Download File

TÜRKİYE 19. ULUSLARARASI JEOFİZİK KONGRE ve SERGİSİ
Arslan H. İ.
ÇOK BOYUTLU SİSMİK TERS ÇÖZÜM
Halil İbrahim ARSLAN,
Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Mühendislik Mimarlık Fakültesi
Jeofizik Mühendisliği Bölümü, Terzioğlu Yerleşkesi 17020 Çanakkale
[email protected]
Özet— Sismik izdeki genlikler, yorumcuya ortama ait özgün bilgi sağlar. Çalışmada varış zamanları kullanılmaksızın,
salt genlik değerlerinin değerlendirilmesi ile hız modeli elde edilmiştir. Bu amaçla MATLAB tabanlı bir algoritma
geliştirilmiştir. Düz çözüm için akustik dalga yayılımı zaman ortamında sonlu farklar yöntemi ile bir ve iki boyutlu
ortam için modellenip, yapay sismogram oluşturulmuştur. Ters çözüm için ağırlıklı sönümlü en küçük kareler
yönteminden yararlanılmıştır. Program kuramsal modeller üzerinde denenmiştir. Yumuşatılmış hız yapısı ortaya
konulmuştur. Çok çözümlülük sorunu nedeniyle gerçek modele ulaşılamasa da yapı sınırlarının belirlenmesinde etkin
sonuç elde edilmektedir.
Anahtar Kelimeler: sismik, akustik, tam dalga alanı ters çözüm, yapay sismogram
Abstract— The amplitudes of seismic traces provide characteristic information for the medium. In this study, without
the usage of the arrival times, the estimation of the velocity model is obtained by the evaluation of the amplitude rate
only. For this purpose, a MATLAB - based algorithm was developed. For the forward solution, the acoustic wave
propagation was modeled in one and two- dimensional medium with using the finite differences method and synthetic
seismograms were yielded. Weighted least squares method was employed for the inversion. The program was tested on
the theoretical models. Smooth velocity models were obtained. Even though the non-uniqueness nature of the problem
prevents to recover the exact model an effective result is attained in the determination of structure limitations.
Key Words: Seismic, acoustic, full waveform inverison, synthetic seismogram
1. GİRİŞ
Bilindiği gibi sismik yöntemlerde kaynak
sinyal şekli yer içinde seyahatini sürdürürken
kırılma, yansıma, küresel açılım, soğurulma, gibi
etkilerle zemine bağlı özgün bir özellik
kazanmaktadır. Tam dalga alanı ters çözüm
yöntemleri; kaydedilen bu zengin veri içeriğinden
yer içi hız modelinin kestirilmesinde yüksek
çözünürlük elde etmek amacıyla son yıllarda sıkça
araştırılan bir yöntemdir. Bu yöntem ile zaman
okuması yapılmaksızın, sismogram üzerindeki
bütün
genlikler
kullanılarak
çözüme
gidilmektedir. Yöntemin başlangıcı [1] ve [2]
tarafından gösterilmiştir [ör: 3]. Özellikle son
yıllarda bu yöntemin araştırılmasında çok çeşitli
çalışmalar mevcuttur.
Çalışma kapsamında düz çözüm için akustik
dalga denklemi kullanılmıştır. Akustik dalga
TÜRKİYE 19. ULUSLARARASI JEOFİZİK KONGRE ve SERGİSİ
Arslan H. İ.
denklemleri zaman veya frekans ortamında
modellenebilmektedir. Çalışmada zaman ortamı
modelleme tercih edilip, sonlu farklar tekniği
kullanılarak çözümlenmiştir. Düz çözüm sonlu
farklar katsayıları [4] ile önerilmiş olan üç boyutlu
(3B) modellemeden bir boyutlu(1B) ve iki
boyutlu(2B)
modellemeye
uyarlanarak
modellenmiştir. Ters çözüm kuramında çözüm
yöntemlerinden ağırlıklı sönümlü en küçük
kareler, sönümlü en küçük kareler-tekil değer
ayrışımı çözümü, eşlenik türev çözümü
irdelenmiştir. Bildiride sönümlü en küçük kareler
yönteminden bahsedilecektir. Duyarlılık dizeyinin
(Jacobian matrisi) hesaplanması için ayrı bir
hesaplama alanı ve sanal kaynak ilkesi
kullanılarak çözüme gidilmiştir.
