fgmüheko4_6 - Yrd. Doç Dr. Ferhat Güngör

01.04.2014
Mühendislik
Ekonomisi
3.PARANIN ZAMAN DEĞERİ
2



PARANıN ZAMAN DEĞERİ
4. Hafta

Üretim araçlarının satın alınması, imâl edilmesi,
kiralanması gibi ekonomik seçeneklerin bulunduğu
durumlarda, seçenekler arasından ekonomik olanına
karar vermek, para ile ifade edilen eldeki sınırlı
kaynakların hesaplanması ile mümkün olabilmektedir.
Bu hesaplamalar, çeşitli çözüm yöntemleriyle bir karar
süreci içinde yapılır.
Seçeneklerin belirlenmesinde kullanılan değerleme
birimi paradır.
Üretim araçlarının ekonomik ömrü yada gerekli olan
kredinin geri ödenme süresi, yatırımın geri
kazanımları, hesaplamalara zaman boyutunu da dahil
etmemizi gerektirir.
Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör
3.1Tanımlar
3.2.Tanımlar
3
4
 Faiz: Paranın
(fonun) kullanımı için ödenen bir kira
veya pay şeklinde tanımlanır.
 Faiz Oranı: Fonların kullanımı için ödenen faizin,
kullanılan fon miktarına oranıdır. Örneğin: Bankaya
yatırılan 1 aylık fon 100 TL, bu dönemde 5 TL faiz
getirdi ise, faiz oranı şu şekilde hesaplanır.
Faiz oranı =
=
 Efektif faiz oranı:
= 0,05 yada %5 denir.
Fonların fiili kullanım
sürelerinde uygulanan faiz oranıdır. (Bir gecelikover night- faiz, aylık faiz vb)
 Nominal faiz oranı:
Fonların kullanımı için yıllık
olarak uygulanan faiz oranıdır.
 Düzgün seri (Anuite) : Belli bir dönem üzerinden,
eşit aralık ve sabit tutardaki ödemelerin oluşturduğu
seriye anuite denir. Örneğin 30-60-90-120 gün gibi
30 gün eşit aralıklı 1 000 TL sabit ödemeli seri de,
Sabit ödeme A ile gösterilir. Taksit gibi…
 Sabit artan ve azalan nakit akışları serisi: Her
dönem karşılanan gelir yada giderlerde, sabit artan
ve azalan nakit akışları serisi mevcut ise bu seriye
denir. Artan yada azalan sabit tutar G ile gösterilir.
1
01.04.2014
Örnek .3.1
3.3. Basit Faiz
5
6
Fonun dönem başı değeri = P, periyot (süre) = n, faiz
oranı = i, Faiz tutarı = I ise;
I = P. n . i
…………........................... (Formül 3.1)
 Fonun gelecek (dönem sonu) değeri = F ise;
F = P + I yada F = P (1 + i . n) ………..(Formül 3.2)
%25 yıllık basit faizle bir firmaya verilen
10 000 TL, 5.yıl sonunda tek defada geri ödenirse
alınacak faiz tutarı ve Fonun dönem sonu değerini
hesaplayınız?
Formül 3.1’den;
I = P. n . i = 10 000 * 5 * 0,25 = 12 500 TL. faiz
alınır.
Formül 3.2’den,
F = P + I = 10 000 + 12 500 = 22 500 TL faiz ve ana
para, dönem sonu değeri olarak geri alınır.
3.4. Bileşik faiz
Örnek 3.2

Ticari hayatta pek kullanılmayan, faize faiz
uygulanmayan fon tutarının hesaplanmasında kullanılır.


7
5.yıl sonundaki fark ise 30 517,57 – 22 500 =
8 017,57TL olduğu grafikten de görülmektedir.
8

Fonlar, belirlenen faiz oranı döneminden daha uzun bir dönem ana
para ve faiz alınmadan bekletiliyor ve faize faiz uygulanıp tek
ödemede gerçekleşiyorsa, bileşik faiz uygulanır. Aşağıdaki tabloda
durumu formüle edecek olursak.


