51
ÇÖZÜM: Sistemin bilinmeyen birinci açısal hızına [ ω 12 ] karşı gelen modları φ1T = [1 2 3] kabul
edilmiş olsun. Bu normal modları kabul yaparken daha önceki çözümlerde bulunan değerler ile uyum
içinde olmasına dikkat edilmesi yani artan değerler alınması sonuca ulaşmayı daha kolaylaştıracaktır.
Çözüm aşağıdaki maddeler halinde yapılır.
1. Kabul edilen φ1T = [1 2 3] modlara karşı gelen açısal hız ω 2 = k m bağıntısı ile hesaplanır.
0
46.38
T
46.38
Genel kütle m = φ1 M φ1 = [1 2 3] 0
0
0
ω için 1. adım
23920,32
T
Genel rijitlik k = φ1 K φ1 = [1 2 3]k = −15820,32
0
k
39740.64
2
= 61.20
Açısal hız ω1 = =
m
649.32
0 1
0 2 = 649.32
46.38 3
−15820,32
1
31640,64 −15820,32 2
−15820,32 15820,32 3
0
= 39740.64
2. 1. madde de hesaplanan açısal hıza karşı gelen modlar tekrar hesaplanır (eğer yukarıda
bulunan hız gerçek değer ise hesaplanan modlar başta kabul edilen modların aynısı
φ1T = [1 2 3] olur, değilse bir iterasyon daha yapılır.)
0
0 1 0.169
0.005726 0.005726 0.005726 46.38
1.000
46.38
0 1 = 0.226 = 0.169 1.337
= 9.810.005726 0.008658 0.008658 0
φ2 = gK −1 mr
0.005726 0.008658 0.011589 0
1.509
0
46.38 1 0.255
Kφ2 = gmr
3. 2. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların başta kabul edilen modlar ile aynısı
olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni bulunan modlar
kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır.
0
46.38
T
46.38
Genel kütle m = φ1 M φ1 = [1 1.337 1.509] 0
0
0
ω için 2. adım
23920,32
T
Genel rijitlik k = φ1 K φ1 = [1 1.337 1.509] = −15820,32
0
k
10364.73
2
= 44.12
Açısal hız ω1 = =
m
234.90
28/36
0 1
0 1.337 = 649.32
46.38 1.509
−15820,32
1
31640,64 −15820,32 1.337
−15820,32 15820,32 1.509
0
= 39740.64
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
4. Yukarıda hesaplanan açısal hızın bir önceki (1. madde) ile aynı olmadığından ve azalan bir
eğilimde olduğundan bu değere karşı gelen yeni modlar tekrar hesaplanır.
Kφ3 = mφ1
0
0
0.005726 0.005726 0.005726 46.38
φ3 = K −1m φ1 = 0.005726 0.008658 0.008658 0
46.38
0
0.005726 0.008658 0.011589 0
0
46.38
1.000 0.0220
1.000
1.337
=
0.0304
=
0.0220
1.382
1.509 0.0348
1.582
5. 4. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların 2. madde de hesaplanan edilen
modlar ile aynısı olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni
bulunan modlar kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır.
0
46.38
0
T
Genel
kütle
m
=
φ
M
φ
=
[1
1.382
1.582]
46.38
1
1
0
0
ω için 3. adım
23920,32
T
Genel
rijitlik
k
=
φ
K
φ
=
[1
1.382
1.582]
=
1
1
−15820,32
0
k 11041.38
2
= 43.98
Açısal hız ω1 = =
m
251.04
0 1
0 1.382 = 251.04
46.38 1.582
−15820,32
0
31640,64 −15820,32
−15820,32 15820,32
1
1.382 = 11041.38
1.582
6. 5. madde de hesaplanan açısal hızın bir önceki (3. madde) ile aynı olmadığından ve azalan bir
eğilimde olduğundan bu değere karşı gelen yeni modlar tekrar hesaplanır.
Kφ3 = mφ1
0
0
0.005726 0.005726 0.005726 46.38
φ3 = K −1m φ1 = 0.005726 0.008658 0.008658 0
46.38
0
0
46.38
0.005726 0.008658 0.011589 0
1.000 0.0227
1.000
=
=
1.382
0.0313
0.0227
1.379
1.582 0.0360
1.586
7. 5. madde de yapılan hesaplardan yeni bulunan modların 4. madde de hesaplanan edilen
modlar ile aynısı olmadığı yani açısal hızın gerçek değerde olmadığı görüldüğünden yeni
bulunan modlar kullanılarak tekrar bir açısal hız hesaplanır.
