Çizge Algoritmaları
Çizge teorisi
• 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini
çözdü
Königsberg Köprüleri Problemi
C

A
D
B
Çizge örneği
4 öğrenci: A, B, C, D
4 iş: FF, SC, W, BS
FF
SC
W
BS
A
B
C
D
Soru:Tüm
öğrenciler arzu
ettikleri bir işe
girebilirler mi?
Cevap: Hayır
Ch1-4
Çizge tanımı
• G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur.
• Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir
(elemanlarına köşe denir)
E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır
( elemanlarına eğer varsa kiriş denir).
V(G) : G nin köşeler kümesi
E(G) : kirişler kümesi
Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu)
G yönlü ise (digraf denir)
Ch1-5
Örnek
• G=(V,E) olsun
V={u, v, w, x, y, z}
E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}}
E={uv, uw, wx, xy, xz}
v
u
• G diagram
w
z
x
y
Ch1-6
Komşu ve Bağlı
• u, v : G nin köşeleri
e
u
v
• u ve v köşeleri G de komşudur eğer if uv
 E(G) ise
( u v ye ve v u ya komşudur)
• e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile
baülıdır, e v ile bağlıdır)
Ch1-7
Çizge çeşitleri
döngü
Katlı kiriş, parallel kiriş
• Yönsüz çizge:
• (basit) çizge: döngü (), katlı kiriş ()
• Katlı çizge:
döngü (), katlı kiriş ()
• Pseudograph: döngü (), katlı kiriş ()
• Yönlü çizge:
• Yönlü çizge:
döngü (), katlı kiriş ()
• Yönlü katlı çizge : döngü (), katlı kiriş ()
döngü
Katlı kiriş değil
Katlı kiriş
Ch1-8
Mertebe(order) ve boyut(size)
• G çizgesinin köşe sayısına çizgenin
•
•
mertebesi denir (|V(G)| ile gösterilir).
Kirişlerin sayısına boyut
(|E(G)| ile gösterilir ).
Önerme 1:
 p
Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise q   
2
• Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise
(p, q) çizgesi denir
Ch1-9
Çizgelerin uygulanması
Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar.
Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar.