Tablo 3.1. Bileşik faizin formüle edilişi

Dönem
=n
1.yıl
2.yıl
3.yıl
4.yıl
5.yıl
Dönem başı
Değeri=P
P
P(1+i)
P(1+i)2
P(1+i)3
P(1+i)4
Faiz tutarı=
I
P.i
P.i (1+i)
P.i(1+i)2
P.i(1+i)3
P.i(1+i)4
Fonun dönem sonu değeri =
F
P+Pi = P(1+i)
P(1+i) + P.i(1+i) = P(1+i)2
P(1+i)2 + P.i(1+i)2 = P(1+i)3
P(1+i)3 + P.i(1+i)3 = P(1+i)4
P(1+i)4 + P.i(1+i)4 = P(1+i)5
Ana para P=10 000 TL, faiz oranı yıllık i= %25, periyot n=5 yıl ise
yani dönem başı ödediğimiz 10 000 TL’lik fonun 5. Yıl sonunda tek
ödemede geri dönmesinde faiz + ana parasının eriştiği değer nedir?
Formül 3.3’ten

F = P(1+i)n = 10 000 (1+0,25)5 = 10 000 (1,25)5
F = 10 000 (3,051757) = 30 517,57 TL olduğu görülür.

Tablo 3.2. Aynı verilerle basit ve bileşik faizin karşılaştırılması
Buradan, Tek ödemeli bileşik faiz formülü;
F = P(1+i)n
................................. (Formül 3.3)
2
01.04.2014
3.4.1.Tek ödemeli Bileşik faiz faktörü
NOT: Faiz tabloları kullanımı
Belirlenen dönemden uzun ve tek ödemeli bir plan söz konusudur
9
10





ÖRNEK: Firma açık depo olarak kullanmayı düşündüğü bir arsayı
200 000 TL’ ye almayı planlamaktadır. Bir bankadan alacağı
200 000 TL kredinin nominal faizi %20’dir. 3 yıl sonra tek ödemede
borcunu kapatabilmesi için ödenecek Fonun (kredinin) gelecek
(dönem sonu) değeri (faiz+anapara) ne olur?

Hesaplama kolaylığı bakımından bileşik faiz tablolarından
yararlanılır. Bunun için (F/P,i,n) yada ( F/P, %20, 3yıl) = 1,7280
bulunur.

Tablodan yararlanmak için önce faiz oranına ait tablo seçilir i=%20,
Aranan F, verilen P ise; F/P sütunundan n.ci satır yani n=3 için 3.
satırdaki 1,7280 değeri alınır ve verilen P değeri ile çarpılarak
aranan F değeri bulunur.
Çözüm
F =P(1+i)n=200 000(1,20)3
F = 200 000 (1,7280)
F = 345 600 TL olur
3.4.2 Tek ödemeli bugünkü değer faktörü
11
Örnek 3.4.2.
12


5 yıl sonra ekonomik ömrü dolacak bir makinenin
yerine $ 200 000 tutarında otomatik bir makine
almayı düşünen firma, finans kurumuna %15 nominal
faiz ile makineyi almak için bugün ne kadar bir fon
ayırıp yatırmalıdır?
Eğer fonun dönem sonu değeri F belli, fakat
yatırılması gereken ana paranın dönem başı P
değerinin tutarı soruluyor ise formül 3.4 kullanılır.
3
01.04.2014
Örnek 3.4.2.1.
3.4.2.1.Faiz oranının hesaplanması
13
14

Örnek 3.4.2.2.
3.4.2.2. Periyodun (sürenin) bulunması
15
Bugün bir finans kuruluşundan $ 100 568
çekilen hesap için, firma 5 yıl önce $ 50 000’ı
yatırmıştır. Uygulanan nominal faiz oranı nedir?
16

Bileşik faiz sisteminde Fonun dönem sonu
(gelecek) değeri (F ), ödenen dönem başı ana
para (P ) ve faiz oranı (i ) bilinmesine rağmen,
periyot (n ) istenebilir. Bunun için yine bileşik faiz
formülü olan formül 3.3’ten yararlanırız.


506 250 000 TL olan bir fabrika binası, finans
kurumundan satın alınabilmesi için firmanın, finans
kurumuna %50 nominal faiz ile bugün 100 000 000 TL
yatırıp, bu fonun fabrika binasının satın alma değerine
ulaşıncaya kadar beklemesi istenmektedir.
Firma kaç yıl sonra bu fabrika binasını satın alabilir?
4
01.04.2014
Formül çıkarımı
3.4.3 Eşit ödemeli bileşik miktar faktörü
17
18


Eşit sürelerde, sabit tutarlarda ki ödemelerin, aynı faiz
oranıyla oluşturduğu (anuite) serilerde, fonun gelecek değeri
(F) yada serinin dönem başı değeri (P) sorulabilir. Formülü
oluşturmak için diyagramda önce A ödemelerini ve P ile F’nin
yerlerini görelim.
Buna göre formülü oluşturmamızda yine bileşik faiz formülü
kullanılacaktır. Ancak bu kez her bir A ödemesi P gibi kabul
edilecektir.
Örnek 3.4.3.
19
3.4.4. Eşit ödemeli batık fon faktörü
20


Firma Kamyonunu bir nakliye firmasına yıllık 10 000 €
karşılığı 7 yıllığına kiraya vermiş ve yıllık %10 nominal
faizle anlaştığı bir banka hesabına kirayı yatırmasını
istemiştir.
Firmanın sözleşmenin sona erdiği tarihte, bankadaki
biriken kira hesabını tek defada çekeceğine göre
hesaptaki fonun gelecek değeri ne kadar olur?