0
0 1
46.38
Genel kütle m = φ3T M φ3 = [1 1.379 1.586] 0
46.38
0 1.379 = 250.95
0
0
46.38 1.586
Genel rijitlik
ω için 4. adım
0
23920,32 −15820,32
k = φ K φ3 = [1 1.379 1.586] −15820,32 31640,64 −15820,32
−15820,32 15820,32
0
T
3
SONUÇ DEĞERLER
Açısal hız ω12 =
k 11037.23
=
= 43.98
m
250.95
1
1.379 = 11037.23
1.586
1.000
Modlar φ3 = 1.378
1.586
8. Çözüm adımları incelendiğinde mod ve açısal hızdaki değişimler minimuma inmiş durumdadır.
Burada çözüme son verilere bulunan mod ve açısal hız kullanılarak deprem hesabına devam
edilir. Görüldüğü gibi birinci açısal hız ve buna karşı gelen modlar daha önce çözülen
yöntemdekiler ile (Stadola, determinant) aynısı bulunmuştur.
29/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Uygulama: Mod özellikleri verilen çerçevenin etkili kütle Mi* ve yüksekliklerinin hi* bulunması.
G=30 kN/m Q=7.5 kN/m
13
14
B-B
Q=10 kN/m
10
9
3.2m
G=40 kN/m
6
RİJİTLİK MATRİSİ
m
G=40 kN/m
3.2
8
7
m
2 30/60
6.43m
3
4.82m
30/60
cm
30/60
cm
4
1
0
23920,32 −15820,32
k = −15820,32 31640,64 −15820,32
0
−15820,32 15820,32
12
11
Q=10 kN/m
5
16
15
0
0
46,38
m = 0
46,38
0
0
0
46,38
KÜTLE MATRİSİ
3.MOD
2.MOD
1.MOD
0.063 0.111 0.073
0.087 0.026 −0.115
0.100 −0.093 0.055
30/60 4
5.51m
ÇÖZÜM: Etkili kütle ve yükseklikler aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır.
0
0 1
46.38
0.087 0.10] 0
46.38
0 1
2
T
2
0
0
46.38 1
[11.60] = 134.56 M* = 4.16
[φ m 1]
=
=
M1* = 1T
2
0
0 0.063
[φ1 m φ1 ]
1
46.38
134.56 + 4.16 + 0.36 = 46.38x3
∑
[0.063 0.087 0.10] 0 46.38 0 0.087
139.08 =139.14
0
0
46.38 0.100
[0.063
0
0 0.063
46.38
7.2 10.40] 0
46.38
0 0.087
T
2
0
0
46.38 0.100 [88.975]
[h m φ1 ]
h1* =
=
=
= 7.67
0
0 1
[φ1Tm 1]
11.60
46.38
[0.063 0.087 0.10] 0 46.38 0 1
0
46.38 1
0
M3* = 0.36
[4
3
∑m
*
i
1
h2* = −7.64
h3* = 2.77
0
0 1
46.38
⋅ hi* = [ 4 7.2 10.40] 0
46.38
0 1 = 1001.88 = 134.56 ⋅ 7.67 − 4.16 ⋅ 7.64 + 0.36 ⋅ 2.77 = 1001.29
0
46.38 1
0
4.16
h1=7.64
0.36
2.77
h1=7.67
134.56
F11 = M1* ⋅Spa
( T1 )
m⋅φ11
3
∑ m⋅φi 1
n=1
F12 = M2* ⋅Spa ( T2 )
m⋅φ12
3
∑ m⋅φi 2
n=1
F13 = M3* ⋅Spa ( T3 )
m⋅φ13
3
∑ m⋅φi 3
n=1
30/36
Yatay
F21 = 55.73 F31 = 64.05
Deprem
Kuvvetleri
46.38⋅0.111
= [4.16⋅1.72]
=18.05 F22 = 4.23 F32 = −15.12Önce
46.38⋅( 0.111+ 0.026 − 0.093 )
Bulunanlarla
Aynısı
46.38 ⋅0.073
= [0.36⋅1.72]
= 3.48 F23 = −5.48 F33 = 2.62
46.38⋅( 0.073 − 0.115 + 0.055 )
Bulunmuştur .
