1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
dr.sc.Nikola Kocei´c Bilan
2008
Matematika II
3
1 Funkcije
1.1 De nicija funkcije
De nicija 1.1 Neka su X i Y neprazni skupovi i f pravilo koje svakom elementu x 2 X pridru uje tocno jedan
element y 2 Y . Uredenu
trojku (X; Y; f ) nazivamo funkcijom i oznacujemo f : X ! Y: Skup X nazivamo
¯
domenom funkcije f , a skup Y kodomenom. Za svaki x 2 X njemu pridru eni y 2 Y pravilom f c´ emo
oznacavati sa f (x) i kazati da je y slika argumenta (varijable) x.
De nicija 1.2 Re´ci c´ emo da je funkcija f1 : X1 ! Y1 jednaka funkciji f2 : X2 ! Y2 i pisati f1 = f2 ako je
X1 = X2, Y1 = Y2 i f1 (x) = f2 (x) ; za svaki x 2 X1 = X2.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
4
Primjer 1.1 Neka je X skup svih gradana
RH a Y = N: Oznacimo sa f pridr ivanje JMBG-a gradaninu.
¯
¯
Da li je (X; Y; f ) funkcija?
Primjer 1.2 Neka je X = N a Y skup svih studenata Sveucilišta u Mostaru. Oznacimo sa f pravilo
koje broju n pridru uje studenta ako je n broj njegova indeksa. Da li je (X; Y; f ) funkcija?
Primjer 1.3 Neka je X = (0; 1) i Y = R. Oznacimo sa f pravilo koje svakom x 2 X pridru uje onaj
broj y 2 Y takav da je y 2 = x: Da li je (X; Y; f ) funkcija?
Primjer 1.4 Neka je X
Y; a neka je i : X ! Y odredena
pravilom
¯
(8x 2 X) i (x) = x.
Ovu funkciju nazivamo inkluzijom (ulaganjem). Posebno ako je Y = X , tada dobivamo funkciju
1Y : Y ! Y 1Y (y) = y koju nazivamo identitetom na Y .
Primjer 1.5 Funkciju f : X ! Y za koju je f (x) = y0 za svaki x 2 X nazivamo konstantom.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
5
De nicija 1.3 Neka su f : X ! Y i g : Y ! Z funkcije. Kompozicijom funkcija f i g nazivamo funkciju
g f : X ! Z zadanu pravilom g f (x) = g (f (x)) za svaki x 2 X .
Primjer 1.6 Neka je X = f0; 1; 2; 3g : Ako su funkcije f : X ! X i g : X ! X zadane pravilom
x 0 1 2 3
f (x) 1 1 0 0
odredite g f i f
x 0 1 2 3
g (x) 3 3 1 2
g.
Primjer 1.7 Neka je X skup svih ljudi i neka je funkcija f : X ! N0 zadana pravilom po kojem se
svakom covjeku pridru uje broj napunjenih godina ivota. Ako je g : N0 ! N g (n) = n + 1; odredite
g f:
Primjer 1.8 Odredite g f i f
g ako je f : N ! N f (x) = x2 i g : N ! N g (x) = 2x + 1.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
6
Propozicija 1.1 Komponiranje funkcija je asocijativna operacija tj. ako su f : X ! Y; g : Y ! Z i
h : Z ! W funkcije tada je (hg) f = h (gf ).
Propozicija 1.2 Neka je f : X ! Y funkcija. Tada je f 1X = f i 1Y f = f .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Neka je f : X ! Y funkcija i A
7
XiB
Y . Skup
f (A) = ff (x) j x 2 Ag
nazivamo funkcijskom slikom skupa A.
Skup
f
1
(B) = fx 2 X j f (x) 2 Bg
nazivamo praslikom skupa B .
Primjer 1.9 Neka je f : X ! Y f (x) = yo konstanta. Tada je f
Primjer 1.10 Neka je f : R ! R f (x) = x2. Tada je f
1
1
(fcg) = X:
n 2 j n 2 N0
= Z:
Primjer 1.11 Neka je X skup svih studenata nekog fakulteta koji su polo ili Matematiku. Funkcija
f : X ! N koja svakom studentu pridru uje ocjenu iz Matematike ima za funkcijsku sliku f (X) =
f2; 3; 4; 5g.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
8
De nicija 1.4 Ka emo da je funkcija f : X ! Y surjekcija ako je f (X) = Y .
Ka emo da je funkcija f : X ! Y injekcija ako za svaki x 2 X vrijedi f 1 ff (x)g = fxg. Za funkciju
ka emo da je bijekcija ako je i injekcija i surjekcija.
Primjer 1.12 Neka je X skup svih ljudi i neka je funkcija f : X ! N zadana pravilom po kojem se
svakom covjeku pridru uje broj napunjenih godina ivota. Funkcija f nije ni surjekcija ni injekcija.
Primjer 1.13 Neka je X skup svih gradana
RH a Y = N: Oznacimo sa f pridru ivanje JMBG-a gradan¯
¯
inu. Funkcija f je injekcija ali nije surjekcija.
