Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders 1 0- Kablosuz Enerji Transferi 1- Mikrodalga Devre Elemanları (Circulator, Coupler, Magic-T, 2- Uzaktan Algılama (Remote Sensing) 3- Akıllı Antenler (Smart Antennas) 4- Magnetron, klystron, gyrotrons ve travelling wave tube (TWT) 5- Radar 6- Fiber Optik 7- Dalga Kılavuzu (Waveguides) 8- Boşluk Rezonatörü (Cavity Resonators) 9- İletim Hatları (Transmission Lines) Giriş • Elektromanyetik, elektrik-manyetik alanları ve bu ikisi arasındaki etkileşimi inceleyen bilim dalıdır. Modern elektromanyetik teorinin temeli 1873 yılında James Clerk Maxwell tarafından atılmıştır. • Maxwell daha önce Gauss, Ampere ve Faraday tarafından yapılan çalışmalar sonucunda ortaya çıkan teorik ve deneysel bilgi üzerinde oluşturduğu denklem kümesiyle elektromanyetik dalga yayılımını matematiksel olarak açıklamıştır. • Oliver Heaviside 1885–1887 yılları arasında yaptığı çalışmalarla Maxwell denklemlerinin matematiksel karmaşıklığını azaltmış ve vektör gösterimini eklemiştir. Heinrich Hertz 1887–1891 yılları arasında yaptığı çalışmalarla Maxwell’in teorik olarak ispatladığı dalgaların varlığını deneysel olarak kanıtladı Hertz bir indüksiyon bobini kullanarak elektromanyetik dalga üretip ve onları algılayarak Maxwell teorisini deneysel olarak ispatlamış oldu. • Maxwell denklemleri elektrik yükünün hareketi (akım) sonucunda ortaya çıkan elektromanyetik dalgalarla ilgili problemlerin çözümünde temel oluşturur. Bu denklemlerde vektör diferansiyel ve vektör alan üzerinde integral işlemleri kullanıldığından matematiksel karmaşıklığı oldukça fazladır. • Elektromanyetik teorinin pratikteki uygulamaları (radyo, televizyon, radar ve uydu sistemleri, kablosuz ağlar, cep telefonları vb.) Maxwell tarafından yapılan teorik çalışmaların sonucunda gerçekleştirilmiştir. Elektromanyetik Spektrum • Radyo frekansı (RF) ve mikrodalga 100 MHz (1 MHz= 106 Hz) frekansı civarında alternatif akımdan (AC) başlayarak 1000 GHz (1 GHz= 109 Hz) frekansına kadar olan aralığı kapsar. RF frekansları VHF (30-300 MHz) ile UHF (300-3000 MHz) iken, mikrodalga frekansları 3-300 GHz arası olarak ayrılabilir. • Frekansın yüksek, dalga boyunun düşük olduğu ( = / ) RF ve mikrodalga frekanslarında kullanılan cihazların büyüklüğü, dalga boyuna bağlı olarak oldukça küçük olduğundan devre üzerinde akım ve gerilimin fazı önemli ölçüde değişecektir. Bu sebepten yüksek frekansta çalışan elektronik devrelerinde standart devre teorisi kullanılarak hesaplamalar yapılamaz. RF ve mikrodalga frekanslarında Maxwell denklemlerini kullanılarak çözüm yapılabilir. Maxwell Denklemleri • Faraday İndüksiyon Kanunu: Manyetik akının zamanla değişimi, elektrik alanın rotasyoneline eşittir. (I) × =− Michael Faraday (1791–1867) − E: Elektrik Alan Şiddeti (V/m) B: Manyetik Akı Yoğunluğu (Tesla)M: Manyetik Akım Yoğunluğu (V/m2) • Amper Kanunu: elektrik deplasman alanının zamanla değişimi, manyetik alan şiddetinin rotasyoneline eşittir. (II) × = André-Marie Ampere (1775–1836) + H: Manyetik Alan Şiddeti (A/m) D: Elektrik Akı Yoğunluğu (C/m2) J: Elektrik Akım Yoğunluğu (A/m2) • Gauss Elektrik ve Manyetik Kanunları: Elektrik akı yoğunluğunun diverjansı, elektrik yük yoğunluğuna eşittir. Manyetik akı yoğunluğunun diverjansı sıfırdır. (III) . = (IV) . =0 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) ρ: Elektrik Yük Yoğunluğu (C/m2) Maxwell denklemleri gerçekte birbirinden bağımsız değildir. (I)-(IV) ile (II)-(III) arasında ilişki kurulabilir. (I) ve (IV) Denklemleri Bağlantısı Faraday indüksiyon kanunu