46.38⋅0.063
= [134.56⋅1.19]
= 40.35
46.38 ⋅( 0.063 + 0.087 + 0.10 )
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
−1
Yatay deplasmanlar, Fi.mod =k ⋅ x
kN
x = k i−1 ⋅ Fi.mod = ⋅ kN = m
m
Bağıntısı ile hesaplanır.
0,000123
0,000123
0,000123
k-1
0,000123
0,000187
0,000187
0,000123
0,000187
0,000250
Yukarıda
hesaplanan
[x1 ] = [ Y ]max
φi
F1.mod
F2.mod
F3.mod
40,35
55,73
64,05
0,019769
0,027340
0,031389
18,05
4,23
-15,15
0,000880
0,000190
-0,000768
3,48
-5,48
2,62
0,000077
-0,000104
0,000061
0.0198
0.0009
0.000073
ω12 = 6.6322 → [x1] = 0.0273 ω22 = 20.8772 → [x 2 ] = 0.00021 ω32 = 32.512 → [x3 ] = −0.000120
0.0314
−0.00075
0.00006
Yapılan hesaplardan görülebildiği üzere daha önce bulunan büyüklüklerin aynısının bulunduğu
görülmektedir. Yapının tamamı yerine etkili mod ve yüksekliklerin alınmasıyla hesap yapmak daha
kolay olur.
SINAVDA BUNDAN SONRASI YOK
SINAVINIZDA BAŞARILAR DİLERİM
31/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
2.8.4. Mod Katkılarının Birleştirilmesi
Binaya etkiyen toplam deprem yükü, kat kesme kuvveti, iç kuvvet bileşenleri, yerdeğiştirme ve göreli kat ötelemesi gibi
büyüklüklerin her biri için ayrı ayrı uygulanmak üzere, her titreşim modu için hesaplanan ve eşzamanlı olmayan maksimum
katkıların istatistiksel olarak birleştirilmesi için uygulanacak kurallar aşağıda verilmiştir:
2.8.4.1
–
Tm<Tn
Tm
< 0.8
Tn
olmak
üzere,
gözönüne
alınan
herhangi
iki
titreşim
moduna
ait
doğal
periyotların
daima
[Tm < Tn ] koşulunu sağlaması durumunda, maksimum mod katkılarının birleştirilmesi için Karelerin Toplamının
Kare Kökü Kuralı uygulanabilir. [Binanın m’inci ve n’inci doğal titreşim periyotları [s]]
2.8.4.2–Yukarıda belirtilen koşulun sağlanamaması durumunda, maksimum mod katkılarının birleştirilmesi için Tam Karesel
Birleştirme (CQC) Kuralı uygulanacaktır. Bu kuralın uygulanmasında kullanılacak çapraz korelasyon katsayıları’nın hesabında,
modal sönüm oranları bütün titreşim modları için %5 olarak alınacaktır.
Mod Katkılarının Birleştirilmesi Kombinasyonlar
Modal tepkiler analizlerde belirli kombinasyonlara göre
yönetmeliklerde kabul edilen belirli metotlara göre kullanılır.
1. Modal Kombinasyonlar
yapılır.
Bu
kombinasyonlar
farklı
2. Direkt Kombinasyonlar
1. Modal Kombinasyonlar: İstatistiksel modal kombinasyon metotlarıdır. Bu metotlarda her ülkenin
kendi yönetmeliğindeki uygulamak istediği modal etkilerin matematiksel olarak formüle edilmesiyle
elde edilen arttırılmış veya azaltılmış ya da ortalama değer olarak alınan değerlerdir. Bu metotlar
arasında en çok kullanılanlar aşağıdaki gibidir.
- CQC (Complete Quadratic Combination) : Tam karesel birleştirme
- SRSS (Square Root of Sum of Squares) : Karelerin toplamının karekökü
- ABS (Sum of the Absolute Value) : Mutlak değer
- GMC (General or Gupta Modal Combination) : Modal kombinasyon
2
= R12 + R 22 + R 23
SSRS
Rmax s = ∑ Ri
GMC,CQC
R max s = ∑ ∑ Ri .pij .R j
ABS
R max s = max[R1 + R 2 + ...] = max[[R1 + ν(R 2 + R 3 )].[R 2 + ν(R 2 + R 3 )].... =
Ri = modaletkiler
CQC: Modal sönümlemenin hesaba katıldığı bir yöntemdir. Bu hesap yönteminde modal sönümleme
sıfır alınırsa aynı SRSS yöntemindeki gibi benzer bir hesap yöntemi oluşur. Nispeten yeni mod
birleştirme yöntemi; Tam Kare Birleştirme (CQC) olup, bu yöntem ilk defa 1981 de yayınlanmıştır.
