close

Enter

Log in using OpenID

2.4.1.2.Konum Ölçüleri

embedDownload
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ
AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM
FAKÜLTESİ
SOSYOLOJİ PROGRAMI
Sosyolojide İstatistik
Dersi
2. HAFTA
Yrd.Doç.Dr. Nuran Çakır Yıldız
2.1.Tanımlayıcı İstatistik


Dersin Adı
Tanımlayıcı istatistikler verilerin sayısal ya da
grafiksel olarak özetlenmesidir. Çalışmada
veriler toplandıktan sonar bunların merkezi
eğilimleri, yayılımları, çarpıklıkları araştırılır.
Ölçme sonuçlarına bakarak, grup hakkında
ya da eğitim sistemi hakkında bazı kararlar
verebilmek ve anlam çıkarabilmek için ölçme
sonuçları üzerinde istatistik işlemlerinin
yapılması gerekmektedir
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik



Dersin Adı
Verilerin özetlenmesi
Sınıflandırılması,
Tablo ve grafiklerle sunulmasını içerir.
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik


Dersin Adı
Verinin Grafiksel Gösterimi
• - Histogram
• - Pasta Grafikleri
• - Diğer Grafik Türleri
Sayısal Ölçütler
• - Sıklık Tabloları
• - Merkezi Eğilim Ölçüleri
• - Değişkenlik Ölçüleri
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik

2.2.1.Tanımlayıcı İstatistikte Veri Türleri

2.2.1.1.Niceliksel (Quantitative)
Nicelik belirten (ölçülerek ya da sayılarak
elde edilen) verilerdir.
Örneğin, yaş, ağırlık, boy gibi.


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik



2.2.1.2.1.Kesikli Sayısal
(Discrete numeric variable)
Belirli bir aralıktaki tam sayıları alan veri türüdür.
Örnek: Sınıftaki öğrenci sayısı,
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik

2.2.1.2.2.Sürekli Sayısal (Continuous
Numeric Variable)

Ölçümle belirtilirler ve bir aralıktaki bütün
değerleri alırlar. Örnek: Boy uzunluğu, yaş,
günlük kalsiyum tüketim miktarı (mg) gibi
i. Aralık Ölçekli (Interval Scale) ii. Oran
Ölçekli (Ratio Scale)

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik

2.2.1.2.Niteliksel (Qualitative)



Dersin Adı
Bireylerin sahip olduğu belli özelliklerin
sınıflara ayrılarak belirtildiği verilerdir.
Örneğin, cinsiyet, medeni durum,
başarılı-başarısız gibi.
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik

2.2.1.2.Niteliksel (Qualitative)

2.2.1.2.1.Sıralanabilir (Ordered)
Nitelik verilerde belli bir sıralama söz konusu
ise (kötü-orta-iyi-mükemmel gibi) bu tür
verilere sıralanabilir nitelik veriler denir

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.1.Tanımlayıcı İstatistik





Dersin Adı
2.2.1.2.Niteliksel (Qualitative)
2.2.1.2.2.Sınıflanabilir (Nominal)
Nitelik verilerde belli bir sıralama yoksa
bu tür verilere sınıflanabilir nitelik veriler
denir.
Örneğin cinsiyet, medeni durum gibi
İki sınıflı ve çok sınıflı olarak
sınıflandırılabilir
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler

Dersin Adı
Çıkarımsal istatistiğin amacı bir kitlenin
parametresi hakkında bir örneklemin
istatistiklerinden elde edilen bilgilere
dayanarak çıkarımlarda bulunmaktır
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler





Dersin Adı

Örneklemden elde edilen bulgular
yardımıyla
Kitle hakkında kestirimde bulunma,
Hipotezleri test etme
Hipotezlerin kanıtlanması
Gelecek değerleri tahmin ederek
karara varma
İşlemlerini içerir
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler

Çıkarımsal İstatistiklerle İlgili Tanımlar



Kitle
İlgilenilen belli bir büyüklüğe ilişkin eksiksiz
sayısal bilgi kümesi Araştırma sonuçlarının
genellendiği, araştırma kapsamı içerisinde yer
alan ortak özelliklere sahip birimler bütünüdür
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler

Çıkarımsal İstatistiklerle İlgili Tanımlar

Parametre
Kitleye ilişkin sayısal bir ölçüt- ortalama

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler
Çıkarımsal İstatistiklerle İlgili Tanımlar