kullanılarak Gauss manyetik kanunu elde edilebilir. × =− − Denklemin her iki tarafının diverjansı alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir: . × =− ( . )− . Kural olarak bir vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır: . . × =0=− sonucu elde edilir. =0 ( . )− . Ortamda serbest manyetik yük bulunamayacağından . . × =0 = 0 olur. Buna göre (II) ve (III) Denklemleri Bağlantısı Amper kanunu kullanılarak Gauss elektrik kanunu elde edilebilir. × = + Denklemin her iki tarafının diverjansı alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir: . × = ( . )+ . Kural olarak bir vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır: . . × . =0= = → ( . )+ . × =0 . + =0 . = Bu denklem diferansiyel hacimden dışarı akan akımın, hacim içindeki elektrik yükünün azalma oranına eşit olduğunu yani elektrik yükünün korunumunu ifade eder. Daha açık bir ifadeyle bir noktadan dışarı çıkan akım, o noktadan içeri giren akıma eşittir. (Kirşof Akım Kanunu) Maxwell bu denklemden faydalanarak elektrik akı yoğunluğu yani deplasman akımını ortaya koymuştur. Maxwell Denklemlerinin İntegral Formu Çeşitli vektör integral teoremleri kullanılarak Maxwell denklemleri diferansiyel formdan integral forma dönüştürülebilir. Örneğin (III) ve (IV) numaralı Gauss kanunlarına aşağıda verilen diverjans teoremi uygulanırsa, bu denklemler integral . . formunda elde edilir. . = . . = . . . . = . = =0 . = . = . 0 = =0 Benzer şekilde (I) numaralı denkleme aşağıda verilen Stokes teoremi uygulanırsa, bu denklem integral formunda elde edilir. . . × . = . . × =− Bu denklemde − . × . = . . =− . . − terimi kullanılmazsa Kirşof gerilim kanununa karşılık gelir. . Benzer şekilde (II) numaralı denkleme Stokes teoremi uygulanırsa, bu denklem integral formunda elde edilir. . × = . × + . = . . = . . + . . = . + Burada yüzey içerisinden akan toplam akımdır. Bu denklemde Kirşof akım kanununa karşılık gelir. Maxwell denklemleri içerisinde bağımsız değişkenlerin bulunması için alan şiddeti ile akı yoğunluğu arasında ilişkiyi ortaya koyan 2 ilave denklem kullanılır: = B= Burada homojen malzeme içerisinde = (F/m) olmak üzere ortamın elektriksel geçirgenlik (permittivity), = (H/m) olmak üzere ortamın manyetik geçirgenlik (permeability) katsayısıdır. Ayrıca elektrik akım yoğunluğu ile elektrik alan şiddeti arasında σ kayıplı dieletrik malzemenin iletkenlik katsayısı olmak üzere = σ bağıntısı vardır. Dielektrik malzemenin kaybı, iletkenlik kaybı olarak değerlendirilebilir. Eğer bir ortam iletken ise (σ≠0), elektrik alanın varlığından dolayı akımı akacaktır. Maxwell Denklemlerinin Fazör Formu Denklemler içerisindeki zamana göre türevler, zaman bağımlılığı olarak kullanılarak terimi ile değiştirilebilir. Bu durumda aşağıdaki ifadeler elde edilir: × =− × = . = . =0 − + = =− − +σ Elektromanyetik Dalga Yayılımı • Elektromanyetik dalga yayılımı, elektrik ve manyetik alanların değişimiyle ilgilidir. Hareket eden elektrik yükleri, elektrik alan ve manyetik alanın değişimine ve elektromanyetik dalgaların oluşumuna sebep olur. Elektromanyetik dalgaların ışık hızı ile hareket ettiği 1856 yılında Kohlrausch ve Weber tarafından yapılan deneysel çalışmalar ile gösterilmiştir. • Elektromanyetik dalgalar serbest uzayda (kablosuz) veya kılavuz ortam içerisinde (kablolu) hareket eder. Pratikte pek çok uygulamada elektromanyetik dalga yayılımı göz ardı edilir. Örneğin üzerinde 50 Hz frekansında akım taşıyan elektrik nakil hatlarında elektromanyetik ışıma oldukça düşüktür ve çoğu zaman ihmal edilir. Fakat frekans