Rasgele titreşim teorilerine dayanan ve mühendislerin çoğu tarafından geniş kabule mahzar olan bu
yöntem, sismik analiz yapan modern bilgisayar programlarının çoğuna bir seçenek olarak girmiştir.
Mod değerlerinden tipik bir kuvvetin pik değeri çift toplam denklemini uygulayarak, CQC yöntemi ile
tahmin edilebilir. Mutlak değerlerin toplamı, çok kaba bir şekilde, bütün sonuçları gerçek değerinden
fazla vermektedir. Buna karşılık CQC yöntemi, zaman tanım alanında kesin hesaba yakın ve çok
gerçekçi değerler vermektedir (Wilson, 2000).
32/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
SRSS: Modal sönümlemenin hesaba katılmadığı bir hesap yöntemidir ve dolayısıyla değer sıfır
olmaktadır. Bir yapıdaki kuvvet veya deplasmanın pik değerini tahmin etmek için kullanılan en
korunumlu (güvenli tarafta kalan) yöntem, modal davranış büyüklüklerinin mutlak değerlerinin
toplamını kullanmaktır. Bu yaklaşım, bütün modlar için maksimum mod değerlerinin aynı anda
oluştuğunu kabul eder. Bir diğer çok yaygın yaklaşım ise (SRSS), deplasman veya kuvvetlerin
değerlerini tahmin etmek için, maksimum mod değerlerinin karelerinin toplamının karekökünü
kullanmaktır. SRSS yöntemi, bütün maksimum mod değerlerinin istatistiksel olarak bağımsız
olduklarını kabul eder. Çok sayıda frekansın hemen hemen özdeş olduğu üç boyutlu yapılarda bu
kabul doğrulanmaz. SRSS yöntemi, yükler doğrultusunda olan taban kesme kuvvetlerini, gerçek
değere göre yaklaşık olarak yüzde 30 a kadar eksik ve yüklere dik doğrultudaki taban kesme
kuvvetlerini ise on misli kadar fazla hesaplamaktadır (Wilson, 2000).
ABS : Bu hesapta modal sonuçlar mutlak değerler toplamıdır.
GMC: Bu hesap yönteminde de modal sönümleme hesaba katılır ve büyük frekanslardaki modlar
arasında oluşan modal tepkiler birbirleri ile yüksek bir ilişkilendirme yapılarak hesabı yapılır.
2. Direkt Kombinasyonlar: Bu tür kombinasyonda, farklı yönlerdeki ivmesel yükleri de içine alan ve
diğer yönlerdeki modal etkilerin hesaba katılarak analizinin yapılmasıdır.
SRSS: Tek yönlü yapılan kombinasyon tekniğidir ve yükleme yönüne göre bağımsız olarak yapılan
hesaplama yöntemidir.
ABS: Farklı yönlerdeki oluşan modal etkileri de hesaba katan bir analiz yöntemidir. Tek bir yön için
yapılan hesabın farklı yönlerde de belirli bir oran arttırarak uygulanmasıyla oluşan ve iki veya üç yönde
de oluşabilecek durumları da inceleyebilen hesaptır.
Mod birleştirme yöntemi, modal analizdeki bulunan yapının her modunun ayrı ayrı hesaplanıp ve daha
sonra bu modların istatistiksel olarak analize katılarak hesaplanmasıdır. Bu nedenle modal analizin
nasıl olduğu ve hesabı basit bir analizle sunulacaktır.
Uygulama: Şekildeki çerçeve verilerini kullanarak yatay deprem yüklerinin,
- CQC (Complete Quadratic Combination) : Tam karesel birleştirme
- SRSS (Square Root of Sum of Squares) : Karelerin toplamının karekökü
- ABS (Sum of the Absolute Value) : Mutlak değer
yöntemleri ile belirlenmesi.
