D. Nurmämmedow, M. Handöwletow, G. O. Meredow
GEODEZIÝA ÖLÇEMELERINI
MATEMATIKI TAÝDAN GAÝTADAN IŞLEMEKLIK TEORIÝASY
(okuw gollanmasy)
ÄHTIMALLYGYŇ KESGITLENILIŞI
Wakalaryň görnüşleri we olaryň
üstünde geçirilýän amallar
Her bir tejribäni, hadysany synag diýip atlandyralyň. Şu synagda käbir hadysanyň, wakanyň,
netijäniň bolup bilmegi-de, bolup bilmezligi-de mümkin. Şonda şu hadysa biz tötänleýin waka,
köplenç halatda gysgaça waka diýip at bereris we A, W, S, ... harplar bilen belgilejekdiris. Umuman,
waka diýip biz belli bir synagda bolup biljek, bolup bilmejek, hökmany bolmaly, hiç haçan bolup
bilmejek faktlara, hadysalara, netijelere düşünýäris. Synagda hökmany suratda bolup biljek ýa-da
eýýäm bolan zada çyn waka diýýäris. Berlen synagda hiç haçan bolup bilmejek waka mümkin däl
waka diýilýär.Berlen synagda A wakanyň manysyna ters bolan waka garşylykly waka diýilýär we
A-diýip belgilenýär.Eger belli synagda iki wakanyň biriniň bolmaklygy beýleki wakanyň
bolmaklygyny ýok edýän bolsa , onda ol wakalara bilelikdeş däl wakalar diýilýär. Eger synagda iki
wakanyň biriniň bolmagy beýlekisiniň bolmagyny ýok edmeýän bolsa , onda bu wakalara bilelikdeş
wakalar diýilýär.
Synagda birnäçe wakalaryň biri we diňe biri bolup geçýän bolsa, onda wakalara eke-täk
mümkinçilikli wakalar diýilýär. Eke-täk mümkinçilikli wakalaryň bilelikdeş däl wakalar
bolýandygy aýdyňdyr.
Eger birnäçe wakalaryň biriniň bolmagy beýlekilere görä has mümkindir diýip hasap
edilmese, onda ol wakalara deňmümkinçilikli wakalar diýilýär.
Eke-täk mümkinçilikli wakalaryň toplumyna wakalaryň doly topary diýilýär. Hususy halda, A
we A wakalar doly topary emele getirýär.
Iki wakanyň biriniň bolmagy beýlekisiniň bolmagyna täsir etmeýän bolsa, onda ol wakalara
bagly däl wakalar diýilýär.
Iki wakanyň biriniň ýüze çykmagy beýlekisine bagly bolsa, onda ol wakalara bagly wakalar
diýilýär.
Indi wakalaryň üstündäki amallara garap geçeliň.
A wakanyň ýa-da W wakanyň ýa-da bu wakalaryň ikisiniňde bolmagyndan ybarat bolan waka
A we W wakalaryň jemi diýilýär we A+W bilen belgilenýär.
Bu kesgitlemäni birnäçe wakalaryň jemi üçin hem umumylaşdyryp bolýar: olaryň jemi diýip
iň bolmanda biriniň ýüze çykmaklygyna aýdylýar.
A we W wakalaryň birwagtda ýüze çykmagyna olaryň köpeltmek hasyly diýilýär we AW bilen
belgilenýär.
Otnositel ýygylyk we ähtimallygyň klassiki kesgitlemesi
Şol bir synag birnäçe gezek geçirilende A waka birnäçe gezek duş gelip we birnäçe gezek duş
gelmän hem biler. Synaglaryň sanyny näçe köpeltsek, onda A wakanyň ýüze çykýan sany hem
üýtgär. Goý, synaglaryň sany n bolsun, A wakanyň ýüze çykýan hallarynyň sany m bolsun.Onda biz
m/n sana şol A wakanyň otnositel ýygylygy diýýäris wa W(A) ýa-da ýöne W harp bilen belgileýäris.
m
W ( A) =
(1)
n
Wakanyň (1) otnositel ýygylygy synaglaryň n sany hemişelik bolanda hem üýtgäp durýan
ululykdyr. Emma synaglaryň n sanyny ulaltsak m sany hem ulalar, emma her bir ýagdaýda wakanyň
W otnositel ýygylygy dürliçe bolsada, ýöne şol bir hemişelik sana ýakyn bolýar, şol hemişelik sana
A wakanyň ähtimallygy diýilýär we ol obektiw ululykdyr.
Kesgitleme. Synagyň eke-täk mümkinçilikli we deň mümkinçilikli netiželeriniň umumy n
sanyndan ugur alyp A waka ýardamly bolan m netijeleriň n sana bolan gatnaşygyna A wakanyň
ähtimallygy diýilýär we
P = P( A) =
m
n
(2)
diýip belgilenýär.
Bu kesgitlemeden ähtimallygyň aşakdaky häsietleri gelip çykýar.
1. Çyn wakanyň ähtimallygy bire deň, çünki bu halda m=n bolýar. Şoňa görä-de (2)
formulladan
m
P = P( A) = = 1
n
2. Mümkin däl wakanyň ähtimallygy nula deňdir, çünki m=0 bolýar:
0
P = P( A) = = 0
n
3. Tötänleýin ululygyň ähtimallygy položitel ululyk bolup, ol nul bilen birligiň arasyndaky san
bolýar.
Wakanyň ähtimallygynyň statistiki kesgitlemesi
Kesgitlenen wakanyň W otnositel ýygylygy wakanyň p ähtimallygy bilen deňeşdirilende,
geçirilen synagyň netijesinde otnositel ýygylygyň kesgitlenendigini, ähtimallygyň bolsa tejribeden
öň kesgitlenendigini belläp geçmeli. Şonuň üçin köp halatlarda wakanyň ähtimallygyň onuň
otnositel ýygylygyndan (p-W) gyşarmasyny bahalandyrmak meselesi öňde goýulýar.
Ozalky belleýşimiz ýaly, synaglaryň sany näçe uly bolsa. Wakanyň otnositel ýygylygy käbir p
hemişelik sana ýakyn bolýar. Şol p sana hem wakanyň ähtimallygy diýilýär.
Ähtimallygy goşmak teoremasy
Teorema. Bilelikdeş däl iki wakanyň jeminiň ähtimallygy bu wakalaryň ähtimallyklarynyň
jemine deňdir:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Subudy. Goý, ähli synaglaryň (ölçemeleriň) sany n bolsun. A waka ýardam berýän wakalaryň
sany m1, B waka ýardam berýän wakaldaryň sany m2 bolsun
m
m
P( A) = 1
we
P( B) = 2
n
n
Onda A+W waka ýardam berýän wakalaryň sany m1+ m2 bolar. A+W wakanyň ähtimallygynyň
bilelikdeş däl häsietini nazara alyp ýazarys.
m + m2 m1 m2
P( A + B) = 1
=
+
= P( A) + P( B)
n
n
n
Ähtimallyklary köpeltmek teoremasy.
Şertli ähtimallyk
Teorema. Bagly däl wakalaryň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy şol wakalaryň
ähtimallyklarynyň köpeltmek hasylyna dendir:
P( AB) = P( A) × P( B)
Subudy. Bellemeler girizeliň. Goý, А wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek mümkin
bolan elementar netijeleriniň sany k bolsun, А waka ýardam berýän netijeleriň sany k1 bolsun. В
wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek elementar netijeleriniň sany l bolsun, В waka ýardam
berýän netijelerinň sany l1 bolsun. Onda k1 ≤ k we l1 ≤ l. Şunlukda А we B wakalaryň ikisiniň
hem bolup biljek ýa-da A we В wakalaryň bolup biljek ýa-da А we B wakalaryň bolup biljek ýada elementar netijeleriň umumy sany kl bolar, çünki А wakanyň bolup ýa-da bolup bilmejek
netijeleriniň her biri В wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek netijeleriniň her biri bilen
utgaşmaly. Şu kl netijeleriň dine k1l1 sanysy А we В wakalaryň bilelikde bolmagyna ýardam berýär.
Ondan basga-da Р(А) =
k1
l
we Р(В) = 1 nazarda tutup alarys:
k
l
kl
k l
Р(АВ) = 1 1 = 1 1
kl
k l
Teorema. Toplumlaýyn bagly däl wakalaryň bilelikde ýüze çykmaklygynyň ähtimallygy ol
wakalaryn ähtimallyklarynyň köpeltmek hasylyna deňdir:
Р(АВС) = Р(А) ·Р(В) ·Р(С)
Subudy. А, В, С wakalaryň bilelikde ýüze çykmaklygy АВ we С wakalaryň bilelikde ýüze
çykmagy bilen deňgüýçlüdir.
P ( ABC ) = P ( AB) ⋅ P (C ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C )
Teorema. Bilelikdeş däl А1, А2, А3 wakalaryň dine biriniň ýüze çykmak (А wakanyň)
ähtimallygy
P( A) = p1 q1 q2 + p2 q1 q3 + p3 q1 q 2
(3)
formula bilen hasaplanylýar, bu ýerde
Pk ( A) = p k ; q k = 1 − p k (k = 1, 2,3).
Subudy. Diňe А1 wakanyň bolmaklygy А1·Ā2·Ā3 wakanyň bolmaklygy bilen deň güýçlüdir.
Şuny nazara tutup, asakdaky belgilemeleri girizeliň.
В1 - diňe А1 waka ýüze çykdy, ýagny В1 = А1·Ā2·Ā3
В2 - dine А2 waka ýüze çykdy, ýagny В2 = А2·Ā1·Ā3
В3 - dine А3 waka ýüze çykdy, ýagny В3 = А3·Ā1·Ā2
В1, В2, В3 wakalar bilelikdeş däl wakalar bolany üçin ähtimallyklary goşmak formula göre ýerine
ýetirilýär:
Р(В1 + В2 + В3) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3).
В1, А2, А3 wakalar bagly däl bolany üçin
Р(В1) = Р(А1) ·Р(Ā2) ·Р(Ā3) = p1q2q3,
Р(В2) = Р(А2) ·Р(Ā1) ·Р(Ā3) = p2q1q3,
Р(В3) = Р(А3) ·Р(Ā1) ·Р(Ā2) = p3q1q2.
Onda ahyrky netijede soňky deňliklýeriň esasynda (3) formulany alarys.
Teorema. Toplumlaýyn bagly däl А1, А2, … , Аn wakalaryň iň bolmanda biriniň ýüze
çykmagynyň ähtimallygy birlik bilen garsylykly Ā1, Ā2, …,Ān wakalaryň ähtimallyklarynyň
köpeltmek hasylynyň tapawudyna deňdir:
P( A) = 1 − q1 q 2 ⋅ ⋅ ⋅ q n
Hususy halda, А1, А2, … , Аn wakalaryň ähtimallyklary bir deň bolsa onda
P( A) = 1 − q n .
Subudy. Goý, А1, А2, … , А3 wakalaryň iň bolmanda biri ýüze çykmaly diýen wakany A diýp
bellälin. Onda A waka we Ā1·Ā2·Ā3· · ·Ān waka (ýagny wakalaryň biride bolanok diýen waka) özara
garsylyklydyr.
Р (А1) + P(Ā1Ā2· · ·Ān) = 1
Bu ýerden
Р(А) = 1 - p(Ā1Ā2· · ·Ān).
Onda ähtimallyklaryny köpeltmek formulasyndan ugur alyp, alarys:
P( A) = 1 − P( A1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n ) = 1 − q1 q 2 ⋅ ⋅ ⋅ q n .
Teorema. Bagly iki wakanyň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy olaryň biriniň
ähtimallygynyň şol waka eýýäm boldy diýen şertde beýlekisiniň şertli ähtimallygyna köpeltmek
hasylyna deňdir:
Р(АВ) = Р(А) ·РА(В).
(4)
Subudy. Asakdaky belgilemeleri girizeliň. Goý, А wakanyň bolup biljek ýa-da bolup
bilmejek elementar netijeleriniň sany k bolsun, şunlukda А waka ýardam berýän netijeleriň sany k1
bolsun. А waka eýýäm bolup geçdi diýen şertde В waka ýardam berýän, ýagny АВ wakanyň
bolmagyna ýardam berýän netijelerin sany l bolsun. Şunlukda k1 ≤ k we l ≤ k1 bolar. АВ wakanyň
bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy
Р(АВ) =
l
l k1
=
·
k
k1 k
k
l
= РА(В) we 1 = Р(А) nazarda tutup, (4) formulany alýarys.
k
k
Netije. Bagly birnäçe wakalaryň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy olaryň biriniň
ähtimallygynyň ähli galan wakalaryň şertli ähtimallyklaryna köpeltmek hasylyna deňdir, şunlukda
her bir soňky wakanyň ähtimallygy ähli öňki wakalar ýüze çykdy diýen şertde hasaplanylýar:
Şunlukda
P( A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An ) = P( A1 ) PA1 ( A2 A3 ⋅ ⋅ ⋅ An ) = PA1 PA1 ( A2 ) ×
PA1A2 ( A3 A4 ⋅ ⋅ ⋅ An ) × PA1 A2 A3 ( A4 A5 ⋅ ⋅ ⋅ An ) =
= P( A1 ) PA1 ( A2 ) PA1A2 ( A3 ) ⋅ ⋅ ⋅ PA1 A2 ⋅⋅⋅ An−1 ( An )
Üç sany waka üçin
P( ABC ) = P( A) PA ( B) PAB (C )
(5)
formulany alarys, bu erde wakalaryň ýüze çykmak tertibinin ähmieti ek.
Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny goşmak teoremasy.
Doly ähtimallyk formulasy. Baýesiň formulasy
Teorema. (Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny gosmak teoremasy). Bilelikdeş iki
wakanyň iň bolmanda biriniň ýüze çykmak ähtimallygy olaryň ähtimallyklarynyň jemi bilen olaryň
bilelikde ýüze çykmak ähtimallyklarynyň tapawudyna deňdir.
P( A + B) = P( A) + P( B ) − P( AB)
Subudy. А we В wakalar bilelikdeş bolany üçin, eger AB , AB ýa-da АВ bilelikdeş däl
wakalaryň biri ýüze çykanda А+В waka bolar. Bilelikdeş däl wakalary goşmak formulasy boýunça
P( A + B) = P( AB) + P( AB) + P( AB)
(6)
Iki sany bilelikdeş däl AB we AB wakalaryň biri ýüze çykanda А waka ýüze çykar. Onda ýene
öňki formula görä alarys:
P( A) = P( AB) + P( AB).
Bu ýerden
P( AB) = P( A) − P( AB)
Şuňa menzeşlikde
P( B) = P( AB) + P( AB)
Bu ýerden
P( AB) = P( B) − P( AB).
soňky deňlikleri ulanyp (6) formulany alarys.
Netije 1. Eger А we W wakalar bilelikdeş däl wakalar bolsa, АВ mümkin däl wakadyr:
Р(АВ) = 0 bolar.
P( A + B) = P( A) + P( B)
Netije 2. Eger А we В bagly wakalar bolsa, onda (5) formulany
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( A) PA ( B)
görnüşde ýazyp bolar.
Teorema. (doly ähtimallyk formulasy) Eger:
a) B1,B2,…,Bn bilelikdeş däl wakalar bolsa,
b) bu wakalar doly topary emele getirse,
c) käbir A baka şu B1,B2,…,Bn wakalaryň diňe biri ýüze çykanda bolup geçse, onda A
wakanyň ähtimallygy şu wakalaryň ähtimallyklaryny A wakanyň şu wakalara görä şertli
ähtimallyklaryna köpeltmek hasyllarynyň jemine deňdir:
P( A) = P( B1 ) PB1 ( A) + P( B2 ) PB2 ( A) + Λ + P( Bn ) PBn ( A) (7)
Teorema. (Baýesiň teoremasy). Goý, (7) formulanyň şertli ýerine ýetsin we käbir synag
geçirilip, onüň netijesinde А waka ýüze çykypdyr dielin. Şu şertde В1, В2, … , Вn wakalaryň
ähtimallygy (ýagny şertli ähtimallyklary)
PA ( Bk ) =
P( Bk ) PBk ( A)
P( A)
(k = 1,2,…,n)
formula bilen hasaplanylýar, bu ýerde Р(А) ähtimallygy (7) formula boýunça hasaplamaly.
Bellik. Baýesin formulasy synagdan öňki we söňky ähtimallyklary täzeden deňeşdirmäge
mümkinçilik berýär.
Subudy. Ilki bilen РА (Вk) şertli ähtimallygy tapalyň. Köpeltmek teoremasy boýunça
P( ABk ) = P( A) PA ( Bk ) (k = 1,2,…,n),
bu ýerde
P( АBk )
(k = 1,2,…,n).
P( A)
Р(А) doly ähtimallygy (7) formula boýunça hasaplap we РА (АВk) ähtimallyga köpeltmek
formulasyny ulanyp
PA ( Bk ) =
PA ( Bk ) =
P( Bk ) PBk ( A)
P( A)
(k = 1,2,…,n)
formulany alarys.
P( A) = P( B1 ) PB1 ( A) + ... + P( Bn ) PBn ( A).
Gaýtalanýan synaglar shemasy.
Bernulliniň formulasy
Synaglar birnäçe gezek geçirilýän bolsa we şol synaglaryň her birinde şol bir А wakanyň
ähtimallygy beýleki synaglaryň netijesine bagly bolmasa, onda şol synaglara А görä bagly däl
synaglar diýilýär. Dürli synaglarda А wakanyň ähtimallygy dürli-de bolup biler ýa-da şol bir
üýtgemeýän ähtimallygynyň bolmagyda mümkin. Biz her synagda А wakanyň ähtimallygyny
hemiselik p diýip alalyň, onda A wakanyň ähtimallygy q=1-p bolar. Indi jemi n synag edilýän
bolsa, şol synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak ähtimallygyny hasaplamaklyga girişeliň,
şunlukda А wakanyň nähili tertipde çykýanlygy nazara alynmaýar. Ýönekeý ýagdaýlardan başlalyň.
I. Hemme synagda А waka ýüze çykýar, ýagny А·А ····. А waka ýüze çykýar. Onda bagly däl
wakalaryň ähtimallyklaryny, köpeltmek formulasy boýunça
Р(А·А…·А) = Р(А)·Р(А)·… ·Р(А) = pn,
Ýagny hemme n synagda А wakanyň bolmagynyň ähtimallygy pn deňdir.
II. А waka bir synagdan başga beýleki ähli synaglarda ýüze çykýar. Bu hallary sanap geçelin.
 A· A· A· ... · A

 A· A· A· ... · A

.... −
 A· A· A· .... ·A

Her bir halda şol halyň ähtimallygy q ⋅ p ⋅ p ⋅ ... ⋅ p = p n −1 q deň. Bu hallar bilelikdeş däldirler.
Onda ähtimallyklary goşmak formulasy boýunça
P( AA... A) + ... + P( A ⋅ A...A)np n−1 q = p n (n − 1)
III. А waka iki synagdan başga galan synaglarda ýüze çykýar. Bu hallaryň her biri (ĀĀ
AA…A) tipli hallar; ähtimallygy p n− 2 q 2 deň bolar, bu hallaryň sany bolsa utgaşmalar teoriýasyndan
belli bolşy ýaly
C n2 =
n(n − 1)
n!
=
2
2!(n − 2)!
bilen kesgitlenilýär, bu ýerde n! faktorial n! = 1·2·3…·n deňdir. Onda А wakanyň n synagda iki
gezek bolmazlygynyň (ýa-da n-2 gezek bolmagynyň) ähtimallygy Cn2 p n − 2 q 2 deň bolar. Bu
ähtimallygy Pn (n − 2) ýa-da Pn − 2, n diýip belläp
Pn (n − 2) = Pn − 2, x
n!
p n −2q 2
2!(n − 2)!
deňligi alarys. Şuňa menzeslikde n synagda А wakanyň m gezek bolmak ähtimallygy
Pn (m) = Pm⋅n
n!
p m q n− m
m!(n − m)!
formula boýunça hasaplanylýar, bu formula Bernulliniň formulasy diýilär.
Laplasyň lokal teoremasy
Öň görşümiz ýaly, Bernulliniň formulasy n synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak
ähtimallygyny hasaplamaga mümkinçilik berýär, emma m we n ululygyň eýýäm uly bahalarynda
ony ulanmak kyn bolýar, çünki uly sanlar bilen iş salyşmaly bolýar. Şonuň üçin Bernulliniň
formulasyna ýüz tutman, bizi gyzyklandyrýan ähtimallygy hasaplamaga girişmeli. Ony Laplasyň
1
lokal teoremasynyň üsti bilen hasaplamak bolar. Р=
üçin Bernulliniň formulasynyň asimptotik
2
görnüşi Muawr tarapyndan tapyldy, islendik 0 ≤ р ≤ 1 üçin bolsa Laplas tarapyndan tapyldy.
Laplasyň lokal teoremasy. Her bir synagda А wakanyň ähtimallygy hemişelik р sana
≤
(0<р 1) deň bolsa, onda А wakanyň n synagda m gezek ýüze çykmak ähtimallygy takmynan
Pn (m) =
1
φ(x)
npq
φ(x) =
1 −2
e .
2π
funksiýanyň bahasyna deňdir; bu ýerde
x2
funksiýa Laplasyň funksiýasy diýilýär; x ululyk bolsa
m − np
deňdir. Laplasyň funksiýasy üçin
npq
ýörite tablisa düzülendir.
Indi φ(x) funksiýanyň häsietlerine garap geçeliň.
1) bu funksiýa jübüt funksiýadyr. φ(-x) = φ(x).
2)
2) х ululygyň hemme bahalarynda funksiýanyň bahalary položitel bolýar, diýmek
grafik ох okundan ýokarda ýerlesýär.
3) х ululyk tükeniksizlige ymtylanda funksiýanyň predeli nula deň bolýar.
lim ( x ) = 0
x →∞
Laplasyň integral teoremasy
n synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak ähtimallygyny tapmaga Laplasyň lokal
teoremasy mümkinçilik berýär, ýöne А wakanyň m1 ≤ m ≤ m2 çäklerdäki ähtimallygyny hasaplamak
üçin amatly däldir. Onuň üçin Laplasyň integral teoremasy amatlydyr.
Laplasyň integral teoremasy. Eger her bir synagda А wakanyň ýüze çykmaklygynyň
ähtimallygy hemiselik 0 ≤ р ≤ 1 bolsa, onda А wakanyň m1 ýagdaýdan m2 ýagdaýa çenli çäklerde
ýüze çykmak ähtimallygy aşakdaky
Pn (m1 , m2 ) =
1
2r1
x2
∫e
−
z2
2
dz
x1
kesgitli integrala deňdir. Bu ýerde
x′ =
m1 − np
;
npq
x ′′ =
m 2 − np
.
npq
Bu Ф(х) funksiýa üçin ýörite tablisa düzülen, ol tablisada х-in bahalary 0,5 çenli üýtgeýär, х>5
bolsa, Ф(х) = 0,5 diýip almaly, х-iň otrisatel bahalary üçin täklik häsietinden peýdalanmaly Ф(-х)
= -Ф(х). Şunlukda asakdaky denlikden peýdalanyp bolar:
p n (m1 , m2 ) = Φ ( x ′′) − Φ ( x ′)
Diskret we üznüksiz tötänleýin ululyklar
Kesgitleme. Synagyň netijesinde bir we diňe bir tötänleýin (mümkin bolan) bahany alyp
biljek ululyga tötänleýin ululyklar diýilýär.
Mysal üçin, tirde ok atylanda urulýan oçkolaryn sany, lotoreýada utuşyň gymmatynyň
bahalary, şaý pul oklananda «gerbli» taraplaryn düşüşiniň sany tötänleýin ululyk bolup biler.
Tötänleýin ululyklar iki hili bolýar:
1. Eger ululyk aýry-aýry üzňe bahalary alýan bolsa, ona diskret tötänleýin ululyklar
diýilýär.
2. Käbir tükenikli ýa-da tükeniksiz aralyklardaky hemme bahalary alyp bilýän ululyga
üznüksiz tötänleýin ululyk diýilýär.
Diskret tötänleýin ululygy diňe olaryň alýan bahalaryny bermek bilen kesgitlemek ýeterlik
däldir. Şol bahalary nähili ähtimallyk bilen olaryň alýandygyny, ýagny şol bahalaryň
ähtimallyklaryny hem bermek gerek bolýar. Umuman diskret tötänleýin ululyk köplenç asakdaky
ýaly tablisa bilen berilýär.
Tötänleýin ululyk
Ähtimallygy
x
p
x1
p1
x2…
p2…
xn
pn
Geçirilýän synagda tötänleýin ululygyň bir we diňe bir bahany alýandygyny nazarda tutup, ol
hallaryň doly topary emele getirýändigini bilýäris. Onda Р1+Р2+...+Рn = 1 bolmaly. Ýokarda
berlen tablisa diskret tötänleýin ululygyň paýlanyşy diýilýär.
Diskret tötänleýin ululyk üçin iki hili paýlanyş bolýar:
Ähtimallyklaryň «Puasson» paýlanylyşy. Bu paýlanyşda np = λ hemişelik bolmaly diýen
şertiň kanagatlanmagy talap edilýär. Bu şertiň ýerine ýetmegi wakanyň ýüze çykmagynyň ortaça
sanynyň üýtgemän galmagyna getirýär. n uly bolanda Bernulliniň formulasynda predele geçip,
lim Pn (m) predel tapylýar. Bir näçe hasaplamalardan soň
n→∞
Pn (m) =
λm e − λ
.
m!
(8)
Puassonyň formulasyny alýarys. Bu formula n uly we р kiçi bolanda ulanylýar.
Diskret tötänleýin ululyklaryň san harakteristikalary
we matematiki garaşmanyň häsietleri
Biziň bilşimize görä, diskret tötänleýin ululyklaryň paýlanyş kununynyň berilmegi tötänleýin
ululygy doly häsietlendirýär, ýöne köp wagtlarda tötänleýin ululygyň paýlanyş kanuny berilmeýär,
iňňän az maglumatlar bilen iş salyşmaly bolýar. Bu maglumatlara başgaça tötänleýin ululygyň san
harakteristikalary diýilär. Şu hili harakteristikalar bolup, matematiki garaşma (ortaça baha),
dispersiýa we orta kwadratik gyşarma hyzmat edýär.
Köp meseleleri çözmek üçin matematiki garaşmany tapmak ýetelikdir. Meselem, eger birinji
atyjynyň urýan oçkolarynyň sanynyn matematiki garaşmasy ikinji atajynyňkydan uly bolsa, onda
birinji atyjy ikinji atyjydan ortaça köp oçko urýar we ol mergen diýen netije çykarýarys.
Kesgitleme. Diskret tötänleýin ululygyň bahalarynyň degişli ähtimallyklaryna köpeltmek
hasyllarynyň jemine şol ululygyň matematiki garaşmasy diýilýär we aşakdaky ýaly bellenýär:
M ( X ) = MX = X 1 P1 + X 2 P2 + ... + X n Pn
Mysal. Aşakdaky paýlanyş
Х
р
3
0,2
5
3
2
0,5
tablisasy boýunça tötänleýin ululygyň matematiki garaşmasyny tapmaly.
Çözülisi. Formula boýunça
M(X) = 3·0,2 + 5·0,3 + 2·0,5 = 0,6 + 1,5 + 1 = 3,1.
Matematiki garaşmanyň ähtimallyk manysyna garap geçelin. Goý jemi n synag geçirilip,
şolaryň m1 sanysynda tötänleýin ululyk Х1 bahany, m2 sanysynda Х2 bahany, ... , mk sanysynda Хk
bahany kabul etsin, şunlukda m1+m2+...+mk = n bolar. Onda Х ululygyň kabul eden bahalarynyň
jemi m1Х1+Х2m2+...+Хkmk deň bolar. Onda tötänleýin ululygyň alan bahalarynyň X ortaça
arifmetik bahasy
X =
m1 X 2 + X 2 m2 + ... + X k mk m1
m
m
=
X 1 + 2 X 2 + ... + k X k
n
n
n
n
deň bolar. Bu ýerde
Wi =
mi
gatnasyk degişlilikde xi=1,2,...k ,bahanyň otnositel ýygylygy bolar:
n
mi
onda ýokarky deňligi
n
X = X 1W1 + X 2W2 + ... + X k Wk
diýip ýazmak bolar. Eger-de n san ýetelik uly san bolsa, onda otnositel ýygylyklary degişli
ähtimallyklar bilen çalyşyp bileris:
X = X 1 P1 + X 2 P2 + ... + X k ⋅ Pk
Bu soňky denligiň sag tarapy М(Х) matematiki garaşma deňdir.
X ≈ M (X )
Şeýlelik bilen, synaglaryň sany näçe uly bolsa, şonçada М(Х) matematiki garaşma tötänleýin
ululyklaryň syn edilýän bahalarynyň ortaça arifmetik bahasyna takyk deňdir.
Şunlukda, М(Х) matematiki garaşma tötänleýin ululygyň bahalarynyň in kiçisinden uludyr we
iň ulusyndan kiçidir. San okunda tötänleýin ululygyň bahalary М(Х) matematiki garaşmadan sagda
we çepde ýatýarlar. Şu manyda matematiki garaşma paýlanyşyň ýerleşişini häsietlendirýär we şoňa
görä-de oňa paýlanyşyň merkezi diýilýär. Bu termin mehanikadan alynandyr. Eger P1,P2,...,Pn
n
massalara X1,X2,...,Xn abssissaly nokatlarda ýatýan bolsa we şunlukda
∑p
k
massalar bolsa, onda
k
agyrlyk merkezi
n
xc =
∑X
k
Pk
k =1
n
∑P
k =1
k
deňdir.
Matematiki garaşma - abssissalary tötänleýin ululygyň bahalaryna deň bolan, massalary bolsa
olaryň ähtimallyklaryna deň bolan material nokatlar sistemasynyň agyrlyk merkezinin abssissadyr.
«Matematiki garaşma» diýen termin ähtimallyk teoriýasynyň döremeginin başdaky döwri bilen
baglanyşyklydyr.
Indi matematiki garaşmanyň häsietleri bilen tanyşalyn.
1. Kesgitleme. Goý, Х tötänleýin ululyk berlen bolsun we onuň matematiki garaşmasy М(Х)
deň bolsun.
Onda Х - М(Х) tapawutda tötänleýin ululygyň gyşarmasy diýilýär we aşakdaky tablisa
boýunça paýlanylýar.
X - M(x)
P
X1 - M(x)
P1
X2 - M(x)
P2
…
…
X-Mn(xn)
Pn
Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň matematiki garaşmasy nula deňdir:
M [X − M ( X )] = 0
2. Kesgitleme. Hemişelik ululygyň matematiki garaşmasy özüne dendir:
M (C ) = C
Bu halda tötänleýin ululygyň hemme bahalary X i = C , (i = 1,2...k ),
k
k
i =1
i =1
M ( X ) = ∑ X i Pi = C ∑ P = C
3. Kesgitleme. Hemişelik С ululygyň х tötänleýin ululyga köpeltmek hasylyny kesgitläliň.
a) СХ ululygyň bahalary С hemişelik ululygy Х ululygyň bahalaryna köpeltmek hasylyna
deňdir.
c) СХ ululygyň bahalarynyň ähtimallyklary Х ululygyň bahalarynyň ähtimallyklaryna
deňdir.
X
P
X1
P1
X2
P2
…Xk
…Pk
CX CX1
P
P1
CX2 … CXk
P2 … Pk
Onda hemişelik köpeldijini matematiki garaşma alamatynyň daşyna çykarmak bolar.
M [CX ] = CM [X ]
Dogrudanda, kesgitlemä görä
n
n
n
i =1
i =1
i =1
M [CX ] = ∑ (CX i )Pi = ∑ CX i Pi = C ∑ X i Pi = CM ( X )
4. Iki sany bagly däl ululyklaryň köpeltmek hasylynyň matematiki garaşmasy şol
ululyklaryň matematiki garaşmalarynyň köpeltmek hasylyna dendir:
M ( XY ) = M ( X )M (Y )
Netije. Birnäçe bagly däl tötänleýin ululyklaryň köpeltmek hasylynyň matematiki garaşmasy
olaryň matematiki garaşmalarynyň köpeltmek hasylyna deňdir. Üç sany ululyk üçin
M ( XYZ ) = M ( X )M (Y )M (Z )
5. Iki sany tötänleýin ululygyň jeminiň matematiki garaşmasy şu ululyklaryň
matematik garaşmalarynyň jemine deňdir.
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y )
6. Binomial paýlanysda wakanyň ýüze çykyş sanynyň matematiki garaşmasy
M ( x ) = np
formula boýunça hasaplanylýar.
Diskret tötänleýin ululygyň dispersiýasy
Ilki bilen tötänleýin ululygyň ýaýraýyşyny mukdar taýdan häsietlendirmekligiň zerurlygynyň
maksada laýyklygyny görkezeliň. Iki sany deň matematiki gyşarmalary bolan we dürli san bahalary
bolan х we у tötänleýin ululyklara garalyň.
X
P
-0,01 -0,01
0,5
0,5
y
p
-100
0,5
100
0,5
Matematiki garaşmalary tapalyň.
M ( X ) = (−0,01 + 0,01) ⋅ 0,5 = 0
M (Y ) = (−100 + 100) ⋅ 0,5 = 0
Bu ýýerden görnüşi ýaly, х ululygyň bahalary matematiki М(х)=0 garaşma ýakyn, у ululygyň
bahalary matematiki М(у)=0 bahadan daşdyr. Onda diýmek, tötänleýin ululygyň matematiki
garaşmasyny bilmek bilen onuň nähili bahalary kabul edip biljekdigini, hem-de bu bahalaryň
matematiki garaşma görä nähili ýerlesjekdigini, matematiki garaşmanyň ýanynda nähili
ýaýrajakdygyny bilip bolmaýar. Başgaça aýdaňda, matematiki garaşma tötänleýin ululygy doly
häsietlendirmeýär. Şol sebäpli tötänleýin ululygyň bahalarynyň matematiki garaşmasynyň ýanynda
nähili ýerlesjekdigini häsietlendirmek üçin tötänleýin ululygyň başga mukdar taýdan
häsietlendirmesi - dispersiýa girizilýär. Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň matematiki garaşmasy
nula deňdir.
Praktikada tötänleýin ululygyň bahalarynyň ortaça bahanyň ýanynda nähili ýerleşýändigini
(meselem, artilleriýadan atylan snarýadlaryň nyşananyň töweregine nähili düşýändigini) bilmek
möhümdir. Şu maksat üçin gyşarmanyň bahalarynyň ortaça bahasyny tapmak ýýetelik ýaly bolup
görünýär, ýöne bu halda M [x - M (x)] = 0.
Diýmek bu usul peýda bermeýär, çünki bahalaryň bir topary položitel, başga topary otrisatel
bolup, bir-birini ýek edip, ortaça bahany nula deň edýär. Basga bir usula ýüzleneliň, ýagny
gyşarmalary olaryň absolýut ululyklary bilen çalşyralyň, ýöne bu usulda köp kynçylyklar ýüze
çykýar. Şoňa görä-de, gyşarmanyň kwadratynyň ortaça bahasyny alýarlar.
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň kwadratynyň matematiki gyşarmasyna
tötänleýin ululygyň dispersiýasy diýilýär we
D ( X ) = M [X − M ( X )]
2
(10)
diýip belgilenýär. Bu formula boýunça dispersiýany hasaplamak kyn bolýar.
[
]
D ( X ) = M X − 2M ( X ) ⋅ X + M 2 ( X ) =
[
]
= M ( X 2 ) − M [2 M ( X ) ⋅ X ] + M M 2 ( X ) .
[ ]
D ( X ) = M X 2 − 2M ( X ) ⋅ M ( X ) + M 2 ( X )]
ýa-da
[ ]
D( X ) = M X 2 − M 2 ( X ) .
Alynan formula boýunça dispersiýany hasaplamak amatly bolýar.
Indi dispersiýanyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Hemişelik sanyň dispersiýasy nula deňdir:
D(C)=0
2. Hemişelik köpeldijini dispersiýa alamatynyň daşyna ony kwadrata götirip çykarmak bolýar.
D (CX ) = C 2 D ( X )
3. Bagly däl tötänleýin ululygyň jeminiň dispersiýasy şol ululyklaryň dispersiýalarynyň
jemine deňdir.
D( X + Y ) = D( X ) + D( X )
Subudy D(CX)=C2D(X) görä
[
]
D( X + Y ) = M ( X + Y ) − M 2 ( X + Y ) =
[
2
]
= M X 2 + 2 XY + Y 2 − M 2 ( X + Y )
ýa-da
[ ]
[
[ ]
]
D ( X + Y ) = M X 2 + M 2 XY + M Y 2 − [M ( X ) + M (Y )] =
2
[ ]
( X )] + [M ( y ) − M
= M ( X 2 ) + 2M ( X ) M (Y ) + M Y 2 − M 2 [X ] − 2M ( X ) M (Y ) −
[
− M 2Y = M ( x 2 ) − M 2
2
2
]
(Y ) .
subud edildi.
Netijeler. a) Birnäçe özara bagly däl ululyklaryň jeminiň dispersiýasy şu ululyklaryň
dispersiýalarynyň jemine deňdir, meselem, üç ululyk üçin
D ( X + Y + Z ) = D ( X ) + D(Y ) + D( z ).
b) hemiselik ululygyň we tötänleýin ululygyň jeminiň dispersiýasy, şol ululygyň
dispersiýasyna deňdir.
D (C + X ) = D (C ) + D( X ) = 0 + D( X ) = D ( X )
4. Bagly däl iki ululygyň tapawudynyň dispersiýasy şol ululyklaryň dispersiýalarynyň jemine
deňdir.
D ( X − Y ) = D ( X ) + D (Y )
Dogrudan-da
D ( X − Y ) = D( X ) + D (−Y ) = D ( X ) + D(−Y ) = D ( X ) + (−1) 2 D (Y ) =
= D( X ) + (−1) 2 D (Y ) = D ( X ) + D(Y ).
5. Binomial paýlanyşda dispersiýanyň hasaplanyşy
D ( X ) = npq
formula boýunça hasaplanýar.
Ortaça kwadratik gyşarma we onuň häsietleri
Tötänleýin ululygyň bahalarynyň ortaça bahanyň töweregine ýaýraýyş häsietini
anyklasdyrmak üçin diňe şol ululygyň dispersiýasy hyzmat etmän, onuň ortaça kwadratik
gyşarmasy hem hyzmat edýär.
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň dispersiýasyndan alnan kwadrat köküň bahaşyna şol
ululygyň orta kwadratik gyşarmasy diýilýär we
σ( X ) = σ = D ( X )
(11)
diýip bellenilýär. (10) formuladan görnüşi ýaly ululygyň ölçegi Х ululygyň ölçegi bilen gabat
gelýär, meselem: Х ululyk metr bolsa, onda D(X) hem metr2 bolýar. σ( Х ) ululygyň ölçegi bolsa х
ululygyň ölçegi bilen gabat gelýär. Meselem, σ( Х ) metr bolýar. Şonuň üçin, ýaýraýyşy
häsietlendirmäniň ölçegi Х ululygyň ölçegi bilen gabat gelýär diýen ýagdaýlarda σ( Х ) ulanmaklyk
amatly bolýar hem-de kiçi baha eýe bolýar.
Indi σ( Х ) ortaça kwadratik gyşarmanyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Özara bagly däl tükenikli sanly tötänleýin ululyklaryň jeminiň ortaça kwadratik gyşarmasy
bu ululyklaryň ortaça kwadratik gyşarmalarynyň kwadratlarynyň jeminden alnan kwadrat köküň
bahasyna deňdir.
Subudy.Şu özara bagly däl tötänleýin ululyklaryň jemini
X = X1 + X 2 + ⋅⋅⋅ + X n
diýip belläliň. Dispersiýanyň häsietine görä
D ( X ) = D ( X 1 ) + D( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + D( X n )
alarys. Onda
D ( X ) = σ12 ( X 1 ) + σ 22 ( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + σ 2 ( X n )
ýazyp bileris, onda
σ( X ) = σ 2 ( X 1 ) + σ 2 ( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅σ 2 ( X n )
deňligi alyp bileris. Bu ýýerden kwadrat kök almak bilen (11) formulany alarys.
2. Özara bagly däl n sany birmeňzeş paýlanan tötänleýin ululyklaryň ortaça arifmetik
bahasynyň ortaça kwadratik gyşarmasy şol ululyklaryň her biriniň ortaça kwadratiki gyşarmasyndan
n esse kiçidir.
σ( X ) =
σ
n
Üznüksiz tötänleýiň ululygyň ähtimallyklarynyň
paýlanyşynyň integral we differensial funksiýasy we olaryň häsiýetleri
Diskret tötäenleýin ululyk özüniň bahalarynyň we olaryň ähtimallyklarynyň toplumy bilen
berilýär. Üznüksiz tötänleýin ululygy şu hili bermek bolmaýar.
Goý, х-hakyky san bolsun. Х tötänleýin ululygyň х-den kiçi baha almak ähtimallygyny F(X)
bilen belläliň, şunlukda х üýtgände F(X) hem üýtgeýär, onda F(X) funksiýa bolýar.
Kesgitleme. Her bir х üçin Х tötänleýin ululygyň х-den kiçi bahany almak ähtimallygyny
kesgitleýän F(X) funksiýa paýlanyşynyň integral funksiýasy ýa-da ýöne paýlanyşynyň funksiýasy
diýilýär we
F ( X ) = p( X < x)
diýip bellenilýär. Biz ýöne paýlanyş funksiýasy diýen termini ulanjakdyrys. Geometrik taýdan bu
kesgitlemäni şeýle düşündirmek bolýar. F(X) funksiýa tötänleýin ululygyň san okunda х nokatdan
çepde ýatýan bahany kabul edýän nokat bilen şekillendirmek ähtimallygyny aňladýar.
Şu düşündirişden soň şeýle kesgitleme bermek bolar:
Egerde paýlanys F(X) funksiýa üznüksiz tötänleýin ( X → 0 bolanda ∆y → 0 ) bolsa, onda Х
tötänleýin ululyga üznüksiz tötänleýin ululyk diýiläýr. Indi paýlanyş funksiýanyň häsietlerine
garap geçeliň.
1. Paýlanys funksiýanyň bahasy [0,1] kesime degişlidir
0 ≤ F ( x) ≤ 1 .
2. F(X) kemelmeýän funksiýadyr:
x1 < x 2 bolanda F ( x1 ) ≤ F ( x 2 )
bolmaly.
Netije. 1 Х tötänleýin ululygyň (a, b) aralykda ýatýan bahany kabul etmek ähtimallygy
F (b) − F (a) tapawuda deň, ýagny
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) .
2 Üznüksiz Х tötänleýin ululygyň diňe bir kesgitli bahany almak ähtimallygy nula deňdir:
P( X = x1 ) = 0
3. Eger tötänleýin ululygyň bahalary (a, b) aralyga degisli bolsa, onda
a) x<a bolanda F(x)=0
b) x>b bolanda F(x)=1
Indi ähtimallygyň dykyzlygynyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Üznüksiz Х tötänleýin ululygyň (a, b) aralyga degişli bahany almak ähtimallygy
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx
a
deňdir.
2. Ähtimallygyň f ( X ) dykyzlygy belli bolsa, onda F(x) paýlanyş funksiýasy
x
F ( x) =
∫ f ( x)dx
−∞
formula boýunça tapylýar.
3. Ähtimallygyň f (x ) dykyzlygy otrisatel däldir:
f ( x) ≥ 0
Uly sanlaryň kanuny
Tötänleýin ululygyň synagyň netijesinde haýsy bahany alyp biljekdigini öňünden görkezip
bolmaýar, munuň özi köp sebäplere bagly bolýar, bu sebäpleriň hemmesini biz hasaba alyp hem
bilmeýäris. Her bir tötänleýin ululyk hakda bizde iňňän az maglumat bolany üçin ýetelik köp sanly
tötänleýin ululyklaryň jeminiň özüni alyp barşy tötänleýin häsiýetini ýitirýär we kanunalaýyk bolup
galýar.
Praktikada örän köp tötänleýin sebäpleriň jemleýji täsiriniň tötänlige bagly bolmadyk nätijä
getirýän şertlerini bilmek wajypdyr, çünki ol wakalaryň gidişini önünden bilmeklige mümkinçilik
berýär. Bu şertler uly sanlaryň kanuny diýen umumy ada eýe bolan teoremalarda görkezilýär. Bu
kanuna Çebyşewiň, Bernulliniň kanunlary we başga-da birnäçe kanunlar degişlidir. Uly sanlaryň
kanunynyň iň umumy görnüşi Çebyşewiň teoremasydyr, Bernulliniň teoremasy iň ýönekeýjesidir.
Markowyň deňzisligi
Eger Х tötänleýin ululyk otrisatel bahalary kabul etmeýän bolsa we δ -erkin položitel ululyk
bolsa, onda
P ( X ≤ δ) = 1 −
a
, a = M (x)
b
Bu deňsizlik Х tötänleýin ululygyň bahalarynyň berlen δ > 0 sandan uly bolmazlyk
ähtimallygyny kesgitleýär.
Çebyşewiň teoremasy
Uly sanlaryň kanuny P.L. Çebyşewiň islerinde uly orun tutýar. Bu kanunyň birinji subudy
onuň «Ähtimallyklar teoriýasynyň elementar analiziniň tejribesi» diýen isinde 1845-nji ýylda birinji
gezek berlipdi. Emma bu subutnama hususy hallara garap geçýärdi. Eýýäm 1846-njy ýylda
ekstremal meseläniň esasynda ol has umumy elementar subudyny berdi.
Bu meseläniň gutarnykly çözülişini uly sanlar kanunynyň umumy görnüşdäki subudyny
bermek bilen Çebyşew 1866-njy ýylda «Ortaça ululyklar hakynda» diýen isinde takyklady. Bu
işinde matematiki garaşmalaryň häsietlerini anyklamak esasynda uly sanlar kanunyň dogry
subudyny berdi.
Çebyşewiň teoremasy. Jübüt-jübütden bagly däl ululyklaryň dispersiýalary S berlen položitel
sandan uly bolmasa, bu ululyklaryň ortaça arifmetik ululygyndan absolýut gyşarmasy berlen
haýsyda bolsa bir sandan kiçidir, tötänleýin ululyklaryň sanynyň artmagy bilen bu absolýut gyşarma
bire ýetelik ýakyn bolup galýar.
1 n