Hedeflenen bir Fon gelecek değerine
ulaşabilmek için düzgün seride ödenecek
anuite fon tutarlarını hesaplamak için
kullanılacak formül 3.8’in tersi gibi
düşünülür.
5
01.04.2014
Örnek 3.4.4.
21
3.4.5.Düzgün serinin (Anuitelerin) dönem başı değeri
22


Bir firma 6 yıl sonra ekonomik ömrü sona eren bir
makinenin yerine $ 500 000 tutarında yeni
otomatik bir makineyi satın almayı düşünmektedir.
Yıllık %8 faiz oranına göre her yıl ne kadar bir
fonu bankadaki hesaba yatırmalıdır?

Örnek 3.4.5.
23
Düzgün seride yapılan ödemelerin belli faiz oranı
ve periyoduna göre dönem başı P değerleri
hesaplanmak istenebilir. Bunun için Formül 3.3
3.4.6.Anapara geri ödeme faktörü
24


İşgücünden tasarruf sağlayan $ 200 000 değerindeki
bir makinenin satın alınması düşünülüyor.
15 yıl süre ile her yıl 18 000 $/yıl tasarruf söz konusu
olduğuna göre yıllık %8 faiz oranı dikkate alınarak, bu
makine bu fiyata satın alınmalı mıdır?

Düzgün ödeme serilerinde, belli olan
dönembaşı fonun ve anuite tutarlarının
bulunması için yapılan bir hesaplamadır.
Formül 3.10’un tersi gibi düşünülür.
6
01.04.2014
Mühendislik
Ekonomisi
Örnek 3.4.6.
25


30 000 €’a firmaya alınması düşünülen bir otomobilin
%20’si peşin, bakiyesi 20 ay eşit taksitle ödenecektir.
Aylık efektif faiz oranı %1 olduğuna göre aylık
ödemeleri belirleyiniz?
(A) DÜZGÜN SERİ VE (G) SABİT ARTAN VE
AZALAN NAKİT AKıŞLARı SERİSİ HESAPLARI
5. Hafta
3.4.7.Dönem başı, ortası ve sonunda düzgün
serilerin hesabı
27
Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör
Örnek 3.4.7.1.
28


Eğer nakit akımları serisinde, dönemin başlangıcı, ortası ve sonuna
göre düzgün seri olan başka nakit akışları (giriş/çıkış) varsa bu
düzgün (j ) serilerde j-n dönemi için (j<n olmak üzere) A, F ve P
değerlerinin hesaplanması isteniyorsa böyle para hareketlerinde
kullanmamız gereken bir durumdur.
Anuite hesaplarında, P ve F bir periyot önden yada bir periyot
sondan olan zamana göre hesaplanır. Örneğin; 8.ve10.ayı
kapsayan 3 aylık anuite hesabında P için 7.ay, F için 11.nci aya
göre hesaplama yapılır.


Bir firma tam otomasyona geçtikten sonra her yıl eşit olarak 15 000
$/yıl ödemek suretiyle, mevcut işçilerin kıdem tazminatını vermeyi
ve işten çıkarmayı, 7 yılda da çıkarmaları tamamlamayı
planlamaktadır.
5 yıl sonra uygulanmaya başlanacak bu plan ile bir finans
kurumuyla yıllık %15 nominal faiz ile anlaşan ve 5 yıl sonra her yıl
15 000 $/yıl işçilere kıdem tazminatının ödenebilmesi için, firma
başlangıç yılı yani dönem başında finans kurumuna ne kadar bir
para yatırmalıdır.
7
01.04.2014
Örnek 3.4.7.2.
Çözüm 3.4.7.1
30
29

Çözümü iki aşamalı olarak düşünmeliyiz, birinci aşamada son 7 yıllık
dönemde düzgün serinin oluşturduğu dönembaşı (PA5) değeri, daha
sonraki aşamada PA5’i, F5 kabul edip beş yıl ödemesiz döneme ait dönem
başı yani bugün yatırılması gereken tutar olan P hesaplanmalıdır.



