NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA SICAKLIK

NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA
SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ
ÜZERĠNE ETKĠLERĠ
Erhan ESER
Doktora Tezi
Fizik Anabilim Dalı
Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
2010
Her Hakkı Saklıdır
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
DOKTORA TEZĠ
NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA
SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ
ÜZERĠNE ETKĠLERĠ
Erhan ESER
TOKAT
2010
Her hakkı saklıdır
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak
kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel
normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların
baĢka bir yerden alınmadığını,
kullanılan verilerde
herhangi
bir
tahrifat
yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki
baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
Erhan ESER
ÖZET
Doktora Tezi
NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA
SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ ÜZERĠNE
ETKĠLERĠ
Erhan ESER
GaziosmanpaĢa Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Nükleer Gama Rezonans olayı (Mössbauer olayı) ile ilgili geri tepme ihtimali ve
Debye–Waller faktörünün hesaplanması kristal yapının ve X-ıĢını kırınım çizgilerinin
yoğunluğunun belirlenebilmesi için oldukça önemlidir. Bu çalıĢmada, tamamlanmamıĢ
gama fonksiyonu ve binomial katsayıları içeren n-boyutlu Debye fonksiyonu
kullanılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için iki farklı analitik formül
elde edilmiĢtir. Bu analitik ifadeler kullanılarak Mathematica 5.0 programlama dilinde
programı yapılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için hesaplama
sonuçları alınmıĢtır. Elde edilen formüllerin geçerliliği ve doğruluğu saf ve katkılı
kristallere uygulanarak test edilmiĢ ve hesaplanan sonuçların literatürdeki benzer
deneysel ve teorik sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüĢtür.
2010, 52 sayfa
Anahtar Kelimeler: Mössbauer Olayı, Debye-Waller Faktörü, Geri Tepme Ġhtimali,
Debye Sıcaklığı, Debye Fonksiyonu
i
ABSTRACT
Mr Thesis
EFFECTS ON DEBYE-WALLER FACTOR OF TEMPERATURE
VARIATION IN NUCLEAR GAMMA RESONANCE EVENT
Erhan ESER
Gaziosmanpasa University Graduate School of
Natural and Applied Science Department of Physics
Science
Supervisor: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
The calculation of the Recoilless Fraction and the Debye–Waller factor (DWF) with
related to the Nuclear Gamma Resonance event is very important for determining the
intensity of X-ray diffraction lines and for crystal-structure determinations. In this
study, it was obtained two different analytical expressions to determine the Recoilles
fraction and Debye–Waller factor using an n- dimensional Debye approximation
involving binomial coefficients and incomplete gamma functions. On the basis of these
analytical expressions a program for the Recoilles fraction and Debye–Waller factor has
been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software. The validity and
reliability of the obtained analytical expressions was tested by applying them to the pure
and impurity crystals, and the calculated results were found to be in agreement with the
experimental and theoretical results.
2010, 52 pages
Keywords: Mössbauer Effect, Debye-Waller Factor, Recoilless Fraction, Debye
Temperature, Debye Function
ii
TEġEKKÜR
Doktora çalıĢmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karĢılaĢtığım
zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalıĢmamın oluĢmasında bilgi ve deneyimlerini
benden esirgemeyen danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU’ na en
içten teĢekkürlerimi sunarım.
KarĢılaĢtığım zorluklarda her zaman bana yol gösteren ve desteğini eksik etmeyen
değerli hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’ na içten teĢekkürlerimi sunarım.
Her zaman bilgilerinden yararlandığım değerli bölüm hocalarıma teĢekkürlerimi
sunarım. Tez çalıĢmamın her aĢamasında bana yardımlarını esirgemeyen değerli
arkadaĢlarım, Öğr. Gör. Hüseyin KOÇ, ArĢ. Gör. SavaĢ SÖNMEZOĞLU, ArĢ. Gör.
Necati BAġMAN, ArĢ. Gör. Fikret YILMAZ, ArĢ. Gör. Utkan ALP, ArĢ. Gör. ġükrü
YILDIZ, Uzman Semra ERGEN, ArĢ. Gör. Asaf Tolga ÜLGEN, Ebru ÇOPUROĞLU’
na teĢekkür ederim.
Hayatım boyunca maddi ve manevi olarak hep yanımda olan canım aileme çok teĢekkür
ederim.
Erhan ESER
Temmuz-2010
iii
ĠÇĠNDEKĠLER
1.
2.
3.
4.
5.
ÖZET
ABSTRACT
TEġEKKÜR
ĠÇĠNDEKĠLER
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
ÇĠZELGELER LĠSTESĠ
KISALTMALAR
GĠRĠġ
GENEL BĠLGĠLER
2.1. Gama IĢınlarının Rezonansla Soğurulması
2.2. Mössbauer Olayı
2.3. Mössbauer Spektrumlarının Elde Edilmesi
2.4. Mössbauer Parametreleri
2.4.1. Geri Tepme Olayı
2.4.2. Doppler Kayması
2.4.3. Ġzomer Kayması
2.4.4. Elektrik Kuadrupol EtkileĢmeleri
2.4.5. Manyetik Dipol EtkileĢmesi
2.4.6. Geri Tepme Ġhtimali ve Debye-Waller Faktörü
2.4.7. Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’ nün Sıcaklığa Bağlılığı
Sayfa No
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
1
3
3
7
13
16
16
17
19
21
22
24
27
MATERYAL ve METOD
3.1. Metot 1
3.2. Metot 2
BULGULAR
29
29
34
36
4.1. Saf Yapıdaki Kristaller için f ve DWF Değerleri
4.2. Katkılı Kristaller için f ve DWF Değerleri
SONUÇ ve TARTIġMA
KAYNAKLAR
EKLER
ÖZGEÇMĠġ
36
40
44
47
51
53
iv
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa No
ġekil 2.1.
UyarılmıĢ durumdan taban durumuna geçiĢ
3
ġekil 2.2.
Gama fotonu yayınlayan çekirdeğin geri tepmesi
4
ġekil 2.3.
191
5
ġekil 2.5.
Ir’ nin 129 keV’lik ıĢınlarının T=300 K’ deki yayınlama ve
soğurma çizgileri
191
76 Os ’nin bozunum Ģeması
Yayınlama ve soğurma çizgileri
10
ġekil 2.6.
Mössbauer spektrumu ölçme tekniği
12
ġekil 2.7.
Mössbauer spektroskopisi için deneysel düzenek
13
ġekil 2.8.
Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi
15
ġekil 2.9.
Bir kaynak ve soğurucudaki izomer kayması ve gözlenen
spektrum
Farklı kaynaklardaki Fe ve Sn’ ye bağlı izomer kayması (mm/s)
19
57
21
ġekil 2.4.
ġekil 2.10.
ġekil 2.11.
ġekil 2.12.
Fe için enerji seviyelerinde ortaya çıkan yeni enerji seviyeleri
ve Mössbauer spektrum çizgileri
a) Manyetik dipol yarılma; b)Yarılmalar sonucu oluĢan
Mössbauer spektrumu
v
7
20
23
ÇĠZELGELER LĠSTESĠ
Sayfa No
Çizelge 3.1.
Mössbauer etkisi gözlenen izotoplar
11
Çizelge 4.1.
Oda sıcaklığında Alüminyum için DWF değerleri
37
Çizelge 4.2.
Yüksek sıcaklıklarda Alüminyum için DWF değerleri
37
Çizelge 4.3.
Oda sıcaklığında Alüminyum için DWF değerleri
38
Çizelge 4.4.
Bakır için sıcaklık faktörü,
39
Çizelge 4.5.
Alüminyum için sıcaklık faktörü,
Çizelge 4.6.
Tungsten ( 183W) için geri tepme ihtimali
Oda sıcaklığında bazı saf yapılı kristaller için geri tepme
ihtimali
57
Fe katkılı Palladyum (Pd) için geri tepme ihtimali
40
Çizelge 4.9.
57
Fe katkılı Platin (Pt) için geri tepme ihtimali
42
Çizelge 4.10.
57
Fe katkılı Bakır için geri tepme ihtimali
Oda sıcaklığında Kalay (119Sn) katkılı metaller için geri tepme
Çizelge 4.11.
ihtimali
Oda sıcaklığında Kobalt (57Co) katkılı Bakır için geri tepme
Çizelge 4.12.
ihtimali
Çizelge 4.13. N=600 için Debye fonksiyonu değerleri
42
Çizelge 4.14. N’ e bağlı olarak Debye fonksiyonu için elde edilen değerler
