close

Enter

Log in using OpenID

Ders 3 - Düzce Üniversitesi

embedDownload
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı
• Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi
1
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İlk iki derste, bir sistemin nasıl modelleneceği üzerinde durduk. İlk derste
sistemlerin transfer fonksiyonu modelini, ikinci derste ise durum-uzay modelini
elde ettik. Bu derste ise, elde edilen bu matematiksel modeli kullanarak sistemin
analizini yapacağız. “Analiz” den kasıt, sistemin belirli bazı giriş sinyallerine karşı
tepkisinin, yani sistemin çıkış değişkeninin zamana göre değişiminin incelenmesidir.
Bugünkü derste sistemlerin “Geçici Durum Cevabı”nı (Transient Response)
inceleyeceğiz. Haftaya ise “Kalıcı Durum Cevabı”nı (State-State Response)
inceleyeceğiz. Peki bu iki kavram ne anlama geliyor?
Aslında daha önce Transfer Fonksiyonu Yaklaşımı ile Durum-Uzay Yaklaşımını
karşılaştırırken, transfer fonksiyonlarının, sistemin geçici durum cevabını incelemek
için daha kullanışlı olduğunu söylemiştik ancak yine “Geçici Durum Cevabı”
kavramının ne anlama geldiğini açıklamamıştık.
Şimdi bu iki kavramı tanıtalım.
2
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bir elektrik motoruna, 1500 d/d hızla dönmesini sağlayacak bir giriş sinyali
uygulandığını düşünelim. Aşağıdaki grafik, sistem çıkışının (motor hızı) zamana göre
değişimini gösteren tipik bir “Zaman Cevabı” grafiğidir. Motor hızı t=0 anında 0 d/d
değerinden başlayıp, zaman geçtikçe artar ve arzu edilen referans değere (1500 d/d) ya
da ona yakın bir değere yakınsar. Sistemin zaman cevabının, t=0 anından itibaren
zaman sonsuza giderken aldığı değere ulaşana kadarki kısmına “Geçici Durum Cevabı”,
bundan sonraki kısmına, yani sistem cevabının kalıcı bir değere yerleştiği ve artık hep o
değerde kaldığı kısmına ise “Kalıcı Durum Cevabı” denir.
Motor Hızı (d/d)
Referans Giriş
1500
Geçici-Durum
Cevabı
Kalıcı-Durum Kalıcı-Durum
Cevabı
Hatası
Zaman Cevabı
0
Zaman (sn)
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Sistem çıkışı kalıcı duruma eriştikten sonra, referans değer ile sistem çıkışının final
değeri arasında, sair sebeplerden, şekildeki gibi bir fark oluşabilir. Referans değer ile
sistem çıkışının kalıcı durumdaki değeri arasındaki bu farka “Kalıcı Durum Hatası” denir.
Motor Hızı (d/d)
Referans Giriş
1500
Geçici-Durum
Cevabı
Kalıcı-Durum Kalıcı-Durum
Cevabı
Hatası
Zaman Cevabı
0
Zaman (sn)
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Kontrol sistemlerinin analizi ve tasarımı 3 temel performans kriteri göz önünde
bulundurularak yapılır:
Geçici-Durum Cevabı
Kalıcı-Durum Cevabı
Kararlılık
Kararlılık, en özensiz tanımla, sınırlı bir giriş için, sistem çıkışının da sınırlı
kalmasıdır. Kararlılık, en önemli performans kriteridir. Bugünkü dersimizde geçicidurum cevabını, önümüzdeki derslerde ise kararlılık ve kalıcı-durum cevabını
inceleyeceğiz.
Not: Yukarıda sıralanan performans kriterlerine ek olarak, kontrol sistemlerinin analizinde ve
tasarımında göz önünde bulundurulan başka kriterler de mevcuttur. Ancak en temel ve kritik
olan kriterler, yukarıda sıralanan üç kriterdir. Örneğin bir sistem kararlı değilse, diğer kriterlerin
hiçbir anlamı yoktur!
5
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Transfer fonksiyonu bilinen bir sistemin, belirli bir giriş sinyali için çıkışının zamana
göre değişimi, Ters Laplace Dönüşümü yoluyla elde edilebilir. Ancak Ters Laplace
dönüşümünü hesaplamak her zaman çok basit değildir ve genellikle zaman alır.
Bunun yerine, Ters Laplace Dönüşümü alınmadan, transfer fonksiyonunun
kutupları ve sıfırlarının sağladığı bilgi kullanarak, sistemin zaman cevabı elde
edilebilir.
Kutupların ve sıfırların tanımını ilk derste vermiştik. Kutuplar, transfer
fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlerken, Sıfırlar transfer fonksiyonunun
payını sıfır yapan değerlerdi. Kutuplar ve sıfırlar yoluyla elde edilen zaman cevabı
bilgisini, örnek bir birinci mertebeden sistem üzerinden gösterelim.
6
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Transfer fonksiyonu G ( s) 
s2
olan bir sistemin göz önünde bulunduralım.
( s  5)
Bu sistemin s=-5 noktasında bir kutbu ve -2 noktasında bir sıfırı vardır.
Hatırlanacağı üzere kutupları s-düzleminde bir × işareti ile, sıfırları ise ⃝ işareti ile
gösteriyorduk. Şimdi bu sisteme birim adım girişi uygulanması durumunda, daha
önce gördüğümüz kısmi kesirlere ayırma yoluyla Ters Laplace Dönüşümünü alıp,
sistemin zaman cevabını, yani çıkışın zamana göre değişimini elde edelim:
s2
A
B
C (s) 
 
