Bağımsız İki Grup Ortalamasının
Karşılaştırılması
(Independent t-test veya Student t-test)


Burada karşılaştırılacak birbirinden bağımsız iki grup
vardır ve populasyon dağılımları normal dağılım
göstermektedir.
Populasyon
varyansı
bilinmediği
durumda
populasyondan rasgele çekilen n1 ve n2 denekli
örneklerden hesaplanacak olan varyanslar populasyon
varyansının tahmini olarak kullanılır. Bu durumda hipotez
kontrolü için de t test istatistiği kullanılır.
Örnek


20 kız öğrencide yapılan bir araştırmada sistolik
kan basıncı (SKB) değeri 108 mm-Hg, standart
sapma 7,5 mm-Hg bulunmuştur. Yine aynı yaş
grubunda
25
erkek
öğrencide
yapılan
araştırmada ortalama 105 mm-Hg ve standart
sapma 6 mm-Hg bulunmuştur. Söz konusu yaş
grubunda kız ve erkeklerde SKB değerlerinin
aynı olduğunu söyleyebilir miyiz
Sistolik kan basıncı cinsiyete göre değişiyor mu?
X1
µ
X2
µµ2
µ1
X1
X2
nk= 20
nE= 25
xK = 108mm − hg
xE = 105mm − hg
H 0 : µK − µE = 0
H1 : µ K − µ E ≠ 0
s K = 7,5
sE = 6
Ho: Kız ve erkek öğrencilerin SKB
değerleri aynıdır, araştırmada gözlenen
fark tesadüften ileri gelmektedir.
Hı: Kız ve erkek öğrencilerin SKB
değerleri aynı değildir, araştırmada
gözlenen fark tesadüften değil cinsiyet
farkından kaynaklanmaktadır.
Toplanmış varyans hesaplanır. Çünkü test hipotezinde söz konusu
iki örneğin aynı populasyondan alındığı ifade edilmektedir. O
zaman bu iki örneğin alındığı populasyonun hem ortalama hem de
varyansları aynıdır. Bu durumda her iki örneğin varyansları anlamlı
düzeyde farklı olmamalı ki toplanabilsin. Bu ifade varyansların
homojenliği olarak tanımlanır. Yani homojen varyanslar toplanabilir.
2
2
2
2
+
d
d
(
1
)
(
1
)
−
+
−
n
S
n
S
∑
∑
2
1
2
1
2
2
= 1
sp =
(n1 − 1) + (n2 − 1)
(n1 − 1) + (n2 − 1)
t=
x −x
1
2
(
)
 (n − 1) S 2 + n − 1 S 2 
 1
1
2
2


n
n
2
+
−


1
2


1

1


+
n
n 
2
 1
Bulunan t test istatistiği (n1+n2-2) serbestlik dereceli t tablo değeri ile
karşılaştırılarak hipotez test edilir.
t=
x
(
K
−x
E
)
 (n − 1) S 2 + n − 1 S 2  
 K
K
E
E  1 + 1
 n

n +n −2
n
  K

K
E
E






108 − 105
t=
1
1
(20 − 1) * 7,5 + (25 − 1) * 6
)*( + )
20 25
(20 + 25 − 2)
2
(
2
= 1,49
sd= nK+nE-2=43 α=0,025 t değeri yaklaşık olarak 2,02’dir.
1,49 < 2,02 olduğundan Ho KABUL edilir. Söz konusu yaş
grubunda kız ve erkeklerdeki SKB değerleri arasında istatistiksel
olarak anlamlı bir fark yoktur.
Daha sonra örnek ortalamaları arasındaki farka ait
standart hata bulunur. Bu hata aşağıdaki eşitlik
yardımıyla hesaplanır.
 s 2p s 2p 
SE(X 1 - X 2 ) =  +  =
 n1 n2 
1 1 2
d12 + ∑ d 22  n1 + n2 
∑


 +  s p =
(n1 − 1) + (n2 − 1)  n1n2 
 n1 n2 
Bu hesaplamalara bağlı olarak test istatistiği aşağıdaki gibi yazılabilir.
X1 − X 2
t=
SE (X1 − X 2 )
Test istatistiğinin değeri bulunduktan sonra bu değer,
α=0.05 ve (n1-1)+(n2-1) serbestlik dereceli t-tablo değeri
(kritik t-değeri) ile kıyaslanır. Eğer hesaplanan t-değeri
tablodaki değerinden büyük ise söz konusu farkın “0”
olma ihtimali %5 yanılma payı dikkate alınarak yoktur
denilebilir. Kısaca test hipotezi red edilir.
Örnek

