Venn Diyagramları

Venn Diyagramları
Kategorik önermelerle ilgili işlemlerde kümeler arası ilişkileri göz önüne almak bu konuda bize
yardımcı olur. Bir kategorik önerme, kesişen iki daire ile temsil edilir ve buradaki daireler önermede
geçen iki terimin (öznenin ve yüklemin) işaret ettiği nesne kümeleridirler. Dairenin içinde kalan alan
kümenin elemanlarını, dışında kalan alan ise bu kümenin tümleyeninin elemanlarını temsil eder. İki
dairenin kesişim bölgesi ise, bu iki kümenin eğer varsa ortak elemanlarını temsil eder. Bir kümenin
veya bir kümenin bir kısmının hiç elemanı yoksa, diyagramdan bu bölgeyi hariç tuttuğumuzu veya
çıkardığımızı göstermek için bu bölgeyi taralı olarak işaretleriz.
Örneğin E önermesi, yani “Hiçbir S, P değildir” önermesi, S kümesi ile P kümesinin hiç ortak
elemanının bulunmadığını dile getirir. Venn diyagramında bunu, kesişen iki daire ve kesişim
bölgesinin taralı olarak işaretlenmesi ile gösteririz, böylece taralı alanı hariç tuttuğumuzu ve bu alanın
hiç eleman içermediğini belirtmiş oluruz:
Burada önemli olan husus şudur: diyagramda taralı olmayan boş bölgeler hakkında bilgimiz yoktur, bu
bölgeler bir eleman içerebilir de içermeyebilir de. Zira önermemiz bize taralı alan hakkında belirli bir
bilgi vermekte fakat diğer bölgeler hakkında bir bilgi vermemektedir. Öyleyse bu bölgeleri,
diyagramda temsil edilen önermenin, bir elemana sahip olmak konusunda yasak koymadığı alanlar
olarak görmeliyiz.
“Tüm S’ler P’dir” şeklindeki A önermesi, S, P’nin bir altkümesidir anlamına gelmektedir, yani S, aynı
zamanda P’nin de bir elemanı olmayan hiçbir elemana sahip değildir. Dolayısıyla diyagramda, S’nin P
dışında kalan bölgesi taralı olarak işaretlenerek çıkarılmıştır:
Bir kümenin veya bir kümenin bir bölgesinin hiç değilse bir eleman veya en az bir eleman içerdiğini
göstermek için bu bölgenin içine bir çarpı (X) işareti koyarız. O halde, “Bazı S’ler P’dir” şeklindeki I
önermesi, S ve P kümelerinin en az bir ortak elemana sahip olduklarını dile getirdiği için, bunu,
kesişim bölgesine bir (X) işareti koymak suretiyle gösteririz:
1
Ve “Bazı S’ler P değildir” şeklindeki O önermesi de aynı şekilde, S’nin P’ye ait olmayan en az bir
elemanı bulunduğunu dile getirdiği için, bunu, P dışında kalan S bölgesine bir (X) işareti koymak
suretiyle gösteririz:
Tekrar etmek gerekirse, bir önermeyi temsil eden diyagramda, taralı olarak işaretlenmeyen bölgeler
ile bir çarpı (X) işareti içermeyen bölgeler, önermenin bize bir bilgi sunmadığı alanlardır. Bu alanların
bir eleman içerip içermediği konusunda önerme bir şey söylememektedir.
S-olmayan veya P-olmayan gibi, karşıt kavramların terimlerini içeren önermeleri diyagramda
gösterirken, bütün diyagramı içine alan bir çerçeve kullanmak faydalıdır. Çerçevenin içindeki bölge
tüm varlıkların/elemanların kümesini temsil eder ve evren olarak adlandırılır. Bir terimin karşıtı olan
elemanlar o halde, bu terimi temsil eden dairenin dışında fakat çerçevenin içinde kalan bölge ile
temsil edilir.
Örnek:
“Tüm S-olmayanlar, P dir” önermesini temsil eden bir Venn diyagramı çiziniz.
Çözüm:
Bu önerme biçimi bize, S’nin karşıtı olan elemanların P’nin bir alt kümesi olduğunu dile getiriyor. Bu
da şu demektir ki, S’nin tümleyeni olan bölgenin P dışında kalan kısmı hariç tutulacaktır. Diyagramda
S’nin tümleyen bölgesi, S’nin dışında fakat çerçevenin içinde kalan bölge ile temsil edilir.
Taralı alan S’nin
tümleyenini
temsil ediyor.
Bu bölgenin P dışında kalan kısmının boş olduğunu yani hiç eleman içermediğini göstermek için taralı
olarak işaretleriz:
2
Venn diyagramında dört temel bölge veya alan vardır:
2
3
4
1
Bu alanlardan her biri ya taranmış, boyanmış olabilir (yani hariç tutulmuş olabilir) veya çarpı ile
işaretlenmiş olabilir (yani boş olmadığına işaret edilmiş olabilir). Dolayısıyla toplam sekiz tane farklı
Venn diyagramı bulunabilir:
3
Eğer bir bölge taralı veya boyanmış ise, bu durum, o bölgede hiçbir eleman bulunamaz demektir, yani
bu bölge boş kümedir. Eğer bir bölge çarpı ile işaretlenmiş ise, bu durum, o bölgede en az bir eleman
var demektir, yani bu bölge boş küme değildir.