Primjer 1.14 Funkcija f : R ! R f (x) = x2 nije ni surjekcija ni injekcija ali su avanjem kodomene na
[0; 1i dobivamo funkciju f 0 : R ! [0; 1i f 0 (x) = x2 koja je surjekcija. Su avanjem domene na [0; 1i
dobivamo funkciju f 00 : [0; 1i ! [0; 1i f 00 (x) = x2 koja je bijekcija.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
9
Neka je X 0 X i Y 0 Y i f : X ! Y neka funkcija. Za funkciju f 0 : X 0 ! Y 0 f 0 (x) = f (x) ; za svaki
x 2 X 0, ka emo da je restrikcija (su enje) funkcije f . Ako je Y = Y 0 tada pišemo f 0 = f jX 0 .
Za svaku funkciju f : X ! Y postoji surjektivno su enje f 0 : X ! f (X) ; f 0 (x) = f (x) ; za svaki
x 2 X . U tom slucaju takvu restrikciju najceš´ce oznacujemo isto kao i polaznu. Nadalje, uvijek postoji
netrivijalni X 0 X takav da je f 0jX 0 bijekcija.
Primjer 1.15 Neka je X skup svih studenata nekog fakulteta koji su polo ili Matematiku. Su avanjem
kodomene funkcije f : X ! N koja svakom studentu pridru uje ocjenu iz Matematike na f2; 3; 4; 5g
dobije se surjektivnu restrikciju funkcije f: Su avanjem domene na skup X 0 koji se sastoji od 4 studenta s medusobno
razlicitom ocjenom iz Matematike dobijemo restrikciju f 0 : X 0 ! f2; 3; 4; 5g koja je
¯
bijekcija.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
10
Teorem 1.1 Funkcija f : X ! Y je bijekcija ako i samo ako postoji funkcija g : Y ! X takva da je
gf = 1X i f g = 1Y : Funkcija g je jedinstvena, bijekcija je a nazivamo je inveznom funkcijom funkcije
f i oznacujemo g = f 1.
Primjer 1.16 Inverz bijekcije f : [0; 1i ! [0; 1i f (x) = x2 nazivamo drugim korijenom.
Primjer 1.17 Doka ite da je linearna funkcija f : R ! R f (x) = ax + b; b 6= 0, bijekcija i nadite
¯ joj
inverz.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
11
1.2 Realne funkcije realne varijable
Za funkcije oblika f : X ! Y X
RY
R ka emo da su realne funkcije (jer je skup funkcijski
vrijednosti podskup od R) realne varijable (jer je domena funkcije podskup od R).
Realne funkcije realne varijable se najceš´ce zadaju analitickim izrazom y = f (x). Pri tome takav
izraz predstavlja pravilo funkcije f : X ! R pri cemu je X
R skup koji se sastoji od svih realnih
brojeva x za koje izraz f (x) poprima jedinstvenu realnu vrijednost.
Primjer 1.18 Izrazi f (x) = xx i g (x) = 1 predstavljaju funkcije f : Rn f0g ! R i g : R ! R koje nisu
jednake budu´ci im se razlikuju domene.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
12
Grafom funkcije f : X ! R; X
R, nazivamo skup
f
= f(x; y) jy = f (x) ; x 2 Xg
R2 .
Zadavanje realne funkcije mogu´ce je i gra cki pomo´cu skupa u ravnini koji predstavlja graf tako
zadane funkcije. Skup u ravnini kojim zadajemo funkciju mora imati svojstvo da ga pravci okomiti
na os x sijeku u najviše jednoj tocki.
Primjer 1.19 Kru nica x2 + y 2 = 1 ne predstavlja graf niti jedne funkcije.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
13
Promatrajmo jednad bu F (x; y) = 0 u kojoj dano pravilo F povezuje realne nepoznanice x i y . Ako
se na nekom podskupu X
R svakom elementu x 2 X mo e pridru iti tocno jedan element y 2 R
tako da uredeni
par (x; y) zadovoljava polaznu jednad bu onda ka emo da je jednad bom F (x; y) = 0
¯
implicitno zadana funkcija f : X ! R y = f (x) za koju vrijedi F (x; f (x)) = 0. Ako za neki x 2 X ,
jednad ba F (x; y) = 0 dopušta više vrijednosti y; tada ta jednad ba odreduje
više implicitno zadanih
¯
funkcija.
Primjer 1.20 Jednad bom F (x; y) = x2 + y 2 1 = 0p
za svaki x 2 [ 1; 1] odredene
su dvije vrijednosti
¯
y takve da je (x; y) udovoljuje jednad bi i to y =
1 x2: Stoga jednad ba F (x; y) = 0 odreduje
¯
više (beskonacno) implicitno zadanih
p
p funkcija od kojih dvije prirodno istaknute f1 : [ 1; 1] ! R f1 (x) =
1 x2 i f2 : [ 1; 1] ! R f2 (x) =
1 x2 :
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
14
Neka su '; : T ! R dvije funkcije de nirana na istom skupu T
R: Za svaki t 2 T oznacimo
njihove funkcijske vrijednosti x = ' (t) ; y = (t) : Oznacimo funkcijsku sliku ' (T ) funkcije ' sa X .