1 n
lim P ∑ X i − ∑ M ( xi ) π ε  = 1 .
x →∞
n i =1
 n i =1

Wakalaryň ýönekeýje akymy
Tötänleýin wagt pursatlarynda bolup geçýän wakalara garap geçeliň.
Tötänleýin wagt pursatlarynda bolup geçýän wakalaryň yzygiderligine wakalaryň akymy diýilýär.
Awtomatik telefon stansiýalary (ATS), tiz kömek medisina punktlaryna düşýän çagyryşlar,
aeroporta gonýan uçarlar akyma mysal bolup biler. Akymlaryň biräçe häsietleri bar.
Stasionarlyk häsieti:. Islendik wagt aralygynda k sany wakanyň ýüze çykmak ähtimallygy
diňe k sana we aralygyň t uzaklygyna baglydyr we onuň hasaplanyş baslangyjyna bagly däldir,
şunlukda dürli wagt aralyklary biri-biriniň üstüne düşmeýärler, ýagny kesismeýärler.
Ordinarlyk (ýönekeýlik) häsieti: az wagt aralygynda iki ýa-da ikiden köp wakanyň bolmagy
praktikada mümkin däl diýip hasaplanylýar. Başga sözler bilen aýdylanda az wagt aralygynda
birden köp wakanyň bolmak ähtimallygy diňe bir wakanyň bolmak ähtimallygynda ep-esli kiçidir.
Şeýlelik bilen eger akym ordinarlyk häsietine ee bolsa onda az wagt aralygynda birden köp waka
bolmaýar. Stasionarlyk, soňky täsiriniň ýoklugy, ordinarlyk häsete eýe bolan akyma ýönekeýje
(Puassonyň akymy) akym diýilýär.
Wagt birliginde bolup geçýän wakalaryň orta sanyna akymyň intensiwligi (ýörgünligi)
diýilýär. Eger akymyň intensiwligi belli bolsa, onda t wagt aralygynda ýönekeýje akymyň k
wakasynyň bolmak ähtimallygy
Pt (k ) =
(λt ) ek − λt
kl
formula bilen hasaplanylýar. Bu formulada ýokardaky üç häsiet ýüze çykýar. Pt (k ) ululyk k, t
ululyklara bagly (stasionarlyk häsieti), öňki wagtdaky maglumatlara bagly däl (soňky täsiriň
ýoklugy), k=0 we k=1 degişli bahalary tapalyň:
Pt (0) = e − λt Pt (1) = λte λt .
Indi e − t funksiýany hatara dargadalyň:
(λ t ) 2
+ ...
2!
Birden köp wakanyň ýüze çykmak ähtimallygy:
e − λt = 1 − λ t +
Pt (k ) > 1 = 1 − [ Pt (0) + Pt (1) = 1 − [e − λt + λte − λt ] =

(λ t ) 2 
( λt ) 2
.
(
1
+
λ
t
)
=
= 1 − e −λt [1 + λt ] = 1 − 1 − λt +
2! 
2

Bu bolsa Pt -iň (k>1) kiçi ululykdygyny görkezýär (ordinarlyk häsieti).
Şeýlelik bilen Puassonyň formulasy wakalaryň ýönekeýje akymynyň matematiki modelidir.
Ähtimallyklaryň deňölçegli paýlanyş kanuny
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň hemme bahalarynyň degisli bolan (a, b) aralygynda
ähtimallygyň f (x ) dykyzlygy hemişelik s baha ee bolsa, onda şol paýlanyşa deňölçegli paýlanyş
diýilýär. Diýmek, X<a bolanda we X>b bolanda f ( x ) = 0 bolýar. Onda с ululygyň bahasyny
tapalyň.
∞
b
−∞
a
∫ cdx = c ∫ dx = c(b − a) = 1
bolar. Diýmek,
c=
1
b−a
Ähtimallyklaryň denölçegli paýlanyşynyň kanuny analitik taýdan aşakdaky ýaly bolýar:
0, egerde x ≤ a
 1

f ( x) = 
, egerde a < x ≤ b
b
−
a

0, egerde x > b
Sur. 2
Bu funksiýanyň grafigi 2-njy suratda görkezilendir:
Ähtimallyklaryň normal paýlanys kaňuny
Kesgitleme. Ähtimallygynyň dykyzlygy
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
( x + a )2
2σ 2
funksiýa bilen berlen üznüksiz funksiýanyň ähtimallyklarynyň paýlanyşyna a we b umumy
parametrli normal paýlanyş diýilýär.
Eger-de a = 0 , σ = 1 bolsa, onda normal paýlanyşa normirlenen paýlanyş diýilýär.
x2
1 −2
f ( x) =
e
2π
−
1
Indi a we b parametrleriň y =
e
σ 2π
( x − a )2
2σ2
grafigine edýän täsirine garap geçeliň. Bu
x2
1 − 2σ2
funksiýanyň grafigini birinjiden, y = ϕ( x) =
e
funksiýanyň grafigini a ululyga sýşürip
2π
1 

almaly, ikinjiden, maksimum nokaty A a,
 ; nokaty bolany üçin, σ ululygyň artmagy bilen
 σ 2π 
funksiýanyň bahalary kemelýär, diýmek funksiýanyň grafigi OX okuna ýakyn bolmaly, kemelende
bolsa OY okuna tarap dargamaly, emma a we σ islendik bahasynda OX oky bilen
Sur. 3
şu funksiýanyň emele getirýän meýdany bire deň bolmaly. 3=nji suratda a=0 we σ =1,3 dürli
bahalarynda funksiýanyň grafigi (tabl 1) berlendir.
Tablisa 1
x
σ =1
σ =3
σ =7,5
-1 0.2420
-0.8 0.2898
-0.6 0.3333
-0.4 0.3684
-2 0.3911
0 0.3990
0.2 0.3911
0.4 0.3684
0.6 0.3333
0.8 0.2898
1 0.2420
0.1258
0.1284
0.1304
0.1318
0.1327
0.1330
0.1327
0.1318
0.1304
0.1284
0.1258
0.0527
0.0529
0.0530
0.0531
0.0532
0.0532
0.0532
0.0531
0.0530
0.0529
0.0527
Wariasion hasaplamalar
Köpçüklikleýin tötänleýin hadysalaryň tabun bolýan kanunalaýyklygyny takyklamak statistiki
maglumatlary öwrenmeklige esaslanandyr. Statistiki maglumatlar bolsa syn etmeleriň netijesinde
garalýan ululygyň alýan bahalarydyr.
Mundan beýläk ululygyň dürli bahalaryna wariantalar diýip, ululygyň bahalarynyň
üýtgemegine warirlemek diýip at berjekdiris. Eger ululygyň dürli bahalary biri-birinden käbir
tükenikli sana tapawutlanýan bolsa, onda bu nyşana diskret warirlenýän nyşan diýip at berilýär.
Synaglaryň hatarynda Х wariantanyň näçe gezek gabat gelýändigini görkezýän sana
wariantanyň Т ýygylygy diýilýär.
Wariantanyň Х ýygylygynyň deregine, onuň synaglaryň n umumy sanyna bolan gatnaşygyna
garamak bolýar, bu gatnaşyga Х wariantaň ýygylylygy diýilýär we w x bilen bellenilýär.
Synaglaryň umumy sanynyň ähli wariantalaryň ýygylyklarynyň sanyna deň bolany üçin
(n = ∑ n x ) , aşakdaky deňlikleriň yzygiderligi dogrudyr:
x
wx =
nx
n
= x
n ∑ nx
Wariantlaryň arasyndaky ýygylygyň ýa-da ýygylyklygyň paýlanysy barada pikir etmeklige
mümkinçilik berýän tablisa diskret wariasion hatar diýilýär.
Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişi
Wariasion hataryň grafiki şekillendirilişi ululygyň bahalarynyň warirleniş kanunlaryny aýdyň
görnüşde şekillendirmäge mümkinçilik berýär. Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişiniň
poligon, gistogramma çyzyk ýaly görnüşleri giňden peýdalanylýar.
Poligon köplenç diskret wariasion hatary şekillendirmek üçin ulanylýar. Koordinatalaryň
gönüburçly sistemasynda ony gurmak üçin H wariantaly, hx ýygylykly ( X , n x ) nokady gurýarlar.
Kämahallar ( X , n x ) nokadyň deregine ( X , wx ) nokady gurýarlar. Soňra bu nokatlary yzygider
kesimler bilen birikdirýärler. Iň çetki çepki we sagky nokatlary degişlilikde aşakdan iň kiçi sana
ýakyn bolan warianta we ýokardan iň uly warianta ýakyn bolan wariantalary şekillendirýän nokatlar
bilen birleşdirýärler. Alnan döwük çyzyga poligon diýilýär.
Gistogramma diňe wariasion interwal hatary şekillendirmek üçin hyzmat edýär. Gönüburçly
koordinatalar sistemasynda bu grafigi gurmak üçin abssissalar okunda warirlemek interwalyny
aňladýan kesimleri alyp goýýarlar we şu kesimleri esas hökmünde alyp degişli interwalyň
ýylylygyna deň bolan beýiklikli gönüburçluklary gurýarlar. Şunuň netijesinde başganjak
görnüsindäki figurany alýarlar, şol figura hem gistogramma diýip at berýärler.
Ynanç aralyklary barada düsünje
Şol bir ululyk birnäçe gezek ölçenilende netije hökmünde matematiki garaşmany alýarlar; ol x orta
arifmetik baha deňdir. Ölçemeler netijesiniň takyklygy m x orta kwadratik ýalňyşlyk arkaly
anyklanylýar. Takyklygy şeýle anyklamaklyga nokat arkaly anyklanylyş diýilýär.
Ynanç aralyklary usuly has kämil usuldyr. Matematiki statistikada netijäniň takyklygy I
ynanç aralygy arkaly anyklanylýar; ol aralyk ölçenilýän X ululygyň hakyky bahasyny öz içinde
berlen P ähtimallyk bilen saklaýar:
I = [x − tm x ; x + tm x ] .
Şunlukda ölçemeler normal paýlaşdyrylan bolmalydyr. t koeffisienti berlen P ähtimallyk arkaly
ähtimallyklar aralyklarynyň tablisasyndan (II goşmaça) saýlaýarlar.
Mesele. P=0,85; x = 15,485 we m x = 0,024 bolanda ynanç aralygyny tapmaly.
Çözülisi. Ф(t)= P=0,85 boýunça II goşmaçadan t= 1,44 alýarys. Onda
I = [15,485 − 1,44 ⋅ 0,024; 15,485 + 1,44 ⋅ 0,024]
ýa-da
I = [15,450; 15,520]
Näbelli hakyky X baha 0,85 ähtimallyk bilen 15,450 ≤ X ≤ 15,520 aralykda bolar.
Ortaça ululyklar
Ululyklaryň syn edilen bahalarynyň şol bir hemiselik sanyň töwereginde toplanýanlygy üçin
ortaça ululyklar bütin hataryň wekili hökmünde ýüze çykýar. Diňe hil taýdan birjynsly bolan syn
etmeler üçin ortaça ululyklary hasaplamagyň manysy bardyr.
Ortaça ululyklaryň birnäçe görnüşlerini tapawutlandyrýarlar: ortaça arifmetik, ortaça
garmonik, ortaça geometrik, ortaça kwadratik, ortaça kubik we ş.m. ortaça ululyklar bardyr. Ortaça
ululygyň görnüşi saýlanyp alnanda hataryň haýsy häsietini ortaça ululyk bilen häsietlendirmek
isleýändigimizi ýa-da ortaça ululyk bilen haýsy maksada etmegi göz önünde tutýanlygymyzy
anyklasdyrmalydyrys. Bu häsiete kesgitleýji häsiet diýilýär we ol ortaça ululygyň görnüşini
kesgitleýär. Kesgitleýji häsiet diýen düşünje ilkinji gezek sowet statistigi A.Ý. Boýarskiý
tarapyndan girizildi.
Praktiki meseleler çözlünde her bir syn edilen sany biz ortaça san bilen çalşyranymyzda şol
sanlaryň q-derejeleriniň jemi üýtgemän galar ýaly nähili ortaça sany saýlap almaly diýen sorag ýüze
çykýar. Ortaça sany biz X ululyk bilen belläliň, bu ýerde X položitel we otrisatel sanda bolup
biler. Onda ýokarda goýulan mesele
n
n
∑ xk = ∑ ( X q ) q
q
k =1
k =1
deňligiň ýerine etmegi üçin X q sany tapmaklyga getirilýär. X q san hemiselik bolany üçin deňlik
n
∑X
k =1
görnüş ailar.
k
q
= n ⋅ ( X q )q
Bu ýerden
n
X kq
1 n q
(X q ) = ∑ X k = ∑
n k =1
k =1 n
q
deňligi alarys. Şu soňky deňlikden X q tapalyň:
n
X kq q
=
n
n
∑
Xq =q
k =1
∑x
q
k
k =1
n
.
(12)
(12) deňlik bilen alnan ortaça ululyga q tertipli (derejeli) ortaça ululyk diýilýär. (12) deňlikden q
ululygyň dürli bahalarynda birnäçe ortaça ululyklar alynýar.
1. q = 1 bolsa ortaça arifmetik ululyk alynýar:
n
X1 =
∑x
k =1
k
X1 + X 2 +Κ X n
n
=
n
(13)
2. q = −1 bolsa ortaça garmonik ululyk alynýar:
n
X −1 =
∑x
k =1
−1
k
n
1
1
1
+
+Κ +
X
X2
Xn
= 1
n
3. q = 2 bolanda ortaça kwadratik ululyk alynýar:
n
∑X
X2 =
k =1
2
k
n
X 12 + X 22 + Κ + X n2
.
n
=
4. q = 3 bolanda ortaça kubiki ululyk alynýar:
n
X3 =
3
∑X
k =1
3
k
n
=
3
X 13 + X 23 + Κ + X n3
.
n
5. Diňe ortaça geometrik ululyk şu formuladan alynmaýar. n sany X 1 , X 2 , Κ , X n sanyň
ortaça geometrik ululgy diýip olaryň köpeltmek hasylyndan alnan n derejeli köküne aýdylýar:
n
X геом. = n П X k = n X 1 ⋅ X 2 ⋅ Κ ⋅ X n⋅
k =1
q → 0 sertde ortaça geometrik ululygyň q tertipli (derejeli) ortaça ululyklaryň predeline
X геом. = lim X q
q →0
deň bolýandygyny subut etmek bolar.
Iň köp ulanylýan ortaça ululyk (13) formula bilen kesgitlenýän arifmetik ortaça ululykdyr we
ony X bilen belleýärler.
Eger syn etmelere görä wariasion hatar gurlan bolsa, onda orta arifmetik ululyk
X =
∑ xn
∑n
x
x
(14)
formula bilen kesgitlenýär. Eger hatar diskret bolsa, onda Х warianta, nx bolsa onuň ýygylygydyr;
eger hatar interwal hatar bolsa, onda Х interwalyň ortasydyr. (14) formuladaky nx ululyga agram
diýip at berilýär, Х sany nx ululyga köpeltmekligi çekmek amaly diýilýär. (14) formula bilen
kesgitlenen ortaça arifmetik ululyga (13) formula bilen kesgitlenen ortaça arifmetik ululykdan
tapawutlandyrmak üçin çekilen ortaça arifmetik ululyk diýilýär.
Egerde syn etmeleriň netijesinde diskret hatar gurlan bolsa, onda (13) we (14) formulalar
ortaça arifmetik ululygy berýär. Egerde syn etmeleriň netijesinde interwal hatar gurlan bolsa, onda
(14) we (13) formulalar boýunça kesgitlenen ortaça arifmetik bahalar gabat gelmän hem biler, çünki
(13) formulada ululygyň her interwalyň içindäki bahalary interwalyň merkezindäki baha deň diýip
alynýar. Eger syn etmeler her bir interwalyň içinde denölçegli paýlanan bolsalar we interwalyň
uçlarynyň ýanynda toplanmaýan bolsa, onda şu hili çalsyrmanyň netijesinde ýüze çykýan
ýalňyşlyk, umumy aýdanda örän kiçi bolar.
Wariasion hatar üçin ortaça arifmetik ululygy
X = ∑ xwx
formula bilen hem hasaplamak bolar, bu formula (14) formuladan gelip çykýar. Dogrudanda
n
∑ xn
X =
∑n
x
x
x
= ∑x
x
nx
= ∑ xw x .
∑ nx
x
x
nx
gatnaşyga Х bahanyň ähtimallygy hökmünde garasak we
∑ nx
girizsek, onda
Eger biz
nx
= Pk belgilenmäni
∑ nx
n
X = ∑ X k Pk = M ( x)
k =1
görnüşi bermek bolar, onda M ( X ) ululyk Х tötänleýin ululygyň matematiki garaşmasy bolar.
Mediana we moda
Wariasion hatary suratlandyryş häsietnamalary hökmünde ortaça ululyklar bilen bir hatarda
mediana we moda hem ulanylýar. Syn etmeleriň ranžirlenen hatarynyň ortasyna düsýän ululygyn
~
bahasyna mediana M e diýilýär. Eger n = 2q − 1 täk sanly syn etmeler geçirilen bolsa, syn etmäniň
netijeleri ranžirlemek bilen aşakdaky X 1 , X 2 , X 3 ,Κ , X q −1 , X q , X q+1 , Κ , X n hatary alarys. Bu ýerde
X i san ranžirlenen hatarda i-nji orny tutýan ululygyň bahasy bolsun. Hataryň ortasyna X q baha
~
düsýär. Onda M e = X q .
Egerde syn etmeleriň sany jübüt bolsa n = 2q , onda ranžirlenen hataryň ortasyna iki X q we
X q+1 bahalar düsýär. Bu halda mediana hökmünde bu bahalaryň orta arifmetik ululygy kabul
edilýär:
X q + X q +1
~
Me =
.
2
Paýlanyş dykyzlygynyň lokal maksimumy degişli bolan tötänleýin üznüksiz Х ululygyň
bahasyna şol ululygyň M ο ( X ) modasy diýilýär. Hususy halda eger-de paýlanyşyň iki sany bir
meňzes maksimumy bar bolsa, onda oňa bimodal paýlanyş diýilýär.
P[ X < M e ( X )] = P[ X ≥ M e ( X )]
deňlik bilen kesgitlenýän mümkin bolan baha üznüksiz Х tötänleýin ululygyň M e ( X ) medianasy
diýlýär. Paýlanyş f ( X ) egri çyzygy bilen çäklenen meýdany y ordinatasynyň ýarpa bölýän nokady
hökmünda geometrik taýdan ýarpa bölýän medianany kesgitlemek bolar.
Wariasiýanyň görkezijileri
Ortaça ululyklar wariasion hatary häsietlendirmek bilen nyşanyň bahalarynyň üýtgeýijilik
häsietini (wariasiýasyny) suratlandyrmaýarlar. Wariasiýanyň iň ýönekeýje görkezijisi Rn wariasiýa
gerimidir. Ol iň uly we iň kiçi wariantalaryň arasyndaky tapawut bilen kesgitlenýär:
Rn = X max − X min .
Wariasion gerim wariasiýanyň takmynan häsiýetdir, çünki ol wariantlaryň üýtgeýşine hiç hili
bagly däldir, onuň hasaplanyşynda ulanylýan çetki wariantalar bolsa ynamly däldirler.
Ortaça ululyklaryn töwereginde dargaýyş ölçegleri has manylydyr. Orta arifmetik ululyk
ortaça ululyklaryň iň esasy görnüşi bolany üçin ortaça arifmetik ululygyn töwereginde ýaýraýyş
ölçeglerine garamak bilen çäklenelin.
Syn etmeleriň X 1 , X 2 ,..., X n netijelerinin orta arifmetik ululykdan gyşarmalarynyň
n
∑(X
k =1
k
− X)
jemi syn etmeleriň ortaça arifmetik ululygyň töweregindäki wariasiýasyny kesgitläp bilmeýär. 1°
häsiete görä bu jem nula dendir. X k − X tapawutlaryň ýa absolýut ululyklaryny ýa-da
kwadratlaryny alýarlar. Netijede wariasiýanyň dürli görkezijileri alynýar. Syn etmeleriň
netijeleriniň öz ortaça arifmetik ululygyndan gyşarmalarynyň absolýut ululyklarynyň jemine
garalyn we bu jemi syn etmeleriň sanyna böleliň. Onda biz ortaça çyzykly d gyşarmany alarys.
Syn etmeleriň netijeleriniň ortaça arifmetik ululykdan gyşarmalarynyň kwadratlaryň ortaça
arifmetik ululygyna
n
∑X
S =
K
−X
k =1
2
2
n
empirik dispersiýa diýilýär. Eger syn etmeleriň netijeleri boýunça wariasion hatar gurulan bolsa,
onda empirik dispersiýa
S
2
∑(X − X )
=
∑n
2
nx
x
= ∑ ( X − X ) 2 wx
x
x
x
bolar.
Syn etmeleriň netijeleriniň ortaça arifmetik ululygyň töwereginde dargamak ölçegi hökmünde
empirik dispersiýany ulanmagyň deregine empirik ortaça kwadratik gyşarmany ulanýarlar. Ortaça
kwadratik gyşarma dispersiýadan alynan kwadrat köke deňdir we ululygyň bahalarynyň ölçegine
eýedir.
Wariasion hatar üçin ortaça kwadratik gyşarma
S=
∑(X − X )
∑n
x
x
2
nx
=
∑(X − X
2
)Wx
x
x
bolar. Eger hatar diskret bolsa, onda Х wariantadyr; Eger hatar interwal hatar bolsa, onda Х
interwalyň merkezidir. n x ( wx ) - degişli ýygylykdyr; Х - ortaça arifmetik ululyk.
Gysgalyk üçin empirik sözüni taslamak bilen S 2 ululyga ýöne dispersiýa syn etmelerin
netijesinde tejribeleriň görkezisi boýunça hasaplanandygyny ýatda saklamalydyrys. Şu hili bellik S
ululyga hem degişlidir.
Empirik dispersiýanyň minimallyk (iň kiçilik) häsietini görkezeliň. S 2 ululyk wariantalaryn
ortaça arifmetiki ululykdan tapawutly bolan islendik hemişelik ululykdan gyşarmalarynyn
kwadratlarynyň ortaça arifmetiki ululygyndan kiçidir.
S
2
∑ ( X − a)
<
∑n
2
nx
X ≠a
x
x
x
Emperik dispersiýanyň häsietleri
Emperik dispersiýanyň hasaplamagy aňsatlaşdyrýan onuň birnäçe häsietlerine garap geçeliň.
1. Hemiselik sanyň dispersiýasy nula dendir.
∑ (X − X )
=
∑n
2
k
S
2
nx
∑ (c − c )
=
∑n
2
nx
x
x
= 0.
x
x
x
2. Eger syn etmelerin netijelerini şol bir sana kiçeltsek (ulaltsak) onda dispersiýa üýtgemeýär.
∑ [( X − C ) − (X − c )] n
=
∑n
2
S X2 −C
∑ (X − X ) n
=
∑n x
2
x
x
x
x
x
x
= S x2 ,
x
diýmek täze hataryn dispersiýasy deň.
S X2 +C = S x2 bolýandygyny hem görkezmek bolar.
3. Egerde syn etmeleriň netijelerini k esse kiçeltsek (ulaltsak), onda dispersiýa k esse kiçeler
(ulalar).
Subudy. Eger hemme wariantalary k esse kiçeltsek, onda orta arifmetiki ululyk üýtgän
x
bolar, şeýlelikde, onuň dispersiýasy
wariasion hataryň ortaça arifmetik ululygy
k
2
 x x
∑x  k − k  n x