Tanışlık çizgesi:
Ali
Ahmet
Mehmet
Ayşe
Fatma
Ch1-10
Köşelerin derecesi
Tanım.
G çizgesinin v köşesi için
N(v) = { u  V(G) | v u  E(G) }
kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v
köşesinin derecesi deg(v) = | N(v) | sayısına
denir
u
v
N(u) = {x, w, v}, N(y)={ }
deg(u) = 3, deg(y) =0
y
x
w
Ch1-11
Not
• Eğer |V(G)| = p ise
0  deg(v)  p-1,  v  V(G) dir.
• deg(v) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş
köşe denir.
• v ye tek köşe denir eğer deg(v) tekse.
v ye çift köşe denir eğer deg(v) çiftse.
Ch1-12
El sıkışma teoremi
• Theorem
G bir çizge ise,
 deg( v)  | E(G) | 2
vV ( G )
Örnek
u
2
v
3
 deg( v)  8
vV ( G )
x
| E (G) | 4
w
1
2
Ch1-13
El sıkışma teoremi
Özellik
Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift sayıdır.
ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı,
çizgenin toplam derecesi tek olurdu. 
Ch1-14
Düzgün çizge
Tanım.
G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G
çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r
sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge
denir
Örnek
Not.
1-düzgün veya mertebesi 5
olan 3-düzgün çizge yoktur
(Özellik)
2-düzgün
Ch1-15
Tümleyen
Tanım.
G çizgesinin tümleyeni
eğer
V(G) = V(G) ve
uv E(G) eğer uv  E(G).
u
v
G
G çizgesidir
u
v
w
x
G
w
x
Ch1-16
Derece uygulaması
Soru: n kişi var (n  2)
Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak
alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir
birinden farklıdır. Bu mümkün mü?
( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor)
Ch1-17
Örnek 1
Mertebesi n  2 olan çizgenin
dereceleri bir birine eşit olan en az 2
köşesinin olduğunu gösteriniz.
(ipucu. Önceki sayfadaki problem.)
ispat.
deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde
x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz
Ch1-18
Örnek 2.
G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu
25 tir. Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir.
Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi
vardır?
çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun,
14-x köşenin derecesi 5 olur.
|E(G)| =25  dereceler toplamı=50
3x + 5(14-x) = 50
 x = 10
Ch1-19
Örnek 3.
G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu
10 dur. 6 köşenin derecesi a ve bir
köşenin derecesi b dir. b kaçtır?
sol. 6a + b = 20
(a, b) = (0, 20)
(1, 14)
(2, 8)
(3, 2)
 a=3, b=2.
()
()
()
()
Ch1-20
1.3 Isomorf(denk) çizgeler
G1 v
1
v2
v3
v4
v5
G2
u1
u3
u4
u5
u2
v2
G1 ve G2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra).
Ch1-21
Isomorf (denk çizgeler)
Tanım.
Eğer V(G1) kümesinden V(G2) kümesine öyle
bir 1-1 ve örten  fonksiyonu varsa ve
uv  E(G1) ancak ve ancak  (u)  (v)
 E(G2) koşulu sağlanıyorsa G1 ve G2
çizgeleri izomorfdur denir(G1  G2 ile
gösterilir)
 fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki
sayfada  (vi) = ui her i için
Ch1-22
Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz
çizge denir
Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve
izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge
bulunuz .
Sol.
G1
G2
Üçgen var
Üçgen yok
Ch1-23
Örnek 5
Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin izomorf
olup olmadıklarını araştırınız.
G1
G2
Üçgensiz
Cevap: hayır
Üçgen var
Ch1-24
1.4 Altçizgeler
Tanım.
Eğer V(H)  V(G) ve E(H)  E(G) ise H
çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H  G)
Örnek
v
w
v
w
v
w
u
y
x
G
y
x
HG
y
x
F G
Ch1-25
Üretilmiş Altçizge
Tanım.
S  V(G), S   olsun. G nin köşeleri S olan en
büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge
denir( <S> ile gösterilir)
G
v
w
H
v
w
u
x
y
x
y
H G nin üretilmiş
altçizgesi değil
H ∪{xw}
Ch1-26
Köşelerin silinmesi
Tanım.S  V(G) olsun. G-S = <V(G)-S> olarak
tanımlanır
Eğer S={v} ise G-v yazılır.
G
v
G-S
w
S={x,u} ise 
u
x
y
v
w
u
x
y
Ch1-27
Kiriş üretilmiş alt çizge
Tanım. X  E(G), X   olsun. X den üretilmiş alt
çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir
( <X> ile gösterilir)
G
v
<X>
w
Let X={uv,vw} 
u
x
v
w
u
y
Ch1-28
Tanım.
H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a
örten altçizge denir.
Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı
E(H) = E(G) ∪ {uv, uw} , burada uv,
uwE(G).
Örnek 6
Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu?
u
HayırG
v
w

H
v
w
Ch1-29
Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane
farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır?
Not. Kiriş üretilmiş alt çizge
q
q
cevap. 2 -1 ( X  E(G) X , 2 -1 X )
Ch1-30
Dereceler dizisi
Tanım.
G=(V, E), V={v1, v2, …, vp} olsun.
s: deg(v1), deg(v2), …, deg(vp) dizisine G nin
dereceler dizisi denir
(Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu
durumda s tek olarak belirlenir)
G
3
2
s: 3, 3, 2, 1, 1, 0
1
0
3
minimum derece : d(G)
1
maximum derece : D(G)
Ch1-31
Not