44
Çizelge 4.7.
Çizelge 4.8.
, değerleri
vi
, değerleri
40
41
41
43
43
44
KISALTMALAR
Debye sıcaklığı
Planck sabiti
Boltzmann sabiti
Frekans
Gama ıĢını
UyarılmıĢ durum enerjisi
Taban durum enerjisi
Geri tepme enerjisi
Gama enerjisi
Beta bozunumu
Çizgi geniĢliği
Elektron volt
ns
Nano saniye
Momentum
Doppler geniĢlemesi
Geri tepme ihtimali
Debye-Waller Faktörü
Dalga boyu
Tesir kesiti
Beklenen değer
Binomial katsayılar
vii
1
1. GĠRĠġ
“Nükleer Gama Rezonansı” olarak bilinen Mössbauer olayı, ilk olarak 1957 yılında
Mössbauer (1957) tarafından keĢfedilmiĢtir. Mössbauer olayı, kristal örgü içindeki bir
çekirdek tarafından enerji kaybı olmaksızın gama fotonu salınması olayı olarak bilinir
(Mössbauer, 1958; Goldstein, 1981; Bancroft, 1973). Bu olay yaklaĢık 50 elementteki
100 nükleer geçiĢ için gözlenmesine rağmen deneysel zorluklar nedeniyle bunların
ancak 20 tanesi kullanılmaktadır. Bu geçiĢlerin hiçbiri mevcut kullanım için uygun
olmasa da, bu teknik nükleer fizik çalıĢmalarına ek olarak katıhal fiziği, kimya, biyoloji,
metalürji gibi pek çok alana da yayılmıĢtır (Pound ve ark., 1959; Sitek ve ark., 1974;
Goldstein, 1981; Bancroft, 1973; May, 1971).
Gama ıĢın yayılımı ve emiliminin geri tepme olmaksızın meydana gelebileceğini
gösteren Mössbauer olayı, ilk zamanlarda sadece ilginç yeni bir olaydan baĢka bir Ģey
olarak görünmüyordu. Fakat kısa zaman içinde Mössbauer; rezonans çizgisinin oldukça
dar olduğunu ve bunun hyperfine saçılmalarının çok basit bir Ģekilde çözülebilmesine
izin verdiğini fark etmiĢtir. Bununla birlikte kullanıĢlı bu yeni metot araĢtırma
faaliyetlerinde bir çığ açtı. Birkaç yıl içinde doğal bilimlerdeki hemen hemen tüm bilim
dallarında Mössbauer spektroskopi uygulamaları büyük bir hızla arttı.
Daha sonraları Gonser (1962) tarafından yapılan çalıĢmalarda Mössbauer olayının
önemi tam olarak açıklanmıĢtır. Bilimsel öğretilerin farklılığında meydana gelen çeĢitli
problemlerin çözümünde Mössbauer spektroskopisinin önemi pek çok çalıĢma da
anlatılmıĢtır (Cohen, 1976; 1980, Gonser, 1975; 1981, Thosar ve ark., 1983; Long,
1984). Yapılan bu çalıĢmalara göre; Mössbauer spektroskopisi, çekirdekteki enerji
düzeyleri arasındaki geçiĢler, uyarılmıĢ seviyelerin enerji geniĢlikleri ve bu seviyelerin
yaĢama zamanları, çekirdek kuadrupol momentleri ve çekirdek manyetik dipol
momentleri gibi çekirdek özellikleri hakkında bilgi vermektedir (Goldstein, 1981; May,
1971). Aynı zamanda; Mössbauer spektroskopisinin çeĢitli sistemlerin bağlanma,
yapısal ve manyetik özelliklerinin belirlenebilmesi için oldukça önemli olduğu
anlaĢılmıĢtır.
2
Yapılan çalıĢmalarla birlikte
158
Eu ,
151
Eu ,
193
Ir ,
187
Re ve
129
I gibi birçok elementte
bu olayın gerçekleĢtiği bulunmuĢtur (Mössbauer, 1961; Jaswal, 1966; De Nercy, 1960;
Jia ve ark., 1994). Ancak, Mössbauer araĢtırmalarının çoğunda radyasyon kaynağı
olarak ilk uyarılmıĢ seviyesinde uygun bir yarı ömür ve enerjiye sahip
57
Fe ve
119
Sn
radyo izotop kaynakları kullanılmaktadır (Gonser, 1975).
Bu çalıĢmada, n-boyutlu Debye fonksiyonu kullanılarak geri tepme ihtimali ve DebyeWaller faktörünün (DWF) hesaplanabilmesi için iki farklı analitik ifade elde edilmiĢtir.
Elde edilen analitik ifadelerin Mathematica 5.0 programlama dilinde programları
yapılarak bazı saf ve katkılı kristaller için geri tepme ihtimali ve DWF hesaplanmıĢtır.
Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılmıĢ ve uyum içinde
olduğu bulunmuĢtur.
3
2. GENEL BĠLGĠLER
2.1. Gama IĢınlarının Rezonansla Soğurulması
Radyoaktif bozunum yapmıĢ veya bir nükleer reaksiyondan sonra ortaya çıkan ürün
çekirdek, genellikle, uyarılmıĢ enerji seviyesinde kalır. Bu durumdaki çekirdek ikinci
bir bozunum ile bir foton yayınlayarak daha düĢük enerji seviyesine ve sonunda da
taban enerji seviyesine düĢer. Bu Ģekilde, çekirdeğin uyarılmıĢ enerji seviyesinden
temel enerji seviyesine düĢerken yayınladığı fotonlara gama ıĢını denir.
Genel olarak uyarılmıĢ durumdaki bir çekirdek,
uyarılmıĢ enerji durumundan
taban durumuna geçerken,
(2.1)
bağıntısına göre
frekanslı bir
fotonu yayınlar. ġekil 2.1’de görüldüğü gibi, bu
fotonun öncekinin aynı baĢka bir çekirdek tarafından soğrulup çekirdeği taban
durumundan uyarılmıĢ duruma çıkarmasına rezonans adı verilir. Rezonansla uyarılan bu
çekirdekler tekrar taban durumuna geçerken, aynı
frekanslı ıĢınımları bütün
doğrultuda yayınlarlar.
EU
EU
hv
hv
ET
ET
(a)
(b)
ġekil 2.1. a) Taban durumuna geçiĢ, b) UyarılmıĢ duruma çıkma
4
Rezonansla soğurma olayının meydana gelebilmesi için, ikinci çekirdek için verilen;
(2.2)
frekansın birinci çekirdeğin yayınladığı fotonun
Gerçekte birinci çekirdek
frekansına eĢit olması gerekir.
fotonu yayınlarken, momentum korunumu kanunu gereği
çekirdek de ġekil 2.2’deki gibi aynı momentumla zıt yönde geri teper. Geri tepme
enerjisi
değerini
enerjisinden alacağı için, yayınlanan fotonun
enerjisi, kütle merkezi sisteminde
olduğu halde, laboratuar sisteminde;
(2.3)
geri tepme olmadığında yayınlanan fotonun enerjisidir.
olur. Burada
M
P
P  h c
ġekil 2.2. Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi
Aynı Ģekilde ikinci çekirdek gelen fotonu soğurduğunda yine momentum korunumu
kanununa göre,
enerjisi ile geri tepeceğinden (öteleneceğinden) bu çekirdeğin
uyarılması için:
(2.4)
kadar enerji gereklidir.
5
Buna göre, yayınlama ve soğurma çizgileri arasındaki frekans ve enerji farkı aĢağıdaki
gibi olur.
(2.5)
(2.6)
ġekil 2.3’de görüldüğü gibi yayınlama ve soğurma çizgileri arasındaki
’lik enerji
farkından dolayı - ıĢınlarının yayınlama ve soğurma çizgilerinin merkezleri üst üstte
gelmez.
EG
Soğurma çizgisi
Şiddet
Yayınlama çizgisi
EG
E0-EG
E0=hv0
E0+EG
Enerji
ġekil 2.3. 191Ir’ nin 129 keV’lik -ıĢınlarının T=300 K’ deki yayınlama ve soğurma
çizgileri
Gama ıĢınlarının rezonansla soğrulmasını yani, iki çizginin üst üstte gelmesini sağlamak
için genelde, Doppler kaymasından yararlanılır. Bunun içinde kaynağın ya da
soğurucunun birbirlerine göre hareket ettirilmesi sağlanır.
hızı
olacak Ģekilde
ayarlanırsa geri tepme sonucu azalan enerji Doppler enerji
artması ile karĢılanmıĢ olup, yayınlama ve soğurma çizgilerinin üst üste gelmesi sonucu
rezonansla soğurma mümkün olacaktır.
6
Mössbauer tarafından gama yayınlanması olayı keĢfedilmeden önce,
ıĢınlarının
rezonansla soğurulması, Doppler kaymasına dayanan çeĢitli metotlarla inceleniyordu.
Bu olay ilk olarak Moon (1950; 1951) tarafından gözlenmiĢtir. AĢağıda kısaca bilgi
vereceğim Mössbauer olayı gama ıĢınlarının rezonansla soğurulmasının kolayca
gözlenebilmesini sağlayan ve fizik, kimya ve biyoloji gibi pek çok alanda çeĢitli
uygulamalara yol açan yeni bir metottur.
2.2. Mössbauer Olayı
Mössbauer olayı, ilk olarak 1957 yılında Rudolf Ludwing Mössbauer tarafından
keĢfedilmiĢtir (Mössbauer,1958; 1961) ve kristal örgü içindeki bir çekirdek tarafından
enerji kaybı olmaksızın gama fotonu salınması olayı olarak bilinir (Mössbauer, 1958;
Goldstein, 1981; Bancroft, 1973).
Mössbauer olayının keĢfi ġekil 2.4’ de görünen
191
76
Os ’un
parçalanması sonucu meydana gelen uyarılmıĢ durumdaki
keV’lik
191
77
yayımlayarak
Ir ’nin yaydığı 129
fotonlarının rezonans durumunun incelenmesiyle baĢlamıĢtır (Mössbauer,
1958; 1961).