S x2 =
=
n
∑
x
k
x
2
(
)
2
1
∑x  k  x − x n x 1
= 2
k
∑ nx
x
∑ (x − x ) n
∑n
2
x
x
=
x
x
∑ (x − x ) n
∑n
2
=
1
k2
x
x
x
=
S2
.
k2
x
Şuna menzeslikde S kx2 = k 2 S x2 görkezmek bolar. Bu häsiet dispersiýany berlen hatar boýunça
däl-de, şol bir K esse kiçeldilen (ulaldylan) hatar boýunça hasaplamaga mümkinçilik berýär. Eger
täze emele gelen hatar üçin hasaplanylan dispersiýany K 2 esse azaltsak (kiçeltsek), onda ilkinji
wariasion hatar üçin dispersiýany alarys.
Netije. Eger hemme wariantlary K esse kiçeltsek (ulaltsak), onda ortaça kwadratik gyşarma
K esse kiçeler (ulalýar). Bu netije ortaça kwadratik gyşarmanyň položiteldiginden gelip çykýar
S x2
σx =
K
k
S2
S
= .
2
K
K
=
Beýleki häsietlere geçmezden dispersiýanyň asakdaky häsietine garap geçelin.
Teorema. Emperik dispersiýa - syn etmeleriň kwadratlarynyň ortaça arifmetik ululygy bilen
ortaça arifmetik ululygyň kwadratynyň arasyndaky tapawutdyr:
2
S 2 = X − ( X )2 .
Subudy.
∑ xn
X =
∑n
∑x n
=
∑n
2
x
x
2
, X
x
x
x
x
x
x
formula üçin geçireliň. Özgertmeleri amala asyryp alarys
∑ (x − x ) n
=
∑n
2
S2
x
x
=
∑x
x
2
()
n x − 2∑ x xn x + ∑ x n x
2
x
∑ nx
x
x
=
∑x
x
2
=
x
( ) ∑n
n x − 2 x∑ xn x + x
x
∑n
x
2
x
x
() ()
2
= x2 − 2 x + x
2
=
x
x
()
2
= x2 − x .
Empirik merkez we başlangyç momentler
Wariasion hataryň ortaça arifmetiki ululygy we dispersiýasy wariasion hataryň momentleri
baradaky has umumy düsünjeleriň hususy halydyr.
Wariantalaryň q derejeleriniň çekilen ortaça arifmetik ululygyna
∑X n
=
∑n
q
Mq = X
q
x
x
x
x
q tertipli Mq empirik başlangyç momenti diýilýär. Köplenç başlangyç sözi ulanylmaýar.
Nul tertipli empirik moment
0
M0 = X =
∑X n
∑n
0
x
x
Birinji tertipli moment
M1 = X =
∑ Xn
∑n
x
x
=1
deňlik bilen kesgitlenýär.
Ikinji tertipli moment
∑X n
=
∑n
2
2
M2 = X
x
x
deňlik bilen kesgitlenýär.
Wariantalaryň öz ortaça arifmetik ululygyndan gyşarmalarynyň q derejeleriniň çekilen ortaça
arifmetik ululygyna q tertipli empirik merkezi moment diýilýär.
(X − X ) n
= (X − X ) = ∑
∑n
q
mq
q
x
x
Nul tertipli empirik mrkezi moment
∑ (X − X ) n
= (X − X ) =
∑n
0
m0
0
x
= 1.
x
Birinji tertipli empirik mrkezi moment
) ∑ (X −nX )n
(
m1 = X − X =
∑
x
=0
x
Ikinji tertipli emperik merkezi moment
∑ (X − X )
= (X − X ) =
∑n
2
m2
2
= S2
x
dispersiýany berýär.
Empirik assimmetriýa we eksess
Üçünji tertipli merkezi momentiň ortaça kwadrat gyşarmanyň kubuna bolan gatnaşygyna
m
a s = 33 =
s
(m)
2
∑ (X − X ) n
=
∑n s
3
m3
3
x
2
x
assimetriýanyň as empirik koeffisienti diýilýär.
Dördünji tertipli merkezi momentiň ortaça kwadrat gyşarmasynyň dördünji derejesine bolan
gatnaşygynyň 3 birlik kiçelmesine, ýagny
ek =
m4
−3
s4
gatnasyga empirik eksess ýa-da kötelligiň koeffisienti diýilýär.
Eksessiň adaty bahasy hökmünde normal egri çyzygyň nul eksessini kabul edýärler. Eksessy
otrisatel bolan normal egri çyzyga görä has kötel bolan egriçyzyklaryň tekiz depesi bardyr we olara
tekizdepeli egri çyzyklar diýilýär. Položitel ekssesli has kütek egri çyzyklaryň ýiti, çüri depesi
bolýar we olara «çüri depeli egri çyzyklar» diýilýär.
MYSALLAR
Ölçemeleriň sanynyň köp bolmadyk halatynda
ululygyň deňtakykly ölçemeler hatarynyň barlagy
Tabşyrygyň erine etirilişine anyk mysalda garalyň. Ölçeg enjamy barlanylan mahalynda bir
ululygyň 20 gezek geçirilen ölçemeleriniň netijeleri berlen(tabl. 2). Ölçemeleriň berlen hataryny
derňemek we ony matematiki taýdan işlemek talap edilýär.
Orta arifmetik bahany we ondan gyşarmalary hasaplamak.
Tablisa 2
2
3
№
l, м
vi = l i − l vi
vi
vi4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
152.00
,07
,06
.00
,07
,08
,06
,04
,07
,09
,08
,05
,08
,08
,03
,11
,03
,07
,10
,03
∑ 3041,20
см
3
-6
+1
0
-6
+1
+2
0
-2
+1
+3
+2
-1
+2
+2
-3
+5
-3
+1
+4
-3
0
4
36
1
0
36
1
4
0
4
1
9
4
1
4
4
9
25
9
1
16
9
5
-216
+1
0
-216
+1
+8
0
-8
+1
+27
+8
-1
+8
+8
-27
+125
-27
+1
+64
-27
6
1296
1
0
1296
1
16
0
16
1
81
16
1
16
16
81
625
81
1
250
81
17
4
-270
3882
Hataryň gaty uly däldigi (toplumyň göwrümi n=20) sebäpli, doly barlaglary geçirip durman,
birnäçe ownuk meseleleri çözýärler: 1) ölçemelweriň ähli netijeleriniň orta arifmetik bahasyny
hasaplamak; 2) aýratyn ölçemäniň orta kwadratik gyşarmasynyň (orta kwadratik ýalňyşlygyň we
"aňryçäk gyşarmany" hasaplamak; 3) gödek ýalňyşlyklary aradan aýyrmak; 4) ölçemeleriň galan
netijelerinden matematiki garaşmany ýa-da orta arifmetik bahany hasaplamak; 5) aýratyn
ölçemäniň orta kwadratik ýalňyşlygynyň gutarnykly bahasyny hasaplamak; 6) matematika
garaşmanyň takyklygyny hasaplamak; 7) ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň kanunalaýyklyklaryny
anyklamak: a) normal paýlaşdyrma bilen ylalaşma kriterilerini kesgitlemek; b) jalňyşlyklaryň
paýlaşdyrmasynyň we ähtimallygyň aralyklardaky dykyzlygynyň
tablisasyny düzmek; c)
jalňyşlyklaryň empirik we normal paýlaşdyrmalarynyň grafiklerini gurmak; 8) ölçemeleriň
jalňyşlyklarynyň derňelýän hatary barada netije çykarmak.
1. Ölçemeleriň netijeleriniň orta arifmetik bahasy.
n
l =
∑l
i =1
n
i
=
3041,20
= 152,06m
20
Her bir hetijäniň orta arifmetik bahadan gyşarmasy (olary ölçemeleriň ýalňyşlyklary diýip
hasap etmek bolar):
vi = l i − l ,
Olar 2-nji tablisanyň 3-nji sütüninde ýazylýar. Eger vi-ler dogry tapylan bolsa, onda
∑ vi = 0 bolýar.
2. Orta kwadranik ýalňyşlygyň takmyn bahasy
n
m=
∑v
i −1
2
i
n −1
= ±3,03см
Ölçemeler hatarynda diňe 20 sany baha bar bolany sebäpli, Vaňryçäk "aňryçäk gyşarmany"
tapmak üçin normal paýlaşdyrmany däl-de, Stýudentiň paýlaşdyrmasyny ulanmak bolar. Normal
paýlaşdyrmada we erkinlik derejesi r=n-1=19 bolanda üçeldilen orta kwadratik ýalňyşlygyň degişli
bolýan
β = 0,997 ynamly ähtimallygyndan peýdalanyp, III-nji goşundydan "ýolberme
koeffisientini" tapýarys:
t β = 3,9
Onda
Vaňryçäk= t β .m = 3,9.3,03 = 11,80см
3. Derňelýäň hatarda vi ýalňyşlygynyň absolýut ululygy Vaňryçäk bahasyndan ýokary geçýän
ululyk ýokdur. Diýmek, gödek ýalňyşlyk ýok we ölçemeleriň ähli netijelerini we olaryň ortaça
bahadan gyşarmalaryny tötänleýin we ynamdar hasap etmek bolar.
4. Ozal hasaplanan orta arifmetik bahany gutarnykly netije hasap etmek bolar.
5. Orta kwadratik ýalňyşlygyň gutarnykly bahasy onuň ozal hasaplanan m bahasydyr.
6. Gutarnykly netijäniň takyklygyny ölçemegiň kritersi onuň orta kwadratik ýalňyşlygydyr:
M =
m
n
= ±0,68см.
7. Ölçemeleriň netijeleriniň empirik paýlaşdyrmasyny teoretik (normal) paýlaşdyrma bilen
deňleşdirmek üçin empirik paýlaşdyrmasynyň egrisiniň α asimmetriýasyny we E eksessini
kesgitlemek zerurdyr. σ = m diýip hasap edeliň, onda
v3
∑ n − 270 : 20
α=
=
= −0,48;
m3
(3,03)3
v4
∑n
3882 : 20
E=
−3=
− 3 = −0,70.
4
m
(3,03)4
Normal paýlaşdyrmada α we E-niň ýolbererlik bahalary
α ≤ 3σ α
we
E ≤ 3σ E
6
= 0,55
n
we
σE =
α π 1,65
we
E π 3,30
bolmaly; bu ýerde:
σα =
24
= 1,01
n
Biziň mysalymyzda:
Diýmek, bu görkezijiler boýunça tötän ululyklaryň empirik paýlaşdyrmasy normal paýlaşdyrma
bilen oňat derejede ylalaşýar.
Ähli vi ýalňyşlyklary artýan tertipde hatara düzüp, olary nuldan iki tarapa hem her ±0,5
m=±1,51 sm-den aralyklara bölýärler we aralýklaryň çäklerini umumy görnüşde 3-nji tablisanyň 2nji sütüninde, santimetrlerde bolsa 3-nji sütünde ýazýarlar. Ýalňyşlyklaryň her bir aralykdaky ni
sany 4-nji sütünde ýazýarlar. Goňşý sütünde otnositel ýygylyklaryň (ähtimallyklaryň), aýdyňlyk
üçin 100 esse uladylan bahalaryny ýazýarlar:
Pi = Qi = 2
ni
100
n
By ýerde ni/n gatnaşyk ikä köpeldilýär, sebäbi birneme soňrak tapylyp, 3-nji tablisada ýazylýan we
alnan pi-ler bilen deňeşdirilýän ähtimallyk dykyzlygy normal paýlaşdyrmanyň iki şahasynyň biri
üçin tapylýar.
Otnositel ýygylyklaryň bahalary arkaly (3-nji tablisanyň 5- sütüni) ýalňyşlyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň grafigini gurýarlar. Absissalar okunda (4-nji surat, 1-egri) aralyklara degişli deň
kesimleri alyp goýýarlar. Kesimleriň ortalaryndan uzynlygy otnositel ýygylyklara proporsional
bolan ordinatlar galdyrýarlar. Goňşy ordinatlaryň depelerini göni çyzyklar bilen sepleşdirýärler.
Ähtimallygyň dykyzlygynyň hasaplanyşy.
Tablisa 3
№
Interw. aracakleri
umumy
görnüşde
santimetrde
ni
Pi
δi
ti =
δi
m
ähtimallygyň
dykyzlygy
ϕ (t i )
ϕ (t i )
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-(2.0-1,5)m
6,1-4,5
2
20
-1,75m
-1,75
0,09
9
2
-(1.5-1,0)m
4,5-3,0
1
10
-1,25m
-1,25
0,18
18
3
-(1.0-0,5)m
3,0-1,5
3
30
-0,75m
-0,75
0,30
30
4
-(0.5-0,0)m
1,5-0.0
3
30
-0,25m
-0,25
0,39
39
5
-(0.0-0,5)m
0.0-1,5
4
40
0,25m
0,25
0,39
39
6
-(0.5-1,0)m
1,5-3,0
5
50
0,75m
0,75
0,30
30
7
-(1.0-1,5)m
3,0-4,5
1
10
1,25m
1,25
0,18
18
8
-(1,5-2,0)m
4,5-6,1
1
10
1,75m
1,75
0,09
9
∑
-
-
-
-
-
192
20 200
Sur. 4
Ýalňyşlyklaryň normal paýlaşdyrmasynýň grafigini ähtimallygyň dykyzlygynyň bahalary (3nji tablisanyň 8-nji we 9-nji sütünleri) boýunça gurýarlar; olary 1-nji goşundyda normirlenen
ýalňyşlygyň
ti = σ i
m
Bahalary boýunça tapýarlar. Bu ýerde σ i -ýalňyşlygyň i-nji aralykdaky ortaça bahasy. Meselem, 1nji aralykda:
δ1 =
(− 2,0m) + (− 1,5m) = −1,75m
2
Normal paýlaşdyrmanyň egrisini (4-sur., 2-egri) empirik paýlaşdyrmanyň egrisiniň gurulýan
oklarynda gurýarlar. Ordinatlarda ähtimallygyň dykyzlygyna degişli kesimleri alyp goýýarlar we bu
kesimleriň uçlaryny endigan egri çyzyk bilen sepleşdirýärle. Iň uly ordinata v=0 ýalňyşlyga
degişlidir we ϕ t = v = 0 = 0, 40 deňdir.
m
Egrileri deňeşdirmeden empirik paýlaşdyrmanyň normal paýlaşdyrmadan o diýen
tapawutlanyp durmaýandygy görünýär.
(
)
Ölçeme ýalňyşlyklarynyň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewi
Bu tejribe işinde deňtakyklykly geodeziýa ölçemeleriniň ýalňyşlyklarynyň hatary derňelýär
we onuň normal paýlaşdyrmasyna nä derejede gabat gelýändigini anyklamak maksat edinilýär.
Ähtimallyk-statistik derňewinde her bir ölçeme ýalňyşlygyna statistuik toplumyň elementi
hökmünde garalýar (onuň üýtgeýän alamaty san bahasydyr).
Tabşyrygyň erine etiriliş tertibine aşakdaky mysal arkaly garalyň. Trangulýasiýada burçlar
ölçelende 150 üçburçlukda sazlaşyksyzlyklar alyndy. Bu sazlaşyksyzlyklaryň (tötänleýin hakyky
ýalňyşlyklaryň) bahalary 4-nji tablisada berlen. Tötänleýin ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewini aşakdaky tertipde amala aşyrmak talap edilýär:
1. Ýalňyşlyklaryň iň uly we iň kiçi bahalarynyň tapawudy – üýtgemeleriň çäkleri – arkaly
ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň tablisasy üçin aralygyň bahasyny anyklamaly we bu
tablisany düzmeli.
2. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň esasy parametrlerini: matematiki garaşmanyň
empirik bahasyny we standartyň (orta kwadratik gyşarmanyň) empirik bahasyny hasaplamaly.
3. Berlen aralyklarda ýalňyşlyklaryňbn empirik paýlaşdyrmasynyň we toplanan ýygylyklaryň
empirik paýlaşdyrmasynyň egrilerini gurmaly. Şol grafikler esasynda modanyň we mediananyň
bahalaryny kesgitlemeli.
4. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň tablisasy üçin anyklanan aralyklarda ýalňyşlyklaryň
teoretik paýlaşdyrmasynyň tablisasyny dýzmeli.
5. Ýalňyşlyklaryň we toplanan ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrileriniň gurulan
oklarynda ýalňyşlyklaryň teoretik paýlaşdyrmasynyň egrisini we bu paýlaşdyrmasynyň integral
egrisini (ogiwa) gurmaly.
6. 3-nji we 4-nji tertipli momentleri hasaplamaly hem-de olaryň bahalaryndan peýdalanyp,
ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrisiniň asimmetriýasyny we eksessiniň
görkezijilerini kesgitlemeli. Bu görkezijileriň ähmiýetliligini anyklamaly.
7. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň teoretiki paýlaşdyrmadan gyşarmasyny anyklamaly.
Bu gyşarmanyň ähmietliligini kesgitlemek üçin Pirsonyn, Kolmogorowyň, Şarleniň, Şoweneniň
kriterilerini (şertlerini) we alamatlar kriterisini ulanmaly.
8. Normal paýlaşdyrma üçin ýüze çykarylan, ortaça ýalňyşlygyň we standartyň bahasynyň
arabaglanyşygynyň ýerine ýetýändigini ýa-da ýetmeýändigini barlamaly.
9. Ölçemeleriň ýalňyşlyklarynyň derňelýän hatarynyň paýlaşdyrmasynyň häsiýetleri barada netije
çykarmaly.
Tabşyrygyň her bir punktyna (bölegine) anyk
mysalda garalyň.
Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň esasy parametrlerini (görkezijilerini)
hasaplamaklygy sadalaşdyrmak üçin hataryňähli ýalňyşlyklaryny artýan tertipde ýerleşdirip, olary
interwallara bölmek zerurdyr. ni -ýygylyklaryň (ýalňyşlyklaryň sanynyň) görkezilen
interwallardaky empirik paýlaşdyrmasy üçin 5-nji tablisa düzülýär. Tablisanyň iň kiçi ädiminiň
bahasyny ýalňyşlyklaryň interwallaryň içindäki bahalarynyň aratapawutlary kiçiräk bolar ýaly
saýlaýarlar. Aralyk uly bolanda ýalňyşlyklaryň
Uçburçluklaryň sazlaşyklary
Tablisa 4
1.
2.
3.
4.
5.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
f
-2,00//
-0,52
1,74
0,82
1,01
2,06
1,00
-1,88
-0,28
-2,25
0,38
-1,37
1,47
-0,45
-0,36
1,62
0,82
-1,17
1,42
0,80
-0,13
-0,57
-0,37
0,09
-0,01
1,40
1,53
1,00
0,47
-0,85
1,76
0,79
0,15
1,83
-1,61
0,06
-1,59
2,31
№
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
f
1,09
-0,02
0,19
-0,16
0,50
0,15
-1,10
0,06
-1,90
-2,15
0,92
0,59
-1,50
0,53
1,24
1,24
-2,51
1,70
-1,08
0,27
-1,41
-1,12
-0,75
0,19
0,54
1,23
-2,16
0,06
0,75
0,26
2,80
2,33
1,34
-0,80
-0,73
2,17
-1,50
2,15
№ f
№
-0,03 115
77
-1,32 116
78
-1,22 117
79
-0,63 118
80
-0,57 119
81
-0,12 120
82
-0,75 121
83
1,36
122
84
-1,66 123
85
1,40
124
86
3,03
125
87
-3,42 126
88
1,09
127
89
-0,33 128
90
-0,29 129
91
0,94
130
92
0,10
131
93
-2,95 132
94
1,54
133
95
-0,50 134
96
-0,02 135
97
1,73
136
98
-0,51 137
99
138
100 0,23
139
101 1,94
102 -2,88 140
103 -0,53 141
142
104 0,61
105 -0,69 143
144
106 0,01
145
107 0,39
108 -0,95 146
109 -0,83 147
110 -0,70 148
149
111 0,65
112 -0,18 150
113 0,83
114 -0,36
f
-0,19
0,87
1,32
0,14
0,75
-1,74
-0,43
-1,34
0,04
0,21
-2,53
-0,80
2,13
-0,86
0,12
-2,47
1,39
2,06
-0,40
-0,59
2,04
-0,30
-0,58
-0,19
-0,03
-0,06
-0,34
1,02
-1,11
-0,25
-0,58
0,20
0,57
2,02
-1,20
0,60
paýlaşdyrmasynyň häsiýetli aýratynlyklary ýylmanýarlar, aralyk kiçi bolanda bolsa tötän
ýalňyşlyklaryň ikinji derejeli
1.
häsiýetleriniň täsiri artýar we şunlukda ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň nädogry
suratlandyrmagyna getirýär.
Iň kiçi aralygyň bahasy
x − x min
h = max
K
Bu ýerde xmax we xmin - ýalňyşlyklaryň iň uly we iň kiçi bahalary; k-aralygyň sany, adatça k=12
bolýar.
K- nyň bahasyny aşakdaky pikir ýöretmelerded ugur alyp saýlaýarys. Aralygy onuň çäkleriniň
tapawudy m orta kwadratik ýalňyşlygyň ýarysyna deň bolar ýaly edip almaly. Ýalňyşlyklaryň
aňryçäk bahalary, adatça, ±3m deň diýip kabul edilýär. Onda 0,5m -e deň bolan aralygy almak
üçin ýalňyşlyklaryň -3m-den +3m-e çenli hataryny 12 bolege bölýäris.
4-nji tablisadan xmax= we xmin alarys. Aralygyň bahasy h=6.45:12=0,538
Ýygylyklaryň hasaplanyşy
5-nji tablisanyň 1-nji sütüninde aralyklaryň nomerlerini, 2-nji sütüninde aralyklaryň çäklerini
(olaryň aratapawutlary h deň bolýar) ýazýarlar.. Her bir interwalkdaky ni sanyny (ýygylygyny)
hasaplap, 5-nji tablisanyň 3-nji sütüninde ýazýarlar. Barlag üçin ähli ýygylyklaryň jemini
hasaplaýarlar; ol wariasion hataryň ähli ýalňyşlyklarynyň N sanyna deň bolmaly. 4-nji sütünde
aralyklar boýunça toplanan empirik ýygylyklary ýazýarlar: 1-nji aralykda
1
∑n
i =1
i
= n1 = 2
ikinji aralykda
2
∑n
i =1
i
= n1 + n2 = 2 + 4 = 6
üçünji aralykda
3
∑n
i =1
i
= n1 + n2 + n3 = 6 + 6 = 12
5-nji sütünde häsiýetnamanyň aralykdaky xi,ort. Ortaça bahasyny ýazýarlar; ol aralygyň ýokarky we
aşaky çäkleriniň orta arifmetiki bahasy görnýşde alynýar.
2.Matematik garaşmanyň empirik bahasy.
150
∑ xi
x=
i =1
N
12
∑n x
=
i
i =1
icp
N
Ctandartyň empirik bahasy bolsa
∑ n (x
150
σ =
∑ ( xi − x ) 2
i =1
N
12
i
=
− x)
2
icp
i =1
N
bolýar. Bu ululyklary hasaplamagy eňilleşdirmek üçin şertli momentlýerden peýdalanýarlar. Ýalan
nul höküminde häsiýetnamanyň aralykdaky xo=+0,077 ortaça bahasyny alyp, häsiýetnamanyň ai
ortaşertli bahalaryny
ai =
x icp − x 0
h
Mysalüçin, birinji aralykda
a1 =
− 3,151 − 0,077
= −6
0,538
10-nji aralykda
a10 =
1,691 − 0,077
= +3
0,538
ai-leriň bahalaryny 5-nji tablisanyň 6-nji sütüninde ýasýarlar.
Matematik garaşmanyň empirik bahasy
12
x = x0 + h
∑n a
i =1
i
i
N
= x 0 + a i/ h
Mysalda
ai/ = −
6
= −0,040;
150
x = +0,077 + 0,538
(− 6) = +0,055.
150
Standartyň empirik bahasy
12
 12
 ∑ n a 2  ∑ n a
i i
i i
 i =1
i =1