s ( s  5) s s  5
2/5 3/5


s
s5
2 3 5t
 c(t )   e
5 5
7
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
2 3 5t
c(t )   e
5 5
Bir sistemin çıkış cevabı iki parçadan oluşur: Doğal Cevap ve Zorlanmış Cevap.
• Giriş fonksiyonundaki (birim adım fonksiyonu) kutup, zorlanmış çözümü üretir.
• Transfer fonksiyonunun kutbu ise doğal çözümü üretir.
• Reel eksen üzerindeki bir kutup, yukarıda görüldüğü üstel olarak sönümlenen bir
zarf üretir.
8
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistem için, çıkışın zamana göre değişimini Ters Laplace
Dönüşümü yöntemiyle bulunuz. Çıkış ifadesinin doğal ve zorlanmış kısımlarını
belirtiniz.
R( s) 
C:
1
s
s3
( s  2)( s  4)( s  5)
C ( s)
K1
K2
K3
K4
C ( s) 



s s2 s4 s5
Zorlanmış Cevap
Doğal Cevap
C (s)  K1  K2e2t  K3e4t  K4e5t
Zorlanmış Cevap
Doğal Cevap
9
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı 
• Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi
10
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi birinci mertebeden sistemlerin zaman cevabını, bu tür sistemlerin
performans spesifikasyonlarını tanımlamak amacıyla tartışalım. Herhangi bir sıfıra
sahip olmayan bir birinci mertebeden sistemin blok diyagramı ve kutup-sıfır
haritası şekildeki gibidir. Eğer bu sisteme birim adım girişi, R(s)=1/s, uygulanırsa,
bu durumda çıkışın ifadesi
şu şekilde olur:
a
C ( s)  R( s)G( s) 
s s  a
Ters Laplace dönüşümü
alınırsa:
c(t )  c f (t )  cn (t )  1  e at
Yani birim adım girişinden gelen kutup, zorlanmış cevap cf(t)=1 bileşenini ve
sistemin –a noktasındaki kendi kutbu doğal cevap cn(t)=e-at bileşenini üretir.
11
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birinci mertebeden sistemlerin zamana cevabının genel ifadesi olan c(t )  1  e at
fonksiyonunun zamana göre değişimi şekildeki gibidir. Birinci mertebeden
sistemler için üç adet performans kriteri tanımlanmıştır:
1. Zaman Sabiti, Tc
Sistem cevabının, final değerinin
%63’üne kadar ulaşması için
geçen süredir. τ ya da Tc ile
gösterilir ve
1
Tc 
a
formülüyle hesaplanır. Aynı
zamanda sistem çıkış eğrisinin
t=0 anındaki teğetinin eğimi de
zaman sabitini verir.
12
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
2. Yükselme Zamanı, Tr
Sistem cevabının, final değerinin
%10’undan %90’ına ulaşması için
geçen süredir. Tr ile gösterilir ve
2.2
Tr 
a
formülüyle hesaplanır.
3. Yerleşme Zamanı, Ts
Sistem cevabının, final değerinin
%2 eksiğine/fazlasına ulaşıp hep
o %2’lik bandın içinde kalması
için geçen süredir, Ts ile gösterilir
ve
Ts 
4
a
formülüyle hesaplanır.
13
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibiyse, bu sistemin zaman sabitini,
yerleşme zamanını ve yükselme zamanını bulunuz.