Problemin şematik gösterimi
31
Bir firma, CNC işleme merkezi almak için piyasa araştırması
yapmıştır. Teknik özellikleri aynı olan tezgâhlardan ekonomik
olanı için alım kararı verecektir. Satıcı durumunda olan alfa
(α) ve beta (β ) firmalarının aylık %1 efektif faiz oranına göre
teklifleri şu şekildedir;
Alfa firması: Tezgâh bedelini vergiler dâhil 80 000 $ peşin, ay
sonlarında eğitim için 15 000 $/ay olmak üzere ilk 3 ay
teknisyenlere eğitim ve 13. ay başında 2.yıl bakım-parça
garantisi için 25 000 $, 25. ay başında 3.yıl bakım-parça
garantisi için 45 000 $ fiyat teklifinde bulunmuştur.
Beta firması: Tezgah bedeli ile, 3 yıllık bakım ve parça
garantisi olarak vergiler dahil 50 000 $ peşin, 18.ay sonu
60 000 $ ile 36.ay sonu 60 000 $, teknisyenlere eğitimi ise
satıştan sonraki 6.,7. ve 8.nci ay başlarında, aylık 12 000
$/ay olarak ödeme yapmasını teklif etmiştir.
Çözüm 3.4.7.2.
32
Önce her firma teklifinin nakit akışına göre dönembaşı ödeme değerleri hesaplanır
1.aşamada; Alfa firması dönembaşı değer analizinde, önce düzgün seri hesaplanır;

8
01.04.2014
Çözüm 3.4.7.2. (devam1)
33
Çözüm 3.4.7.2. (devam2)
34
3.5. Sabit artan ve azalan nakit akışları (gradient)
serisinde(G), Dönem başı (P), Dönem sonu (F), düzgün seri
(A) değerlerinin bulunması
35
3.5.1
G verildiğinde, P’nin bulunması
36



Her dönem karşılanan gider yada gelirlerde, sabit artan ve azalan nakit
akışları seri olarak mevcut ise bu seriye “ sabit artan ve azalan nakit
akışları serisi (G)” denir.
Her dönem G kadar artan ve azalan seri olma özelliği taşımalıdır.
Örneğin bu yıl 1 000 TL olan bir makinenin bakım gideri, 2.nci yıl 2 000TL,
3.ncü yıl 3 000 TL ... olmak üzere her yıl G= 1 000 TL artan bir seri yada
benzer azalan bir seri oluşturuyorsa kullanılacak bir hesaplamadır.

Bu durumlarda kullanmamız gereken formül şu
şekildedir.

Örnek 3.5.1. Yeni alınan 5 adet bilgisayarın servis
sözleşmesinde ilk yıl sonunda tamir ve bakım gideri
5 000 $’dır. Bu tutar her yıl 1 000 $ arttırılarak 5 yıllık
sözleşme imzalanmıştır. Bu parayı firma buraya
ödememiş olsaydı bankada yıllık %20 faiz oranı ile
değerlendirecekti. Sözleşmedeki nakit akışının
dönembaşı değeri nedir?
9
01.04.2014
Çözüm 3.5.1
37
3.5.2.
G verildiğinde, F’nin bulunması
38

Burada iki seri vardır. Birincisi her yıl ödenen 5 000 $ bu düzgün seridir ve
5 yıl süresince ödenir. İkinci seri ise ikinci yıldan başlayıp her yıl 1 000 $ artış
gösteren giderlerdir. Birincisi A ile, ikincisi ise G ile gösterilir. Her ikisinde de
bugünkü değer P hesaplanacağına göre; P = PA + PG olmalıdır.

Verilen G serilerinin, dönem sonu (gelecekteki) değeri olan F
istendiğinde kullanılacak formül 3.13’tür, tablodan bulmak için ise
F = G (F/G, %i, n) olarak bulunur.
Örnek 3.5.2
5 yıl teknik ömrü olan ve yeni alınan 5 adet bilgisayarın servis
sözleşmesinde ilk yıl sonunda tamir ve bakım gideri 5 000 $’dır. Bu
tutar her yıl 1 000 $ arttırılarak 5 yıllık sözleşme imzalanmıştır. Bu
parayı firma buraya ödememiş olsaydı bankada yıllık %20 faiz oranı ile
değerlendirecekti. Sözleşmedeki nakit akışının dönem sonu
(gelecekteki) değeri nedir?

3.5.2. Probleminde A ve G değerleri verildiği zaman F değerleri
aşağıdaki formüller yardımıyla kolayca bulunabilir.
Çözüm 3.5.2.
39
40
Örnek 3.5.1. sorusunun gelecek değer hesabı sorulmuş. Bu kez formül 3.13’ü kullanmış olacağız.
i. Bu çözümde daha önceki problemde bulduğumuz P değerinin F değerini hesaplayarak
bulabiliriz;

P = 14 955 + 4 906 = 19 861 $ olarak hesaplanmıştır.