σ =h 
−
 N
N











2



/
/
 = h a 2 − a1



Mysalda
 832  6  2 
 = 0,538 (5,547 − 0,002 ) = +1,27 //
σ = 0,538 
−
 150  150  


(
( ) ).
2
3. Ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň grafigini (5-sur., I-egri) döwük çyzyk örnüşinde
gurýarlar. Absissalar okunda aralyklara degişli deň kesimleri alyp goýýarlar. Kesimleriň
ortalarinden ýygylyklara proporsional uzynlykly ordinatalar galdyrýarlar. Oklaryň masştablary
saýlanylup alnanda iňuly ordinatanyň absissalar okundaky xmin
we xmax
nokatlaryň
arasyndakyuzaklykdan 2-esse töweregi kiçi bolmagyny gazanýarlar. Goňşy ordinatlaryň depelerini
göni çyzyklar bilen sepleşdirýärler.
Surat. 5
Ýygylyklaryň
empirik
paýlaşdyrmasynyň
grafiginde
ýalňyşlyklaryň
empirik
paýlaşdyrmasynyň M0 modasynyň bahasyny kesgitleýärler . Moda-ölçeg ýalňyşlyklarynyň iň uly
ýygylykly bahasydyr. Ol häsiýetnamanyň iň uly ýygylygynyň degişli bolan aralykdaky orta
bahasydyr. Biziň mysalymyzda M0=+0.077. Grafikde moda iň uly ordinataly nokadyň
absissasydyr.
5-nji tablisanyň 5-nji sütünindäki maglumatlary ulanyp, toplanan ýygylyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň grafigini gurýarlar (6-sur., 1-egri).
Sur. 6
Absissalar okundaky kesimleriň aralyklaryň çäklerine degişli bolan uçlaryndan uzynlyklary
aralyklardaky toplanan ýygylyklara göni proporsional bolan ordinatalary galdyrýarlar.
Grafikde Me mediananyň empirik bahasyny kesgitleýärler. Mediana-tötän ululygyň (ölçeme
yalňyşlygynyň) ortalyk bahasy; ol wariasion hatary ýalňyşlyklaryň sany boýunça deň bolan iki
bölege bölýär. Medianadan kiçi bolan tötän bahalaryň ýüze çykyş ýygylygy tötän bahalaryň
medianadan uly bahalarynyň ýüze çykyş ýygylygyna deňdir. Mediananyň empirik bahasy toplanan
ýygylyklaryň grafiginden tapmak aňsatdyr. Mediananyň bahasyny tapmak üçin ordinatlar okunda
12
∑n
i
150
75
2
2
Koordinataly E nokady almaly we egriniň üstündäki oňa degişli e nokady tapmaly. Şol e nokadyň
absissasy mediananyň empirik bahasydyr. 6-nji suratda Me=+0.07.
Modanyň we mediananyň bahalarynyň taplyşynyň dogrylygyny barlamak üçin
gatnaşygyň erine etişini barlap görmek zerurdyr:
yi =
i =1
=
M 0 = x + 3(M e − x );
M 0 = 0,055 + 3(0,07 − 0,055) = +0,100 .
Simmetrik wariasion hataryň aýratynlygyny x = M e = M o -üç görkezijiniň deňliginden
ybaratdyr.
4. Ýalňyşlyklaryň teoretiki (normal) paýlaşdyrmasynyň tablisasyny (6-njy tablisa) düzmek
üçin, 5-nji tablisada görkezilen aralyklarda tötän ululygyň (ölçeme ýalňyşlygynyň) berlen aralyga
üşmek ähtimallygynyň integrallarynyhasaplamak gerek;
+t
−t
P
= Ф(t ) =
1
2π
+t
∫e
−
t2
2
dt =
−t
1
2π
t
∫e
−
t2
2
dt
0
bu ýerde t-tötän ululygyň (aralygyň çäginiň) x matematiki garaşmanyň empirik bahasyndan
normirlenen gyşarmasy:
tj =
xj − x
σ
t-leriň hasaplanylan bahalary boýunça ýalňyşlygyň -t-den +t-e çenli aralyga düşmeginiň Ф(t)
ähtimallyklaryny kesgitläp, olary 6-njy tablisanyň 5-sýtýninde ýazýarlar. Ф(t) ähtimalygyň
Tablisa 6
№
Araçäk
xj
1
2
1
-3,42
2
-2,882
3
xj − x
σ
Ф (t )
Ýygylyk
1
Pj = ф(t)
2
4
5
6
-3,475
-2,74
0,994
0,497
-2,837
-2,31
0,979
0,490
-2344
-2,399
-1,89
0,941
0,470
4
-1,806
-1,861
-1,47
0,858
0,429
5
-1,268
-1,323
-1,04
0,702
0,351
6
-0,730
-0,785
-0,62
0,465
0,232
7
0,192
-0,247
-0,19
0,151
0,076
8
+0,346
+0,291
+0,23
0,182
0,091
9
+0,884
+0,829
+0,65
0,484
0,242
10 +1,422
+1,367
+1,08
0,720
0,360
11 +1,990
+1,935
+1,52
0,871
0,436
12 +2,498
+2,443
+1,92
0,945
0,472
13 +3,03
+2,975
+2,34
0,981
0,490
-
-
-
∑
-
3
tj =
xj − x
-
Pi
ni
∑ni
7
8
9
0,007
1
1
0,020
3
4
0,041
6
10
0,078
12 22
0,119
18 40
0,156
23 63
0,167
25 88
0,151
23 111
0,118
18 129
0,076
12 141
0,086
6
147
0,018
3
150
-
150
-
Integrallaryny II goşundydan saýlap bolar. 6-njy süyünde 0-dan t-e cenli aralyklarda düşmek
ähtimallyklary, 7-nji sütünde bolsa -i-nji aralyklara düşmekligiň pi ähtimallyklary:
Pi = Pj +1 − Pj
Ýazylan.
Her bir aralyk üçin teoretiki ýygylyklar:
ni = pi .N
bu ýerde: N=150.
Teoretiki we toplanýan ýygylyklaryň tapylan bahalaryny 6-njy tablisanyň 8-nji we 9-nji
sütünlerinde ýazýarlar.
5. Normal paýlaşdyrmanyň egrisi (5-njy sur., 2-egri) hem ýygylyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň egrisine (5-njy sur., 1-egri) meňzeşlikde we şol bir masştabda (ölçeglerde)
gurulýar.
Toplanan ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrisini (6-nji sur.,2-egri) gurýarlar.
Aralyklaryň çäklerinden galdyrylan ordinata çyzyklarynda toplanan teoretiki ýygylyklara
proporsional kesimleri alyp goýýarlar we olaryň depelerini endigan egri çyzyk arkaly
sepleşdirýärler.
6. 3-nji we 4-nji tertipli merkezi momentleriň empirik bahalary:
∑ n (x
12
µ3 =
i
i =1
− x)
3
iop
N
∑ n (x
12
µ3 =
i
i =1
− x)
4
iop
N
Şertli momentlýerden hem peýdalanmak bolar.
12
a3/ =
∑n a
i
i =1
N
3
i
=−
426
= −2,840
150
12
a 4/ =
∑n a
i =1
i
4
i
N
=+
12616
= +84,107
150
Olary hasaplamak üçin gerk maglumatlarý 5-nji tablisanyň 10-njy we 11-nji sütünlerinden alýarlar.
Merkezi we şertli momentleriň arasynda aşakdaky ýaly baglanyşyk bardyr:
{
( )}
(a ) − 3(a ) }
µ 3 = h 3 a3/ − 3a1/ a 2/ + 2 a1/
{
µ 4 = a 4/ − 4a1/ a 3/ + 6a 2/
biziň mysalymyzda
{
/ 2
1
/ 4
1
}
µ 3 = 0,538 3 − 2,84 − 3(− 0,040 ).5,55 + 2(− 0,04 ) =
3
0,156{− 2,84 + 0,666 − 0,0001} = −0,339
{
µ 4 = 538 4 84,107 − 4(− 0,04)(
. − 2,84 ) + 6.5,55.(− 0,04) −
2−
}
− 3(− 0,04) = 0,0838.{84,107 − 0, 454 + 0,053} = +7,015.
4
Egriniň asmmetriýasynyň görkezijisi
α=
µ3
0,339
=−
= −0,165
3
2,05
σ
6
. Biziň
N
mysalymyzda σ α = 0, 20 we α < 3σ α . Şol sebäpli, ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň
egrisini simmetrik diýip hasap etmek bolar.
eger α < 3σ α bolsa, onda egriniň asimmetriýasy görnetin hasap edilýär; bu ýerde σ α =
Empirik egriniň kertliginiň görkezijisi eksesdir
E=
µ4
7,05
−3=
− 3 = −0,29
4
2,60
σ
Ekssesiň orta kwadratik gyşarmasy:
σE =
24
= 0,40
N
E < 3σ E bolany sebäpli ekssesi görnetin däl hasap etmek bolar.
7. Kolmogorowyň we Pirsonyň kriterilerini ulanmak üçin zerur maglumatlar 7-nji tablisada
tapyldy.
Kolmogorowyň kriterisi. Ony ulanmak üçin toplanan empirik ýygylyklaryň teoretiki
ýygylyklardan iň uly(modul boýunça)
Toplanan ýygylyklaryň hasaplanyşy.
№
Ýygylygy
ni
ni − mi (ni − ni )2 (ni −ni ) 2
ni
ni
Tablisa 7
Topl, ỳygyl.
∑n
∑ni
∑ñi-∑ni
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∑
2
4
6
11
13
24
33
18
15
13
9
2
150
1
3
6
12
18
23
25
23
18
12
6
3
150
+1
+1
0
-1
-5
+1
+8
-5
-3
+1
+3
-1
1
1
0
1
25
1
64
25
9
1
8
1
1,000
0,333
0
0,083
1,389
0,043
2,560
1,087
0,500
0,083
1,500
0,333
8,911
2
6
12
23
36
60
83
111
126
139
148
150
1
4
10
22
40
63
88
111
129
141
147
150
+1
+2
+2
+1
-4
-3
+5
0
-3
-2
+1
0
dmax =5
gyşarmasyny tapýarlar. 7-nji tablisanyň 9-njy sütüninden /dmax/=5 tapýarys we
λ=
d max
N
=
5
150
= 0,41
hasaplaýarys
λ argument boýunça Kolmogorowyň kriterisi üçin ýörite tablisalardan (8-nji tabl.) λ T φ λ
deňsizligiň ähtimallygyny tapýarys. Eger ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmaly özara
ylalaşykly bolsalar, onda P( λ T φ λ )ähtimallyk 1-e golaý bolmalydyr. Biziň mysalymyzda
P( λ T φ λ )=0,994, diýmek şu kriteriý boýunça ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmalar
oňat ylalaşyklydyrlar.
Kolmogorowyň kriterisi.
Tablisa 8.
λ
P(λT φ λ)
λ
P(λT φ λ)
0,30
1,000
0,85
0,465
0,40
0,997
0,90
0,393
0,50
0,964
0,95
0,328
0,60
0,864
1,00
0,270
0,65
0,702
1.10
0,178
0,70
0,711
1,20
0,112
0,75
0,627
1,30
0,068
0,80
0,544
1,40
0,010
Pirsonyň kriterisi. Ony ulanmak üçin 7-nji tablisanyň 6-njy sütüninde
hasaplaýarlar we
12
(ni − ni )2
i =1
ni
χ2 = ∑
= 8,911
aňlatmadan r erkinlik derejesini kesgitleýärler; bu ýerde K- ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň
tablisasyndaky aralyklaryň sany, K=12; s- ýalňyşlyklaryň teoretiki paýlaşdyrmasyny hasaplamak
üçin zerur parametrleriň (bu ýerde x , σ we N ) sany.
Diýmek, r=12-3=9
IV goşundyda r we χ 2 ululyklar boýunça teoretiki paýlaşdyrmasy χ T2 we erkinlik derejesi r
deň bolan ululygyň χ 2 empirik bahadan uly bolmaklygyň ähtimallygyny kesgitleýarler.
P(χ T2 φ χ 2 ) ≥ 0,3 bolanda ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmalaryň ylalaşyklylygy
oňat, ni -leriň ni-lýerden gyşarmasy bolsa tötänleýin hasaplanylýar. o,1 ≤ P χ T2 φ χ 2 ≤ 0,3 bolanda
(
)
(
)
ylalaşyklylygy kanagatlanarly, P χ φ χ ≤ 0,1 bolanda bolsa kanagatlanarsyz hasap edip bolar.
IV goşundyda r=9 we χ 2 = 8,91 boýunça P χ T2 φ χ 2 = 0,45 tapýarys. Bu bolsa
paýlaşdyrmalaryň oňat ylalaşyklygyny görkezýär.
2
T
2
(
)
Alamatlar kriterisi. Ol statiatik hatardaky n+ položitel we n- otrisatel ýalňyşlyklaryň
sanlarynyň ýolbererlik aratapawudyny kesgitleýär. Eger ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasy
normal paýlaşdyrma bilen oňat ylalaşykly bolsa, onda (n + − n− ) ≤ 1,96 N
deňsizlik p=0,95 ähtimallyk bilen ýerine etmeli.
Biziň mysalymyzda
(76 − 74) π 1,96
150
Şoweneniň kriterisi. Oňa laýyklykda, ýalňyşlyklaryň statistik hatary normal paýlaşdyrma
bilen ylalaşykly bolsa, bu hatarda absolýut ululygy
x max = t max σ
sandan uly bolan ýekeje ýalňyşlyk hem bolmaly däldir.
tmax argumenti ähtimallyklar tablisasyndan (II goşundy)
Ф (t max ) =
funksiýanyň bahasy boýunça saýlaýarlar.
2N − 1
2N
Hatardaky absolýut ululygy boýunça xmax-dan uly bolan ýalňyşlygy gödek diýip hasap etmeli
we oňa degişli ölçemäni taşlamaly.
Biziň mysalymyzda
Ф (t max ) =
299
= 0,9967; tmax=2,94
300
we
xmax=2,94. 1,27//=± 3,73//
Hataryň iň uly (+3,03//) we iň kiçi (-0,42//) ýalňyşlyklary aňryçäk bahadan kiçi eken.
Şarleniň kriterisi. Oňa laýyklykda ýalňyşlygyň
/
absolýut bahasyny kesgitleýärler; normal paýlaşdyrmasyna boýun egýän hatarda x max
-dan uly
/
bolan diňe ýekeje ýalňyşlyk bolup biler. t max
-yň bahasyny II goşundydan
N −1
/
Ф t max
=
N
funksiýanyň bahasy boýunça saýlaýarlar.
Eger görkzilen çäkden çykýan ýalňyşlyklaryň sany 1-den köp bolsa, onda olara degişli
ölçemeleri taşlamaly ýa-da ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň normal paýlaşdyrmadan
gyşarmasyny görnetin hasap etmeli.
Garalýan mysalymyzda
( )
( )
/
Ф t max
=
149
= 0,9933
150
/
t max
=2,71
diýmek,
xmax=2,71.1,27=± 3,44//
/
Garalýan hataryň ähli ýalňyşlyklary absolýut ululygy boýunça x max
-dan kiçi bolýp çykdy.
8.
Hataryň ortaça ýalňyşlygyny statistik hataryň ähli ýalňyşlyklarynyň absolýut ululyklaryntyň
orta arifmetiki bahalary hökmünde tapalyň:
N
v=
∑
i =1
N
N
x
=
∑
f
i =1
N
ýa-da tertiplenen hatar üçin
12
v = x0 + h
∑na
i =1
i
N
i
= 0,077 + 0,538
272
= 1,053 //
150
Ýalňyşlyklaryň normal paýlaşdyrmasynda
v = 0,798σ = 1,013 //
Görşümiz ýaly, alnan bahalar biri-birine örän golaýdyr.
9. Deňnokatly geodeziýa ölçemeleriniň ýalňyşlyklar hatarynyň garalyp geçilen derňewi
hataryň ähli ýalyşlyklaryny tötänleýin hasaplap boljakdygyny, ýalňyşlyklar hataryny bolsa normal
paýlaşdyrma boýun egýär diýip hasap edip boljakdygyny görkezýär.
Tötän ululyklaryň arasyndaky statistiki
arabaglanyşyk (korrelýasiýa).
Umumy maglumatlar
Korrelýasiýa- matematiki statistikanyň bir bölümi bolup, onda predmetleriň, hadysalaryň ýada ölçeme hatarlarynyň arasyndaky baglanyşyklary anyklamak usullary öwrenilýär.
Ölçemeler hatarynyň arasynda hiç hili baglanyşygyň bolmazlygy hem mümkindir; bu halda y
elementleriň üýtgemesi tötänleýindir we x elementletiň üýtgemesine bagly däldir. Ölçemeler
hatarlary arabaglanyşykly bolan halatynda, onuň iki görnüşini, ýagny funksional we statistiki
(stohastik korrelýasiýa) arabaglanyşyklaryny tapawutlandyrýarlar.
x we y üýtgeýän ululyklaryň arasynda funksional arabaglanyşyk diýip, x-iň her bir bahasyny
kesgitli bir
y=f(x)
bahanyň degişli bolan halatyna aýdylýar.
Eger iki sany ¨tötän ululyklaryň biri diňe bir býleki ululyga bagly bolman, eýsem olaryň
ikisine hem täsir edýän umumy tötän faktorlara hem bagly bolsa, onda bu ululyklaryň arasynda
statistiki arabaglanyşyk döreýär.
Eger bir ululygyň artmagy netijesinde beýleki ululyklar hem artýan bolsa, onda korrelýasiýa
göni bolar; eger bir ululygyň artmagy netijesinde beýleki biri kemelýän bolsa, onda korrelýasiýa
ters bolar.Çyzykly we çyzykly däl arabaglanyşyklary tapawutlandyrýarlar.
Ölçemeler hatarynyň arasyndaky
korrelýasiýanyň kesgitlenişi
Ölçemeler hatarynyň arasyndaky korrelýasiýany aşakdaky tertipde kesgitleýärler. Grafikde
alamatyň jübitleýin bahalaryna degişli nokatlary kesgitleýärler we korrelýasiýa arabaglanyşygynyň
görnüşini anyklaýarlar.
Çyzykly korrelýasiýa arabaglanyşygy bolan halatynda: 1) ölçemeler hatarynyň ikisi üçin hem
alamatyň ortaça san bahasyny, ortaça bahadan gyşarmalary we standartyň emprik bahasyny
hasaplamak; 2) korrelýasiýa koeffisientini hasaplamak; 3) göni regresiýanyň parametrlerini
hasaplamak; 4) göni regresiýanyň iň ähtimal gyşarmalaryny we olaryň orta kwadratik bahasyny
hasaplamak; 5) ikilenji gezek (barlag üçin) iň ähtimal gyşarmalaryň orta kwadratik bahasynyň
kömegi bilen korrelýasiýa koeffisientini hasaplamak; 6) grafikde göni regresiýany gurmak; 7)
korrelýasiýa koeffisientiniň takyklygyny barlamak zerurdyr.
Ýumuşyň ýerine ýetiriliş tertibine aşakdaky mysalda garalyň. 9-njy tablisada trilatesiýanyň
taraplarynyň uzynlyklary we olaryň ortaça kwadratik ýalňyşlyklary berlen. x=D we y=m üýtgeýän
ululyklaryň arasyndaky ctatistiki baglanyşygy, korrelýasiýa arabaglanyşygynyň funksional
arabaglanyşyga ýakynlygyň derejesini we bir ululygyň bahalary berlen halatynda beýleki ululygyň
ortaça bahasyny hasaplamaga mümkinçilik berýän formulany anyklamak talap edilýär.
Korrelýasiýa arabaglanyşygyň grafigi 9-njy tablisanyň 2-nji we 3-nji sütünlerindäki
maglumatlar boýunça gurulýar. xi we yi degişli bahalaryň her bir jübti üçin gönüburçly sistemada
A nokat tapylýar (sur. 7). Grafik garalýan alamatlaryň arasyndaky baglanyşygyň görnüşi barada çen
tutmaga mümkinçilik berýär.
Nokatlar göze görünmeýän bir göniçyzygyň boýunda toplanandyklary sebäpli, çyzykly
arabaglanyşyk bar diýip hasap etmek bolar.
Sur.7. Synag hatarlarynyň arasyndaky korrelýasia baglanyşygy
Tablisa 9
№
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
∑
x
2
0,5
1,4
2,2
2,7
3,5
3,8
5,6
6,3
7,9
8,6
9,3
10,5
11,3
12,6
13,1
14,5
17,6
19,1
22,0
25,7
198,2
δx
3
4
1,7
-9,41
3,6
-8,51
6,5
-7,71
4,8
-7,21
4,5
-6,41
4,7
-6,11
2,9
-4,31
6,7
-3,61
5,9
-2,01
5,4
-1,31
6,5
-0,61
4,4
+0,59
4,1
+1,39
8,2
+2,69
10,2
+3,19
12,4
+4,59
13,7
+7,69
17,9
+9,19
13,5
+12,09
16,4
+15,79
154,0
0
∑δx2=
968,40
y
δy
5
-6,0
-4,1
-1,2
-2,9
-3,2
-3,0
-4,8
-1,0
-1,8
-2,3
-1,2
-3,3
-3,6
+0,5
+2,5
+4,7
+6,0
+10,2
+5,8
+8,7
0
∑δx2=
-417,72
δxδy
6
+56,46
+34,89
+9,25
+20,91
+20,51
+18,33
+20,69
+3,61
+3,62
+3,01
+0,73
-1,95
-5,00
+1,34
+7,98
+21,57
+46,4
+93,74
+70,12
+137,37
563,32
y/
7
2,22
2,75
3,21
3,50
3,97
4,14
5,19
5,60
6,49
6,94
7,34
8,04
8,51
9,26
9,56
10,37
12,18
13,05
14,74
16,89
-
v2
9
0,270
0,722
10,824
1,690
0,281
0,314
5,244
1,210
0,348
2,372
0,706
13,250
19,448
1,124
10,410
4,121
2,310
23,522
1,538
0,240
89,944
v=y/-y
8
+0,52
-0,35
-3,29
-1,3
-0,53
-0,56
+2,29
-1,10
+0,59
+1,54
+0,84
+3,64
+4,41
+1,06
-0,64
-2,03
-1,52
-4,85
+1,24
+0,49
-
Orta bahadan gyşarmasyny 4-nji we5-nji sütünde ýazýarys
1.Ölçemeler hatarlarynyň ikisi üçin hem alamatlaryň x we y ortaça san bahalaryny, ortaça
bahadan δ x we δ y gyşarmalary (sur. 7) we standartyň σ x we σ y emprik bahalaryny
hasaplaýarlar.
n
2-nji we 3-nji sütünde tapylan
∑ xi we
i =1
n
∑y
i =1
i
bahalaryndan alarys
n
x=
∑x
i =1
i
n
=
198, 2
= 9,91 km ;
20
=
154,0
= 7,70 km ;
20
n
y=
∑y
i =1
n
i
δ xi = xi − x ;
δ yi = yi − y .
Eger hasaplamalar dogry geçirilen bolsa, onda
n
n
∑ δ xi = 0 we
∑δy
i =1
i =1
i
= 0.
4-nji we 5-nji sütünlerde aşakdakylary hasaplaýarys
n
∑ δx
2
n
2
i =1
n
= ∑ (x i − x ) we
∑δy
i =1
i =1
2
n
2
= ∑ ( yi − y ) ,
i =1
δ x i δy i köpeltmek hasylyny we olaryň jemini 6-njy sütünde ýazýarys.
Standartyň emprik bahasy
n
σx =
∑ (x
i =1
i
− x)
n
2
σy =
we
n
∑ (y
i =1
i
− y)
n
2
.
Biziň mysalymyzda bolsa
σx =
968
= ±6,96 ;
20
417,72
= ±4,57 .
20
σy =
Korrelýasiýa arabaglanyşygynyň ýakynlygynyň ölçegi bolan kqrrelýasiýa koeffisienti
n
r=
∑ δx δ y
i
i
i =1
n
⋅
1
.
σx ⋅ σy
Korrelýasiýanyň koeffisienti -1-den +1 aralykda üýtgeýär. Eger r=0 bolsa onda x bilen y-iň
arasynda korrelýasiýa ýok. Eger  r=1 bolsa onda x bilen y -iň arasynda funksional baglanyşyk bar.
Biziň mysalymyzda
r=
563,32
1
⋅
= 0,886
20
6,96 ⋅ 4,57
3. Iň kiçi kwadratlaryň metodynyň kömegi bilen göni regresiýanyň parametrleri hasaplanýar.
Statistik arabaglanyşyk
y = α + βx .
Şu deňleme bilen kesgitlenýän göni çyzyga regresiýanyň çyzygy diýilýär, α we β -onuň
parametrleri. β -nyň bahasy aşakdaky aňlatmadan tapylýar
β=r
σy
σx
= 0,896
4,57
= 0,582 .
6,96
Regresiýanyň çyzykly deňlemesine tapylan β -nyň we x , y bahalaryny goýyp alynýar
α =7,70-0,582 9,91=1,932.
4. Çyzykly regresiýanyň her bir y i/ nokady xi bahalary bilen hasaplanýar. Çyzykly
regresiýanyň iň ähtimal gşarmasyny , synag netijesinde alynan yi-biň bahasy bilen deňeşdirilýär
vi = (α + β x i ) − y i = y i/ − y i .
9-njy tablisanyň 8-nji sütüninde vi bahalary ýazylan
Göni regresiýanyň gyşarmasynyň orta kwadratik bahasy
σv =
[v ] = 89,94 = ±2,12 .
2
n
20
5. Barlag üçin korrelýasiýa koeffisientini ikilenji gezek, iň ähtimal gyşarmalaryň orta
kwadratik bahasynyň kömegi bilen hasaplaýarlar
r = 1−
σx
4, 49
= 1−
= 0,886 .
σy
20,88
6. Grafikde (sur.7) regresiýanyň çyzygy gurulýar. x1 we x2 bahalary berip, y1/ we y 2/ -i
hasaplaýarlar we koordinatlaryň bahalarynyň her bir jübti üçin M1 we M2 nokatlary tapýarlar. Mysal
üçin,
x1 = 2,
x 2 = 20,
y1/ = 1,93 + 0,582 ⋅ 2 = 3,09 ;
y 2/ = 1,93 + 0,582 ⋅ 20 = 13,57 .
M1 we M2 nokatlaryň üstünden geçirilen PQ göni çyzyk regresiýanyň çyzygydyr. x we y
koordinatly nokat şu göni çyzygyň üstünde bolmaly.
7. Korrelýasiýa koeffisientiniň takyklygyny anyklamak üçin korrelýasiýa koeffisientiniň orta
kwadratik gyşarmasyny hasaplaýarlar.
σr =
1− r2
.
n
n>50 bolan hatar üçin r ≥ 3σ r bolsa, onda garalýan alamatlaryň arasynda korrelýasiýa
baglanyşygy bar hasap etmek bolar.
Goşmaça
Goşmaça 1
t2
Funksiýanyň bahalarnyň tablisasy
t
0
1
2
1 −2
ϕ(t ) =
e
2π
3
4
5
6
7
8
9
0.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980
0.3977 0.3973
0.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932
0.3925 0.3918
0.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847
0.3836 0.3825
0.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725
0.3712 0.3697
0.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572
0.3555 0.3538
0.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391
0.3372 0.3352
0.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187
0.3166 0.3144
0.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966
0.2943 0.2920
0.8 0.2897 0.2874 0.2850 0.2827 0.2803 0.2780 0.2756 0.2732
0.2709 0.2685
0.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492
0.2468 0.2444
1
0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251
0.2227 0.2203
1.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012
0.1989 0.1965
1.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781
0.1758 0.1736
1.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561
0.1539 0.1518
1.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354
0.1334 0.1315
1.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163
0.1145 0.1127
1.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0989
0.0973 0.0957
Goşmaça
Goşmaça 1 (dowamy)
t2
Funksiýanyň bahalarnyň tablisasy
t
0
1
2
1 −2
ϕ(t ) =
e
2π
3
4
5
6
7
8
9
1.7 0.0940 0.0925 0.0909 0.0893 0.0878 0.0863 0.0848 0.0833 0.0818 0.0804
1.8 0.0790 0.0775 0.0761 0.0748 0.0734 0.0721 0.0707 0.0694 0.0681 0.0669
1.9 0.0656 0.0644 0.0632 0.0620 0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0562 0.0551
2 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.0449
2.1 0.0440 0.0431 0.0422 0.0413 0.0404 0.0396 0.0387 0.0379 0.0371 0.0363
2.2 0.0355 0.0347 0.0339 0.0332 0.0325 0.0317 0.0310 0.0303 0.0297 0.0290
2.3 0.0283 0.0277 0.0270 0.0264 0.0258 0.0252 0.0246 0.0241 0.0235 0.0229
2.4 0.0224 0.0219 0.0213 0.0208 0.0203 0.0198 0.0194 0.0189 0.0184 0.0180
2.5 0.0175 0.0171 0.0167 0.0163 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0143 0.0139
2.6 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.0107
2.7 0.0104 0.0101 0.0099 0.0096 0.0093 0.0091 0.0088 0.0086 0.0084 0.0081
2.8 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0065 0.0063 0.0061
2.9 0.0060 0.0058 0.0056 0.0055 0.0053 0.0051 0.0050 0.0048 0.0047 0.0046
3 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035 0.0034
3.1 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0025 0.0025
3.2 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019 0.0018 0.0018
3.3 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0013 0.0013
3.4 0.0012 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009
3.5 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006
3.6 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004
3.7 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003
3.8 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
3.9 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001
Goşmaça II
Ähtimallyk integralynyň
t
t2
−
1
bahasynyň tablisasy Ф (t ) =
e 2 dt
∫
2π 0
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
0.00
0.00000
1.25
0.78870
2.50
0.98755
0.05
0.03988
1.30
0.80640
2.55
0.98922
0.10
0.07968
1.35
0.82298
2.60
0.99068
0.15
0.11924
1.40
0.83849
2.65
0.99195
0.20
0.15852
1.45
0.85294
2.70
0.99307
0.25
0.19741
1.50
0.86639
2.75
0.99404
0.30
0.23582
1.55
0.87886
2.80
0.99489
0.35
0.27366
1.60
0.89040
2.85
0.99583
0.40
0.31084
1.65
0.90106
2.90
0.99627
0.45
0.34729
1.70
0.90067
2.95
0.99682
0.50
0.38292
1.75
0.91988
3.00
0.99730
0.55
0.41768
1.80
0.92814
3.10
0.99806
0.60
0.45140
1.85
0.93569
3.20
0.99863
0.65
0.48431
1.90
0.94257
3.30
0.99903
0.70
0.51607
1.95
0.94882
3.40
0.99933
0.75
0.54675
2.00
0.95450
3.50
0.99958
0.80
0.57629
2.05
0.95964
3.60
0.99968
0.85
0.60468
2.10
0.96427
3.70
0.99978
0.90
0.63188
2.15
0.96844
3.80
0.99986
0.95
0.65789
2.20
0.97219
3.90
0.99990
1.00
0.68269
2.25
0.97555
4.00
0.99994
1.05
0.70628
2.30
0.97855
4.10
0.99996
1.10
0.72867
2.35
0.98123
4.20
0.99997
1.15
0.74985
2.40
0.98360
4.30
0.99998
1.20
0.76986
2.45
0.98521
4.40
0.99999
Stýudentiň koeffisientleri
(β-ýan ähtimallyk, r-azat derejäniň sany)
Goşmaça III
r
β
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0,95 0.98 0.99 0.999
2
0.16
0.33
0.51 0.73 1.00 1.4
2.0
3.1
6.3
13
31.8 63.7 637
3
0.14
0.29
0.45 0.62 0.82 1.1
1.3
1.9
2.9
4.3
7
9.9
32
4
0.14
0.28
0.42 0.58 0.77 1
1.3
1.6
2.4
3.2
4.5
5.8
13
5
0.13
0.27
0.41 0.57 0.74 0.9
1.2
1.5
2.1
2.8
3.7
4.6
8.6
6
0.13
0.27
0.41 0.56 0.73 0.9
1.2
1.5
2
2.6
3.4
4
6.9
7
0.13
0.27
0.4
0.55 0.72 0.9
1.1
1.4
1.9
2.4
3.1
3.7
6
8
0.13
0.26
0.4
0.55 0.71 0.9
1.1
1.4
1.9
2.4
3
3.5
5.4
9
0.13
0.26
0.4
0.54 0.71 0.9
1.1
1.4
1.9
2.3
2.9
3.4
6
10 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.3
2.8
3.3
4.8
11 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.8
3.2
4.6
12 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3.1
4.5
13 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3.1
4.3
14 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3
4.2
15 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
3
4.1
16 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
2.9
4
17 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
2.9
4
Goşmaça III (dowamy)
β
r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95 0.98 0.99 0.999
18 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
4
19 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
3.9
20 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
3.8
21 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
22 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
23 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
24 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
25 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
26 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
27 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
28 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.86
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
29 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
30 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
40 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.4
2.7
3.6
60 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1
1.3
1.7
2
2.4
2.7
3.5
80 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1
1.3
1.7
2
2.4
2.6
3.4
Goşmaça IV
χ2 kriteri üçin P ähtimallyklaryň tablisasy
r
χ2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0.3173
0.6065
0.8013
0.9098
0.9626
0.9858
0.9948
0.9982
2
0.1574
0.3679
0.5724
0.7358
0.8491
0.9197
0.9598
0.9810
3
0.0833
0.2231
0.3916
0.5578
0.7000
0.8086
0.8850
0.9344
4
0.0455
0.1353
0.2615
0.406
0.5494
0.6767
0.7798
0.8571
5
0.0254
0.0821
0.1718
0.2873
0.4159
0.5438
0.6600
0.7576
6
0.0143
0.0498
0.1118
0.1991
0.3062
0.4232
0.5398
0.6472
7
0.0081
0.0302
0.0719
0.1359
0.2206
0.3208
0.4289
0.5366
8
0.0027
0.0183
0.0460
0.0916
0.1562
0.2381
0.3326
0.4335
9
0.0016
0.0111
0.2930
0.0611
0.1091
0.1736
0.2527
0.3423
10
0.0009
0.0067
0.0186
0.0404
0.0752
0.1247
0.1886
0.2650
11
0.0006
0.0041
0.0117
0.0266
0.0514
0.0884
0.1386
0.2017
12
0.0003
0.0025
0.0074
0.0174
0.0348
0.0620
0.1006
0.1512
13
0.0002
0.0015
0.0046
0.0113
0.0234
0.0430
0.0721
0.1119
14
0.0001
0.0009
0.0029
0.0073
0.0156
0.0296
0.0512
0.0818
15
0.0001
0.0008
0.0018
0.0047
0.0104
0.0203
0.0360
0.0591
16
0
0.0002
0.0011
0.003
0.0068
0.0138
0.0251
0.0421
17
0.0001
0.0007
0.0019
0.0045
0.0093
0.0174
0.0301
18
0.0000
0.0004
0.0012
0.0029
0.0062
0.0120
0.0212
19
0.0003
0.0006
0.0019
0.0042
0.0082
0.0149
20
0.0002
0.0005
0.0013
0.0028
0.0056
0.0103
21
0.0001
0.0003
0.0008
0.0018
0.0036
0.0071
22
0.0001
0.0002
0.0005
0.0012
0.0025
0.0040
23
0.0000
0.0001
0.0003
0.0008
0.0017
0.0034
24
0.0001
0.0002
0.0005
0.0011
0.0023
25
0.0001
0.0010
0.0003
0.0008
0.0016
26
0.0000
0.0010
0.0002
0.0005
0.0010
27
0.0010
0.0001
0.0003
0.0007
28
0.0000
0.0001
0.0002
0.0005
29
0.0001
0.0001
0.0003
30
0.0000
0.0001
0.0002
Goşmaça IV(dowamy)
χ2 kriteri üçin P ähtimallyklaryň tablisasy
r
χ2
9
10
11
12
13
14
15
16
1
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
2
0.9915
0.9963
0.9985
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
3
0.9643
0.9814
0.9907
0.9955
0.9979
0.9991
1.0000
0.9998
4
0.9114
0.9473
0.9699
0.9834
0.9912
0.9955
0.9977
0.9989
5
0.8343
0.8912
0.9312
0.9580
0.9752
0.9858
0.9921
0.9958
6
0.7399
0.8153
0.8734
0.9160
0.9462
0.9665
0.9797
0.9881
7
0.6371
0.7254
0.7991
0.8576
0.9022
0.9345
0.9576
0.9733
8
0.5341
0.6288
0.7133
0.7851
0.8436
0.8893
0.9238
0.9489
9
0.4373
0.5321
0.6219
0.7029
0.7729
0.8311
0.8715
0.9134
10
0.3506
0.4405
0.5304
0.6210
0.6939
0.7622
0.8197
0.8686
11
0.2757
0.3575
0.4433
0.5280
0.6108
0.686
0.7526
0.8095
12
0.2133
0.2851
0.3626
0.4457
0.5276
0.6063
0.6790
0.7440
13
0.1626
0.2237
0.2933
0.3690
0.4478
0.5265
0.6023
0.6728
14
0.1223
0.1730
0.2330
0.3007
0.3738
0.4497
0.5255
0.5987
15
0.0909
0.1321
0.1825
0.2414
0.3074
0.3782
0.4511
0.5246
16
0.0669
0.0996
0.1411
0.1912
0.2491
0.3134
0.3821
0.453
17
0.0487
0.0744
0.1079
0.1496
0.1993
0.2562
0.3189
0.3856
18
0.0352
0.055
0.0816
0.1157
0.1575
0.2068
0.2627
0.3239
19
0.0252
0.0403
0.0611
0.0885
0.1231
0.1649
0.2137
0.2687
20
0.0179
0.0293
0.0153
0.0671
0.0952
0.1301
0.1719
0.2202
21
0.0126
0.0211
0.0334
0.0504
0.7290
0.1016
0.1368
0.1785
22
0.0089
0.0151
0.0244
0.0375
0.5540
0.0786
0.1078
0.1432
23
0.0062
0.0107
0.0177
0.0277
0.0447
0.0603
0.8410
0.1137
24
0.0043
0.0076
0.0127
0.0203
0.0311
0.0458
0.6510
0.0895
25
0.0030
0.0053
0.0091
0.0148
0.0231
0.0346
0.4990
0.0698
26
0.0020
0.0037
0.0065
0.0107
0.0170
0.0259
0.0380
0.0540
27
0.0011
0.0026
0.0046
0.0077
0.0124
0.0193
0.0287
0.0415
28
0.0010
0.0018
0.0062
0.0055
0.0960
0.0142
0.0216
0.0316
29
0.0006
0.0012
0.0023
0.0039
0.0650
0.1040
0.0161
0.0239
30
0.0004
0.0009
0.0016
0.0028
0.0470
0.0076
0.0119
0.018
I.
MAZMUNY
ÄHTIMALLYGYŇ KESGITLENILIŞI
1. Wakalaryň görnüşleri we olaryň üstünde geçirilýän amallar
7
2. Otnositel ýygylyk we ähtimallygyň klassiki kesgitlemesi
8
3. Wakanyň ähtimallygynyň statistiki kesgitlemesi
9
4. Ähtimallyklary köpeltmek teoremasy. Şertli ähtimallyk
10
5. Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny goşmak teoremasy.
6. Doly ähtimallyk formulasy. Baýesiň formulasy
13
7. Gaýtalanýan synaglar shemasy. Bernulliniň formulasy
15
8. Laplasyň lokal teoremasy
17
9. Laplasyň integral teoremasy
18
10. Diskret we üznüksiz tötänleýin ululyklar
18
11. Diskret tötänleýin ululyklaryň san harakteristikalary
we matematiki garaşmanyň häsietleri
20
12. Diskret tötänleýin ululygyň dispersiýasy
23
13. Ortaça kwadratik gyşarma we onuň häsietleri
26
14. Üznüksiz tötänleýiň ululygyň ähtimallyklarynyň
paýlanyşynyň integral we differensial funksiýasy we
olaryň häsiýetleri
28
15. Uly sanlaryň kanuny
30
16. Markowyň deňzisligi
30
17. Çebyşewiň teoremasy
30
18. Wakalaryň ýönekeýje akymy
31
19. Ähtimallyklaryň deňölçegli paýlanyş kanuny
32
20. Ähtimallyklaryň normal paýlanys kaňuny
33
21. Wariasion hasaplamalar
35
22. Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişi
36
23. Ynanç aralyklary barada düsünje
36
24. Ortaça ululyklar
37
25. Mediana we moda
41
26. Wariasiýanyň görkezijileri
42
27. Emperik dispersiýanyň häsietleri
44
28. Empirik merkez we başlangyç momentler
46
29. Empirik assimmetriýa we eksess
47
II. Mysallar
1.
2.
Ölçemeleriň sanynyň köp bolmadyk halatynda ululygyň
deňtakykly ölçemeler hatarynyň barlagy
48
Ölçeme ýalňyşlyklarynyň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewi
54
III. Tötän ululyklaryň arasyndaky statistiki arabaglanyşyk (korrelýasiýa).
1. Umumy düşünje
70
2. Goşmaça
76
Edebiýat
86
Edebiýat
1. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических
измерений. М., Недра, 1977.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Наука, 1964.
3. Гмурман В.Е. Введение теория вероятностей и математическую статистику. М., Высшая
школа, 1966.
4. Пятницкая М.П. Вероятнстно-статистический и корреляционный анализы рядов ошибол
геодезических измерений. Л., изд ЛГИ, 1975.
5. Пятницкая М.П. Статистическая обработка результатов геодезических измерений. Л.,
1983.
6. Рыжков П.А. Математическая статистикав горном деле. М., Высшая школа, 1973.
7. Смирнов Н.В., Белугин Д.А. . Теория вероятностей и математическая статистика в
приложении к геодезии. М., Недра, 1969.
8. Orazow J., Nazaröwezow M., Garryýew O. Ähtimallyklar teoriýasynyň we matematiki
statistikanyň elementleri. Aşgabat, Magaryf, 1990.
D. Nurmämmedow, M. Handöwletow, G. O. Meredow
GEODEZIÝA ÖLÇEMELERINI
MATEMATIKI TAÝDAN GAÝTADAN IŞLEMEKLIK TEORIÝASY
(okuw gollanmasy)
ÄHTIMALLYGYŇ KESGITLENILIŞI
Wakalaryň görnüşleri we olaryň
üstünde geçirilýän amallar
Her bir tejribäni, hadysany synag diýip atlandyralyň. Şu synagda käbir hadysanyň, wakanyň,
netijäniň bolup bilmegi-de, bolup bilmezligi-de mümkin. Şonda şu hadysa biz tötänleýin waka,
köplenç halatda gysgaça waka diýip at bereris we A, W, S, ... harplar bilen belgilejekdiris. Umuman,
waka diýip biz belli bir synagda bolup biljek, bolup bilmejek, hökmany bolmaly, hiç haçan bolup
bilmejek faktlara, hadysalara, netijelere düşünýäris. Synagda hökmany suratda bolup biljek ýa-da
eýýäm bolan zada çyn waka diýýäris. Berlen synagda hiç haçan bolup bilmejek waka mümkin däl
waka diýilýär.Berlen synagda A wakanyň manysyna ters bolan waka garşylykly waka diýilýär we
A-diýip belgilenýär.Eger belli synagda iki wakanyň biriniň bolmaklygy beýleki wakanyň
bolmaklygyny ýok edýän bolsa , onda ol wakalara bilelikdeş däl wakalar diýilýär. Eger synagda iki
wakanyň biriniň bolmagy beýlekisiniň bolmagyny ýok edmeýän bolsa , onda bu wakalara bilelikdeş
wakalar diýilýär.
Synagda birnäçe wakalaryň biri we diňe biri bolup geçýän bolsa, onda wakalara eke-täk
mümkinçilikli wakalar diýilýär. Eke-täk mümkinçilikli wakalaryň bilelikdeş däl wakalar
bolýandygy aýdyňdyr.
Eger birnäçe wakalaryň biriniň bolmagy beýlekilere görä has mümkindir diýip hasap
edilmese, onda ol wakalara deňmümkinçilikli wakalar diýilýär.
Eke-täk mümkinçilikli wakalaryň toplumyna wakalaryň doly topary diýilýär. Hususy halda, A
we A wakalar doly topary emele getirýär.
Iki wakanyň biriniň bolmagy beýlekisiniň bolmagyna täsir etmeýän bolsa, onda ol wakalara
bagly däl wakalar diýilýär.
Iki wakanyň biriniň ýüze çykmagy beýlekisine bagly bolsa, onda ol wakalara bagly wakalar
diýilýär.
Indi wakalaryň üstündäki amallara garap geçeliň.
A wakanyň ýa-da W wakanyň ýa-da bu wakalaryň ikisiniňde bolmagyndan ybarat bolan waka
A we W wakalaryň jemi diýilýär we A+W bilen belgilenýär.
Bu kesgitlemäni birnäçe wakalaryň jemi üçin hem umumylaşdyryp bolýar: olaryň jemi diýip
iň bolmanda biriniň ýüze çykmaklygyna aýdylýar.
A we W wakalaryň birwagtda ýüze çykmagyna olaryň köpeltmek hasyly diýilýär we AW bilen
belgilenýär.
Otnositel ýygylyk we ähtimallygyň klassiki kesgitlemesi
Şol bir synag birnäçe gezek geçirilende A waka birnäçe gezek duş gelip we birnäçe gezek duş
gelmän hem biler. Synaglaryň sanyny näçe köpeltsek, onda A wakanyň ýüze çykýan sany hem
üýtgär. Goý, synaglaryň sany n bolsun, A wakanyň ýüze çykýan hallarynyň sany m bolsun.Onda biz
m/n sana şol A wakanyň otnositel ýygylygy diýýäris wa W(A) ýa-da ýöne W harp bilen belgileýäris.
m
W ( A) =
(1)
n
Wakanyň (1) otnositel ýygylygy synaglaryň n sany hemişelik bolanda hem üýtgäp durýan
ululykdyr. Emma synaglaryň n sanyny ulaltsak m sany hem ulalar, emma her bir ýagdaýda wakanyň
W otnositel ýygylygy dürliçe bolsada, ýöne şol bir hemişelik sana ýakyn bolýar, şol hemişelik sana
A wakanyň ähtimallygy diýilýär we ol obektiw ululykdyr.
Kesgitleme. Synagyň eke-täk mümkinçilikli we deň mümkinçilikli netiželeriniň umumy n
sanyndan ugur alyp A waka ýardamly bolan m netijeleriň n sana bolan gatnaşygyna A wakanyň
ähtimallygy diýilýär we
P = P( A) =
m
n
(2)
diýip belgilenýär.
Bu kesgitlemeden ähtimallygyň aşakdaky häsietleri gelip çykýar.
1. Çyn wakanyň ähtimallygy bire deň, çünki bu halda m=n bolýar. Şoňa görä-de (2)
formulladan
m
P = P( A) = = 1
n
2. Mümkin däl wakanyň ähtimallygy nula deňdir, çünki m=0 bolýar:
0
P = P( A) = = 0
n
3. Tötänleýin ululygyň ähtimallygy položitel ululyk bolup, ol nul bilen birligiň arasyndaky san
bolýar.
Wakanyň ähtimallygynyň statistiki kesgitlemesi
Kesgitlenen wakanyň W otnositel ýygylygy wakanyň p ähtimallygy bilen deňeşdirilende,
geçirilen synagyň netijesinde otnositel ýygylygyň kesgitlenendigini, ähtimallygyň bolsa tejribeden
öň kesgitlenendigini belläp geçmeli. Şonuň üçin köp halatlarda wakanyň ähtimallygyň onuň
otnositel ýygylygyndan (p-W) gyşarmasyny bahalandyrmak meselesi öňde goýulýar.
Ozalky belleýşimiz ýaly, synaglaryň sany näçe uly bolsa. Wakanyň otnositel ýygylygy käbir p
hemişelik sana ýakyn bolýar. Şol p sana hem wakanyň ähtimallygy diýilýär.
Ähtimallygy goşmak teoremasy
Teorema. Bilelikdeş däl iki wakanyň jeminiň ähtimallygy bu wakalaryň ähtimallyklarynyň
jemine deňdir:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Subudy. Goý, ähli synaglaryň (ölçemeleriň) sany n bolsun. A waka ýardam berýän wakalaryň
sany m1, B waka ýardam berýän wakaldaryň sany m2 bolsun
m
m
P( A) = 1
we
P( B) = 2
n
n
Onda A+W waka ýardam berýän wakalaryň sany m1+ m2 bolar. A+W wakanyň ähtimallygynyň
bilelikdeş däl häsietini nazara alyp ýazarys.
m + m2 m1 m2
P( A + B) = 1
=
+
= P( A) + P( B)
n
n
n
Ähtimallyklary köpeltmek teoremasy.
Şertli ähtimallyk
Teorema. Bagly däl wakalaryň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy şol wakalaryň
ähtimallyklarynyň köpeltmek hasylyna dendir:
P( AB) = P( A) × P( B)
Subudy. Bellemeler girizeliň. Goý, А wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek mümkin
bolan elementar netijeleriniň sany k bolsun, А waka ýardam berýän netijeleriň sany k1 bolsun. В
wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek elementar netijeleriniň sany l bolsun, В waka ýardam
berýän netijelerinň sany l1 bolsun. Onda k1 ≤ k we l1 ≤ l. Şunlukda А we B wakalaryň ikisiniň
hem bolup biljek ýa-da A we В wakalaryň bolup biljek ýa-da А we B wakalaryň bolup biljek ýada elementar netijeleriň umumy sany kl bolar, çünki А wakanyň bolup ýa-da bolup bilmejek
netijeleriniň her biri В wakanyň bolup biljek ýa-da bolup bilmejek netijeleriniň her biri bilen
utgaşmaly. Şu kl netijeleriň dine k1l1 sanysy А we В wakalaryň bilelikde bolmagyna ýardam berýär.
Ondan basga-da Р(А) =
k1
l
we Р(В) = 1 nazarda tutup alarys:
k
l
kl
k l
Р(АВ) = 1 1 = 1 1
kl
k l
Teorema. Toplumlaýyn bagly däl wakalaryň bilelikde ýüze çykmaklygynyň ähtimallygy ol
wakalaryn ähtimallyklarynyň köpeltmek hasylyna deňdir:
Р(АВС) = Р(А) ·Р(В) ·Р(С)
Subudy. А, В, С wakalaryň bilelikde ýüze çykmaklygy АВ we С wakalaryň bilelikde ýüze
çykmagy bilen deňgüýçlüdir.
P ( ABC ) = P ( AB) ⋅ P (C ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C )
Teorema. Bilelikdeş däl А1, А2, А3 wakalaryň dine biriniň ýüze çykmak (А wakanyň)
ähtimallygy
P( A) = p1 q1 q2 + p2 q1 q3 + p3 q1 q 2
(3)
formula bilen hasaplanylýar, bu ýerde
Pk ( A) = p k ; q k = 1 − p k (k = 1, 2,3).
Subudy. Diňe А1 wakanyň bolmaklygy А1·Ā2·Ā3 wakanyň bolmaklygy bilen deň güýçlüdir.
Şuny nazara tutup, asakdaky belgilemeleri girizeliň.
В1 - diňe А1 waka ýüze çykdy, ýagny В1 = А1·Ā2·Ā3
В2 - dine А2 waka ýüze çykdy, ýagny В2 = А2·Ā1·Ā3
В3 - dine А3 waka ýüze çykdy, ýagny В3 = А3·Ā1·Ā2
В1, В2, В3 wakalar bilelikdeş däl wakalar bolany üçin ähtimallyklary goşmak formula göre ýerine
ýetirilýär:
Р(В1 + В2 + В3) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3).
В1, А2, А3 wakalar bagly däl bolany üçin
Р(В1) = Р(А1) ·Р(Ā2) ·Р(Ā3) = p1q2q3,
Р(В2) = Р(А2) ·Р(Ā1) ·Р(Ā3) = p2q1q3,
Р(В3) = Р(А3) ·Р(Ā1) ·Р(Ā2) = p3q1q2.
Onda ahyrky netijede soňky deňliklýeriň esasynda (3) formulany alarys.
Teorema. Toplumlaýyn bagly däl А1, А2, … , Аn wakalaryň iň bolmanda biriniň ýüze
çykmagynyň ähtimallygy birlik bilen garsylykly Ā1, Ā2, …,Ān wakalaryň ähtimallyklarynyň
köpeltmek hasylynyň tapawudyna deňdir:
P( A) = 1 − q1 q 2 ⋅ ⋅ ⋅ q n
Hususy halda, А1, А2, … , Аn wakalaryň ähtimallyklary bir deň bolsa onda
P( A) = 1 − q n .
Subudy. Goý, А1, А2, … , А3 wakalaryň iň bolmanda biri ýüze çykmaly diýen wakany A diýp
bellälin. Onda A waka we Ā1·Ā2·Ā3· · ·Ān waka (ýagny wakalaryň biride bolanok diýen waka) özara
garsylyklydyr.
Р (А1) + P(Ā1Ā2· · ·Ān) = 1
Bu ýerden
Р(А) = 1 - p(Ā1Ā2· · ·Ān).
Onda ähtimallyklaryny köpeltmek formulasyndan ugur alyp, alarys:
P( A) = 1 − P( A1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n ) = 1 − q1 q 2 ⋅ ⋅ ⋅ q n .
Teorema. Bagly iki wakanyň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy olaryň biriniň
ähtimallygynyň şol waka eýýäm boldy diýen şertde beýlekisiniň şertli ähtimallygyna köpeltmek
hasylyna deňdir:
Р(АВ) = Р(А) ·РА(В).
(4)
Subudy. Asakdaky belgilemeleri girizeliň. Goý, А wakanyň bolup biljek ýa-da bolup
bilmejek elementar netijeleriniň sany k bolsun, şunlukda А waka ýardam berýän netijeleriň sany k1
bolsun. А waka eýýäm bolup geçdi diýen şertde В waka ýardam berýän, ýagny АВ wakanyň
bolmagyna ýardam berýän netijelerin sany l bolsun. Şunlukda k1 ≤ k we l ≤ k1 bolar. АВ wakanyň
bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy
Р(АВ) =
l
l k1
=
·
k
k1 k
k
l
= РА(В) we 1 = Р(А) nazarda tutup, (4) formulany alýarys.
k
k
Netije. Bagly birnäçe wakalaryň bilelikde ýüze çykmak ähtimallygy olaryň biriniň
ähtimallygynyň ähli galan wakalaryň şertli ähtimallyklaryna köpeltmek hasylyna deňdir, şunlukda
her bir soňky wakanyň ähtimallygy ähli öňki wakalar ýüze çykdy diýen şertde hasaplanylýar:
Şunlukda
P( A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An ) = P( A1 ) PA1 ( A2 A3 ⋅ ⋅ ⋅ An ) = PA1 PA1 ( A2 ) ×
PA1A2 ( A3 A4 ⋅ ⋅ ⋅ An ) × PA1 A2 A3 ( A4 A5 ⋅ ⋅ ⋅ An ) =
= P( A1 ) PA1 ( A2 ) PA1A2 ( A3 ) ⋅ ⋅ ⋅ PA1 A2 ⋅⋅⋅ An−1 ( An )
Üç sany waka üçin
P( ABC ) = P( A) PA ( B) PAB (C )
(5)
formulany alarys, bu erde wakalaryň ýüze çykmak tertibinin ähmieti ek.
Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny goşmak teoremasy.
Doly ähtimallyk formulasy. Baýesiň formulasy
Teorema. (Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny gosmak teoremasy). Bilelikdeş iki
wakanyň iň bolmanda biriniň ýüze çykmak ähtimallygy olaryň ähtimallyklarynyň jemi bilen olaryň
bilelikde ýüze çykmak ähtimallyklarynyň tapawudyna deňdir.
P( A + B) = P( A) + P( B ) − P( AB)
Subudy. А we В wakalar bilelikdeş bolany üçin, eger AB , AB ýa-da АВ bilelikdeş däl
wakalaryň biri ýüze çykanda А+В waka bolar. Bilelikdeş däl wakalary goşmak formulasy boýunça
P( A + B) = P( AB) + P( AB) + P( AB)
(6)
Iki sany bilelikdeş däl AB we AB wakalaryň biri ýüze çykanda А waka ýüze çykar. Onda ýene
öňki formula görä alarys:
P( A) = P( AB) + P( AB).
Bu ýerden
P( AB) = P( A) − P( AB)
Şuňa menzeşlikde
P( B) = P( AB) + P( AB)
Bu ýerden
P( AB) = P( B) − P( AB).
soňky deňlikleri ulanyp (6) formulany alarys.
Netije 1. Eger А we W wakalar bilelikdeş däl wakalar bolsa, АВ mümkin däl wakadyr:
Р(АВ) = 0 bolar.
P( A + B) = P( A) + P( B)
Netije 2. Eger А we В bagly wakalar bolsa, onda (5) formulany
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( A) PA ( B)
görnüşde ýazyp bolar.
Teorema. (doly ähtimallyk formulasy) Eger:
a) B1,B2,…,Bn bilelikdeş däl wakalar bolsa,
b) bu wakalar doly topary emele getirse,
c) käbir A baka şu B1,B2,…,Bn wakalaryň diňe biri ýüze çykanda bolup geçse, onda A
wakanyň ähtimallygy şu wakalaryň ähtimallyklaryny A wakanyň şu wakalara görä şertli
ähtimallyklaryna köpeltmek hasyllarynyň jemine deňdir:
P( A) = P( B1 ) PB1 ( A) + P( B2 ) PB2 ( A) + Λ + P( Bn ) PBn ( A) (7)
Teorema. (Baýesiň teoremasy). Goý, (7) formulanyň şertli ýerine ýetsin we käbir synag
geçirilip, onüň netijesinde А waka ýüze çykypdyr dielin. Şu şertde В1, В2, … , Вn wakalaryň
ähtimallygy (ýagny şertli ähtimallyklary)
PA ( Bk ) =
P( Bk ) PBk ( A)
P( A)
(k = 1,2,…,n)
formula bilen hasaplanylýar, bu ýerde Р(А) ähtimallygy (7) formula boýunça hasaplamaly.
Bellik. Baýesin formulasy synagdan öňki we söňky ähtimallyklary täzeden deňeşdirmäge
mümkinçilik berýär.
Subudy. Ilki bilen РА (Вk) şertli ähtimallygy tapalyň. Köpeltmek teoremasy boýunça
P( ABk ) = P( A) PA ( Bk ) (k = 1,2,…,n),
bu ýerde
P( АBk )
(k = 1,2,…,n).
P( A)
Р(А) doly ähtimallygy (7) formula boýunça hasaplap we РА (АВk) ähtimallyga köpeltmek
formulasyny ulanyp
PA ( Bk ) =
PA ( Bk ) =
P( Bk ) PBk ( A)
P( A)
(k = 1,2,…,n)
formulany alarys.
P( A) = P( B1 ) PB1 ( A) + ... + P( Bn ) PBn ( A).
Gaýtalanýan synaglar shemasy.
Bernulliniň formulasy
Synaglar birnäçe gezek geçirilýän bolsa we şol synaglaryň her birinde şol bir А wakanyň
ähtimallygy beýleki synaglaryň netijesine bagly bolmasa, onda şol synaglara А görä bagly däl
synaglar diýilýär. Dürli synaglarda А wakanyň ähtimallygy dürli-de bolup biler ýa-da şol bir
üýtgemeýän ähtimallygynyň bolmagyda mümkin. Biz her synagda А wakanyň ähtimallygyny
hemiselik p diýip alalyň, onda A wakanyň ähtimallygy q=1-p bolar. Indi jemi n synag edilýän
bolsa, şol synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak ähtimallygyny hasaplamaklyga girişeliň,
şunlukda А wakanyň nähili tertipde çykýanlygy nazara alynmaýar. Ýönekeý ýagdaýlardan başlalyň.
I. Hemme synagda А waka ýüze çykýar, ýagny А·А ····. А waka ýüze çykýar. Onda bagly däl
wakalaryň ähtimallyklaryny, köpeltmek formulasy boýunça
Р(А·А…·А) = Р(А)·Р(А)·… ·Р(А) = pn,
Ýagny hemme n synagda А wakanyň bolmagynyň ähtimallygy pn deňdir.
II. А waka bir synagdan başga beýleki ähli synaglarda ýüze çykýar. Bu hallary sanap geçelin.
 A· A· A· ... · A