Dersin Adı
Örnek(lem)
Araştırma kitlesi içerisinden amaca uygun
herhangi bir yöntemle seçilen ve kitleyi temsil
yeteneğine sahip birimler veya elemanlar
kümesidir Kitleden seçilen bir alt küme
İstatistik
Örneğe ilişkin sayısal bir ölçüt –örnek
ortalaması
Öğretim Üyesinin Adı
2.3.Çıkarımsal İstatistikler

Çıkarımsal İstatistiklerle İlgili Tanımlar

Doğruluk (Accuracy) : Ölçülen ya da
hesaplanan değerin kendi gerçek değerine
olan yakınlığı
Kesinlik (Precision) : Aynı özelliğin bir çok
kez ölçümü sonucunda elde edilen
değerlerinin birbirine yakınlığı

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler



Dersin Adı
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Gözlenen
verinin
düzenlenerek
çizelgelerle, grafiklerle sunulması çoğu
kez yeterli olmaz .
Genel durumu yansıtacak bir takım
ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler
verileri yalnızca özlü bir biçimde
belirtmekle kalmazlar aynı zamanda
karşılaştırmalara,
genellemelere,
yorumlamalara olanak sağlarlar..
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler

Merkezi Eğilim Ölçüleri
Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir
değişkenin bütün farklı değerlerinin
çevresinde toplandığı merkezi bir değeri
gösterirler.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler

Merkezi Eğilim Ölçüleri

Nicel dağılımlarda kullanılacak ölçüler
dağılımın
odaklaşma
noktasını
özetlemelidir. Bu tür ölçülere merkezi
eğilim ölçüleri denir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler




Dersin Adı
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Veri setini tanımlamak üzere kullanılan ve
genellikle tüm elemanları dikkate alarak veri
setini özetlemek için kullanılan ifadelerdir.
Veri setindeki tüm elemanları temsil
edebilecek merkez noktasına yakın bir
değerdir.
En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüleri
aritmetik ortalama, tepe değer, ortanca,
çeyreklikler ve geometrik ortalamadır
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler
Tanımlayıcı İstatistik
Yer Gösteren Ölçüler
•Merkezi Eğilim Ölçüleri
• Konum Ölçüleri
Dersin Adı
Yaygınlık Ölçüleri
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler

Yer Ölçüleri

Aritmetik ortalama (mean)
Ağırlıklı aritmetik ortalama
Geometrik ortalama
Harmonik ortalama
Kuadratik ortalama
Mod
Medyan
Kartiller







Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler

Dağılım (Değişkenlik) Ölçüleri

Sapma
Ortalama Mutlak Sapma
Varyans ve Standart Sapma
Değişim Katsayısı



Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4. Tanımlayıcı İstatistikler



Dersin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler
Bir dağılımı tanımlayabilmek için çeşitli
yer gösteren ölçüler vardır
Bu ölçüler merkez ölçüleri ya da
ortalama
ölçüleri
olabileceği
gibi,
dağılımdaki herhangi bir noktayı da
gösteren ölçüler olabilir
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler



Dersin Adı
2.4.1.1.Merkezi Eğilim
(Yığılma) Ölçüleri
Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri
grubunun dağılımında, verilerin etrafında
yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri
grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin
“sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75”
dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm
öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil
ettiğini düşünürüz
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler

2.4.1.1.Merkezi Eğilim
(Yığılma) Ölçüleri

Aritmetik ortalama, Medyan (ortanca),
Mod (tepe değer), Geometrik ortalama
(GO), Harmonik ortalama (HO) ve
Karesel ortalama (KO) merkezî eğilim
ölçüleridir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler
Merkezi Eğilim (Ortalama) Ölçüleri
Aritmetik
Aritmetik
Ortalama
Ortalama
Ortanca
Ortanca
Tepe
Tepe
Değeri
Değeri
Oran
Oran
Geometrik
Geometrik
Ortalama
Ortalama
Harmonik
Ortalama
Konum Ölçüleri
Çeyrekler
Çeyrekler
Dersin Adı
Yüzdelikler
Yüzdelikler
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler







2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler
Dağılımı 4 eşit parçaya bölen değerlerdir. Bunlar
1. Çeyrek (Ç1) Değerlerin %25’i Ç1’e eşit ya da
ondan küçüktür
2. Çeyrek (Ç2) Değerlerin %50’si Ç2’ye eşit ya da
ondan küçüktür.
Bu değer aynı zaman ortancadır.
3. Çeyrek (Ç3) Değerlerin %75’i Ç3’e eşit ya da
ondan küçüktür
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler




Dersin Adı
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler
Küçükten büyüğe doğru sıralanmış
verileri dört eşit parçaya bölen değerlere
çeyrek değerler denir.
Birinci çeyreklik (Q1), veriler küçükten
büyüğe sıralandığında verilerin %25 ini
sağında, %75 ini solunda bırakan
değerdir
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler




Dersin Adı
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler
İkinci çeyreklik ortancaya denk
gelmektedir.
Üçüncü çeyrek değer (Q3), veriler
küçükten büyüğe sıralandığında verilerin
%75 ini sağında, %25 ini solunda
bırakan değerdir.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler




Dersin Adı
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler
Özetle,
Sıralı verilerde, ortancadan küçük olan
değerlerin ortancası birinci çeyrek değer,
ortancadan büyük olan verilerin
ortancası üçüncü çeyrek değerdir.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler

2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler

Örnek

Xi= 30, 20, 24, 40, 65, 70, 10, 62
Xi= 10, 20, 24, 30, 40, 62, 65, 70
N=çift= 8
Ortanca= (X4 + X5) /2= (30 + 40) /2= 35
Ortancadan küçük olan değerlerin ortancası
birinci çeyrek değere, ortancadan büyük
değerlerin ortancası üçüncü çeyrek değerdir.





Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler





Dersin Adı
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler
10, 20, 24, 30
Q1= (20+24)/2
Q1= 22
40, 62, 65, 70
Q3=(62+65)/2
Q3= 63,5
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler


2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler

Örnek :

5 kişinin yaşları aşağıdaki gibidir.
6 2 3 5 5 7 10 9 7 3 5 8 7 5 5
Yüzdelikleri bulurken dağılımdaki değerler küçükten
büyüğe sıraya dizilir.
2 3 3 5 5 5 5 5 6 7 7 7 8 9 10
1.Çeyrek 3. İle 4. arasında 4.’ değere daha yakındır.




Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.1.Çeyrekler

Ç1=3.Değer + (4.Değer – 3.Değer)0.75 Çeyrek (25.
Yüzdelik)=0,25x15=3,75. gözlemin değeridir.

3. Çeyrek (75. Yüzdelik)=0,75x15=11,25. Gözlemin
değeridir

3.Çeyrek 11. Ve 12. Değerler arasındadır.
Örneğimizde 11. Ve 12. değer aynı olduğundan
Ç3=7

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler
2.4.1.2.Konum Ölçüleri
 2.4.1.2.2.Yüzdelikler



Dersin Adı
Yüzdelikler sıraya dizilmiş verilerde
yığılımlı sıklıkları gösterirler.
Örneğin verilerin ilk %30’u 30.
Yüzdeliğe (Y30) eşit ya da ondan
küçüktür
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler

24 bebeğe ait doğum ağırlıkları aşağıdaki gibidir
Gözlem Ağırlık
Gözlem Ağırlık
Gözlem
Ağırlık
Gözlem
Ağırlık
1
2850
7
3150
13
3250
19
3700
2
2900
8
3200
14
3400
20
3800
3
2930
9
3200
15
3450
21
3900
4
2980
10
3200
16
3500
22
4100
5
3000
11
3250
17
3500
23
4400
6
3100
12
3250
18
3600
24
4500
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler

2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.2.Yüzdelikler







24 bebeğin doğum ağırlığına ilişkin 30. Yüzdelik(Y30)
bulunmak istenirse
Sıraya dizilmiş bebek ağırlığı değerlerinde
24 x 0.30 = 7.2 olduğundan
(Y30), 7. ve 8. değerler arasındadır
7. gözlem=3150gr
8. gözlem=3200gr
50x0.20=10gr
(Y30) = 3150+10=3160gr
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.1.Yer Gösteren Ölçüler







