ÖZEL SERVERGAZİ LİSESİ
2007
V. M A T E M A T İ K
O L İ M P İ YAT I
1.
AŞAMA
SORU ÇÖZÜMLERİ
1.
İfadeyi şu şekilde yazalım;
4.
Soruda verilenlere göre oluşacak yeni şekil;
(x2 – 6x + 9) + (4x2 – 12xy + 9y2) = 0
(x – 3)2 +(2x – 3y)2 = 0
Tam kare ifade 0 dan büyük-eşit olduğundan
olur.
x = 3 , y = 2 bulunur.
5.
2.
6.
(x2 + 8x + 15)(x + 4) = (x + 3)(x + 4)(x + 5)
= 221 ise 221 asal olduğu için çözüm yoktur.
7.
kxk lık bir kare bu şekilde;
(11 – k).(16 – k) tane bulunur. Çünkü bir
kenarı k uzunluklu olan bir karenin kenarı 10
uzunluklu kenardan 1’den 2’den ... (11 – k)
3.
den başlayarak seçilebilir. 15 likten de benzer
şekilde seçilebilir. O halde cevap;
10.15+9.14+8.13+7.12+6.11+5.10+4.9+3.
8+2.7+1.6 = 660 bulunur.
8.
Koyunun yiyebileceği otlar dolayısıyla ot yiyebildiği alan 4 katına çıkmaktadır. Alan, yarıçapın karesiyle doğru orantılı olduğu için yarıçap 2 katına çıkmalıdır. 2.120 = 240 cm dir.
2
9.
2, 3, 4 ve 5 basamaklı palindrom sayıları bu-
12. 625 = 54 olduğundan;
lalım.
54x+4 ifadesini bulmalıyız.
2 basamaklılar; onlar basamağına 9 sayı, bir-
⇒ 53x . 5–3 = 8
ler basamağına tek sayı gelebilir ve 9 tane.
⇒ 53x = (5.2)3
3 basamaklılar; yüzler basamağına 9, onlar
⇒ 5x = 5.2 ise 54x = (5.2)4 = 104
basamağına 10, birler basamağına tek sayı
⇒ 54x+4 = 625.104
gelebilir (yüzler basamağındaki sayı).
6250000 sayısı 7 basamaklıdır.
9.10 = 90, benzer mantıkla;
4 basamaklılar; 9 10 1 1 = 90 sayı
5 basamaklılar; 9 10 10 1 1 = 900 sayı
900 + 90 + 90 + 9 = 1089 tane palindrom
13.
sayı vardır.
10. k(k + 1) = k2 + k olduğundan ;
42 + 4 + 52 + 5 +...+ 302 + 30 =
42 + 52 +...+ 302 + 4 +...+ 30 =
42 + k +
– (1 + 2 + 3) =
k + 481 – 6 = k + 475 bulunur.
14. 4x + 2.6x + 9x = (2x)2 + 2.2x.3x + (3x)2
= (2x + 3x)2 = 16 bulunur.
2x ve 3x ifadeleri pozitif olduğu için,
2x + 3x pozitif sayıdır.
(2x + 3x)2 = 42
⇒ 2x + 3x = 4
bulunur.
11.
15.
3
16. x = y + z , y = x – z , z = x – y olduğu için
20. Bu ifade bir reel sayı ise;
bu ifadeleri yerine koyarsak;
[(y + z)(x – z)(x –
y)]5
=
(xyz)5
nin kök içindeki ifadeleri ≥ 0
=
(–2)5
olmalıdır. a = 6 ise A = –1 dir.
= –32
bulunur.
21.
17.
22. a = 13 ⇒ a5 = 13a4
⇒ a5 – 14a4 + 14a3 – 14a2 + 14a – 5
= –a4 + 14a3 – 14a2 + 14a – 5 olur.
Benzer şekilde;
a4 = 13a3 olup –a4 + 14a3 – 14a2 + 14a – 5
18.