 A· A· A· ... · A

.... −
 A· A· A· .... ·A

Her bir halda şol halyň ähtimallygy q ⋅ p ⋅ p ⋅ ... ⋅ p = p n −1 q deň. Bu hallar bilelikdeş däldirler.
Onda ähtimallyklary goşmak formulasy boýunça
P( AA... A) + ... + P( A ⋅ A...A)np n−1 q = p n (n − 1)
III. А waka iki synagdan başga galan synaglarda ýüze çykýar. Bu hallaryň her biri (ĀĀ
AA…A) tipli hallar; ähtimallygy p n− 2 q 2 deň bolar, bu hallaryň sany bolsa utgaşmalar teoriýasyndan
belli bolşy ýaly
C n2 =
n(n − 1)
n!
=
2
2!(n − 2)!
bilen kesgitlenilýär, bu ýerde n! faktorial n! = 1·2·3…·n deňdir. Onda А wakanyň n synagda iki
gezek bolmazlygynyň (ýa-da n-2 gezek bolmagynyň) ähtimallygy Cn2 p n − 2 q 2 deň bolar. Bu
ähtimallygy Pn (n − 2) ýa-da Pn − 2, n diýip belläp
Pn (n − 2) = Pn − 2, x
n!
p n −2q 2
2!(n − 2)!
deňligi alarys. Şuňa menzeslikde n synagda А wakanyň m gezek bolmak ähtimallygy
Pn (m) = Pm⋅n
n!
p m q n− m
m!(n − m)!
formula boýunça hasaplanylýar, bu formula Bernulliniň formulasy diýilär.
Laplasyň lokal teoremasy
Öň görşümiz ýaly, Bernulliniň formulasy n synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak
ähtimallygyny hasaplamaga mümkinçilik berýär, emma m we n ululygyň eýýäm uly bahalarynda
ony ulanmak kyn bolýar, çünki uly sanlar bilen iş salyşmaly bolýar. Şonuň üçin Bernulliniň
formulasyna ýüz tutman, bizi gyzyklandyrýan ähtimallygy hasaplamaga girişmeli. Ony Laplasyň
1
lokal teoremasynyň üsti bilen hasaplamak bolar. Р=
üçin Bernulliniň formulasynyň asimptotik
2
görnüşi Muawr tarapyndan tapyldy, islendik 0 ≤ р ≤ 1 üçin bolsa Laplas tarapyndan tapyldy.
Laplasyň lokal teoremasy. Her bir synagda А wakanyň ähtimallygy hemişelik р sana
≤
(0<р 1) deň bolsa, onda А wakanyň n synagda m gezek ýüze çykmak ähtimallygy takmynan
Pn (m) =
1
φ(x)
npq
φ(x) =
1 −2
e .
2π
funksiýanyň bahasyna deňdir; bu ýerde
x2
funksiýa Laplasyň funksiýasy diýilýär; x ululyk bolsa
m − np
deňdir. Laplasyň funksiýasy üçin
npq
ýörite tablisa düzülendir.
Indi φ(x) funksiýanyň häsietlerine garap geçeliň.
1) bu funksiýa jübüt funksiýadyr. φ(-x) = φ(x).
2)
2) х ululygyň hemme bahalarynda funksiýanyň bahalary položitel bolýar, diýmek
grafik ох okundan ýokarda ýerlesýär.
3) х ululyk tükeniksizlige ymtylanda funksiýanyň predeli nula deň bolýar.
lim ( x ) = 0
x →∞
Laplasyň integral teoremasy
n synagda А wakanyň m gezek ýüze çykmak ähtimallygyny tapmaga Laplasyň lokal
teoremasy mümkinçilik berýär, ýöne А wakanyň m1 ≤ m ≤ m2 çäklerdäki ähtimallygyny hasaplamak
üçin amatly däldir. Onuň üçin Laplasyň integral teoremasy amatlydyr.
Laplasyň integral teoremasy. Eger her bir synagda А wakanyň ýüze çykmaklygynyň
ähtimallygy hemiselik 0 ≤ р ≤ 1 bolsa, onda А wakanyň m1 ýagdaýdan m2 ýagdaýa çenli çäklerde
ýüze çykmak ähtimallygy aşakdaky
Pn (m1 , m2 ) =
1
2r1
x2
∫e
−
z2
2
dz
x1
kesgitli integrala deňdir. Bu ýerde
x′ =
m1 − np
;
npq
x ′′ =
m 2 − np
.
npq
Bu Ф(х) funksiýa üçin ýörite tablisa düzülen, ol tablisada х-in bahalary 0,5 çenli üýtgeýär, х>5
bolsa, Ф(х) = 0,5 diýip almaly, х-iň otrisatel bahalary üçin täklik häsietinden peýdalanmaly Ф(-х)
= -Ф(х). Şunlukda asakdaky denlikden peýdalanyp bolar:
p n (m1 , m2 ) = Φ ( x ′′) − Φ ( x ′)
Diskret we üznüksiz tötänleýin ululyklar
Kesgitleme. Synagyň netijesinde bir we diňe bir tötänleýin (mümkin bolan) bahany alyp
biljek ululyga tötänleýin ululyklar diýilýär.
Mysal üçin, tirde ok atylanda urulýan oçkolaryn sany, lotoreýada utuşyň gymmatynyň
bahalary, şaý pul oklananda «gerbli» taraplaryn düşüşiniň sany tötänleýin ululyk bolup biler.
Tötänleýin ululyklar iki hili bolýar:
1. Eger ululyk aýry-aýry üzňe bahalary alýan bolsa, ona diskret tötänleýin ululyklar
diýilýär.
2. Käbir tükenikli ýa-da tükeniksiz aralyklardaky hemme bahalary alyp bilýän ululyga
üznüksiz tötänleýin ululyk diýilýär.
Diskret tötänleýin ululygy diňe olaryň alýan bahalaryny bermek bilen kesgitlemek ýeterlik
däldir. Şol bahalary nähili ähtimallyk bilen olaryň alýandygyny, ýagny şol bahalaryň
ähtimallyklaryny hem bermek gerek bolýar. Umuman diskret tötänleýin ululyk köplenç asakdaky
ýaly tablisa bilen berilýär.
Tötänleýin ululyk
Ähtimallygy
x
p
x1
p1
x2…
p2…
xn
pn
Geçirilýän synagda tötänleýin ululygyň bir we diňe bir bahany alýandygyny nazarda tutup, ol
hallaryň doly topary emele getirýändigini bilýäris. Onda Р1+Р2+...+Рn = 1 bolmaly. Ýokarda
berlen tablisa diskret tötänleýin ululygyň paýlanyşy diýilýär.
Diskret tötänleýin ululyk üçin iki hili paýlanyş bolýar:
Ähtimallyklaryň «Puasson» paýlanylyşy. Bu paýlanyşda np = λ hemişelik bolmaly diýen
şertiň kanagatlanmagy talap edilýär. Bu şertiň ýerine ýetmegi wakanyň ýüze çykmagynyň ortaça
sanynyň üýtgemän galmagyna getirýär. n uly bolanda Bernulliniň formulasynda predele geçip,
lim Pn (m) predel tapylýar. Bir näçe hasaplamalardan soň
n→∞
Pn (m) =
λm e − λ
.
m!
(8)
Puassonyň formulasyny alýarys. Bu formula n uly we р kiçi bolanda ulanylýar.
Diskret tötänleýin ululyklaryň san harakteristikalary
we matematiki garaşmanyň häsietleri
Biziň bilşimize görä, diskret tötänleýin ululyklaryň paýlanyş kununynyň berilmegi tötänleýin
ululygy doly häsietlendirýär, ýöne köp wagtlarda tötänleýin ululygyň paýlanyş kanuny berilmeýär,
iňňän az maglumatlar bilen iş salyşmaly bolýar. Bu maglumatlara başgaça tötänleýin ululygyň san
harakteristikalary diýilär. Şu hili harakteristikalar bolup, matematiki garaşma (ortaça baha),
dispersiýa we orta kwadratik gyşarma hyzmat edýär.
Köp meseleleri çözmek üçin matematiki garaşmany tapmak ýetelikdir. Meselem, eger birinji
atyjynyň urýan oçkolarynyň sanynyn matematiki garaşmasy ikinji atajynyňkydan uly bolsa, onda
birinji atyjy ikinji atyjydan ortaça köp oçko urýar we ol mergen diýen netije çykarýarys.
Kesgitleme. Diskret tötänleýin ululygyň bahalarynyň degişli ähtimallyklaryna köpeltmek
hasyllarynyň jemine şol ululygyň matematiki garaşmasy diýilýär we aşakdaky ýaly bellenýär:
M ( X ) = MX = X 1 P1 + X 2 P2 + ... + X n Pn
Mysal. Aşakdaky paýlanyş
Х
р
3
0,2
5
3
2
0,5
tablisasy boýunça tötänleýin ululygyň matematiki garaşmasyny tapmaly.
Çözülisi. Formula boýunça
M(X) = 3·0,2 + 5·0,3 + 2·0,5 = 0,6 + 1,5 + 1 = 3,1.
Matematiki garaşmanyň ähtimallyk manysyna garap geçelin. Goý jemi n synag geçirilip,
şolaryň m1 sanysynda tötänleýin ululyk Х1 bahany, m2 sanysynda Х2 bahany, ... , mk sanysynda Хk
bahany kabul etsin, şunlukda m1+m2+...+mk = n bolar. Onda Х ululygyň kabul eden bahalarynyň
jemi m1Х1+Х2m2+...+Хkmk deň bolar. Onda tötänleýin ululygyň alan bahalarynyň X ortaça
arifmetik bahasy
X =
m1 X 2 + X 2 m2 + ... + X k mk m1
m
m
=
X 1 + 2 X 2 + ... + k X k
n
n
n
n
deň bolar. Bu ýerde
Wi =
mi
gatnasyk degişlilikde xi=1,2,...k ,bahanyň otnositel ýygylygy bolar:
n
mi
onda ýokarky deňligi
n
X = X 1W1 + X 2W2 + ... + X k Wk
diýip ýazmak bolar. Eger-de n san ýetelik uly san bolsa, onda otnositel ýygylyklary degişli
ähtimallyklar bilen çalyşyp bileris:
X = X 1 P1 + X 2 P2 + ... + X k ⋅ Pk
Bu soňky denligiň sag tarapy М(Х) matematiki garaşma deňdir.
X ≈ M (X )
Şeýlelik bilen, synaglaryň sany näçe uly bolsa, şonçada М(Х) matematiki garaşma tötänleýin
ululyklaryň syn edilýän bahalarynyň ortaça arifmetik bahasyna takyk deňdir.
Şunlukda, М(Х) matematiki garaşma tötänleýin ululygyň bahalarynyň in kiçisinden uludyr we
iň ulusyndan kiçidir. San okunda tötänleýin ululygyň bahalary М(Х) matematiki garaşmadan sagda
we çepde ýatýarlar. Şu manyda matematiki garaşma paýlanyşyň ýerleşişini häsietlendirýär we şoňa
görä-de oňa paýlanyşyň merkezi diýilýär. Bu termin mehanikadan alynandyr. Eger P1,P2,...,Pn
n
massalara X1,X2,...,Xn abssissaly nokatlarda ýatýan bolsa we şunlukda
∑p
k
massalar bolsa, onda
k
agyrlyk merkezi
n
xc =
∑X
k
Pk
k =1
n
∑P
k =1
k
deňdir.
Matematiki garaşma - abssissalary tötänleýin ululygyň bahalaryna deň bolan, massalary bolsa
olaryň ähtimallyklaryna deň bolan material nokatlar sistemasynyň agyrlyk merkezinin abssissadyr.
«Matematiki garaşma» diýen termin ähtimallyk teoriýasynyň döremeginin başdaky döwri bilen
baglanyşyklydyr.
Indi matematiki garaşmanyň häsietleri bilen tanyşalyn.
1. Kesgitleme. Goý, Х tötänleýin ululyk berlen bolsun we onuň matematiki garaşmasy М(Х)
deň bolsun.
Onda Х - М(Х) tapawutda tötänleýin ululygyň gyşarmasy diýilýär we aşakdaky tablisa
boýunça paýlanylýar.
X - M(x)
P
X1 - M(x)
P1
X2 - M(x)
P2
…
…
X-Mn(xn)
Pn
Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň matematiki garaşmasy nula deňdir:
M [X − M ( X )] = 0
2. Kesgitleme. Hemişelik ululygyň matematiki garaşmasy özüne dendir:
M (C ) = C
Bu halda tötänleýin ululygyň hemme bahalary X i = C , (i = 1,2...k ),
k
k
i =1
i =1
M ( X ) = ∑ X i Pi = C ∑ P = C
3. Kesgitleme. Hemişelik С ululygyň х tötänleýin ululyga köpeltmek hasylyny kesgitläliň.
a) СХ ululygyň bahalary С hemişelik ululygy Х ululygyň bahalaryna köpeltmek hasylyna
deňdir.
c) СХ ululygyň bahalarynyň ähtimallyklary Х ululygyň bahalarynyň ähtimallyklaryna
deňdir.
X
P
X1
P1
X2
P2
…Xk
…Pk
CX CX1
P
P1
CX2 … CXk
P2 … Pk
Onda hemişelik köpeldijini matematiki garaşma alamatynyň daşyna çykarmak bolar.
M [CX ] = CM [X ]
Dogrudanda, kesgitlemä görä
n
n
n
i =1
i =1
i =1
M [CX ] = ∑ (CX i )Pi = ∑ CX i Pi = C ∑ X i Pi = CM ( X )
4. Iki sany bagly däl ululyklaryň köpeltmek hasylynyň matematiki garaşmasy şol
ululyklaryň matematiki garaşmalarynyň köpeltmek hasylyna dendir:
M ( XY ) = M ( X )M (Y )
Netije. Birnäçe bagly däl tötänleýin ululyklaryň köpeltmek hasylynyň matematiki garaşmasy
olaryň matematiki garaşmalarynyň köpeltmek hasylyna deňdir. Üç sany ululyk üçin
M ( XYZ ) = M ( X )M (Y )M (Z )
5. Iki sany tötänleýin ululygyň jeminiň matematiki garaşmasy şu ululyklaryň
matematik garaşmalarynyň jemine deňdir.
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y )
6. Binomial paýlanysda wakanyň ýüze çykyş sanynyň matematiki garaşmasy
M ( x ) = np
formula boýunça hasaplanylýar.
Diskret tötänleýin ululygyň dispersiýasy
Ilki bilen tötänleýin ululygyň ýaýraýyşyny mukdar taýdan häsietlendirmekligiň zerurlygynyň
maksada laýyklygyny görkezeliň. Iki sany deň matematiki gyşarmalary bolan we dürli san bahalary
bolan х we у tötänleýin ululyklara garalyň.
X
P
-0,01 -0,01
0,5
0,5
y
p
-100
0,5
100
0,5
Matematiki garaşmalary tapalyň.
M ( X ) = (−0,01 + 0,01) ⋅ 0,5 = 0
M (Y ) = (−100 + 100) ⋅ 0,5 = 0
Bu ýýerden görnüşi ýaly, х ululygyň bahalary matematiki М(х)=0 garaşma ýakyn, у ululygyň
bahalary matematiki М(у)=0 bahadan daşdyr. Onda diýmek, tötänleýin ululygyň matematiki
garaşmasyny bilmek bilen onuň nähili bahalary kabul edip biljekdigini, hem-de bu bahalaryň
matematiki garaşma görä nähili ýerlesjekdigini, matematiki garaşmanyň ýanynda nähili
ýaýrajakdygyny bilip bolmaýar. Başgaça aýdaňda, matematiki garaşma tötänleýin ululygy doly
häsietlendirmeýär. Şol sebäpli tötänleýin ululygyň bahalarynyň matematiki garaşmasynyň ýanynda
nähili ýerlesjekdigini häsietlendirmek üçin tötänleýin ululygyň başga mukdar taýdan
häsietlendirmesi - dispersiýa girizilýär. Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň matematiki garaşmasy
nula deňdir.
Praktikada tötänleýin ululygyň bahalarynyň ortaça bahanyň ýanynda nähili ýerleşýändigini
(meselem, artilleriýadan atylan snarýadlaryň nyşananyň töweregine nähili düşýändigini) bilmek
möhümdir. Şu maksat üçin gyşarmanyň bahalarynyň ortaça bahasyny tapmak ýýetelik ýaly bolup
görünýär, ýöne bu halda M [x - M (x)] = 0.
Diýmek bu usul peýda bermeýär, çünki bahalaryň bir topary položitel, başga topary otrisatel
bolup, bir-birini ýek edip, ortaça bahany nula deň edýär. Basga bir usula ýüzleneliň, ýagny
gyşarmalary olaryň absolýut ululyklary bilen çalşyralyň, ýöne bu usulda köp kynçylyklar ýüze
çykýar. Şoňa görä-de, gyşarmanyň kwadratynyň ortaça bahasyny alýarlar.
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň gyşarmasynyň kwadratynyň matematiki gyşarmasyna
tötänleýin ululygyň dispersiýasy diýilýär we
D ( X ) = M [X − M ( X )]
2
(10)
diýip belgilenýär. Bu formula boýunça dispersiýany hasaplamak kyn bolýar.
[
]
D ( X ) = M X − 2M ( X ) ⋅ X + M 2 ( X ) =
[
]
= M ( X 2 ) − M [2 M ( X ) ⋅ X ] + M M 2 ( X ) .
[ ]
D ( X ) = M X 2 − 2M ( X ) ⋅ M ( X ) + M 2 ( X )]
ýa-da
[ ]
D( X ) = M X 2 − M 2 ( X ) .
Alynan formula boýunça dispersiýany hasaplamak amatly bolýar.
Indi dispersiýanyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Hemişelik sanyň dispersiýasy nula deňdir:
D(C)=0
2. Hemişelik köpeldijini dispersiýa alamatynyň daşyna ony kwadrata götirip çykarmak bolýar.
D (CX ) = C 2 D ( X )
3. Bagly däl tötänleýin ululygyň jeminiň dispersiýasy şol ululyklaryň dispersiýalarynyň
jemine deňdir.
D( X + Y ) = D( X ) + D( X )
Subudy D(CX)=C2D(X) görä
[
]
D( X + Y ) = M ( X + Y ) − M 2 ( X + Y ) =
[
2
]
= M X 2 + 2 XY + Y 2 − M 2 ( X + Y )
ýa-da
[ ]
[
[ ]
]
D ( X + Y ) = M X 2 + M 2 XY + M Y 2 − [M ( X ) + M (Y )] =
2
[ ]
( X )] + [M ( y ) − M
= M ( X 2 ) + 2M ( X ) M (Y ) + M Y 2 − M 2 [X ] − 2M ( X ) M (Y ) −
[
− M 2Y = M ( x 2 ) − M 2
2
2
]
(Y ) .
subud edildi.
Netijeler. a) Birnäçe özara bagly däl ululyklaryň jeminiň dispersiýasy şu ululyklaryň
dispersiýalarynyň jemine deňdir, meselem, üç ululyk üçin
D ( X + Y + Z ) = D ( X ) + D(Y ) + D( z ).
b) hemiselik ululygyň we tötänleýin ululygyň jeminiň dispersiýasy, şol ululygyň
dispersiýasyna deňdir.
D (C + X ) = D (C ) + D( X ) = 0 + D( X ) = D ( X )
4. Bagly däl iki ululygyň tapawudynyň dispersiýasy şol ululyklaryň dispersiýalarynyň jemine
deňdir.
D ( X − Y ) = D ( X ) + D (Y )
Dogrudan-da
D ( X − Y ) = D( X ) + D (−Y ) = D ( X ) + D(−Y ) = D ( X ) + (−1) 2 D (Y ) =
= D( X ) + (−1) 2 D (Y ) = D ( X ) + D(Y ).
5. Binomial paýlanyşda dispersiýanyň hasaplanyşy
D ( X ) = npq
formula boýunça hasaplanýar.
Ortaça kwadratik gyşarma we onuň häsietleri
Tötänleýin ululygyň bahalarynyň ortaça bahanyň töweregine ýaýraýyş häsietini
anyklasdyrmak üçin diňe şol ululygyň dispersiýasy hyzmat etmän, onuň ortaça kwadratik
gyşarmasy hem hyzmat edýär.
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň dispersiýasyndan alnan kwadrat köküň bahaşyna şol
ululygyň orta kwadratik gyşarmasy diýilýär we
σ( X ) = σ = D ( X )
(11)
diýip bellenilýär. (10) formuladan görnüşi ýaly ululygyň ölçegi Х ululygyň ölçegi bilen gabat
gelýär, meselem: Х ululyk metr bolsa, onda D(X) hem metr2 bolýar. σ( Х ) ululygyň ölçegi bolsa х
ululygyň ölçegi bilen gabat gelýär. Meselem, σ( Х ) metr bolýar. Şonuň üçin, ýaýraýyşy
häsietlendirmäniň ölçegi Х ululygyň ölçegi bilen gabat gelýär diýen ýagdaýlarda σ( Х ) ulanmaklyk
amatly bolýar hem-de kiçi baha eýe bolýar.
Indi σ( Х ) ortaça kwadratik gyşarmanyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Özara bagly däl tükenikli sanly tötänleýin ululyklaryň jeminiň ortaça kwadratik gyşarmasy
bu ululyklaryň ortaça kwadratik gyşarmalarynyň kwadratlarynyň jeminden alnan kwadrat köküň
bahasyna deňdir.
Subudy.Şu özara bagly däl tötänleýin ululyklaryň jemini
X = X1 + X 2 + ⋅⋅⋅ + X n
diýip belläliň. Dispersiýanyň häsietine görä
D ( X ) = D ( X 1 ) + D( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + D( X n )
alarys. Onda
D ( X ) = σ12 ( X 1 ) + σ 22 ( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + σ 2 ( X n )
ýazyp bileris, onda
σ( X ) = σ 2 ( X 1 ) + σ 2 ( X 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅σ 2 ( X n )
deňligi alyp bileris. Bu ýýerden kwadrat kök almak bilen (11) formulany alarys.
2. Özara bagly däl n sany birmeňzeş paýlanan tötänleýin ululyklaryň ortaça arifmetik
bahasynyň ortaça kwadratik gyşarmasy şol ululyklaryň her biriniň ortaça kwadratiki gyşarmasyndan
n esse kiçidir.
σ( X ) =
σ
n
Üznüksiz tötänleýiň ululygyň ähtimallyklarynyň
paýlanyşynyň integral we differensial funksiýasy we olaryň häsiýetleri
Diskret tötäenleýin ululyk özüniň bahalarynyň we olaryň ähtimallyklarynyň toplumy bilen
berilýär. Üznüksiz tötänleýin ululygy şu hili bermek bolmaýar.
Goý, х-hakyky san bolsun. Х tötänleýin ululygyň х-den kiçi baha almak ähtimallygyny F(X)
bilen belläliň, şunlukda х üýtgände F(X) hem üýtgeýär, onda F(X) funksiýa bolýar.
Kesgitleme. Her bir х üçin Х tötänleýin ululygyň х-den kiçi bahany almak ähtimallygyny
kesgitleýän F(X) funksiýa paýlanyşynyň integral funksiýasy ýa-da ýöne paýlanyşynyň funksiýasy
diýilýär we
F ( X ) = p( X < x)
diýip bellenilýär. Biz ýöne paýlanyş funksiýasy diýen termini ulanjakdyrys. Geometrik taýdan bu
kesgitlemäni şeýle düşündirmek bolýar. F(X) funksiýa tötänleýin ululygyň san okunda х nokatdan
çepde ýatýan bahany kabul edýän nokat bilen şekillendirmek ähtimallygyny aňladýar.
Şu düşündirişden soň şeýle kesgitleme bermek bolar:
Egerde paýlanys F(X) funksiýa üznüksiz tötänleýin ( X → 0 bolanda ∆y → 0 ) bolsa, onda Х
tötänleýin ululyga üznüksiz tötänleýin ululyk diýiläýr. Indi paýlanyş funksiýanyň häsietlerine
garap geçeliň.
1. Paýlanys funksiýanyň bahasy [0,1] kesime degişlidir
0 ≤ F ( x) ≤ 1 .
2. F(X) kemelmeýän funksiýadyr:
x1 < x 2 bolanda F ( x1 ) ≤ F ( x 2 )
bolmaly.
Netije. 1 Х tötänleýin ululygyň (a, b) aralykda ýatýan bahany kabul etmek ähtimallygy
F (b) − F (a) tapawuda deň, ýagny
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) .
2 Üznüksiz Х tötänleýin ululygyň diňe bir kesgitli bahany almak ähtimallygy nula deňdir:
P( X = x1 ) = 0
3. Eger tötänleýin ululygyň bahalary (a, b) aralyga degisli bolsa, onda
a) x<a bolanda F(x)=0
b) x>b bolanda F(x)=1
Indi ähtimallygyň dykyzlygynyň häsietlerine garap geçeliň.
1. Üznüksiz Х tötänleýin ululygyň (a, b) aralyga degişli bahany almak ähtimallygy
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx
a
deňdir.
2. Ähtimallygyň f ( X ) dykyzlygy belli bolsa, onda F(x) paýlanyş funksiýasy
x
F ( x) =
∫ f ( x)dx
−∞
formula boýunça tapylýar.
3. Ähtimallygyň f (x ) dykyzlygy otrisatel däldir:
f ( x) ≥ 0
Uly sanlaryň kanuny
Tötänleýin ululygyň synagyň netijesinde haýsy bahany alyp biljekdigini öňünden görkezip
bolmaýar, munuň özi köp sebäplere bagly bolýar, bu sebäpleriň hemmesini biz hasaba alyp hem
bilmeýäris. Her bir tötänleýin ululyk hakda bizde iňňän az maglumat bolany üçin ýetelik köp sanly
tötänleýin ululyklaryň jeminiň özüni alyp barşy tötänleýin häsiýetini ýitirýär we kanunalaýyk bolup
galýar.
Praktikada örän köp tötänleýin sebäpleriň jemleýji täsiriniň tötänlige bagly bolmadyk nätijä
getirýän şertlerini bilmek wajypdyr, çünki ol wakalaryň gidişini önünden bilmeklige mümkinçilik
berýär. Bu şertler uly sanlaryň kanuny diýen umumy ada eýe bolan teoremalarda görkezilýär. Bu
kanuna Çebyşewiň, Bernulliniň kanunlary we başga-da birnäçe kanunlar degişlidir. Uly sanlaryň
kanunynyň iň umumy görnüşi Çebyşewiň teoremasydyr, Bernulliniň teoremasy iň ýönekeýjesidir.
Markowyň deňzisligi
Eger Х tötänleýin ululyk otrisatel bahalary kabul etmeýän bolsa we δ -erkin položitel ululyk
bolsa, onda
P ( X ≤ δ) = 1 −
a
, a = M (x)
b
Bu deňsizlik Х tötänleýin ululygyň bahalarynyň berlen δ > 0 sandan uly bolmazlyk
ähtimallygyny kesgitleýär.
Çebyşewiň teoremasy
Uly sanlaryň kanuny P.L. Çebyşewiň islerinde uly orun tutýar. Bu kanunyň birinji subudy
onuň «Ähtimallyklar teoriýasynyň elementar analiziniň tejribesi» diýen isinde 1845-nji ýylda birinji
gezek berlipdi. Emma bu subutnama hususy hallara garap geçýärdi. Eýýäm 1846-njy ýylda
ekstremal meseläniň esasynda ol has umumy elementar subudyny berdi.
Bu meseläniň gutarnykly çözülişini uly sanlar kanunynyň umumy görnüşdäki subudyny
bermek bilen Çebyşew 1866-njy ýylda «Ortaça ululyklar hakynda» diýen isinde takyklady. Bu
işinde matematiki garaşmalaryň häsietlerini anyklamak esasynda uly sanlar kanunyň dogry
subudyny berdi.
Çebyşewiň teoremasy. Jübüt-jübütden bagly däl ululyklaryň dispersiýalary S berlen položitel
sandan uly bolmasa, bu ululyklaryň ortaça arifmetik ululygyndan absolýut gyşarmasy berlen
haýsyda bolsa bir sandan kiçidir, tötänleýin ululyklaryň sanynyň artmagy bilen bu absolýut gyşarma
bire ýetelik ýakyn bolup galýar.
1 n