Eğer d1, d2, …, dp bir çizgenin dereceler dizisi ise
0  d i  p-1 i. ve
p
 di çifttir.
i 1

s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisi ve
p
0  d i  p-1 i, ve
 di ise
i 1
s in dereceler dizisi olduğunun kanıtı yoktur.
örnek.
s: 5, 5, 3, 2, 1, 0
( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar)
Daha fazlası, d1 p imkansızdır. )
Ch1-32
Tanım.
Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun.
Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan
bir çizge varsa bu diziye grafşksel dizi denir
Theorem 2 (Havel-Hakimi)
s dizisi: d1, d2, …, dp, burada di N, i. olsun.
t dizisi :
d 2 - 1, d3 - 1,, d d1 1 - 1, d d1  2 , d d1 3 ,, d p
Olsun. s in grafikseldir amcak be ancak t graphieal.
Ch1-33
Proof of Thm 1.2:
(  ) If s1 : d 2 -1, d3 -1,, d d 1 -1, d d 2 , d d 3 ,, d p
is graphical
  graph G1 s.t. s1 is the degree sequence of G1
1
d2-1 d3-1
v2
d1 vertices
dd
v3
…
G1
1
1
-1 dd
1+1
vd +1
1
1+2
vd +2
1
dd
dd
dp
vp
…