191
76
9
2


11
2

171 keV
1

5
2
129keV
2

3
2
ġekil 2.4.
0
191
77
191
76
Ir
Os ’nin bozunum Ģeması
Os
7
Mössbauer olayından (1956) önce nükleer rezonansı belirlemek için yapılan çalıĢmalar,
yayılan atomun çevresi ve komĢuları ile olan bağlanma enerjilerini ihmal ettiklerinden
dolayı baĢarısız olmuĢlardır. Bu etki ilk olarak 1957 yılında Mössbauer tarafından
dikkate alınmıĢtır. Mössbauer; kuantum mekaniksel yöntemleri kullanarak bir kristal
örgü içerisinde olup
fotonu yayan bir atomda üç farklı durumun görülebileceğini ileri
sürmüĢtür:
i) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi, katıdaki atomun bağlanma enerjisinden
daha büyük ise, atom bu bağın kopması ile örgüden ayrılır.
ii) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi bağlanma enerjisinden daha az ama
fonon enerjisinden daha büyük ise atom örgüde kalır. Fakat uyarma ile kristal
örgünün fonon modlarının enerjisini dağıtır.
iii) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi fonon enerjisinden daha az ise,
rezonans emilimi Mössbauer olayına katılır.
Mössbauer; bu olayın keyfi olarak uyarılmamıĢ bir sistem olmasından kaynaklandığını
açıklamıĢtır. Yani, bu durumda atom kristal örgüdeki yerinden ayrılmayacak ve fonon
enerji seviyeleri
uyarılmayacaktır. Çünkü fonon enerjilerinin
kuantumlanmıĢ durumda olması, bunların geliĢigüzel biçimde uyarılamayacağını
gösterir.
UyarılmıĢ durumdaki bir çekirdek bir gama ıĢını yayınlarsa kendiside momentum
korunumu kanununa uygun olarak geri tepme enerjisi alacaktır. Alınan bu geri tepme
enerjisi doğal çizgi geniĢliğinden ( ) daha büyük ise, gama enerjisi taban durumundaki
çekirdeği uyarmaya yetmeyecektir. Bu enerji (
), soğurulma olayında
momentum korunumu kanununa göre bir kez daha harcanacaktır. Yani rezonans olayı
sırasında
kadar enerji, yayınlayan ve soğuran çekirdekler tarafından geri tepme
enerjisi olarak alınacaktır ve böylece rezonans olma olasılığı azalacaktır.
8
Olayı daha ayrıntılı inceleyebilmek için olayın kinematiğini inceleyelim. Buna göre; bu
sistem için enerji korunumu ve momentum korunumu aĢağıdaki gibi yazılabilir (Ünak,
1972).
Pn*2
Pn2
E 
 En 
 E
2m
2m
(2.7)