Ako je funkcija ' injekcija tada je njena restrikcija ' : T ! X bijekcija, pa postoji inverz ' 1 : X ! T:
Tada kompozicija ' 1 : X ! R jednoznacno odreduje
funkciju f : X ! R f (x) = ' 1 (x) za koju
¯
ka emo da je parametarski zadana jednad bama x = ' (t) ; y = (t) ; t 2 T . Prijelaz s parametarskih
jednad bi na eksplicitni oblik y = f (x) nazivamo eliminacijom parametra.
Primjer 1.21 Jednad be '; : R ! R ' (t) = t 1; (t) = t2 + 1; budu´ci je ' bijekcija, odreduju
¯
parametarski zadanu funkciju f : R ! R f (x) = ' 1 (x) = x2 + 2x + 2:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
1.2.1
15
Globalna svojstva realnih funkcija
De nicija 1.5 Re´ci c´ emo da je funkcija f : X ! R; X
R, omedena,
ako postoji pozitivni realni broj
¯
M takav da je jf (x)j
M , za svaki x 2 X . Ako funkcija nije omedena,
ka emo da je neomedena.
Re´ci
¯
¯
c´ emo da je funkcija omedena
odozgor (omedena
odozdol), ako postoji realni broj M takav da je f (x) M
¯
¯
(postoji realnibroj m takav da je f (x) m) ; za svaki x 2 X .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
16
De nicija 1.6 Re´ci c´ emo da je funkcija f : X ! R; X
(8x1; x2 2 I) x1
R, rastu´ca (padaju´ca) na skupu I
x2 ) f (x1)
f (x2) (f (x1)
X ako
f (x2)):
Ka emo da je funkcija rastu´ca (padaju´ca) ako je rastu´ca (padaju´ca) na cijeloj domeni.
Ako umjesto znaka nejednakosti stavimo znak stroge nejednakosti tada govorimo o strogo rastu´coj (padaju´coj)
funkciji.
De nicija 1.7 Re´ci c´ emo da funkcija f : X ! R u tocki x0 ima lokalni minimum (maksimum) ako postoji
interval (a; b) ; x0 2 (a; b) ; takav da
(8x 2 (a; b) \ X) f (x)
f (x0) (f (x)
f (x0)) .
Ako postoji interval (a; b) ; x0 2 (a; b) ; takav da
(8x 2 (a; b) \ X) f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0)) ,
onda ka emo da funkcija f u x0 ima strogi lokalni minimum (maksimum).
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
17
De nicija 1.8 Ka emo da je funkcija f : ( a; a) ! R parna (neparna) ako je f ( x) = f (x) (f ( x) =
f (x)), za svaki x 2 ( a; a).
De nicija 1.9 Re´ci c´ emo da je funkcija f : X ! R; X
(9P > 0) (8x 2 X) x
R, periodicna ako
P 2 X ) f (x
P ) = f (x) .
Broj P nazivamo periodom funkcije f . Ako postoji minimum skupa perioda funkcije f onda taj minimum
nazivamo osnovnim periodom.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
1.2.2
18
Osnovne elementarne funkcije
1. Konstanta f (x) = c
Svaka tocka x 2 R je lokalni minimum i maksimum.
2. Op´ca potencija f : R ! R f (x) = xn, n 2 N
Za neparni n funkcija je rastu´ca bijekcija ciji inverz f
korijenom.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1
oznacavamo sa f
1
1
(x) = x n i zovemo n-tim
Matematika II
19
y = x3
y 1000
500
0
-10
-5
0
5
10
x
-500
-1000
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
y=
p
3
20
x
y
2
1
0
-10
-5
0
5
10
x
-1
-2
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
21
Ako je n paran tada je funkcija padaju´ca na ( 1; 0) a rastu´ca na (0; 1). U 0 ima strogi minimum.
Nije bijekcija ali njena restrikcija f j[0;1) : [0; 1) ! [0; 1) jest. Inverz te restrikcije nazivamo n-tim
korijenom.
y = x4
y 1e+4
7500
5000
2500
0
-10
-5
0
5
10
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
y=
p
4
22
x
y 1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
2.5
5
7.5
10
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
23
3. Eksponencijalna funkcija f : R ! (0; 1) f (x) = ax; a > 0; a 6= 1:
Za a > 1 je rastu´ca bijekcija , a za 0 < a < 1 padaju´ca bijekcija.
y = 2x
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
0
1
2
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
y=
24
1 x
2
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
0
1
2
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
25
4. Logaritamska funkcija loga : (0; 1) ! R je inverz funkcije f (x) = ax
y = log2 (x)
y
0
0
-12.5
-25
-37.5
-50
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
25
50
75
x
100
Matematika II
26
y = log 12 (x)
y
50
37.5
25
12.5
0
0
25
50
75
100
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
27
5. Trigonometrijske funkcije sin; cos : R ! [ 1; 1] su periodicne osnovnog perioda 2 .
y = sin x
y
1
0.5
0
-10
-5
0
5
10
x
-0.5
-1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
28
y = cos x
y
0.5
0
-10
-5
0
5
10
x
-0.5
-1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
tg : Xtg ! R tg (x) =
y = tan (x)
29
sin x
cos x ,
Xtg = fx 2 R j cos x 6= 0g = (2k + 1) 2 j k 2 Z
y
100
50
0
-10
-5
0
5
10
x
-50
-100
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
ctg : Xctg ! R ctg (x) =
y = cot x
30
cos x
sin x ;
Xctg = fx 2 R j sin x 6= 0g = fk j k 2 Zg
y
100
50
0
-10
-5
0
5
10
x
-50
-100
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
31
6. Cikometrijske funkcije su inverzi odgovaraju´cih bijektivnih restrikcija trigonometrijskih funkcija
Funkcija S :
2 ; 2 ! [ 1; 1] S (x) = sin x je bijektivna restrikcija funkcije sinus. Inverz te funkcije
nazivamo arkus-sinusom
i
h
;
:
arcsin : [ 1; 1] !