yükseldikçe elektromanyetik ışıma artar. Bu sebepten yüksek frekanslarda çalışıldığında elektromanyetik dalgaların dışarı kaçmasını önlemek için koaksiyel kablo ve dalga kılavuzu kullanılır. • Elektromanyetik dalga, elektrik alan ve manyetik alan olmak üzere birbirine dik iki vektör bileşeninden meydana gelir. Elektrik alanın zamanla değişimi manyetik alan oluşumunu, manyetik alanın zamanla değişimi ise elektrik alan oluşumunu tetikler. Hem elektrik hem de manyetik alan enerjiye sahiptir. Bu enerji elektromanyetik dalgalar üzerinde bulunan alanlar ile birlikte elektromanyetik dalganın hareket yönünde ilerler. LC devresi sinüzoidal formda osilasyon (salınım) yapar. Sinüzoidal elektrik yükü antene ulaşır ve antenin dış tarafında elektrik alan meydana getirir. Anten üzerinden geçen akım ise benzer şekilde manyetik alan meydana getirir. Bu elektrik alan ve manyetik alan ile birlikte antenden elektromanyetik dalga yayılımı meydana gelir. Elektrik ve manyetik alanlar her zaman dalganın ilerleme yönüne diktir. Bu sebepten enine (transverse) dalga nitelemesi yapılır. Elektrik alan da her zaman manyetik alana diktir. Elektrik alan ve manyetik alanın vektör çarpımı dalganın ilerleme yönünü verir. Elektrik ve manyetik alanlar her zaman sinüzoidal olarak değişir. Bunun ötesinde alanlar aynı frekans ve fazda değişir. Elektrik Alan Dalga Yayılım Yönü Manyetik Alan Dalga yayılımının incelendiği pek çok ortam yüklerden bağımsızdır. Böyle kaynaksız homojen bir ortamda ( = = 0) elektromanyetik dalga yayılımı Maxwell denklemleri kullanılarak elde edilen dalga denklemi ile açıklanır. ×E=− × × H =− ×H=− × × × =− E+σE (− +σ ) Burada aşağıda verilen vektör özdeşliği kullanılırsa şu ifade elde edilir: . − E=− − +σ = Özel durumda iletken olmayan σ = 0 ve içerinde kaynak bulundurmayan için . = 0 olacağından dalga (Helmholtz) denklemi ifadesi elde edilir: = . = E+ .( )=0 =0 . =0 = 0 ortam Dalga denklemi ifadesi benzer şekilde manyetik alan vektörü içinde yazılabilir: × × × =− =− × . × − H= ( H+ × = × = +σ (− ) )= − H=0 Burada = parametresi ortamın yayılma sabiti (bazen faz sabiti, dalga sayısı olarak) isimlendirilir. Kayıpsız bir ortamda ve gerçek sayılar olacağından yayılma sabiti de gerçek sayı olacaktır. Buna göre Helmholtz denklemi genel ifadesi E+ E=0 olarak bulunur. Örnek olarak sadece bileşenine sahip, ve yönlerinde düzgün (yani değişmeyen ⁄ = = 0) bir elektrik alan için Helmholtz denklemi ifadesi + şeklinde ifade edilebilir. =0 Bu denklemin çözümü sonucunda elektrik alan ifadesi = + Bu çözüme göre dalga denkleminin genel çözümü gelen (+z yönünde) ve yansıyan dalgaların (-z yönünde) toplamıdır. Bu çözüm zaman bölgesinde (time domain) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: = cos( − ) + cos( + ) Dalga üzerinde belirli bir noktayı belirlemek için − = sabit olmak üzere zaman ilerledikçe +z yönünde hareket edilmelidir. Faz hızı olarak isimlendirilen dalganın hızı, ilerleyen dalga üzerinde sabit fazda bir noktanın hızı ile ölçülür. − 1 = = = = = Serbest uzayda (boşlukta) dalga hızı, ışık hızına eşittir: 1 1 = = = 2,998 × 10 4 × 10 . 