 
Pn*  Pn  P
(2.8)
*
n
Burada Pn* ve En* çekirdeğin  fotonu yayınlamadan önceki Pn ve En ise  fotonu
yayınladıktan sonraki enerji ve momentumlarıdır. EĢitlik (2.7) ve (2.8)’ den 
fotonunun enerjisi;
E  E  En 
*
n
 
Pn* P
m

2
P
(2.9)
2m
bulunur.
 
Pn* P
E  En  E0 ,
*
n
m
D
ve
EG 
2
P
2m
(2.10)
olduğu kabul edilirse, EĢitlik (2.9) aĢağıdaki gibi tekrar yazılabilir.
E  E0  D  EG
(2.11)
D Doppler geniĢlemesi olup aĢağıdaki gibi ifade edilir.
D
 
Pn* P
m

mv* E
mc
cos  
v*
v*
E cos   E0 cos  .
c
c
(2.12)
Burada v* çekirdeğin denge konumu etrafındaki hareketinden dolayı oluĢan hızıdır. Bu
hızın her doğrultuda bir bileĢeni olabileceğinden dolayı D , bir çizgi geniĢlemesi
anlamına gelir.
9
Geri tepme enerjisi için;
(2.13)
ifadesi yazılır. O halde yayınlanan  ıĢını, E0 enerjisini değil de
enerjisini alır
ve bir geniĢliğe sahip olur (ġekil 2.5). Soğurulma olayında geri tepme momentumu
gama ıĢınının yayınlama doğrultusunda olduğundan soğurma spektrumunun ağırlık
merkezi E0  EG olur.
ġekil 2.5. Yayınlama ve soğurma çizgileri
Geri tepme enerjisi çizgi geniĢliğinden çok büyük olduğu zaman bir rezonans
oluĢabilmesi mümkün değil gibi görünür. Ancak, termik hareketler nedeniyle oluĢan
Doppler geniĢlemesi geri tepme enerjisi büyüklüğünde olabilir ve bazı gama ıĢınlarının
enerjileri rezonans yapmaya yetebilir. Doppler geniĢlemesi ve geri tepme enerjisi, gama
ıĢını yayınlayan çekirdeğin içinde bağlı olduğu yapıyla ilgilidir. Eğer bu yapı kristal
örgüsü ise, çekirdeğin hareketi esnek titreĢimlerle anlatılabilir ve bu esnek titreĢimlere
ait enerjiye fonon enerjisi denir. Fonon enerji seviyeleri
kuantumlanmıĢtır. Eğer yayınlama olayından sonraki enerji
Ģeklinde
ise, kristale bir geri
10
tepme enerjisi aktarması olmaz ve bu durumda
ıĢını yayınlamasına geri tepmesiz
denir. Mössbauer olayında geri tepme ihtimali ( f ) (Mössbauer,1958; 1961; Mössbauer
ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
 4 2  x 2  
2
2
f  exp 
  exp k  x    exp  2W 
2



Ģeklinde ifade edilir. Burada
dalga vektörü ( k  2
gama ıĢınlarının dalga boyu, k yayılan gama ıĢınlarının
  c ) ve
E
(2.14)
gama ıĢını yönünde yayılan çekirdeğin titreĢim
genliğinin bileĢenidir. Bu ifade bir sıvı veya bir gazda,
değerlerinin büyük
olmasından dolayı Mössbauer olayının gözlenmesinin oldukça güç olduğunu gösterir.
Aynı zamanda küçük bir k değeri, büyük bir f değeri verebilir. Bu yüzden, Mössbauer
olayının gözlenmesi için düĢük enerjili gama ıĢınları tercih edilir. Bugün bu olay
yaklaĢık 100 nükleer geçiĢte gözlenmekle birlikte deneysel zorluklar sebebiyle
bunlardan yaklaĢık 20 tanesi kullanılmaktadır (Çizelge 2.1) (Ünak, 1972). Bu izotoplar
içinde ilk uyarılmıĢ seviyesinde uygun bir yarı ömür ve enerjiye sahip kararlı bir izotop
olan
57
Fe ’de Mössbauer olayının daha kolay gözlenebilmesi bu izotopun önemini
artırmıĢtır (Gonser, 1975).
11
Çizelge 2.1. Mössbauer etkisi gözlenen izotoplar
Ġzotop
57
Fe
Ni
67
Zn
83
Kr
99
Ru
119
Sn
125
Te
129
I
129
Xe
149
Sm
151
Eu
152
Sm
155
Gd
159
Tb
160
Dy
161
Dy
166
Er
169
Tm
170
Yb
177
Hf
181
Ta
182
W
61
183
187
W
Re
Ir
193
Ir
195
Pt
197
Au
191
Gama IĢını Enerjisi
(keV)
14.4
71
93
9
89
24
35.5
27
40
22
22
122
87
58
84
26
81
8
84
113
6.25
100
46
99
134
129
73
99
77
UyarılmıĢ durumun Ömrü
(ns)
100
51
10.000
----18
2.2
--1
1
3
1.4
0.6
--2.5
28
1.8
4
1.6
0.6
9800
1.3
0.15
0.57
2
0.13
--0.16
1.9
12
2.3. Mössbauer Spektrumlarının Elde Edilmesi
Bugüne kadar Mössbauer olayının incelenebilmesi ve bu konuyla ilgili denemelerin
yapılabilmesi için farklı Ģekillerde sistemler yapılmıĢtır. Genel olarak bir Mössbauer
deneyi yapmak için bir radyoaktif gama kaynağı, bir soğurucu, bir -dedektörü, bir hata
ayıklayıcı, bir sinyal yükseltici ve kaynak ile soğurucu arasındaki göreli hızı sağlamak
için bir düzenek gereklidir (ġekil 2.7).
Farklı birçok sistem geliĢtirilse de genellikle
kaynağı veya soğurucu madde bir
mekanik sistemle harekete geçirilir ve soğurucu maddenin arka tarafına yerleĢtirilen bir
detektör sayesinde de gama ıĢınlarının absorbsiyonu ölçülür. ġekil 2.6’da böyle bir
sistemin basit bir Ģeması gösterilmektedir.
Sonuç
Deney
Soğurucu
Gama Kaynağı
Dedektör
Sayım
2
h
V
V
V
0
V
V
(a)
(b)
ġekil 2.6. Mössbauer spektrumu ölçme tekniği
ġekilde ki kaynağı hareket ettiren sistemler genel olarak iki gruba ayrılır. Birinci grupta
soğurucu madde belli bir t anında belli v1 hızıyla harekete geçirilir ve detektörün
ölçtüğü sayımlar kaydedilir. Sonra tekrar bu madde bu sefer v2 hızıyla hareket ettirilir
ve aynı Ģekilde sayımlar kaydedilir. Madde kaynağa yaklaĢtığı zaman hızı pozitif,
uzaklaĢtığında negatif alınır. Bu Ģekilde elde edilen sayım ve hızlar arasında çizilen eğri
Mössbauer spektrumunu vermektedir (ġekil 2.6).
13
Ġkinci grupta, kaynağın hızı, belli bir zaman aralığında sabit olmayıp –v ile +v arasında
değiĢmektedir. Kaynak önce 0 ile +v hız arasında bir t zamanında harekete geçer. Sonra
yine t zamanında +v ile 0 arasında hız değiĢir. Aynı durum 0 ile –v ve –v ile 0 arasında
da tekrarlanır. Bu Ģekilde maddenin hızı 4t zaman aralığında –v ile +v arasında değerler
almıĢ olacaktır. Aynı Ģekilde gama detektörünün aldığı sayımlar çok kanallı gama
spektroskopisi ve çeĢitli elektronik sistemler sayesinde analiz edilerek Mössbauer
spektrumu elde edilir. Bu yol, spektrumların bir defada ve daha çabuk Ģekilde elde
edilmesi açısından kolaylık göstermektedir. ġekil 2.7’de bu türden bir sistemin genel
çalıĢma Ģekli verilmiĢtir.
ġekil 2.7. Mössbauer spektroskopisi için deneysel düzenek
14
Elde edilen Mössbauer soğurma spektrumlarının çizgi geniĢliği;
den  soğ  emis  2
(2.15)
gibi ifade edilir (ġekil 2.6b). Burada  soğ ve  emis soğurma ve emisyon çizgi
geniĢlikleridir. Heisenberg belirsizlik ilkesinden:
(2.16a)
(2.16b)
elde edilir. Burada
uyarılmıĢ seviyenin yaĢam süresidir. Buna göre, soğurma veya
rezonans Ģiddeti için aĢağıdaki ifade elde edilir.
(2.17)
Burada
rezonans yapan ana atomların soğurucu madde içindeki yüzdesi, N atom
sayısı, f ve
ve
sırasıyla soğurma ve emisyondaki Debye-Waller faktörleri(Waller, 1923)
maksimum soğurma tesir kesitidir.
15
2.4. Mössbauer Parametreleri
Mössbauer Spektroskopisi,
ıĢınının yüksek enerji çözünürlüğü, çekirdek ve
elektronlar arasındaki etkileĢimlerin belirlenmesi gibi parametreler hakkında bilgi
vermektedir. AĢırı ince yapı etkileĢimleri olarak adlandırılan bu etkileĢimler izomer
kayması, elektrik kuadrupol etkileĢim ve manyetik ince yapı etkileĢimi olarak karĢımıza
çıkmaktadır
2.4.1. Geri Tepme Olayı
kütleli bir atom çeĢitli nedenlerle dıĢarıya fotonlar salarken, salınan bu fotonlar ve
momentum korunumu ilkesine göre atom ġekil 2.8’de görüldüğü gibi aynı momentumla
zıt yönde hareket eder (Ünak, 1972). Bu olay, gülle atan bir topun atılan güllenin
verdiği hareket ile geriye tepilmesine benzetilebilir. Burada da gama fotonu güllenin
yaptığı gibi atomu geriye tepecek ve atom geriye doğru bir hareket kazanmıĢ olacaktır.
Bu olay geri tepme olayı olarak bilinir.
M
P
P  h c
ġekil 2.8. Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi
Buna göre atomun geri tepme enerjisi yani, geri tepilmeden sonra kazandığı kinetik
enerji:
E
h 2 2
 2
2
2mc
2mc
2
EG 
(2.18)
16
Ģeklinde ifade edilir. Burada m atom kütlesi, c ıĢık hızı, h Planck sabiti, v frekans ve
gama ıĢınının enerjisidir. Bir atom tarafından salınan fotonlar, ister elektronların seviye
değiĢtirmesi isterse çekirdeğin seviye değiĢtirmesi sonucu salınmıĢ olsun durum aynıdır.
Hareketsiz bir atoma
enerjili bir fotonun çarptığı düĢünülürse, bu durumda foton
enerjisini atoma aktaracak ve atom yine
enerjisi ile geri tepecektir (Cohen, 1976).
2.4.2. Doppler Olayı
Ġlk olarak 1842 yılında C. Andreas Doppler tarafından ileri sürülen Doppler olayı,
kısaca dalga özelliği gösteren herhangi bir fiziksel varlığın frekans ve dalga boyunun
hareketli (yakınlaĢan veya uzaklaĢan) bir gözlemci tarafından farklı zaman veya
konumlarda farklı algılanması olayıdır. IĢık, radyo dalgaları veya radyasyon gibi
fiziksel bir dalga ortamına ihtiyaç duymayan dalgalar için Doppler etkisi hesaplanırken
sadece dalga kaynağının ve gözlemcinin birbirine göre birim zamandaki konumlarının
değerlendirilmesi yeterli olur. Yayılan dalga sayısı, kaynak yaklaĢırken alıcıya daha az
sürede gelir. Çünkü kaynak dalga yayınlandıktan sonra alıcıya yaklaĢmaktadır. Bu
nedenle frekans daha büyük çıkar. Bunun tersi olması durumunda yani, yayılan dalga
sayısı kaynak uzaklaĢırken alıcıya daha uzun sürede gelir ve bu yüzden de frekans daha
küçük çıkar.
IĢık hızıyla hareket eden bir fotonun enerjisi;
E f  h 
hc
(2.19)

