ÖZEL EGE LİSESİ ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEITZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Eren ÜRER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ İZMİR 2014 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI………………………………………………………………………………….. 3 3 GİRİŞ…………………………………….…………………………………………………............... 2. 3 33……………………………………………………………………………...….….….….……………. 3. YÖNTEM……………………………………………………………………………………………... 4 .…………………………………………………………… 4. ÖN BİLGİLER……………………………………………………………………………………… 4 …………………………………..………………………………………………….... 4.1. Öklid Düzlemi ile Taksi Düzlemi Arasındaki Temel Farklar…………………………… 5 4.2. Taksi Düzleminde Üçgenin Alan Formülleri……………………………………….. 7 5. TAKSİ DÜZLEMİNDE WEİTZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ………………………………………….. 8 ……………………………………………... SONUÇ………………….............................................................................................................. 114 ……………………………………………………………………………………………………... .................... 13 TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………………………. 4 14 KAYNAKLAR…………………………………………………………….……………………………. 14 13 41 2 1. PROJENİN AMACI Bu projede, “Weitzenböck Eşitsizliği” olarak bilinen ve Öklid düzleminde yer alan bir üçgenin, kenarları aracılığıyla alanını üstten sınırlayan eşitsizliğin bir benzerinin Taksi düzleminde yer alan bir üçgen için belirlenip ispatlanması amaçlanmıştır. 2. GİRİŞ Günümüzde matematik derslerinde Öklid tarafından ortaya konulan düzlem geometrisi anlatılmaktadır. Öklid, M.Ö. 300 yılında yazdığı ‘Elements’ adlı kitabında bu geometriyi inşa etmiş ve geometrinin sistemli bir bilgi haline gelmesinde öncülük etmiştir. (Çaputcu, 2011) Öklid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ile doğrulardır. Nokta ve doğru, tanımlanamayan ilkel kavramlardır. Öklid geometrisi; tanımlar, aksiyomlar ve postulatlar olmak üzere üç temel kavrama dayandırılmıştır. Tanımlar, kendine özgü bir takım özellikleri olan geometrik nesneleri belirlemek ya da diğerlerinden ayırmak için onlara verilen isimden ibarettir. Aksiyomlar ise doğruluğundan şüphelenilmeyen ispatsız olarak kabul edilen temel önermelerdir. (Çaputcu, 2011) Öklid’in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889 da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiştir. Artık Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasınca “mükemmel” olarak değerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. (Çaputcu, 2011) Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her geometri Öklid dışı bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff) tarafından verilen aksiyomlardan “en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir” anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Bunların birkaçı aşağıdaki gibidir: (Çaputcu, 2011)     Taksi Düzlemi Maksimum Düzlemi Çin Dama Düzlemi Alfa Düzlemi 20. yüzyılın son çeyreğinden itibaren Öklid düzleminde iyi bilinen teorem ve özellikler bu düzlemlerde incelenmeye başlanmıştır. Bu çalışmada, bu düzlem geometrileri içinde en temeli olan Taksi düzlemi üzerinde durulmuştur. Taksi düzlemi dünyanın birçok yerinde ortaöğretim müfredatlarının içerisinde de yer almaya başlamıştır. Taksi düzlemine ait temel bilgiler (Krause, 1975) de yer alan kitapta toplanmıştır. Üçgenin alan formülleri ((Kaya, 2006), (Özcan ve Kaya, 2003)), Pisagor Teoremi (Çolakoğlu ve Kaya, 2008), Menelaus ve Seva Teoremleri ( Özcan ve Kaya, 2002), Stewart Teoremi (Kaya ve Çolakoğlu, 2006), Sinüs ve Kosinüs Teoremleri (Bayar, Ekmekçi ve Özcan, 2009) Öklid düzlemine taşınmıştır. 