close

Enter

Log in using OpenID

Ayrıntılar İçin Tıklayınız.

embedDownload
i
Prof. Dr. Mahmut Koçak
http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/
ii
Bu kitabın basım, yayım ve satı¸s hakları
Kitabın yazarına aittir.
Bütün hakları saklıdır.
Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri
yazarın yazılı izni olmadan
Elektronik, optik, mekanik ya da di˘ger yollarla
basılamaz, ço˘galtılamaz ve da˘gıtılamaz.
Copyright 2014
All rights reserved
No parts of this book may be printed,
Reproduced or distributed by any
electronical, optical, mechanical or
other means without the written
permission of MAHMUT KOÇAK.
Kapak Düzeni: Mahmut KOÇAK
Tasarım-Dizgi: Mahmut KOÇAK
ISBN 000-0000-0000-0-0
2. Baskı
———–, Eski¸sehir, 2014
Mahmut Koçak tarafından LATEX kullanılarak hazırlanmı¸stır.
Typesed by Mahmut Koçak using LATEX.
˙Içindekiler
iii
˙I ç i n d e k i l e r
Ö n sö z
1
viii
Bölüm 1
Sayı Kümeleri
1.1
Real Sayılar 2
1.2
1.3
Aralıklar 5
Üstlü ˙Ifadeler 6
1.4
˘
Bir Reel Sayının Mutlak Degeri
10
1.5. Alı¸stırmalar 11
13
Bölüm 2
Denklemler ve E¸sitsizlikler
2.1
Denklemler 14
2.2
˘ skenli Lineer Denklemler 15
Tek Degi¸
2.3
˘ skenli Lineer E¸sitsizlikler 18
Tek Degi¸
2.4
˘ skenli Denklemler 20
2. Dereceden Tek Degi¸
2.5
˘ skenli E¸sitsizlikler 27
2. Dereceden Tek Degi¸
2.6. Alı¸stırmalar 29
33
Bölüm 3
˘
Düzlem ve Dogrular
3.1
Dik (Kartezyen) Koordinat Sistemi 34
3.2
Düzlemde Uzaklık 34
3.3
˘
Düzlemde Dogrular
36
˙Iki Degi¸
˘ skenli Lineer Denklemler 44
˙Iki Degi¸
˘ skenli Lineer E¸sitsizlikler 46
3.4
3.5
3.6. Alı¸stırmalar 48
49
Bölüm 4
Fonksiyonlar
4.1
Fonksiyon 50
4.2
Fonksiyon Grafikleri 54
4.3
Parçalı Fonksiyonlar 58
4.4
˘ Fonksiyonu 61
Mutlak Deger
4.5
˘ Fonksiyonları 64
Tam Deger
Fonksiyonlarda Cebirsel ˙Is¸ lemler 67
4.6
4.7. Alı¸stırmalar 73
77
Bölüm 5
Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar
5.1
˙Ikinci Dereceden Polinomlar-Kuadratik Fonksiyonlar 78
˙Içindekiler
iv
5.2
Kuadratik Fonksiyonların Grafikleri: Paraboller 79
5.3
Polinomlar 84
5.4
Rasyonel Fonksiyonlar 92
5.5. Alı¸stırmalar 94
97
Bölüm 6
Fonksiyonların ˙Incelenmesi
6.1
Bire-Bir Fonksiyonlar ve Örten Fonksiyonlar 98
6.2
Monoton Fonksiyonlar 101
6.3
Ters Fonksiyonlar 103
6.4
Tek ve Çift Fonksiyonlar 107
6.5. Alı¸stırmalar 109
111
Bölüm 7
Fonksiyonların Ekonomideki Bazı Uygulamaları
7.1
Arz ve Talep Fonksiyonları 112
7.2
Maliyet Fonksiyonu 114
7.3
Gelir ve Kar Fonksiyonları 115
7.4
Kar-Zarar Analizi 117
7.5
Pazar Dengesi 124
7.6. Alı¸stırmalar 128
131
Bölüm 8
Limit Kavramı
8.1