Ülkemizde 18-30 yaş grubu rastgele seçilen 189
denekte yapılan bir araştırmada günlük ortalama
uyku süresinin 7,28 saat ve standart sapmasının ise
1,38 saat olduğu tespit edilmiştir. Diğer bir ülkede
aynı yaş grubunda rastgele seçilen 120 denekte
yapılan bir araştırmada günlük ortalama uyku süresi
7,05 saat ve standart sapma 0,50 saat bulunmuştur.
Elde edilen bu iki ortalama birbirinden istatistiksel
olarak anlamlı derecede farklı mıdır?
x1 = 7,28
n1= 189
n2= 120
s1 = 1,38
s2 = 0,50
x2 = 7,05
H 0 : µ1 − µ 2 = 0
H1 : µ1 − µ 2 ≠ 0
x −x
1
2
t=
(
)
 ( n − 1) S 2 + n − 1 S 2  
 1
1
2
2   1 + 1
 n

n
n
2
n
+
−
  1

1
2
2


7,28 − 7,05
t=
1
1
(189 − 1) *1,38 + (120 − 1) * 0,50
)
+
)*(
189 120
(189 + 120 − 2)
2
(
2




= 1,755
Ho KABUL
Ho RED
Ho RED
-1,96
1,755 1,96
α= 0,05 sd=189+120-2=307
Hipotez çift taraflı olduğundan α/2=0,025 için tablo değeri 1,96
Karar:
1,755 < 1,96 olduğundan Ho Kabul Edilir.
İki ülke arasında uyku süreleri bakımından istatistiksel olarak
anlamlı bir fark yoktur.
Örnek
Kronik böbrek yetmezliği olan (A grubu) 9 bireyde ve 5
sağlıklı (B grubu) bireyde kan değerlerine bakılmıştır. A
grubunun kan değerleri ortalaması 40, varyansı 2,5, B
grubunun kan değerleri ortalaması 30,22 ve varyansı
3,19 bulunmuştur. Kan değerleri bakımından, sağlıklı
ve kronik böbrek yetmezliği olan bireyler arasında
anlamlı bir fark olup olmadığını test ediniz. (α=0,05)
H0: μA = μB
H1: μA ≠ μB
n1 = 9
n2 = 5
X 1 = 40
X 2 = 30,22
S1 = 2,5
S 2 = 3,19
2
2
t=
t=
x −x
1
2
(
)
 ( n − 1) S 2 + n − 1 S 2  
 1
1
2
2   1 + 1
 n

n
n
2
n
+
−
  1

1
2
2


40 − 30,22
1
 (9 − 1) 2,5 + (5 − 1)3,19   1
+

 

9+5−2
5
 9





= 10,612
ttablo= t12,0,025=2,179
H0 reddedilir. Kan değerleri bakımından, sağlıklı ve kronik böbrek yetmezliği
olan bireyler arasındaki fark önemlidir.
Örnek
Ortalama
trombosit
volümü
(MPV)
(fl)
diyabetik
hastalarda trombosit fonksiyon ve aktivasyonunun bir
göstergesidir. Diyabetli 10 hasta ve benzer yaş
grubundan olan sağlıklı 5 kişi rasgele seçilerek MPV
değerleri aşağıdaki gibi bulunmuştur. Bu iki grup
arasında
araştırınız.
MPV
bakımından
fark
olup
olmadığını
VERİ LİSTESİ
MPV DEĞERLERİ
DİYABETLİ GRUP
KONTROL GRUBU
8.9
8.0
9.0
7.5
8.7
7.6
7.5
7.3
6.0
8.4
8.2
10.0
9.5
8.3
7.9
x D = 8,4
S2D= 1,26
x K = 7,76
S2K=0,19
H0: μD = μK
H1: μD ≠ μK
t=
t=
x −x
1
2
(
)
 ( n − 1) S 2 + n − 1 S 2  
 1
1
2
2   1 + 1

 n
n
n
n
2
+
−

  1
1
2
2






8,4 − 7,76
 (10 − 1)1,26 + (5 − 1)0,19   1
1


+ 



10 + 5 − 2
5

  10
= 1,212
Ho KABUL
-2,160
1,212
2,160
sd = (n1 − 1) + (n2 − 1) = 9 + 4 = 13
tT ( 0, 025,13) = 2,160
tH< tT olduğundan Ho KABUL. İki grup arasında MPV
değerleri bakımından istatistiksel olarak anlamlı bir fark
yoktur.

Download Report