ile verilir. Fotona v hızı ile bir atom yaklaĢtığı düĢünülürse, fotonun enerjisi;
Ebağıl 
olur.
hcbağıl


h

c  v
(2.20)
17
ve EĢitlik (2.19) dikkate alınırsa,
 v
Ebağıl  E f 1  
 c
(2.21)
elde edilir. Bu durumda fotonun atoma göre bağıl enerjisi gerçek enerjisinden daha
büyük olur.
E  E f
v
c
(2.22)
Aynı Ģekilde atomun fotondan uzaklaĢtığı düĢünülürse;
 v
Ebağıl  E f 1  
 c
(2.23)
bulunur. (2.21) ve (2.23) eĢitliklerinden görüldüğü gibi, atom fotona
hızı ile
yaklaĢtığında fotonun atoma göre bağıl enerjisi artarken fotondan uzaklaĢtığında da
fotonun atoma göre bağıl enerjisi azalmaktadır.
Aynı Ģekilde foton salan bir kaynağın sabit konumdaki bir atoma göre
hızı ile yaklaĢıp
uzaklaĢtığı düĢünülürse, sonuç yine (2.21) ve (2.23) eĢitlikleri ile bulunur.
Gaz halindeki bir maddenin görünür ıĢık mertebesinde enerjiye sahip fotonlar yaydığını
ve bu fotonların normal enerji seviyesinde bulunan aynı türden baĢka atomlar tarafından
soğrulduğunu düĢünelim. Kinetik gaz teorisinden de bilindiği gibi, gaz halindeki bu
atomlar ısısal bir hareket halinde olduğundan dolayı bu fotonların enerjileri soğuran
atomlara göre rölatif (bağıl) bir değer alacaktır. Bu bağıl enerjilerden dolayı, salınan bu
fotonların yayınlama çizgi geniĢlikleri gerçek geniĢliklerinden daha fazla olur. ĠĢte bu
olaya Doppler Olayı denir.
18
Buna göre yayınlama çizgilerinin Doppler geniĢliği:
12
1  2kT 
2
D 
 Ef
c m 
eĢitliği ile verilir. Burada
Boltzmann sabiti,
(2.24)
mutlak sıcaklık ve
atom kütlesidir.
2
2
Geri tepme enerjisi ( EG  E f 2mc ) düĢünüldüğünde Doppler geniĢliği;
D  2  k T EG 
12
(2.25)
olur (Bancroft, 1973).
2.4.3. Ġzomer Kayması
Ġzomer kayması, bir atomun bir katı veya bir molekül içerisine dâhil edildiğinde
çekirdekte oluĢan elektron yoğunluğundaki değiĢmelerden kaynaklanır. Yâda; kaynak
ve soğurucunun her ikisindeki çekirdeği saran elektron bulutu ile nükleer yük
dağılımının (atom çekirdeğinin) etkileĢmesi sonucu enerji seviyelerinin değiĢime
uğraması Mössbauer spektrumunda kendini çizginin yer değiĢtirmesi olarak gösterir.
ġekil 2.9a’da
57
Fe çekirdeğinin bu durumu, ġekil 2.9b’de de Mössbauer spektrumu
gösterilmiĢtir. Ġzomer kayma değerinin
ölçülmesiyle Mössbauer izotobunun
bağ durumları ve soğurucu maddedeki katkı atomlarının değerliliği bulunabilir (Gonser,
1975).
19
(a)
(b)
ġekil 2.9. Bir kaynak ve soğurucudaki izomer kayması ve gözlenen spektrum.
Ġzomer kayması iki seviye arasındaki farklılıktan oluĢtuğundan dolayı, eğer aynı
malzemeden olan numuneler farklı sıcaklıklarda çalıĢılırsa izomer kaymasına benzer
ama daha küçük bir değiĢim meydana gelebilir. Bu yüzden, izomer kayma
hesaplanırken her zaman standart bir madde alınmalı ve diğer maddeler bu maddeye
göre ölçülmelidir. ġekil 2.10’da farklı kaynaklarda Fe ve Sn’ ye bağlı izomer kaymaları
görülmektedir.
20
ġekil 2.10. Farklı kaynaklardaki Fe ve Sn’ ye bağlı izomer kayması (mm/s).
21
2.4.4. Elektrik Kuadrupol EtkileĢmeleri
Ġncelenen çekirdek eğer küresel simetrik bir yük dağılımına sahip değilse o zaman
çekirdek bir elektrik kuadropol momentine sahip olur. Çekirdek kuadrupol moment,
çekirdeğin küresel simetriden sapmasını yansıtır. Mössbauer atomunun çekirdek
elektrik kuadropol momenti ile kristaldeki diğer elektriksel yüklerden gelen elektrik
alanı gradyentinin giriĢimi sonucunda nükleer spinlerin ayrılmasıyla çekirdek
seviyelerde farklı Ģekilde yeni seviyelere bölünür. Bunun sonucunda da Mössbauer
spektrumunda bu seviyelere karĢı gelen iki veya daha fazla rezonans çizgisi görülür
(May, 1971). ġekil 2.11’ de Fe için çekirdek seviyeleri ve bu durum için Mössbauer
spektrum çizgileri gösterilmiĢtir.
ġekil 2.11.
57
Fe için enerji seviyelerinde ortaya çıkan yeni enerji seviyeleri ve
Mössbauer spektrum çizgileri
22
Nükleer elektrik kuadrupol momenti “Q” ile elektrik alanın gradyenti arasındaki
etkileĢim;
(2.26)
Hamiltoyeni ile verilmekte ve
(2.27)
olarak ifade edilir. Burada q bağımsız bir bileĢen, I çekirdek spini,
parametresi ve
ve
asimetri
yükseltme ve indirgeme operatörleridir. EĢitlik (2.27)’nin
çözümü;
(2.28)
Ģeklinde verilir. Burada
çekirdeğin manyetik kuantum sayısı olup,
değerlerini alır. Deney sonunda elde edilen kuadrupol yarılmaları
ölçümlerinden incelenen materyalin kimyasal özellikleri hakkında bilgiler elde edilebilir
(Gonser, 1975).
2.4.5. Manyetik Dipol EtkileĢmesi
Bu etkileĢme, çekirdeğin manyetik dipol momenti
alan
ile çevrenin oluĢturduğu manyetik
arasındadır (May, 1971) ve
(2.29)
olarak tanımlanır. Burada çekirdeğin manyetik dipol momentinin
olduğu
düĢünülürse EĢitlik (2.29);
(2.30)
23
Ģeklinde tekrar yazılabilir. Burada g nükleer g-çarpanı ve
’ de nükleer manyeton
olarak bilinir. Bu durumda meydana gelen enerji seviyelerinin enerjileri;
,
(2.31)
eĢitliği ile verilir. Enerji düzeylerinin manyetik alan içinde yarılmasının nedeni bu
düzeye ait spinin manyetik alan üzerindeki bileĢenlerinin farklı farklı olmasındandır
(May, 1971). Bu yarılmalardan dolayı Mössbauer spektrumunda çok sayıda çizgiler
görülür (ġekil 2.12). Mössbauer spektrumunda bu durumun incelenmesi ile atomların
manyetik özellikleri, manyetik momentleri, spin durulma zamanları ve Curie sıcaklıkları
tespit edilebilmektedir (Gonser, 1975).
ġekil 2.12. a) Manyetik dipol yarılma; b)Yarılmalar sonucu oluĢan Mössbauer
spektrumu
24
2.4.6. Geri Tepme Ġhtimali ve Debye-Waller Faktörü
Geri tepme ihtimali, bir çekirdeğin
fotonu salması sırasında Mössbauer olayının
meydana gelme olasılığı olarak tanımlanır ve genellikle
ile gösterilir (Ünak, 1972).
Geri tepme ihtimali ve sıcaklığa bağlı değiĢimlerinin incelenmesi x-ıĢını kırınım
çizgilerinin yoğunluğunun (Frauenfelder, 1962; Bpyle ve Hall, 1962) ve kristal örgü
yapısının belirlenmesi (Mahesh, 1968) için oldukça önemlidir. Aynı zamanda;
değerinin belirlenmesi elastik olmayan nötron saçılmaları ve dinamik elektron kırınımı
için oldukça önemlidir (Sears ve Shelley, 1991; Peng ve ark., 1996). Ancak fizik ve
kimya uygulamalarındaki önemine rağmen
pek çok kristal için tam olarak
bilinmemektedir.
Bir kristal örgü içindeki bir çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama ıĢınlarının
geri tepme olasılığı (Mössbauer,1958; 1961; Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve
ark., 1965);
 4 2  x 2  
  exp  k 2  x 2   exp 2W 
f  exp 
2