3 Bu projede, 1961 yılında IMO (The International Mathematical Olympiad) da sorulan ve Weitzenböck olarak bilinen bir eşitsizliğin Taksi düzlemine taşınması amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda, Taksi düzleminin temel özellikleri incelenmiş ve üçgenin alan formülleri üzerinde durulmuştur. 3. YÖNTEM Bu proje boyunca doğrudan ispat yöntemi kullanılmıştır. 4. ÖN BİLGİLER     Bir düzlem geometrisi belirlemek için Noktaların, Doğruların, İki nokta arasındaki uzaklığı belirleyen uzaklık fonksiyonunun, Açıların nasıl ölçüldüğünün belirlenmesi gerekmektedir. ve arasındaki Öklid uzaklığı analitik düzlemde iki nokta olmak üzere A ve B noktaları olarak tanımlanmıştır. Taksi düzleminde, noktalar ve doğrular Öklid düzleminde olduğu gibi belirlenmekte, açılar da yine Öklid düzlemindeki gibi ölçülmektedir. Ancak, A ve B noktaları arasındaki taksi uzaklık olarak tanımlanır. 4 4.1. Öklid Düzlemi ile Taksi Düzlemi Arasındaki Temel Farklar (Yavuz, 2006) 1) Uzaklık farklı fonksiyonlarla belirlenir: Öklid düzlemindeki iki nokta arasında uzaklık, noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğuna eşittir. ve olmak üzere olarak tanımlıdır. Taksi düzleminde ise iki nokta arasında yatay ve dikeydeki toplam birimler sayılarak bulunur. Yani, dir. 2) Kenar-açı-kenar aksiyomu Taksi düzleminde sağlanmaz. Öklid düzleminde “İki üçgen arasında yapılan eşlemede iki kenar ve bu iki kenarın arasındaki açı eşit ise bu iki üçgen birbirine benzerdir.” şeklinde ifade edilen kenar-açı-kenar aksiyomu Taksi düzleminde sağlanmaz: Örnek: Şekildeki üçgenlerini göz önüne alalım. Üçgenlerin karşılıklı açıları birbirlerine eşittir. Diğer taraftan, Öklid düzleminde y d E ( A, B)  (-2 - 0) 2  (0 - 0) 2  2 d E ( B, C )  (-2 - (-2)) 2  (-2 - 0) 2  2 ’ B (1,1) d E ( A, C )  (-2 - 0) 2  (-2 - 0) 2  2 2 d E ( A, B ' )  (1- 0) 2  (1- 0) 2  2 B(-2,0) A(0,0) ’ C (2,0) x d E ( B ' , C ' )  (2 -1) 2  (0 -1) 2  2 d E ( A, C ' )  (2 - 0) 2  (0 - 0) 2  2 C(-2,-2) 5 olduğundan dir. Taksi düzleminde ise dT ( A, B)  2  0  0  0  2 dT ( B, C )  2  (2)  2  0  2 dT ( A, C )  2  0  2  0  4 dT ( A, B ' )  1  0  1  0  2 dT ( B ' , C ' )  2  1  0  1  2 dT ( A, C ' )  2  0  0  0  2 olduğundan Kenar-Açı-Kenar aksiyomu sağlanmamaktadır. 3) Birim çemberlerin görünümleri farklıdır: Öklid düzleminde, merkezi M = (0, 0) olan ve merkeze 1 birim uzaklıkta yer alan bütün noktaların kümesine karşılık gelen geometrik yere “birim çember” denir. Taksi düzleminde, analitik düzlemde özel olarak merkezi M = (0, 0) olan ve merkeze 1 birim uzaklıktaki noktaların kümesine karşılık gelen geometrik yere “Taxicab birim çemberi” denir. Öklid Birim Çember Taksi Birim Çember 4) Pi sayıları farklıdır: Öklidyen geometride pi sayısı yaklaşık olarak 3, 14 tür. Pi sayısı çemberin çevre formülünden, çapın çevre uzunluğuna bölünmesiyle bulunur. Taxicab geometride birim 6 çember ele alınırsa; (0, 0) merkezli 1 yarıçaplı birim çemberin çevresi 8 birimdir. Dolayısıyla, olur. 5) Taxicab geometri, kent coğrafyasında Öklidyen geometriye göre daha yararlı bir geometridir. 