¨ Y¨ uz¨ unc¨ u Yıl Universitesi Gıda M¨ uhendisli˘ gi B¨ ol¨ um¨ u M¨ uhendislik Matemati˘ gi Ara Sınavı MMGEN201 M¨ uhendislik Matemati˘gi ˙ Isim: Soyisim: Numara: 1 2 1 3 1 4 1 Ara Sınav 17 Kasım 2014 ˙ Yrd. Do¸c. Dr. Zeynep KAYAR Imza Saat: 17:00 1 S¨ ure: 90 Dakika 1 1 Toplam 1 1 1 UYARI: Bu sınav bu sayfa dahil 4 sayfadan ve 4 sorudan olu¸smaktadır. Sınav 100 puan u ¨zerindendir ve her sorunun puanı soru ba¸sında belirtilmi¸stir. Sorulara verilen cevaplar a¸cıklayıcı ve okunaklı olmalıdır. Yeterli a¸cıklamanın olmadı˘gı cevaplar yanlı¸s kabul edilecektir. Yukarıdaki ilk tablonun sol tarafına gerekli bilgileri yazınız, sa˘g taraftaki imza kısmına imzanızı atınız. ˙ Ikinci tabloya her sorudan alaca˘ gınız puan ve toplam puanınız yazılacaktır, bu y¨ uzden herhangi bir karalama yapmayınız. Her sayfanın ba¸sına ¨o˘grenci numaranızı yazınız ve imzanızı atınız. Ba¸sarılar dilerim. 1. (20 puan) dy = sin 2x + 2xy dx y(0) = 0 ile verilen Ba¸slangı¸c De˘ ger Probleminin c¸¨oz¨ um¨ un¨ un varlık ve tekli˘gini ara¸stırınız. ∂f = 2x fonksiyonları (0, 0) noktasını kapsayan ∂y |x − 0| ≤ a, |y − 0| ≤ b dikd¨ ortgeninde x ve y ye g¨ore s¨ ureklidirler. Varlık Teklik Teoreminin hipotezleri sa˘ glandı˘ gından verilen Ba¸slangı¸c De˘ger Probleminin |x − 0| ≤ h ≤ a aralı˘gında tek ¸c¨ oz¨ um¨ u vardır. C ¸¨ oz¨ um: f (x, y) = sin 2x + 2xy ve Numara: ˙ Imza: 2/4 2. (a) (20 puan) (eax sin y + by sin x)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0 denkleminin tam diferansiyel denklem olması i¸cin a ve b sayıları ne olmalıdır? Bu a ve b de˘gerleri i¸cin denklemin genel ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: M = eax sin y + by sin x ve N = ex cos y + 2 cos x olmak u ¨zere verilen diferansiyel ∂M ∂N denklemin tam olması i¸cin = , yani eax cos y + b sin x = ex cos y − 2 sin x olmalıdır. ∂y ∂x Burada son denklemin her iki tarafındaki sin x ve cos y nin katsayılarını e¸sitlersek, a = 1 ve b = −2 olur. Verilen denklemi bu de˘gerler i¸cin tekrar yazarsak a¸sa˘gıdaki tam diferansiyel denklemi elde ederiz. (ex sin y − 2y sin x)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0 (1) ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M ve = N olacak ¸sekildeki (1) denkleminin ¸c¨oz¨ umler ailesini ∂x ∂y olu¸sturan F (x, y) fonksiyonunu bulalım. S¸imdi ∂F (x, y) = M = ex sin y − 2y sin x oldu˘gundan denklemin her iki tarafından x e g¨ore t¨ urev ∂x alırsak F (x, y) = ex sin y + 2y cos x + h(y) (2) elde ederiz. ∂F (x, y) = N = ex cos y + 2 cos x ve (2) denkleminden y ye g¨ore t¨ urev alındı˘gında ∂y ∂F (x, y) = ex cos y + 2 cos x + h0 (y) oldu˘gundan h0 (y) = 0 yani h(y) = C0 dır. ∂y Yani F (x, y) = ex sin y + 2y cos x + C0 dır. (1) denkleminin c¸¨ oz¨ umler