2 2
y = arcsin (x)
y
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-0.5
-1
-1.5
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
32
Funkcija C : [0; ] ! [ 1; 1] C (x) = cos x je bijektivna restrikcija funkcije kosinus. Inverz funkcije C
nazivamo arkus-kosinusom
arccos : [ 1; 1] ! [0; ] :
y = arccos (x)
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
33
Funkcija T :
2 ; 2 ! R T (x) = tg x je bijektivna restrikcija funkcije tangens. Inverz funkcije T
nazivamo arkus-tangensom
arctan : R !
;
:
2 2
y = arctan (x)
y
1
0.5
0
-10
-5
0
5
10
x
-0.5
-1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
34
Funkcija CT : (0; ) ! R CT (x) = ctg x je bijektivna restrikcija funkcije kotangens. Inverz funkcije
CT nazivamo arkus-kotangesom
arccot : R ! (0; ) :
Sve ciklometrijske funkcije su omedene,
te rastu´ce ili padaju´ce na cijelom podrucju de nicije.
¯
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
35
2 Konvergencija realnih nizova i redova
2.1 Nizovi realnih brojeva
De nicija 2.1 Svaku funkciju a : N ! R nazivamo nizom realnih brojeva (skra´ceno realni niz). Vrijednost
niza a (n) nazivano n-tim clanom niza i obicno ga ozanacavamo an. Sam niz obicno oznacavamo (an).
U sljede´cim primjerima nizova zadanih na razlicite nacine napišimo prvih nekoliko clanova niza.
Primjer 2.1 Neka je op´ci clan niza zadan sa an =
( 1)n
n :
Primjer 2.2 Neka je
an =
Primjer 2.3 Neka je a1 =
5; a2 =
Primjer 2.4 Neka je a1 = 0; an = an
9; a3 =
1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
2n, za n = 2k 1
n2, za n = 2k
13; a4 =
17; :::
+ 5: Ovim je zadan tzv. aritmeticki niz.
Matematika II
36
Primjer 2.5 Neka je a0 = 1; a1 = 1; an = an 1 + an 2. Ovim je zadan tzv. Fibonacciejev niz. Ovakav
nacin zadavanja nazivamo rekurzivnim zadavanjem.
Primjer 2.6 Ako za niz (an) postoji neki n0 2 N takav da je an = an0 ; za svaki n
zovemo stacionarnim nizom.
n; za n < 100
su primjeri stacionarnih
Nizovi (an) an = sin (n ) i (bn) bn =
10; za n 100
nizova, dok niz an = cos (n ) nije stacionaran iako poprima konacno vrijednosti.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
n0 onada takav niz
Matematika II
37
´ (padajuci)
´ ako je funkcija a : N ! R rastu´ca (padaju´ca) to jest ako
Za niz (an) ka emo da je rastuci
je
an
an+1 (an
an+1), za svaki n 2 N:
´
Ako umjesto znaka nejednakosti stavimo znak stroge nejednakosti tada govorimo o strogo rastucem
´
(padajucem)
nizu. Za niz koji je ili rastu´ci ili padaju´ci ka emo da je monoton.
Primjer 2.7 U prethodnim primjerima provjerimo ima li rastu´cih odnosno padaju´cih nizova.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
38
De nicija 2.2 Re´ci c´ emo da relani niz (an) ima granicnu vrijednost (limes) u a0; i pisati lim an = a0 ako
(8" > 0) (9n0 2 N) (8n 2 N) n
n0 ) jan
a0j < ":
Tada ka emo da je niz (an) konvergentan, odnosno da konvergira u a0. Za niz koji nije konvergentan ka emo
da je divergentan, odnosno da divergira.
Napomena 2.1.
Gornji uvjet za konvergenciju je ekvivalentan uvjetu da za svaki otvoreni interval
I; a0 2 I; postoji n0; takav da svi clanovi niza, pocevši od n0; pripadaju intervalu I .
Primjer 2.8 Svaki stacionarni niz je konvergentan.
Primjer 2.9 Doka ite da je niz (an) an =
1
n
konvergira u 0.
n n+1
Primjer 2.10 Niz (an) ; an = n+1
+
(
1)
n
n , nije konvergentan, iako se u svakom intervalu I oko 1
nalazi beskonacno mnogo clanova niza.
Teorem 2.1 Svaki realni niz dopušta najviše jednu granicnu vrijednost.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Teorem 2.2 Ako realni niz konvergira onda je omeden.