1 n
lim P ∑ X i − ∑ M ( xi ) π ε  = 1 .
x →∞
n i =1
 n i =1

Wakalaryň ýönekeýje akymy
Tötänleýin wagt pursatlarynda bolup geçýän wakalara garap geçeliň.
Tötänleýin wagt pursatlarynda bolup geçýän wakalaryň yzygiderligine wakalaryň akymy diýilýär.
Awtomatik telefon stansiýalary (ATS), tiz kömek medisina punktlaryna düşýän çagyryşlar,
aeroporta gonýan uçarlar akyma mysal bolup biler. Akymlaryň biräçe häsietleri bar.
Stasionarlyk häsieti:. Islendik wagt aralygynda k sany wakanyň ýüze çykmak ähtimallygy
diňe k sana we aralygyň t uzaklygyna baglydyr we onuň hasaplanyş baslangyjyna bagly däldir,
şunlukda dürli wagt aralyklary biri-biriniň üstüne düşmeýärler, ýagny kesismeýärler.
Ordinarlyk (ýönekeýlik) häsieti: az wagt aralygynda iki ýa-da ikiden köp wakanyň bolmagy
praktikada mümkin däl diýip hasaplanylýar. Başga sözler bilen aýdylanda az wagt aralygynda
birden köp wakanyň bolmak ähtimallygy diňe bir wakanyň bolmak ähtimallygynda ep-esli kiçidir.
Şeýlelik bilen eger akym ordinarlyk häsietine ee bolsa onda az wagt aralygynda birden köp waka
bolmaýar. Stasionarlyk, soňky täsiriniň ýoklugy, ordinarlyk häsete eýe bolan akyma ýönekeýje
(Puassonyň akymy) akym diýilýär.
Wagt birliginde bolup geçýän wakalaryň orta sanyna akymyň intensiwligi (ýörgünligi)
diýilýär. Eger akymyň intensiwligi belli bolsa, onda t wagt aralygynda ýönekeýje akymyň k
wakasynyň bolmak ähtimallygy
Pt (k ) =
(λt ) ek − λt
kl
formula bilen hasaplanylýar. Bu formulada ýokardaky üç häsiet ýüze çykýar. Pt (k ) ululyk k, t
ululyklara bagly (stasionarlyk häsieti), öňki wagtdaky maglumatlara bagly däl (soňky täsiriň
ýoklugy), k=0 we k=1 degişli bahalary tapalyň:
Pt (0) = e − λt Pt (1) = λte λt .
Indi e − t funksiýany hatara dargadalyň:
(λ t ) 2
+ ...
2!
Birden köp wakanyň ýüze çykmak ähtimallygy:
e − λt = 1 − λ t +
Pt (k ) > 1 = 1 − [ Pt (0) + Pt (1) = 1 − [e − λt + λte − λt ] =

(λ t ) 2 
( λt ) 2
.
(
1
+
λ
t
)
=
= 1 − e −λt [1 + λt ] = 1 − 1 − λt +
2! 
2

Bu bolsa Pt -iň (k>1) kiçi ululykdygyny görkezýär (ordinarlyk häsieti).
Şeýlelik bilen Puassonyň formulasy wakalaryň ýönekeýje akymynyň matematiki modelidir.
Ähtimallyklaryň deňölçegli paýlanyş kanuny
Kesgitleme. Tötänleýin ululygyň hemme bahalarynyň degisli bolan (a, b) aralygynda
ähtimallygyň f (x ) dykyzlygy hemişelik s baha ee bolsa, onda şol paýlanyşa deňölçegli paýlanyş
diýilýär. Diýmek, X<a bolanda we X>b bolanda f ( x ) = 0 bolýar. Onda с ululygyň bahasyny
tapalyň.
∞
b
−∞
a
∫ cdx = c ∫ dx = c(b − a) = 1
bolar. Diýmek,
c=
1
b−a
Ähtimallyklaryň denölçegli paýlanyşynyň kanuny analitik taýdan aşakdaky ýaly bolýar:
0, egerde x ≤ a
 1

f ( x) = 
, egerde a < x ≤ b
b
−
a

0, egerde x > b
Sur. 2
Bu funksiýanyň grafigi 2-njy suratda görkezilendir:
Ähtimallyklaryň normal paýlanys kaňuny
Kesgitleme. Ähtimallygynyň dykyzlygy
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
( x + a )2
2σ 2
funksiýa bilen berlen üznüksiz funksiýanyň ähtimallyklarynyň paýlanyşyna a we b umumy
parametrli normal paýlanyş diýilýär.
Eger-de a = 0 , σ = 1 bolsa, onda normal paýlanyşa normirlenen paýlanyş diýilýär.
x2
1 −2
f ( x) =
e
2π
−
1
Indi a we b parametrleriň y =
e
σ 2π
( x − a )2
2σ2
grafigine edýän täsirine garap geçeliň. Bu
x2
1 − 2σ2
funksiýanyň grafigini birinjiden, y = ϕ( x) =
e
funksiýanyň grafigini a ululyga sýşürip
2π
1 

almaly, ikinjiden, maksimum nokaty A a,
 ; nokaty bolany üçin, σ ululygyň artmagy bilen
 σ 2π 
funksiýanyň bahalary kemelýär, diýmek funksiýanyň grafigi OX okuna ýakyn bolmaly, kemelende
bolsa OY okuna tarap dargamaly, emma a we σ islendik bahasynda OX oky bilen
Sur. 3
şu funksiýanyň emele getirýän meýdany bire deň bolmaly. 3=nji suratda a=0 we σ =1,3 dürli
bahalarynda funksiýanyň grafigi (tabl 1) berlendir.
Tablisa 1
x
σ =1
σ =3
σ =7,5
-1 0.2420
-0.8 0.2898
-0.6 0.3333
-0.4 0.3684
-2 0.3911
0 0.3990
0.2 0.3911
0.4 0.3684
0.6 0.3333
0.8 0.2898
1 0.2420
0.1258
0.1284
0.1304
0.1318
0.1327
0.1330
0.1327
0.1318
0.1304
0.1284
0.1258
0.0527
0.0529
0.0530
0.0531
0.0532
0.0532
0.0532
0.0531
0.0530
0.0529
0.0527
Wariasion hasaplamalar
Köpçüklikleýin tötänleýin hadysalaryň tabun bolýan kanunalaýyklygyny takyklamak statistiki
maglumatlary öwrenmeklige esaslanandyr. Statistiki maglumatlar bolsa syn etmeleriň netijesinde
garalýan ululygyň alýan bahalarydyr.
Mundan beýläk ululygyň dürli bahalaryna wariantalar diýip, ululygyň bahalarynyň
üýtgemegine warirlemek diýip at berjekdiris. Eger ululygyň dürli bahalary biri-birinden käbir
tükenikli sana tapawutlanýan bolsa, onda bu nyşana diskret warirlenýän nyşan diýip at berilýär.
Synaglaryň hatarynda Х wariantanyň näçe gezek gabat gelýändigini görkezýän sana
wariantanyň Т ýygylygy diýilýär.
Wariantanyň Х ýygylygynyň deregine, onuň synaglaryň n umumy sanyna bolan gatnaşygyna
garamak bolýar, bu gatnaşyga Х wariantaň ýygylylygy diýilýär we w x bilen bellenilýär.
Synaglaryň umumy sanynyň ähli wariantalaryň ýygylyklarynyň sanyna deň bolany üçin
(n = ∑ n x ) , aşakdaky deňlikleriň yzygiderligi dogrudyr:
x
wx =
nx
n
= x
n ∑ nx
Wariantlaryň arasyndaky ýygylygyň ýa-da ýygylyklygyň paýlanysy barada pikir etmeklige
mümkinçilik berýän tablisa diskret wariasion hatar diýilýär.
Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişi
Wariasion hataryň grafiki şekillendirilişi ululygyň bahalarynyň warirleniş kanunlaryny aýdyň
görnüşde şekillendirmäge mümkinçilik berýär. Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişiniň
poligon, gistogramma çyzyk ýaly görnüşleri giňden peýdalanylýar.
Poligon köplenç diskret wariasion hatary şekillendirmek üçin ulanylýar. Koordinatalaryň
gönüburçly sistemasynda ony gurmak üçin H wariantaly, hx ýygylykly ( X , n x ) nokady gurýarlar.
Kämahallar ( X , n x ) nokadyň deregine ( X , wx ) nokady gurýarlar. Soňra bu nokatlary yzygider
kesimler bilen birikdirýärler. Iň çetki çepki we sagky nokatlary degişlilikde aşakdan iň kiçi sana
ýakyn bolan warianta we ýokardan iň uly warianta ýakyn bolan wariantalary şekillendirýän nokatlar
bilen birleşdirýärler. Alnan döwük çyzyga poligon diýilýär.
Gistogramma diňe wariasion interwal hatary şekillendirmek üçin hyzmat edýär. Gönüburçly
koordinatalar sistemasynda bu grafigi gurmak üçin abssissalar okunda warirlemek interwalyny
aňladýan kesimleri alyp goýýarlar we şu kesimleri esas hökmünde alyp degişli interwalyň
ýylylygyna deň bolan beýiklikli gönüburçluklary gurýarlar. Şunuň netijesinde başganjak
görnüsindäki figurany alýarlar, şol figura hem gistogramma diýip at berýärler.
Ynanç aralyklary barada düsünje
Şol bir ululyk birnäçe gezek ölçenilende netije hökmünde matematiki garaşmany alýarlar; ol x orta
arifmetik baha deňdir. Ölçemeler netijesiniň takyklygy m x orta kwadratik ýalňyşlyk arkaly
anyklanylýar. Takyklygy şeýle anyklamaklyga nokat arkaly anyklanylyş diýilýär.
Ynanç aralyklary usuly has kämil usuldyr. Matematiki statistikada netijäniň takyklygy I
ynanç aralygy arkaly anyklanylýar; ol aralyk ölçenilýän X ululygyň hakyky bahasyny öz içinde
berlen P ähtimallyk bilen saklaýar:
I = [x − tm x ; x + tm x ] .
Şunlukda ölçemeler normal paýlaşdyrylan bolmalydyr. t koeffisienti berlen P ähtimallyk arkaly
ähtimallyklar aralyklarynyň tablisasyndan (II goşmaça) saýlaýarlar.
Mesele. P=0,85; x = 15,485 we m x = 0,024 bolanda ynanç aralygyny tapmaly.
Çözülisi. Ф(t)= P=0,85 boýunça II goşmaçadan t= 1,44 alýarys. Onda
I = [15,485 − 1,44 ⋅ 0,024; 15,485 + 1,44 ⋅ 0,024]
ýa-da
I = [15,450; 15,520]
Näbelli hakyky X baha 0,85 ähtimallyk bilen 15,450 ≤ X ≤ 15,520 aralykda bolar.
Ortaça ululyklar
Ululyklaryň syn edilen bahalarynyň şol bir hemiselik sanyň töwereginde toplanýanlygy üçin
ortaça ululyklar bütin hataryň wekili hökmünde ýüze çykýar. Diňe hil taýdan birjynsly bolan syn
etmeler üçin ortaça ululyklary hasaplamagyň manysy bardyr.
Ortaça ululyklaryň birnäçe görnüşlerini tapawutlandyrýarlar: ortaça arifmetik, ortaça
garmonik, ortaça geometrik, ortaça kwadratik, ortaça kubik we ş.m. ortaça ululyklar bardyr. Ortaça
ululygyň görnüşi saýlanyp alnanda hataryň haýsy häsietini ortaça ululyk bilen häsietlendirmek
isleýändigimizi ýa-da ortaça ululyk bilen haýsy maksada etmegi göz önünde tutýanlygymyzy
anyklasdyrmalydyrys. Bu häsiete kesgitleýji häsiet diýilýär we ol ortaça ululygyň görnüşini
kesgitleýär. Kesgitleýji häsiet diýen düşünje ilkinji gezek sowet statistigi A.Ý. Boýarskiý
tarapyndan girizildi.
Praktiki meseleler çözlünde her bir syn edilen sany biz ortaça san bilen çalşyranymyzda şol
sanlaryň q-derejeleriniň jemi üýtgemän galar ýaly nähili ortaça sany saýlap almaly diýen sorag ýüze
çykýar. Ortaça sany biz X ululyk bilen belläliň, bu ýerde X položitel we otrisatel sanda bolup
biler. Onda ýokarda goýulan mesele
n
n
∑ xk = ∑ ( X q ) q
q
k =1
k =1
deňligiň ýerine etmegi üçin X q sany tapmaklyga getirilýär. X q san hemiselik bolany üçin deňlik
n
∑X
k =1
görnüş ailar.
k
q
= n ⋅ ( X q )q
Bu ýerden
n
X kq
1 n q
(X q ) = ∑ X k = ∑
n k =1
k =1 n
q
deňligi alarys. Şu soňky deňlikden X q tapalyň:
n
X kq q
=
n
n
∑
Xq =q
k =1
∑x
q
k
k =1
n
.
(12)
(12) deňlik bilen alnan ortaça ululyga q tertipli (derejeli) ortaça ululyk diýilýär. (12) deňlikden q
ululygyň dürli bahalarynda birnäçe ortaça ululyklar alynýar.
1. q = 1 bolsa ortaça arifmetik ululyk alynýar:
n
X1 =
∑x
k =1
k
X1 + X 2 +Κ X n
n
=
n
(13)
2. q = −1 bolsa ortaça garmonik ululyk alynýar:
n
X −1 =
∑x
k =1
−1
k
n
1
1
1
+
+Κ +
X
X2
Xn
= 1
n
3. q = 2 bolanda ortaça kwadratik ululyk alynýar:
n
∑X
X2 =
k =1
2
k
n
X 12 + X 22 + Κ + X n2
.
n
=
4. q = 3 bolanda ortaça kubiki ululyk alynýar:
n
X3 =
3
∑X
k =1
3
k
n
=
3
X 13 + X 23 + Κ + X n3
.
n
5. Diňe ortaça geometrik ululyk şu formuladan alynmaýar. n sany X 1 , X 2 , Κ , X n sanyň
ortaça geometrik ululgy diýip olaryň köpeltmek hasylyndan alnan n derejeli köküne aýdylýar:
n
X геом. = n П X k = n X 1 ⋅ X 2 ⋅ Κ ⋅ X n⋅
k =1
q → 0 sertde ortaça geometrik ululygyň q tertipli (derejeli) ortaça ululyklaryň predeline
X геом. = lim X q
q →0
deň bolýandygyny subut etmek bolar.
Iň köp ulanylýan ortaça ululyk (13) formula bilen kesgitlenýän arifmetik ortaça ululykdyr we
ony X bilen belleýärler.
Eger syn etmelere görä wariasion hatar gurlan bolsa, onda orta arifmetik ululyk
X =
∑ xn
∑n
x
x
(14)
formula bilen kesgitlenýär. Eger hatar diskret bolsa, onda Х warianta, nx bolsa onuň ýygylygydyr;
eger hatar interwal hatar bolsa, onda Х interwalyň ortasydyr. (14) formuladaky nx ululyga agram
diýip at berilýär, Х sany nx ululyga köpeltmekligi çekmek amaly diýilýär. (14) formula bilen
kesgitlenen ortaça arifmetik ululyga (13) formula bilen kesgitlenen ortaça arifmetik ululykdan
tapawutlandyrmak üçin çekilen ortaça arifmetik ululyk diýilýär.
Egerde syn etmeleriň netijesinde diskret hatar gurlan bolsa, onda (13) we (14) formulalar
ortaça arifmetik ululygy berýär. Egerde syn etmeleriň netijesinde interwal hatar gurlan bolsa, onda
(14) we (13) formulalar boýunça kesgitlenen ortaça arifmetik bahalar gabat gelmän hem biler, çünki
(13) formulada ululygyň her interwalyň içindäki bahalary interwalyň merkezindäki baha deň diýip
alynýar. Eger syn etmeler her bir interwalyň içinde denölçegli paýlanan bolsalar we interwalyň
uçlarynyň ýanynda toplanmaýan bolsa, onda şu hili çalsyrmanyň netijesinde ýüze çykýan
ýalňyşlyk, umumy aýdanda örän kiçi bolar.
Wariasion hatar üçin ortaça arifmetik ululygy
X = ∑ xwx
formula bilen hem hasaplamak bolar, bu formula (14) formuladan gelip çykýar. Dogrudanda
n
∑ xn
X =
∑n
x
x
x
= ∑x
x
nx
= ∑ xw x .
∑ nx
x
x
nx
gatnaşyga Х bahanyň ähtimallygy hökmünde garasak we
∑ nx
girizsek, onda
Eger biz
nx
= Pk belgilenmäni
∑ nx
n
X = ∑ X k Pk = M ( x)
k =1
görnüşi bermek bolar, onda M ( X ) ululyk Х tötänleýin ululygyň matematiki garaşmasy bolar.
Mediana we moda
Wariasion hatary suratlandyryş häsietnamalary hökmünde ortaça ululyklar bilen bir hatarda
mediana we moda hem ulanylýar. Syn etmeleriň ranžirlenen hatarynyň ortasyna düsýän ululygyn
~
bahasyna mediana M e diýilýär. Eger n = 2q − 1 täk sanly syn etmeler geçirilen bolsa, syn etmäniň
netijeleri ranžirlemek bilen aşakdaky X 1 , X 2 , X 3 ,Κ , X q −1 , X q , X q+1 , Κ , X n hatary alarys. Bu ýerde
X i san ranžirlenen hatarda i-nji orny tutýan ululygyň bahasy bolsun. Hataryň ortasyna X q baha
~
düsýär. Onda M e = X q .
Egerde syn etmeleriň sany jübüt bolsa n = 2q , onda ranžirlenen hataryň ortasyna iki X q we
X q+1 bahalar düsýär. Bu halda mediana hökmünde bu bahalaryň orta arifmetik ululygy kabul
edilýär:
X q + X q +1
~
Me =
.
2
Paýlanyş dykyzlygynyň lokal maksimumy degişli bolan tötänleýin üznüksiz Х ululygyň
bahasyna şol ululygyň M ο ( X ) modasy diýilýär. Hususy halda eger-de paýlanyşyň iki sany bir
meňzes maksimumy bar bolsa, onda oňa bimodal paýlanyş diýilýär.
P[ X < M e ( X )] = P[ X ≥ M e ( X )]
deňlik bilen kesgitlenýän mümkin bolan baha üznüksiz Х tötänleýin ululygyň M e ( X ) medianasy
diýlýär. Paýlanyş f ( X ) egri çyzygy bilen çäklenen meýdany y ordinatasynyň ýarpa bölýän nokady
hökmünda geometrik taýdan ýarpa bölýän medianany kesgitlemek bolar.
Wariasiýanyň görkezijileri
Ortaça ululyklar wariasion hatary häsietlendirmek bilen nyşanyň bahalarynyň üýtgeýijilik
häsietini (wariasiýasyny) suratlandyrmaýarlar. Wariasiýanyň iň ýönekeýje görkezijisi Rn wariasiýa
gerimidir. Ol iň uly we iň kiçi wariantalaryň arasyndaky tapawut bilen kesgitlenýär:
Rn = X max − X min .
Wariasion gerim wariasiýanyň takmynan häsiýetdir, çünki ol wariantlaryň üýtgeýşine hiç hili
bagly däldir, onuň hasaplanyşynda ulanylýan çetki wariantalar bolsa ynamly däldirler.
Ortaça ululyklaryn töwereginde dargaýyş ölçegleri has manylydyr. Orta arifmetik ululyk
ortaça ululyklaryň iň esasy görnüşi bolany üçin ortaça arifmetik ululygyn töwereginde ýaýraýyş
ölçeglerine garamak bilen çäklenelin.
Syn etmeleriň X 1 , X 2 ,..., X n netijelerinin orta arifmetik ululykdan gyşarmalarynyň
n
∑(X
k =1
k
− X)
jemi syn etmeleriň ortaça arifmetik ululygyň töweregindäki wariasiýasyny kesgitläp bilmeýär. 1°
häsiete görä bu jem nula dendir. X k − X tapawutlaryň ýa absolýut ululyklaryny ýa-da
kwadratlaryny alýarlar. Netijede wariasiýanyň dürli görkezijileri alynýar. Syn etmeleriň
netijeleriniň öz ortaça arifmetik ululygyndan gyşarmalarynyň absolýut ululyklarynyň jemine
garalyn we bu jemi syn etmeleriň sanyna böleliň. Onda biz ortaça çyzykly d gyşarmany alarys.
Syn etmeleriň netijeleriniň ortaça arifmetik ululykdan gyşarmalarynyň kwadratlaryň ortaça
arifmetik ululygyna
n
∑X
S =
K
−X
k =1
2
2
n
empirik dispersiýa diýilýär. Eger syn etmeleriň netijeleri boýunça wariasion hatar gurulan bolsa,
onda empirik dispersiýa
S
2
∑(X − X )
=
∑n
2
nx
x
= ∑ ( X − X ) 2 wx
x
x
x
bolar.
Syn etmeleriň netijeleriniň ortaça arifmetik ululygyň töwereginde dargamak ölçegi hökmünde
empirik dispersiýany ulanmagyň deregine empirik ortaça kwadratik gyşarmany ulanýarlar. Ortaça
kwadratik gyşarma dispersiýadan alynan kwadrat köke deňdir we ululygyň bahalarynyň ölçegine
eýedir.
Wariasion hatar üçin ortaça kwadratik gyşarma
S=
∑(X − X )
∑n
x
x
2
nx
=
∑(X − X
2
)Wx
x
x
bolar. Eger hatar diskret bolsa, onda Х wariantadyr; Eger hatar interwal hatar bolsa, onda Х
interwalyň merkezidir. n x ( wx ) - degişli ýygylykdyr; Х - ortaça arifmetik ululyk.
Gysgalyk üçin empirik sözüni taslamak bilen S 2 ululyga ýöne dispersiýa syn etmelerin
netijesinde tejribeleriň görkezisi boýunça hasaplanandygyny ýatda saklamalydyrys. Şu hili bellik S
ululyga hem degişlidir.
Empirik dispersiýanyň minimallyk (iň kiçilik) häsietini görkezeliň. S 2 ululyk wariantalaryn
ortaça arifmetiki ululykdan tapawutly bolan islendik hemişelik ululykdan gyşarmalarynyn
kwadratlarynyň ortaça arifmetiki ululygyndan kiçidir.
S
2
∑ ( X − a)
<
∑n
2
nx
X ≠a
x
x
x
Emperik dispersiýanyň häsietleri
Emperik dispersiýanyň hasaplamagy aňsatlaşdyrýan onuň birnäçe häsietlerine garap geçeliň.
1. Hemiselik sanyň dispersiýasy nula dendir.
∑ (X − X )
=
∑n
2
k
S
2
nx
∑ (c − c )
=
∑n
2
nx
x
x
= 0.
x
x
x
2. Eger syn etmelerin netijelerini şol bir sana kiçeltsek (ulaltsak) onda dispersiýa üýtgemeýär.
∑ [( X − C ) − (X − c )] n
=
∑n
2
S X2 −C
∑ (X − X ) n
=
∑n x
2
x
x
x
x
x
x
= S x2 ,
x
diýmek täze hataryn dispersiýasy deň.
S X2 +C = S x2 bolýandygyny hem görkezmek bolar.
3. Egerde syn etmeleriň netijelerini k esse kiçeltsek (ulaltsak), onda dispersiýa k esse kiçeler
(ulalar).
Subudy. Eger hemme wariantalary k esse kiçeltsek, onda orta arifmetiki ululyk üýtgän
x
bolar, şeýlelikde, onuň dispersiýasy
wariasion hataryň ortaça arifmetik ululygy
k
2
 x x
∑x  k − k  n x