4.2. Taksi Düzleminde Üçgenin Alan Formülleri Proje boyunca kullanılacak olan temel gösterimler aşağıdaki gibidir: Taksi düzleminde yer alan bir ABC üçgeni için  A, B   cT ,  d  p  T d T  B, C   aT , d T  A, C  =bT ve a b c T T T T 2 ile gösterilecektir. ÖNERME 4.2.1 (Özcan ve Kaya, 2003) Taksi düzleminde yer alan bir üçgeninin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu durumda, dir. ÖNERME 4.2.2 (Özcan ve Kaya, 2003) Bir üçgeninin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve açısı dar açı olmasın. Bu durumda, köşesinden kenarına inilen dikmenin ayağı ve olmak üzere dir. UYARI 4.2.3 ABC taksi düzleminde bir üçgen olsun. Üçgenin her bir köşesinden koordinat eksenlerine paralel olacak şekilde bir çift doğrunun çizilebileceği açıktır. 7 TANIM 4.2.4 (Özcan ve Kaya, 2003) Taksi düzleminde yer alan bir ABC üçgeni için aşağıdaki koşulların üçünü de sağlayan doğrusuna ”ABC üçgeninin taban doğrusu” adı verilir: 1. 2. 3. bir köşeden geçmektedir. koordinat eksenlerinden birine paraleldir. doğrusu 1. koşulda yer alan köşenin karşı kenarını (doğru parçası olarak) kesmektedir. ABC üçgeninin en az bir köşesinden daima bir veya iki taban doğrusu geçtiği açıktır. Böyle bir köşeye “taban köşesi” denir. Bir taban doğru parçasının taban köşesi ile karşı köşesi arasında kalan parçasına “taban doğru parçası” adı verilir. TEOREM 4.2.5 (Özcan ve Kaya, 2003)      Bir ABC üçgeninde D noktası, taban doğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi dışındaki iki köşeden birinin taban doğrusu üzerinde olup taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, , üçüncü köşenin aynı taban doğrusu üzerinde olan ancak taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, taban doğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere 1 ' Taban köşesinden tek bir taban doğrusu geçiyor ise  2 T ( pT  (T  T )), Alan  ABC     1  ( p  (   '   '' )), Taban köşesinden iki taban doğrusu geçiyor ise, T T T  2 T T dir. 5. TAKSİ DÜZLEMİNDE WEİTZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ Öklid düzleminde Weitzenböck Eşitsizliği’nin ispatı Heron formülüne dayanmaktadır. Taksi düzleminde üçgenin alanını kenarları yardımıyla belirleyen Heron Formülleri, üçgenin kenarlarının eksenlere paralel olup olmamasına veya üçgenin açılarının geniş veya dar açılı olup olmamasına göre değişmektedir. Bu bölümde, tüm durumlar göz önüne alınarak Weitzenböck Eşitsizliği taksi düzlemine taşınmıştır. Öncelikle Öklid düzleminde Weitzenböck Eşitsizliği’ni ifade edip ispatlayalım: 8 TEOREM 5.1 (Öklid Düzleminde Weitzenböck Eşitsizliği) (IMO, 1961) Öklid düzleminde yer alan bir ABC üçgeninde , olmak üzere 4 3Alan  ABC   a 2  b2  c2 eşitsizliği daima sağlanır. İSPAT: Heron Formülünden elde edilir. Diğer taraftan, 4 3Alan  ABC   a 2  b2  c2 olduğu bulunur. a  b  c iken eşitliğin sağlanacağı açıktır. ÖNERME 5.2 Taksi düzleminde yer alan bir üçgeninin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu durumda aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: 2 2 Alan( ABC )  aT2  bT2  cT2 İSPAT , olduğundan , olsun. pT  aT  bT  cT 3 pT  ( xT  yT  zT )  2 2 elde edilir. 