Bir Noktada Sonlu Limitler 132
8.2
Bir Noktada Sonsuz Limitler 139
8.3
Sonsuzlukda Sonlu Limitler 141
8.4
Sonsuzlukda Sonsuz Limitler 143
8.5. Alı¸stırmalar 146
149
Bölüm 9
Süreklilik Kavramı
9.1
˘ 150
Bir Fonksiyonun Sürekliligi
9.2
Sürekli Fonksiyonlar Üzerinde Aritmetik ˙Is¸ lemler 156
9.3
˘ 157
Bile¸ske Fonksiyonların Sürekliligi
9.4
Süreksizlik Noktaları 157
9.5
[a, b] Üzerinde Tanımlı Sürekli Fonksiyonların Özellikleri 159
9.6
˘ Teoremi 160
Aradeger
9.7. Alı¸stırmalar 162
165
Bölüm 10
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
10.1
Genel Üstler 166
10.2
Üstel Fonksiyonlar 167
10.3
Üstel Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 167
˙Içindekiler
v
10.4
Logaritmik Fonksiyonlar 169
10.5
Logaritmik Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 170
10.6
Kuvvet Fonksiyonu 174
10.7
Elemanter Fonksiyonlar 174
10.8
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Limitleri 175
10.9
˘ 178
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Sürekliligi
10.10. Alı¸stırmalar 179
183
Bölüm 11
Türev Kavramı
11.1
˘ sim 184
Ortalama Degi¸
11.2
Türev Tanımı 186
11.3
Temel Türev Alma Kuralları 189
11.4
Ters Fonksiyonların Türevi 191
11.5
Bile¸ske Fonksiyonların Türevi-Zincir Kuralı 193
11.6
Üstel Fonksiyonların Türevi 195
11.7
Logaritmik Fonksiyonların Türevi 197
11.8
Yüksek Mertebeden Türevler 199
11.9. Alı¸stırmalar 201
203
Bölüm 12
Yerel Maksimum ve Minimum Noktaları
12.1
Tanım ve Temel Teoremler 204
12.2
Birinci Türev Testi 209
12.3
˙Ikinci Türev Testi 211
12.4
Konveks ve Konkav Fonksiyonlar 218
12.5. Alı¸stırmalar 222
225
Bölüm 13
Fonksiyon Grafiklerinin Daha Detaylı Çizimi
13.1
Asimtotlar 226
13.2
Fonksiyon Grafiklerinin Çizimi 227
13.3. Alı¸stırmalar 235
237
Bölüm 14
Ekonomi ve ˙Is¸ Hayatında Marjinal Analiz
14.1
Ortalama Maliyet ve Marjinal Maliyet Fonksiyonları 238
14.2
Ortalama Gelir ve Marjinal Gelir Fonksiyonları 241
14.3
Ortalama Kar ve Marjinal Kar Fonksiyonları 242
14.4
˘ 244
Talep ve Arzın Fiyat Esnekligi
14.5
Optimizasyon (En ˙Iyileme) Problemleri 247
14.6. Alı¸stırmalar 253
˙Içindekiler
vi
259
Bölüm 15
Üstel ve Logaritmik Modeller
15.1
Faiz Hesabı 260
15.2
Üstel Büyüme ve Yok Olma 269
˙Ikiye Katlama Süresi ve Yarılama Süresi 276
15.3
15.4. Alı¸stırmalar 279
281
Bölüm 16
Belirsiz ˙Integral
16.1
16.2
Belirsiz ˙Integral-Ters Türev 282
Temel ˙Integral Alma Teknikleri 295
16.3. Alı¸stırmalar 319
323
Bölüm 17
Belirli ˙Integral
17.1
Giri¸s 324
17.2
Riemann Toplamları 326
Bir Fonksiyonun Belirli ˙Integrali 331
Belirli (Riemann) ˙Integralinin Hesaplanması 333
