close

Enter

Log in using OpenID

Betonarme_1_4

embedDownload
Moment ≡ kuvvet çifti Çekme ve basınç kuvveti Deformasyon Kesitte dönme
As : Kesitteki toplam çekme donatısı
Fs : Çelikteki toplam çekme kuvveti
Fc : Betondaki basınç kuvveti
z : Moment kolu
εs : Çelik birim uzaması
εc : Betonun en çok zorlanan lifindeki birim kısalma
Yatay denge:
Fs= Fc (kuvvet çifti)
Moment :
Md = Fs z = Fc z
Betonda
birim kısalma
Çelikte birim
uzama
Kirişe etkiyen Md momenti Fc ve Fs den oluşan kuvvet çiftine eşdeğerdir, Fc=Fs dir ve z moment koludur. Kirişin üst lifleri Fc basınç kuvvetinin, alt lifleri Fs çekme
kuvvetinin etkisindedir. Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan Fc kuvvetini taşıyabilir. Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. Fs çekme kuvvetinin
tamamını toplam alanı As olan donatı karşılamak zorundadır. Betonun üst lifleri εc birim kısalmasına, çelik çubuklar εs birim uzamasına uğrar, kesit döner. Kesitin
döndükten sonra da düzlem kaldığı varsayılır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi). Bu varsayım, deformasyon diyagramının kesit yüksekliğince doğrusal (lineer)
değiştiği anlamındadır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
93
Kesitte deformasyon-gerilme dağılımı aşamaları
En çok zorlanan
beton lifinde
gerilme
En çok zorlanan
beton lifinde birim
kısalma
Kiriş kesitindeki moment
Basınç tarafı
Md1 < Md2 < Md3 < Md4 olacak şekilde,
beton ezilinceye kadar, yavaş yavaş
artırılırsa kesitteki deformasyon ve iç
kuvvetler 1, 2, 3 ve 4 nolu şekillerde
gösterildiği gibi olur.
Kiriş
Fs1
εc < εct
σc1 < fc
Fs2
C<fct
c
Deformasyon
TE
Çelik çekme
kuvveti
Betonda birim
Uzama
Çekme tarafı
C2= fc
C0
TE
Çelikte birim
uzama
Tarafsız eksen
=
Md2
TE
Deformasyon diyagramında kısalmalar
sağa uzamalar sola doğru çizilmiştir.
Deformasyon
İç kuvvetler
1
2
Max gerilmeye ulaşılmış, beton çatlamış, tarafsız eksen
yukarı kaymış beton ezilmemiş. Beton çatladığından çekme
gerilmesi alamaz, Fs2 çelik kuvveti momentin çekme
komponentine eşittir.
c4
Beton çatlamamış, max basınç gerilmesine ulaşmamış,
ezilmemiş.
Fs1 çelikte
oluşan
kuvvettir.
Beton
çatlamadığından, az da olsa, çekme gerilmesi taşımaktadır.
εc2 = εc0
σ c2 = fc
İç kuvvetler
c3
Beton gerilme - birim kısalma eğrisi
εc0 < εc3 < εcu
σc3 < fc
3
Deformasyon artmış, dış lifte gerilme azalmış.
Max gerilme alt komşu liflere kaymış (betonarmede
uyum). Çatlak genişlemiş ve yükselmiş, tarafsız eksen daha
da yukarı kaymış, ancak beton ezilmemiş. Tüm çekme
kuvvetini çelik almaktadır.
εc4 = εcu
σc4 = fcu << fc
4
Max gerilme daha da aşağıdaki liflere kaymış. Dış lif
ezilme (kırılma) deformasyonuna ulaşmış. Kesit taşıma
gücüne erişmiş. Kesit daha fazla moment taşıyamaz.
Gerilme dağılımı kırılma anındaki nihai dağılımı
göstermektedir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
GÖÇME ANI
gerilme
Betonda gerilme
dağılımı
Md1
TE
Max gerilme≡ dayanım
C2
c1
c1
Tarafsız
eksenin
derinliği
ERSOY/ÖZCEBE, S. 94
94
Teorik gerilme dağılımının basitleştirilmiş eşdeğer modelleri
Teorik gerilme dağılımı
Eşdeğer parabol-dikdörtgen
gerilme dağılımı (CEB modeli)
Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı
(ACI ve TS 500-2000 modeli)
Teorik gerilme dağılımı, kırılma anındaki dağılımdır. Betonun yaşına, yükleme hızına, sargı donatısına, kesit geometrisine ve diğer bir çok nedene bağlı olarak az yada çok
değişir. Her bir durum için farklı bir gerilme dağılımı vermek imkansızdır. Bu nedenle, doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış, eşdeğer gerilme dağılımı modelleri kullanılır.
Hesaplar açısından dağılımın şeklinden çok, gerilmenin bileşke kuvvetinin değeri ve etkidiği yer önemlidir. Çünkü, momentin değeri bu kuvvetin değerine ve yerine bağlıdır.
Hesapları basitleştirmek açısından, yaklaşık olarak aynı momenti veren (eşdeğer kuvveti ve bu kuvvetin etkime noktası yaklaşık aynı olan), daha basit bir gerilme dağılımı
kullanılabilir.
Yukarıdaki şekillerde teorik gerilme dağılımı ve yaygın olarak kullanılan basitleştirilmiş eşdeğer modelleri (sanal gerilme dağılımı) hem perspektif hem de düzlem olarak
verilmiştir. CEB modelinin bir kısmı parabolik bir kısmı da dikdörtgendir, eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı olarak adlandırılır ve Avrupa Birliği ülkelerinde
kullanılmaktadır. Amerikan yönetmeliklerinde yer alan ACI modeli daha basit ve dikdörtgendir, gerilmenin değeri her noktada aynıdır. Bu iki farklı modelin sonuçları arasındaki
fark önemsenmeyecek kadar azdır (%4 civarında).
TS 500-2000 doğruluğu kanıtlanmış herhangi bir eşdeğer gerilme dağılımı ile hesap yapılmasına izin vermektedir. Bu nedenle her iki model ile de hesap yapılabilir. Daha basit
olan eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı modeli çoğunlukla tercih edilmektedir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
95
Deformasyon diyagramı, teorik gerilme bloğu ve eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu (TS 500-2000)
ERSOY/ÖZCEBE, S. 107(benzeri)
TS500-200, S. 21, madde 7.1
•Deformasyon diyagramı kesit yüksekliğince doğrusaldır.
•Beton basınç kuvveti Fc gerilme bloğunun hacmine eşittir.
•Fc kuvveti gerilmenin yayıldığı basınç alanının ağırlık merkezi olan G1 noktasına etkir.
•Teorik gerilme dağılımını kullanarak Fc kuvvetini ve etkidiği noktayı belirlemek zorluk yaratır.
•Hesapları basitleştirmek için teorik gerilme dağılımı yerine eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı kullanılabilir (TS 500-2000).
•Önemli olan gerilme bloğunun şekli değil; Fc kuvvetinin ve etkidiği G1 noktasının yaklaşık olarak aynı kalmasıdır. Bu iki koşul momentin aynı kacağı anlamındadır. Eşdeğer
dikdörtgen gerilme dağılımında gerilmenin şiddeti sabit ve k3fcd dir. Gerilme bloğunun derinliği k1c dir.
•Fc ve etkidiği nokta G1 yaklaşık olarak aynı kalacak şekilde k1 ve k3 sabitleri deneysel araştırmalar ile belirlenmiştir.
•k1 ve k3 sabitleri beton kalitesine bağlıdır ve değerleri birden küçüktür. Bu değerler TS 500-2000 de verilmiştir.
•Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı yerine, geçerliliği kanıtlanmış, başka bir dağılım da (örnek: eşdeğer parabol-dikdörtgen dağılım) kullanılabilir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
96
Taşıma gücü varsayımları (TS 500-2000)
TS 500/2000, S. 21, madde 7.1
ERSOY/ÖZCEBE, S. 101-107
1. Birim şekil değiştirme dağılımı doğrusaldır (düzlem olan kesit şekil değiştirdikten sonra da düzlem kalır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi).
2. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (≈0).