9 Önerme 4.2.1’den Alan( ABC )     1 aT ( pT  aT ) 2 1 ( pT  xT )( pT  ( pT  xT )) 2 1 ( pT  xT ) xT 2 1 1 ( yT  zT ) xT = ( xT yT  xT zT )................................. (1) 2 2 dir. ( 1 1 1 1 xT  yT )2  0 ve( xT  zT )2  0 olduğundan xT2  yT2  2 xT yT ve xT2  zT2  2 xT zT 2 2 2 2 dir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa xT2  yT2  zT2  2( xT yT  xT zT )  2 2 Alan(ABC)........................(2) bulunur. O halde Eşitlik (1) ve Eşitsizlik (2)’den, 2 2 Alan( ABC )  2( xT yT  xT zT )  ( xT2  yT2  zT2 )  [( pT  aT ) 2  ( pT  bT ) 2  ( pT  cT ) 2 ]  (3 pT2  2 pT (aT  bT  cT )  aT2  bT2  cT2 )  (3 pT2  2 pT 2 pT  aT2  bT2  cT2 )   (aT  bT  cT ) 2   aT2  bT2  cT2   4   ....................(3)  3(a 2  b 2  c 2 )  2(aT bT  bT cT  aT cT )    T T T  4   elde edilir. Diğer taraftan, (aT  bT  cT ) 2  0  aT2  bT2  cT2  2(aT bT  bT cT  aT cT )  0  aT2  bT2  cT2  2  aT bT  bT cT  aT cT   3( aT2  bT2  cT2 )  aT2  bT2  cT2  3( aT2  bT2  cT2 )  2  aT bT  bT cT  aT cT   4( aT2  bT2  cT2 )  3( aT2  bT2  cT2 )  2(aT bT  bT cT  aT cT )...............................(4) olduğundan (3) ve (4) numaralı eşitsizlikler göz önünde bulundurulursa 2 2 Alan( ABC )  aT2  bT2  cT2 .............(5) 10 olduğu bulunur. ÖNERME 5.3 Taksi düzleminde yer alan bir üçgeninin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve açısı dar açı olmasın. Bu durumda, köşesinden kenarına inilen dikmenin ayağı ve olmak üzere aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: 2 2 Alan( ABC )  2aT' aT  (aT2  bT2  cT2 ) İSPAT A bT cT aT' B aT Alan( ABC )  Önerme 4.2.2’den      dir. Eşitsizlik (5) ve (6) dan C aT 1 aT ( pT  aT  aT' ) 2 1 ( pT  xT )( xT  aT' ) 2 1 ( yT  zT )( xT  aT' ) 2 1 ( xT yT  xT zT  aT' ( yT  zT )) 2 1 ( xT yT  xT zT  aT' ( pT  xT )) 2 1 ( xT yT  xT zT  aT' aT )........................................ (6) 2 2 2 Alan( ABC )  2( xT yT  xT zT )  2aT' ( yT  zT )  aT2  bT2  cT2  2aT' aT olarak bulunur. TEOREM 5.4   Taksi düzleminde yer alan bir ABC üçgeninde D noktası, taban doğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi dışındaki iki köşeden birinin taban doğru üzerinde olup taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, 11    , üçüncü köşenin aynı taban doğrusu üzerinde olan ancak taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, taban doğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere 1) Taban köşesinden geçen tek bir taban doğrusu var ise 2 2 Alan( ABC )  2T2  aT2  bT2  cT2  2T T' dir. 2) Taban köşesinden geçen iki taban doğrusu var ise 2 2 Alan( ABC )  2T2  aT2  bT2  cT2  2T (T''  T' ) dir. İSPAT 1) Taban köşesinden geçen tek bir taban doğrusu olsun. Bu durumda Önerme 5.2 ve Önerme 5.3‘den A bT cT'  H ' T A1 T D . cT'' C A2 aT B 2 2 Alan( ADC )  2 2 A1  T2  bT2  cT' 2 ve 2 2 Alan( DBC )  2 2 A2  T2  aT2  cT'' 2  2T T' dir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa, 2 2 Alan( ABC )  2 2( A1  A2 )  T2  bT2  cT' 2  T2  aT2  cT'' 2  2T T'  2T2  aT2  bT2  cT' 2  cT'' 2  2T T' elde edilir. Eşitsizliğin sol tarafına 2cT' cT '' aşağıdaki gibi eklenerek ifade büyütülürse 12 2 2 Alan( ABC )  2 2( A1  A2 )  2T2  aT2  bT2  cT' 2  cT'' 2  2cT' cT'' )  2T T' ( cT'  cT'' )2  2T2  aT2  bT2  cT2  2T T' bulunur. 