S x2 =
=
n
∑
x
k
x
2
(
)
2
1
∑x  k  x − x n x 1
= 2
k
∑ nx
x
∑ (x − x ) n
∑n
2
x
x
=
x
x
∑ (x − x ) n
∑n
2
=
1
k2
x
x
x
=
S2
.
k2
x
Şuna menzeslikde S kx2 = k 2 S x2 görkezmek bolar. Bu häsiet dispersiýany berlen hatar boýunça
däl-de, şol bir K esse kiçeldilen (ulaldylan) hatar boýunça hasaplamaga mümkinçilik berýär. Eger
täze emele gelen hatar üçin hasaplanylan dispersiýany K 2 esse azaltsak (kiçeltsek), onda ilkinji
wariasion hatar üçin dispersiýany alarys.
Netije. Eger hemme wariantlary K esse kiçeltsek (ulaltsak), onda ortaça kwadratik gyşarma
K esse kiçeler (ulalýar). Bu netije ortaça kwadratik gyşarmanyň položiteldiginden gelip çykýar
S x2
σx =
K
k
S2
S
= .
2
K
K
=
Beýleki häsietlere geçmezden dispersiýanyň asakdaky häsietine garap geçelin.
Teorema. Emperik dispersiýa - syn etmeleriň kwadratlarynyň ortaça arifmetik ululygy bilen
ortaça arifmetik ululygyň kwadratynyň arasyndaky tapawutdyr:
2
S 2 = X − ( X )2 .
Subudy.
∑ xn
X =
∑n
∑x n
=
∑n
2
x
x
2
, X
x
x
x
x
x
x
formula üçin geçireliň. Özgertmeleri amala asyryp alarys
∑ (x − x ) n
=
∑n
2
S2
x
x
=
∑x
x
2
()
n x − 2∑ x xn x + ∑ x n x
2
x
∑ nx
x
x
=
∑x
x
2
=
x
( ) ∑n
n x − 2 x∑ xn x + x
x
∑n
x
2
x
x
() ()
2
= x2 − 2 x + x
2
=
x
x
()
2
= x2 − x .
Empirik merkez we başlangyç momentler
Wariasion hataryň ortaça arifmetiki ululygy we dispersiýasy wariasion hataryň momentleri
baradaky has umumy düsünjeleriň hususy halydyr.
Wariantalaryň q derejeleriniň çekilen ortaça arifmetik ululygyna
∑X n
=
∑n
q
Mq = X
q
x
x
x
x
q tertipli Mq empirik başlangyç momenti diýilýär. Köplenç başlangyç sözi ulanylmaýar.
Nul tertipli empirik moment
0
M0 = X =
∑X n
∑n
0
x
x
Birinji tertipli moment
M1 = X =
∑ Xn
∑n
x
x
=1
deňlik bilen kesgitlenýär.
Ikinji tertipli moment
∑X n
=
∑n
2
2
M2 = X
x
x
deňlik bilen kesgitlenýär.
Wariantalaryň öz ortaça arifmetik ululygyndan gyşarmalarynyň q derejeleriniň çekilen ortaça
arifmetik ululygyna q tertipli empirik merkezi moment diýilýär.
(X − X ) n
= (X − X ) = ∑
∑n
q
mq
q
x
x
Nul tertipli empirik mrkezi moment
∑ (X − X ) n
= (X − X ) =
∑n
0
m0
0
x
= 1.
x
Birinji tertipli empirik mrkezi moment
) ∑ (X −nX )n
(
m1 = X − X =
∑
x
=0
x
Ikinji tertipli emperik merkezi moment
∑ (X − X )
= (X − X ) =
∑n
2
m2
2
= S2
x
dispersiýany berýär.
Empirik assimmetriýa we eksess
Üçünji tertipli merkezi momentiň ortaça kwadrat gyşarmanyň kubuna bolan gatnaşygyna
m
a s = 33 =
s
(m)
2
∑ (X − X ) n
=
∑n s
3
m3
3
x
2
x
assimetriýanyň as empirik koeffisienti diýilýär.
Dördünji tertipli merkezi momentiň ortaça kwadrat gyşarmasynyň dördünji derejesine bolan
gatnaşygynyň 3 birlik kiçelmesine, ýagny
ek =
m4
−3
s4
gatnasyga empirik eksess ýa-da kötelligiň koeffisienti diýilýär.
Eksessiň adaty bahasy hökmünde normal egri çyzygyň nul eksessini kabul edýärler. Eksessy
otrisatel bolan normal egri çyzyga görä has kötel bolan egriçyzyklaryň tekiz depesi bardyr we olara
tekizdepeli egri çyzyklar diýilýär. Položitel ekssesli has kütek egri çyzyklaryň ýiti, çüri depesi
bolýar we olara «çüri depeli egri çyzyklar» diýilýär.
MYSALLAR
Ölçemeleriň sanynyň köp bolmadyk halatynda
ululygyň deňtakykly ölçemeler hatarynyň barlagy
Tabşyrygyň erine etirilişine anyk mysalda garalyň. Ölçeg enjamy barlanylan mahalynda bir
ululygyň 20 gezek geçirilen ölçemeleriniň netijeleri berlen(tabl. 2). Ölçemeleriň berlen hataryny
derňemek we ony matematiki taýdan işlemek talap edilýär.
Orta arifmetik bahany we ondan gyşarmalary hasaplamak.
Tablisa 2
2
3
№
l, м
vi = l i − l vi
vi
vi4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
152.00
,07
,06
.00
,07
,08
,06
,04
,07
,09
,08
,05
,08
,08
,03
,11
,03
,07
,10
,03
∑ 3041,20
см
3
-6
+1
0
-6
+1
+2
0
-2
+1
+3
+2
-1
+2
+2
-3
+5
-3
+1
+4
-3
0
4
36
1
0
36
1
4
0
4
1
9
4
1
4
4
9
25
9
1
16
9
5
-216
+1
0
-216
+1
+8
0
-8
+1
+27
+8
-1
+8
+8
-27
+125
-27
+1
+64
-27
6
1296
1
0
1296
1
16
0
16
1
81
16
1
16
16
81
625
81
1
250
81
17
4
-270
3882
Hataryň gaty uly däldigi (toplumyň göwrümi n=20) sebäpli, doly barlaglary geçirip durman,
birnäçe ownuk meseleleri çözýärler: 1) ölçemelweriň ähli netijeleriniň orta arifmetik bahasyny
hasaplamak; 2) aýratyn ölçemäniň orta kwadratik gyşarmasynyň (orta kwadratik ýalňyşlygyň we
"aňryçäk gyşarmany" hasaplamak; 3) gödek ýalňyşlyklary aradan aýyrmak; 4) ölçemeleriň galan
netijelerinden matematiki garaşmany ýa-da orta arifmetik bahany hasaplamak; 5) aýratyn
ölçemäniň orta kwadratik ýalňyşlygynyň gutarnykly bahasyny hasaplamak; 6) matematika
garaşmanyň takyklygyny hasaplamak; 7) ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň kanunalaýyklyklaryny
anyklamak: a) normal paýlaşdyrma bilen ylalaşma kriterilerini kesgitlemek; b) jalňyşlyklaryň
paýlaşdyrmasynyň we ähtimallygyň aralyklardaky dykyzlygynyň
tablisasyny düzmek; c)
jalňyşlyklaryň empirik we normal paýlaşdyrmalarynyň grafiklerini gurmak; 8) ölçemeleriň
jalňyşlyklarynyň derňelýän hatary barada netije çykarmak.
1. Ölçemeleriň netijeleriniň orta arifmetik bahasy.
n
l =
∑l
i =1
n
i
=
3041,20
= 152,06m
20
Her bir hetijäniň orta arifmetik bahadan gyşarmasy (olary ölçemeleriň ýalňyşlyklary diýip
hasap etmek bolar):
vi = l i − l ,
Olar 2-nji tablisanyň 3-nji sütüninde ýazylýar. Eger vi-ler dogry tapylan bolsa, onda
∑ vi = 0 bolýar.
2. Orta kwadranik ýalňyşlygyň takmyn bahasy
n
m=
∑v
i −1
2
i
n −1
= ±3,03см
Ölçemeler hatarynda diňe 20 sany baha bar bolany sebäpli, Vaňryçäk "aňryçäk gyşarmany"
tapmak üçin normal paýlaşdyrmany däl-de, Stýudentiň paýlaşdyrmasyny ulanmak bolar. Normal
paýlaşdyrmada we erkinlik derejesi r=n-1=19 bolanda üçeldilen orta kwadratik ýalňyşlygyň degişli
bolýan
β = 0,997 ynamly ähtimallygyndan peýdalanyp, III-nji goşundydan "ýolberme
koeffisientini" tapýarys:
t β = 3,9
Onda
Vaňryçäk= t β .m = 3,9.3,03 = 11,80см
3. Derňelýäň hatarda vi ýalňyşlygynyň absolýut ululygy Vaňryçäk bahasyndan ýokary geçýän
ululyk ýokdur. Diýmek, gödek ýalňyşlyk ýok we ölçemeleriň ähli netijelerini we olaryň ortaça
bahadan gyşarmalaryny tötänleýin we ynamdar hasap etmek bolar.
4. Ozal hasaplanan orta arifmetik bahany gutarnykly netije hasap etmek bolar.
5. Orta kwadratik ýalňyşlygyň gutarnykly bahasy onuň ozal hasaplanan m bahasydyr.
6. Gutarnykly netijäniň takyklygyny ölçemegiň kritersi onuň orta kwadratik ýalňyşlygydyr:
M =
m
n
= ±0,68см.
7. Ölçemeleriň netijeleriniň empirik paýlaşdyrmasyny teoretik (normal) paýlaşdyrma bilen
deňleşdirmek üçin empirik paýlaşdyrmasynyň egrisiniň α asimmetriýasyny we E eksessini
kesgitlemek zerurdyr. σ = m diýip hasap edeliň, onda
v3
∑ n − 270 : 20
α=
=
= −0,48;
m3
(3,03)3
v4
∑n
3882 : 20
E=
−3=
− 3 = −0,70.
4
m
(3,03)4
Normal paýlaşdyrmada α we E-niň ýolbererlik bahalary
α ≤ 3σ α
we
E ≤ 3σ E
6
= 0,55
n
we
σE =
α π 1,65
we
E π 3,30
bolmaly; bu ýerde:
σα =
24
= 1,01
n
Biziň mysalymyzda:
Diýmek, bu görkezijiler boýunça tötän ululyklaryň empirik paýlaşdyrmasy normal paýlaşdyrma
bilen oňat derejede ylalaşýar.
Ähli vi ýalňyşlyklary artýan tertipde hatara düzüp, olary nuldan iki tarapa hem her ±0,5
m=±1,51 sm-den aralyklara bölýärler we aralýklaryň çäklerini umumy görnüşde 3-nji tablisanyň 2nji sütüninde, santimetrlerde bolsa 3-nji sütünde ýazýarlar. Ýalňyşlyklaryň her bir aralykdaky ni
sany 4-nji sütünde ýazýarlar. Goňşý sütünde otnositel ýygylyklaryň (ähtimallyklaryň), aýdyňlyk
üçin 100 esse uladylan bahalaryny ýazýarlar:
Pi = Qi = 2
ni
100
n
By ýerde ni/n gatnaşyk ikä köpeldilýär, sebäbi birneme soňrak tapylyp, 3-nji tablisada ýazylýan we
alnan pi-ler bilen deňeşdirilýän ähtimallyk dykyzlygy normal paýlaşdyrmanyň iki şahasynyň biri
üçin tapylýar.
Otnositel ýygylyklaryň bahalary arkaly (3-nji tablisanyň 5- sütüni) ýalňyşlyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň grafigini gurýarlar. Absissalar okunda (4-nji surat, 1-egri) aralyklara degişli deň
kesimleri alyp goýýarlar. Kesimleriň ortalaryndan uzynlygy otnositel ýygylyklara proporsional
bolan ordinatlar galdyrýarlar. Goňşy ordinatlaryň depelerini göni çyzyklar bilen sepleşdirýärler.
Ähtimallygyň dykyzlygynyň hasaplanyşy.
Tablisa 3
№
Interw. aracakleri
umumy
görnüşde
santimetrde
ni
Pi
δi
ti =
δi
m
ähtimallygyň
dykyzlygy
ϕ (t i )
ϕ (t i )
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-(2.0-1,5)m
6,1-4,5
2
20
-1,75m
-1,75
0,09
9
2
-(1.5-1,0)m
4,5-3,0
1
10
-1,25m
-1,25
0,18
18
3
-(1.0-0,5)m
3,0-1,5
3
30
-0,75m
-0,75
0,30
30
4
-(0.5-0,0)m
1,5-0.0
3
30
-0,25m
-0,25
0,39
39
5
-(0.0-0,5)m
0.0-1,5
4
40
0,25m
0,25
0,39
39
6
-(0.5-1,0)m
1,5-3,0
5
50
0,75m
0,75
0,30
30
7
-(1.0-1,5)m
3,0-4,5
1
10
1,25m
1,25
0,18
18
8
-(1,5-2,0)m
4,5-6,1
1
10
1,75m
1,75
0,09
9
∑
-
-
-
-
-
192
20 200
Sur. 4
Ýalňyşlyklaryň normal paýlaşdyrmasynýň grafigini ähtimallygyň dykyzlygynyň bahalary (3nji tablisanyň 8-nji we 9-nji sütünleri) boýunça gurýarlar; olary 1-nji goşundyda normirlenen
ýalňyşlygyň
ti = σ i
m
Bahalary boýunça tapýarlar. Bu ýerde σ i -ýalňyşlygyň i-nji aralykdaky ortaça bahasy. Meselem, 1nji aralykda:
δ1 =
(− 2,0m) + (− 1,5m) = −1,75m
2
Normal paýlaşdyrmanyň egrisini (4-sur., 2-egri) empirik paýlaşdyrmanyň egrisiniň gurulýan
oklarynda gurýarlar. Ordinatlarda ähtimallygyň dykyzlygyna degişli kesimleri alyp goýýarlar we bu
kesimleriň uçlaryny endigan egri çyzyk bilen sepleşdirýärle. Iň uly ordinata v=0 ýalňyşlyga
degişlidir we ϕ t = v = 0 = 0, 40 deňdir.
m
Egrileri deňeşdirmeden empirik paýlaşdyrmanyň normal paýlaşdyrmadan o diýen
tapawutlanyp durmaýandygy görünýär.
(
)
Ölçeme ýalňyşlyklarynyň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewi
Bu tejribe işinde deňtakyklykly geodeziýa ölçemeleriniň ýalňyşlyklarynyň hatary derňelýär
we onuň normal paýlaşdyrmasyna nä derejede gabat gelýändigini anyklamak maksat edinilýär.
Ähtimallyk-statistik derňewinde her bir ölçeme ýalňyşlygyna statistuik toplumyň elementi
hökmünde garalýar (onuň üýtgeýän alamaty san bahasydyr).
Tabşyrygyň erine etiriliş tertibine aşakdaky mysal arkaly garalyň. Trangulýasiýada burçlar
ölçelende 150 üçburçlukda sazlaşyksyzlyklar alyndy. Bu sazlaşyksyzlyklaryň (tötänleýin hakyky
ýalňyşlyklaryň) bahalary 4-nji tablisada berlen. Tötänleýin ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewini aşakdaky tertipde amala aşyrmak talap edilýär:
1. Ýalňyşlyklaryň iň uly we iň kiçi bahalarynyň tapawudy – üýtgemeleriň çäkleri – arkaly
ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň tablisasy üçin aralygyň bahasyny anyklamaly we bu
tablisany düzmeli.
2. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň esasy parametrlerini: matematiki garaşmanyň
empirik bahasyny we standartyň (orta kwadratik gyşarmanyň) empirik bahasyny hasaplamaly.
3. Berlen aralyklarda ýalňyşlyklaryňbn empirik paýlaşdyrmasynyň we toplanan ýygylyklaryň
empirik paýlaşdyrmasynyň egrilerini gurmaly. Şol grafikler esasynda modanyň we mediananyň
bahalaryny kesgitlemeli.
4. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň tablisasy üçin anyklanan aralyklarda ýalňyşlyklaryň
teoretik paýlaşdyrmasynyň tablisasyny dýzmeli.
5. Ýalňyşlyklaryň we toplanan ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrileriniň gurulan
oklarynda ýalňyşlyklaryň teoretik paýlaşdyrmasynyň egrisini we bu paýlaşdyrmasynyň integral
egrisini (ogiwa) gurmaly.
6. 3-nji we 4-nji tertipli momentleri hasaplamaly hem-de olaryň bahalaryndan peýdalanyp,
ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrisiniň asimmetriýasyny we eksessiniň
görkezijilerini kesgitlemeli. Bu görkezijileriň ähmiýetliligini anyklamaly.
7. Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň teoretiki paýlaşdyrmadan gyşarmasyny anyklamaly.
Bu gyşarmanyň ähmietliligini kesgitlemek üçin Pirsonyn, Kolmogorowyň, Şarleniň, Şoweneniň
kriterilerini (şertlerini) we alamatlar kriterisini ulanmaly.
8. Normal paýlaşdyrma üçin ýüze çykarylan, ortaça ýalňyşlygyň we standartyň bahasynyň
arabaglanyşygynyň ýerine ýetýändigini ýa-da ýetmeýändigini barlamaly.
9. Ölçemeleriň ýalňyşlyklarynyň derňelýän hatarynyň paýlaşdyrmasynyň häsiýetleri barada netije
çykarmaly.
Tabşyrygyň her bir punktyna (bölegine) anyk
mysalda garalyň.
Ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň esasy parametrlerini (görkezijilerini)
hasaplamaklygy sadalaşdyrmak üçin hataryňähli ýalňyşlyklaryny artýan tertipde ýerleşdirip, olary
interwallara bölmek zerurdyr. ni -ýygylyklaryň (ýalňyşlyklaryň sanynyň) görkezilen
interwallardaky empirik paýlaşdyrmasy üçin 5-nji tablisa düzülýär. Tablisanyň iň kiçi ädiminiň
bahasyny ýalňyşlyklaryň interwallaryň içindäki bahalarynyň aratapawutlary kiçiräk bolar ýaly
saýlaýarlar. Aralyk uly bolanda ýalňyşlyklaryň
Uçburçluklaryň sazlaşyklary
Tablisa 4
1.
2.
3.
4.
5.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
f
-2,00//
-0,52
1,74
0,82
1,01
2,06
1,00
-1,88
-0,28
-2,25
0,38
-1,37
1,47
-0,45
-0,36
1,62
0,82
-1,17
1,42
0,80
-0,13
-0,57
-0,37
0,09
-0,01
1,40
1,53
1,00
0,47
-0,85
1,76
0,79
0,15
1,83
-1,61
0,06
-1,59
2,31
№
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
f
1,09
-0,02
0,19
-0,16
0,50
0,15
-1,10
0,06
-1,90
-2,15
0,92
0,59
-1,50
0,53
1,24
1,24
-2,51
1,70
-1,08
0,27
-1,41
-1,12
-0,75
0,19
0,54
1,23
-2,16
0,06
0,75
0,26
2,80
2,33
1,34
-0,80
-0,73
2,17
-1,50
2,15
№ f
№
-0,03 115
77
-1,32 116
78
-1,22 117
79
-0,63 118
80
-0,57 119
81
-0,12 120
82
-0,75 121
83
1,36
122
84
-1,66 123
85
1,40
124
86
3,03
125
87
-3,42 126
88
1,09
127
89
-0,33 128
90
-0,29 129
91
0,94
130
92
0,10
131
93
-2,95 132
94
1,54
133
95
-0,50 134
96
-0,02 135
97
1,73
136
98
-0,51 137
99
138
100 0,23
139
101 1,94
102 -2,88 140
103 -0,53 141
142
104 0,61
105 -0,69 143
144
106 0,01
145
107 0,39
108 -0,95 146
109 -0,83 147
110 -0,70 148
149
111 0,65
112 -0,18 150
113 0,83
114 -0,36
f
-0,19
0,87
1,32
0,14
0,75
-1,74
-0,43
-1,34
0,04
0,21
-2,53
-0,80
2,13
-0,86
0,12
-2,47
1,39
2,06
-0,40
-0,59
2,04
-0,30
-0,58
-0,19
-0,03
-0,06
-0,34
1,02
-1,11
-0,25
-0,58
0,20
0,57
2,02
-1,20
0,60
paýlaşdyrmasynyň häsiýetli aýratynlyklary ýylmanýarlar, aralyk kiçi bolanda bolsa tötän
ýalňyşlyklaryň ikinji derejeli
1.
häsiýetleriniň täsiri artýar we şunlukda ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň nädogry
suratlandyrmagyna getirýär.
Iň kiçi aralygyň bahasy
x − x min
h = max
K
Bu ýerde xmax we xmin - ýalňyşlyklaryň iň uly we iň kiçi bahalary; k-aralygyň sany, adatça k=12
bolýar.
K- nyň bahasyny aşakdaky pikir ýöretmelerded ugur alyp saýlaýarys. Aralygy onuň çäkleriniň
tapawudy m orta kwadratik ýalňyşlygyň ýarysyna deň bolar ýaly edip almaly. Ýalňyşlyklaryň
aňryçäk bahalary, adatça, ±3m deň diýip kabul edilýär. Onda 0,5m -e deň bolan aralygy almak
üçin ýalňyşlyklaryň -3m-den +3m-e çenli hataryny 12 bolege bölýäris.
4-nji tablisadan xmax= we xmin alarys. Aralygyň bahasy h=6.45:12=0,538
Ýygylyklaryň hasaplanyşy
5-nji tablisanyň 1-nji sütüninde aralyklaryň nomerlerini, 2-nji sütüninde aralyklaryň çäklerini
(olaryň aratapawutlary h deň bolýar) ýazýarlar.. Her bir interwalkdaky ni sanyny (ýygylygyny)
hasaplap, 5-nji tablisanyň 3-nji sütüninde ýazýarlar. Barlag üçin ähli ýygylyklaryň jemini
hasaplaýarlar; ol wariasion hataryň ähli ýalňyşlyklarynyň N sanyna deň bolmaly. 4-nji sütünde
aralyklar boýunça toplanan empirik ýygylyklary ýazýarlar: 1-nji aralykda
1
∑n
i =1
i
= n1 = 2
ikinji aralykda
2
∑n
i =1
i
= n1 + n2 = 2 + 4 = 6
üçünji aralykda
3
∑n
i =1
i
= n1 + n2 + n3 = 6 + 6 = 12
5-nji sütünde häsiýetnamanyň aralykdaky xi,ort. Ortaça bahasyny ýazýarlar; ol aralygyň ýokarky we
aşaky çäkleriniň orta arifmetiki bahasy görnýşde alynýar.
2.Matematik garaşmanyň empirik bahasy.
150
∑ xi
x=
i =1
N
12
∑n x
=
i
i =1
icp
N
Ctandartyň empirik bahasy bolsa
∑ n (x
150
σ =
∑ ( xi − x ) 2
i =1
N
12
i
=
− x)
2
icp
i =1
N
bolýar. Bu ululyklary hasaplamagy eňilleşdirmek üçin şertli momentlýerden peýdalanýarlar. Ýalan
nul höküminde häsiýetnamanyň aralykdaky xo=+0,077 ortaça bahasyny alyp, häsiýetnamanyň ai
ortaşertli bahalaryny
ai =
x icp − x 0
h
Mysalüçin, birinji aralykda
a1 =
− 3,151 − 0,077
= −6
0,538
10-nji aralykda
a10 =
1,691 − 0,077
= +3
0,538
ai-leriň bahalaryny 5-nji tablisanyň 6-nji sütüninde ýasýarlar.
Matematik garaşmanyň empirik bahasy
12
x = x0 + h
∑n a
i =1
i
i
N
= x 0 + a i/ h
Mysalda
ai/ = −
6
= −0,040;
150
x = +0,077 + 0,538
(− 6) = +0,055.
150
Standartyň empirik bahasy
12
 12
 ∑ n a 2  ∑ n a
i i
i i
 i =1
i =1