G
d2
d3
v2
v3
…
1+1
vd +1
1
1+2
vd +2
1
dp
vp
…
…
v1
 s : d1, d2, …, dp is graphical.
Ch1-34
Proof of Thm 1.2: (continued)
(  ) If s : d1, d2, …, dp is graphical
  graph G s.t. s is the degree sequence of G
with deg(vi) = di for 1  i  p,
and  deg( w) is maximum.
wN ( v1 )
Claim: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G)
i.e.,
G
d1
d2
d3
v1
v2
v3
dd
…
1+1
vd +1
1
dd
1+2
vd +2
1
dp
vp
…
:
:
If the claim is true, then G-v1 is a graph
with degree sequence s1  s1 is graphical.
Ch1-35
Claim: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G)
Proof:
If not, there must be two vertices vj and vk (j < k)
with dj > dk s.t. v1vk  E(G) but v1vj  E(G).
G
v1
vj
vk
vn
Since dj > dk,  vnV(G) s.t. vjvn  E(G), vkvn  E(G).
Let G2 = G - {v1vk, vjvn} + {v1vj, vkvn}
G2 has degree seq s but larger
 deg( w) , 
wN ( v1 )
Ch1-36
Algorithm
s: d1, d2, …, dp sequence of integers
To determine whether s is graphical:
(1) If di=0, i, then s is graphical.
If  di<0 for some i, then s is not graphical.
Otherwise, go to (2).
(2) Reorder s to a nonincreasing sequence
if necessary.
(3) Let s = s1, (s1 Thm 1.2),
return to (1).
Ch1-37
Example 1
s: 4, 4, 3, 3, 2, 2
s 1’ :
3, 2, 2, 1, 2
s 1:
3, 2, 2, 2, 1
s 2:
1, 1, 1, 1
s 3’ :
0, 1, 1
s 3:
1, 1, 0
s 4:
0, 0
 s is graphical
(delete the first 4)
(reorder)
(delete 3)
(delete the first 1)
(reorder)
(delete the first 1)
Ch1-38
Draw the graph
s: 4, 4, 3, 3, 2, 2
s1’:
3, 2, 2, 1, 2
s1:
3, 2, 2, 2, 1
s2:
1, 1, 1, 1
s3’:
0, 1, 1
s3:
1, 1, 0
s4:
0, 0
 s is graphical
G
2
2
4
4
3
3
Ch1-39
Example 2
s: 5, 4, 3, 2, 1, 1
s 1:
3, 2, 1, 0, 0 (delete 5)
s 2:
1, 0, -1, 0 (delete 3)
 s is not graphical
Ch1-40
1.6 Connected graphs
Definition.
A walk in a graph G is an alternating sequence
W: v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (n0)
of vertices and edges, where ei=vi-1vi, i.
(W is also called a v0 -vn walk)
W is said to have length n.
A trail is a walk without repeated edges.
A path is a walk without repeated vertices.
G
v
w
u
x
y
walk: x, w, v, x, w
trail: x, w, v, x, y
path: x, w, v
Ch1-41
Theorem 1.3
Every u-v walk in a graph contains a u-v path.
Definition
(1) A cycle is a walk v0, v1, v2, …, vn-1, vn in
which n3, v0 = vn, and v1, v2, …, vn-1, vn are
distinct. (n-cycle)
(2) A u-v walk is closed if u=v. (closed walk)
(3) A nontrivial closed trail is called a circuit.
Ch1-42
Definition
(1) Let u,vV(G), u is connected to v if  u-v
path.
(2) G is connected if u is connected to v
u,v  V(G), otherwise, G is called
disconnected.
(3) A subgraph H of G is a component of G if
H is a maximal connected subgraph of G.
(4) The number of components of G is
denoted by k(G).
Note. “is connected to” is an equivalence relation
Ch1-43
1.7 Cut Vertices and Bridges
Definition
A vertex v in a graph G is called a cutvertex if k(G - v) > k(G).
So v is a cut-vertex in a connected graph
G if G - v is disconnected.
Ch1-44
e.g.
v1
G:
v2
v3
v4
cut-vertex：
v3, v5
v5
cut-edge：
v5v6
v6
Ch1-45
Definition
An edge e in a graph G is called a
bridge (cut-edge) if k(G - e) > k(G).
e.g. The graph in previous page:
v5v6 is a bridge.
Note.
(1) if v is a cut-vertex of a connected
graph G, then k(G - v)  2
(2)If e is a bridge of a connected graph G,
then k(G - e) =2
Ch1-46
Theorem 1.4
An edge e of a connected graph G is a bridge
iff e does not lie on a cycle of G.
Ch1-47
1.9 Digraphs
Definition:
A digraph (or directed graph) D is a finite,
nonempty set V(D) of vertices and a set
E(D) of ordered pairs of distinct vertices .
The elements of E(D) are called arcs .
e.g.
D:
u
w
v
x
E(D) ={(v,u),(u,w),
(v,w),(x,w),(w,x)}
Ch1-48
Definition:
The underlying graph of a diagraph D:
(Note:
becomes
Definition 3:
u
v
w
)
u is adjacent to v
v is adjacent from u
(u,v) is incident from u and
incident to v .
Ch1-49
Definition 4:
outdegree of v :
od v (textbook) , deg+(v)
v
indegree of v :
id v, deg -(v)
v
Thm 1.7:
Let D be a digraph, then

deg
 (v ) 
vV ( D )
deg
 (v )  | E ( D ) |
vV ( D )
※ Many properties are similar with simple graphs, but
the length of a cycle can be 2.
Ch1-50
Definition:
semiwalk :
e1
W:
e2
v1
e3
e4
v3
…
vn
(ei = (vi-1,vi) or (vi,vi-1) )
Definition:
Two vertices u and v in a digraph D are
connected if D contains a u-v semiwalk.
Ch1-51
Definition:
① A diagraph D is connected if every two
vertices of D are connected . weakly
connected .
② A diagraph is unilaterally connected if for
every two distinct vertices u and v there is a
u-v path or a v-u path .
③ A diagraph is strongly connected if for every
two distinct vertices u and v there is a u-v
path and a v-u path .
Definition:
G is symmetric if 
v
G is asymmetric if 
v
 
 
u
u
Ch1-52
Definition:
multidigraph : allowed
pseudodigraph: allowed
and
Definition:
A digraph D in which
either
v
or
u
 u,v V(D)
(not both)
is called a tournament.
Ch1-53

Download Report