3. Beton ve donatı tam kaynaşır, tam kenetlenme (aderans) vardır. Bu koşulu mühendis sağlamak zorundadır.
4. Donatı çeliğinin gerilme-birim deformasyon (σs-εs ) eğrisi elasto-plastiktir. Eğrinin akma dayanımı üstünde kalan kısmı ihmal edilebilir:
s
Eğrinin ihmal edilen
kısmı
b
a
•Çelik akmamış ise HOOKE kanunu geçerlidir:
σs=Es εs
(εs< εsd , çelik akmamış, HOOKE geçerlidir)
KOPMA
fyd
Tasarım
dayanımı
sd
•Akmış çeliğin gerilmesi sabittir:
σs=fyd
(εs ≥ εsd , çelik akmış, HOOKE geçersizdir)
s
Akma anında birim
deformasyon
Birim
uzama
Anlamı: σs=Es εs ≤ fyd
su
Kopma anında birim
deformasyon
Çelik modeli
Çelik tasarım dayanımları ve akma anındaki deformasyonlar:
Çelik
sınıfı
fyk
N/mm2
γms
Es
N/mm2
fyd = fyk/ γms
N/mm2
εsd= fyd/ Es
S220a
220
1.15
2x105
191.30
0.000957
S420a
420
1.15
2x105
365.22
0.001826
S420b
420
1.15
2x105
365.22
0.001826
S500a
500
1.15
2x105
434.78
0.002174
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
97
d
c
6. Taşıma gücüne erişildiğinde basınç
bölgesindeki teorik beton gerilme dağılımı beton
σc - εc eğrisi gibidir.
gerilme
Betonda birim
kısalma
5. Taşıma gücüne erişildiğinde (beton kırıldığında) basınç bölgesinin en çok
zorlanan lifindeki birim kısalma εc = εcu= 0.003 tür.
d
d
d
d
d
c
7. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu bölgedeki beton çatlayacağından hiçbir çekme kuvvet alamaz. Buradaki betonun görevi çelik ile kenetlenmeyi
(aderans) sağlamak ve kesme-burulma etkilerini karşılamaktır. Çekme kuvvetinin tamamını donatı alır. Çekme bölgesinin geometrisi farklı olan ve aşağıda görülen
her beş kesit, hesap açısından, özdeştir. Önemli olan, momentin aynı kalmasıdır. Basınç bölgesinin toplam alanı, bu alanın ağırlık merkezi, faydalı yükseklik d ve
donatı alanı As aynı olan kesitler, çekme bölgesinin geometrisi nasıl olursa olsun, moment kuvveti açısından özdeştir. Bunun anlamı şudur: Özdeş kesitlerde
deformasyon diyagramı, çelik çekme kuvveti, beton basınç kuvveti ve moment aynıdır. Bu özellikten ilerideki konularda yararlanılacaktır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
98
8. Teorik gerilme dağılımı yerine TS500-2000 Madde 7.1 de tanımlanan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu modeli kullanılabilir. Bu modele göre:
x
a=k1c
c
TE : Tarafsız eksen
iTE : İndirgenmiş Tarafsız Eksen
c : Tarafsız eksenin derinliği
εc : Beton birim kısalması
εcu : Betonun ezilme anındaki birim kısalması =0.003
εs : Çelik birim uzaması
a=k1c : Eşdeğer basınç bloğu derinliği
fcd : Beton tasarım dayanımı
k3fcd: Beton eşdeğer gerilmesinin şiddeti
Fs : Çelik çekme kuvveti
Fc : Beton basınç kuvveti
As : Toplam donatı alanı
Acc : Basınç alanı
G : Kesit ağırlık merkezi
G1 : Fc kuvvetinin etkidiği nokta ≡ basınç
alanı ağırlık merkezi
x : G1 noktasının derinliği
d : Faydalı yükseklik
d
c
x
a=k1c
•Eşdeğer basınç gerilmenin şiddeti sabittir: k3fcd
•Her tür betonarme betonu için k3=0.85 dir.
•Eşdeğer gerilme bloğu derinliği a=k1c dir.
•k1 beton dayanımına bağlı olarak 0.85 ile 0.70 arasında değişir.
•k1 ve k3 değerleri kesitin geometrisinden bağımsızdır.
•Eşdeğer basınç bloğu kiriş, kolon, perde ve plaklarda kullanılabilir.
k1 Katsayısının değişimi (TS 500-2000, Madde 7.1):
σs= Es εs ≤ fyd
k3 = 0.85 (tüm beton sınıflarında)
0.70 ≤ k1 ≤ 0.85
k1=0.85 (C16-C25 betonlarında)
k1=1- 0.006 fck (C30-C50 betonlarında)
fck nın birimi
N/mm2
dir, fck yerine fcd kullanılmaz!
k1 : Eşdeğer basınç bloğu derinliği katsayısı
k3 : Eşdeğer basınç bloğu gerilme katsayısı
Beton
k1
C16-C25
0.85
C30
0.82
C35
0.79
C40
0.76
C45
0.73
C50
0.70
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
99
Farklı geometrili kesitlerde eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu
0.85 fcd
k1c
c
Fc
iTE
TE
Kiriş
As
Fs=As
0.85 fcd
s
k1c
0.85 fcd
0.85 fcd
c
Fc
iTE
TE
Fc
Fc
iTE
TE
i TE
TE
As
Kiriş
Kiriş
As
Fs=As
s
Kiriş
As
Fs=As
Fs=As
s
s
Kırılma aşamasına gelmiş bir kesitte:
Eşdeğer basınç bloğu her zaman dikdörtgenler prizması değildir, basınç alanının geometrisine bağlıdır. Basınç alanı üzerine kurulmuş bir prizmadır:
•Gerilmenin şiddeti her lifte 0.85fcd dir.
•Blok derinliği k1c dir.
•Beton basınç kuvveti Fc gerilme bloğunun hacmine eşittir (basınç alanı ile 0.85 fcd nin çarpımı).
•Beton basınç kuvveti Fc basınç alanının ağırlık merkezine etkir.
•Çelik toplam çekme kuvveti Fs=Asσs dir.
•Çelik akmışsa σs=fyd ,akmamışsa σs=Esεs dir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
100
Kırılma türleri
ERSOY/ÖZCEBE, S. 93
Betonda birim kısalma
Çelikte birim uzama
Betonarme elemanların iflas etmesi (yükünü taşıyamaması, kırılması, taşıma gücüne erişmesi) daima betonun ezilmesi sonucu olur. Fakat, ezilmenin
nedeni farklı olabilir:
1.Çelik yoktur veya çok yetersizdir: Çelik uzar, kopar beton ezilir.
2.Çelik aşırı çoktur çok az uzar, çelik kuvveti ve beton basınç kuvveti betonun dayanamayacağı kadar yüksektir, beton ezilir.
3.Çelik kopmaz fakat aşırı uzar, beton lifleri çok kısalır, beton ezilir.
Betonun en çok zorlanan lifi εc= εcu=0.003 birim kısalmasına ulaştığında eleman moment taşıma kapasitesine erişir, beton ezilir. Bu konumda donatının
akıp akmadığına bağlı olarak üç değişik kırılma türü tanımlanır:
1. Sünek kırılma (çekme kırılması)
2. Gevrek kırılma (basınç kırılması)
3. Dengeli kırılma (gevrek)
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
101
1. Sünek Kırılma ≡ Çekme kırılması
Betonda ezilme (sonra
sonra !)
!
Çelikte akma (öönce !)
!
HOOKE geçersiz!
Sünek kırılma (Çekme kırılması):
Betondaki birim kısalma εc= εcu=0.003 değerine ulaşmadan önce
çelik akmışsa, yani εs> εsd olmuşsa, çekme kırılması olur. Çünkü
önce çelik akmakta, uzamaya devam etmekte ve betondaki birim
kısalma da giderek artarak εc= εcu=0.003 sınır birim kısalmasına
erişerek ezilme olmaktadır. Kırılma sünektir.
2. Gevrek Kırılma ≡ Basınç kırılması
d
c
Beton ezilmiş
Çelik akmamış!
HOOKE geçerli
Gevrek kırılma (Basınç kırılması):
εs< εsd iken, yani çelik akmadan, beton εc= εcu=0.003 birim
kısalmasına ulaşırsa basınç kırılması olur. Çünkü beton ezilir fakat
çelik akmaz. Kırılma gevrektir.
3. Dengeli Kırılma ≡ Gevrek Kırılma
Aynı anda
d
c
Beton ezilmiş
Çelik akmış
Dengeli kırılma(gevrek kırılma):
Çekme kırılması ile basınç kırılması arasında bir kırılma türüdür.
Çelikteki uzama εs= εsd olduğu an (çelik aktığı an), betondaki birim
kısalma da εc= εcu=0.003 olmaktadır. Çelik daha fazla uzama imkanı
bulamamaktadır. Betonun ezilmesi ve çeliğin akması aynı anda
olmaktadır. Kırılma gevrektir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
102
Sünek kırılma ani olmaz. Çökme oluşmadan önce bir süre aşırı çatlaklar, yer değiştirmeler oluşur, sıva ve beton parçacıkları dökülür. Çelik uzuyor, beton çatlıyor
ve eziliyordur. Gece sessizliğinde cık-cık sesler duyulur. Yapı çökeceğini haber verir. Önlem almak ve yapıyı boşaltmak için zaman tanır.
Gevrek kırılma hemen hiçbir belirti vermeden, genelde patlama sesi ile birlikte, ani olur. Yapı yıkılmadan önce hemen hiçbir belirti vermediğinden önlem alma
veya boşaltma şansı kalmaz. Gevrek kırılma tehlikelidir!
Hiçbir yapı elemanı kırılacak şekilde boyutlandırılmaz. Ancak, öngörülemeyen herhangi bir nedenle kırılacaksa, kırılmanın haberli, yani sünek olması arzu edilir.
Sünek davranışı sağlamak için basit kurallar:
• Yönetmelik koşulları mutlaka yerine getirilmelidir.
• Özellikle kolon boyutlarında cömert davranılmalı, eksenel yük düzeyi düşük tutulmalıdır.
• Boyuna donatıların kenetlenmesine özen gösterilmelidir.
• Kolonlar temelden-çatıya, kiriş birleşim noktaları dahil, sarılmalıdır.
• Kiriş ve kolonların uçlarında sık sargı (etriye,fret) kullanılmalı, etriye ve fret uçları beton çekirdeğine saplanmalıdır.