Tam Karesel Birleştirme (CQC) Yöntemi ile modal katkıların birleştirilmesi
ω
ω1 = 6.632 rad/s
ω2 = 20.89 rad/s
ω3 = 32.54 rad/s
ξ=0.05
ηij=ωi/ωj
ηij
j=1
j=2
j=3
i=1
ω1/ω
ω1=1.000
ω1/ω
ω2=0.317
ω1/ω
ω3=0.204
i=2
ω2/ω
ω1=3.150
ω2/ω
ω2=1.000
ω2/ω
ω3=0.642
i=3
ω1=4.907
ω3/ω
ω3/ω
ω2=1.558
ω3/ω
ω3=1.000
33/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Çözümü
yapılan
T (s)
[Ts / Tr ]
T1=0.95
T2=0.30
T3=0.20
0.3/0.95=0.32 sağlanıyor
0.2/0.3=0.67 sağlanıyor
bu
uygulamada
yönetmeliğin
Tm
< 0.8
Tn
öngördüğü
[Tm < Tn ]
kriteri
sağlanmadığından SRSS uygulanır. Ancak burada örnek olması bakımından CQC yöntemi
uygulanmıştır.
κij
ξ=0.05
0.5
N N
N
Xmax = ∑ X 2jo + ∑ ∑ κijXio X jo
i = 1 j= 1
j=1
i ≠ j
8 x0.05 2 (1 + 0.317) x 0.3173/ 2
= 0.0058
(1 − 0.317 2 )2 + 4 x 0.052 x 0.317(1 + 0.317)2
0.0024
i=2 0.0058
1.0000
0.0465
i=3 0.0024
0.0465
1.0000
0.000073
0.0198
0.0009
[x1] = 0.0273 [x2 ] = 0.00021 [x3 ] = −0.000120
0.00006
0.0314
−0.00075
Kat
Mod
Mod 1
Mod 2
Mod 3
1
2
3
x1
x2
x3
0.0198
0.0273
0.0314
0.0009
0.00021
-0.00075
0.000073
-0.00012
0.00006
( 0.0058 x 0.0198x0.0009x0.000073 )i=1,j = 2(0.0058 )
+ ( 0.0024 x 0.0198x0.0009x0.000073 )
i =1,j = 3(0.0024)
+0.01982
1.mod
N
N N + ( 0.0058 x 0.0198x0.0009x0.000073 )
i
=
2
j
=
1(0.0058)
+ ∑∑
= ∑ +0.000922.mod
j =1
+ ( 0.0465 x 0.0198x0.0009x0.000073 )
i
=
1
j
=
1
i
=
2
j
=
3(0.0465)
2
+
0.00007
3
(
)
3.mod
+ ( 0.0024 x 0.0198x0.0009x0.000073 )
i
=
3
j
=
1(0.00
24)
+ ( 0.0465 x 0.0198x0.0009x0.000073 )
i
=
3
j
=
2(0.04
65)
ii= j( κ =1 olanlar
[ x 12 + x 22 + x 32 ]0.5
(x1)max = 0.0198
(x2)max = 0.0273
(x3)max = 0.0314
MM
(1 − ηij2 )2 + 4ξ2 ηij (1 + ηij )2
i=1 1.0000 κ12 =
j=3
ABSU
κij =
8ξ2 (1 + ηij )ηij3/2
j=2
SRSS
j=1
0.5
X1max
= 0.019821
alınmaz)
( 0.0058 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )
i =1,j= 2(0.0058)
+ ( 0.0024 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )
i=1,j= 3(0.0024)
2
+0.02731.mod
+ 0.0058 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )
N
i= 2 j =1(0.0058)
N N (
2
= ∑ +0.000212.mod
+ ∑∑
j =1
i=1 j =1 + ( 0.0465 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )i= 2 j =3(0.0465 )
2
+ ( −0.00012 )3.mod
+ ( 0.0024 x 0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )i= 3 j =1(0.0024)
+ ( 0.0465 x0.0273x0.00021x ( −0.00012 ) )
i
=
3
j
=
2(0.0465)
i= j( κ=1 olanlar
X 2max
( 0.0058 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )
i=1,j = 2(0.0058)
+ ( 0.0024 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )
i =1,j = 3(0.0024)
2
+0.03141.mod
+ 0.0058 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )
N
i = 2 j=1(0.0058)
N N (
2
= ∑ +0.000752.mod
∑∑
j =1
i=1 j =1 + ( 0.0465 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )i = 2 j=3(0.0465)
2
+ ( −0.00006 )3.mod
+ ( 0.0024 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )i =3 j=1(0.0024 )
+ ( 0.0465 x 0.0314x ( −0.00075 ) x0.00006 )
)
i
=
3
j
=
2(0.0465
i = j( κ=1 olanlar
= 0.027301
alınmaz)
0.5
X3max
34/36
= 0.031409
alınmaz)
CQC
0.5
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
Bulunan deplasman (SRSS, CQC ve ABSSUM) değerleri aşağıdaki şekilde karşılaştırılır.