G( s) 
C:
50
s  50
Tc  0.02 sn
Ts  0.08 sn
Tr  0.044 sn
14
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı 
• Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi
15
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmı ikinci mertebeden sistemlerdir. İkinci
mertebeden sistemlerin zaman cevabı, birinci mertebeden sistemlerde olduğu gibi
tek tip değildir. Kutupların s-düzlemindeki lokasyonuna göre, çıkışın zamana göre
değişimi 4 farklı formda olabilir (eğer sistem kararsız değilse).
Birim adım girişi için ikinci mertebeden sistemlerin bu 4 farklı cevap türü, birer
sayısal örnekle, takip eden slaytta toplu halde gösterilmiş, daha sonra bu cevap
türlerinin her biri ayrı ayrı incelenmiştir.
16
Aşırı Sönümlü
Düşük Sönümlü
Sönümsüz
Kritik Sönümlü
Eğer sistemin, negatif reel eksen
üzerinde iki tane kutbu varsa, sistem
çıkışı referans değere osilasyon
yapmadan yakınsar. Bu cevap türüne
“Aşırı Sönümlü” cevap denir.
Eğer sistemin karmaşık eşlenik iki
kutbu varsa, sistem çıkışı referans
değere, sönümlenen bir osilasyon
yaparak yakınsar. Bu cevap türüne
“Düşük Sönümlü” cevap denir.
Eğer sistemin imajiner eksen üzerinde
eşlenik iki kutbu varsa, sistem çıkışı
hiç sönümlenmeyen sabit frekanslı
osilasyon yapar. Bu cevap türüne
“Sönümsüz” cevap denir.
Eğer sistemin negatif reel eksen üzerinde
çakışık iki kutbu varsa, sistem çıkışı hiç
osilasyon yapmaksızın ve diğer tüm cevap
türlerinden daha hızlı bir biçimde referans
değere yakınsar. Bu cevap türüne 17“Kritik
Sönümlü” cevap denir.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu dört cevap türünün birim adım girişi için tipik eğrileri aşağıda tek bir grafikte
gösterilmiştir. Kritik sönümlü cevap türü diğerlerine göre en hızlısıdır.
Sönümsüz
Düşük
Sönümlü
Kritik
Sönümlü
Aşırı Sönümlü
18
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İkinci mertebeden sistemler için, kutupların lokasyonuna göre cevap türlerini tanıttık.
Şimdi bu cevap türlerinin karakteristiklerini temsil eden iki adet temel büyüklük
tanımlayalım:
Doğal Frekans (ωn): İkinci mertebeden bir sistemin doğal frekansı, sistemin sönüm
olmaksızın yaptığı osilasyonun frekansıdır.
Sönüm Oranı (ζ): İkinci mertebeden bir sistemin sönüm oranı, sistemin yaptığı
osilasyonun sönüm miktarını temsil eden büyüklüktür. Örneğin “Sönümsüz –
Undamped” cevap türünde, adından da anlaşılacağı üzere sönüm yoktur ve sistem
sürekli olarak osilasyon yapar. Bu nedenle de bu cevap türünde ζ=0 değerine sahiptir.
İkinci mertebeden bir sistemin transfer fonksiyonunun genel ifadesi
b
G( s)  2
s  as  b
şeklindedir. Yukarıda tanıtılan iki büyüklük, a ve b cinsinden
n  b
şeklinde hesaplanır.
 