• L, Z, T gibi kesitlerden olabildiğince kaçınılmalıdır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
103
Kirişler
Kirişler genelde duvarların altına yapılan, duvar, döşeme ve kendi yükünü taşıyan; çoğunlukla yatay betonarme elemanlardır. Üzerindeki yükleri oturduğu düşey
elemanlara (kolonlara) aktarır. Kirişlerin bir diğer önemli işlevi de deprem veya rüzgâr gibi yatay yükleri, döşeme ile bir bütün davranarak, kolonlara aktarmaktır.
Uygulamada yatay elemanlara KİRİŞ, düşey elemanlara da KOLON denilmektedir. Ne yatay ne de düşey olan, EĞİK elemanlara ne denilecektir? Yapı statiği
derslerinden bilindiği gibi, çubuk eleman ister yatay ister düşey ister eğik olsun, kolon kiriş ayırımı yapılmaz. Elemanın konumu nasıl olursa olsun, en genel halde,
çubuk elemanda altı adet iç kuvvet oluşur: Bir eksenel kuvvet, iki eğilme momenti, iki kesme kuvveti ve bir burulma momenti. Yatay elemanlarda sadece bir eğilme
momenti ve bir kesme kuvveti etkin olurken diğer iç kuvvetler çoğu kez önemsenmeyecek düzeyde kalırlar. Düşey elemanlarda altı adet iç kuvvetin genelde hepsi
de etkin olmakla birlikte eksenel kuvvet önem arz eder. Bu nedenle yatay elemanlar ile düşey elemanların davranışları da çok farklıdır. İç kuvvet açısından eğik
elemanlar, eğimin büyüklüğüne-küçüklüğüne bağlı olarak, bu iki durum arasındadırlar.
?
Konsol kiriş
TS 500-2000 ve Deprem Yönetmeliği-2007 bir elemanın kiriş olarak
boyutlandırılabilmesi için Nd eksenel tasarım kuvvetinin
Nd ≤ 0.1 fckAc
Kolon
Döşeme
Kiriş
koşulunu sağlaması gerektiğini yazmaktadırlar. Bu koşulu sağlamayan,
yani eksenel kuvvet düzeyi yüksek olan elemanlar, ister yatay, ister
düşey veya eğik olsunlar, kolon olarak boyutlandırılmak zorundadırlar.
Bu bağıntıda fck betonun karakteristik dayanımı ve Ac elemanın kesit
alanıdır.
O halde; elemanın eğimine bakılmaksızın, Nd ≤ 0.1 fckAc koşulunu
sağlayan elemanlara “Kiriş”, sağlamayanlara “Kolon” denilecektir ve
kolon olarak boyutlandırılacaktır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
104
Kesit tipleri
Kiriş kesitleri çoğunlukla dikdörtgen ve tablalı; nadiren trapez, kutu ve üçgen olur.
dikdörtgen
tablalı
trapez
kutu
üçgen
Kirişler öncelikle moment ve kesme kuvveti etkisindedir. Normal kuvvet etkisi genelde düşüktür. Burulma momenti nadiren dikkate alınacak düzeye varır. Moment
(kuvvet çifti) kirişin bir tarafına çekme, diğer tarafına da basınç kuvveti uygular. Çekme kuvveti kirişte dik çatlaklar oluşturur. Bu kuvveti karşılamak ve
oluşturacağı çatlakları sınırlamak için kirişin çekme bölgelerine boyuna donatı konur. Kesme kuvveti mesnet bölgelerinde eğik çekme kuvvetleri oluşturur ve eğik
çatlaklara ( ≈ 450) neden olur. Kesme kuvvetini karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak amacıyla, açıklıklarda seyrek mesnet bölgelerinde daha sık etriye ile
sarılır.
Dikdörtgen Kesit
Boyuna donatının kesitteki yerine göre farklı kesit tipi vardır:
Montaj
donatısı
etriye
basınç
donatısı
Çift donatılı kesit: Bazen mevcut kesit momenti taşımaz. Bu durumda ya kesit büyütülür
yada hem çekme hem de basınç bölgesine hesapla belirlenen donatı konur. Montaj
donatısına gerek kalmaz. Basınç bölgesine konan donatı çekme değil, basınç etkisindedir.
Basınç donatısı kesitin dayanımını ve sünekliğini artırır.
h
h
Tek donatılı kesit: Momenti karşılayacak ve hesapla belirlenen donatı kesitin çekme
tarafına konur. Basınç bölgesine hesap dışı (konstrüktif) montaj donatısı konur.
çekme donatısı
Çift sıra donatılı kesit: Momenti karşılayacak ve hesapla belirlenen donatı genişliği az
kirişlere sığmayabilir. Bu durumda ya kesit genişletilir yada donatı çift sıara yerleştirilir.
bw :genişlik
h : yükseklik
As : çekme donatısının toplam alanı
A’s :montaj veya basınç donatısının toplam alanı
h
A’s
Md
Çift sıra donatı
As
bw
Çift sıra donatılı kesit
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
105
TS 500/2000, S. 19-20
ERSOY/ÖZCEBE, S. 247
Tablalı Kesit
Ki
riş
t
Kalıp kiriş gövdesinin bir veya iki tarafında kulaklar oluşacak şekilde hazırlanır ve beton
dökülürse tablalı kesit oluşur. Köprü kirişleri genelde bu yöntemle hazırlanır. Tabla betonu
basınç alanının büyümesine katkı sağlar.
t
h
Lh
t
Ki
riş
Ki
ri
ş
Döşeme ve kiriş betonu bir bütün dökülmüş ise ve döşeme betonu kirişin basınç bölgesinde
ise, döşemenin b genişliğindeki bir parçası hesaplarda kirişin basınca çalışan tablası olarak
dikkate alınır. b ye etkili tabla genişliği veya çalışan tabla genişliği denir. Tablası dikkate
alınan kirişler T, L ve I kesitli olabilirler. Tabla beton basınç alanının büyümesine neden olur.
Döşeme plağının büyük olması durumunda tablanın tamamı basınca çalışmaz. Tabladaki
basınç gerilmeleri kiriş gövdesinden uzaklaştıkça hızla azalır. Yapılan araştırmalar sonucunda
b çalışan tabla genişliği sınırlandırılmış ve yönetmeliklerde verilmiştir.
h
d
h
d
Çalışan tabla genişliğinin sınırlandırılması:
b 1 ≤ 6 t , b 1≤ 1 a 1 , b 1≤ 1 a 2
2
2
Tabla kulağı b1 döşeme kalınlığının 6 katını ve komşu kiriş yüzüne olan net
uzaklığın yarısını aşamaz. Kirişin, balkon veya saçak döşemeli kenar kiriş, iç
kiriş ve kenar kiriş olma durumuna ait sınırlamalar şekil üzerinde gösterilmiştir.
Lh kirişin hesap açıklığıdır.
α sayıları:
b ≤ b2 + bw + 6t
b ≤ bw + 12t
b ≤ b2 + bw + 0.1α L h
b ≤ bw + 0.2 α Lh
Simetrik olmayan, balkon
veya saçak döşemeli tablalı
kesit
Basit kiriş
Simetrik tablalı kesit
b ≤ bw + 6t
b ≤ bw + 0.1α L h
Simetrik olmayan tablalı
kesit
konsol
kenar açıklık
orta açıklık
konsol
Her açıklıkta hesaplanan b değerlerinden en küçüğü o açıklığın tabla genişliğinin üst sınırıdır.
Hesaplarda daha da küçük alınabilir. Dikkat edilirse, Kiriş boyunca her açıklıkta tabla genişliği
farklı olmaktadır. İstenirse, bunlardan en küçüğü kullanılarak, her açıklığın tabla genişliği eşit
alınabilir. Hatta tabla tamamen ihmal edilerek dikdörtgen kesit (bw.h) olarak hesap yapılabilir.
Ancak bu, gerçekte var olan, basınç bölgesinin bir kısmının veya tamamının ihmal edilmesi
anlamına gelir ve kirişe daha fazla donatı koymak zorunda kalınır. Büyük açıklıklı kirişlerde,
dişli döşeme dişlerinde, köprü kirişlerinde ve prefabrik yapılarda tablanın ihmali, ekonomik
açıdan, doğru olmaz.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
106
Tablalı Kesit – Eşdeğer kesit
Soldaki her iki kesit için tabla dikkate alınır. Çünkü tabla basınç
bölgesindedir, basınç gerilmeleri alır. Her iki kesit de tablalı olarak
hesaplanır.
eşdeğeri
eşdeğeri
Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Fiziksel olarak var
olmasına rağmen, hesaplarda tabla dikkate alınmaz. Çünkü çekme
bölgesinde olan tabla çatlayacaktır. Kiriş, sağdaki dikdörtgen kesit
olarak modellenir ve hesaplanır fakat tablalı olarak inşa edilir.
Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Hesaplarda tabla
dikkate alınmaz. Kiriş sağdaki dikdörtgen kesit olarak modellenir
hesaplanır fakat tablalı olarak inşa edilir.
•Tabla basınç bölgesinde ise hesaplarda dikkate alınır.
•Çekme bölgesindeki tabla hesap modelinde dikkate alınmaz. Çünkü; çekme bölgesindeki tabla betonu çatlar, çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu
durumda kesit, bw. h boyutlu eşdeğer dikdörtgen kesit imiş gibi düşünülür.
