10/21/2014 ENM 503– İstatistiksel Deney Tasarımı RASSAL BLOKLAMA/ LATIN KARE/GREKO LATIN KARE TASARIMLARI PAU Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı 21.10.2014 Faktörlerin etkisini anlamak için deneylerin aynı koşullar altında tek bir blok halinde yapılması gerekir. Fakat zaman, malzeme, operatör vb. kısıtlar nedeniyle deneyler bir blok olarak yapılamayabilir. Deneyler iki veya daha fazla blok halinde yapılırsa bloklamanın etkisinin belirlenmesi gerekir. 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 2 Rassal Bloklama Rassal Bloklama ENM 503 - Dr. Leyla Demir 3 Bir malzeme sertlik testinde kullanılan 4 farklı uçun farklı sertlik ölçümleri verip vermediğini belirlemek isteyelim. Deney her bir uç için 4 defa tekrar edilsin. 4x4=16 test numunesine ihtiyaç olur. Fakat elimizde 4 er adet 4 farklı numune var. 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 4 1 10/21/2014 Rassal Bloklama Rassal Bloklama Uç tipi Numune tipi Model yij =µ + i + j + ij 1 2 3 4 1 9.3 9.4 9.6 10.0 2 9.4 9.3 9.8 9.9 3 9.2 9.4 9.5 9.7 4 9.7 9.6 10.0 10.2 a Yukarıdaki tasarım rassal bloklama olarak isimlendirilir. Blok içindeki deneyler rasgele yapılır. 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir i 1 5 j 1 j 0 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 6 Toplamlar b yi. yij i 1, 2,..., a j 1 a y. j yij j 1, 2,..., b i 1 y.. ENM 503 - Dr. Leyla Demir b 0 21.10.2014 Hipotez testi H0: µ1= µ2=…= µa H1: µi≠ µj veya H0: 1 = 2 =…= a=0 H1: i ≠ 0 21.10.2014 i Rassal Bloklama Rassal Bloklama i=1,2,…,a j=1,2,…,b µ genel ortalama i faktör etkisi j blok etkisi ij rassal hata 7 a b i 1 j 1 y ij SST= SSTR + SSblok + SSE 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 8 2 10/21/2014 Rassal Bloklama Rassal Bloklama Anova tablosu Anova tablosu Değişimin kaynağı Kareli Toplamlar Serbestlik derecesi Ortalama kareler Faktörler Bloklar Hata Toplam SSTR SSblok SSE SST a-1 b-1 (a-1)(b-1) N-1 SSTR / (a-1) SSblok / (b-1) SSE/(a-1)(b-1) a b SST yij2 i 1 j 1 y..2 N a SSTR i 1 yi2. y..2 b N F0 MSTR/MSE b y.2j j 1 a SSblok y..2 N Değişimin kaynağı Kareler toplamı Serbestlik derecesi Ortalama kareler Faktörler Bloklar Hata Toplam 0.385 0.825 0.08 1.29 3 3 9 15 0.128 0.275 0.009 F0 14.4 F0.05,3,9=3.86 <14.4 olduğundan H0 hipotezi reddedilir. Uç tiplerinin sertlik ölçümü üzerinde etkisi vardır SSE SST SSTR SSblok 21.10.2014 9 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir Rassal Bloklama Rassal Bloklama Bu deney bloklama olmadan yapılmış olsaydı Değişimin kaynağı Kareler toplamı Serbestlik derecesi Ortalama kareler Faktörler Hata Toplam 0.385 0.905 1.29 3 12 15 0.128 0.275 0.009 10 Analyze > General Linear Model > Univariate Model > Custom > Main effects F0 1.7 F0.05,3,12=3.49 >1.7 olduğundan H0 reddedilemez. Uç tiplerinin sertlik ölçümü üzerinde etkisi yoktur 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 11 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 