a/2
n
19
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
n  b
 
a/2
n
Dolayısıyla ikinci mertebeden bir sistemin transfer fonksiyonu Doğal Frekans ve Sönüm
Oranı cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
b
G( s)  2
s  as  b
n2
G( s)  2
s  2n s  n2
Ör: Aşağıda transfer fonksiyonu verilen ikinci mertebeden sistemin doğal frekansını ve
sönüm oranını bulunuz.
36
G(s)  2
s  4.2s  36
C: 36   2 
n
4.2  2n
n  6 rad/sn
 4.2  12    0.35
20
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Daha önce ikinci mertebeden bir sistemin transfer fonksiyonunun sönüm oranı ve
doğal frekans cinsinden
n2
G( s)  2
s  2n s  n2
şeklinde ifade edilebileceğini bulmuştuk. Dolayısıyla bu denklem kullanılarak,
kutupların lokasyonu da sönüm oranı ve doğal frekans cinsinden ifade edilebilir. Eğer
yukarıdaki denklemin paydasının kökleri bulunursa, sistemin kutupları da sönüm oranı
ve doğal frekans cinsinden
s1,2  n  n  2  1
şeklinde hesaplanır. Elde edilen bu denklem, bir sistemin cevap türünün ζ değerine
bağlı olduğunu da gösterir. Örneğin ζ=1 ise, sistem negatif reel eksen üzerinde çakışık
kutuplara sahip olacaktır ve cevap türü “Kritik Sönümlü Cevap” olacaktır.
  0  Sönümsüz
0< <1  Düşük Sönümlü
  1  Kritik Sönümlü
21
  1  Aşırı Sönümlü
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemlerin herbiri için ζ değerini hesaplayınız ve buna dayalı olarak
sistemin birim adım girişi için üreteceği cevap türünü ifade ediniz.
C:
a)   1.155 Aşırı Sönümlü
b)   1 Kritik Sönümlü
c)   0.894 Düşük Sönümlü
Böylece Ters Laplace Dönüşümü almaya gerek kalmaksızın sistemin cevap türünü
belirlemiş olduk.
22
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda verilen sistemlerin herbiri için ζ ve ωn değerlerini hesaplayınız ve
buna dayalı olarak sistemin birim adım girişi için üreteceği cevap türünü ifade ediniz.
a.
b.
c.
d.
400
G ( s)  2
s  12 s  400
900
G ( s)  2
s  90 s  900
225
G ( s)  2
s  30 s  225
625
G ( s)  2
s  625
23
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmının ikinci mertebeden sistem olduğunu daha
önceden söylemiştik. İkinci mertebeden sistemlerde en yaygın cevap türü ise
“Düşük Sönümlü Cevap” türüdür. Yani ikinci mertebeden sistemlerin önemli bir
kısmı, birim adım girişi için düşük sönümlü cevap üretirler.
Bu nedenle ikinci mertebeden sistemlerin zaman cevabını incelediğimiz bu alt
bölümün geri kalan kısmında düşük sönümlü ikinci mertebeden sistemler üzerine
yoğunlaşıp, bu sistemlere özgü bazı ek performans spesifikasyonları
tanımlayacağız.
24
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İkinci Mertebeden Düşük Sönümlü Sistemler
İlk önce bu tür sistemler için ek performans kriterlerini tanımlayıp, daha sonra bu
performans kriterlerini kutup lokasyonu ile ilişkilendireceğiz. Nihai amacımız en
başta belirttiğimiz gibi sistemin transfer fonksiyonunun Ters Laplace Dönüşümünü
almak suretiyle geçici durum analizini yapmak yerine, transfer fonksiyonunun
sağladığı kutup lokasyonu bilgisini kullanarak sistemin geçici durum analizini
yapmaktır.
Şimdi düşük sönümlü sistemler için belirlenmiş olan bu 4 adet performans kriterini
tanıtalım:
25
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1. Tepe Zamanı
Sistem cevabının, maksimum
(tepe) değerine ulaşması için
geçen süredir, Tp ile gösterilir ve
Tp 

n 1   2
formülüyle hesaplanır.
2. Yerleşme Zamanı
Sistem cevabının, final değerinin
%2 eksiğine/fazlasına ulaşıp hep
o %2’lik bandın içinde kalması
için geçen süredir, Ts ile gösterilir
ve
Ts 
4
n
formülüyle hesaplanır.
26
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
3. Yüzde Aşım
Sistem cevabının, final değeri ile
maksimum (tepe) değeri
arasındaki yüzdesel orandır, %OS
ile gösterilir ve