¯
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
39
Matematika II
40
De nicija 2.3 Re´ci c´ emo da niz (an) divergira prema plus beskonacno i pisati lim (an) = +1 ako
(8r > 0) (9n0 2 N) (8n 2 N) n
n0 ) an > r:
Re´ci c´ emo da niz (an) divergira prema minus beskonacno i pisati lim (an) =
(8r < 0) (9n0 2 N) (8n 2 N) n
Primjer 2.11 Nizovi (an) ; an = n! i (bn) ; bn =
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1 ako
n0 ) an < r:
n2 + 2, divergiraju prema +1, odnosno prema
1.
Matematika II
41
Proširimo skup R do skupa R = R [ f 1; +1g. Na skup R uvedimo uredaj
¯
uredaj
¯ sa R stavljaju´ci
tako da proširimo
1 < x; x < +1, za svaki x 2 R:
Nadalje, proširimo algebarsku strukturu sa R na R na nacin da de niramo operacije zbrajanja, oduzimanja i mno enja sa, skupu R, dodanim clanovima 1 i +1: Stavimo:
x + ( 1) = ( 1) + x = 1, za svaki x 2 R;
( 1) ( 1) = 1;
(+1) + (1) = +1;
x ( 1) = ( 1) x = ( 1) ; za svaki x 2 R; x > 0;
x ( 1) = ( 1) x = ( 1) ; za svaki x 2 R; x < 0;
( 1) ( 1) = +1;
(+1) (+1) = +1;
( 1) (+1) = (+1) ( 1) = 1,
x
1 = 0; za svaki x 2 R;
1r = 1; 1 r = 0; za r > 0;
( 1)n = ( 1)n 1; ( 1) n = 0, za n 2 N.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
42
Napomena 2.2.
Budu´ci da niz (an) divergira prema +1 ako za svaki interval I = (r; +1) postoji
n0 takav da je an 2 I , za svaki n
n0, to u skladu s Napomenom 2.1. ima smisla re´ci da realni niz
(an) kovergira u skupu R prema 1. Analogno mo emo re´ci i za divergenciju prema 1:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
43
De nicija 2.4 Neka je (an) realni niz. Re´ci c´ emo da je tocka r 2 R gomilište od (an) ; ako
(8" > 0) (8n 2 N) (9n0 2 N) n0
n ) jan0
rj < ":
Napomena 2.3.
Tocka r je gomilište ako i samo ako za svaki otvoreni interval I; r 2 I; beskonacno
mnogo clanova niza pripada intervalu I (van intervala I mo e biti konacno ili beskonacno clanova
niza). Ako van svakog otvorenog intervala I; r 2 I; ima konacno mnogo clanova niza onda je r ujedno
i limes niza. Prema tome , svaki konvergenni niz ima jedino gomilište u svomu limesu.
Primjer 2.12 Niz (an), an = sin n 4 ima gomilišta 1; 1; 0;
jedno gomilište ali nije konvergentan.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
p
2
2
i
p
2
2 ,
a niz an = n (( 1)n + 1) ima samo
Matematika II
44
De nicija 2.5 Podnizom niza a : N ! R smatramo svaku kompoziciju a n : N ! R; pri cemu je n : N ! N
strogo uzlazna funkcija. Primijetimo da je podniz niza opet niz. Op´cenito, k -ti clan promatranoga podniza je
realni broj a n (k) = a (n (k)) kojega oznacujemo sa ank a sam podniz sa (ank ).
U nizu an = n (( 1)n + 1) (an) = 0; 4; 0; 8; 0, 12; :::, podniz (ank ) koji se sastoji od clanova niza (an)
neparnoga indeksa je stacionaran (strogo uzlazna funkcija je n : N ! N n (k) = 2k 1), tj. vrijedi
ank = 0; za svaki k 2 N: Za strogo uzlaznu funkciju m : N ! N m (k) = 2k , dobije se podniz (amk ),
amk = 4k: Prvi clan tog podniza je 4 (drugi clan niza (an)), drugi clan podniza je 8 (cetvrti clan pocetnog
niza)...Ako formiramo podniz (alk ) = 0; 12; 0; 24; ::; uzimaju´ci a3 za prvi clan al1 podniza, a6 za drugi al2 ,
a9 za tre´ci al3 ..., tada je strogo uzlazna funkcija l : N ! N zadana sa l (k) = 3k:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
45
Teorem 2.3 Realni niz (an) ima gomilište r ako i samo ako postoji podniz (ank ) koji konvergira prema
r:
Napomena 2.4.
U skladu s prethodnim teoremom i Napomenom 2.2. ako postoji podniz koji konvergira u 1 ( 1) tada mo emo re´ci da je 1 ( 1) gomilište niza u R. Najmanje gomilište realnog
niza (an) u R oznacujemo sa lim inf (an) i zovemo limesom inferiorom, a najve´ce sa lim sup (an) i
zovemo limesom superiorom. U nizu an = n (( 1)n + 1) je lim inf (an) = 0 i lim sup (an) = 1.
Korolar 2.1 Niz (an) konvergira u a0 ako i samo ako svaki njegov podniz konvergira prema a0:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
46
Teorem 2.4 Svaki realni niz ima monotoni podniz.
Teorem 2.5 Ako je realni niz monoton i omeden
¯ onda je konvergentan.
Korolar 2.2 (Bolzano-Weierstrassov teorem) Svaki omedeni
niz realnih brojeva ima konvergentni
¯
podniz (odnosno, ima gomilište).