2. KURAM
Ters çözüm işlemlerinde problem türleri
doğrusal ve doğrusal olmayan özellikte olmaları
yönünden temel olarak iki kısma ayrılmaktadır.
Denklem(1) ile verilen akustik dalga denklemleri
basit harmonik hareket olarak ifade edilen basınç
dalgası modellemesi işlemine dayanmaktadır. Bu
özelliği ile doğrusal yapıda olmadığı gözlenen
akustik dalga denkleminin zaman ortamındaki
ifadesi aşağıdadır [ör: 4].
∂ 2U i , j ,k
∂t
2
= vi2, j ,k ∇ 2U i , j ,k + f i , j ,k ,t
(1)
Burada v :p dalgası hız modelini, U : akustik
dalga alanının ayrık noktalardaki gösterimini, f
kaynak fonksiyonunu, i,j,k uzaysal konumları t
zamanı simgeler. Doğrusal olmayan ters çözümde
doğrudan değil yaklaşımlarla sonuç aranmaktadır.
Bu tür işlemlerin ters çözümünde kullanılan
yöntemlerden sönümlü en küçük kareler çözümü
aşağıdaki gibi ifade edilir[5,6].
Vi ,nj+,1k = Vi ,nj ,k + ( J t J + β I ) − 1 J t ∆ U
(2)
Burada J duyarlılık matrisi, I birim matris, β
sönüm katsayısını tanımlar ve çalışmada keyfi
olarak belirlenmektedir. Burada n yaklaşım sayacı
olarak tanımlandığında, kestirilen modele ∆ V
kadar bir yaklaşım yapılır ve yeni değişkenler
hesaplanır.
Sönümlü en küçük kareler yöntemi küçük
değişimlerin keskin etkilerine ve gürültülere
duyarlı sonuçlar üretir. Bunun önlenmesi için
ağırlıklı sönümlü en küçük kareler yöntemi
kullanılmıştır. Ağırlık dizeyi için [7] ile önerildiği
gibi sonlu farklar katsayıları kullanılmıştır. Ağırlık
dizeyini K olarak tanımlarsak ters çözüm formülü
aşağıdaki gibi olacaktır.
∆ V = (J t J + β I + λ K )−1 J t ∆ U
(3)
Burada λ işleci duyarlılık dizeyinin normunun
ağırlık dizeyinin normuna bölümünden oluşan bir
ilgileşim (korelasyon) katsayısıdır.
Hedef model ile başlangıç modeli arasındaki
ilişkiyi tanımlayan ∆ U uyum vektörünün
bulunması için kayıt noktalarında kaydı tutulan
dalga alanın farkı aşağıdaki gibi alınmaktadır.
∆ U ( jfni ,t ) = U ( jfni ,t ) H − U ( jfni ,t ) K
(4)
Burada jfn hesaplama alanında bulunan
jeofonları temsil eder. Alt imge i jeofon sayacını, t:
sismik kayıttaki zaman adımını, H: hedef modeli,
K yaklaşım modelini tanımlar.
Ters çözüm işleminde model yaklaşımının
denetlenmesi
için
hata
fonksiyonu
tanımlanmalıdır. Çalışmada L2 (norm2) ye göre
aşağıda ifade edilen bağıntı kullanılmıştır.
N
I
E = ∑ ∑ ( ∆ U ( jfni ,t ) 2 ) /( IxN )
t = 1 i=1
(5)
Akustik dalga yayılımında yer akustik dalga
basıncı hızın fonksiyonu olarak değişmektedir. Bu
sebeple duyarlılık matrisi hesaplanırken, üzerinde
dinamik yük bulunan ve türevi alınan noktaya
bağlı ortamın türevinin de sıfırdan farklı olması
beklenir. Bu durum göz önünde bulundurularak,
(1) ile ifade edilen akustik dalga denkleminde
hızın karesi bağımlı değişken kabul edilip türev
alınarak aşağıdaki bağıntı elde edilmiştir.