Belirli ˙Integralin Temel Özellikleri 334
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
Alan Hesabı 339
Belirli ˙Integralin Bazı Uygulamaları 346
˘
Bir Fonksiyonun Ortalama Degeri
357
Has olmayan ˙Integraller 360
17.10. Alı¸stırmalar 365
371
Bölüm 18
Matrisler ve Matrisler Üzerinde Cebirsel ˙Is¸ lemler
18.1
Tanım ve Örnekler 372
18.2
18.3
Matrisler Üzerinde Cebirsel ˙Is¸ lemler 376
Matris ˙Is¸ lemlerinin Özellikleri 386
18.4
Bir Matrisin E¸selon Formu 395
18.5
Ters Matrisler 400
18.6
Determinant 402
18.7. Alı¸stırmalar 408
411
Bölüm 19
Lineer Denklem Sistemleri
19.1
Lineer Denklem Sistemleri 412
19.2
Yerine Koyma Metodu
19.3
Yoketme Metodu
19.4
Gauss Yoketme Metodu
19.5
Ters Matris Metodu 429
19.6
Leontief Giridi-Çıktı Analizi 431
413
415
422
˙Içindekiler
vii
19.7. Alı¸stırmalar 438
441
Bölüm 20
Lineer Programlama: Geometrik Yakla¸sım
20.1
20.2
˙Iki Bilinmeyenli Lineer E¸sitsizlik Sistemleri 442
˙Iki Karar Degi¸
˘ skenli LP Problemlerinin Geometrik Çözümleri 445
20.3. Alı¸stırmalar 469
Kaynaklar
Dizin
473
477
viii
Önsöz
Önsöz
Bu kitap üniversitelerin ˙Iktisadi ve ˙Idari Bilimler Fakültesi, Ziraat Fakültesi, Sa˘glık Bilimleri Fakültesi gibi de˘gi¸sik
fakültelerinin birçok bölümlerinde de˘gi¸sik isimlerle okutulan Genel Matematik derslerinin kapsamındaki konuları
içerecek s¸ekilde hazırlanmı¸stır. Bu kitap hazırlanırken mümkün oldu˘gunca teoriden kaçınılarak konulara sezgisel
olarak yakla¸sılmı¸s, konuların anla¸sılması için kavramlar çok sayıda örnekle desteklenmi¸stir.
Bu kitap yirmi bölümden olu¸smu¸stur. Bu bölümlerin içeri˘gi a¸sa˘gıdaki gibidir.
Birinci bölümde, reel sayı kümeleri kısaca tanıtılarak, bir reel sayının (25 , 32 gibi) tam üstleri ve reel sayların
mutlak de˘gerleri verilmi¸stir.
˙Ikinci bölümde, tek de˘gi¸skenli liner denklem ve lineer e¸sitsizliklerle iki de˘gi¸skenli lineer denklem ve lineer e¸sitsizlikler verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde, düzlemde do˘gru çe¸stleri ve do˘gru denklemleri ile iki de˘gi¸skenli lineer denklem ve iki de˘gi¸skenli
lineer b e¸sitsizlikler verilmi¸stir.
Dördüncü bölümde, fonksiyon kavramı ve basit fonksiyonların grafikleri verilerek sıkça kullanılan bazı temel
fonksiyonlar ile fonksiyonlar üzerinde cebirsel i¸slemler verilmi¸stir.
Be¸sinci bölümde, polinom ve rasyonel fonksiyonlar verilmi¸s ve ikinci dereceden polinom (kuadratik) fonksiyonları ve bunların de˘gi¸sik yazılımları ile kuadratik fonksiyonların grafiklerinin (parabollerin) basitçe nasıl çizilece˘gi
verilmi¸stir.