%OS  e
 
1 2
 100
formülüyle hesaplanır.
Yüzde aşım, aynı zamanda tanımı gereği,
doğrudan grafik üzerindeki veri kullanılarak da
hesaplanabilir:
cmax  cfinal
%OS 
cfinal
 100
Yukarıdaki formüle göre, verilen
bir yüzde aşım (%OS) değeri için
sistemin sönüm oranını veren
formül, denklemin her iki
tarafının doğal logaritmasını
alarak bulunabilir:
 
 ln  %OS / 100 
 2  ln 2  %OS / 100 
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
4. Yükselme Zamanı
Sistem cevabının, final değerinin
%10’undan %90’ına ulaşması
için geçen süredir. Tr ile gösterilir
ve ikinci mertebeden
sistemlerde analitik olarak
hesaplanması için bir yöntem
mevcut değildir. Genellikle bir
yaklaşım sonucu elde edilen
aşağıdaki formül kullanılarak,
bilinen ζ ve ωn değerleri için,
yükselme zamanı
nTr  1.76 3  0.417 2  1.039  1
formülüyle hesaplanır.
28
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibiyse, bu sistemin yüzde aşımını,
yerleşme zamanını, tepe zamanını ve yükselme zamanını bulunuz.
100
G(s)  2
s  15s  100
C:
n2  100  n  10 rad/sn
2n  15    0.75


 0.75  %OS  e
Ts 
Tp 
 
4
n
1 2
  100  2.838
 0.533 sn

n 1  
Tr  0.23 sn
2
 0.475 sn
29
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi de ikinci mertebeden düşük sönümlü bir sistemin geçici durum cevabına ilişkin
bu performans kriterlerini, sistem kutuplarının lokasyonu ile ilişkilendirelim.
Hatırlanacağı üzere ikinci mertebeden düşük sönümlü bir sistem karmaşık eşlenik
kutuplara sahipti. Bu kutupların reel ve imajiner bileşenlerini
s1,2   d
jd
olarak isimlendirelim. Aşağıdaki şekilde özetlendiği üzere, kutupların bu reel ve
imajiner bileşenleri ile sönüm oranı ve doğal frekans arasında   
d
n
d   n 1   2
ilişkisi mevcuttur (bu bağıntıları nasıl
türetebilirsiniz?). Ayrıca yine şekilde
görüldüğü gibi,
n   d2  d2
  cos
bağıntıları mevcuttur.
30
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Elde edilen bu bağıntılara göre tepe zamanı ve yerleşme zamanı da kutupların
lokasyonuna ilişkin bileşenler cinsinden ifade edilebilir:
Ts 
4
n

4
d


Tp 

n 1   2 d
31
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Kutup haritası aşağıda verilen sistemin  , n , Tp , %OS , Ts değerlerini bulunuz
C: Verilen kutup lokasyonuna göre ζ=cosθ=cos[arctan(7/3)]=0.394 bulunur. Ayrıca
n   d2  d2  32  72  7.616 rad/sn
Bu durumda;
 
Tp 
  0.449 sn
d 7
4
4
Ts 
  1.333 sn
d 3

%OS  e
 
1  2
  100  %26
bulunur.
32
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin birim adım girişi için yüzde aşımı %20 ve yerleşme
zamanı 2 sn değerlerine sahipse, bu sistemin J ve D değerlerini bulunuz.
1/ J
C: Sistemin transfer fonksiyonu G ( s ) 
olarak bulunur. Buna göre;
D
K
s2  s 
J
J
n 
 