Primjer 2.13 Neka je (an) niz zadan pravilom
an =
1
1+
n
n
.
Niz je strogo uzlazan i omeden
¯ odozgor pa po Teoremu 2.5 konvergira. Njegov limes je iracionalni broj
kojega oznacujemo sa e i vrijedi
2; 71828 < e < 2; 71829.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
47
Teorem 2.6 "Teorem o sendvicu"
Neka realni nizovi (an) ; (bn) i (cn) udovoljavaju ovim dvama
uvjetima:
(i)
(9n0 2 N) (8n 2 N) n n0 ) an cn bn;
(ii)
lim (an) = a0 = lim (bn) :
Tada je i lim (cn) = a0:
Primjer 2.14 Primjenom prethodnoga teorema se poka e da je niz
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
sin n
n
konvergentan.
Matematika II
48
Teorem 2.7 Ako su (an) i (bn) konvergentni realni nizovi, onda je
(i)
lim (an bn) = lim (an) lim (bn) ;
(ii)
lim (an bn) = lim (an) lim (bn) ;
n)
(iii)
lim abnn = lim(a
lim(bn ) ; cim su svi bn 6= 0 i lim (bn ) 6= 0:
Teorem 2.8 Neka su (an) i (bn) konvergentni realni nizovi i neka je pri tom an > 0 za svaki n 2 N i
lim (an) > 0: Tada je
lim abnn = lim (an)lim bn :
Posebice, ako je bn = r; za svaki n 2 N; onda je
lim (arn) = lim (an)r :
Napomena 2.5.
Gornji teorem vrijedi i ako su nizovi (an) i (bn) konvergentni u R, cim su operacije
sa 1 ili 1 de nirane u R:
Primjer 2.15 Primjenom Teorema 2.7. i Teorema 2.8. poka e se da je lim
k > 0:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
ank +b
cnk +d
= ac , za c 6= 0 i
Matematika II
49
2.2 Redovi realnih brojeva
Red realnih brojeva predstavlja smisleno poop´cenje konacnog zbrajanja na "zbrajanje" beskonacno
mnogo (ali prebrojivo) pribrojnika. Redom se riješava pitanje kako smisleno defnirati zbrajanje beskonacno prebrojivo pribrojnika koriste´ci pri tomu zbrajanje konacno mnogo pribrojnika i kada c´ e uop´ce
takav zbroj biti jedinstveni realni broj. Primjerice, primjenom klasicnog zbrajanja zbroj 1 + 1 + ( 1) +
1 + ( 1) +
= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +
, an = ( 1)n ; nakon "racunanja" mo e biti 0 ili 1.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
50
De nicija 2.6 Pod redom realnih brojeva (skra´ceno realni red) podrazumijevamo svaki uredeni
¯ par ((an) ; (sk ))
k
P
an. Broj an nazivamo n-tim clanom reda, a
realnih nizova (an) i (sk ) ; pri cemu je sk = a1 +
+ ak
n=1
P
an ili, ponekad, sa
broj sk k -tom parcijalnom sumom reda. Red ((an) ; (sk )) c´ emo skra´ceno oznacavati sa
a1 + a2 +
+ an +
(pri cemu + nije uobicajno zbrajanje, ve´c samo sugestivna oznaka).
P
Red
an ((an) ; (sk )) je sasvim odreden
¯ nizom (an) i vrijedi sk = sk 1 + ak :
P
De nicija 2.7 Re´ci c´ emo da red realnih brojeva
an konvergira (ili da je sumabilan ili konvergentan), ako
pripadni niz (sk ) parcijalnih suma konvergira. U tomu slucaju granicnu vrijednost s = lim (sk ) nazivamo sumom
1
P
an. Ako red ne konvergira, ka emo da divergira (ili da je divergentan). Ako red divergira
reda i pišemo s =
n=1
ali postoji limes niza (sk ) u R tada ka emo da je suma reda 1 ili
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1.
Matematika II
Primjer 2.16 Red
51
P
aq n nazivamo geometrijskim redom.
1
P
Za jqj < 1 red je konvergentan a suma reda je
aq n = 1 a q :
Za jqj 1 red je divergentan.
Za q 1 suma reda je sgn (a) 1.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
n=0
Matematika II
Teorem 2.9 (Nu ni uvjet za konvergiranje reda)
Ako realni red
P
0: Ili, ekvivalentno, ako je lim (an) 6= 0 onda red an divergira.
52
P
an konvergira onda je lim (an) =
P1
Primjer 2.17 Red
n nazivamo harmonijskim redom. On nije konvergentan iako udovoljuje nu nom
uvjetu iz Teorema 2.9.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
53
P
Za red
a ka emo da je red s pozitivnim clanovima ako je an
0; za svaki n 2 N: Neka su
P
P n
P
P
an i bn realni redovi s pozitivnim clanovima. Re´ci c´ emo da je red bn majoranta od an ako je
P
P
an bn; za svaki n 2 N: U tom slucaju je ekvivalentno re´ci da je red an minoranta od bn:
P
P
Teorem 2.10 (Poredbeni kriterij)
Neka je
an red s pozitivnim clanovima. Ako
an ima konP
vergentnu majorantu onda i on konvergira, a ako
an ima divergentu minorantu onda i on divergira.