Altıncı bölümde, be¸sinci bölümde verilen fonksiyonların incelenmesi verilecektir. Bu bölümde bir fonksiyonun
bire-bir, örten, artan, azalan olması verilerek bu kavramlar arasındaki ili¸skiler verilmi¸stir.
Yedinci bölümde, fonksiyonların özellikle ekonomiye bazı uygulamaları verilecektir. Bu bölümde arz, talep,
maliyet, gelir ve kar fonksiyonları verilecektir.
Sekizinci bölümde, matemeti˘gin önemli konularından biri olan ve daha sonraki konulara temel te¸skil edecek
olan limit kavramı ve limitlerle ilgili kurallar verilecektir.
Dokuzuncu bölümde, limit kavramıyla yakından ili¸skili olan süreklilik kavramı ve süreklilikle ilgili aritmetik
i¸slemler verilecektir.
Onuncu bölümde, limit kavramı yardımıyla tam üsler kullanılarak (20 .5, 3π gibi) genel üsler tanıtılacaktır. Bu
bölümde genel üstler yardımıyla bilimin herdalında sıkça kullanılan genel üstel fonksiyonlar ve bu fonksiyonların
ters fonksiyonları olan logaritmik fonksiyonlarla bu fonksiyonların grafikleri ile temel özellikleri verilecektir.
On birinci bölümde, bir fonksiyonun ortalama de˘geri ve daha sonraki bölümlerde önemli uygulamaları bulunan
bir fonksiyonun türevi ve yüksek mertebeden türev kavramları tanımlanacaktır.
On ikinci bölümde, bir fonksiyonun yerel maksimumu ve yerel minimumu ile kapalı ve sınrlı aralıklar üzerinde
tanımlı olan fonksiyonların global maksimum ve minimumlarının türev yardımıyla nasıl bulunaca˘gı verilecektir.
On üçüncü bölümde, verilen bir fonksiyonun grafi˘ginin türev yardımıyla daha detaylı nasıl çizilece˘gini verece˘giz.
On dördüncü bölümde, türev kavramının bazı bilimdallarında özellikle ekonomideki uygulamaları ile türev kavramı
kullanılarak optimizasyon (eniyileme) problemlerinin çözümlerinin nasıl bulunaca˘gını görece˘giz.
On be¸sinci bölümde, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla olu¸sturulan modeller incelenecektir. Bu bölümde basit
faiz, birle¸sik faiz, sürekli birle¸sik faiz hesaplanaması verildikten sonra daha genel olarak üstel büyüme ve üstel yok
olma kavramları verilerek bunların uygulamaları verilecektir.
On altıncı bölümde türev kavramının tersi sayılabilecek belirsiz integral kavramı verilerek, telem integral alma
teknikleri verilecektir.
On yedinci bölümde, belirli integral kavramı verilerek belirli integralin belirsiz integral yardımıyla kolayca nasıl
bulunaca˘gını görece˘giz. Ay rıca bu bölümde bir fonksiyonun ortalama de˘geri ile belirli integralin bir genellemesi
ix
Önsöz
olan has olmayan integraller verilecektir.
On sekizinci bölümde, daha sonraki bölümde verilecek olan lineer denklem sistemlerin çözümünde kullanılacak
olan matris kavramı tanıtılacak, matrisler üzerinde cebirsel i¸slemler verilerek bir matrisin rankı ve determinantı gibi
kavramlar verilecektir.
On dokuzuncu bölümde, lineer denklem sistemleri ve bu sistemlerin çözüm metodları verilecektir. Daha sonra
denklem sistemlerinin bazı uygulamaları verilecektir.
Yirminci bölümde, iki bilinmeyenli lineer e¸sitsizlik sistemleri ve iki karar de˘gi¸skenli lineer programlama problemlerinin geometrik çözümleri ile bunların bazı uygulamaları verilecektir.
Eskisehir,
¸
2014
Prof. Dr. Mahmut KOÇAK
Email: [email protected]
http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
1
File Size
699 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content