Formül 3.3 kullanılarak F = P (1+i)n hesaplanır veya tablodan (F/P, %20, 5 yıl) = 2,4883

F = 19 861 (2,4883) = 49 420,13 $ olarak hesaplanır.
ii. Önce A serisinin F1 değeri ve sonra G serisinin F2 değeri bulunup, F’ler toplanarak
hesaplanabilir. F = F1 + F2
iii.
10
01.04.2014
Örnek ve çözümü 3.5.3.1.
3.5.3. G verildiği zaman A’nın bulunması
41
42

Aritmetik olarak artan bir nakit akım (G) serisinde,
bunun yerini alan düzgün seri değeri olan (A)
aranabilir. Bu durumda yine Formül 3.14’ten
yararlanılarak formül 3.18 oluşturulur.
Örnek 3.5.3.2
43
Çözüm 3.5.3.2.
44


Talaşlı imalat atölyesinde üretilen bir ürünün
hata maliyeti ilk yıl $12 000’dır. Kalite
iyileştirme çalışmaları sonunda devreye sokulan
bir proje ile her yıl hata maliyetleri $1 200
azalacaktır.
Projenin ömrü 6 yıl ve işletmenin kabul ettiği
fon maliyetinin faiz oranı yıllık %25 ‘tir. Proje
sonunda hata maliyetlerinde kabul edilecek
düzgün seri (A) değeri nedir?
11
01.04.2014
3.6.Nakit akımları geometrik olarak artar yada
azalırsa, bu serinin gelecek değerinin hesaplanması
45
3.6.Nakit akımları geometrik olarak artar yada
azalırsa, bu serinin gelecek değerinin hesaplanması
46

Bazı mühendislik ekonomisine ait problemlerde, nakit
akımları geometrik olarak bir % k oranla artar veya
azalır. Böyle serilerde, F, P, A, G değerleri istenebilir.
Bunun için şu formüller kullanılmalıdır.
iii.
iv.
v.
Örnek 3.6.
47
Çözüm 3.6.
48
Bir firma, geliştirdiği yazılım programıyla müşteri beklemelerini
azaltarak birinci yıl 50 000 TL tasarruf etmiştir. Bu tasarrufun 4
yıl devam edeceği ve tasarruf artış oranının her yıl k= %30
olacağı, İşletme fon maliyetinin yıllık i=% 50 olması durumunda;
a)
Programın gelecekteki değeri (F), dönem başı değeri (P) ve
düzgün seri olarak hesaplanması durumunda (A) değeri
nedir?
b)
Artan bu tasarruf sisteminde, A değerleri dönem (periyot)
başı yatırılıyorsa (F) değeri nedir?
c)
Tasarruf ve işletme fon maliyet oranı birbirine eşit ve %50
ise (F) ne olur?
d)
Tersi bir durumda, tasarruf her yıl %30 azalırsa (F) ne olur
hesaplayınız?
12
01.04.2014
Örnek ve Çözümü 3.7
3.7. Enflasyon ortamında reel (gerçek) faizin bulunması
49
50

Firma geçen yıl fonlarını devlet tahvillerinde
değerlendirmiştir. Devlet tahvillerine uygulanan
yıllık faiz oranı %18, yıllık enflasyon ise %10
açıklandığına göre, fon gelirlerinde ki reel
(gerçek) faiz oranı nedir?
TABLO: Nominal, enflasyon ve reel faizin karşılaştırılması
iN %
10
20
40
50
100
iE %
5
10
30
40
80
iR %
4,76
9,09
7,69
7,14
11,11
Mühendislik
Ekonomisi
3.8.Nominal ve reel faiz oranları ilişkisi(26.03)
52




PARANIN ZAMAN DEĞERİ, FAİZ ÇEŞİTLERİ
ÖRNEK PROBLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ
6. Hafta
Bir yıldan kısa süren projelerde ve bu kısa (günlük, haftalık, aylık, 3’er aylık
vb) dönemlere uygulanan faiz oranı karşımıza iki değişik faiz oranını çıkarır.
Reel faiz (iR) ve nominal faiz (iN), bir yıl içinde elde edilen bu faiz gelirini
sağlayan orana reel faiz, reel faize temel teşkil eden ve görünürde yer alan
faiz oranına da nominal faiz oranı denir.
Nominal faiz yıllık olduğu için daima reel faizden ( iR > iN ) küçüktür.
Reel faiz bileşik faiz olarak düşünülmelidir. Örneğin aldığımız altı aylık bir
tahvilin faiz oranı %35 ise Nominal faiz iN= %35 x 2 = %70 (bir yılda 6 ay