Primjer 2.18 Poka ite konvergentnost redova
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
P
an; an =
1
;
(n+1)2
P
bn ; b n =
1
n(n+1) ;
P
cn; cn =
1
n2 .
Matematika II
54
P
P
Teorem 2.11 Neka su
an i bn redovi s pozitivnim clanovima i neka je bn > 0, za svaki n 2 N. Ako
r 2 [0; 1) [ f+1g, onda vrijedi
postoji lim abnn
(i)
r 2 (0; 1) ) oba reda ili konvergiraju ili divergiraju;
P
P
(ii)
r = 0 i an divergira )
bn divergira;
P
P
(iii)
r = +1 i an konvergira )
bn konvergira.
Primjer 2.19 Poka ite da je red
P
p1
n
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
divergentan.
Matematika II
55
P
Teorem 2.12 Neka je
an red s pozitivnim clanovima i neka je an > 0; za svaki n 2 N. Tada vrijedi:
(i)
D0Alembertov kriterij
P
konvergira
<1
an+1
)
an
;
q
9 lim an
>1
divergira
(ii)
Cauchyjev kriterij
P
p
<1
konvergira
9 lim n an
q
)
an
:
>1
divergira
Primjer 2.20 Koriste´ci prethodni teorem mo e se dokazati da su redovi
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
P
n
3n
1
i
P
1
(n!)n
konvergentni.
Matematika II
56
Svi navedeni kriteriji za konvergenciju se odnose iskljucivo na redove s pozitivnim clanovima. Iste
kriterije mo emo koristiti i za redove koji imaju konacno mnogo negativnih clanova tako da se izdvoji
pocetni (konacni) dio reda koji sadr i negativne clanove a na preostali (beskonacni) dio sastavljen od
pozitivnih clanova primijenimo navedene kriterije.
´ red.
Medu
¯ redovima što imaju beskonacno mnogo negativnih clanova posebno je va an alternirajuci
To je svaki realni red kojemu predznaci njegovih clanova alterniraju, tj. dva susjedna clana nemaju isti
P
P
predznak. Alterniraju´ci red je oblika
( 1)n an ili ( 1)n 1 an, pri cemu je an 0; za svaki n 2 N:
Teorem 2.13 (Leibnizov kriterij)
Alterniraju´ci red
cim je udovoljeno ovim dvama uvjetima:
(i)
lim (an) = 0
(ii)
Niz (an) je silazan.
Primjer 2.21 Red
P
P
( 1)n an; an
0, za svaki n 2 N; konvergira
( 1)n n1 je alterniraju´ci red koji je po Leibnizovom kriteriju konvergentan.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
De nicija 2.8 Re´ci c´ emo da realni red
57
P
an apsolutno konvergira ako konvergira red
P
janj.
Apsolutna konvergencija je bitna iskljucivo za redove s beskonacno mnogo negativnih clanova.
Teorem 2.14 Ako realni red apsolutno konvergira onda i konvergira.
Primjer 2.22 Red mo e konvergirati a da pri tom ne konvergira apsolutno (primjerice red
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
P
( 1)n n1 ).
Matematika II
58
2.3 Potencijski red
P
De nicija 2.9 Neka je x0 2 R i (an) realni niz. Izraz
an (x x0)n nazivamo potencijski red. Skup svih
relnih brojeva x koji uvršteni u potencijski red daju konvergentni realni red nazivamo konvergencijsko podrucje
potencijskog reda.
Svakom se potencijskom redu pridru uje njegov konvergencijski polumjer r 2 [0; 1) [ f+1g po formuli
8
p
1p
n
>
>
;
lim
sup
janj 2 (0; 1)
>
n
>
lim
sup
ja
j
n
<
p
n
r=
:
+1;
lim
sup
janj = 0
>
>
p
>
>
:
0; lim sup n janj = +1
P
Teorem 2.15 Neka je
an (x x0)n potencijski red i r njegov konvergencijski polumjer. Tada interval
(x0 r; x0 + r) pripada konvergencijskomu podrucju, a potencijski red u svakoj tocki x 2 Rn [x0 r; x0 + r]
divergira.
Primjer 2.23 Potencijski red
P xn
2n
konvergira za svaki x 2 ( 2; 2) ; a divergira za svaki x 2 Rn [ 2; 2].
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
59
3 Neprekidne funkcije
3.1 Granicna vrijednost funkcije
De nicija 3.1 Neka je X R i x0 2 R: Re´ci c´ emo da je x0 gomilište skupa X ako za svaki interval I = (a; b) ;
za kojeg je x0 2 I; vrijedi I \ Xn fx0g =
6 ;:
Za +1 ( 1) c´ emo re´ci da je gomilište skupa X ako za svaki interval I = (a; 1) (I = ( 1; a)) vrijedi
I \ X 6= ;:
svi brojevi iz [0; 1] su sva gomilišta skupa (0; 1)
1 nije gomilište skupa (0; 1) [ f 1g
svaki realni broj, +1;
1 su gomilišta skupa Q
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
60
De nicija 3.2 Neka je f : X ! R i neka je x0 2 R gomilište skupa X: Ako za svaki realni niz (xn) u Xn fx0g
koji konvergira prema x0; niz (f (xn)) konvergira u y0 2 R; tada ka emo da je y0 granicna vrijednost funkcije
f u tocki x0; i pišemo lim f (x) = y0: Posebno ako je x0 = +1 ( 1) onda ka emo da je y0 granicna
x!x0
vrijednost funkcije f kad x ! +1 (x !