= a3 – 14a2 + 14a – 5
⇒ a3 = 13a2 olduğundan
⇒ a3 – 14a2 + 14a – 5 = –a2 + 14a – 5
⇒ a2 = 13a yazarsak;
–a2 + 14a – 5 = +a – 5 = 8 bulunur.
23. Bu kişilerin ödedikleri paraları İ, Ö, B, G ve S
ile gösterelim. Toplam 120 TL ödediklerine
göre,
19. Soruyu denkleme dökersek;
(a + b)(a + 2b) + 19 = b(5a + 8) + 3
a2 + 2b2 + 3ab + 16 = 5ab + 8b
(a – b)2 + (b – 4)2 = 0 bulunur. Buradan;
a = b = 4 olup b.(5a + 8) + 3 = 115 bulunur.
4
İ + 3İ = 120 ⇒ İ = 40
Ö + 4Ö = 120 ⇒ Ö = 24
B + 5B = 120 ⇒ B = 20
G + 7G = 120 ⇒ G = 15
⇒ İ+Ö+B+G = 99 ⇒ Serdal 21 TL ödemiştir.
24. Bu denklem ile hareket ediyorsa cisim t
sürede
2t2
28. Hamza
+ t + 2 metre yol alır.
⇒ t = 2 ise
2.22
Mehmet
Hasan
Can
20
20+x
20+2x
20+y
+ 2 + 2 = 12 metre bulunur.
⇒ (20 + y) + 2y = 20 + 2x ⇒ 3y = 2x olur.
⇒ Hasan, Hamza’dan 6 yaş büyükse
⇒ 3y = 2y + 12
x–y=6
⇒ y = 12 , x = 18
Can’ın yaşı; 20 + 2x = 56 dır.
29.
A1
B1
25. y sayısını tutmuş olsun;
B2
A2
y → 3y → 3y+x ⇒
A3
B3
⇒
B
⇒
C
Tabanı BA, BA2, BA3 ve diğer iki kenarı da,
CA1, CB1, CB2, CB3 ten olan üçgenler;
Tabanı CA1, CB1, CB2, CB3 ten biri; diğer iki
kenarı BA1, BA2, BA3 ten ikisi olan üçgenler;
26. Prizmanın boyutları axbxc olsun ve a ≥ b ≥ c
diyelim. a.b.c = 8 dir. axb yüzlerini 1, axc yüz-
Son olarak tabanı CB olan ve bir kenarı CA1,
CB1, CB2, CB3 diğeri BA1, BA2, BA3 ten gelen
üçgen sayısı;
lerini 2, bxc yüzlerini 4 TL’ye boyayalım ki en
az maliyetli olsun.
Aritmetik – Geometrik ortalama eşitsizliğinde,
2(ab + 2ac + 4bc) ≥ 2(3.
Toplam 18 + 12 + 12 = 42 üçgen vardır.
) = 48
bulunur.
30. Tüm iki elemanlı alt kümeler
tanedir.
5 ile bölünmeyen alt kümelerin sayısı ise her
iki elemanın da 5 ile bölünmemesi gerektiğinden sayısı
27. (a + 2)(a + 2) – a2 = 120 olmalıdır.
dir.
5 ile bölümeyen 80 sayı vardır.
⇒ (a + 2)2 – a2 = 2(2a + 2) = 120
⇒ 2a + 2 = 60 ⇒ a = 29 bulunur.
5
• • • • •
31.
34. 30 doğru ile 120 puan
1 TL’leri • ile gösterirsek; yukarıda • sembol-
29 doğru ile 116 puan
lerin arasına çubuk koyarak bu paraları gün-
29 doğru, 1 yanlış ile 115 puan
lere dağıtabiliriz. Örneğin;
28 doğru ile 112 puan
• • • • • sembolü 1. gün 1, 2. gün 2, 3. gün
28 doğru, 1 yanlış ile 111 puan
3 tane para harcamışız anlamına gelir.