Diğer yandan, toplam dört tane olan kategorik önermenin her biri için sekiz farklı biçim olabilir. Özne
“S” veya “S-olmayan” olabilir, özne “P” veya “P-olmayan” olabilir, yüklem “S” veya “S-olmayan”
olabilir, yüklem “P” veya “P-olmayan” olabilir. Demek ki toplam 32 farklı biçim olabilir:
Tümel olumlunun sekiz farkı biçimi:
Tümel olumsuzun sekiz farklı biçimi:
Tüm S’ler P’dir.
(SaP)
Hiçbir S, P değildir.
(SeP)
Tüm S’ler P-olmayan’dır.
(SaP’)
Hiçbir S, P-olmayan değildir.
(SeP’)
Tüm S-olmayan’lar P’dir.
(S’aP)
Hiçbir S-olmayan, P değildir.
(S’eP)
Tüm S-olmayan’lar P-olmayan’dır.
(S’aP’)
Hiçbir S-olmayan, P-olmayan değildir. (S’eP’)
Tüm P’ler S’dir.
(PaS)
Hiçbir P, S değildir.
(PeS)
Tüm P’ler S-olmayan’dır.
(PaS’)
Hiçbir P, S-olmayan değildir.
(PeS’)
Tüm P-olmayan’lar S’dir.
(P’aS)
Hiçbir P-olmayan, S değildir.
(P’eS)
Tüm P-olmayan’lar S-olmayan’dır.
(P’aS’)
Hiçbir P-olmayan, S-olmayan değildir. (P’eS’)
Tikel olumlunun sekiz farklı biçimi:
Tikel olumsuzun sekiz farklı biçimi:
Bazı S’ler P’dir.
(SiP)
Bazı S’ler P değildir.
(SoP)
Bazı S’ler P-olmayan’dır.
(SiP’)
Bazı S’ler P-olmayan değildir.
(SoP’)
Bazı S-olmayan’lar P’dir.
(S’iP)
Bazı S-olmayan’lar P değildir.
(S’oP)
Bazı S-olmayan’lar P-olmayan’dır.
(S’iP’)
Bazı S-olmayan’lar P-olmayan değildir. (S’oP’)
Bazı P’ler S’dir.
(PiS)
Bazı P’ler S değildir.
(PoS)
Bazı P’ler S-olmayan’dır.
(PiS’)
Bazı P’ler S-olmayan değildir.
(PoS’)
Bazı P-olmayan’lar S’dir.
(P’iS)
Bazı P-olmayan’lar S değildir.
(P’oS)
Bazı P-olmayan’lar S-olmayan’dır.
(P’iS’)
Bazı P-olmayan’lar S-olmayan değildir. (P’oS’)
Kategorik önermelerin Venn şemasında nasıl gösterileceğini anlamak için onları kümeler arası ilişkiler
cinsinden okumayı denemeliyiz. Aşağıda dört temel kategorik önermeden her birinin bu anlamda
nasıl okunması/anlaşılması gerektiği belirtilmiştir:
4
A
Tüm S’ler P’dir.
S, P’nin alt kümesidir, yani P-olmayan S’lerin kümesi boştur.
E
Hiçbir S, P değildir.
S ve P’nin ortak elemanı yoktur, yani kesişim kümesi boştur.
I
Bazı S’ler P’dir.
S ile P’nin en az bir ortak elemanı vardır, yani kesişim kümesi boş değildir.
O
Bazı S’ler P değildir.
P-olmayan S’lerin kümesi boş değildir.
Tekrarlamak gerekirse, kümenin boş olduğunu göstermek için o kümeye işaret eden bölgeyi tararız
veya boyarız, kümenin boş olmadığını göstermek için de o kümeye işaret eden bölgeye bir çarpı
koyarız. Bölgenin taralı veya boyalı olması o bölgenin çıkarıldığı ya da yasaklandığı (eleman içeremez)
anlamına gelirken, çarpı işareti o bölgede en az bir eleman bulunduğu anlamına gelir. Bu bilgiler
ışığında, 32 farklı biçimden hangilerinin hangi Venn diyagramı ile gösterildiği ise aşağıda belirtilmiştir:
SaP
P’aS’
P’eS
SeP’
PaS
S’aP’
S’eP
PeS’
SaP’
PaS’
SeP
PeS
S’aP
P’aS
S’eP’
P’eS’
5
SiP’
P’iS
SoP
P’oS’
PiS’
S’iP
PoS
S’oP’
SiP
PiS
SoP’
PoS’
S’iP’
P’iS’
S’oP
P’oS
6

Download Report