σ =h 
−
 N
N











2



/
/
 = h a 2 − a1



Mysalda
 832  6  2 
 = 0,538 (5,547 − 0,002 ) = +1,27 //
σ = 0,538 
−
 150  150  


(
( ) ).
2
3. Ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň grafigini (5-sur., I-egri) döwük çyzyk örnüşinde
gurýarlar. Absissalar okunda aralyklara degişli deň kesimleri alyp goýýarlar. Kesimleriň
ortalarinden ýygylyklara proporsional uzynlykly ordinatalar galdyrýarlar. Oklaryň masştablary
saýlanylup alnanda iňuly ordinatanyň absissalar okundaky xmin
we xmax
nokatlaryň
arasyndakyuzaklykdan 2-esse töweregi kiçi bolmagyny gazanýarlar. Goňşy ordinatlaryň depelerini
göni çyzyklar bilen sepleşdirýärler.
Surat. 5
Ýygylyklaryň
empirik
paýlaşdyrmasynyň
grafiginde
ýalňyşlyklaryň
empirik
paýlaşdyrmasynyň M0 modasynyň bahasyny kesgitleýärler . Moda-ölçeg ýalňyşlyklarynyň iň uly
ýygylykly bahasydyr. Ol häsiýetnamanyň iň uly ýygylygynyň degişli bolan aralykdaky orta
bahasydyr. Biziň mysalymyzda M0=+0.077. Grafikde moda iň uly ordinataly nokadyň
absissasydyr.
5-nji tablisanyň 5-nji sütünindäki maglumatlary ulanyp, toplanan ýygylyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň grafigini gurýarlar (6-sur., 1-egri).
Sur. 6
Absissalar okundaky kesimleriň aralyklaryň çäklerine degişli bolan uçlaryndan uzynlyklary
aralyklardaky toplanan ýygylyklara göni proporsional bolan ordinatalary galdyrýarlar.
Grafikde Me mediananyň empirik bahasyny kesgitleýärler. Mediana-tötän ululygyň (ölçeme
yalňyşlygynyň) ortalyk bahasy; ol wariasion hatary ýalňyşlyklaryň sany boýunça deň bolan iki
bölege bölýär. Medianadan kiçi bolan tötän bahalaryň ýüze çykyş ýygylygy tötän bahalaryň
medianadan uly bahalarynyň ýüze çykyş ýygylygyna deňdir. Mediananyň empirik bahasy toplanan
ýygylyklaryň grafiginden tapmak aňsatdyr. Mediananyň bahasyny tapmak üçin ordinatlar okunda
12
∑n
i
150
75
2
2
Koordinataly E nokady almaly we egriniň üstündäki oňa degişli e nokady tapmaly. Şol e nokadyň
absissasy mediananyň empirik bahasydyr. 6-nji suratda Me=+0.07.
Modanyň we mediananyň bahalarynyň taplyşynyň dogrylygyny barlamak üçin
gatnaşygyň erine etişini barlap görmek zerurdyr:
yi =
i =1
=
M 0 = x + 3(M e − x );
M 0 = 0,055 + 3(0,07 − 0,055) = +0,100 .
Simmetrik wariasion hataryň aýratynlygyny x = M e = M o -üç görkezijiniň deňliginden
ybaratdyr.
4. Ýalňyşlyklaryň teoretiki (normal) paýlaşdyrmasynyň tablisasyny (6-njy tablisa) düzmek
üçin, 5-nji tablisada görkezilen aralyklarda tötän ululygyň (ölçeme ýalňyşlygynyň) berlen aralyga
üşmek ähtimallygynyň integrallarynyhasaplamak gerek;
+t
−t
P
= Ф(t ) =
1
2π
+t
∫e
−
t2
2
dt =
−t
1
2π
t
∫e
−
t2
2
dt
0
bu ýerde t-tötän ululygyň (aralygyň çäginiň) x matematiki garaşmanyň empirik bahasyndan
normirlenen gyşarmasy:
tj =
xj − x
σ
t-leriň hasaplanylan bahalary boýunça ýalňyşlygyň -t-den +t-e çenli aralyga düşmeginiň Ф(t)
ähtimallyklaryny kesgitläp, olary 6-njy tablisanyň 5-sýtýninde ýazýarlar. Ф(t) ähtimalygyň
Tablisa 6
№
Araçäk
xj
1
2
1
-3,42
2
-2,882
3
xj − x
σ
Ф (t )
Ýygylyk
1
Pj = ф(t)
2
4
5
6
-3,475
-2,74
0,994
0,497
-2,837
-2,31
0,979
0,490
-2344
-2,399
-1,89
0,941
0,470
4
-1,806
-1,861
-1,47
0,858
0,429
5
-1,268
-1,323
-1,04
0,702
0,351
6
-0,730
-0,785
-0,62
0,465
0,232
7
0,192
-0,247
-0,19
0,151
0,076
8
+0,346
+0,291
+0,23
0,182
0,091
9
+0,884
+0,829
+0,65
0,484
0,242
10 +1,422
+1,367
+1,08
0,720
0,360
11 +1,990
+1,935
+1,52
0,871
0,436
12 +2,498
+2,443
+1,92
0,945
0,472
13 +3,03
+2,975
+2,34
0,981
0,490
-
-
-
∑
-
3
tj =
xj − x
-
Pi
ni
∑ni
7
8
9
0,007
1
1
0,020
3
4
0,041
6
10
0,078
12 22
0,119
18 40
0,156
23 63
0,167
25 88
0,151
23 111
0,118
18 129
0,076
12 141
0,086
6
147
0,018
3
150
-
150
-
Integrallaryny II goşundydan saýlap bolar. 6-njy süyünde 0-dan t-e cenli aralyklarda düşmek
ähtimallyklary, 7-nji sütünde bolsa -i-nji aralyklara düşmekligiň pi ähtimallyklary:
Pi = Pj +1 − Pj
Ýazylan.
Her bir aralyk üçin teoretiki ýygylyklar:
ni = pi .N
bu ýerde: N=150.
Teoretiki we toplanýan ýygylyklaryň tapylan bahalaryny 6-njy tablisanyň 8-nji we 9-nji
sütünlerinde ýazýarlar.
5. Normal paýlaşdyrmanyň egrisi (5-njy sur., 2-egri) hem ýygylyklaryň empirik
paýlaşdyrmasynyň egrisine (5-njy sur., 1-egri) meňzeşlikde we şol bir masştabda (ölçeglerde)
gurulýar.
Toplanan ýygylyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň egrisini (6-nji sur.,2-egri) gurýarlar.
Aralyklaryň çäklerinden galdyrylan ordinata çyzyklarynda toplanan teoretiki ýygylyklara
proporsional kesimleri alyp goýýarlar we olaryň depelerini endigan egri çyzyk arkaly
sepleşdirýärler.
6. 3-nji we 4-nji tertipli merkezi momentleriň empirik bahalary:
∑ n (x
12
µ3 =
i
i =1
− x)
3
iop
N
∑ n (x
12
µ3 =
i
i =1
− x)
4
iop
N
Şertli momentlýerden hem peýdalanmak bolar.
12
a3/ =
∑n a
i
i =1
N
3
i
=−
426
= −2,840
150
12
a 4/ =
∑n a
i =1
i
4
i
N
=+
12616
= +84,107
150
Olary hasaplamak üçin gerk maglumatlarý 5-nji tablisanyň 10-njy we 11-nji sütünlerinden alýarlar.
Merkezi we şertli momentleriň arasynda aşakdaky ýaly baglanyşyk bardyr:
{
( )}
(a ) − 3(a ) }
µ 3 = h 3 a3/ − 3a1/ a 2/ + 2 a1/
{
µ 4 = a 4/ − 4a1/ a 3/ + 6a 2/
biziň mysalymyzda
{
/ 2
1
/ 4
1
}
µ 3 = 0,538 3 − 2,84 − 3(− 0,040 ).5,55 + 2(− 0,04 ) =
3
0,156{− 2,84 + 0,666 − 0,0001} = −0,339
{
µ 4 = 538 4 84,107 − 4(− 0,04)(
. − 2,84 ) + 6.5,55.(− 0,04) −
2−
}
− 3(− 0,04) = 0,0838.{84,107 − 0, 454 + 0,053} = +7,015.
4
Egriniň asmmetriýasynyň görkezijisi
α=
µ3
0,339
=−
= −0,165
3
2,05
σ
6
. Biziň
N
mysalymyzda σ α = 0, 20 we α < 3σ α . Şol sebäpli, ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň
egrisini simmetrik diýip hasap etmek bolar.
eger α < 3σ α bolsa, onda egriniň asimmetriýasy görnetin hasap edilýär; bu ýerde σ α =
Empirik egriniň kertliginiň görkezijisi eksesdir
E=
µ4
7,05
−3=
− 3 = −0,29
4
2,60
σ
Ekssesiň orta kwadratik gyşarmasy:
σE =
24
= 0,40
N
E < 3σ E bolany sebäpli ekssesi görnetin däl hasap etmek bolar.
7. Kolmogorowyň we Pirsonyň kriterilerini ulanmak üçin zerur maglumatlar 7-nji tablisada
tapyldy.
Kolmogorowyň kriterisi. Ony ulanmak üçin toplanan empirik ýygylyklaryň teoretiki
ýygylyklardan iň uly(modul boýunça)
Toplanan ýygylyklaryň hasaplanyşy.
№
Ýygylygy
ni
ni − mi (ni − ni )2 (ni −ni ) 2
ni
ni
Tablisa 7
Topl, ỳygyl.
∑n
∑ni
∑ñi-∑ni
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∑
2
4
6
11
13
24
33
18
15
13
9
2
150
1
3
6
12
18
23
25
23
18
12
6
3
150
+1
+1
0
-1
-5
+1
+8
-5
-3
+1
+3
-1
1
1
0
1
25
1
64
25
9
1
8
1
1,000
0,333
0
0,083
1,389
0,043
2,560
1,087
0,500
0,083
1,500
0,333
8,911
2
6
12
23
36
60
83
111
126
139
148
150
1
4
10
22
40
63
88
111
129
141
147
150
+1
+2
+2
+1
-4
-3
+5
0
-3
-2
+1
0
dmax =5
gyşarmasyny tapýarlar. 7-nji tablisanyň 9-njy sütüninden /dmax/=5 tapýarys we
λ=
d max
N
=
5
150
= 0,41
hasaplaýarys
λ argument boýunça Kolmogorowyň kriterisi üçin ýörite tablisalardan (8-nji tabl.) λ T φ λ
deňsizligiň ähtimallygyny tapýarys. Eger ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmaly özara
ylalaşykly bolsalar, onda P( λ T φ λ )ähtimallyk 1-e golaý bolmalydyr. Biziň mysalymyzda
P( λ T φ λ )=0,994, diýmek şu kriteriý boýunça ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmalar
oňat ylalaşyklydyrlar.
Kolmogorowyň kriterisi.
Tablisa 8.
λ
P(λT φ λ)
λ
P(λT φ λ)
0,30
1,000
0,85
0,465
0,40
0,997
0,90
0,393
0,50
0,964
0,95
0,328
0,60
0,864
1,00
0,270
0,65
0,702
1.10
0,178
0,70
0,711
1,20
0,112
0,75
0,627
1,30
0,068
0,80
0,544
1,40
0,010
Pirsonyň kriterisi. Ony ulanmak üçin 7-nji tablisanyň 6-njy sütüninde
hasaplaýarlar we
12
(ni − ni )2
i =1
ni
χ2 = ∑
= 8,911
aňlatmadan r erkinlik derejesini kesgitleýärler; bu ýerde K- ýalňyşlyklaryň paýlaşdyrmasynyň
tablisasyndaky aralyklaryň sany, K=12; s- ýalňyşlyklaryň teoretiki paýlaşdyrmasyny hasaplamak
üçin zerur parametrleriň (bu ýerde x , σ we N ) sany.
Diýmek, r=12-3=9
IV goşundyda r we χ 2 ululyklar boýunça teoretiki paýlaşdyrmasy χ T2 we erkinlik derejesi r
deň bolan ululygyň χ 2 empirik bahadan uly bolmaklygyň ähtimallygyny kesgitleýarler.
P(χ T2 φ χ 2 ) ≥ 0,3 bolanda ýalňyşlyklaryň empirik we teoretiki paýlaşdyrmalaryň ylalaşyklylygy
oňat, ni -leriň ni-lýerden gyşarmasy bolsa tötänleýin hasaplanylýar. o,1 ≤ P χ T2 φ χ 2 ≤ 0,3 bolanda
(
)
(
)
ylalaşyklylygy kanagatlanarly, P χ φ χ ≤ 0,1 bolanda bolsa kanagatlanarsyz hasap edip bolar.
IV goşundyda r=9 we χ 2 = 8,91 boýunça P χ T2 φ χ 2 = 0,45 tapýarys. Bu bolsa
paýlaşdyrmalaryň oňat ylalaşyklygyny görkezýär.
2
T
2
(
)
Alamatlar kriterisi. Ol statiatik hatardaky n+ položitel we n- otrisatel ýalňyşlyklaryň
sanlarynyň ýolbererlik aratapawudyny kesgitleýär. Eger ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasy
normal paýlaşdyrma bilen oňat ylalaşykly bolsa, onda (n + − n− ) ≤ 1,96 N
deňsizlik p=0,95 ähtimallyk bilen ýerine etmeli.
Biziň mysalymyzda
(76 − 74) π 1,96
150
Şoweneniň kriterisi. Oňa laýyklykda, ýalňyşlyklaryň statistik hatary normal paýlaşdyrma
bilen ylalaşykly bolsa, bu hatarda absolýut ululygy
x max = t max σ
sandan uly bolan ýekeje ýalňyşlyk hem bolmaly däldir.
tmax argumenti ähtimallyklar tablisasyndan (II goşundy)
Ф (t max ) =
funksiýanyň bahasy boýunça saýlaýarlar.
2N − 1
2N
Hatardaky absolýut ululygy boýunça xmax-dan uly bolan ýalňyşlygy gödek diýip hasap etmeli
we oňa degişli ölçemäni taşlamaly.
Biziň mysalymyzda
Ф (t max ) =
299
= 0,9967; tmax=2,94
300
we
xmax=2,94. 1,27//=± 3,73//
Hataryň iň uly (+3,03//) we iň kiçi (-0,42//) ýalňyşlyklary aňryçäk bahadan kiçi eken.
Şarleniň kriterisi. Oňa laýyklykda ýalňyşlygyň
/
absolýut bahasyny kesgitleýärler; normal paýlaşdyrmasyna boýun egýän hatarda x max
-dan uly
/
bolan diňe ýekeje ýalňyşlyk bolup biler. t max
-yň bahasyny II goşundydan
N −1
/
Ф t max
=
N
funksiýanyň bahasy boýunça saýlaýarlar.
Eger görkzilen çäkden çykýan ýalňyşlyklaryň sany 1-den köp bolsa, onda olara degişli
ölçemeleri taşlamaly ýa-da ýalňyşlyklaryň empirik paýlaşdyrmasynyň normal paýlaşdyrmadan
gyşarmasyny görnetin hasap etmeli.
Garalýan mysalymyzda
( )
( )
/
Ф t max
=
149
= 0,9933
150
/
t max
=2,71
diýmek,
xmax=2,71.1,27=± 3,44//
/
Garalýan hataryň ähli ýalňyşlyklary absolýut ululygy boýunça x max
-dan kiçi bolýp çykdy.
8.
Hataryň ortaça ýalňyşlygyny statistik hataryň ähli ýalňyşlyklarynyň absolýut ululyklaryntyň
orta arifmetiki bahalary hökmünde tapalyň:
N
v=
∑
i =1
N
N
x
=
∑
f
i =1
N
ýa-da tertiplenen hatar üçin
12
v = x0 + h
∑na
i =1
i
N
i
= 0,077 + 0,538
272
= 1,053 //
150
Ýalňyşlyklaryň normal paýlaşdyrmasynda
v = 0,798σ = 1,013 //
Görşümiz ýaly, alnan bahalar biri-birine örän golaýdyr.
9. Deňnokatly geodeziýa ölçemeleriniň ýalňyşlyklar hatarynyň garalyp geçilen derňewi
hataryň ähli ýalyşlyklaryny tötänleýin hasaplap boljakdygyny, ýalňyşlyklar hataryny bolsa normal
paýlaşdyrma boýun egýär diýip hasap edip boljakdygyny görkezýär.
Tötän ululyklaryň arasyndaky statistiki
arabaglanyşyk (korrelýasiýa).
Umumy maglumatlar
Korrelýasiýa- matematiki statistikanyň bir bölümi bolup, onda predmetleriň, hadysalaryň ýada ölçeme hatarlarynyň arasyndaky baglanyşyklary anyklamak usullary öwrenilýär.
Ölçemeler hatarynyň arasynda hiç hili baglanyşygyň bolmazlygy hem mümkindir; bu halda y
elementleriň üýtgemesi tötänleýindir we x elementletiň üýtgemesine bagly däldir. Ölçemeler
hatarlary arabaglanyşykly bolan halatynda, onuň iki görnüşini, ýagny funksional we statistiki
(stohastik korrelýasiýa) arabaglanyşyklaryny tapawutlandyrýarlar.
x we y üýtgeýän ululyklaryň arasynda funksional arabaglanyşyk diýip, x-iň her bir bahasyny
kesgitli bir
y=f(x)
bahanyň degişli bolan halatyna aýdylýar.
Eger iki sany ¨tötän ululyklaryň biri diňe bir býleki ululyga bagly bolman, eýsem olaryň
ikisine hem täsir edýän umumy tötän faktorlara hem bagly bolsa, onda bu ululyklaryň arasynda
statistiki arabaglanyşyk döreýär.
Eger bir ululygyň artmagy netijesinde beýleki ululyklar hem artýan bolsa, onda korrelýasiýa
göni bolar; eger bir ululygyň artmagy netijesinde beýleki biri kemelýän bolsa, onda korrelýasiýa
ters bolar.Çyzykly we çyzykly däl arabaglanyşyklary tapawutlandyrýarlar.
Ölçemeler hatarynyň arasyndaky
korrelýasiýanyň kesgitlenişi
Ölçemeler hatarynyň arasyndaky korrelýasiýany aşakdaky tertipde kesgitleýärler. Grafikde
alamatyň jübitleýin bahalaryna degişli nokatlary kesgitleýärler we korrelýasiýa arabaglanyşygynyň
görnüşini anyklaýarlar.
Çyzykly korrelýasiýa arabaglanyşygy bolan halatynda: 1) ölçemeler hatarynyň ikisi üçin hem
alamatyň ortaça san bahasyny, ortaça bahadan gyşarmalary we standartyň emprik bahasyny
hasaplamak; 2) korrelýasiýa koeffisientini hasaplamak; 3) göni regresiýanyň parametrlerini
hasaplamak; 4) göni regresiýanyň iň ähtimal gyşarmalaryny we olaryň orta kwadratik bahasyny
hasaplamak; 5) ikilenji gezek (barlag üçin) iň ähtimal gyşarmalaryň orta kwadratik bahasynyň
kömegi bilen korrelýasiýa koeffisientini hasaplamak; 6) grafikde göni regresiýany gurmak; 7)
korrelýasiýa koeffisientiniň takyklygyny barlamak zerurdyr.
Ýumuşyň ýerine ýetiriliş tertibine aşakdaky mysalda garalyň. 9-njy tablisada trilatesiýanyň
taraplarynyň uzynlyklary we olaryň ortaça kwadratik ýalňyşlyklary berlen. x=D we y=m üýtgeýän
ululyklaryň arasyndaky ctatistiki baglanyşygy, korrelýasiýa arabaglanyşygynyň funksional
arabaglanyşyga ýakynlygyň derejesini we bir ululygyň bahalary berlen halatynda beýleki ululygyň
ortaça bahasyny hasaplamaga mümkinçilik berýän formulany anyklamak talap edilýär.
Korrelýasiýa arabaglanyşygyň grafigi 9-njy tablisanyň 2-nji we 3-nji sütünlerindäki
maglumatlar boýunça gurulýar. xi we yi degişli bahalaryň her bir jübti üçin gönüburçly sistemada
A nokat tapylýar (sur. 7). Grafik garalýan alamatlaryň arasyndaky baglanyşygyň görnüşi barada çen
tutmaga mümkinçilik berýär.
Nokatlar göze görünmeýän bir göniçyzygyň boýunda toplanandyklary sebäpli, çyzykly
arabaglanyşyk bar diýip hasap etmek bolar.
Sur.7. Synag hatarlarynyň arasyndaky korrelýasia baglanyşygy
Tablisa 9
№
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
∑
x
2
0,5
1,4
2,2
2,7
3,5
3,8
5,6
6,3
7,9
8,6
9,3
10,5
11,3
12,6
13,1
14,5
17,6
19,1
22,0
25,7
198,2
δx
3
4
1,7
-9,41
3,6
-8,51
6,5
-7,71
4,8
-7,21
4,5
-6,41
4,7
-6,11
2,9
-4,31
6,7
-3,61
5,9
-2,01
5,4
-1,31
6,5
-0,61
4,4
+0,59
4,1
+1,39
8,2
+2,69
10,2
+3,19
12,4
+4,59
13,7
+7,69
17,9
+9,19
13,5
+12,09
16,4
+15,79
154,0
0
∑δx2=
968,40
y
δy
5
-6,0
-4,1
-1,2
-2,9
-3,2
-3,0
-4,8
-1,0
-1,8
-2,3
-1,2
-3,3
-3,6
+0,5
+2,5
+4,7
+6,0
+10,2
+5,8
+8,7
0
∑δx2=
-417,72
δxδy
6
+56,46
+34,89
+9,25
+20,91
+20,51
+18,33
+20,69
+3,61
+3,62
+3,01
+0,73
-1,95
-5,00
+1,34
+7,98
+21,57
+46,4
+93,74
+70,12
+137,37
563,32
y/
7
2,22
2,75
3,21
3,50
3,97
4,14
5,19
5,60
6,49
6,94
7,34
8,04
8,51
9,26
9,56
10,37
12,18
13,05
14,74
16,89
-
v2
9
0,270
0,722
10,824
1,690
0,281
0,314
5,244
1,210
0,348
2,372
0,706
13,250
19,448
1,124
10,410
4,121
2,310
23,522
1,538
0,240
89,944
v=y/-y
8
+0,52
-0,35
-3,29
-1,3
-0,53
-0,56
+2,29
-1,10
+0,59
+1,54
+0,84
+3,64
+4,41
+1,06
-0,64
-2,03
-1,52
-4,85
+1,24
+0,49
-
Orta bahadan gyşarmasyny 4-nji we5-nji sütünde ýazýarys
1.Ölçemeler hatarlarynyň ikisi üçin hem alamatlaryň x we y ortaça san bahalaryny, ortaça
bahadan δ x we δ y gyşarmalary (sur. 7) we standartyň σ x we σ y emprik bahalaryny
hasaplaýarlar.
n
2-nji we 3-nji sütünde tapylan
∑ xi we
i =1
n
∑y
i =1
i
bahalaryndan alarys
n
x=
∑x
i =1
i
n
=
198, 2
= 9,91 km ;
20
=
154,0
= 7,70 km ;
20
n
y=
∑y
i =1
n
i
δ xi = xi − x ;
δ yi = yi − y .
Eger hasaplamalar dogry geçirilen bolsa, onda
n
n
∑ δ xi = 0 we
∑δy
i =1
i =1
i
= 0.
4-nji we 5-nji sütünlerde aşakdakylary hasaplaýarys
n
∑ δx
2
n
2
i =1
n
= ∑ (x i − x ) we
∑δy
i =1
i =1
2
n
2
= ∑ ( yi − y ) ,
i =1
δ x i δy i köpeltmek hasylyny we olaryň jemini 6-njy sütünde ýazýarys.
Standartyň emprik bahasy
n
σx =
∑ (x
i =1
i
− x)
n
2
σy =
we
n
∑ (y
i =1
i
− y)
n
2
.
Biziň mysalymyzda bolsa
σx =
968
= ±6,96 ;
20
417,72
= ±4,57 .
20
σy =
Korrelýasiýa arabaglanyşygynyň ýakynlygynyň ölçegi bolan kqrrelýasiýa koeffisienti
n
r=
∑ δx δ y
i
i
i =1
n
⋅
1
.
σx ⋅ σy
Korrelýasiýanyň koeffisienti -1-den +1 aralykda üýtgeýär. Eger r=0 bolsa onda x bilen y-iň
arasynda korrelýasiýa ýok. Eger  r=1 bolsa onda x bilen y -iň arasynda funksional baglanyşyk bar.
Biziň mysalymyzda
r=
563,32
1
⋅
= 0,886
20
6,96 ⋅ 4,57
3. Iň kiçi kwadratlaryň metodynyň kömegi bilen göni regresiýanyň parametrleri hasaplanýar.
Statistik arabaglanyşyk
y = α + βx .
Şu deňleme bilen kesgitlenýän göni çyzyga regresiýanyň çyzygy diýilýär, α we β -onuň
parametrleri. β -nyň bahasy aşakdaky aňlatmadan tapylýar
β=r
σy
σx
= 0,896
4,57
= 0,582 .
6,96
Regresiýanyň çyzykly deňlemesine tapylan β -nyň we x , y bahalaryny goýyp alynýar
α =7,70-0,582 9,91=1,932.
4. Çyzykly regresiýanyň her bir y i/ nokady xi bahalary bilen hasaplanýar. Çyzykly
regresiýanyň iň ähtimal gşarmasyny , synag netijesinde alynan yi-biň bahasy bilen deňeşdirilýär
vi = (α + β x i ) − y i = y i/ − y i .
9-njy tablisanyň 8-nji sütüninde vi bahalary ýazylan
Göni regresiýanyň gyşarmasynyň orta kwadratik bahasy
σv =
[v ] = 89,94 = ±2,12 .
2
n
20
5. Barlag üçin korrelýasiýa koeffisientini ikilenji gezek, iň ähtimal gyşarmalaryň orta
kwadratik bahasynyň kömegi bilen hasaplaýarlar
r = 1−
σx
4, 49
= 1−
= 0,886 .
σy
20,88
6. Grafikde (sur.7) regresiýanyň çyzygy gurulýar. x1 we x2 bahalary berip, y1/ we y 2/ -i
hasaplaýarlar we koordinatlaryň bahalarynyň her bir jübti üçin M1 we M2 nokatlary tapýarlar. Mysal
üçin,
x1 = 2,
x 2 = 20,
y1/ = 1,93 + 0,582 ⋅ 2 = 3,09 ;
y 2/ = 1,93 + 0,582 ⋅ 20 = 13,57 .
M1 we M2 nokatlaryň üstünden geçirilen PQ göni çyzyk regresiýanyň çyzygydyr. x we y
koordinatly nokat şu göni çyzygyň üstünde bolmaly.
7. Korrelýasiýa koeffisientiniň takyklygyny anyklamak üçin korrelýasiýa koeffisientiniň orta
kwadratik gyşarmasyny hasaplaýarlar.
σr =
1− r2
.
n
n>50 bolan hatar üçin r ≥ 3σ r bolsa, onda garalýan alamatlaryň arasynda korrelýasiýa
baglanyşygy bar hasap etmek bolar.
Goşmaça
Goşmaça 1
t2
Funksiýanyň bahalarnyň tablisasy
t
0
1
2
1 −2
ϕ(t ) =
e
2π
3
4
5
6
7
8
9
0.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980
0.3977 0.3973
0.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932
0.3925 0.3918
0.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847
0.3836 0.3825
0.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725
0.3712 0.3697
0.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572
0.3555 0.3538
0.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391
0.3372 0.3352
0.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187
0.3166 0.3144
0.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966
0.2943 0.2920
0.8 0.2897 0.2874 0.2850 0.2827 0.2803 0.2780 0.2756 0.2732
0.2709 0.2685
0.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492
0.2468 0.2444
1
0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251
0.2227 0.2203
1.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012
0.1989 0.1965
1.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781
0.1758 0.1736
1.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561
0.1539 0.1518
1.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354
0.1334 0.1315
1.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163
0.1145 0.1127
1.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0989
0.0973 0.0957
Goşmaça
Goşmaça 1 (dowamy)
t2
Funksiýanyň bahalarnyň tablisasy
t
0
1
2
1 −2
ϕ(t ) =
e
2π
3
4
5
6
7
8
9
1.7 0.0940 0.0925 0.0909 0.0893 0.0878 0.0863 0.0848 0.0833 0.0818 0.0804
1.8 0.0790 0.0775 0.0761 0.0748 0.0734 0.0721 0.0707 0.0694 0.0681 0.0669
1.9 0.0656 0.0644 0.0632 0.0620 0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0562 0.0551
2 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.0449
2.1 0.0440 0.0431 0.0422 0.0413 0.0404 0.0396 0.0387 0.0379 0.0371 0.0363
2.2 0.0355 0.0347 0.0339 0.0332 0.0325 0.0317 0.0310 0.0303 0.0297 0.0290
2.3 0.0283 0.0277 0.0270 0.0264 0.0258 0.0252 0.0246 0.0241 0.0235 0.0229
2.4 0.0224 0.0219 0.0213 0.0208 0.0203 0.0198 0.0194 0.0189 0.0184 0.0180
2.5 0.0175 0.0171 0.0167 0.0163 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0143 0.0139
2.6 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.0107
2.7 0.0104 0.0101 0.0099 0.0096 0.0093 0.0091 0.0088 0.0086 0.0084 0.0081
2.8 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0065 0.0063 0.0061
2.9 0.0060 0.0058 0.0056 0.0055 0.0053 0.0051 0.0050 0.0048 0.0047 0.0046
3 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035 0.0034
3.1 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0025 0.0025
3.2 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019 0.0018 0.0018
3.3 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0013 0.0013
3.4 0.0012 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009
3.5 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006
3.6 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004
3.7 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003
3.8 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
3.9 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001
Goşmaça II
Ähtimallyk integralynyň
t
t2
−
1
bahasynyň tablisasy Ф (t ) =
e 2 dt
∫
2π 0
Ф(t)
t
Ф(t)
t
Ф(t)
t
0.00
0.00000
1.25
0.78870
2.50
0.98755
0.05
0.03988
1.30
0.80640
2.55
0.98922
0.10
0.07968
1.35
0.82298
2.60
0.99068
0.15
0.11924
1.40
0.83849
2.65
0.99195
0.20
0.15852
1.45
0.85294
2.70
0.99307
0.25
0.19741
1.50
0.86639
2.75
0.99404
0.30
0.23582
1.55
0.87886
2.80
0.99489
0.35
0.27366
1.60
0.89040
2.85
0.99583
0.40
0.31084
1.65
0.90106
2.90
0.99627
0.45
0.34729
1.70
0.90067
2.95
0.99682
0.50
0.38292
1.75
0.91988
3.00
0.99730
0.55
0.41768
1.80
0.92814
3.10
0.99806
0.60
0.45140
1.85
0.93569
3.20
0.99863
0.65
0.48431
1.90
0.94257
3.30
0.99903
0.70
0.51607
1.95
0.94882
3.40
0.99933
0.75
0.54675
2.00
0.95450
3.50
0.99958
0.80
0.57629
2.05
0.95964
3.60
0.99968
0.85
0.60468
2.10
0.96427
3.70
0.99978
0.90
0.63188
2.15
0.96844
3.80
0.99986
0.95
0.65789
2.20
0.97219
3.90
0.99990
1.00
0.68269
2.25
0.97555
4.00
0.99994
1.05
0.70628
2.30
0.97855
4.10
0.99996
1.10
0.72867
2.35
0.98123
4.20
0.99997
1.15
0.74985
2.40
0.98360
4.30
0.99998
1.20
0.76986
2.45
0.98521
4.40
0.99999
Stýudentiň koeffisientleri
(β-ýan ähtimallyk, r-azat derejäniň sany)
Goşmaça III
r
β
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0,95 0.98 0.99 0.999
2
0.16
0.33
0.51 0.73 1.00 1.4
2.0
3.1
6.3
13
31.8 63.7 637
3
0.14
0.29
0.45 0.62 0.82 1.1
1.3
1.9
2.9
4.3
7
9.9
32
4
0.14
0.28
0.42 0.58 0.77 1
1.3
1.6
2.4
3.2
4.5
5.8
13
5
0.13
0.27
0.41 0.57 0.74 0.9
1.2
1.5
2.1
2.8
3.7
4.6
8.6
6
0.13
0.27
0.41 0.56 0.73 0.9
1.2
1.5
2
2.6
3.4
4
6.9
7
0.13
0.27
0.4
0.55 0.72 0.9
1.1
1.4
1.9
2.4
3.1
3.7
6
8
0.13
0.26
0.4
0.55 0.71 0.9
1.1
1.4
1.9
2.4
3
3.5
5.4
9
0.13
0.26
0.4
0.54 0.71 0.9
1.1
1.4
1.9
2.3
2.9
3.4
6
10 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.3
2.8
3.3
4.8
11 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.8
3.2
4.6
12 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3.1
4.5
13 0.13
0.26
0.4
0.54 0.7
0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3.1
4.3
14 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.4
1.8
2.2
2.7
3
4.2
15 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
3
4.1
16 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
2.9
4
17 0.13
0.26
0.39 0.54 0.69 0.9
1.1
1.3
1.8
2.1
2.6
2.9
4
Goşmaça III (dowamy)
β
r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95 0.98 0.99 0.999
18 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
4
19 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
3.9
20 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.6
2.9
3.8
21 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
22 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
23 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.8
24 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
25 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
26 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
27 0.13
0.26
0.39
0.53
0.69
0.86
1.1 1.3
1.7
2.1
2.5
2.8
3.7
28 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.86
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
29 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
30 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.5
2.8
3.7
40 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1.1 1.3
1.7
2
2.4
2.7
3.6
60 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1
1.3
1.7
2
2.4
2.7
3.5
80 0.13
0.26
0.39
0.53
0.68
0.68
1
1.3
1.7
2
2.4
2.6
3.4
Goşmaça IV
χ2 kriteri üçin P ähtimallyklaryň tablisasy
r
χ2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0.3173
0.6065
0.8013
0.9098
0.9626
0.9858
0.9948
0.9982
2
0.1574
0.3679
0.5724
0.7358
0.8491
0.9197
0.9598
0.9810
3
0.0833
0.2231
0.3916
0.5578
0.7000
0.8086
0.8850
0.9344
4
0.0455
0.1353
0.2615
0.406
0.5494
0.6767
0.7798
0.8571
5
0.0254
0.0821
0.1718
0.2873
0.4159
0.5438
0.6600
0.7576
6
0.0143
0.0498
0.1118
0.1991
0.3062
0.4232
0.5398
0.6472
7
0.0081
0.0302
0.0719
0.1359
0.2206
0.3208
0.4289
0.5366
8
0.0027
0.0183
0.0460
0.0916
0.1562
0.2381
0.3326
0.4335
9
0.0016
0.0111
0.2930
0.0611
0.1091
0.1736
0.2527
0.3423
10
0.0009
0.0067
0.0186
0.0404
0.0752
0.1247
0.1886
0.2650
11
0.0006
0.0041
0.0117
0.0266
0.0514
0.0884
0.1386
0.2017
12
0.0003
0.0025
0.0074
0.0174
0.0348
0.0620
0.1006
0.1512
13
0.0002
0.0015
0.0046
0.0113
0.0234
0.0430
0.0721
0.1119
14
0.0001
0.0009
0.0029
0.0073
0.0156
0.0296
0.0512
0.0818
15
0.0001
0.0008
0.0018
0.0047
0.0104
0.0203
0.0360
0.0591
16
0
0.0002
0.0011
0.003
0.0068
0.0138
0.0251
0.0421
17
0.0001
0.0007
0.0019
0.0045
0.0093
0.0174
0.0301
18
0.0000
0.0004
0.0012
0.0029
0.0062
0.0120
0.0212
19
0.0003
0.0006
0.0019
0.0042
0.0082
0.0149
20
0.0002
0.0005
0.0013
0.0028
0.0056
0.0103
21
0.0001
0.0003
0.0008
0.0018
0.0036
0.0071
22
0.0001
0.0002
0.0005
0.0012
0.0025
0.0040
23
0.0000
0.0001
0.0003
0.0008
0.0017
0.0034
24
0.0001
0.0002
0.0005
0.0011
0.0023
25
0.0001
0.0010
0.0003
0.0008
0.0016
26
0.0000
0.0010
0.0002
0.0005
0.0010
27
0.0010
0.0001
0.0003
0.0007
28
0.0000
0.0001
0.0002
0.0005
29
0.0001
0.0001
0.0003
30
0.0000
0.0001
0.0002
Goşmaça IV(dowamy)
χ2 kriteri üçin P ähtimallyklaryň tablisasy
r
χ2
9
10
11
12
13
14
15
16
1
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
2
0.9915
0.9963
0.9985
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
3
0.9643
0.9814
0.9907
0.9955
0.9979
0.9991
1.0000
0.9998
4
0.9114
0.9473
0.9699
0.9834
0.9912
0.9955
0.9977
0.9989
5
0.8343
0.8912
0.9312
0.9580
0.9752
0.9858
0.9921
0.9958
6
0.7399
0.8153
0.8734
0.9160
0.9462
0.9665
0.9797
0.9881
7
0.6371
0.7254
0.7991
0.8576
0.9022
0.9345
0.9576
0.9733
8
0.5341
0.6288
0.7133
0.7851
0.8436
0.8893
0.9238
0.9489
9
0.4373
0.5321
0.6219
0.7029
0.7729
0.8311
0.8715
0.9134
10
0.3506
0.4405
0.5304
0.6210
0.6939
0.7622
0.8197
0.8686
11
0.2757
0.3575
0.4433
0.5280
0.6108
0.686
0.7526
0.8095
12
0.2133
0.2851
0.3626
0.4457
0.5276
0.6063
0.6790
0.7440
13
0.1626
0.2237
0.2933
0.3690
0.4478
0.5265
0.6023
0.6728
14
0.1223
0.1730
0.2330
0.3007
0.3738
0.4497
0.5255
0.5987
15
0.0909
0.1321
0.1825
0.2414
0.3074
0.3782
0.4511
0.5246
16
0.0669
0.0996
0.1411
0.1912
0.2491
0.3134
0.3821
0.453
17
0.0487
0.0744
0.1079
0.1496
0.1993
0.2562
0.3189
0.3856
18
0.0352
0.055
0.0816
0.1157
0.1575
0.2068
0.2627
0.3239
19
0.0252
0.0403
0.0611
0.0885
0.1231
0.1649
0.2137
0.2687
20
0.0179
0.0293
0.0153
0.0671
0.0952
0.1301
0.1719
0.2202
21
0.0126
0.0211
0.0334
0.0504
0.7290
0.1016
0.1368
0.1785
22
0.0089
0.0151
0.0244
0.0375
0.5540
0.0786
0.1078
0.1432
23
0.0062
0.0107
0.0177
0.0277
0.0447
0.0603
0.8410
0.1137
24
0.0043
0.0076
0.0127
0.0203
0.0311
0.0458
0.6510
0.0895
25
0.0030
0.0053
0.0091
0.0148
0.0231
0.0346
0.4990
0.0698
26
0.0020
0.0037
0.0065
0.0107
0.0170
0.0259
0.0380
0.0540
27
0.0011
0.0026
0.0046
0.0077
0.0124
0.0193
0.0287
0.0415
28
0.0010
0.0018
0.0062
0.0055
0.0960
0.0142
0.0216
0.0316
29
0.0006
0.0012
0.0023
0.0039
0.0650
0.1040
0.0161
0.0239
30
0.0004
0.0009
0.0016
0.0028
0.0470
0.0076
0.0119
0.018
I.
MAZMUNY
ÄHTIMALLYGYŇ KESGITLENILIŞI
1. Wakalaryň görnüşleri we olaryň üstünde geçirilýän amallar
7
2. Otnositel ýygylyk we ähtimallygyň klassiki kesgitlemesi
8
3. Wakanyň ähtimallygynyň statistiki kesgitlemesi
9
4. Ähtimallyklary köpeltmek teoremasy. Şertli ähtimallyk
10
5. Bilelikdeş wakalaryň ähtimallyklaryny goşmak teoremasy.
6. Doly ähtimallyk formulasy. Baýesiň formulasy
13
7. Gaýtalanýan synaglar shemasy. Bernulliniň formulasy
15
8. Laplasyň lokal teoremasy
17
9. Laplasyň integral teoremasy
18
10. Diskret we üznüksiz tötänleýin ululyklar
18
11. Diskret tötänleýin ululyklaryň san harakteristikalary
we matematiki garaşmanyň häsietleri
20
12. Diskret tötänleýin ululygyň dispersiýasy
23
13. Ortaça kwadratik gyşarma we onuň häsietleri
26
14. Üznüksiz tötänleýiň ululygyň ähtimallyklarynyň
paýlanyşynyň integral we differensial funksiýasy we
olaryň häsiýetleri
28
15. Uly sanlaryň kanuny
30
16. Markowyň deňzisligi
30
17. Çebyşewiň teoremasy
30
18. Wakalaryň ýönekeýje akymy
31
19. Ähtimallyklaryň deňölçegli paýlanyş kanuny
32
20. Ähtimallyklaryň normal paýlanys kaňuny
33
21. Wariasion hasaplamalar
35
22. Wariasion hatarlaryň grafiki şekillendirilişi
36
23. Ynanç aralyklary barada düsünje
36
24. Ortaça ululyklar
37
25. Mediana we moda
41
26. Wariasiýanyň görkezijileri
42
27. Emperik dispersiýanyň häsietleri
44
28. Empirik merkez we başlangyç momentler
46
29. Empirik assimmetriýa we eksess
47
II. Mysallar
1.
2.
Ölçemeleriň sanynyň köp bolmadyk halatynda ululygyň
deňtakykly ölçemeler hatarynyň barlagy
48
Ölçeme ýalňyşlyklarynyň paýlaşdyrmasynyň
ähtimallyk-statisttik derňewi
54
III. Tötän ululyklaryň arasyndaky statistiki arabaglanyşyk (korrelýasiýa).
1. Umumy düşünje
70
2. Goşmaça
76
Edebiýat
86
Edebiýat
1. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических
измерений. М., Недра, 1977.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Наука, 1964.
3. Гмурман В.Е. Введение теория вероятностей и математическую статистику. М., Высшая
школа, 1966.
4. Пятницкая М.П. Вероятнстно-статистический и корреляционный анализы рядов ошибол
геодезических измерений. Л., изд ЛГИ, 1975.
5. Пятницкая М.П. Статистическая обработка результатов геодезических измерений. Л.,
1983.
6. Рыжков П.А. Математическая статистикав горном деле. М., Высшая школа, 1973.
7. Смирнов Н.В., Белугин Д.А. . Теория вероятностей и математическая статистика в
приложении к геодезии. М., Недра, 1969.
8. Orazow J., Nazaröwezow M., Garryýew O. Ähtimallyklar teoriýasynyň we matematiki
statistikanyň elementleri. Aşgabat, Magaryf, 1990.

Türkmeni öwreniş Merkez Gaıgysyz At

Zähmeti goramak otagynyň (burçunyň)

Game (Oıun) - IOI 2014 in Taiwan

Jemgyıetçilik Birleşiklerini bellige almak boıunça raıatlaryň

Türkmeni Öwreniş Merkez Basmaçyly

2014-nji ýyl bedew ýyly

zenan syrlylygymy ia-da adatylyk?

Защитные элементы модифицированных банкнот

Indir - Ene dilim

MAGTYMGULY PYRAGY Türkmenistanyň Prezidenti Gurbanguly

Durmuş ıeňillikler hakynda Türkmenistanyň kanunçylygy Аşgabat

Maglumat haty - Türkmenistanyň Statistika baradaky döwlet komiteti

Gollanma - Türkmenistanyň Statistika baradaky döwlet komiteti

«Tassyklandy» Türkmenistanyň Zähmet we ilaty durmuş taıdan

Hojalyk subýektleriň ygtyýarlandyrylan işi barada hasabat

PDF faýly - Ajapsozluk.com

Goşundylar