m= =2 ödeme dönemi içerir), aynı işlemi bileşik faiz olarak hesaplarsak

iR = %82,25 olacaktır. %82,25 > %70 olduğu görülür. Eğer faiz ödeme
dönemi (m) ile gösterilirse, nominal ve reel faiz oranları arasında şu eşitlik
yazılabilir;
Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör
13
01.04.2014
Tahvil hesabı Örneği 3.8.1
53
Çözüm 3.8.1
54
Bir otomobil fabrikası, yeni binasının inşa
projesi için yıllık %24 faizli ve her 3 ayda bir
faiz ödemeli olarak 3 yıl için belli miktarda
tahvil ihraç etmiştir.
a.
b.
c.
Şirketin bu tahvillere ödediği 1 yıllık gerçek reel
faiz oranı nedir?
Eğer %24 devamlı bileşik faiz olsaydı (yıl sonu
ödemeli) 1 yıllık reel faiz ne olacaktı?
Bu tahvillerin reel faizi verilirse, yıllık nominal
faiz oranı nedir?
Faiz hesabı Örneği 3.8.2
55
3.8.a.Faiz çeşitleri ile ilgili örnekler
56
Otomobil yedek parçası üreten bir firma, aylık %2
vade farkıyla ürünlerini fabrikaya satacaktır.
i.
Yıllık uygulanan vade farkı ne kadar olacaktır?
ii.
4 aylık vade farkı ne olur?
Çözüm 3.8.2




Örnek 3.8.3: Bir Banka kredi kartları için aylık
%4,25 faiz uygulamaktadır. Bu faizin yıllık
nominal ve reel faizi nedir?
Çözüm 3.8.3:
Nominal faiz İN=İmxm = 0,0425x12=%51’dir
Reel faizi İR=(1+İM)M-1=(1+0,0425)12-1=%64,78
14
01.04.2014
Örnek 3.8.4
Faiz uygulamaları örnekleri
57
58

Bir bankanın uygulamış olduğu yıllık %24
faizin aylık nominal ve reel faizi nedir?

tutarında %28 faizli,10 yıl vadeli yatırım kredisi için banka
yıllık, 6 aylık (m=2), 3 aylık (m=4), aylık (m=12), haftalık
(m=52), günlük (m=365) ve devamlı bileşik faiz uygularsa
şirketin borçları ne olur?
Çözüm 3.8.4:



Aylık Nominal faiz İNay= =
,

=%2 ‘dir.
Aylık Reel faiz İR= 1 + − 1 =
= 0,018088 = %1,81’dir.
Örnek 3.8.5: Bir firma bankadan almış olduğu 200 000 TL
1 + 0,24 − 1
Çözüm 3.8.5:
Fyıl=P(1+i)n = 200000(1,28)10 =200000*11,80592= 2 361 184 TL
F6ay=P(1+ )
F3ay=P(1+ )
Çözüm 3.8.5: (Devam)
=200000(1+
= 200000(1+
,
)2
,
10 =200000*13,74349= 2
748 698TL
)4 10=200000*14,97446= 2
994 892TL
Kırık faiz hesabı
59
60
Fay=P(1+ )
Fhafta=P(1+ )
Fgün=P(1+ )


= 200000(1+
,
)12
,
= 200000(1+
= 200000(1+
,
10=200000*15,92409=3 184 817
)52
)365
TL
10=200000*16,32159=3 264 317
10 =200000*16,427= 3

Örnek 3.8.6: Nakit darlığı yaşayan firma, bir
bankadan 90 gün vadeli %32 faizli 80 000 TL’
lik işletme kredisi almıştır. Vade sonunda
ödeyeceği borç tutarı nedir?
Çözüm 3.8.6:

F=P(1+i ) = 80000(1+0,32

TL
285 401 TL
) = 86 400 TL
F=P ebn = 200000.e 0,28x10 = 200000*2,718282,8 = 200000*16,44462
= 3 288 923 TL sürekli (devamlı) bileşik faiz olarak hesaplanır
15
01.04.2014
Kırık faiz Örneği 3.8.7:
61
Tahvil fiyatı örneği 3.8.8:
62

Bir firma 150 günlük %38 faizle bankadan
kredi alarak 86 875 TL ödeyerek borcunu
kapamıştır. Aldığı kredi tutarı nedir?
Çözüm 3.8.7:

P=

(
)
=
(
,
)
=
,

1000 TL nominal değerli 270 gün vadeli %16
faizli devlet tahvillerinden 2.nci pazardan
almak isteyen firma, Tahvillerin vadesine 150
gün kaldığını öğrenmiştir. Bu tahvilleri kaç lira
ve altında almalıdır?
Çözüm 3.8.8:

P=

= 75 000 TL
almıştır.
) /
=
(
,
)
/
=
,
=920,85 TL
ve altında bir fiyata almalıdır.
Enflasyon ve faiz örneği 3.8.9
63
(
Gelir ve enflasyon örneği 3.8.10:
64



Ülkede enflasyon %9,8’dir, firma %10 reel faiz
kazanmak istemektedir. Elindeki parayı hangi
oranda getiri sağlansın ki reel olarak %10 gelir
elde etsin?
Çözüm 3.8.9:
i=(1+iR)(1+iE)-1 = (1+0,10)(1+0,098)-1 =
1,2078-1= %20,78 getiri sağlayan seçeneğe
yatırmalıdır.
Firmanın geçen yıl gelirleri % 34 artmıştır. O
yılın enflasyon oranı % 9,8 olarak
açıklandığına göre firmanın reel getiri oranı
nedir?
 Çözüm 3.8.10:
i=(1+iR)(1+iE)-1 ⇒ 0,34 = (1+iR )(1+0,098)-1 =

,
,
= (1+iR ) ⇒ iR = 1,220401-1= %22,04’tür.
16
01.04.2014
Döviz-TL tercihi örneği 3.8.11:
65
Döviz-TL kredi seçim örneği
66




Bankalarda yıllık TL faiz oranları %32 ve döviz
faiz oranları %6,5’tur. Ortalama döviz
fiyatlarında %15’lik bir yükseliş beklenmektedir.
Hangi para cinsi ile firmanın kredi kullanması
uygundur?
Çözüm 3.8.11:
i=(1+iD)(1+iE)-1 = (1+0,065)(1+0,15)-1 = %22,48
%22,48<%32 olduğundan TL kredi faizi pahalıdır, o
yıl için döviz kredisi kullanılması tavsiye edilir.




,
,
= (1+iE) ⇒
iE= %23,94 ≈ %24 yükselirse
durumu eşitler.
3.9.Geometrik Artımlı-Azalımlı
Serilerde Dönem başı değerinin hesabı
Enflasyon-Döviz hesabı
67
Örnek 3.8.12: Döviz faiz oranları %6,5 , TL kredi
faiz oranları ise %32 olduğu bilinmektedir. Döviz
fiyatlarında ne kadarlık bir yükselme, iki tercih
arasında kararsız kalınmasına neden olur?
Çözüm 3.8.12:
i=(1+iD)(1+iE)-1 ⇒ 0,32=(1+0,065)(1+iE)-1 ⇒
68




Örnek 3.8.13: Enflasyon oranının %11 ve
döviz faiz oranlarının %6,5 olması durumunda
hangi faiz oranına kadar TL cinsinden kredi
almak istersiniz?
Çözüm 3.8.13:
i=(1+iD)(1+iE)-1 ⇒ i= (1,065)(1,11)-1 = %18,22
%18,22 oranına kadar TL ile borçlanılır. Bunun
üzerinde Döviz ile borçlanmak doğru olur.
≠ ⇒
=
(
) (
)
N=n
= ⇒ =
17
01.04.2014
Peşin alım Örneği 3.9.1
69
Çözüm 3.9.1
70


Bir Çin firmasının satış mümessili, yıl
sonlarında bir kez uçakla Çin’e gidip,
gelmektedir. Uçak biletlerinin önümüzdeki 4
yıl boyunca her yıl %8 oranında artması
beklenmektedir.
Birinci yılın sonunda ortalama uçak bileti
fiyatı 1800 TL’dir. Satış mümessili,
önümüzdeki 4 yıl boyunca her yıl sonunda
yapacağı seyahatin masrafını
karşılayabilmesi için bugün bankaya ne
kadar bir fon yatırması gerekir? (i = %6)

Geometrik artım formülünü
kullanmadan çözüm 3.9.2 (Sağlama)
71
≠ ⇒
=
(
) (
)
( , ) ( ,
,
,
)
= ⇒ =

= 1800

= 1800*3,881734 =6 987,12 TL
=1800
,
,
Tasarruf Örneği 3.9.3
72








Yıl
Bilet fiyatı (TL)
1 P1 =
= 1800
2 P2 = 1800+ 8%(1800)
= 1944
3 P3 = 1944 + 8% (1944)
= 2099,52
4 P4 = 2099,5 + 8% (2099,5)
= 2267,48
-1
-2
ΣP = 1800(1.06) + 1944(1.06) + 2099,52(1.06)-3 +
2267,48(1.06)-4
ΣP = 1698,11+ 1730,15+ 1762,80+ 1796,06
=6987,12 TL