•Eşdeğer dikdörtgen kesit sadece hesapları basitleştirir, gerçek değil sanal bir kesittir. Hesap sonucu bulunan donatılar gerçek olan tablalı kesite yerleştirilir ve
yerinde tablalı olarak inşa edilir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
107
Kutu Kesit, I Kesit
b=b2+2b1+2b3
2b1
Eşdeğeri
Eşdeğeri
2b1
Kutu kesit
I kesit
b'=b2+2b1
T kesit (tablalı)
t2
h
Eşdeğeri
Eşdeğeri
h
t1
b≤2b1+12t1
b’≤2b1+12t2
b≤2b1+0.2αLh
b’≤2b1+0.2αLh
I kesit
Kutu kesit
T kesit (tablalı)
Daha çok sanayi yapılarında ve köprü kirişlerinde karşılaşılan kutu kesitler eşdeğer tablalı kesit gibi hesaplanabilirler. Çünkü basınç bölgesi alanı ve ağırlık merkezi
değişmemektedir. Ancak b ve b’ çalışan tabla genişliği yukarıda verilen şartları sağlamalıdır. Momentin etkime durumuna bağlı olarak, çekme tarafında kalan tabla
dikkate alınmayacaktır. Bu nedenle, hesaplanacak kesit T veya ⊥ olmaktadır. Eşdeğer kesit hesapları basitleştirmektedir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
108
Tanımlar
t
YÜKSEKLİK: Kiriş alt yüzünden üst yüzüne olan mesafedir. Şekilde h ile gösterilmiştir.
GENİŞLİK: Kirişin, kulaklar hariç, gövde genişliğidir. bw ile gösterilir.
d
TABLA KALINLIĞI: Tablanın et kalınlığıdır, şekilde t ile gösterilmiştir.
h
TABLA GENİŞLİĞİ: Basınca çalışan tabla genişliğidir, şekilde b ile gösterilmiştir. Fiziksel olarak tabla daha geniş olsa bile hesaplarda
yönetmelikte verilen b kadarı dikkate alınır.
c
FAYDALI YÜKSEKLİK: Çekme donatısının ağırlık merkezinin en dış basınç lifine uzaklığıdır, şekillerde d ile gösterilmiştir.
cc
BETON ÖRTÜSÜ: Kiriş yüzüne en yakın olan boyuna donatının merkezinin kiriş yüzüne mesafesidir. Beton örtüsüne uygulamada pas
payı da denilmektedir. Şekilde c ile gösterilmiştir.
NET BETON ÖRTÜSÜ: En dıştaki donatının (çoğunlukla etriyenin) dış yüzünün beton yüzüne olan mesafesidir. Kenetlenmeyi
sağlamak, paslanmayı önlemek ve yangına dayanımı artırmak gibi amaçları vardır. Şekilde cc ile gösterilmiştir.
b
DONATI NET ARALIĞI: Donatı çubuklarının yüzleri arasındaki mesafedir. Şekilde c’c ile gösterilmiştir. Agreganın geçebilmesi,
betonun sıkıştırılabilmesi ve kenetlenmenin sağlanabilmesi için yeterli net aralık bırakılmalıdır.
A’s
ÇEKME DONATISI: Çekme kuvvetini karşılamak amacıyla kirişin çekme tarafına konulan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş
genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde çekme donatısının toplam alanı As ile gösterilmiştir.
As
Çekme donatısı
ağırlık merkezi
c’c
bw
MONTAJ DONATISI: Kirişin basınç tarafına konulan fakat basınç kuvveti almadığı varsayılan donatıdır. En az iki çubuk konur.
Donatı çubuklarının kiriş gövde genişliğine sığmaması durumunda çift sıra veya tabla (varsa) içine de yerleştirilebilir. Montaj donatısının
toplam alanı A’s ile gösterilmiştir.
t
BASINÇ DONATISI: Dikdörtgen kesitli kirişlerin basınç tarafına bazen konulan ve basınç kuvveti alan donatıdır. Ayrıca montaj
donatısı konulmaz. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Basınç donatısının
toplam alanı A’s ile gösterilmiştir.
GÖVDE DONATISI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulan donatıdır. Şekilde gövde donatısınının toplam alanı Asgövde
olarak gösterilmiştir.
cc
c
h
d
BOYUNA DONATI: Kiriş eksenine paralel olan çekme, montaj (veya basınç) donatılarına verilen addır. Bu donatılar kiriş genişliğine
sığmalı ve aralarında, kenetlenmeyi sağlamak için, yeterli mesafe olmalıdır. Donatıların kiriş gövde genişliğine sığmaması durumunda; 1)
kiriş genişliğini artırmak 2) aynı As alanınını sağlayan daha kalın fakat daha az sayıda çubuk koymak 3) çubukların bazılarını tabla içine
yerleştirmek 4) çift sıra donatı düzenlemek gibi tedbirler alınır.
ENİNE DONATI: Boyuna donatılara dik olarak yerleştirilen ve boyuna donatıları saran donatıya verilen addır. Sargı donatısı veya etriye
de denir. Açıklıklarda seyrek, mesnet bölgelerinde ve konsollarda sık yerleştirilir. Kesme, burulma kuvvetlerini karşılamak ve betonun
şişmesini önlemek gibi çok önemli görevleri vardır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
109
Tanımlar-Kirişlerde donatı oranları
DONATI ORANI: Donatı kesit alanının brüt beton alanına oranıdır. Brüt beton alanı hesabında yükseklik olarak h değil
d alınır. Donatı alanı beton alanından düşülmez. Kesitin sadece gövde alanı dikkate alınır, tabla kulakları gibi çıkıntılar
dikkate alınmaz. Çekme donatısı, montaj (veya basınç) donatısı, gövde donatısı ve etriye için ayrı ayrı donatı oranı
tanımlanır. Donatı oranını simgesi için ρ karakteri kullanılır.
ÇEKME DONATISININ ORANI: Çekme bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına
oranıdır:
ρ=
As
bw d
t
MONTAJ veya BASINÇ DONATISININ ORANI: Montaj veya basınç kuvveti almak amacıyla basınç bölgesine
konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:
d
As'
bw d
h
ρ'=
GÖVDE DONATISININ ORANI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulmuş olan çubukların toplam
alanının brüt beton alanına oranıdır:
ρ gövde =
Asgövde
bw d
SARGI(ETRİYE) DONATISININ ORANI:
ρw =
Asw
s bw
ile tanımlanır. Burada s etriye adımı (aralığı), Asw etriye düşey kollarının toplam kesit alanıdır. Kirişler genellikle iki
düşey kolu olan bir etriye ile sarılırlar. Ancak, bazı durumlarda (örneğin geniş kirişlerde) dört, altı veya daha fazla kollu
da olabilir. Şekildeki dikdörtgen ve tablalı kesitlerde bir etriye (iki kollu), kutu kesitte ise üç etriye (altı kollu) vardır. Asw
etriye alanı, bir kolun kesit alanı ile düşey kol sayısının çarpımıdır. Kesme kuvvetini sadece düşey kollar karşılar. Bu
nedenle yatay kolların alanı hesaba katılmaz.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
110
Kirişlerde dengeli donatı oranı tanımı
ERSOY/ÖZCEBE, S. 231
Dengeli kırılan kesitin donatı oranına dengeli donatı oranı adı verilir ve ρb ile gösterilir. Dengeli kırılmada donatının akması ve betonun ezilmesi aynı anda olur.
Donatıdaki deformasyon εsd akma deformasyonuna ulaştığı an betonun deformasyonu da εcu=0.003 e ulaşır, beton ezilir ve ani göçme olur. Çelik aktığı için σs=fyd
olacaktır.
Dengeli kırılma donatı oranı, sünek kırılma ile gevrek kırılma arasındaki bir sınır değer olduğundan, önemlidir. ρb sünek kırılma donatı oranının üst sınırı, gevrek
kırılma oranının alt sınırıdır. b indisi dengeli (balanced) anlamındadır. Bu oran bilindiği taktirde kiriş bu oranın altında donatılarak gevrek kırılma önlenir.
Dengeli kırılma anındaki
tarafsız eksen derinliği
Betonda ezilme
Aynı anda
cb
d
h
ρb =
A sb
bw d
Asb :dengeli kırılmaya neden olan toplam donatı alanı
ρb :dengeli kırılmaya neden olan donatı oranı
Çelikte akma
Dengeli, denge üstü ve denge altı donatılı kesit tanımı
Dengeli donatılı kesit: Donatı oranı dengeli kırılmaya neden olacak kadar olan kesite denir: ρ = ρb.
Denge üstü donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından fazla olan kesite denir: ρ > ρb.
Denge altı donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından az olan kesite denir: ρ < ρb.
Kırılma türleri donatı oranlarına göre de sınıflandırılabilir:
(ρ = ρb) gevrek kırılır.
Tehlikeli !
2.Denge üstü donatılı kesit (ρ > ρb) gevrek kırılır.
Tehlikeli !
1.Dengeli donatılı kesit
3.Denge altı donatılı kesit (ρ < ρb) sünek kırılır.
Arzu edilen kırılma türü
•Dengeli donatı oranı ρb sünek kırılma donatı oranının üst
sınırıdır.
•Kirişler denge altı donatılmalı, yani daima ρ < ρb olmalıdır. Bu
bakımdan, ρb dengeli donatı oranının bilinmesi önemlidir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
111
d-a/2
a=k1cb
cb
d-cb
h
d
a
a/2
a/2
Dikdörtgen kesitli, tek donatılı kirişin dengeli kırılmasına neden olan donatı alanı, dengeli donatı oranı ve kirişin moment taşıma
ERSOY/ÖZCEBE, S. 232-233
gücünün hesabı
Kesit boyutları (bw , h, d) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir.
