Bazı Görsel İspatlar (Proof Without Words)

GÖRSEL İSPATLAR
(Proof Without Words)
Abdilkadir ALTINTAŞ
Emirdağ MZS Anadolu Lisesi
[email protected]
1
İÇİNDEKİLER
2. Yöntem…………………………………………………………………..……….….…4
2.1 Temel Kavramlar….……………………………………………………...…………4
2.1.1 Alan Eşitliği Kullanarak Görsel İspat………………………………………4-8
2.1.2 Simetri Kullanarak Görsel İspat………..………….………….………..…9-11
2.1.3 Birkaç Kopya Kullanarak Görsel İspat………….……………………….11-14
2.1.4 Diğer Teoremlerin Sonucunu Kullanarak Görsel İspat….……….……...15-16
2.1.5 Sonsuz için Limit Alarak Görsel İspat……………….…….….……........17-19
2.1.6 Dönme Kullanarak Görsel İspat…...………………….………….……….....20
2.1.7. Birim Çember Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler için Görsel İspat….......21
2.2. Kullandığımız Materyallerden Örnekler……………………………………........22
2.2.1. Dairenin Alanı………………………….………………………………........22
2.2.2. Üçgenin Alanı…….…………………….………………………………........25
2
2. Yöntem:
2.1 Temel Kavramlar
Matematikte ispat yöntemleri temel olarak Tümevarım ve Tümdengelim olmak üzere
ikiye ayrılır. Tümdengelim yöntemi dolaylı ve doğrudan ispat olmak üzere ikiye ayrılır. Ters
Durum ispatı, Olmayana Ergi ( Çelişki), Aksine örnek vermek ve Deneme Yöntemi dolaylı
ispat yöntemleridir. (Şekil 2.1.1)
Şekil 2.1.1
Bu çalışmamızda cebirsel ispatlar yerine, Alan eşitliği, simetri,
kopyalama ve sonsuz için
limit alma ve önceki teoremlerin sonuçlarını kullanma tekniklerini kullanarak elde ettiğimiz
görsel ispatları sunacağız.
2.1.1 Alan Eşitliği Kullanarak Görsel İspat
Burada kullanacağımız teknik verilen bir geometrik şekli, alanı iyi bilinen bir geometrik
şekle dönüştürmektir. Bu dönüşümü yaparken düzlemdeki katı hareketlerden yararlanacağız.
(Yansıma, Öteleme ve Dönme). Elde ettiğimiz ikinci şekille, birinci şeklin alanı aynı
olacaktır.
3
Teorem 2.1.1.1: İç teğet çemberinin yarıçapı r, yarı çevresi u olan üçgenin alanı u.r dir.
(Şekil 2.1.1.1)
Görsel İspat:
Şekil 2.1.1.1
Teorem 2.1.1.2: sin      sin  .cos   sin  .cos  dır. (Şekil 2.1.1.2)
Görsel İspat 1: Bir kenarı 1 br. olan eşkenar dörtgen kullanalım.
Şekil 2.1.1.2
Eşkenar dörtgenin alanı ile sağdaki şeklin alanı eşittir.
1.1.sin      sin  .cos   sin  .cos 
4
Görsel İspat 2: Üçgenin trigonometrik alan formülünü kullanalım. (Şekil 2.1.2.3)
Şekil 2.1.2.3
1
1
1
ab sin(   )  ay sin   by cos 
2
2
2
1
1
1
ab sin(   )  ab cos  sin   ba sin  cos 
2
2
2
sin(   )  cos  sin   sin  cos 
Teorem 2.1.1.3: Bir ABC dik üçgeninde AB  b' , AE  b, DE  a, DE  a ' ,  DE  / / CB 
olmak üzere,
b a

b a
dür. (Şekil 2.1.1.4)
5
Görsel İspat:
Şekil 2.1.1.4
Taralı alanların eşitliğinden,
ba  ba 
a b