12 3 10/21/2014 Latin Kare Tasarımı Latin Kare Tasarımı Operatör İki farklı bloklama değişkeni Örneğin hem malzeme hem de operatörler tam bir blok halinde deneyi yapmak için yeterli değil İki yönlü bloklama Hammadde 21.10.2014 13 ENM 503 - Dr. Leyla Demir Latin Kare Tasarımı A B C D B C D A C D A D A B 4X4 3 4 5 B=20 C=19 D=24 E=24 2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22 5 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31 Örnek: Dinamit yapımında kullanılan 5 farklı formül Latin kare tasarımında her bir harf satırda ve sütunda sadece bir kez tekrarlanır. 21.10.2014 B C D E F ENM 503 - Dr. Leyla Demir 14 B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C E F A B C D F A B C D E ENM 503 - Dr. Leyla Demir Model Y =µ + αi +j + k + ijk i=1,2,…,p, j=1,2,…,p k=1,2,…,p SST= SSTR +SSsatır+ SSsütun+ SSE Serbestlik dereceleri p2 – 1 = p – 1 + p – 1 + p – 1+ (p – 2)(p – 1) 6X6 21.10.2014 2 A=24 Latin Kare Tasarımı Bazı Latin kare tasarımlarına örnek A 1 1 15 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 16 4 10/21/2014 Latin Kare Tasarımı Latin Kare Tasarımı Anova Tablosu Değişim kaynağı Kareli toplam Faktörler SSTR p y.2j . j 1 p p Satırlar SS satır j 1 p Sütunlar SS sütun k 1 Hata 21.10.2014 y...2 N 2 i .. 2 ... 2 ..k 2 ... y y p N y y p N SSE = SST – SSTR – SSsatır –SSsütun p Toplam Serbestlik derecesi p p 2 SST yijk i 1 j 1 k 1 2 ... y N Ortalama Kare F0 p-1 SSTR / (p – 1) MSTR/M SE p-1 SSsatır / (p – 1) p-1 SSsütun / (p – 1) (p-2) (p-1) Source Sum of Squares df Mean Square F Sig. RawMet Operator Formul Error Total 4 4 4 12 24 17,000 37,500 82,500 10,667 1,594 3,516 7,734 ,239 ,040 ,003 SSE/(p – 2)(p – 1) p2-1 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 17 SPSS’te Latin Kare Input Data Analyze > General Linear Model > Univariate Note: You must use a custom model and only ask for main effects. 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 19 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 18 Greko-Latin Kare Tasarımı 21.10.2014 68,000 150,000 330,000 128,000 676,000 Üç bloklama değişkeni Bir Latin kare tasarımı üzerine başka bir Latin kare tasarımının yerleştirilmesi Üç yönlü bloklama 21.10.2014 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 20 5 10/21/2014 Greko-Latin Kare Tasarımı Greko-Latin Kare Tasarımı 4x4 için Grek- Latin kare tasarımı örneği Model i=1,2,…,p j=1,2,…,p k=1,2,…,p l=1,2,…,p Y =µ + i +j + k +l +ijkl Sütun Satır 1 2 3 4 1 A B C D 2 B A D C 3 C D A B 4 D C B A 21.10.2014 i :satır etkisi j :Latin harflerinin etkisi k :Grek harflerinin etkisi l :sütun etkisi SST=SSsatır+SSL+SSG+SSsütun +SSE Serbestlik dereceleri p2 – 1 = (p – 1) +( p – 1) + (p – 1)+ (p – 1)+ (p – 3)(p – 1) 21 ENM 503 - Dr. Leyla Demir Greko-Latin Kare Tasarımı Değişim kaynağı Kareli toplam y.2j .. p Latin harf Serbestlik derecesi SS L Grek harf Satırlar SSG k 1 p p SS sütun l 1 Hata SSL / (p – 1) p-1 