Dengeli kırılmaya neden olacak toplam çekme donatısı alanı Asb ve donatı oranı ρb nedir?
Kesitin moment kapasitesi Mb (moment taşıma gücü) ne kadardır?
ÇÖZÜM:
Dengeli kırılmaya ait deformasyon diyagramı ve iç kuvvet durumu şekildeki gibi olacaktır. Donatı εsd akma birim uzamasına ulaştığı an beton da εcu =0.003 kırılma
birim kısalmasına ulaşacak ve beton ezilecektir. Çelik aktığı için gerilmesi fyd olacaktır. Kırılma anına ait iç kuvvet durumu şekilde görülmektedir. Kesit boyutları
ile beton ve çelik sınıfı bilindiğinden d, bw, εsd , fyd, fcd, k1 bellidir. Tarafsız eksenin derinliği cb deformasyon diyagramından orantı ile bulunabilir. cb belli olunca
basınç bloğu derinliği a=k1cb ve basınç kuvveti Fc=0.85fcdabw hesaplanabilir. Fc=Fs bağıntısından Asb belirlenir. Bu işlemler sonraki izleyen sayfalarda verilmiştir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
112
a/2
a=k1cb
d-cb
d-a/2
cb
a
h
d
Dengeli donatı oranı (tanım):
ρb =
Asb
bw d
Çelik akma deformasyonları
Uygunluk (süreklilik) koşulu (deformasyon diyagramından orantı ile):
0 .003
ε sd
cb
=
d − cb
0 . 003
cb =
d
0 . 003 + ε sd
Çelik sınıfı
εsd= fyd/ Es
S220a
0.000957
S420a
0.001826
S420b
0.001826
S500a
0.002174
Tarafsız eksenin yeri (derinliği) bulunur. Burada εsd=fyd/Es dir ve çelik sınıfına bağlı değerler tabloda verilmiştir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
113
Eksenel denge koşulu :
Fc-Fs= 0 0.85fcd abw -Asb fyd= 0 Asb = 0.85
fcd
abw
fyd
dengeli kırılmaya neden
olan çekme donatısı alanı
Her iki taraf bwd ye bölünürse:
Asb
f a
= 0.85 cd
bw d
fyd d
a = k1cb yerine yazılırsa ve tanım gereği ρ b =
ρ b = 0.85
Asb
olduğu hatırlanırsa :
bw d
fcd k1cb
fyd d
cb değeri yerine yazılırsa:
ρb
f
0 . 003
= 0 . 85 cd k 1
f yd
0 . 003 + ε sd
dengeli kırılmaya neden
olan çekme donatısı oranı
Dengeli donatı oranı bulunur. Bu oran sadece malzemeye bağlıdır (fcd, k1 betona; fyd, εsd çeliğe ait sabit değerler). Değişik
malzeme için ρb değeri hesaplanabilir.
Moment kapasitesi (moment taşıma gücü):
Kırılma anındaki moment çelik kuvveti ile moment kolunun çarpımına eşittir. Beton basınç kuvveti ile moment kolunun çarpımı da aynı
sonucu verir. Çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir.
a
M b = Asb f yd (d − )
2
Kırılma anındaki moment ≡ Moment taşıma gücü
Görüldüğü gibi dengeli donatı oranını ρb kesit boyutlarından bağımsızdır ve sadece malzemeye bağlıdır. Bu oranın bilinmesi çok önemlidir, çünkü:
•Bir kiriş dengeli veya denge üstü donatılmışsa gevrek kırılır (TEHLİKELİ !).
•Bir kiriş denge altı donatılmışsa sünek kırılır (İSTENEN KIRILMA TÜRÜ!).
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
114
Dikdörtgen kesitli kirişlerde dengeli donatı oranları
Çelik
S220
S420
S500
fcd
0 . 003
k1
f yd
0 . 003 + ε
ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 (benzeri)
Beton
γ mc=1.4
γ mc=1.5
γ mc=1.7
C16/20
0.0327
0.0305
0.0270
C18/22
0.0368
0.0382
0.0303
C20/25
0.0409
0.0378
0.0337
S220/C16/20 , γmc=1.5 için örnek:
C25/30
0.0511
0.0477
0.0421
fcd = 16/1.5=10.67 N/mm2
C16/20
0.0141
0.0131
0.0116
C18/22
0.0158
0.0148
0.0130
C20/25
0.0176
0.0164
0.0145
C25/30
0.0220
0.0205
0.0181
C30/37
0.0254
0.0237
0.0209
C35/45
0.0286
0.0267
0.0235
C40/50
0.0314
0.0293
0.0259
C45/55
0.0339
0.0317
0.0280
C50/60
0.0362
0.0338
0.0298
C16/20
0.0110
0.0103
0.0091
C18/22
0.0124
0.0116
0.0102
C20/25
0.0138
0.0128
0.0113
C25/30
0.0172
0.0161
0.0142
C30/37
0.0199
0.0186
0.0164
C35/45
0.0224
0.0209
0.0184
C40/50
0.0246
0.0230
0.0203
C45/55
0.0266
0.0248
0.0219
C50/60
0.0283
0.0264
0.0233
ρ b = 0 . 85
sd
fyd = 220/1.15=191.30 N/mm2
k1 = 0.85
Es = 2.105 N/mm2
εsd = 191.30/ 2.105 = 0.000957
ρ b = 0.85
10.67
0.003
0.85
191.30
0.003 + 0.000957
ρ b = 0.0305
Not:
0.0186(1.5/1.7) = 0.0164
0.0186(1.5/1.4) = 0.0199
NOT: Dep. Yön. 2007 S220 ve S500 çeliklerinin kiriş, kolon ve perdelerde boyuna donatı
olarak kullanımını yasaklamıştır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
115
a
Dengeli donatı oranı ρb teorik üst sınır
değerdir. Güvenlik nedeniyle, uygulamada
kirişin donatı oranı bu üst sınırdan bir miktar
daha uzak (küçük) kalmalıdır. Donatı oranı
sıfır olamaz. O halde donatı oranının alt sınırı
da olmalıdır.
67
TS500-2000, S. 23, 30
Deprem Yönetmeliği-2007, Madde 3.4. 2.1
Kirişlerde donatı oranı üst ve alt sınırları
3
a
C25/30
S420a
TS500-2000 ve Deprem yönetmeliği-2007
donatı
oranlarını
aşağıdaki
gibi
sınırlandırmıştır. Mühendis kesite koyduğu
donatının oranını kontrol etmek, yönetmelik
sınırlarına uymak zorundadır.
Çekme donatısı oranının üst sınırı:
Örnek:
ρ − ρ ' ≤ 0.85ρ b
ρ ≤ 0.02
Detayı yukarıda verilen kiriş C25/30 betonu ve S420a çeliği ile iyi denetimli bir şantiyede inşa edilmiştir. a-a
kesitindeki donatıların oranları yönetmelik koşullarını sağlar mı? Kontrol ediniz.
Çekme donatısı oranının alt sınırı:
ρ ≥ 0 .8
f ctd
f yd
Gövde donatısı oranının alt sınırı:
ρ gövde = 0.001
Sargı(etriye) donatısı oranının alt sınırı:
ρ w ≥ 0 .3
f ctd
f ywd
Veri hazılığı:
Donatı oranları:
fck=25, fctk=1.8, fyk=fywk=420 N/mm2
ρ=770/300/670=0.0038
γmc=1.5, γms=1.15
ρ’=308/300/670=0.0015
fcd=25/1.5=16.67, fctd=1.8/1.5=1.2 N/mm2
ρgövde=226/300/670=0.0011
fyk=fywk=420/1.15=365.22 N/mm2
ρw=100/200/300=0.0017
C25/30, S420, γmc=1.5 içinρb=0.0205 (tablodan)
5φ14As=770
mm2
ρ: çekme donatısının oranı
ρ’ : basınç donatısının oranı
As
bwd
ρ'=
As'
bw d
ρ gövde =
ρw =
Asgövde
bw d
Asw
sbw
ρ−ρ’=0.0038-0.0015=0.0023<0.85.0.0205=0.0174 2φ14 As’=308 mm2
2φ12Asgövde=226
Kontrol:
ρ=
ρ=0.0038>0.8.1.2/365.22=0.0026 mm2
φ8 çift kollu etriyeAsw
=2.50=100
ρ=0.0038<0.02 mm2
ρgövde=0.0011>0.001 ρw=0.0017>0.3.1.2/365.22=0.0010 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
116
ÖRNEK
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış bir kirişin açıklık kesiti.
Malzeme: C20/25, S420a.
Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır.
İstenen:
Kesit dengeli mi, denge altı mı, denge üstü mü donatılmıştır?
Kırılma nasıl olur? Belirleyiniz.
Mevcut donatı yönetmeliklere uygun mu? Kontrol ediniz.
ÇÖZÜM:
Mevcut donatı alanı ve oranı: As = 1018 mm2, ρ = 1018/(250 . 470) = 0.0087
f
Malzeme katsayıları: γmc = 1.5, γms= 1.15
f cd = ck
γ mc
Malzeme tasarım dayanımları: fcd = 20/1.5 = 13.33 N/mm2
f yk
fctd = 1.6/1.5 = 1.07 N/mm2, fyd = 420/1.15 = 365.22 N/mm2
f yd =
k1=0.85, ρb = 0.0164(tablodan)
γ ms
4
250
Kesit
ρ =
As
bw d
Kiriş denge altı mı? Kontrol:
ρ = 0.0087< 0.85 ρb = 0.85 . 0.0164 = 0.0139
olduğundan kiriş denge altı donatılmıştır, kırılma sünek olur.