Ģeklinde ifade edilir. Burada

(2.32)
yayınlanan çekirdeğin titreĢim genliğinin karesinin
beklenen değeri, k yayılan gama ıĢınlarının dalga vektörü ve
gama ıĢınının dalga
boyudur. EĢitlik (2.32)’ de W değeri ise DWF olarak bilinir.
Uygulama alanlarının fazla olmasından dolayı bu parametrenin doğru olarak ve
herhangi bir keyfi sıcaklık değeri için belirlenmesi son derece önemlidir. Bugüne kadar
kristallerin geri tepme ihtimali ve DWF’ nün belirlenebilmesi için pek çok deneysel ve
teorik yöntem geliĢtirilmiĢtir. Deneysel olarak x-ıĢını kırınımı (Paakkari, 1975; Dingle
ve Medlin, 1972; Krishna, 1998; Shankar ve ark., 2001; Feranchuk ve ark., 2002;
Derlet ve ark., 2005; Flinn ve ark., 1961; 1963; D. Vila ve ark., 2007), nötron kırınımı
(Sears ve Shelley, 1991), Mössbauer spektroskopisi (Shukla ve Taylor, 1992; Dunlap ve
ark., 1998; Okuducu ve Askerov, 2002; Askerov ve ark., 1988; 1989) ve radyoaktif iyon
ıĢın tekniği (Correia, 1998) gibi farklı teknikler kullanılmaktadır. Butt ve ark. (1988;
25
1993) tarafından yapılan çalıĢmada x-ıĢını, nötron ve gama ıĢınları kullanılarak kübik
yapıdaki kristal ve bileĢikler için DWF hesaplanmıĢtır.
X-ıĢını kırınımından elde edilen durum yoğunlukları kullanılarak Al kristali için farklı
sıcaklıklardaki DWF değerleri Dingle ve Meldin (1972) tarafından elde edilmiĢtir.
Peng ve ark.(1996) deneysel olarak belirlenen fonon durum yoğunluklarını kullanarak
farklı sıcaklıklarda elementel yapıdaki kristaller için DWF hesaplamıĢlardır.
Saf yapıdaki kristaller için yapılan çalıĢmalar yanında farklı katkı atomları (57Fe, 119Sn,
…) ile katkılanmıĢ kristaller içinde f ve DWF değerleri hesaplanmıĢtır. DeWames ve
ark. (1963) tarafından yapılan çalıĢmada Al ve Cu kristalleri için 0–400 K sıcaklık
aralığında DWF’nin sıcaklıkla değiĢimi incelenmiĢtir.
77–300 K sıcaklık aralığında ve farklı oranlarda
151
Eu katkılı Ga2Se3 tek kristaller için
elektron yapısı, f ve Debye sıcaklık değerleri Okuducu ve Askerov (2002) tarafından
nükleer gama rezonans yöntemi kullanılarak belirlenmiĢtir.
Sorescu (2002) tarafından yapılan çalıĢmada oda sıcaklığında Mössbauer deneyinden
yararlanılarak f ’in belirlenebilmesi için yeni bir metot önerilmiĢtir. Bu çalıĢma da
diğerlerinden farklı olarak iki ayrı soğurucu kullanılmaktadır.
Shankar ve ark. (2001) x-ıĢını yöntemini kullanarak hcp yapıdaki Ti, Zr, Ru, Tm ve Hf
için DWF ve Debye sıcaklıklarını hesaplamıĢlardır.
Mössbauer olayının keĢfinden bugüne kadar (Mössbauer,1958; 1961) yapılan deneysel
çalıĢmalar yanında pek çok teorik çalıĢmalarda yapılmıĢtır (Killean, 1974; Mahesh,
1968; Sears ve Shelley, 1991; Peng ve ark., 1996; Gao ve Peng, 1999; Jacobsen, 1955;
Lehman, 1962; 1963; White, 1958; Walker, 1956; Heberle, 1971; Giovanelli ve Orefice,
2005; Eser ve ark., 2009; Schowalter ve ark., 2009). Flinn ve ark.(1961; 1963)
tarafından yapılan çalıĢmada Cu için DWF’ nin sıcaklığa bağlılığı, merkezi kuvvet
modeli (C.F) kullanılarak analiz edilmiĢtir.
26
Gao ve Peng (1999), Debye yaklaĢımına ve fonon durum yoğunluğuna bağlı olarak
elementel yapıdaki 68 kristal ve 17 bileĢik için DWF hesaplamıĢlardır.
Green fonksiyonu tekniği kullanılarak farklı metalik katılardaki Fe katkıları için DWF
değerleri Roy ve Kundu (1987) tarafından verilmiĢtir.
Robertson ve Reid (1979) tarafından yapılan çalıĢmada, Shell modeli kullanılarak 1–
1000 K sıcaklık aralığında Si için DWF değerleri hesaplanmıĢtır.
Ancak, yapılan deneysel çalıĢmalar oda sıcaklığı gibi (293 K) sabit bir sıcaklıkta
yapıldığından dolayı, elde edilen sonuçları farklı sıcaklık bölgeleri için kullanmak zor
olduğu gibi aynı zamanda da deneysel durumlara tam olarak karĢılık gelmemektedir.
Teorik çalıĢmalarda, yapılan hesaplamalar düĢük sıcaklık ve yüksek sıcaklık bölgeleri
altında iki farklı seri geniĢlemeye sahiptir. Bu tip hesaplamalar iĢlemlerin zor olmasına
ve çok zaman almasına neden olmaktadır. Örneğin, Heberle (1971) tarafından yapılan
çalıĢmada Bernolli sayıları kullanılarak yüksek ve düĢük sıcaklıklarda DWF’nin
hesaplanması için iki ayrı analitik ifade verilmiĢtir.
Mahesh (1968), düĢük ve yüksek sıcaklık bölgelerinde Debye integralinin iki farklı
sonsuz seri geniĢlemesini kullanarak çeĢitli kristaller için DWF değerlerini
hesaplamıĢtır. DüĢük sıcaklıklarda, DWF’ nin sıcaklıkla değiĢimi oldukça küçük olup
Debye sıcaklığının küçük sıcaklık değiĢimleri kullanılarak tanımlanabilir. DüĢük
sıcaklığın aksine yüksek sıcaklıklarda ise DWF sıcaklık artıĢı ile birlikte aniden
azalmaktadır.
Guseinov ve Mamedov (2007) tarafından binomial seri açılım teorisini kullanarak
Debye integralinin çözülebilmesi için analitik formül oluĢturulmuĢtur. Eser ve ark.,
(2009) tarafından burada oluĢturulan yaklaĢım kullanılarak bazı kristaller için geri
tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü hesaplanmıĢtır.
27
2.4.7. Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’ nün Sıcaklığa Bağlılığı
Termal titreĢimlerin kristallerdeki x-ıĢını saçılmalarının yoğunluğu üzerine etkisi pek
çok çalıĢmada açıkça gösterilmiĢtir (Debye, 1914; Laval, 1938; 1939; Faxen, 1918;
1923; James, 1967). En çok bilenen etkisi kristal düzlemlerinden gelen Bragg
yansımalarının yoğunluğunun Debye-Waller teorisinden elde edilen
faktörüne göre
azalmasıdır.
Geri tepme ihtimalini tanımlamak için genellikle Debye yaklaĢımı (1914) tercih edilir
ve Debye ısı kapasitesi denkleminin elde edilmesinde kullanılan titreĢim özelliklerine
sahip bir kristal düĢünülür. Buna göre, bir Debye kristali için geri tepme ihtimalinin
sıcaklığa bağlılığı aĢağıdaki gibi verilir (Nussbaum ve Gruverman, 1971).
(2.33)
EĢitlik (2.33)’de;
(2.34)
ve
(2.35)
olarak tanımlanır. EĢitlik (2.34) ve (2.35)’ de
Debye sıcaklığı,
gama geçiĢ
enerjisi, m çekirdeğin kütlesi ve c ise ıĢık hızıdır. EĢitlik (2.34) ve (2.35), EĢitlik
(2.33)’de yerine yazılırsa,
(2.36)
elde edilir.
28
DüĢük sıcaklıklarda
;
(2.37)
olduğundan (2.36) eĢitliği,
(2.38)
Ģeklini alır.
29
3. MATERYAL ve METOT
Mössbauer olayı ile ilgili geri tepme ihtimali ve Debye–Waller Faktörünün
hesaplanması
kristal
yapının
ve
x-ıĢını
kırınım
çizgilerinin
yoğunluğunun
belirlenebilmesi için oldukça önemlidir. Bu çalıĢmada tamamlanmamıĢ gama
fonksiyonu ve binomial katsayıları içeren n-boyutlu Debye fonksiyonunun sıcaklığa
bağlı genel ifadesi kullanılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için iki
farklı seri açılım elde edilmiĢtir. Bu serilerin Mathematica 5.0 programlama dilinde
programları yapılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller Faktörü hesaplanmıĢtır.
Elde edilen formüllerin geçerliliği ve doğruluğu saf ve katkılı kristallere uygulanarak
test edildi. Hesaplanan sonuçlar literatürdeki deneysel ve teorik sonuçlarla karĢılaĢtırıldı
ve uyum içinde olduğu bulunmuĢtur.
3.1. Metot 1: Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’nin Hesaplanması
Geri tepme ihtimali genel olarak aĢağıdaki gibi tanımlanır (Mössbauer,1958; 1961;
Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
(3.1a)
(3.1b)
Burada
ifadesi,
(3.2)
olarak tanımlanır. EĢitlik (3.2)’de
dönüĢümü yapılırsa;
(3.3)
30
elde edilir. EĢitlik (3.3)’de aĢağıda verilen Binomial açılım teoremi (Gradshteyn ve
Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2007);
.
(3.4)
binomial katsayısı;
(3.5)
kullanılırsa EĢitlik (3.3);
(3.6)
elde edilir. Burada
fonksiyonu;
(3.7)
gibi ifade edilir. EĢitlik (3.7) için parçalı integrasyon yöntemi uygulanırsa;
ve
(3.8)
elde edilir.
31
EĢitlik (3.8) için tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.9)
elde edilir. Tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.10)
elde edilir. Tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.11)
elde edilir.
32
Elde edilen ifadeler
fonksiyonunda yerine yazılırsa;
(3.12)
(3.13)
elde edilir. Burada
olduğu kabul edilirse;
(3.14)
elde edilir.
33
EĢitlik (3.14),
parantezine alınır ve tekrar düzenlenirse;
(3.15)
(3.16)
gibi tekrar yazılabilir. Buna göre EĢitlik (3.16), EĢitlik (3.6)’da yerine yazılırsa:
(3.17)
elde edilir. EĢitlik (3.17) ile verilen fonksiyon EĢitlik (3.1)’de yerine yazılırsa;
(3.18)
elde edilir. Buradan da görüldüğü gibi çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama
ıĢınları için geri tepme ihtimalinde yer alan Debye integrali, binomial seri açılım teorisi
ve
fonksiyonu ile ifade edilmiĢtir (Mamedov ve ark., 2009). Burada elde
edilen analitik ifade sadece n’nin tamsayı değerleri için geçerlidir. Bu yaklaĢım
uygulanarak bazı kristaller için geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü
hesaplanmıĢtır (Eser ve ark., 2009).
34
3.2. Metot 2: Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’nin Hesaplanması
Debye yaklaĢımında bir kristaldeki çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama
ıĢınları için geri tepme ihtimali aĢağıdaki gibi tanımlanır (Mössbauer, 1958; 1961;
Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
(3.19a)
(3.19b)
EĢitlik (3.19b)’de
Debye fonksiyonu olup aĢağıdaki gibi verilir.
(3.20)
Burada
Boltzmann sabiti,
,
geri tepme enerji
,
ise mutlak sıcaklıktır. GenelleĢtirilmiĢ Debye fonksiyonu için formül elde etmek için
EĢitlik (3.20)’de binomial açılım teorisi kullanalım (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980;
Guseinov ve Mamedov, 2007);
.
Burada,
(3.21)
binomial katsayısı olup aĢağıdaki gibi tanımlanır.
(3.22)
35
EĢitlik (3.22)’de
için,
binomial katsayısı sıfırdır ve pozitif n tamsayısı
terimleri ile negatif faktöriyeller toplama katkı sağlamaz (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980).
EĢitlik (3.21)’de EĢitlik (3.10) düĢünülürse;
(3.23)
EĢitlik (3.23)’de görünen integral fonksiyonunu tamamlanmamıĢ (imcomplete) gama
fonksiyonu,
(3.24)
olarak yazabiliriz. EĢitlik (3.23), n -boyutlu Debye fonksiyonunda yerine yazılırsa
(Guseinov ve Mamedov, 2007),
(3.25)
elde edilir. EĢitlik (3.25) ile verilen n-boyutlu Debye fonksiyonu
EĢitlik
(3.19b)’de yerine yazılırsa;
(3.26)
eĢitliği elde edilir. Buradan da görüldüğü gibi geri tepme ihtimalinde yer alan Debye
integrali, Binomial açılım teorisi ve tamamlanmamıĢ gama integraliyle ifade edilmiĢtir.
Debye integralinin çözülebilmesi için (3.25) seri açılımı oluĢturulmuĢtur (Guseinov ve
Mamedov, 2007). Burada oluĢturulan seri açılım Metot 1’den farklı olarak n’nin hem
tamsayı hem de kesirli (tamsayı olmayan) değerleri için geçerlidir. Bu yaklaĢım
uygulanarak bazı kristaller için geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü
hesaplanmıĢtır (Eser ve ark., 2009)
36
4. BULGULAR
Bu bölümde, Bölüm 3’de elde edilen seriler kullanılarak saf ve katkılı kristaller için geri
tepme ihtimali ve DWF değerleri hesaplanmıĢtır. Çizelge 1-7’de saf yapıdaki kristaller
için hesaplanan ve literatürden elde edilen f ve DWF gösterilmiĢtir. Çizelge 8-12’de ise
katkılı kristaller için elde edilen sonuçlar gösterilmiĢtir. Çizelge 13 ve 14’de EĢitlik
(3.25)’ da elde edilen Debye fonksiyonu için yapılan hesaplamalar gösterilmiĢtir.
4.1. Saf yapıdaki kristaller için f ve DWF değerleri
Çizelge 4.1. Oda sıcaklığında
(
Alüminyum için DWF değerleri
).
Yazarlar
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
Dingle ve Medlin (1972)*
393
0.840
0.843
Flinn ve McManus (1961;
1963)*
410
390
386
390
0.790
0.890
0.870
0.777
0.855
0.872
0.855
Butt ve ark. (1988; 1993)*
394
0.860
0.839
Owen ve Williams (1947)*
395
0.840
0.835
Mothersole ve Owen (1965)*
390
407
397
0.870
0.790
0.840
0.855
0.788
0.827
De Marco (1967)*
387
0.890
0.868
McDonald (1967)*
Chipman (1960)*