SSG / (p – 1) 2 yi2... y.... p N p-1 2 y...2 l y.... p N p p (p-3) (p-1) p 2 SSTR yijkl i 1 j 1 k 1 l 1 21.10.2014 p-1 Çıkarma sonucunda p Toplam p-1 2 y..2k . y.... p N SS satır i 1 Sütunlar y2 .... p N j 1 p Ortalama Kare 2 .... y N 21.10.2014 Greko-Latin Kare Tasarımı F0 MSTR/ MSE Dinamit örneğine bir başka bloklama değişkeni olarak test montajı ilave edilsin Operatör Hammadde SSsatır/ (p – 1) SSsütun/ (p – 1) SSE/(p – 3)(p – 1) p2-1 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 22 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 23 21.10.2014 1 2 3 4 5 1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24 2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22 5 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31 ENM 503 - Dr. Leyla Demir 24 6 10/21/2014 Greko-Latin Kare Tasarımı Source RawMet Operator Formul Test Error Total 21.10.2014 Sum of Squares df 68,000 150,000 330,000 62,000 66,000 676,000 4 4 4 4 8 24 Mean Square 17,000 37,500 82,500 15,500 8,250 F 2,061 4,545 10,000 1,879 ENM 503 - Dr. Leyla Demir Sig. ,178 ,033 ,003 ,208 TAM FAKTÖRYEL DENEY TASARIMI 25 İki veya daha fazla faktörün bulunduğu deneylerdir Tüm kombinasyonlar için deney yapılır 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım ENM 503 - Dr. Leyla Demir 26 Faktöryel deney tasarımı Faktöryel deney tasarımı 21.10.2014 27 Faktör etkisi (main effect): Faktör seviyesine bağlı olarak çıktıda meydana gelen değişim miktarıdır Etkileşim (interaction): İki veya daha fazla faktörün birlikte çıktı üzerinde yaptığı değişim miktarı 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 28 7 10/21/2014 Etkileşim Faktör etkisi Eğer iki faktörün çıktı üzerindeki etkisi tüm seviyeler için farklılık gösteriyor ise bu durumda faktörler arasında bir etkileşim vardır denir B faktörü A faktörü A= B faktörü B1 B2 A1 20 30 50 A2 40 52 30 40+52 2 B= Çıktı 30+52 2 - 20+30 A faktörü B1 40 20 =21 A1 2 40+20 B2 2 IENG 461-Deneysel Tasarım 29 Eğer etkileşim söz konusu ise faktör etkileri gizlenebilmektedir. 50+12 2 B= 40+12 2 - 20+40 =1 2 20+50 50 12 Çıktı B1 50 40 30 20 B2 A1 A2 30 IENG 461-Deneysel Tasarım IENG 461-Deneysel Tasarım a: A faktörünün seviye sayısı b: B faktörünün seviye sayısı (axb): Toplam deneme sayısı n: Her bir denemedeki tekrar sayısı N: Toplam deney sayısı (N=abn) Faktörler A1 =-9 2 Yukarıdaki örnekte A faktörünün etkili olmadığı görülmektedir. Fakat gerçekte A, B’nin farklı seviyeleri için etkilidir. Etkileşimin olması durumunda bir faktör seviyesi sabit tutularak diğer faktör seviyesinin etkisi incelenmelidir. 