Donatı sınırları kontrolü:
ρ = 0.0087 < 0.85 ρb = 0.0139
ρ = 0.0087 < 0.02
ρ = 0.0087 > 0.8.1.07/365.22 = 0.0023
ρ ≥ 0.8
f ctd
f yd
olduğundan donatı oranı yönetmeliklere uygundur.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
117
d-a/2
h
d-c
d
c
a
a=k1c
a/2
a/2
Tek donatılı, denge altı donatılmış dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü
ERSOY/ÖZCEBE, S. 234
Denge altı donatılı kesitlerde önce çelik akar, εs > εsd, σs = fyd olur.
Çelik uzamaya devam ederken betondaki birim kısalma da
giderek artar, εc = εcu = 0.003 olur ve beton ezilir. Kırılma
sünektir (çekme kırılması). Yönetmelikler sadece denge altı
donatılı kesitlere izin verirler.
Fs çelik kuvveti bellidir. Momentin hesaplanabilmesi için a
gerilme bloğu derinliğinin belirlenmesi gerekir.
Eksenel kuvvet dengesi:
Fc = Fs → 0.85 f cd abw = As f yd → a =
As f yd
0.85bw f cd
d-a/2
a=k1c
c
d-c
h
d
a
a/2
Tarafsız eksenin yeri:
a = k1c → c = a / k1
Kirişin moment taşıma gücü:
Fs=Fc kuvvet çiftinin momenti kirişin kırılma anındaki
momentini, yani moment taşıma gücünü verir.
Mr = Fs (d-a/2) = Fc (d-a/2)
olur. Mr yi çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir:
Kesit boyutları (bw, d, h), donatı alanı (As ), malzemesi (beton/çelik sınıfı) ve denge altı
donatıldığı bilinen dikdörtgen kesitin moment taşıma gücü ( Mr ) ne kadardır?
a
M r = As f yd (d − )
2
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
118
ÖRNEK: Tek donatılı, denge altı donatılmış, dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü
ERSOY/ÖZCEBE, S. 236(benzeri)
30
İstenen:
Kiriş verilen yükleri güvenle taşıyabilir mi?
Kırılma anındaki şekil değiştirme ve iç kuvvet durumunu şekil üzerinde gösteriniz.
500 mm
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g (sabit) ve q (hareketli) karakteristik yükleri , malzemesi: C20/25/S420a.
Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır.
ÇÖZÜM:
Kirişin güvenli olması için,
1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı:
ρ≤0.85 ρb , ρ≤0.02 (max donatı oranı)
ρ≥0.8 fctd /fyd
(min donatı oranı)
2) Kirişin moment taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı1: Mr ≥Md
C20/25/S420a malzemesi için:
γmc =1.5, γms=1.15
fck=20 N/mm2, fctk=1.6 N/mm2 , fyk=420 N/mm2
k1=0.85
fcd=20/1.5=13.33 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
ρb=0.0164 (tablodan)
----------------------------1 Kirişin güvenli olması için V ≥V koşulunun da sağlanması gerekir. Kesme hesabı henüz anlatılmadığı için bu kontrol yapılmayacaktır.
r
d
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
119
Çekme donatısı oranı kontrolü:
As=1018 mm2, ρ = 1018/(250.470) = 0.0087
ρ = 0.0087 < 0.85ρb = 0.85. 0.0164 = 0.0139 (denge altı donatılı) ρ = 0.0087 < 0.02 ρ = 0.0087 > 0.8 . 1.07 /365.22 = 0.0023 Tasarım momenti:
Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten)
Mq=10.52/8 = 31.3 kN.m (hareketli yükten)
Karakteristik
yük etkileri
Md = 1.4.62.5+1.6.31.3 = 137.6 kN.m (tasarım momenti)
olduğundan kiriş verilen yükleri güvenle taşır. a=131.3
c=154.5 mm
30
Mr = 150.3 kN.m > Md = 137.6 kN.m
470-65.7=404.3
Mr=150.3 kN.m (moment taşıma gücü)
a
M r = As f yd (d − )
2
470 mm
Mr = 1018.365.22(470-131.3/2) = 150334888 N.mm
470-154.5=315.5
Moment taşıma gücü:
154.5
c = a / 0.85
As f yd
0.85bw f cd
65.7
c=131.3/0.85=154.5 mm
a=
131.3
a=1018/0.85/250.365.22/13.33=131.3 mm
131.2/2=65.7
Kırılma anında şekil değiştirme ve iç kuvvet durumu:
Basınç bloğu ve tarafsız eksenin derinliği:
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
120
ÖRNEK: Tek donatılı, denge altı donatılmış, dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü
ÇÖZÜM:
Yüklerden oluşan tasarım momenti kirişin moment taşıma gücünden küçük
veya eşit olmalıdır1: Md ≤ Mr
Moment kapasitesi:
30
500 mm
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g
karakteristik sabit yükü, malzemesi: C20/25/S420a.
Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır.
Kiriş kesiti bir önceki örnek ile aynı olduğundan moment taşıma
gücü de aynıdır: Mr= 150.3 kN.m
Tasarım momenti:
İstenen:
Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum
q karakteristik hareketli yükü ne kadardır?
Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten)
Mq = q.52/8 = 3.125q kN.m (hareketli yükten)
Md = 1.4.62.5+1.6.3.125q = 87.5+5.0q
Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik yükü:
Md ≤ Mr olmalı.
87.5+5.0q ≤ 150.25
q = 12.6 kN/m bulunur.
----------------------------1 Kirişin güvenli olması için V ≥V koşulunun da sağlanması gerekir. Kesme hesabı henüz anlatılmadığı için bu kontrol yapılmayacaktır.
r
d
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
121
ρ =
ρ
'
=
b
A
s
w
d
b
A
'
s
w
d
ERSOY/ÖZCEBE, S. 238-243
d-d’
k1c/2
a=k1c
a=k1c
d-c
Çekme donatısı
d-k1c/2
h
d
Basınç donatısı
c
c-d’
a=k1c
d’
Çift donatılı, denge altı donatılmış dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü
(çekme donatısı oranı)
(basınç donatısı oranı)
Tek donatılı kirişin moment kapasitesi yetersiz kaldığında, kapasiteyi artırmak için ya kiriş kesiti (bw . d) büyütülür yada basınç bölgesine de donatı konur. Şekilde
basınç donatısı A’s ile çekme donatısı da As ile gösterilmiştir. Basınç donatısı aynı zamanda montaj görevi görür, ayrıca montaj donatısı konmaz.
İç kuvvetler 1.modelin ve 2.modelin toplamı olarak düşünülebilir. As = As1+ As2 dir. Dengeli donatı durumunda A’s akar, öyleyse σ’s =fyd , F’s=Fs2 , A’s=As2,
As1=As-A’s olur. Dengeli kırılma As1 donatısının akması, uzaması ve daha sonra da betonun ezilmesi ile olur. Çünkü, ikinci modelde beton kuvveti yoktur, sadece
çelik çubuklarda kuvvetler vardır. As2 ve A’s sünek malzemelerdir; aksalar dahi, beton olmadığı için, ikinci modelde gevrek kırılma olmaz. O halde kırılmanın
türünü tek donatılı olan birinci model belirleyecektir. Bu nedenle, As1 donatısının oranı, tek donatılı kesite ait ρb den küçük olmalıdır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
122
1. Modeldeki As1 donatısının oranı:
As 1
A − As'
A
A'
≤ ρb → s
= s − s → ρ − ρ ' ≤ ρb
bw d
bw d
bw d b w d
TS500-2000, güvenlik ve süneklik nedeniyle, ρ - ρ’ ve ρ oranlarını aşağıdaki gibi sınırlamaktadır:
ρ − ρ ' ≤ 0 . 85 ρ b
ρ ≤ 0 . 02
Eksenel denge
TS500-2000, S. 23
Deprem Yönetmeliği-2007, Madde 3.4.2.1
ERSOY/ÖZCEBE, S. 261
:
Fc+ F’s - Fs= 0
Moment taşıma gücü:
Beton bileşke kuvveti
Mr = Fc (d-k1c/2)+F’s (d-d’)
Fc = 0.85fcd bw k1c
:
Basınç donatısı kuvveti :
F’s = A’sσ ’s
(σ ’s = Esε’s ≤ fyd)
Çekme donatısı kuvveti :
Fs = Asfyd
Eksenel denge
:
0.85 f cd bw k1c + As' σ s' − As f yd = 0
Moment taşıma gücü
:
M r = 0.85 f cd bw k1c(d −
(1)
k1c
) + As' σ s' (d − d ' ) (2)
2
(1) ve (2) bağıntılarında sadece c ve σ’s bilinmiyor!