Kat
1
2
3
x1
Mod
Mod1 0.0198
x2
x3
0.0009
0.000073
Mod2 0.0273 0.00021
-0.00012
Mod3 0.0314 -0.00075
0.00006
x12 + x 22 + x32 + x 24 0.5 [DY
Tam Karesel Birleştirme
Kuralı [CQC] [DY2.8.4.2]
ABSSUM
2.8.4.1]
[x1]max = 0.019821
[x2]max =0.0273
[x3]max =0.0314
[x1]max = 0.0198+0.0009+0.000073=0.020773
[x2]max = 0.0273+0.00021+-0.00012=0.02763
[x3]max = 0.03014-0.00075+0.00006=0.03221
(x1)max = 0.0198
(x2)max = 0.0273
(x3)max = 0.0314
Deplasman (SRSS, CQC ve ABSSUM) değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanarak karşılaştırılması
46.38 ⋅ 0.0198 40.39
46.38 ⋅ 0.0009
18.19
46.38 ⋅ 0.000073 3.58
F1.mod = 6.6322 46.38 ⋅ 0.0273 = 55.69 kN F2.mod = 20.8772 46.38 ⋅ 0.00021 = 4.25 kN F3.mod = 32.512 46.38 ⋅ − 0.000120 = −5.88 kN
46.38 ⋅ 0.0314 64.05
46.38 ⋅ ( −0.00075) −15.16
46.38 ⋅ 0.00006 2.94
N N
(
(
(
)
0.5
2
2
2
40.39 + 18.19 + 3.58
0.5
F = 55.692 + 4.252 + 5.882
0.5
2
2
2
64.05 + 15.16 + 2.94
)
)
44.44
= 56.16 kN
65.89
( 0.0058 x 40.39 x18.19x3.58 )i =1,j = 2(0.0058)
+ ( 0.0024 x 40.39 x18.19x3.58 )
i =1,j = 3( 0.0024)
+40.392
1.mod
N
+ 0.0058 x 40.39 x18.19x3.58 )
i = 2 j=1(0.0058)
N N (
2
= ∑ +18.192.mod + ∑ ∑
j =1
i =1 j=1 + ( 0.0465 x 40.39 x18.19x3.58 )i = 2 j= 3(0.0465)
+3.582
3
.mo
d
+ ( 0.0024 x 40.39 x18.19x3.58 )
i = 3 j=1(0.0024)
+ ( 0.0465 x 40.39 x18.19x3.58 )
i = 3 j= 2( 0.0465)
i= j( κ =1 olanlar
SRSS
Fmax
0.5
= ∑ Fjo2 + ∑ ∑ κijFioFjo
i =1 j =1
j=1
i≠ j
N
ABS
SUM
yapılmıştır.