ailesi ise F (x, y) = C1 den ex sin y + 2y cos x = C olur. (b) (10 puan) Verilen diferansiyel denklemin y(0) = π ko¸sulunu sa˘glayan c¸¨oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: (1) denkleminin genel ¸c¨oz¨ um¨ unde, verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu, y(0) = π, kullanırsak, e0 sin π + 2π cos 0 = C ⇒ 0 + 2π = C ⇒ C = 2π olur. Verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu sa˘ glayan ¸c¨oz¨ um ise ex sin y + 2y cos x = 2π olarak bulunur. ˙ Imza: Numara: 3. (a) (20 puan) 3/4 2 y3 dy + y = 2 diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. dx x x C ¸¨ oz¨ um: Verilen diferansiyel denklem n = 3 olmak u ¨zere Bernoulli’dir. −3 ˙ olarak denklemin her iki tarafını y ile ¸carparsak, Ilk y −3 dy 2 1 + y −2 = 2 dx x x (3) denklemini elde ederiz. dy dv (3) denklemi i¸cin y −2 = v d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u yapılırsa, −2y −3 = olur. Bu d¨on¨ u¸su ¨m¨ u (3) dx dx denkleminde uygulayıp ortaya ¸cıkan denklemi d¨ uzenlersek, 4 −2 dv − v= 2 dx x x (4) lineer denklemini elde ederiz. R −4 µ(x) = e x dx = e−4 ln x = x−4 integral ¸carpanıyla (4) denklemini c¸arparsak dv −2 d −4 −2 x−4 − 4x−5 v = 6 ya da vx = 6 dx x dx x buluruz. Son denklemin her iki yanından x e g¨ore integral alırsak, v.x−4 = Buradan (4) denkleminin genel ¸c¨ oz¨ um¨ uv= 2x−1 5 2x−5 5 + C olur. + Cx4 olur. Verilen Bernoulli denkleminin genel c¸¨oz¨ um¨ u, y −2 = v d¨on¨ u¸su ¨m¨ unden, y −2 = olarak bulunur. 2x−1 + Cx4 5 (b) (10 puan) Verilen diferansiyel denklemin y(1) = −1 ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: Bernoulli denkleminin genel c¸¨oz¨ um¨ unde, verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu, y(1) = −1, kullanırsak ve [y(1)]2 = (−1)2 = 1 oldu˘gundan 1 2 3 = + C · 1 ⇒ C = olur. 1 5·1 5 2x−1 3 4 Verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu sa˘ glayan ¸c¨oz¨ um ise y −2 = + x olarak bulunur. 5 5 Numara: 4. (20 puan) ˙ Imza: 4/4 y dy = ey/x + diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. dx x y y C ¸¨ oz¨ um: f (x, y) = ey/x + fonksiyonu in fonksiyonu oldu˘gundan verilen denklem x x homojendir. y dy dv Verilen denklem i¸cin = v d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u yapılırsa, = v+x olur. Bu d¨on¨ u¸su ¨m¨ u x dx dx homojen denklemde uygularsak, dv dv v+x = ev + v ⇒ x = ev dx dx dx ⇒ e−v dv = x De˘gi¸skenlerine Ayrılabilir Denklem (DAD) elde edilir. Son denklemde sol tarafın v ye g¨ ore sa˘g tarafın x e g¨ore integralini alırsak, De˘gi¸skenlerine Ayrılabilir Denklemin genel c¸¨ oz¨ um¨ u −e−v = ln x + C olarak elde edilir. y Homojen denklemin genel ¸c¨ oz¨ um¨ u ise, = v d¨on¨ u¸su ¨m¨ unden, −e−y/x = ln x + C olarak x bulunur.
© Copyright 2024 Paperzz