Uygunluk koşulu
:
ε s'
0.003
=
c−d'
c − d'
→ ε s' = 0.003
c
c
(3)
Basınç donatısı gerilmesi : σ ' = E ε ' ≤ f → σ ' = E ⋅ 0.003 c − d ≤ f
(4)
s
s s
yd
s
s
yd
c
Çözüm, basınç donatısının akıp akmadığına bağlıdır! Akmışsa σ’s=fyd alınacaktır , akmamışsa σ’s = Esεs den hesaplanacaktır. Basınç donatısı, en çok zorlanan
beton lifine yakın olduğundan, uygulamada genellikle akar. Moment kapasitesinin hesabı için aşağıdaki yol izlenir.
'
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
123
Hesap için algoritma
Hesap sırası:
1. Kesit denge altı mı? bak; ρ - ρ’ ≤ 0.85 ρb olmalı! ρ nun alt ve üst sınırlarını kontrol et.
2. A’s basınç donatısının aktığını varsay, σ’s = fyd al, (1) de yerine koy c yi hesapla:
c =
( A s − A s' ) f
yd
0 . 85 f cd b w k 1
3. σ’s değerini hesapla:
σ
'
s
= 0 . 003 E s
c − d
c
'
a) σ’s ≥ fyd ise A’s basınç donatısı akmıştır, yani varsayım ve hesaplanan c doğrudur. Bu c ve σ’s = fyd değerini (2)
ifadesinde yerine koy Mr yi bul, hesabı bitir.
b) σ’s< fyd ise, basınç donatısı akmamıştır, yani varsayım ve hesaplanan c doğru değildir. ( 4) ifadesinin (1) de yerine
konmasıyla bulunan
0 . 85 f cd b w k 1 c 2 + ( 0 . 003 E s A s' − A s f yd ) c − 0 . 003 E s A s' d ' = 0
bağıntısından c nin yeni değerini ve σ
'
s
= E s ⋅ 0 . 003
c − d
c
'
değerini hesapla, bu c ve σ’s son değerlerini
(2) de yerine yaz, Mr yi bul, hesabı bitir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
124
ÖRNEK: Çift donatılı dikdörtgen kesit
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit
boyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’s=520 mm2. Malzeme: C16/20/S420a
A’s
İstenen:
Kirişin taşıma gücü ne kadardır?
As
ERSOY/ÖZCEBE, S. 243
Mr =?
300
ÇÖZÜM:
C16/20/S420a malzemesi için:
γmc =1.5, γms=1.15
fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2
k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2
fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
1. Donatı oranı kontrolü:
As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117
A’s=520 mm2, ρ’ =520/(300.450)=0.0039
ρ b =0.0131 (dengeli donatı oranları tablosundan)
0.0117-0.0039= 0.0078 <0.85.0.0131=0.0111 (kiriş denge altıdır).
ρ = 0.0117<0.02 (max kontrolü)
ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 (min kontrolü)
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
125
2. A’s basınç donatısı akmış varsayalım: σ’s =fyd= 365.22 N/mm2
c=(1580-520)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)= 167.4 mm
c =
( A s − A s' ) f yd
0 . 85 f cd b w k 1
c − d'
167 . 4 − 30
σ s' = 0 .003 E s
2
2
= 492 .47 N/mm > f yd = 365 . 22 N/mm
3. σ = 0 .003 ⋅ 2 ⋅ 10
c
167 . 4
a) σ’s>fyd , yani A’s donatısı akmıştır. Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğrudur:
'
s
5
M r = 0 . 85 ⋅ 10 . 67 ⋅ 300 ⋅ 0 . 85 ⋅ 167 . 4 ( 450 − 0 . 85 ⋅ 167 . 4 / 2 ) + 520 ⋅ 365 . 22 ( 450 − 30 )
M r = 226437665 N ⋅ mm ≈ 226 .4 kN ⋅ m
M
r
= 0 . 85 f cd b w k 1 c ( d −
ÖRNEK: Çift donatılı dikdörtgen kesit
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit
boyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’s=1200 mm2. Malzeme: C16/20/S420a
k 1c
) + A s' σ s' ( d − d ' )
2
ERSOY/ÖZCEBE, S. 244
A’s
Mr =?
İstenen:
Kirişin taşıma gücü ne kadardır?
As
300
ÇÖZÜM:
C16/20/S420a malzemesi için
γmc =1.5, γms=1.15
fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2
k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2
fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
126
1. Donatı oranı kontrolü:
As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117
A’s=1200 mm2, ρ’ =1200/(300.450)=0.0089
ρ b =0.0131 (ERSOY/ÖZCEBE, S. 235, çizelge 5.1)
0.0117-0.0089= 0.0028 <0.85.0.0131=0.0111 (kiriş denge altıdır).
ρ = 0.0117<0.02 (max kontrolü)
ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 (min kontrolü)
2. A’s basınç donatısı akmış varsayalım: σ’s =fyd=365.22 N/mm2
c=(1580-1200)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)=60 mm
c =
( A s − A s' ) f yd
0 . 85 f cd b w k 1
c−d
60 − 30
σ s' = 0 .003 E s
= 300 N/mm 2 < f yd = 365.22 N/mm 2
3. σ = 0.003 ⋅ 2 ⋅10
c
60
b) σ’s <fyd, yani A’s donatısı akmamıştır. Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğru değildir!
'
'
s
5
0.85.10.67.300.0.85 c2+(0.003.2.105.1200-1580.365.22) c-0.003.2.105.1200.30=0
2313 c2+142952 c-21600000=0
c2+62 c-9339=0 c= 70 mm
0 . 85 f cd b w k1c 2 + ( 0 . 003 E s As' − As f yd ) c − 0 . 003 E s As' d ' = 0
70 − 30
σ = 0.003 ⋅ 2 ⋅10
= 342.86 N/mm 2 < f yd = 365.22 N/mm 2
70
'
s
5
σ s' = 0 .003 E s
c − d'
c
M r = 0 . 85 ⋅ 10 . 67 ⋅ 300 ⋅ 0 . 85 ⋅ 70 ( 450 − 0 . 85 ⋅ 70 / 2 ) + 1200 ⋅ 342 . 86 ( 450 − 30 )
M r = 240835954 N ⋅ mm ≈ 240 . 8 kN ⋅ m
M
r
= 0 . 85 f cd b w k 1 c ( d −
k1c
) + A s' σ s' ( d − d ' )
2
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
127
Tablalı kesitin taşıma gücü
Tablalı kesitlerde, eşdeğer dikdörtgen basınç bloğunun tabla içinde kalması veya tabla altına sarkmasına bağlı olarak, iki farklı durum vardır. Basınç bloğu derinliği
a ≤ t durumunda basınç bloğu tabla içindedir ve Acc basınç alanı dikdörtgen şeklindedir. a>t durumunda basınç bloğu tabla altına sarkmaktadır ve Acc basınç alanı
T şeklinde olur. Bu iki farklı durum aşağıda gösterilmiştir.
basınç alanı dikdörtgen
d-a/2
d-c
h
d
c
a
t
a=k1c
a/2
a/2
basınç bloğu dikdörtgen
basınç alanı T şeklinde
a ≤ t durumu (basınç alanı
ve basınç bloğu
dikdörtgen)
basınç bloğu T şeklinde
0.85fcd
b
c= cu=0.003
x
x
t
Acc
c
a
a=k1c
G1
iTE
TE
TE
d-c
Mr=?
a >t durumu (basınç alanı
ve basınç bloğu T şeklinde)
d-x
h
d
iTE
TE
Fc=0.85fcdAcc
Tablalı kiriş
As
As
bw
s> sd
As
Fs=As fyd
bw
bw
s=fyd
Tek donatılı tablalı kesit
Deformasyon
Kuvvetler
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
128
Basınç bloğu derinliği a nın irdelenmesi:
Basınç bloğu tabla içinde midir? Yoksa tablanın altına sarkıyor mu? Aşağıdaki gibi belirlenebilir. Eksenel denge nedeniyle Fc=Fs dir. Basınç alanını dikdörtgen
varsayarak:
0.85fcd a b=AsFyd a= AsFyd / (0.85fcd b)
a ≤ t ise basınç alanı tabla içinde kalmaktadır. Basınç
alanı ve basınç bloğu dikdörtgendir.
a>t ise basınç alanı tabla altına sarkmaktadır. Basınç
alanı ve basınç bloğu T şeklindedir.
Tablalı kesitlerde donatı oranı ve dengeli donatı oranı:
Tablalı kesitlerde donatı oranı dikdörtgen kesitlerdeki gibidir. Dengeli donatı oranı ise farklıdır.
A
ρ= s
Donatı oranı:
ρb bağıntısı için bakınız :
bw d
ERSOY/ÖZCEBE, S. 251-253
0.85 f cd
0.003
b
t
Dengeli donatı oranı: ρ b =
[k1
+ ( − 1) ]
f yd
0.003 + ε sd
bw
d
ile hesaplanır, burada εsd = fyd/Es dir.
Normal yapıların birdöküm kirişlerinde b tabla genişliği büyük, b>bw dir. Basınç gerilmeleri büyük bir alana yayılır. Bu nedenle denge altı koşulu ρ≤ 0.85ρb
genelde kendiliğinden sağlanır, kontrole gerek yoktur. Öndöküm (prefabrik) kirişler için aynı şeyi söylemek mümkün değildir. Dikdörtgen kesitlerde b/bw=1
dir. Bundan hareketle, genelleme yapılırsa, b/bw oranı 1 e yakın tablalı kirişlerde ρ≤ 0.85ρb denge altı koşulunun kontrol edilmesi gerekir.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
129
Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının dikdörtgen olması durumu
ERSOY/ÖZCEBE, S. 247-253
a ≤ t durumu (Acc basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgen):
a/2
d-a/2
d-c
h
d
t
c
a=k1c
a=k1c
Basınç alanı dikdörtgen olduğundan, tablalı kesitin moment taşıma gücü tek donatılı dikdörtgen kesitin taşıma gücü gibi hesaplanır. Hesapta izlenecek
yol aşağıda özetlenmiştir.