28 doğru, 2 yanlış ile 110 puan
4 tane aralığa çubuk koyabiliriz, koymayabili-
27
.. doğru ile 108 puan
.
riz: 2.2.2.2 = 24 = 16
değişik şekilde har-
27 doğru, 3 yanlış ile 105 puan
cayabilir.
26 doğru ile 104 puan olur.
Bundan sonraki her puan –30’a kadar alınır.
⇒ –30, –29, ..., 0, ..., 108, 110, 111, 112, 115,
116, 120 puanları alınabilir.
Alınabilecek 145 puan vardır. Sınava 146 kişi
girmelidir.
32. AB.CB = 3.37.D olup 37|AB.CB den 37 asal
olduğu için AB ve CB den biri 37 ile bölünmelidir. 37|AB olsun. AB = 37, 74 olabilir.
AB = 37 ise 3|CB olup 3|C7 yani C = 2, 5, 8
olabilir. C = 2 ise 27.37 = 3.37.9 = 3.37.D
⇒ D = 9 bulunur. C = 5, 8 için
35.
olan k’larda kesir
D > 9 olur. Diğer taraftan AB = 74 ise 3|C4
yani C = 2, 5, 8 olabilir.
Fakat, 2.37.CB = 111D ⇒ 2.CB = 3D olup
CB ≥ 24 olduğundan D > 9 olur.
basit kesir olup
k = 1, ..., 158 den cevap 158 bulunur.
D = 9, A = 3, B = 7, C = 2 den
A + B + C + D = 21 bulunur.
36. n|30 olmalıdır. Cevap 4 bulunur.
33. Paydaları eşitlersek; 2(x2+y2) = 3xy olup
2x2+2y2 = 3xy ⇒ 4x2 + 4y2 = 6xy den
(2x – 2y)2 = –2xy den tam kare ≥ 0 olduğundan
(2x – 2y)2 = –2xy ≥ 0 ⇒ x ve y den biri ≤ 0
diğeri ≥ 0 olmalıdır.
37. Bu 10 basamaklı sayı (mod 9)’da 4’e denk
olur. Karesi ise 16’ya yani 7’ye denk olur.
x2 ≡ 7(mod 9) ise şıklarda (mod 9)’da 7’ye
denk olan tek sayı 52 olduğundan cevap 52
bulunur.
6
38. 2.BMC = BAC olduğundan MB dış açıortaydır.
42. CB’yi B yönünde 4 br azaltalım ve uzatmanın
İki dış açıortay ile bir iç açıortay tek noktada
son noktasını X ile isimlendirelim. Bu durum-
kesiştiğinden MA’da dış açıortay olup
da |DC|=|EC| ve |XC|=|AC| olduğundan
MëAB = 62° buradan MëNA = 62° olur.
DE // AX olup EDC = 2β dersek AXD = 2β ve
MëBN = 34° den 180 – 2.34 = 112° = α bulu-
A¿DX üçgeninin XD kenarını dik eşit iki parça-
nur.
ya böldüğünden ADX ikizkenar, ADX = 2β
bulunur. |AE|=|ED| olduğu için ADE = β
olur. X, D, C doğrusal olup
5β = 180° ⇒ β = 36° bulunur.
m(BëCA) = 180° – 4β = 36° bulunur.
39. Şekildeki gibi açıları yazdığımızda BDE ikizkenar üçgen olup |BD|= 6 cm bulunur.
cm2 bulunur.
A(BDC) =
43. AëOT = 2α+β , TëOB = β , BëOC = 2α
olarak isimlendirdiğimizde
TëOK = α+β =
bulunur.
40. BC üzerinde bir x noktası alalım. Öyle ki;
XëAC = 20° olsun. ⇒ AëXB = 40° olduğundan
A¿BX ikizkenardır. |XH|= 1 ⇒ |BX|= 2 olduğundan |BD|=|XC| olur.
|XC|=|AX|=|AB|’de |AB|=|BD| bulunur.
BëAD = 70° olup BAH = 50° ve α = 20° bulunur.
44. C merkezli ve B, D, E den geçen bir çember
çizilebilir.