Diğer
ÇalıĢmalar
Deneysel çalıĢmalar
Çizelge 4.2. Yüksek sıcaklıklarda Alüminyum için DWF değerleri
(
).
370
477
559
387  5
378  5
362  9
Dingle ve Medlin (1972)
1,087
1,447
1,840
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
1,077
1,437
1,826
37
Çizelge 4.3. Alüminyum kristali için DWF değerleri (
*
Killean, (1974)**
McDonald (1967); Gilat ve
Nicklow(1966);
Stedman ve Nilsson
(1965)**
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
).
80
295
300
375
475
485
552
588
655
700
730
810
830
860
405
386
383
375
365
361
355
353
345
340
336
326
325
320
0.320
0.890
0.901
1.160
1.541
1.580
1.870
2.032
2.360
2.591
2.770
3.251
3.370
3.572
0.325
0.901
0.890
1.220
1.562
1.600
1.890
2.071
2.420
2.620
2.771
3.240
3.342
3.640
0.327
0.882
0.832
1.160
1.534
1.599
1.874
2.017
2.345
2.577
2.766
3.236
3.335
3.562
* Debye sıcaklıkları  D T   413 1  0.000461.T  2 K denkleminden elde edildi (Killean, 1974).
**Deneysel çalıĢma
1
38
Çizelge 4.4. Bakır için sıcaklık faktörü değerleri,
Flinn ve ark., (1961)*
.
C. F. Model (Flinn ve
ark., 1963)
Jacobsen (1955)
White (1958)
A-S Cal. (Lehmann
ve ark., 1962; 1963)
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
4
320
0.544
0.552
0.579
0.537
0.570
0.544
20
320
0.588
0.566
0.593
0.548
0.582
0.557
80
320
0.755
0.762
0.808
0.733
0.779
0.754
300
315
2.17
2.100
2.290
2.030
2.180
2.166
400
300
3.14
2.770
3.020
2.670
2.870
3.137
*Deneysel çalıĢma
39
Çizelge 4.5. Alüminyum için sıcaklık faktörü değerleri (
.
Walker (1956)
),
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
4
-
0.471
-
20
418
0.478
0.422
80
392
0.598
0.562
300
382
1.540
1.493
400
-
2.020
-
Çizelge 4.6. Tungsten ( 183W) için f değerleri (
Bullard ve Mullen (1991)
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
80
0.6340
0.6412
297
0.2990
0.3015
373
0.2290
0.2261
469
0.1550
0.1566
572
0.1040
0.1054
621
0.0847
0.0872
663
0.0696
0.0742
770
0.0460
0.0488
869
0.0298
0.0335
950
-
0.0245
1120
-
0.0127
1200
-
0.0093
40
Çizelge 4.7. Oda sıcaklığında
Çekirdek
22
Na
57
99
Fe
Mo
bazı saf yapıdaki kristaller için f değerleri
Diğer çalıĢmalar
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
150
0.991 a
0.994
480
0.930 b
0.827
400
0.920 c
0.779
388
0.252 a
0.260
a
Paakkari, 1974;
Potenziani ve Kosinski, 2004;
c
Okuducu ve Askerov, 2002.
b
4.2. Katkılı kristaller için f ve DWF değerleri
Çizelge 4.8. Oda sıcaklığında
(
Çekirdek
119
Sn katkılı metaller için f değerleri
(Grow ve ark., 1978)
Diğer ÇalıĢmalar
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
Ag
190
0.2700
0.2341
Al
153
0.1410
0.1076
Au
180
0.1800
0.1987
Pd
262
0.4801
0.4621
Si
223
0.3400
0.3468
Ge
191
0.2201
0.2264
Cu
206
0.3000
0.2900
41
Çizelge 4.9. 57Fe katkılı Pd için f değerleri
(Roy ve Kundu, 1987).
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
295.5
0.6891
0.6590
0.6580
380.5
0.6171
0.5870
0.5872
449.5
0.5627
0.5350
0.5342
591
0.4626
0.4280
0.4411
657
0.4209
0.3870
0.4032
729
0.3788
0.3500
0.3656
810
-
-
0.3274
900
-
-
0.2896
975
-
-
0.2615
Çizelge 4.10. 57Fe katkılı Pt için f değerleri
(Roy ve Kundu, 1987).
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
295
0.7482
0.7310
0.7641
360
0.6967
0.6780
0.7237
471
0.6147
0.5870
0.6488
561
0.5701
0.5380
0.6101
697
0.4927
0.4570
0.5430
766
0.4597
0.4190
0.5117
840
-
-
0.4802
910
-
-
0.4521
1000
-
-
0.4184
42
Çizelge 4.11. Oda sıcaklığında 57Co katkılı Cu için f değerleri.
Housley ve ark. (1964)
385
0.710
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
0.753
Çizelge 4.12. 57Fe katkılı Cu için f değerleri
(Roy ve Kundu, 1987).
Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26)
295
0.7005
0.7090
0.6697
360
0.6454
0.6590
0.6162
471
0.5568
0.5670
0.5339
561
0.4911
0.5050
0.4750
677.5
0.4142
0.4180
0.4138
766
0.3607
0.3620
0.3637
840
-
-
0.3303
910
-
-
0.3015
1000
-
-
0.2681
43
Çizelge 4.13.
için Debye fonksiyonu
Bu ÇalıĢma
EĢitlik (3.25)
değerleri
EĢitlik (5)
( Dubinov ve Dubinova,
2008)
5
1
5
7.68634254418014339152E-02
7.68634254418019216139E-02
8
1
8.5
5.66871555598240278646E-03
5.66871555598240278646E-03
18
1
45
2.01273821942094720480E-13
2.01273821942094720480E-13
12
1
14.6
4.27734919507127247409E-05
4.27734919507127247409E-05
23
1
23.4
9.15491622521230592032E-09
9.15491622521230592032E-09
28
1
31.4
7.17849420374775063568E-12
7.17849420374775063568E-12
32
1
4.5
5.65734901485992739446E-02
5.65734901485992739446E-02
3.5
4
5.5
9.53307100496333726429E-03
-
7.3
3.4
2.8
1.95389930404695413445E-03
-
13.4
8.3
14.1
6.55160259501047370496E-17
-
17.7
8.4
7.6
2.43754633426463295575E-18
-
21.1
0.8
2.6
3.65666076295009994249E-01
-
Çizelge 4. 14. N’ nin bir fonksiyonu olarak Debye fonksiyonu için (EĢitlik 3.15) elde
edilen değerler
EĢitlik (3.25)
10
1.5580321243119676306
50
1.6255171314695340897
100
1.6350818601253431420
200
1.6399712282130845118
300
1.6416172506389006030
400
1.6424433384463707019
500
1.6429399798982760739
600
1.6432714871759690673
700
1.6435084806753131844
800
1.6436863367092773205
900
1000
1.6438247349569346172
1.6439354950200653930
44
5. SONUÇ ve TARTIġMA
Bu çalıĢmada geri tepme ihtimali ve DWF ifadelerinin hesaplanması için, binomial seri
açılım teoremi ve tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu kullanılarak geniĢ sıcaklık aralığı
için Debye fonksiyonuna bağlı olarak iki farklı seri açılım oluĢturulmuĢtur. Elde edilen
formüllerin Mathematica 5.0 programlama dilinde programı yapıldı ve farklı sıcaklık
değerleri için geri tepme ihtimali ve DWF hesaplandı. Elde edilen sonuçlar literatürden
elde edilen teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırıldı ve uyum içinde olduğu
görülmüĢtür. Elde edilen ve literatürden alınan sonuçlar Çizelge 4.1 - 4.13’de
verilmiĢtir.
Çizelge 4.1’de görüldüğü gibi; Alüminyum kristali için elde edilen DWF değerleri
Killean (1974) ve McDonald (1967)’ ın sonuçları ile mükemmel uyum içindedir.
Deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırıldığında buradaki en büyük uyumsuzluk 375 K
sıcaklığında olup % 4.6 büyüklüğündedir.
Farklı sıcaklıklarda Alüminyum kristalinin DWF için hesaplanan ve literatürden elde
edilen sonuçlar Çizelge 4.3’de gösterilmektedir. Hesaplanan sonuçların Dingle ve ark.
(1972), Flinn ve ark. (1961; 1963) ve Qwen ve ark.(1967)’nın sonuçlarıyla mükemmel
uyum içinde olduğu görülmektedir. Örneğin, DWF için hesaplanan ve literatürden elde
edilen sonuçlar sırasıyla, 393 K’de 0.841 ve 0.840 (Dingle ve ark., 1972), 410 K’de
0.778 ve 0.79 (Flinn ve ark., 1961; 1963) ve 395 K’de 0.835 ve 0.840 (Qwen ve ark.,
1967)’dir.
Çizelge 4.4 ve 4.5’de Alüminyum ve Bakır kristalleri için elde edilen sıcaklık faktörü,
, değerleri gösterilmiĢtir. Elde edilen sonuçlardan görüldüğü gibi;
hesaplanan sonuçlar Walker (1956), Flinn ve ark., 1961; 1963)’dan elde edilen
sonuçlarla uyum içindedir.
45
Tungsten (183W) için farklı sıcaklıklarda elde edilen f değerleri Çizelge 4.6’ da
verilmiĢtir. Çizelge 4.6’dan elde edilen sonuçların diğer sonuçlarla (Bullard ve ark.,
1991) mükemmel uyum içinde olduğu görülmektedir. En büyük uyumsuzluk 869 K’ de
% 12.41’dir.
Aynı zamanda, farklı sıcaklıklarda
Çizelge 4.7’ de verilmiĢtir.
22
Na ve
22
Na,
99
57
Fe ve
99
Mo için elde edilen f değerleri
Mo için elde edilen sonuçlar diğer sonuçlarla
mükemmel uyum gösterirken 57Fe için elde edilen sonuçlarda ki en büyük uyumsuzluk
%15.4’dür.
Çizelge 4.8’de
119
Sn katkılı kristaller için oda sıcaklığında elde edilen f değerleri
gösterilmektedir. Çizelge 4.11’den görüldüğü gibi Ag ve Al dıĢında diğer kristaller için
elde edilen sonuçlar diğer çalıĢmalarla mükemmel uyum göstermektedir.
Çizelge 4.9, 4.10 ve 4.12’ de,
değerleri verilmiĢtir.
57
57
Fe,
119
Sn ve
57
Co katkılı kristaller için hesaplanan f
Fe katkılı Pd için elde edilen sonuçlar diğer çalıĢmalara göre
deneysel sonuçlarla mükemmel uyum göstermektedir. Örneğin, f için hesaplanan ve
deneysel sonuçlar sırasıyla, 295.5 K’de 0.6580 ve 0.6590 (Roy ve Kundu, 1987), 449.5
K’de 0.5342 ve 0.5350 (Roy ve Kundu, 1987) ve 657 K’de 0.4032 ve 0.3870 (Roy ve
Kundu, 1987)’dir. En büyük uyumsuzluk 657 K’ de % 4.1’dir. 57Fe katkılı Pd kristalinin
aksine Pt ve Cu için elde edilen sonuçların, deneysel ve literatürden elde edilen diğer
çalıĢmalarla uyum içinde olduğu Çizelge 4.9 ve 4.10’da görülmektedir.
Aynı zamanda,
57
Co katkılı Cu kristali için oda sıcaklığında hesaplanan sonuçların
deneysel f değerleri ile uyum içinde olduğu Çizelge 4.11’den görülmektedir.
Çizelge 4.13’ de ise, Bölüm 3’de EĢitlik (3.25) ile gösterilen Debye fonksiyonu için
yapılan bilgisayar hesaplamaları görülmektedir. Hesaplama sonuçları bize ,
ve ’ in
tüm değerleri için oluĢturulan analitik ifadelerin f ve DWF’nin hesaplanmasında yararlı
bir çalıĢma olabileceğini göstermektedir.
46
Çizelge 4.14.’de N’e bağlı olarak Debye fonksiyonu (EĢitlik 3.25) için elde edilen
sonuçlar gösterilmektedir. Çizelgeden de görüldüğü gibi üst limitlere çıkıldıkça N’ e
bağlı olarak elde edilen değerlerde farklılık azalmaktadır. Bu sonuç elde edilen
fonksiyonun tutarlı yani yakınsak olduğunu göstermektedir.
Literatür de Ģimdiye kadar n ve
’nın tamsayı olmayan değerleri için Debye
fonksiyonun hesaplanması üzerine hiçbir çalıĢma yoktur. Bu yüzden, Metot 2’de
oluĢturulan ifade n ve
’ nın tamsayı olmayan değerleri için Debye fonksiyonun
hesaplanabilmesi açısından oldukça önemlidir.
Sonuç olarak, bu çalıĢmada binomial katsayılar ve tamamlanmıĢ gama fonksiyonuna
dayalı Debye fonksiyonu kullanılarak saf ve katkılı kristallerin geri tepme ihtimali ve
DWF’nin hesaplanabilmesi için iki yeni seri açılım oluĢturulmuĢtur. Bu seri açılımların
bilgisayar modellemeleri ve simülasyonlar da kullanımı kristallerin özelliklerinin
belirlenmesinde yararlı olabilir. Aynı zamanda bu çalıĢmada elde edilen seriler
kullanılarak pek çok alanda ortaya çıkan çeĢitli problemler çabuk ve doğru bir Ģekilde
ölçülebilir.
47
KAYNAKLAR
Askerov, I.M., Aslanov, G.K., Nasredinov, F.S., Tagiev, B.G. 1989. Iron-doped defect
Ga2S3 and Ga2Se3 semiconductors. Sov. Phys. Semicond. 23(6), 676-678.
Askerov, I.M., Mekhrabov, A.O., Aslanov, G.K., Tagiev, B.G., Nakhmetov, S.M. 1988.
Transition metal electron states in imperfect Ga2S3 crystals. Phys. Status Solidi,
A 105(2), K151-K154.
Bancroft, G. M., 1973. Mössbauer Spectroscopy: An Introduction for Inorganic Chemist
and Geochemist Mc Graw ± Hill Book Company, (UK) Limited, Maindenhead ±