a b
dür.
Teorem 2.1.1.4: (Pisagor Teoremi) Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin
toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. (Şekil 2.1.1.4)
Görsel İspat:
4.
ab 2
2
 c   a  b   c2  a 2  b2
2
Şekil 2.1.1.4
6
Biz de deltoidi dikdörtgene dönüştürüp,
alan eşitliğini kullanarak deltoid in alanı için görsel
ispat oluşturduk.
Teorem 2.1.1.5: Köşegen uzunlukları e ve f br. olan deltodin alanı
e. f 2
br dir. (Şekil 2.1.1.5)
2
Görsel İspat:
Şekil 2.1.1.5
2.1.2 Simetri Kullanarak Görsel İspat
Teorem 2.1.2.1: Bir ABC dik üçgeninde iç teğet çemberin hipotenüs üzerinde ayırmış olduğu
uzunluklar x,y olmak üzere, A(ABC)=xy br2 dir. (Şekil 2.1.2.1)
7
Görsel İspat: Verilen şeklin hipotenüse göre simetriğini alıp alan eşitliği uygulayalım.
Şekil 2.1.2.1
Biz de simetri kullanarak aşağıdaki teoremlere görsel ispat oluşturduk.
Teorem 2.1.2.2: A açısı dik açı olan bir ABC dik üçgeninde A köşesinden hipotenüs üzerine
çizilen dikme, hipotenüsü H noktasında kessin.
AH  h,
BH  p,
CH  k
olmak üzere, h2  pk dır. (Şekil 2.1.2.2)
Şekil 2.1.2.2
8
Görsel İspat: BC kenarına göre simetri alıp, H noktasına göre iç kuvvet yazalım. (Şekil
2.1.2.3)
h.h  pk
Şekil 2.1.2.3
Teorem 2.1.2.3: Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB  AC dir. BC kenarı üzerinde alınan bir G
noktasından AB ve AC kenarlarına çizilen yüksekliklerin toplamı, ikizkenarlara ait olan
yüksekliğe eşittir. (Şekil 2.1.2.4)
h1  h2  h
Şekil 2.1.2.4
9
Görsel İspat: DBG üçgeninin BG kenarına göre simetriğini alalım. (Şekil 2.1.2.5)
h1  h2  h
Şekil 2.1.2.5
2.1.3 Birkaç Kopya Kullanarak Görsel İspat
Bir geometrik şeklin bir veya daha fazla kopyası kullanılarak görsel ispat oluşturulabilir.
Teorem 2.1.3.1: 1 den n ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı
n  n  1
dir.
2
Görsel İspat: 1 den n ye kadar olan pozitif tamsayıları temsilen aşağıdaki şekli oluşturalım.
(Şekil 2.1.3.1)
Şekil 2.1.3.1
10
Şimdi bu şeklin bir kopyasını şekildeki yerleştirelim. (Şekil 2.1.3.2)
Şekil 2.1.3.2
İstediğimiz toplam Şekil 2.1.3.2 deki nokta sayısının yarısıdır.
1  2  3  ...  n 
n  n  1
2
dir.
Teorem 2.1.3.2: 1 den 2n-1 e kadar olan pozitif tamsayıların toplamı n 2 dir.
Görsel İspat: 1 den 2n-1 e kadar olan pozitif tamsayıları temsilen aşağıdaki şekli oluşturalım.
(Şekil 2.1.3.3)
Şekil 2.1.3.3
Bu şeklin 4 kopyasını kullanarak Şekil 2.1.3.4 ü elde edelim.
11
Şekil 2.1.3.4
İstediğimiz toplam bir kenarı 2n br. olan karedeki nokta sayısının
 2n 
1  3  5  ...  2n  1 
4
1
üdür. O halde,
4
2
 n2
dir.
1 den 3n-2 ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı için aşağıdaki görsel ispatı oluşturduk.
Teorem 2.1.3.3: 1 den 3n-2 ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı
n  3n  1
dir.
2
(Şekil 2.1.3.5)
Görsel İspat:
Şekil 2.1.3.5
12
1  4  7  ...  3n  2 
n  3n  1
2
Teorem 2.1.3.4: Taban uzunlukları a ve c, yüksekliği h br. olan yamuğun alanı,
ac
.h
2
br2 dir. (Şekil 2.1.3.6)
Şekil 2.1.3.6
Görsel İspat: ABCD yamuğunun bir kopyasını kullanarak paralelkenar elde edelim. Yamuğun
alanı paralelkenarın alanının yarısıdır. (Şekil 2.1.3.7)
S
a  c h
2
Şekil 2.1.3.7
13
2.1.4 Diğer Teoremlerin Soncunu Kullanarak Görsel İspat
Bu bölümde sonucu bazı teoremlerin sonuçlarını kullanarak görsel ispatlar oluşturacağız.
Teorem 2.1.4.1: (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği) Pozitif x,y reel sayıları için,
x  y  2 xy
dir.
Görsel İspat: “Bir dik üçgende en uzun kenar hipotenüstür.” bilgisini kullanalım. (Şekil
2.1.4.1)
x y
x y
2 xy
Şekil 2.1.4.1
Eşitlik durumunun x  y , yani x=y için sağlandığı açıktır.
Teorem 2.1.4.2: (Sinüs Teoremi) Köşeleri A,B, ve C olan bir üçgenin açıları sırası ile  ,  , 
olsun.
AC
sin 