2.4.1.2.Konum Ölçüleri
2.4.1.2.2.Yüzdelikler
24 bebeğin doğum ağırlığına ilişkin 60. Yüzdelik(Y60)
bulunmak istenirse,
Sıraya dizilmiş bebek ağırlığı değerlerinde
24 x 0.60 = 14.4 olduğundan
(Y60), 14. ve 15. değerler arasındadır
14. gözlem=3400gr
15. gözlem=3450gr
50x0.40=20gr
(Y60) = 3400+20=3420gr
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

Dersin Adı
Merkezi dağılım ölçüleri, verilerin yığılma
gösterilen noktadan ne kadar uzakta
olduklarını, nasıl bir dağılım
gösterdiklerini belirleyen istatistiklerdir.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Farklı grupların merkezi eğilim ölçütleri
aynı olduğu halde, gruplar birbirlerinden
çok farklı olabilir. Bu nedenle merkezi
eğilim ölçütleri yanında, yayılma ölçütleri
de çok önemlidir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün,
bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini
bir karara bağlamak ve her hangi bir
ölçümün, grup ortalamasının ne kadar
altında ve üstünde olduğunu (yani
ölçümlerin
grup
içindeki
yerini)
göstermek için merkezî yayılma ölçüleri
kullanılır.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

Dağılımların yaygınlığı hakkında bilgi
veren ve en çok kullanılan ölçüler
• Dağılım (değişim) Aralığı
• Standart Sapma
• Varyans
• Çeyreklikler Arası Genişlik
• Çeyrek Sapma
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölç


Özetle;
Bir dağılımdaki değerlerin, birbirlerine ya da
kendi ortalamalarına göre farklılıklarını
gösterir. Bu farklılıkların derecesi dağılımın
yaygınlığı kavramını oluşturur. İki dağılım
aynı ortalama,
ortanca ya
da tepe
değerine sahipken yaygınlıkları farklı
olabilir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Dağılım I
Dağılım II
6
1
6
15
6
2
3
7
6
5
6
9
Ortanca= 6
Tepe Değeri= 6
Aritmetik Ortalama=6
Ortanca= 6
Tepe Değeri= 6
Aritmetik Ortalama=6
Dağılım I’deki değerlerin aritmetik ortalamaya olan uzaklığı, dağılım
II’ye göre daha fazladır.
Dağılım I, dağılım II’ye göre daha yaygındır
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.1.Dağılım Aralığı (Değişkenlik=Ranj))

Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve
hesaplanışı en kolay olanıdır. Gözlenen
ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü
arasındaki fark ya da açıklık bize dağılımın
değişkenliğini verir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.1.Dağılım Aralığı (Değişkenlik=Ranj))

Dağılımdaki en büyük değerden en küçük
değerin çıkartılması ile bulunur.
R ile gösterilir.
R= En Büyük Değer - En Küçük Değer


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri



Örnek:
Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45,
50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır.
Dağılımın ranjını bulalım:

Bir dizideki en büyük değer (Xmax) ile en küçük
değer (Xmin) arasındaki farktır.

DA= (Xmax) - (Xmin) biçiminde hesaplanır.

Dağılım Aralığı (Range = Ranj , DA) = 91-23=68’dir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.1.Dağılım Aralığı (Değişkenlik=Ranj))

71-68-75-44-75-81-75-94-56-75-69 veri
setinin dağılım aralığı nedir?
DA=94-44=50’dir
Ranj yeterince güvenilir değil, en basit
yayılım ölçüsüdür.
20,60,80,70,90,80
Ranj: 90-20=70
20,20,20,90,20,20,20
Ranj: 90-20=70
2 grup hiç benzemiyor ama ranjları aynıdır.





Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.1.Dağılım Aralığı (Değişkenlik=Ranj))

En basit yaygınlık ölçüsüdür.
Dağılım aralığı dağılımdaki diğer değerlerden
oldukça farklı değerler alan aşırı değer(ler)den
etkilenir


Dersin Adı
Gözlemlerin çoğunun en büyük ya da en küçük
değere yakın olduğu durumlarda da gerçek
değişkenlik hakkında bilgi vermez
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.1.Dağılım Aralığı (Değişkenlik=Ranj))

Ortalama gibi, uç değerlerden çok etkilenir.
Bu nedenle dağılımın şekliyle ilgili bilgi
vermez
En uçtaki iki değer arasında kalan değerler
hakkında bilgi vermez.
Ranj bir veri grubunun hangi aralıkta
değişkenlik gösterdiğini belirten istatistiktir.