41. M noktasını G’ye kaydırırsak A(KBC) = 15 cm2
olur. A(KLC)’yi bulacağız. G ağırlık merkezi ve
KL // BC olduğundan;
olup A(AKC) = 30 cm2 ise
buradan
⇒ DëBE = β ise DëEC = 2β bulunur.
DëEC = 18° ise DëCB = 36° olur.
|DC|=|CB|’den DBC = 72° bulunur.
⇒ 72 + 50 + 36 + 2β = 180°
β = 11° bulunur.
7
45. AT // DE olacak şekilde BC üzerinde bir T nok-
47.
A
tası alalım.
1
K
3
A
T
D
14
x+4
4
.
B
x+2
V
O
x
7
B
4
3
E
C
x
T
x
C
L
AC, B¿AC’nın açıortayı olduğundan A¿B C ikiz-
BD = DA olduğundan |AT|= 14 cm bulunur.
kenardır. A’ya göre kuvvet alırsak,
BE = x+2 ise CT = x ve |AC|= x+4 olur.
1.9 = AT2 = AV2 ⇒ AT = AV = 3 cm olur.
A¿CT de kosinüs teoreminden;
BT = BL = x dersek, BO açıortay olduğu için
(x+4)2
⇒
2x2
+
x2
– 2x(x+4).cos120° =
142
+ 8x + 16 + x2 + 4x = 196
⇒ 3(x2 + 4x) = 180 ⇒ x2 + 4x = 60
⇒
(x+2)2
Üçgen ikizkenar olduğundan (12+15).2 = 54
bulunur.
= 64
⇒ x+2 = 8 ⇒ x = 6
⇒ A(ABC) =
48.
A
46. D’den AB’ye inilen dikin ayağına X diyelim.
X
6
.
30°
B
A
.
3
.
T
D
.
8
Y
10
6
3
6
8
x
C
4
C’den BD’ye dik çekersek ve bu dikin ayağına
B
C
D
X dersek, |CX| = 3 olur. A’dan BD’ye inilen
dikin ayağına Y dersek, |AY|= 3 olduğundan
DX // AC olduğundan ve BC = CD olduğun-
BY = DX =
dan |DX|= 8 cm ve |AX|= 6 cm olur.
Diğer taraftan XC // AY’den A¿YT ~ T¿XC ve
Pisagor teoreminden;
AY = XC’den YT = TX bulunur. YT = 8 bulu-
|AD|= 10 cm olup diğer tarafta B¿AC’de pisa-
nur ve pisagordan;
gor teoreminden, |AC|= 4 olup 4.10 = 40
AT =
bulunur.
8
olup BD = YX = 16 olur.
49.
80°
A
80° 20°
Y
P
30°
B
30°
30°
10°
X
20°
20°
C
AP ∧ BC = {X} olsun. ⇒ AB, A¿XC nin dış
açıortayıdır. CP’de iç açıortay olduğundan
CP ∧ AB = {Y} dersek, YX de dış açıortay
olur. ⇒ AXB = 60° den YXA = YXB = 30° bulunur. Diğer taraftan XPC = 40° ve YBX = 40°
olduğundan YPXB kirişler dörtgenidir.
⇒ PXY ve YBP açıları aynı yayı gördüğünden
YBP = 30° ve PBC = 10° bulunur.
50.
B
α α
M
X
2α
. Y.
..
α
A
α
D
C
BD ∧ CM = {Y} ise diklik ve açıortaydan
MY = YC ve BM = BC olur.
⇒ MA = BC dir. BA üzerinde bir X noktası
alalım, öyle ki; XCA = α olsun.
⇒ AX = XC = CB olur (açılardan).
⇒ AX = CB olur. ⇒ X = M bulunur.
⇒ YCB = 90 – α olduğundan
α + 2α +(90–α) + α = 90 + 3α = 180°
⇒ α = 30° olup, en küçük açı 30° dir.
9
© Copyright 2024 Paperzz