Berkshire England.
Boyle, A.J.F., Hall, H.E., 1962. The Mössbauer effect. Rep. Prog. Phys. 25, 441-524.
Bullard, B.R. and Mullen, J.G., 1991. Mössbauer line-shape parameters for 183W and
191
Ir in metallic tungsten and iridium. Physical Review B 43(10) 7405-7415.
Butt, N.M., Bashir, J., Willis, B.T.M., Heger, G. 1988. Compilation of temperature
factors of cubic elements. Acta Crystallogr., A 44, 396-398.
Butt, N.M., Bashir, J., Khan, M. 1993. Compilation of temperature factors of cubic
compounds. Acta Crystallogr., A 49, 171-174.
Chipman, D.R., 1960. Temperature dependence of the Debye temperatures of
aluminum, lead, and beta brass by an X-ray method. J. Appl. Phys. 31, 20122015.
Cohen, R.L., 1976. Applications of Mössbauer spectroscopy, Vol.I Aca.Press, London.
Frauenfelder, H., 1962. The Mössbauer Effect. Benjamin, New York.
Correia, J.G. 1998. Radioactive ion beams and techniques for solid state research. Nucl.
Instrum.Methods, B 136–138, 736-743.
D. Vila, Fernando, Rehr, J. J., Rossner, H. H. and Krappe, H. J., 2007. Theoretical x-ray
absorption Debye-Waller factors. Physical Review B 76, 014301-014312.
Debye, P., 1914. Interferenz von Rontgenstrahlen und Warmebewegung. Annalen der
Physik, 43, 49-92.
DeMarco, J.J., 1967. Single crystal measurement of the atomic scattering factor of
aluminum. Phila.Mag. 15(135), 483-495.
Derlet, P.M., Petegem, S.V., Swygenhoven, H.V. 2005. Calculation of x-ray spectra for
nanocrystalline materials. Phys. Rev., B 71, 24114-24122.
DeWames, R.E., Wolfram, T., and Lehman, G.W., 1963. Temperature Dependence of
the Debye-Waller Factor for Copper and Aluminum, Pyhsical Review 131(2),
528-529.
Dingle, R.E.,Medlin, E.H. 1972. The X-ray Debye temperature of aluminum. Acta
Crystallogr., A 28, 22-27.
Dubinov, A. E., Dubinova, A. A., 2008. Exact integral-free expressions for the integral
Debye Functions. Tech. Phys. Lett. 34(12), 999-1001.
Dunlap, R.A., Eelman, D.A., MacKay, G.R. 1998. A Mössbauer effect investigation of
correlated hyperfine parameters in natural glasses (tektites). J. Non-Cryst. Solids
223, 141-146.
Eser, E., Askerov, I.M, Mamedov, B.A., 2009. Calculation of the Debye–Waller factor
of crystals using the n-dimensional Debye function involving binomial
coefficients and incomplete gamma functions. Hyperfine Interaction, 194, 381389.
Faxen, H., 1918. Ann. Phys., 54, 615.
48
Faxen, H., 1923. Zeit. Phys., 17, 266.
Feranchuk, I.D., Gurskii, L.I., Komarov, L.I., Lugovskaya, O.M., Burgäzy, F.,
Ulyanenkov, A., 2002. A new method for calculation of crystal susceptibilities
for X-ray diffraction at arbitrary wavelength. Acta Crystallogr., A. 58, 370-384.
Flinn, P.A., McManus, G.M., Rayne, J.A., 1961. Effective X-ray and calorimetric
Debye temperature for copper. Phys. Rev. 123(3), 809-812.
Flinn, P.A., McManus, G.M., Rayne, J.A., 1963. Lattice Vibrations and Debye
Temperatures of Aluminum, Phys. Rev. 132, 2458-2460.
Gao, H.X., Peng, L.M., 1999. Parameterization of the temperature dependence of the
Debye–Waller factors. Acta Crystallogr., A 55, 926-932.
Gilat, G., Nicklow, R.M., 1966. Normal vibrations in aluminum and derived
thermodynamic properties. Phys. Rev. 143, 487-494.
Giovanelli, R. and Orefice, A., 2005. Quantum elasticity in Debye solids. Solid State
Comm. 135, 82–86.
Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., 1980. Tables of Integrals, Sums, Series and Product, 4th
edn., vols. 340–345, pp. 655–662. Academic, New York.
Grow, J.M., Howard, D.G., Nussbaum, R. H. and Takeo, M., 1978. Frequency moments
of cubic metals and substitutional impurities: A critical review of impurity-host
force-constant changes from Mössbauer data. Physical Review B 17 (1) 15-39.
Goldstein, J.I., 1981. Scanning Elektron Microsopy and X- Ray Microanalysis, New
York, Plenum Press.
Gonser, U., 1975. Topics øn Applied Physics, Springer, Verlag Berlin Heidelberg, New
York.
Guseinov, I.I. and Mamedov, B.A., 2007. Calculation of integer and noninteger ndimensional Debye functions using binomial coefficients and incomplete gamma
functions. Int. J. Thermophys. 28,1420–1426.
Harris, J.R., Benczer-Koller, N., Rothberg, M., 1965. Temperature dependence of the
Debye–Waller factor of platinum. Phys. Rev. 137(4), A1101-A1105.
Herberle, J., 1971. The Debye integrals, the thermal shift, and theMössbauer fraction.
In: Gruverman, I.J. (Plenum, New York) Mössbauer Effect Methodology, pp.
299-308.
Housley, R.M., Dash, J. G. and Nussbaum, R. H., 1964. Mean-Square Displacement of
Dilute Iron Impurity Atoms in High-Purity Berylium and Copper. Physics
Review 136, 464-466.
Jacobsen, E.H., 1955. Elastic spectrum of copper from temperature-diffuse scattering of
X-rays. Phys. Rev. 97, 654-659.
James, R.W., 1967. Optical Principles of the Diffraction of X-rays, G. Bell, London.
Killean, R.C.G., 1974. An investigation of the Debye–Waller factor and Debye
temperature of aluminum using nearest neighbour central force pair interactions.
J. Phys. F.Met. Phys. 4, 1908-1915.
Krishna, P G., Subhadra, K.G., Sirdeshmukh, D.B. 1998. X-ray determination of
Debye–Waller factors of NaBr and NaI. Acta Crystallogr., A 54, 253-.
Laval, J., 1938. Sur la diffussion des rayons X par un cristal. CR Acad. Sci. Paris, 207,
169.
Laval, J., 1939. Bull. Soc. Franc. Miner., 62, 137-253.
Lehman, G.W., Wolfram, T., DeWames, R.E., 1962. Axially symmetric model for
lattice Dynamics of metals with application to Cu, Al, and ZrH2. Phys. Rev. 128,
1593-1599.
49
Lehman, G.W., Wolfram, T., DeWames, R.E., 1963. Temperature Dependence of the
Debye–Waller Factor for Copper and Aluminum, vol. 131, pp. 528-529.
Mahesh, K. 1968. On the temperature dependence of the Mössbauer effect. Nucl.
Instrum. Methods 65, 349-352.
Mamedov, B. A., Eser, E., Koç, H. and Askerov, I.M., 2009. Accurate Evaluation of the
Specific Heat Capacity of Solids and its Application to MgO and ZnO Crystals.
Int. J. Thermophys. 30, 1048–1054.
May L., 1971. An Introduction to Mössbauer Spectroscopy, New York Plenum Press.
McDonald, D.L., 1967. Neutron diffraction study of the Debye–Waller factor for
aluminum. Acta Crystallogr. 23, 185-191.
Moon, P.B., 1950. The Hard Components of Scattered Gamma-Rays. Proc. Phys. Soc.
A 63, 1189-1196.
Moon, P.B., 1951. Resonant Nuclear Scattering of Gamma-Rays: Theory and
Preliminary Experiments. Proc. Phys. Soc. A 64, 76-81.
Mothersole, N., Owen, E.A., 1965. The determination of the characteristic temperatures
of silver, aluminum and lead by X-ray diffraction. Brit. J. Appl. Phys. 16(8),
1113-1118.
Mössbauer, R.L., 1958. Fluorescent nuclear resonance of gamma radiation in iridium
191. Z. Phys. 151, 124-143.
Mössbauer, R.L., 1958. Kernresonanzabsorption von Gammastrahlung in Ir191.
Naturwissenschaften 45, 538-539.
Mössbauer, R.L.,1961. Recoilless resonance absorption of gamma quanta in solids. Sov.
Phys. Usp. 3(6), 866-874.
Nussbaum, R.H. and Gruverman, I.J., 1971. Mössbauer Effect, Cilt 2, Sayfa:3, Plenum
Press.
Paakkari, T. 1974. A determination of the Debye–Waller temperature factor and the Xray Debye temperature for Ni, Cr, Fe, Mo and W. Acta Crystallogr., A 30, 8386.
Peng, L.M., Ren, G., Dudarev, S.L.,Whelan, M.J. 1996. Debye–Waller factors and
absorptive scattering factors of elemental crystals. Acta Crystallogr., A 52, 456470.
Potenziani E. and Kosinski, J.A., 2004. IEEE International Ultrasonics, Ferroelectris,
and Frequency Control Joint 50th Anniversary Conference, 790-794.
Robertson, B.F. and Reid, J.S., 1979. X-ray Scattering Intensities from a Shell Model
for Silicon. Acta Crystallogr., A 35, 785-788.
Roy, S.K. and Kundu, N., 1987. Dynamical properties of 57Fe impurities in different
metallic solids from anharmonic recoilless fractions. Journal of Physics F: Met.
Phys. 17, 1051-1064.
Schowalter, M., Rosenauer, A., Titantah, J. T., and Lamoen, D., 2009. Computation and
parametrization of the temperature dependence of Debye–Waller factors for
group IV, III–V and II–VI semiconductors. Acta Cryst. A65, 5–17.
Sears, V.F., Shelley, S.A. 1991. Debye–Waller factor for elemental crystals. Acta
Crystallogr., A 47, 441-446.
Shankar N., M., Gopi Krishna, N., Sirdeshmukh, D.B. 2001. X-ray determination of
Debye–Waller factors and Debye temperatures of h.c.p. elements Ti, Zr, Ru,
Tm, Hf. Acta Crystallogr. A 57, 217-218.
Shukla, R.C., Taylor, D.W. 1992. Debye–Waller factor of sodium: a comparison of
theory and experiment. Phys. Rev., B 45(18), 10765-10768.
50
Sorescu, M. 2002. A new method for direct determination of the recoilless fraction
using a single room-temperature Mössbauer measurement of a two-foil absorber.
Mater. Lett. 54, 256-259.
Stedman, R., Nilsson, G., 1965. Inelastic Scattering of Neutrons in solids and Liquids,
vol.1.
Okuducu, S., Askerov, I.M. 2002. Nuclear gamma resonances in Ga2S3: 151Eu single
crystals. J. Korean Phys. Soc. 41(1), 32-36.
Owen, E.A.,Williams, R.W., 1947. The effect of temperature on the intensity of X-ray
reflexion. Proc. Roy. Soc. A 188, 509-521.
Ünak, T., 1972. Mössbauer Olayı. Ege Üniversitesi Radyo-Ġzotop AraĢtırma Merkezi
Yayınları, No:3.
Waller, I., 1923. Zur Frage der Einwinkung der Warmebewegung auf die Interfenenz
von Röntgestrahlen, Zeitsschrift für Physik A: Hadrons and Nuclei, 17, 398-408.
Walker, C.B., 1956. X-ray study of lattice vibrations in aluminum. Phys. Rev. 103, 547557.
White, H.C., 1958. Atomic force constants of copper from Feynman’s theorem. Phys.
Rev. 112, 1092-1105.
51
EK 1.
Program 1. Geri Tepme Ġhtimali (EĢitlik 3.18) için Mathematica 5.0 bilgisayar
programı.
52
EK 2.
Program 2. Geri Tepme Ġhtimali (EĢitlik 3.26) için Mathematica 5.0 bilgisayar
programı.
53
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler:
Adı Soyadı
Doğum Tarihi ve Yeri
Medeni Hali
Yabancı Dili
Telefon
e-mail
: Erhan ESER
: 13.06.1979 / Ankara
: Bekar
: Ġngilizce
: 0505 694 74 54
: [email protected]
Eğitim:
Derece
Doktora
Yüksek Lisans
Lisans
Lise
Eğitim Birimi
GaziosmanpaĢa Üniversitesi
GaziosmanpaĢa Üniversitesi
GaziosmanpaĢa Üniversitesi
Ankara Uluğbey Lisesi
Mezuniyet
Tarihi
2010
2005
2002
1996
Yayınlar
1. Eser, E., Askerov, I.M, Mamedov, B.A., 2009. “Calculation of the Debye–
Waller factor of crystals using the n-dimensional Debye function involving
binomial coefficients and incomplete gamma functions”, Hyperfine
Interaction, 194, 381.

Download Report