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri

2.4.2.2.Standart Sapma

Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir
ölçüsü standart sapmadır. İstatistikte en çok
kullanılan yayılma ölçüsüdür.
Bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan
ne kadar uzaklaştığının ölçüsüdür.
Puanların ortalamadan olan farklarının, kareleri
toplamının ortalamasının, kareköküne eşittir


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
2.4.2.2.Standart Sapma
S
Dersin Adı
2
(
X

X
)

n 1
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.2.Standart Sapma

Standart Sapmanın Özellikleri

Standart sapma, bir dağılımın yaygınlığını
gösteren ölçülerden birisidir.
Dağılımdaki
tüm
değerlerin
aritmetik
ortalamaya olan uzaklıklarının ortalamasıdır

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri




Dersin Adı
2.4.2.2.Standart Sapma
Standart Sapmanın Özellikleri
Dağılımın yaygınlığı arttıkça standart
sapma büyür.
Dağılımdaki değerler aynı ise yaygınlık
yoktur ve standart sapma sıfırdır.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri




Dersin Adı
2.4.2.2.Standart Sapma
Standart Sapmanın Özellikleri
Standart
sapma
hesaplanırken
dağılımdaki tüm değerler dikkate alınır
Standart sapma, aritmetik ortalama
kullanıldığında bir yaygınlık ölçüsü
olarak kullanılır.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri




Dersin Adı
2.4.2.2.Standart Sapma
Standart Sapmanın Özellikleri
Aritmetik ortalama büyüdükçe standart
sapmanın büyüme eğilimi vardır
Çarpık dağılımlarda kullanılması
önerilmez
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri




2.4.2.2.Standart Sapma
Standart Sapmanın Özellikleri
Bir dağılımda değerler aritmetik ortalamadan
uzaklaştıkça dağılımın yaygınlığı artar.
Genel olarak, standart sapmanın küçük
olması; ortalamadan sapmaların ve riskin az
olduğunun, büyük olması ise; ortalamadan
sapmaların, riskin çok olduğunun ve
oynaklığın göstergesidir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Standart sapma ve varyans :

Puanların her birinden, bu puanların aritmetik
ortalaması çıkarılırsa farkları elde edilir. Bu
işlemlerde elde edilen fark puanlarına
ortalamadan sapmalar denir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Standart sapma ve varyans :

Dersin Adı
Aritmetik
ortalamadan
sapmaların
kareleri alınıp toplanırsa elde edilen
sonuca varyans denir. Standart sapma
formülündeki karekök kaldırıldığında
varyans hesaplanır.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma Dağılma Ölçüleri
Standart sapma ve varyans :
Örneğin:


Bir basit yığın için kilogram birimi ile veri (4, 8, 12) olsun.
Aritmetik ortalama 8 olur ve verilerin ortalamadan sapmaları
(−4, 0 , 4) olur.
Kare toplamlarının ortalaması olan varyans
[(4-8)2+(8-8)2+(12-8)2]/3 = 32/3 = 10,666 olur ve
kilogram kare birimi ile verilir.
Standart sapma 10,66’nın karekökü olup 3,26 değerindedir
ve kilogram birimi ile ölçülür.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Standart sapma ve varyans :



Tüm değerlerin dağılımı ile bilgi verirler. Tüm
değerler eşitse, her ikisi de sıfıra eşittir.
Değerler arasında farklar arttıkça standart sapma
(Ss) ve varyans büyür.
Varyans standart sapmanın karesi olduğundan ,
bu istatistiklerden birisi bilindiğinde diğerinin
hesaplanması kolaydır.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri
Standart sapma ve varyans :
 Aritmetik ortalamaları aynı olan iki dağılım aynı yaygınlıkta



olmayabilir. Örneğin;
10, 22, 34 değerlerini alan 3 kişilik bir dağılımda aritmetik
ortalama 66/3=22’dir .
21, 23, 22 değerlerini alan başka bir 3 kişilik dağılımda
aritmetik ortalama yine 66/3=22’dir.
İki dağılımın aritmetik ortalaması 22 olduğu halde birinci
dağılımda değerler (1 ve 3’üncü değerler) aritmetik
ortalamadan çok uzakta iken ikinci dağılımdaki değerler
ortalamaya çok yakındır.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri
= 2, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9 değerlerine sahip bir örneklemi ele alalım.
Aritmetik Ortalama = {(2+4+4+5+5+6+7+7) / 8} = 5 olacaktır.
Xi
S
Dersin Adı
(X  X )
n 1
2
(2-5) = -3
9
(4-5) = -1
1
(4-5) =-1
1
(5-5) =0
0
(5-5) = 0
0
(6-5)= 1
1
(7-5) = 2
4
(7-5 )= 2
4
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri




Dersin Adı
2.4.2.3.Değişim Katsayısı
(coeffient of variation)
Dağılımın yaygın olup olmadığına karar
verebilmek için değişim katsayısı
hesaplanır
Değişim katsayısı dağılımdaki değerlerin
ortalamaya göre yüzde kaçlık bir değişim
gösterdiğini belirtir.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Yayılma
(Dağılma Ya da Değişkenlik Ölçüleri



Dersin Adı
2.4.2.3.Değişim Katsayısı
(coeffient of variation)
Bir veri setinde standart sapmanın veri
setinin ortalamasına oranı olarak ifade
edilebilir. Fakat değişim katsayısı % bir
değişken olduğundan 100 ile
ağırlıklandırılmalıdır.
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.3.Değişim Katsayısı

Dağılım I
Dağılım II
6
1
6
15
6
2
3
7
6
5
6
9
Ortanca= 6
Tepe Değeri= 6
Aritmetik Ortalama=6
Dersin Adı
Ortanca= 6
Tepe Değeri= 6
Aritmetik Ortalama=6
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.3.Değişim Katsayısı

Dağılım I için Standart Sapma
( xi  x )  122
2
122
S
 4,94
6 1
Dersin Adı
4,94
DK1 
100  82,3
6
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.3.Değişim Katsayısı

Dağılım II için Standart Sapma
( xi  x )  20
2
20
S
2
6 1
Dersin Adı
2
DK2  100  33.3
6
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri
2.4.2.3.Değişim Katsayısı



Dersin Adı
DK’nın
sıfıra
yaklaşması
dağılımın
yaygınlığının azaldığını gösterirken DK’nın
%25’in üzerinde olması incelenen dağılımın
oldukça yaygın olduğunu gösterir
Dağılım I’deki değerler ortalamaya göre
%82,3’lük bir değişim gösterirken,
Dağılım II’deki değerler
değişim göstermektedir
%33,3’lük
bir
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.3.Değişim Katsayısı

S = Standart Sapma
X = Aritmetik Ortalama

s
DK  100
x
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.3.Değişim Katsayısı
Boy (cm)
160
180
165
174
190
182
155
165
171
160
Dersin Adı
Boy
(m)
1.60
1.80
1.65
1.74
1.90
1.82
1.55
1.65
1.71
1.60
AO=
SS=
DK=
170.2
11,23
6.6
1.702
0,1123
6,6
11.23
DK 
100  6.6
170.2
0.1123
DK 
100  6.6
1.702
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.4.Çeyreklikler Arası Genişlik

Dağılımdaki verilerin ortadaki 0.50 ‘sinin yer
aldığı aralığı belirlemek için kullanılır
ÇAG = Ç3 – Ç1
Çeyrekler konusunda çözdüğümüz
örneğimizde Ç1=4,5 ve Ç3=7 bulunmuştu
ÇAG = 7 – 4,5 = 2,5
Değerlerin yarısı 2,5 birimlik bir aralık içindedir




Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri

2.4.2.4.Çeyreklikler Arası Genişlik

Çeyreklikler arası genişlik aşırı uç değerlerden
etkilenmez. Çünkü çeyreklikler arası genişlik
dağılımdaki değerlerin merkezdeki %50’si ile
ilgilenir.
Özellikle uçtaki değerlerden çok ortadaki
değerlerle ilgilenildiği durumlarda kullanılır
Eğer incelenen dağılım simetrikse 25. ve 75.
Yüzdelikler ortancadan eşit uzaklıktadır


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri




2.4.2.4.Çeyreklikler Arası Genişlik
Çeyrek Sapma
Çeyrek sapma, ortalama ölçüsü olarak
ortancanın kullanıldığı durumlarda kullanılan
yaygınlık
ölçülerinden biridir. Bu değer
yüzdeliklerle ortanca arasındaki uzaklığın
ortalama bir ölçüsüdür.
Özellikle aşırı değerlerin, dağılımın sadece bir
tarafında olduğu durumlarda kullanılması
gerekir.
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2.4.2. Merkezi Dağılma Ölçüleri