Yeni mezun mühendis yıllık 36,000 TL maaş
ile işe başlayacaktır. Mühendis her yıl
maaşının %10’unu emeklilik hesabına
yatırmak istemektedir.
Önümüzdeki 35 yıllık iş hayatı boyunca her yıl
%6 oranında ortalama maaş artışı beklediğine
göre bankanın nominal faiz oranının %8
olduğu durumda mühendis emekli olduğunda
hesabında ne kadar para biriktirir?
18
01.04.2014
Tasarruf Örneği 3.9.4
Çözüm 3.9.3
74
73

Formül 3,19’dan yararlanılır

A= 36 000 TLx%10 = 3 600 TL
i=%8 k=%6 n=35 yıl





F= 1 277 866 TL
Çözüm 3.9.4
BES’e (Bireysel Emeklilik Sigortası) girmek
isteyen birinin hedefi 25 yılın sonunda hesapta
750,000 TL para olmasıdır. Bir Sigorta Şirketi
25 yıl boyunca % 8 yıllık faiz oranı ile
sigortalanmasını teklif etmektedir.
Para yatırma işlemi birinci yılın sonunda
başlayacak ve her yıl yatırılan para miktarı % 5
oranında artırılacaktır.
İlk yılda yatırılan para ne olmalıdır?
Tasarruf Örneği 3.9.5
75
76
F = 750,000 TL
A=?
n = 25 yıl
≠ ç =
F = P (1+i)n
F=
(
) (
)
i = %8
1 − (1 + ) 1 +
−
k = %5


olduğuna göre

Günde 10 TL lik sigara içen bir kimse, sigara fiyatlarının yıllık
%20 arttığı varsayımıyla nominal faizin %8 olduğu bir dönemde
kaç yıl sonra 150 000 TL. lık bir köy evi alabilir?
Çözüm 3.9.5
n: gün sayısı, i: günlük faiz (0,08/360=0,000222) k=günlük fiyat
artış oranı (0,2/360=0,000555)
. (1+i)n olur, buradan;
Formül 3.19’dan
750 000= A* 115,40
A= 6 498,91 TL/yıl
( ,
)
,
( ,
)

149990=

Log(49,9967)=n.log(1,000555)-n.log(1,000222)
⇒ 49,9967=(1,000555) -(1,000222)

1,69894 = n. (0,0002412-0,0000965) ⇒

391,3 ay = 32,6 yıl sonra alabilir.
=
,
,
= 11740,43 gün
19
01.04.2014
Rapor için Örnek 3.9.6:
Çözüm 3.9.6:
77
78


Firmada, uygulanması düşünülen su, elektrik ve
cep telefonu kullanımı ile ilgili tasarruf planı
hazırlayan teknik işler sorumlusu mühendis; 10
kişinin telefonundan toplam günde 30 TL tasarrufa
gidileceğini saptamıştır.
Telefon konuşma ücretlerinin yıllık ortalama %6
arttığı ve banka nominal faiz oranlarının ortalama
%9 olduğu 10 yıllık dönem sonunda, sadece cep
telefonu tasarrufundan firmanın kazancının ne
olacağını raporuna yazmak için hesaplama
yapacaktır. Sonuç kısmına Telefon tasarrufu için
ne yazmalıdır?
Formül 3.19’dan; k=%6 i=%9 n=10 yıl
A=30TL/gün*25 gün/ay*12 ay/yıl =9 000 TL/yıl

Banka taksiti Örneği 3.9.7
79
Rapora yazması gereken günlük 30 TL’den 10 yıllık
cep telefonu tasarruf tutarı F= 172 954,8 TL/yıl
Gider azaltma Örneği 3.9.8:
80

Firma, yatırım için bankadan 150 000TL
alarak, 4 yılda aylık taksitler halinde
ödeyecektir. Yıllık faiz oranı %28 olduğuna
göre, aylık taksitlerin tutarı ne olur?
Çözüm 3.9.7:

İR= 1 + − 1 ⇒ İay=

A =P

150000*0,03312 = 4968 TL/ay

.(
(
)
)
1 + 0,28 − 1 = %2,08
= 150 000
,
.( ,
( ,
)
)


Firmanın genel giderleri yıllık 600 000 TL’dir
ve her yıl %6 oranında azaltılacaktır. Firmanın
sermaye maliyeti yıllık ortalama %22’dir. Bu
giderlerin 5.nci yıldaki erişeceği değer nedir?
Çözüm 3.9.8:
=
20

Download Report