0.5
F1max
= 47.571 kN
alınmaz )
( 0.0058 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )
i =1,j = 2(0.0058)
55.692
+ ( 0.0024 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )
1.mod
i =1,j= 3(0.0024)
+ 0.0058 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )
N
i = 2 j=1(0.0058)
N N (
= ∑ +4.2522.mod
+
∑∑
j=1
i=1 j =1 + ( 0.0465 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )i = 2 j= 3(0.0465)
+ −5.88 2
+ ( 0.0024 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )i =3 j=1(0.0024)
(
)
3.mod
+ ( 0.0465 x 55.69 x4.25x ( −5.88 ) )
i = 3 j= 2(0.0465)
i= j( κ =1 olanlar
F2max
( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i =1,j = 2(0.0058)
2
64.051.mod
+ ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i=1,j= 3(0.0024)
N N + ( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 2 j =1(0.0058)
N
2
= ∑ + ( −15.16 )2.mod + ∑ ∑
j=1
i=1 j =1 + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 2 j =3(0.0465)
+2.942
+ ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i= 3 j =1(0.0024)
3.mod
+ ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i= 3 j = 2(0.0465)
i = j( κ=1 olanlar
= 54.787 kN
CQC
0.5
alınmaz )
0.5
F3max
C: Mutlak Değerlerinin Toplamı (ABSSUM) için; r(t)max ≤
N
= 63.469 kN
alınmaz)
∑ rj (t)max = r10 + .... + rn0 + .... + rN0
j =1
bağıntısından,
35/36
UYGULAMA (KURBAN VE CUMHURİYET BAYRAMI)
< CQC
TRSS
F(2) = 55.69 + 4.25 + −5.88 = 65.82
Karşılaştırma
F(3) = 64.05 + −15.16 + 2.94 = 82.15
160.13
KAT KESME V = V1.mod dan = 119.94 kN
64.05
0.5
N N
N
Fmax = ∑ Vjo2 + ∑ ∑ κij Vio Vjo
j=1
i≠ j
i =1 j =1
44.44
47.57
F = 56.16 t < 54.79 t
65.89
63.67
)
0.5
2
2
2
160.13 + 7.28 + 0.64
2
2
F = 119.942 + ( −10.91) + ( −2.91)
0.5
64.052 + ( −15.16 )2 + 2.942
(
(
62.16
< 65.82 t
82.15
0.64
V3.mod dan = −2.94 kN
2.94
7.28
V2.moddan = −10.91 kN
−15.16
(
< ABSSUM
)
)
160.30
0.5
= 120.47 kN
65.89
( 0.0058 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i=1,j= 2(0.0058)
2
160.131.mod
+ ( 0.0024 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )
i=1,j = 3(0.0024)
N
N N + ( 0.0058 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i= 2j =1(0.0058)
= ∑ +7.2822.mod + ∑ ∑
j =1
i =1 j=1 + ( 0.0465 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )i= 2j =3(0.0465)
+ ( 0.0024 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )
2
i= 3 j =1(0.0024)
+0.643.mod
+ ( 0.0465 ⋅ 160.13 ⋅ 7.28 ⋅ 0.64 )
i= 3 j = 2(0.0465 )
i ≠ j( κ=1 olanlar
SRSS
F(1) = 40.39 + 18.19 + 3.58 = 62.16
0.5
V1max
= 160.55 kN
alınmaz )
V2max
( 0.0058 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )
i=1,j = 2(0.0058)
119.9412.mod
+ ( 0.0024 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )
i =1,j = 3(0.0024)
+ 0.0058 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )
N
i = 2 j=1(0.0058)
2
N N (
= ∑ + ( −10.91)2.mod + ∑ ∑
= 122.21 kN
j=1
i=1 j =1 + ( 0.0465 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )i = 2 j= 3(0.0465)
2
+ ( 0.0024 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )i =3 j=1(0.0024)
2.94
+
−
(
)
3.mod
+ ( 0.0465 x119.94 x ( −10.91) x ( −2.94 ) )
i = 3 j= 2(0.0465 )
i ≠ j
V3max
( 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i=1,j = 2(0.0058)
2
64.051.mod
+ ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i =1,j = 3(0.0024)
+ 0.0058 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
N
i = 2 j=1(0.0058)
2
N N (
= ∑ + ( −15.16 )2.mod + ∑ ∑
j=1
i =1 j=1 + ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i = 2 j= 3(0.0465)
+2.942
+ ( 0.0024 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )i =3 j=1(0.0024)
3.mo
d
+ ( 0.0465 ⋅ 64.05 ( −15.16 ) ⋅ 2.94 )
i = 3 j= 2(0.0465)
i≠ j( κ=1 olanlar
CQC
0.5
0.5
= 63.47 kN
ABSSUM
alınmaz)
V(1) = 160.13 + 7.28 + 0.64 = 168.05
V(2) = 119.94 + −10.91 + −2.94 = 133.79
V(3) = 64.05 + −15.16 + 2.94 = 82.15
TRSS
Karşılaştırma
36/36
< CQC
160.30
160.55
F = 120.47 kN < 122.21 kN
63.47
65.89
< ABSSUM
168.05
< 133.79
82.15
kN
TASARIMDA KULLANILMAZ
© Copyright 2024 Paperzz