K
J
ve 2n 
D
J
bulunur. Sistemin yüzde aşımı %20 ise, sönüm oranı
 ln  %OS / 100 
  ln  %OS / 100 
2
2
olarak verildiğine göre; Ts  2 
formülünden ζ=0.456 bulunur. yerleşme zamanı 2 sn
4
n
 n  2  n  4.38 rad/sn olur.
Bulunan bu ζ ve ωn değerlerine göre D=1.04 Nm·sn/rad ve J=0.26 kgm2 olarak hesaplanır.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı 
• Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı
• Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi
34
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şu ana kadar birinci ve ikinci mertebeden sistemlerin zaman cevabına ilişkin
performans spesifikasyonlarının nasıl hesaplanacağını gösterdik. Peki sistem
üçüncü ya da daha yüksek mertebeden bir sistem ise, zaman cevabının analizine
ilişkin bu spesifikasyonlar nasıl hesaplanır?
Maalesef yüksek mertebeden sistemlerin geçici durum analizine ilişkin herhangi
bir analitik yöntem yoktur!
Ancak burada bir yaklaşım kullanılabilir: Yüksek mertebeden sistemin kompleks
eşlenik “baskın (dominant) kutupları” varsa, bu sistem sanki ikinci mertebeden bir
sistem gibi analiz edilebilir. Peki yüksek mertebeden bir sistemin hangi şartlarda
baskın kutupları mevcuttur?
Eğer yüksek mertebeden bir sistemin, (varsa) bir reel kutbunun orijine olan
uzaklığı, kompleks eşlenik kutupların reel kısmının orijine olan uzaklığının 5
katından fazla ise, bu durumda kompleks eşlenik kutuplar “baskın kutuplar”
olarak adlandırılır ve bu iki kutup sistemin zaman cevabı üzerinde baskın
etkiye sahiptir. Diğer kutup(lar) ise sistemin zaman cevabı üzerinde ihmal
edilebilir bir etkiye sahiptirler. Bu durumda sistem, sadece kompleks eşlenik
kutuplar göz önünde bulundurularak, ikinci mertebeden bir sistemmiş gibi
35
analiz edilebilir.
Yandaki şekilde, birinci
durumda (Case I), reel eksen
üzerindeki kutbun orijine
uzaklığı, kompleks eşlenik
kutupların reel kısmının
orijine olan uzaklığından çok
fazla değildir. İkinci durumda
ise reel kutbun orijine uzaklığı
imajiner kutupların reel
kısmına göre yaklaşık 5 kat
fazladır. Üçüncü durumda ise
reel eksen üzerindeki kutbun
sonsuzda olduğu kabul
edilmektedir.
Alttaki grafikte, her üç durumda bu üç farklı sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir.
Dikkat edilirse üçüncü sistemin cevabı tıpkı ikinci mertebeden bir sistemin cevabına
benzemekte, reel kutup orijine yaklaştıkça zaman cevabı klasik bir düşük sönümlü ikinci
mertebeden sistemin zaman cevabından sapmakta, özellikle birinci durumda alışık
olduğumuzdan farklı bir cevap türü görülmektedir. Özetle yüksek mertebeden bir sistemde
reel kutbun orijine olan uzaklığı, kompleks eşlenik kutupların reel kısmının orijine olan
uzaklığından 5 kat ve daha fazla ise, diğer kutuplar ihmal edilerek sistem kompleks kutuplara
sahip bir ikinci mertebeden sistem gibi analiz edilebilir.
36
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıdaki sistemlerin her birinde, sisteme ikinci mertebeden yaklaşımının
geçerli olup olmadığını belirtiniz.
700
a. G ( s ) 
( s  15)  s 2  4s  100 
360
b. G ( s ) 
( s  4)  s 2  2 s  90 
C: a. Geçerli
b. Değil
Neden?
37
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Peki bir sisteme fazladan bir sıfır eklenmesi sistemin zaman cevabını nasıl etkiler?
Zaman cevabının karakteristiğinin (düşük sönümlü, sönümsüz, aşırı sönümlü, kritik
sönümlü) kutup lokasyonuna bağlı olduğunu gördük. Peki sıfırlar zaman cevabı
karakteristiğini etkilemez mi?
Aşağıdaki grafik, düşük sönümlü bir
sistemin kutupları aynı kalmak
koşuluyla herhangi bir sıfırının
olmadığı ve birkaç farklı noktada
sıfırının olduğu durumlarda, her bir
durum için zaman cevabının
değişimini
göstermektedir.
Görüldüğü gibi sıfırlar sadece
cevabın genliğini etkilemekte,
cevap türünde bir değişikliğe sebep
olmamaktadır. (Her bir durumda,
eklenen sıfırların s-düzleminin sol
yarı tarafında olduğuna dikkat
ediniz.)
38
