OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Esra KÜRÜM 09.10.2014 Rassal Değişken (Random variable) • Ölçülebilen her türlü özelliğe değişken denir. • Birden fazla değer alabilen ve hangi değeri alacağı şans eseri belirlenen değişkene rassal (random) değişken denir. • Diğer bir ifadeyle rassal değişken deney sonuçlanmadan alacağı değer kesCrilemeyen, ancak deney yapıldıktan sonra aldığı değerler gözlemlene bilen değişkene denir. • Rassal değişkenleri isimlendirmek için X, Y, Z gibi büyük harfler kullanılır. • Rassal değişkenin alacağı değerler x, y, z gibi küçük harflerle gösterilir. Örnek • Bir futbol takımının yapacağı bir maçta atacağı gol sayısı • Bir para ile yapılan 10 aOşta gelecek yazı sayısı • Bir beyaz eşya mağazasında herhangi bir günde saOlan buzdolabı sayısı • Bir şeker fabrikasında herhangi bir günde üreClen şeker miktarı • Bir dolmuşun üniversite kampüsüne geliş süresi Rassal Değişken Çeşitleri • Süreksiz (discrete) rassal değişken • Sürekli (conCnuous) rassal değişken Süreksiz(discrete) rassal değişken • Aldığı değerler tam sayılarla ifade edilebilen değişkenlerdir. • Örnek: • Herhangi bir ailedeki çocuk sayısı, • Herhangi bir işletmede çalışan işçi sayısı, • İşletmede üreClen parça sayısı. Sürekli(continuous) rassal değişken • Aldığı değerler tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilmeyip bir değerler aralığı şeklinde ifade edilir. • Sürekli rassal değişkenin belli bir değeri tam olarak alması imkansızdır, yani P(X=c) = 0. Bu sebeple sürekli rassal değişkene ait değerler bir aralıkla ifade edilirler. • Örnek: • Herhangi bir kişinin ağırlığı, • Bir aracın belli bir andaki hızı, • Bir aracın belli bir gündeki tükeWği yakıt miktarı. Olasılık Dağılımları • Bir deney için olabilecek tüm sonuçlar ile bunların gerçekleşme olasılıklarını bir arada gösteren 'diyagramlara' olasılık dağılımları denir. • Her rassal değişkenin kendine özgü bir olasılık dağılımı vardır. Süreksiz Rassal Değişkenlerin Olasılık Dağılımları • X ile gösterilen süreksiz rassal bir değişkenin aldığı değerler x1,x2,x3,…. ise değişkenin bu değerlerden sadece birini alma olasılığı f(x)= P(X=x) şeklinde yazılabilir ve X in olasılık yoğunluk veya olasılık dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır. Süreksiz Rassal Değişkenlerin Olasılık Dağılım Fonksiyonu • Bir süreksiz değişkene ait fonksiyon aşağıdaki iki şarO sağlıyorsa olasılık dağılım fonksiyonu ya da olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. • 1) f(xi)=P(X=xi)≥ 0 olmalıdır • 2) Σf(xi) = 1 olmalıdır. Örnek • Bir para ile yapılan 5 aOş deneyinde yazı sayısı rassal değişkenini ve olasılık dağılımını yazınız. Parametre • Olasılık dağılımını tanımlayan değere denir. • Farklı parametre değerleri farklı dağılımlar oluşturur. Kümülatif Dağılım Fonksiyonu • Bir rassal değişkenin belli bir değere eşit ya da küçük olma olasılığını veren fonksiyondur. • X rassal değişkeninin kümülaCf dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir, F(x) = P(X≤x). • X kesikli (süreksiz) rassal değişkeninin kümülaCf dağılım fonksiyonu şöyle ifade edilir: F ( x) = ∑ f (t ) t≤x Örnek • Bir para ile yapılan 5 atış deneyinde yazı gelme sayısı rassal değişkeni için kümülatif dağılım fonksiyonunu belirleyiniz. Örnek • Bir beyaz eşya mağazasında günlük çamaşır makinesi saOşları için aşağıdaki fonksiyon elde edilmişCr. a) Fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır? b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu açık olarak gösteriniz. c) KümülaCf dağılım fonksiyonunu gösteriniz. ⎧ k ⎪ 2 f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0 x = 1,2,3,4 diger haller Örnek • Bir futbol takımının yapOğı maçlarda adğı gol sayısının yoğunluk fonksiyonu söyle verilmişCr: x (gol sayısı) 0 1 2 3 4 5 f(x) 0.1 0.2 0.4 0.15 0.1 0.05 • f(x) bir yoğunluk fonksiyonu mudur? • P(X≤3) = ? • KümülaCf dağılım fonksiyonunu yazınız. Süreksiz Rassal Değişkenlerin Beklenen Değeri • • • SÜREKSİZ OLASILIK DAĞILIMLARININ ORTALAMASI Rassal değişkenin olasılık dağılımının yanı sıra onun özelliklerini VE VARYANSI yansıtan parametreleri ile ilgilenilir. Rassal değişkene ait olasılık fonksiyonları işlem yapılabilmesi için öncelikle bu parametrelerin • Bir Xile random değişkeni için ortalama (beklenen bilinmesi gerekir. değer) μ=E(X) ile ve varyansı ise σ2=var(X) ile gösterilir. Mümkün olan her durum X=xi olmak Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile gösterilir ve şöyle bulunur: üzere Yukarıdaki para örneğimiz için hesap yapacak Beklenen değer rassal değişkenin aldığı değerler ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımının toplamına eşiWr. olursak, μ=E(X)=0 x ¼ + 1 x 2/4 + 2 x ¼ = 1 Örnek • Bir futbol takımının yapOğı maçlarda adğı gol sayılarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğu verilmişCr. Buna göre takımın yapOğı bir maçta adğı gol sayısının beklenen değeri ne olur? x (gol sayısı) 0 1 2 3 4 5 f(x) 0.1 0.2 0.4 0.15 0.1 0.05 Örnek • Aşağıda verilen sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle X rassal değişkeninin beklenen değerini bulunuz. Beklenen değerin özellikleri 1. X rassal değişkenin bir fonksiyonu olan g(x) in beklenen değeri şöyle hesaplanır: E[g(x)] = ∑ g(xi )⋅ f (xi ) 2. c bir sabit sayı ise c’nin beklenen değeri E(c) = ... 3. c bir sabit, X rassal değişken ise E(cX) = …. E[c(g(x)] = …. 4. a ve b sabit sayılar ise, E(aX+b) = … Beklenen değerin özellikleri 5. X ve Y iki rassal değişken ise; E(X + Y) = .... Teoremi genelleşCrirsek: X1,X2,…,XN ortalamaları E(X1),E(X2),…,E(XN) olan rasgele değişkenler olsunlar. E(X1+X2+…..+XN) = .... 6. u(x) ve v(x) X rassal değişkeninin iki olasılık fonksiyonu, a ve b sabit sayılar ise; E[ a·∙u(x) + b·∙v(x)] = … 7. X ve Y bağımsız kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise; E(X·∙Y) = .... Örnek • Bir futbol takımının yapOğı maçlarda adğı gol sayısının yoğunluk fonksiyonu söyle verilmişCr: x (gol sayısı) 0 1 2 3 4 5 f(x) 0.1 0.2 0.4 0.15 0.1 0.05 a) E(X2) b) E(3X+4) c) E(X3/3) beklenen değerlerini bulunuz. Örnek • Bir firma üreWği mamulleri 100 birimlik kutulara koyarak pazarlamaktadır. Kutularda bulunan kusurlu mamul sayıları ve olasılıkları aşağıdaki gibidir: Kusurlu sayısı (X) 0 Olasılık f(xi) 0,7 1 2 3 4 5 0,14 0,09 0,04 0,02 0,01 a)Kutularda beklenen (ortalama) kusurlu mamul sayısını bulunuz. b) E(X2/2) yi bulunuz. d) Mod ve medyanını bulunuz. VE VARYANSI Süreksiz R assal D eğişkenlerin om değişkeni için ortalama (beklenen E(X) Varyansı ile ve varyansı ise σ2=var(X) ile Mümkün olan her durum X=x • Varyans, rassal değişkenin aldığı değerlerin aritmeCk i olmak ortalamaya olan uzaklıklarının bir göstergesidir. ara örneğimiz için hesap yapacak • Standart sapma varyansın …. eşiWr. + 1 x 2/4 + 2 x ¼ = 1 22/4+(2-1)22/4=0.5 Prof.Dr.A.KARACABEY -1)21/4+(1-1) Doç.Dr.F.GÖKGÖZ 6 Varyansın özellikleri 1. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken ve c gerçek bir sabit ise • Var(c) = • Var(X+c) = 2. X varyansı Var(x) olan rassal değişken, c gerçek bir sabit ise • Var(cX) = İspaO: 3. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken a ve b gerçek sabitler ise; • Var(aX+b) = Varyansın özellikleri 4. X ve Y değişkenleri bağımsız iki rassal değişken olsunlar. Bu iki değişkenin toplamının varyansı • Var(X+Y) = N tane bağımsız değişken için de şöyle yazabiliriz. • Var(X1+ X2 + X3 +……+ XN) = Örnek • Bir firma üreWği mamulleri 100 birimlik kutulara koyarak pazarlamaktadır. Kutularda bulunan kusurlu mamul sayıları ve olasılıkları aşağıdaki gibidir: Kusurlu sayısı (X) 0 Olasılık f(xi) 0,7 1 2 3 4 5 0,14 0,09 0,04 0,02 0,01 • Kutulardaki kusurlu mamul sayısının varyansını bulunuz. Momentler • Moment bir rassal değişkenin nasıl dağıldığını belirlemede kullanılan ölçülerdir. Momentler sıqra (orijine) veya aritmeCk ortalamaya göre hesaplanırlar. • Bir dağılımın sıRra göre momenT kendisine ait rassal değişkeninin kuvvetlerinin beklenen değeri olarak tarif edilebilir. X rassal değişkeninin sıqra göre r. momenC Mr ile gösterilir ve kesikli değişkenler için söyle gösterilir: M r = E[X r ] = ∑ xir f (xi ) Orijine (Sıfıra) Göre Momentler • r = 0: • r = 1: • r = 2: Aritmetik ortalamaya göre momentler • Rassal değişkenin kendi ortalamasından farkının kuvveCnin beklenen değeridir: µr = E[(X − M1 )r ] = ∑ (xi −M1 )r f (xi ) • r = 0: • r = 1: • r = 2: Çarpıklık ve Basıklık • Çarpıklık: µ3 α3 = 3 σ • Basıklık: µ4 α4 = 4 σ
© Copyright 2024 Paperzz