8,854 × 10 Dalga boyu , belirli bir zamanda dalga üzerindeki iki ardışık maksimum (veya minimum) arasındaki uzaklık olarak tanımlanır. − − − + =2 = = 2 = 2 = 2 2 = Not: Mükemmel dielektrik malzeme için σ = 0 olup ortam yayılım sabiti bulunur. Bu durum aşağıdaki gibi değerlendirilebilir: = → = + → =0 = olarak = Bu sebepten mükemmel dielektrik ortamda elektrik ve manyetik alanlar için zayıflama yoktur. Ortamın karakteristik empedansı = , = , = ( ) olur ve H ile E aynı fazdadır. ( ) Serbest uzayda mükemmel dielektrik bir ortamdır. Dielektrik ve manyetik geçirgenlik değerleri kullanılarak öz empedansı ve dalga hızı hesaplanabilir Elektrik ve manyetik alan vektörlerinden biri bilindiğinde diğeri Maxwell denklemleri yardımıyla elde edilebilir. Buna göre manyetik alan ifadesi şöyle bulunur: ×E=− H = = Burada = = = 1 + − ⁄ parametresi ortamın öz empedans değeridir. Elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin oranı dalga empedansı olarak isimlendirilir. Düzlem dalgalar için dalga empedansı, ortamın öz empedansına eşittir. Serbest uzayda öz empedans değeri aşağıda gösterildiği gibi hesaplanabilir: = = 377 ℎ Kayıplı Ortamda Elektromanyetik Dalga Yayılımı Mükemmel bir dieletrik malzeme için iletkenlik σ = 0 olur. Ortam iletkenliği σ olan bir iletkense, Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir: × =− × = +σ Bu denklemler kullanılarak dalga denklemi × × =− × =− . − E=− E+ − 1− E+σ σ +σ = − σ =0 şeklinde elde edilir. Buna göre yayılma sabitinin karesi σ = 1− olarak bulunur. Bu ifade yardımıyla ortamın yayılma sabiti karmaşık formda = + = 1− şeklinde tanımlanır. Burada σ zayıflama katsayısı ve faz sabitidir. Örnek olarak yine sadece bileşenine sahip, ve yönlerinde düzgün (yani değişmeyen ⁄ = = 0) Helmholtz denklemi elektrik alan ifadesi = + şeklinde yazılabilir. Burada yayılma sabiti = zaman bölgesine (time domain) cos( − ) olarak dönüştürülürse Helmholtz denklemi = cos( − )+ cos( + ) şeklinde elde edilir. Bu ifade faz hızı = / ve dalga boyu = 2 / olan, üstel zayıflama çarpanına sahip +z yönünde ilerleyen ve –z yönünde geri dönen dalgayı temsil etmektedir. Denklemde mesafe ile zayıflama oranı zayıflama sabiti ile gösterilmiştir. Denklemde kayıp terimi kaldırılırsa (σ = 0) = , = 0 ve = olarak bulunur. Ortamın kayıplı olması karmaşık geçirgenlik parametresi ile ifade edilebilir. = + × = = σ 1− +σ = + + = 0 ve Yukarda verilen denklemler = sabiti ile düzenlenirse yayılım sabiti = = = = = − − − karmaşık dielektrik geçirgenlik malzemenin kayıp tanjantı olmak üzere = (1 − olarak elde edilir. Elektrik alana eşlik eden manyetik alan ifadesi ise = = − − şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda ortamın öz empedansı = olarak bulunur. Böylece manyetik alan ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir: = 1 − İyi İletkende Düzlem Dalgalar Eğer çalışılan frekans değerinde malzemenin iletkenlik parametresi sağlıyorsa malzeme iyi iletken olarak sınıflandırılır. ≫ şartını Uygulamada birçok problemde iyi fakat mükemmel olmayan iletkenden kaynaklanan kayıp ve zayıflamalar görülür. İyi iletken içinde iletkenlik akımı, yer değiştirme akımından çok daha büyüktür. Bu durum ≫ olarak ifade edilir. İyi iletken malzeme için iletkenlik yerine > olduğu kabul edilerek = + σ ≈ = (1 + ) 2 elde edilir. Bu durumda deri kalınlığı (nüfuz derinliği) = 1 = 2 olarak tanımlanır. İletken içerisinde deri kalınlığı kadar ilerleyen elektromanyetik dalganın genliği = = değerinde yani 1/e veya %36.8 kadar azalır. Serbest Uzayda Dalga Yayılımı Kaynaksız ortam Maxwell denklemleri +z yönünde ilerleyen elektromanyetik dalga Serbest Uzayda Dalga Yayılımı (2) Yayılım hızı Ortam yayılım sabiti (dalga sayısı) Dalga boyu Maxwell denklemleri (fazör form) Serbest Uzayda Dalga Yayılımı (3) Dielektrik Ortamda Dalga Yayılımı Ortam yayılım sabiti (dalga sayısı) Dielektrik Ortamda Dalga Yayılımı (2) Özel durumda kayıpsız dielektrik ortam (mükemmel dielektrik) için İletken Ortamda Dalga Yayılımı İletken Ortamda Dalga Yayılımı (2)