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ancak bir sisteme, kontrolör tasarlayarak ya da başka herhangi bir sebepten, sdüzleminin pozitif tarafında bir sıfır eklenirse, ilginç bir durum ortaya çıkar. Bunun
etkisi aşağıdaki grafikten görülebilir. Operasyonun ilk anlarında kısa bir süreliğine
sistem çıkışı negatif değer alır. Bu şekilde dinamik davranış gösteren sistemlere
“Minimum Fazlı Olmayan Sistemler – Nonminimum Phase Systems” denir.
Bunun pratik karşılığı şu şekilde
açıklanabilir: Örneğin bir hava
taşıtına pistte hareket etmeye
başladığında ileri gitmesi için komut
verilir ancak taşıt başlangıçta çok
kısa bir süre (birkaç milisaniye) geri
gidip sonra ileri gitmeye başlar.
Tüm kutup ve sıfırları sol yarı
düzlemde olan sistemlere ise
“Minimum Fazlı Sistem – Minimum
Phase System” denir. Sistemin bir
tane bile kutbu ya da sıfırı sağ yarı
düzlemde ise, o sistem Minimum
Fazlı Olmayan bir sistemdir. 39
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı 
• Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı 
• Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi
40
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu alt bölümde, çeşitli doğrusalsızlıkların (doyum, ölü bölge, boşluk vs.) sistemin
zaman cevabı üzerine etkisini inceleyeceğiz.
Diğer bir ifadeyle, örnek bir sistemin önce bu doğrusalsızlıkları içermeyen hali için
zaman cevabını elde edip, daha sonra sisteme bu doğrusalsızlıklar eklendiğinde zaman
cevabının nasıl değiştiğini karşılaştırarak inceleyeceğiz.
Örnek sistem olarak, transfer fonksiyonu
G( s) 
0.2083
s  1.71
şeklinde olan elektriksel bir sistemi ele alalım. MATLAB/Simulink ortamında bu sisteme
bir giriş sinyali uygulanması durumunda sistemin zaman cevabını, herhangi bir
doğrusalsızlık olması durumunda elde edilen zaman cevabı ile aynı grafik üzerinde
karşılaştıralım.
İlk önce doyum (saturation) doğrusalsızlığının zaman cevabına etkisini inceleyelim.
41
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Yandaki şekilde görüldüğü gibi
sisteme 10 V adım girişi uygulanmış ve
sistemin zaman cevabı hem herhangi
bir
doğrusalsızlık
olmaması
durumunda, hem de ±5V tepe
değerlerine
sahip
doyum
doğrusalsızlığı olması durumunda elde
edilerek
aynı
grafik
üzerinde
çizdirilmiştir. Pratik olarak buradaki
doğrusalsızlık,
sistemi
süren
yükseltecin doğrusalsızlığı olarak
düşünülebilir. Grafikten görüldüğü bu
tür doğrusalsızlık sistem çıkışını
sınırlandırmakta ve kalıcı durumda
sistem
çıkışının,
herhangi
bir
doğrusalsızlık olmadığı duruma göre
daha düşük değer almasına sebep
olmaktadır.
42
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi sisteme ölü bölge (dead zone)
doğrusalsızlığı ekleyip, bunun zaman
cevabı üzerindeki etkisini inceleyelim.
Bu kez sisteme genliği 5V ve açısal
frekansı 1 rad/sn olan sinüsoidal bir
giriş uygulayalım. Sistemin hem
herhangi bir doğrusalsızlık olmaması
durumunda, hem de ±2 V ölü bölge
doğrusalsızlığı içermesi durumunda
zaman cevabını aynı grafik üzerinde
çizdirelim. Grafikten görüleceği üzere,
ölü zaman doğrusalsızlığı hem
sistemin biraz daha geç tepki vermeye
başlamasına hem de sistem çıkışının
genliğinin
azalmasına
sebep
olmaktadır.
43
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Son olarak sisteme boşluk (backlash)
doğrusalsızlığı
ekleyip,
zaman
cevabına etkisini inceleyelim. Sisteme
yine genliği 5V ve açısal frekansı 1
rad/sn olan sinüsoidal bir giriş
uygulanmış ve 0.15 V bant genişliğine
sahip bir boşluk eklenmiştir. Grafikten
görüleceği
üzere,
boşluk
doğrusalsızlığı hem genliği her iki
yönde oldukça azaltmakta, hem
sistem cevabını geciktirmekte, hem de
başlangıçta negatif yönde tepkiye
neden olmaktadır. Bu haliyle sistemin
zaman cevabı üzerinde en çok etki
yaratan doğrusalsızlık türüdür.
44
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
1 744 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content