AB
sin 
dır. (Şekil 2.1.4.2)
Şekil 2.1.4.2
14
Görsel İspat: Bir kenarı 1 br. ve yükseklikleri eşit olan şekildeki paralelkenarların alan
eşitliğini kullanalım. (Şekil 2.1.4.3)
1
1
1. AB sin   1. AC sin 
2
2
AB
sin 

AC
sin 
Şekil 2.1.4.3
Elde ettiğimiz sonuç ABC üçgeni için sinüs teoremidir
15
2.1.5. Sonsuz İçin Limit alarak Görsel İspat
Teorem 2.1.5.1: Yarıçapı r br. olan dairenin alanı  r 2 dir. (Şekil 2.1.5.1)
Görsel İspat:
A
1
2 r.r   r 2
2
16
1 1 1
4
Teorem 2.1.5.2: 1   2  3  ...  tür.
4 4 4
3
Görsel İspat: Bir kenarı 1 br. olan kare kullanalım. Kareyi 4 e bölüp, bu parçalardan 3 ünü
boyayalım. Bu işlemi sonsuza kadar devam ettirirsek karenin tamamını boyamış oluruz.
( Şekil 2.1.5.2)
1
64
1
16
1
4
1
64
1
16
1
16
1
4
1
64
1
4
3 3 3
   ...  1
4 16 64
3 1 1

1   2  ...   1
4 4 4

1 1
4
1   2  ... 
4 4
3
Şekil 2.1.5.2
17
1
1
1
1
Teorem 2.1.5.2: 1  2    3    4    5    ...  4 tür.
 2   4   8   16 
Görsel İspat: Bir kenarı 2 br. olan kare kullanalım. ( Şekil 2.1.5.3)
2
Şekil 2.1.5.3
18
2.1.6. Dönme kullanarak Görsel İspat
Teorem 2.1.4.1: Bir eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir P noktasından kenarlara
çizilen yüksekliklerin toplamı eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir. (Şekil 2.1.6.1)
h1  h2  h3  h
Şekil 2.1.6.1
Görsel İspat:
Şekil 2.1.6.2
19
2.1.7. Birim Çember Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler için Görsel İspat

Teorem 2.1.7.1:    0,  olmak üzere,
 2
tan  
sin 2
1  cos 2
dır.
Görsel İspat: Birim çember kullanalım.(Şekil 2.1.7.1)
tan  
sin 2
1  cos 2
Şekil 2.1.7.1
Bizde birim çember yardımıyla sinüs için yarım açı formülünü şekildeki gibi elde ettik.
Teorem 2.1.7.2: sin 2  2sin  cos  dır.
Görsel İspat: ABC üçgeninin alanını iki farklı yoldan hesaplayalım (Şekil 2.1.7.2)
A( ABC ) 
2.sin 2 2sin  .2 cos 

2
2
sin 2  2sin  .cos 
Şekil 2.1.7.1
20

Download Report