∂ 2U I , J , K
∂ (v I2, J , K ) 2
∂
(
)
=
∇ U I ,J ,K +
∂ vi2, j ,k
∂ t2
∂ (vi2, j ,k )
v
2
I ,J ,K
∂ (∇ 2U I , J , K )
∂ (vi2, j ,k )
(6)
TÜRKİYE 19. ULUSLARARASI JEOFİZİK KONGRE ve SERGİSİ
Arslan H. İ.
Burada i,j,k kısmi türevi hesaplanacak bağımlı
değişken konumunu, I,J,K ise ortam konumlarını
simgeler. Çalışmada türevlerin çözümü için ayrı
bir hesaplama alanı kullanılmıştır. Bu kuram
gereği önce düz çözüm hesabı yapılır. Daha sonra
kısmi türevi alınan noktanın üzerindeki dinamik
yükler formül uyarınca türev ortamına aktarılarak
dalga yayılımı gerçekleştirilir ve sismogram elde
edilir. Bu sismogram kısmi türev sismogramı
olarak adlandırılabilir. Bu işlemin hesap alanı
üzerindeki benzetimi şekil 1 ile verilmiştir.
yakınsadığı gözlenmektedir. İki boyutlu ortam için
oluşturulan model ile iki boyutta süreksiz, biri
düşük biri yüksek hız bölgesini teşkil eden iki yapı
önerilmiştir. Saçınım özelliği gösteren bu yapıların
belirlenmesinde
kullanıcının
harici
bir
müdahalesine gerek kalmaksızın, yumuşak geçişli
hız modeli elde edilmiştir.
3. SONUÇLAR
Çalışmada modelleme sonucu geleneksel ilk
varış kuramına dayalı ters çözüm çalışmalarında
ihmal edilen genlik değerlerinden yola çıkarak hız
modeli kestirilmeye çalışılmıştır. Yorumcunun
varış zamanı okuması, ayrımlılık analizi, göç gibi
işlemler uygulamasına gerek kalmaksızın 1B ve 2B
modelleme ile hesaplama yapılarak sonuca
gidilebileceği gözlenmiştir. Bazı modeller için hız
modeli kestirilebilmekle beraber çok çözümlülük
kuramından dolayı modelin kestirilemediği
durumlarda dahi süreksizliklerin belirlenebildiği
gözlemlenmiştir. Sunulan sonuçlar hız modelinin
bulunabildiği sonuçlardır.
4. TARTIŞMA
a) Düz çözüm
b) Jacobian hesabı
Şekil 1 Duyarlılık matrisinin oluşturulmasında bir
nokta etkisinin benzetimi
Yukarıdaki şekilde tekdüze bir ortamda dalga
yayılımı (a) sırasında (b) ile bir noktanın türevinin
hesaplanması farklı zaman adımları için
gösterilmiştir. Böylece herhangi bir noktada kaydı
tutulan sismogram üzerinde noktasal tepkilerin
etkisi genlik cinsinden hesaplanmış olur.
3. KURAMSAL MODELLER
Kuramsal olarak bir ve iki boyutlu hesaplama
alanı seçilerek iki model önerilmiştir. Bir boyutlu
ortamın hesaplanmasında nabla operatörü bir
boyutta düzlem kaynak için uyarlanmıştır (
∂ 2U / ∂ x 2 = ∂ 2U / ∂ y 2 = 0 ). İkinci örnekte ise iki
boyutlu hesaplama alanında çizgi kaynak için
2
2
hesaplama yapılmıştır ( ∂ U / ∂ y = 0 ). Hesaplama
için kullanılan ortam özellikleri ek1 ile verilen
tabloda, örnek model ve sonuçları ise 1B ortam
için ek2 ile 2B ortam için ek3 ile verilmiştir.
