7. Rasgele değişkenler

7. RASGELE DEĞİŞKENLER
Numeric olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken
denir.
Değeri bir deney sonucuyla belirtilen bir değişkene rasgele değişken denir. Çoğu
zaman deneyin kendisi ile değil deneyin rassal sonucu ile ilgileniriz. Deneylerin
sonuçları gerçel değerlerle ifade edildiğinde bu sonuçlar S den gerçel sayılar
kümesine (R) bir fonksiyon olarak düĢünülebilir ve bu fonksiyonlara rassal
değişkenler denir.
X:S
R. Yani, X rassal değişkeni S' den yada S' nin bir alt kümesinden R' ye bir
fonksiyondur.
Temelde iki çeşit random değişken vardır.
sürekli(continuous) rassal değiĢken
Kesikli(discrete) rassal değiĢken
Sürekli Rasgele DeğiĢken
X bir rasgele değişken olsun. X bir aralıkta ya da birden çok aralıkta her değeri
alabiliyorsa X'e sürekli rasgele değişken denir.
Örnek :
Belli bir bileşiğin içindeki alkol yüzdesi belli bir aralıktaki her gerçel değeri alabileceği
için sürekli rasgele değişkendir.
Örnek;
x random değişkeni(2, 6.5) aralığındaki her değeri alabiliyorsa x sürekli random
değişkendir.
Kesikli Rasgele DeğiĢken
X bir rasgele değiĢken olsun. X'in alabileceği değerlerin sayısı sonlu
veya
sayılabilir sonsuzlukta ise X'e kesikli rasgele değiĢken denir.
Örnek:
Bir zarın atılması deneyini düĢünelim. Bu deney için örnek uzay:
S={1,2,3,4. 5. 6} dır.
Bu örnek uzayda sonlu sayıda eleman (örnek nokta) vardır, bu
örnek uzay üzerinde tanımlanan X rasgele değiĢkeni kesikli rasgele değiĢkendir.
Örnek:
Bir paranın iki kez atılması deneyini düĢünelim. Bu deney için örnek uzay:
S= {YY, TY, YT, TT} dir.
X rasgele değiĢkeni "Bulunan turaların sayısı" olsun. Böylece X'in alabileceği
değerler 0,1 ve 2'dir. O halde X sonlu sayıda değer aldığından kesikli rasgele
değişkendir.
3
Bir parayı 5 kez attığımızda tura gelme sayısı x random değişkeni olsun. Bu durumda
x in alabileceği değerler x=0,1,2,3,4,5 olabilir. Yani tura hiç gelmeyebilir (x=0),....,5
atıĢta da tura gelebilir (x=5)
5 dakikada petrol istasyonuna gelen araç sayısı
200 müĢteriden 30 yaĢ üzeri olanların sayısı
Bir haftada yapılan satıĢ sayısı
Kesikli rassal değiĢkenlere örnek olarak verilebilir.
Örnek:
Bir paranın iki kez atılması deneyini düĢünelim. Bu deneyde 'Bulunan turaların
sayısı" X rasgele değiĢkeni olsun. Bu deney için örnek uzay,
S={YY, YT, TY TT}
dir.
X'in alabileceği değerler 0, 1 ve 2' dir. X'in x değerini alması olasılığını f(x) ile
göstereceğiz.
F(x)=P(X=x) dir.
X=x
0
1
2
f(x)=P(X=x)
1/4
2/4
1/4
f(0)=P(X=0)=1/4
f(1)=P(X=1)=2/4
f(2)=P(X=2)=1/4
4
Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Fonksiyonu
X, sonlu sayıdaki x1, x2, ..., xN değerlerini f(x,)=P(X=x,)1 i=1, 2,..., N olasılıkları ile
alabilen kesikli rasgele değiĢken olsun. Bu durumda aĢağıdaki koĢulları sağlayan f(x)
fonksiyonuna X'in olasılık fonksiyonu denir.
1. f(x) > 0.
tüm x ler için
2.
Kesikli Rasgele DeğiĢkenin Dağılım Fonksiyonu
X rasgele değiĢkeninin bir tek x değerine eĢit olması olasılığı ile ilgilendiğimiz gibi, x'e
eĢit ya da küçük olması olasılığı ile de ilgileneceğiz. Bu toplamalı olasılığa X rasgele
değiĢkeninin kümülatif (birikimli, eklemeli) dağılım fonksiyonu yada kısaca dağılım
fonksiyonu denir.
Bir X rasgele değiĢkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve X1 in x'e eĢit ya
da daha küçük olması olasılığıdır.
Örnek:
5
Düzgün altı yüzlü bir zar bir kez atılıyor Üste gelen yüzdeki noktaların sayısının
olasılık fonksiyonunu ve birikimli olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Bu deney için örnek uzay:
S={1,2,3,4,5,6}
Zarın üst yüzüne gelen noktaların sayısını X ile gösterirsek X 1 den 6' ya kadar
herhangi bir tam sayı olacaktır. Örnek uzayda 6 örnek nokta vardır ve her biri 1/6
olasılıkla elde edildiğine göre X rasgele değiĢkenin olasılık fonksiyonu:
X=x
1
f(x)=P(X= 1/6
x)
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Olasılık fonksiyonu
Kümülatif (birikimli) olasılık fonksiyonu
6
Kümülatif olasılık fonksiyonu
Örnek:
X kesikli rasgele değişkeninin olasılık dağılımı
P(X = 1) = ½
P(X = 2) = 1/3
P(X = 4)=1/6
Ģeklindedir. X in dağılım fonksiyonunu elde ediniz ve bu fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
7
8

Download Report