21.10.2014 A2 21.10.2014 A= 40 İki faktörlü deney tasarımı Etkileşim B2 20 B faktörü B1 seviyesinde iken A faktörünün çıktı üzerindeki etkisi A=50-20=30 B faktörü B2 seviyesinde iken A faktörünün çıktı üzerindeki etkisi A=12-40=-28 A2 =11 21.10.2014 B1 A1 31 B1 B2 … Bb y111, y112,…,y11n y121, y122,…,y12n y1b1, y1b2,…,y1bn A2 y211, y212,…,y21n y221, y222,…,y22n … … Aa ya11, ya12,…,ya1n ya21, ya22,…,ya2n … yab1, yab2,…,yabn 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım y2b1, y2b2,…,y2bn 32 8 10/21/2014 Doğrusal model Sabit etki modeli Faktörlere ve etkileşime bağlı olarak her hangi bir deneyde elde edilen gözlem değeri aşağıdaki gibi modelleyebiliriz Her iki faktörün seviyeleri sabit olduğu varsayıldığında hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır. i=1,2,…,a yijk=+i+ j+()ij+ijk H0: 1=2=…=a=0 H1: En az bir i0 j=1,2,…,b k=1,2,…,n yijk: gözlem değeri H0: 1= 2=…= b=0 H1: En az bir j0 : Genel ortalama i: Satır faktörünün etkisi j: Sütun faktörünün etkisi H0: ( )ij=0 H1: En az bir ( )ij0 ()ij: İki faktör arasındaki etkileşim ijk: Rassal hata 21.10.2014 33 IENG 461-Deneysel Tasarım a i 1 21.10.2014 i 0 b j 1 j 0 34 Toplam değişkenlik dört parçaya ayrılır: A faktöründen kaynaklanan değişkenlik B faktöründen kaynaklanan değişkenlik A ve B etkileşimi sonucunda oluşan değişkenlik Rassal hata Bu değişkenlikler kareli toplamlar olarak ifade edilir: SST=SSA+SSB+SSAB+SSE SST : Toplam değişkenlik SSA : Satır faktöründen kaynaklanan değişkenlik SSB : Sütun faktöründen kaynaklanan değişkenlik SSAB : Etkileşimden kaynaklanan değişkenlik SSE : Rassal hatadan dolayı kaynaklanan değişkenlik Etkiler genel ortalamadan sapmalar olarak tanımlandığından IENG 461-Deneysel Tasarım Sabit etki modeli Sabit etki modeli 21.10.2014 a b ( ) i 1 j 1 IENG 461-Deneysel Tasarım ij 0 35 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 36 9 10/21/2014 Sabit etki modeli (Notasyon) Sabit etki modeli yi .. y. j . yij . y... satır, sütun, hücre ve genel ortalamalar b n yi.. yijk yi.. j 1 k 1 a n y. j . yijk y. j. i 1 k 1 n yij . yijk k 1 a b yi.. bn y. j. yij. n y... yijk y... i 1 j 1 k 1 21.10.2014 an yij. n a b n a ( y i 1 j 1 k 1 ijk b n y... )2 [( yi.. y... ) ( y. j. y... ) ( yij. yi.. y. j. y... ) ( yijk yij. )]2 i 1 j 1 k 1 i=1,2,…,a Yukarıdaki ifadenin karesi alındığında 6 çapraz çarpımların toplamı sıfırdır. Buradan j=1,2,…,b a b n ( y i 1 j 1 k 1 i=1,2,…,a j=1,2,…,b ijk b j 1 a b a b n n ( yij . yi.. y. j . y... ) 2 ( yijk yij . ) 2 y... abn IENG 461-Deneysel Tasarım a i 1 y... )2 bn ( yi.. y... ) 2 an ( y. j . y... ) 2 i 1 j 1 37 21.10.2014 i 1 j 1 k 1 IENG 461-Deneysel Tasarım 38 Serbestlik dereceleri Sabit etki modeli a SSTA bn ( yi.. y... )2 Etki A B AB etkileşimi i 1 b SSTB an ( y. j . y... ) 2 j 1 a b SSTAB n ( yij. yi.. y. j. y... )2 Hata Toplam i 1 j 1 a b n SS E ( yijk yij . )2 Serbestlik Derecesi a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(n-1) abn-1 i 1 j 1 k 1 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 39 21-Eki-14 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 40 10 10/21/2014 Ortalama kareler F Testi Serbestlik derecesine bölünerek ortalama kareler bulunur MSA=SSA/(a-1) MSB=SSB/(b-1) MSAB=SSAB/[(a-1)(b-1)] MSE=SSE/ab(n-1) 2 Ho hipotezi doğru ise tüm ortalamalar 2 için iyi bir tahmindir Aksi takdirde bir faktörün ve/veya etkileşimin mevcut olması durumunda karşı gelen ortalama değişkenlik daha büyük olacaktır f =MSA / MSE Serbestlik dereceleri v1=(a-1) v2=ab(n-1) f =MSB / MSE v1=(b-1) v2=ab(n-1) f = MSAB/ MSE v1=(a-1)(b-1) v2=ab(n-1) Karar kuralı: Eğer f > f,v1,v2 ise Ho reddedilir diğer durumda Ho rededilemez. 