Ekstremi f-ja više varijabli

ITD obrt za poduke i usluge
098/ 92 02 295 [email protected]
www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr
Ekstremi funkcija više varijabli
Postupak:
1. naći: zx → derivirati ono što ima x
zy → derivirati ono što ima y
2. prvu derivaciju izjednačiti sa 0 i naći rješenja (x i y)
3. naći: zxx → derivirati ono što ima x u zx → A
zxy → derivirati ono što ima x u zy → B
zyy → derivirati ono što ima y u zy → C
4. izračunati: D=AC-B2
-
D<0 → nema ekstrema
-
D>0 → ima ekstrema:
A>0 → min
A<0 → MAX
Primjer: Odredimo ekstreme funkcije z = 2 x 3 − 6 x + 6 y 2 + 1
KORAK 1. Nađemo prvu derivaciju (zx i zy):
z = 2x 3 − 6x + 6 y 2 + 1
z = 2x 3 − 6x + 6 y 2 + 1
zx – deriviramo samo gdje je x
zy – deriviramo samo gdje je y
z x = 2 ⋅ 3x 3−1 − 6 ⋅ 1
z y = 6 ⋅ 2 y 2−1
z x = 6x 2 − 6
z y = 12 y
1
ITD obrt za poduke i usluge
098/ 92 02 295 [email protected]
www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr
KORAK 2. Prvu derivaciju izjednačimo sa 0 i nađemo rješenja (x i y):
6x 2 − 6 = 0
12 y = 0 / :12
6 x 2 = 6 / :6
y=0
x2 = 1 /
x = ±1 → x 1 = 1
x 2 = −1
KORAK 3. Nađemo drugu derivaciju (zxx, zxy i zyy):
zxx→ deriviramo gdje imamo x u zx
z x = 6x 2 − 6
z xx = 6 ⋅ 2 x 2−1
z xx = 12x
Da bi dobili A uvrštavamo x1=1 i x2=-1 (x-eve smo dobili u koraku 2.)
z xx = 12 ⋅ 1 = 12 → A1
z xx = 12 ⋅ (−1) = −12 → A2
zxy→ deriviramo gdje je x u zy
z y = 12 y
z xy = 0 (nema x u zy) → B
zyy→ deriviramo gdje imamo y u zy
z y = 12 y
z yy = 12 ⋅ 1
z yy = 12 → C
2
ITD obrt za poduke i usluge
098/ 92 02 295 [email protected]
www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr
KORAK 4. Izračunamo: D=AC-B2
D1 = A 1C − B 2 = 12 ⋅ 12 − 0 2 = 144 >0 → ima ekstrema (A>0 min)
Rješenje: min(1,0)
D 2 = A 2 C − B 2 = 12 ⋅ (−12) − 0 2 = −144 <0 nema ekstrema
Objašnjenje: Dobili smo da je D1>0 što znači da ima ekstrema . Vidimo da je A1>0 pa imamo
minimum. Minimum ima koordinate m(1,0) jer nam je x1=1, a y=0. D2<0 i nema ekstrema.
D<0 → nema ekstrema
D>0 → ima ekstrema: A>0 → min
A<0 → MAX
3

Download Report