Kaynak sinyal gecikmeli olarak ortama dahil
edilmiştir. Hedef model ile sonuçlardan elde
edilen sismogramlar arasındaki farkın sıfıra
Her ne kadar ilk varış zamanlarında farklılıklar
bulunmasa da, gerçek koşullara uygun genlik
değerlerinin elde edilmesi için 3 Boyutlu veya 2,5
boyutlu modelleme gerçekleştirilmelidir. Ancak
bu tarz dalga alanı ters çözüm modellemeleri özel
bilgisayar sistemlerine ihtiyaç duyar. Çalışmada
önerilen yöntem; modelin kendini çözmekteki
işlerliğinin
denetlenmesi
amacıyla
gerçekleştirilmiştir. Bu açıdan düşük boyutlu
modelleme çalışmaları önemli olabilmektedir.
Çalışma devam etmekte olup ileriki çalışmalarda
gerçek model üzerinde 3B çalışma denetlenecektir.
TEŞEKKÜR
E. U. ULUGERGERLİ (ÇOMÜ, MMF)
katkılarından dolayı teşekkür ederim.
ye
KAYNAKLAR
[1] Lailly, P., 1983. The seismic inverse
problem as a sequence of before stack
migrations, in Conference on Inverse
Scattering. Theory and Application, pp. 206220, eds Bednar, J.B., Redner, R., Robinson. E.
& Weglein, A., Soc. Ind Apl. Math.,
Philadelphia.
TÜRKİYE 19. ULUSLARARASI JEOFİZİK KONGRE ve SERGİSİ
Arslan H. İ.
[2] Tarantola, A., 1984. Inversion of seismic
reflection data in the acoustic approximation
Geophysics 49, 1259-1266.
[3] Pratt, R. G., Shin, C. and Hicks, G. J., 1998.
Gauss-Newton and full Newton methods in
frequency-space seismic waveform inversion
Geophys. J. Internat., 133, 341-362.
[4] Mufti, I. R., Pita J. A. and Huntley R.W.,
1996. Finite-difference depth migration of
exploration-scale 3D seismic data. Geophysics
61, 776–794.
[5] Marquardt, D. W., 1963, An algorithm for
least-squares
estimation
of
nonlinear
parameters, J. Soc. Indust. Appl. Math., 11,
431-441
[6] Levenberg, K., 1944. A method for the
solutions of certain nonlinear problems in
least squares, Quarterly of Applied Math., 2,
164-168
[7] Sasaki, Y., 1989. Two-dimensional joint
inversion of magnetotelluric and dipoledipole resistivity data, Geophysics, 54, 254262
a
b
a)
Şekil 2) Bir boyutlu modelleme sonucu,
a) uyum sismogramı (Baş dalgası çıkarılmamıştır,
kırmızı bölgeler hata alanını temsil eder), b) hız
modelini gösterir(mavi çizgi hedef modeli, kırmızı
çizgi ters çözüm sonucunu, yeşil çizgi başlangıç
modelini simgeler)
b)
EK-3 2B ters çözüm örnek modeli
EK-1 Örnek model bilgileri
1B ortam(ek2)
2B ortam(ek3)
Hesap alanı
(Z)250m
(Z)40m (X)70m
Kayıt süresi
0.4 sn
0.12 sn
Örnekleme aralıkları
Dt=0.0016sn
Dz=1m
Dt=0.002sn
Dz=Dx=1m
Kaynak /jeofon sayısı
1/1
1/15
Kaynak baskın frekansı
20hz
50hz
Öteleme sayısı
4
8
c)
d)
EK-2 1B ters çözüm örnek modeli
e)
Şekil 3) İki boyutlu modelleme sonucu
a) Başlangıç hız modeli, b) İlk yaklaşım hız modeli, c)
Dördüncü(son) yaklaşım modeli, d) Hedef model e) Yapı
etkilerinden oluşan yansıma sismogramları arasındaki
uyumu gösterir (kırmızı bölgeler hata alanını temsil eder, baş
dalgası çıkarılarak gösterilmiştir)

Download Report