21.10.2014 41 IENG 461-Deneysel Tasarım 21.10.2014 Hesaplama formülleri Anova tablosu a Değişimin Kaynağı Satır (A) Kareler Toplamı (SS) Sütun (B) SSTA SSTA Etkileşim Hata SSTAB SSE Toplam SST 42 IENG 461-Deneysel Tasarım b n 2 SST yijk i 1 j 1 k 1 Serbestlik derecesi Ortalama Kare (MS) F (a-1) (b-1) SSTA/(a-1) SSTB/(b-1) MSTA / MSE MSTB / MSE (a-1)(b-1) SSTAB/(a-1) (b-1) MSTAB / MSE ab(n-1) SSE/ab(n-1) a SS A i 1 yi2.. y2 ... bn abn a b SSalttoplam i 1 j 1 abn-1 yij2. n y...2 abn b y.2j . j 1 an SS B y...2 abn y...2 abn SS AB SSalttoplam SS A SSB SS E SST SS A SS B SS AB SST SSalttoplam 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 43 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 44 11 10/21/2014 Örnek Örnek Bir pil imalatçısı, pil ömürleri üzerinde üretiminde kullanılan metal tiplerinin ve ortam sıcaklığının etkisini araştırmak istemektedir. Bu amaçla üç farklı metal tipi ve üç farklı sıcaklık değeri (15, 70, 125 °F) tespit edilmiş ve her bir kombinasyon için 4 deney yapılmıştır. Aşağıdaki tabloda deneylerin sonuçları yer almaktadır. Sıcaklık (°F) Metal tipi 1 Sıcaklık (°F) Metal tipi 15 1 2 3 70 125 2 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 150 188 126 122 25 70 159 126 106 115 58 45 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 3 15 130 a SS Metal i 1 21.10.2014 yi.. 70 80 229 75 82 230 58 126 25 188 106 479 115 70 58 198 45 1300 159 623 126 138 174 96 1501 110 122 998 168 576 160 120 150 583 139 1738 1291 104 82 342 60 770 3799 Hücre toplamları 45 21-Eki-14 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 46 Örnek: Kareler toplamı (3799) 2 77646.97 36 SSalttoplam yi2.. y2 b n ... bn abn j 1 k 1 b y.2j . j 1 an (539)2 ... (342)2 (3789) 2 59416.22 4 36 SS AB 59416.22 10683.72 39118.72=9613.78 (998) 2 (1300) 2 (1501) 2 (3799) 2 10683.72 (3)(4) 36 SS sicaklik 20 n (130) 2 (155) 2 ... (60) 2 125 40 74 539 180 y2 2 SST yijk ... abn i 1 j 1 k 1 b 34 150 y.j. Örnek: Kareler toplamı a 70 155 SSE 77134.75 59416.22 18230.75 y...2 abn (1738) 2 (1291) 2 (770) 2 (3799) 2 39118.72 (3)(4) 36 IENG 461-Deneysel Tasarım 47 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 48 12 10/21/2014 Örnek: Anova tablosu Değişimin Kaynağı SS Serbestlik derecesi Faktör etkisi MS F Sig. Metal 10683.72 2 5341.86 7.91 0.0020 Sıcaklık Metal * Sıcaklık 39118.72 2 19559.36 28.97 0.0001 9613.78 4 2403.44 3.56 0.0186 Hata 18230.75 27 675.21 Toplam 77646.97 35 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 49 21.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 50 13
© Copyright 2024 Paperzz