Basınç alanı dikdörtgen olan tablalı kesitlerde :
Basınç alanı
: Acc = ab
ρ=
Eksenel denge
: 0.85 f cd a b − As f yd = 0
ρb =
Gerilme bloğu derinliği
:
a=
Basınç alanı dikdörtgen olduğundan
Dikdörtgen kesitler için verilen ρb değeri
geçerlidir
As f yd
0.85 f cd b
As
bw d
ε sd =
0.85 f cd
0.003
[k1
]
f yd
0.003 + ε sd
f yd
Esd
Tarafsız eksenin derinliği : c = a/k1
Moment taşıma gücü
a
2
: M r = As f yd (d − )
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
130
Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının T şeklinde olması durumu
ERSOY/ÖZCEBE, S. 247-253
a>t durumu (Acc basınç alanı ve basınç bloğu T şeklinde) :
Bu durumdaki tek zorluk T şeklindeki basınç alanının ve bu alanın ağırlık merkezinin (Fc kuvvetinin etkime noktası)
hesaplanmasıdır. Bu bağıntılar aşağıda özetlenmiştir.
Basınç alanı
Eksenel denge
b − bw
2
b − bw
) − A s f yd = 0
: 0 . 85 f cd ( ab w + 2 t
2
: A cc = ab w + 2 t
A s f yd − 0 . 85 f cd t ( b − b w )
Basınç bloğu derinliği
: a =
Tarafsız eksenin derinliği
: c = a/k1
0 . 85 f cd b w
(b − bw )t + bw a
Basınç alanının ağırlık merkezi: x = 1
Moment taşıma gücü
tablalı kesitlerde :
ρ=
As
bw d
ρb =
ε sd =
2
2
Basınç bölgesi tabla altına sarkan
0.85 f cd
0.003
b
t
[k1
+ ( − 1) ]
0.003 + ε sd
f yd
bw
d
f yd
Esd
2
(b − b w )t + bw a
: M r = As f yd (d − x)
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı
kontrolüne gerek yoktur.
ρb bağıntısı için bakınız
ERSOY/ÖZCEBE, S. 251
131
Kutu kesitin taşıma gücü
Kutu kesitler gövde genişliği kutu kesitin düşey kollarının toplamı olan eşdeğer tablalı kesit olarak çözülebilir, bw=2b1. Alttaki tabla çekme bölgesinde
kalacağından dikkate alınması gerekmez. Bu nedenle, basınç bloğu derinliğinin üst başlığın içinde kalması ve altına sarkması olmak üzere iki farklı durum
vardır.
a/2
d-a/2
c
t
d-c
h
d
t
a
a=k1c
a ≤ t durumu (Acc basınç alanı dikdörtgen):
Kutu kesitlerde :
Basınç alanı
:
Acc = ab
ρ=
Eksenel denge
:
0.85 f cd a b − As f yd = 0
ρb =
Basınç bloğu derinliği
:
a=
Tarafsız eksenin derinliği :
Moment taşıma gücü
:
As f yd
ε sd =
0.85 f cd b
c = a / k1
As
bw d
0.85 f cd
0.003
b
t
[k1
+ ( − 1) ]
0.003 + ε sd
f yd
bw
d
f yd
Esd
ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı
kontrolüne gerek yoktur.
a
M r = As f yd (d − )
2
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ρb bağıntısı için bakınız
ERSOY/ÖZCEBE, S. 251
132
Kutu kesitin taşıma gücü
a>t durumu (Acc basınç alanı T):
Basınç alanı
Eksenel denge
Basınç bloğu derinliği
Tarafsız eksenin derinliği
:
:
:
:
Acc = 2ab1 + (b − 2b1 )t
0 . 85 f cd [ 2 ab 1 + ( b − 2 b1 ) t ] − A s f yd = 0
a =
A s f yd − 0 . 85 f cd ( b − 2 b1 ) t
1 . 7 f cd b1
a =a/ k1
Basınç alanının ağırlık merkezi:
( b − 2 b1 ) t 2 + 2 b1 a 2
x = 12
( b − 2 b1 ) t + 2 b1 a
Moment taşıma gücü
M r = As f yd (d − x)
:
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Kutu kesitlerde :
ρ=
As
bw d
ρb =
ε sd =
b
t
0.85 f cd
0.003
[k1
+ ( − 1) ]
f yd
0.003 + ε sd
bw
d
f yd
Esd
ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı
kontrolüne gerek yoktur.
ρb bağıntısı için bakınız
ERSOY/ÖZCEBE, S. 251
133
ÖRNEK: Tablalı kesit
ERSOY/ÖZCEBE, S. 249 (benzeri)
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı. Malzeme:
C20/25/S420a.
İstenen:
Kirişin moment taşıma gücü ne kadardır?
Donatı oranı kontrolü:
ÇÖZÜM
ρ= 1885/(300.500) = 0.0126,
C20/25/S420a malzemesi için:
γmc =1.5, γms=1.15
ρb=0.0164 (basınç alanı dikdörtgen olduğundan tablodan alındı),
ρ = 0.0126<0.85.0.0164=0.0139 (denge altı kontrolü)
<0.02 (max kontrolü)
>0.8.1.07/365.22 = 0.0023 (min kontrolü)
fcd=20/1.5=13.33 N/mm2
fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2
k1=0.85
Bu kontrol
yapılmayabilirdi
Tarafsız eksenin derinliği:
c = 60.8/0.85 = 71.5 mm
εsd=0.001826
c = a / k1
Moment taşıma gücü:
120
60.8/2=30.4
a
)
2
428.5 mm
30
a=1885.365.22 /(0.85.13.33.1000)=60.8 mm.
a < t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla
içindedir. Basınç alanı ve bloğu dikdörtgendir. Bu
nedenle hesabın devamı a≤
≤t durumu için
yapılmalıdır.
Mr=1885.365.22(500-60.8/2)=323.3 kN.m
380
Basınç alanı tabla içinde mi? İrdeleyelim:
A s f yd
As=1885 mm2 (6φ20 nin alanı) a =
0 . 85 f cd b
M r = As f yd ( d −
500-30.4=469.6 mm
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
Şekil değiştirme durumu
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
İç kuvvet durumu
134
ÖRNEK: Kutu kesit
ERSOY/ÖZCEBE, S. 250
120
60 mm
320 mm
120
Verilenler:
İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı.
Malzeme: C20//25/S420a.
İstenen:
Kirişin moment taşıma gücü ne kadardır?
ÇÖZÜM
C20/25/S420a malzemesi için:
γmc =1.5, γms=1.15
fcd=20/1.5=13.33 N/mm2 , fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2
k1=0.85
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2, εsd=0.001826
Basınç alanı tabla içinde mi? İrdeleyelim:
As=2714 mm2.
a=2714.365.22
a =
A s f yd
0 . 85 f cd b
/(0.85.13.33.600)=145.8
mm.
a > t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla altına
sarkmaktadır. Basınç alanı ve bloğu T şeklindedir.
Bu nedenle hesabın devamı a>t durumu için
yapılmalıdır, dikdörtgen basınç alanı varsayımı ve
a=145.8 mm değeri geçersizdir. a değeri yeniden
hesaplanmalıdır.
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
135
Donatı oranı kontrolü:
ρb =
ρ =2714/(2.150.500)= 0.0181
b
t
0.85 f cd
0.003
[k1
+ ( − 1) ]
f yd
0.003 + ε sd
bw
d
ρ b=0.85.13.33/365.22[0.85.0.003/(0.003+0.001826)+(1000/(2.150)-1)120/500)]
ρ b =0.0238
ρ =0.0181<0.85.0.0238=0.029 Bu kontrol
yapılmayabilirdi
(denge altı kontrolü)
<0.02 (max kontrolü)
>0.8 . 10.67/3652.17= 0.0023 (min kontrolü)
a=
Basınç bloğu derinliği:
a=
2714 ⋅ 365.22 − 0.85 ⋅13.33(600 − 2 ⋅150)120
= 171.6mm
1.7 ⋅13.33 ⋅150
Tarafsız eksenin derinliği: c=171.6 / 0.85=201.9 mm
As f yd − 0.85 f cd (b − 2b1 )t
1.7 f cd b1
c = a / k1
Tamamlayınız !
(b − 2b1 )t 2 + 2b1 a 2
x = 12
(b − 2b1 )t + 2b1 a
Basınç alanının ağırlık merkezi:
(600 − 2 ⋅150)120 2 + 2 ⋅150 ⋅171.6 2
x = 0.5
= 75.2 mm
(600 − 2 ⋅150)120 + 2 ⋅150 ⋅171.6
11.33 N/mm2
cu
?
G1
M r = As f yd ( d − x )
TE
Moment taşıma gücü:
M r = 2714 ⋅ 365.22(500 − 75.2) = 421.1 kN ⋅ m
Fc=991.1 kN Fs
iTE
Mr=421.1 kN.m
6
s
Deformasyon durumu
Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Fs=2714.365.22=991.2 kN
İç kuvvet durumu
136
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
1
File Size
838 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content