2) Taban köşesinden geçen iki taban doğrusu var ise A cT'  T' H bT T D  T'' H’ C cT'' aT B Önerme 5.3’den 2 2 A 1  2 2 Alan( ADC )   T2  bT2  cT' 2  2 T''  T ve 2 2 A2  2 2 Alan(CDB)   T2  aT2  cT'' 2  2 T'  T dir. Buradan 2 2 ( A  A )  2  a  b  c  c  2 (   ) 1 2 2 2 2 ' 2 '' 2 T T T T T T '' ' T T dir. Eşitsizliğin sol tarafına 2cT cT değerleri aşağıdaki gibi eklenerek eşitsizlik büyütülürse ' '' 2 2 Alan( ABC )  2 2( A1  A2 )  2T2  aT2  bT2  cT' 2  cT'' 2  2cT' cT'' )  2T (T''  T' ) ( cT'  cT'' )2  2T2  aT2  bT2  cT2  2T (T''  T' ) bulunur. 13 SONUÇ En genel durumda, taksi düzleminde yer alan bir üçgenin alanını üçgenin kenarları yardımıyla üstten sınırlayan aşağıdaki eşitsizlik elde edilmiştir: Taksi düzleminde yer alan bir ABC üçgeninde      D noktası, taban doğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi dışındaki iki köşeden birinin taban doğru üzerinde olup taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, , üçüncü köşenin aynı taban doğrusu üzerinde olan ancak taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, taban doğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere 2 2 Alan( ABC )  2T2  aT2  bT2  cT2  2T (T''  T' ) dir. TEŞEKKÜR Bu çalışma boyunca beni teşvik eden danışman öğretmenim Özel Ege Lisesi, Bilim Kurulu Eş Başkanı Dr. Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ’e ve hiç bir zaman benden desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim. KAYNAKLAR Bayar, A., Ekmekçi, S., Özcan, M., 2009, On trigonometric functions and cosine and sine rules in taxicab plane, International Electronic Journal of Geometry, Volume 2 No. 1, 17-24. Çaputcu, H., 2011, Maksimum Metriği Geometrisinde Bazı Öklid Problemlerinin Benzerleri, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. Çolakoğlu, B. H., Kaya, R., 2008, Taxicab versions of the Pythagorean theorem, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol. 12, No. 9, 535-539. Kaya, R., 2006, Area formula for taxicab triangles, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol. 12, 4, 219-220. Kaya, R. Çolakoğlu, B. H., 2006, Taxicab versions of some Euclidean theorems, Int. Jour. of Pure and Appl. Math., 26(1), (2006), 69-81. Krause, E.F., 1975, Taxicab geometry, Addison - Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 88p. 14 Özcan, M., Kaya, R., 2002, On the ratio of directed lengths in the Taxicab plane and related properties, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 14, 2, 107-117. Özcan, M., Kaya, R., 2003, Area of a triangle in terms of the Taxicab distance, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 15, 3, 178-185. Yavuz, D., 2006, Analitik geometri ve Taxicab geometri üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. 15