2.4.2.4.Çeyreklikler Arası Genişlik
Çeyrek Sapma
Örneğimizde ’ Ç1=4,5 ve Ç3=7 bulunmuştu
Bu değer, Ç1 ve Ç3’ün ortanca dan ortalama
olarak 1,25 birim farklı olduğunu gösterir

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri

Çarpıklık (Skewness)

Çarpıklık, normal dağılışta simetrikliğin
bozulma derecesidir.
Dağılış sağa uzun kuyruklu ise pozitif
çarpık veya sağa çarpık,
Dağılış sola uzun kuyruklu ise negatif
çarpık
vaya
sola
çarpık
olarak
adlandırılır.


Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri

Dersin Adı
Normal dağılış eğrisinin sivrilik veya
yayvanlık derecesi basıklık olarak
adlandırılır.
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri




Dersin Adı
Dağılım Şekil Ölçütleri
Ortalama=ortanca=mod ise dağılım
normal dağılımdır.
Çarpıklık (skewness):
Mod<ortanca<ortalama ise dağılım
sağdan çarpık; ortalama<ortanca<mod
ise dağılım soldan çarpıktır.
Sivrilik-basıklık (kurtosis): Eğrinin tepesi
sivriyse dağılım leptokurtik; tepesi
basıksa dağılım platikurtiktir.
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri
DAĞILIM EĞRİLERİ
Sivri
Basık
Normal
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri





Dersin Adı
Dağılım Şekil Ölçütleri
Normal (simetrik) Dağılım
Başarı açısından normal düzeyde olan
bir sınıfın grafiğidir. Normal dağılım
eğrisi genelde çan biçiminde olur.
Aritmetik ortalama, mod ve medyan
değerleri aynıysa bu dağılım simetriklik
gösterir
Simetrik dağılışlarda bu üç değer
birbirine eşittir.
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri

Dağılım Şekil Ölçütleri

1. Normal Dağılım
(A.O. = Medyan = Mod)



Dersin Adı
2. Sağa çarpık dağılışlarda aritmetik ortalama
ortancadan, ortanca ise tepe değerinden
daha büyüktür.
(A.O. Medyan  Mod)
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri

Dağılım Şekli Ölçütleri
2.Sağa çarpık dağılışlarda

(A.O. Medyan  Mod)
•
•
•
•
•
•
Dersin Adı
Başarı düşüktür.
Öğretme yetersizdir.
Test zordur.
Puanların çoğu sol tarafa yığılmıştır.
Öğrenme düzeyi düşüktür.
Öğrenciler hedef-davranışları
kazamamışlardır
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri

Dağılım Şekli Ölçütleri

3.Sola çarpık dağılışlarda aritmetik
ortalama ortancadan, ortanca ise tepe
değerinden daha küçüktür.
(A.O.  Medyan  Mod)

Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri







Dersin Adı
3. Sola Çarpık Dağılım
(A.O.  Medyan  Mod)
Başarı yüksektir.
Öğretim yeterlidir.
Sorular ve test kolaydır.
Puanların çoğu dağılımın sağında
toplanmıştır.
Öğrenciler hedef davranışları
kazanmışlardır.
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri







Dersin Adı
3. Sola Çarpık Dağılım
(A.O.  Medyan  Mod)
Başarı yüksektir.
Öğretim yeterlidir.
Sorular ve test kolaydır.
Puanların çoğu dağılımın sağında
toplanmıştır.
Öğrenciler hedef davranışları
kazanmışlardır.
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
2 2.5.Çarpıklık ve Basıklık Ölçüleri
Aritmetik ortalama ile standart
Heterojen yapı oluşur ve grup
sapmanın arası büyürse,
başarısı düşer.
Aritmetik ortalama ile standart
Homojen yapı oluşur ve grup
sapmanın arası küçülürse,
başarısı artar.
Bir puan dağılımında puanlar
Standart sapmada büyür.
arası fark (ranj) büyüdükçe,
Bir testten elde edilen puanların
Testin güvenirliği artar (Standart
standart sapması büyüdükçe,
hata formülünü inceleyiniz)
Dersin Adı
Öğretim Üyesinin Adı
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
1 188 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content