1) i pišemo lim f (x) = y0 ( lim f (x) = y0).
x!+1
Iz prethodne de nicije mo emo razlikovati tri tipa limesa:
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x! 1
lim f (x), x0 2 R;
x!x0
i za svaki tip postoje 4 mogu´cnosti rezultata:
limes ne postoji
limes je realan broj
limes je jednak +1
limes je jednak
1.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x! 1
Matematika II
Primjer 3.1 Ako ima smisla promatrati sljede´ce limese izracunajte njihovu vrijednost.
lim ln x
x! 1
lim arcsin x
x!2
lim ln x
x! 1
lim ex
x!1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
61
Matematika II
62
Primjer 3.2 lim jxj (= f (0))
x!0
Primjer 3.3 lim f (x), f (x) =
x!0
jxj ; za x 6= 0
1; za x = 0
Primjer 3.4 lim
x+1
x! 1 x+1
Primjer 3.5 lim sin x1
x!0
Primjer 3.6 lim
1
:
jxj
x!0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
(6= f (0))
Matematika II
Primjer 3.7
Primjer 3.8
Primjer 3.9
63
1
2
1+x
x!+1
lim
, lim
1
2
1+x
x! 1
lim (1 + ex) , lim (1 + ex)
x!+1
x! 1
lim f (x) , lim f (x) ; f (x) =
x!+1
x! 1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x + 2, za x < 0
2, za x > 0
Matematika II
64
Primjer 3.10 Doka ite da je lim cos x = 1:
x!0
Neka je (xn) po volji odabrani niz koji konvergira u 0: Treba pokazati da niz (cos xn) konvergira u 1: Neka
je " bilo koji pozitivni realni broj. Budu´ci da je (xn) ! 0; to postoji n0 takav da, za svaki n > n0; vrijedi
jxnj = j0
xnj < ":
Tada je
j1
cos xnj = 1
cos2
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
xn
xn
xn
+ sin2
= 2 sin2
2
2
2
2
xn
= jxnj < ":
2
Matematika II
65
De nicija 3.3 Neka je f : X ! R i neka je x0 2 R gomilište skupa X: Ako za svaki niz (xn) u Xn fx0g,
sa svojstvom lim (xn) = x0; i xn > x0 (xn < 0), niz (f (xn)) konvergira prema y0 2 R, tada ka emo da je y0
granicna vrijednost zdesna (slijeva) funkcije f u tocki x0; i pišemo lim+0 f (x) = y0 ( lim 0 f (x) = y0).
x!x0
Iz prethodne de nicije mo emo razlikovati dva tipa limesa:
lim+0 f (x)
x!x0
lim f (x)
x!x0 0
i za svaki tip postoje 4 mogu´cnosti rezultata:
limes ne postoji
limes je realan broj
limes je jednak +1
limes je jednak
1.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x!x0
Matematika II
66
Teorem 3.1 Neka funkcija f : X ! R; X R; ima granicne vrijednosti slijeva i zdesna u tocki x0: Ako
su one jednake onda postoji i granicna vrijednost od f u x0 i vrijedi
lim f (x) = lim 0 f (x) = lim f (x) .
x!x+0
0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x!x0
x!x0
Matematika II
Zadatak 3.1
Zadatak 3.2
Zadatak 3.3
Zadatak 3.4
67
lim
x!0(+0;
lim
x!1(+0;
lim
x!0(+0;
lim
x!0(+0;
0)
0)
sgn (x)
1
x 1
1
0)
0)
ex
f (x) ; f (x) =
sin x1 , za x > 0
:
x, za x 0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
68
Zadatak 3.5 Procitaj s grafa funkcije f : Rn (f 2g [ [0; 1]) sljede´ce limese
lim f (x) ;
x!+1
y=
lim f (x) ,
x! 1
lim f (x) ; lim 0 f (x) , lim+0 f (x) :
lim 0 f (x) ;
x! 2+0
x! 2
x!0
x!1
ln(x2 x)
x+2
y
25
0
-10
-5
0
5
10
x
-25
-50
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
69
Zadatak 3.6 Procitaj s grafa funkcije f : ( 1; 4) n f1g sljede´ce limese
lim f (x) , lim 0 f (x) ;
x! 1
p
x!1
lim f (x) , lim 0 f (x) :
x! 1+0
x!4
4 x
1
y=ex
y
62.5
50
37.5
25
12.5
0
-10
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
70
Zadatak 3.7 Skiciraj graf uzlazne funkcije f : Rn f 2g ako su zadani sljede´ci limesi
lim f (x) =
x! 1
4;
lim f (x) = 4,
x!+1
lim 0 f (x) = +1, lim+0 f (x) = 0.
x! 2
x!2
Zadatak 3.8 Skiciraj graf silazne funkcije f : ( 5; +1) n f 2g ako su zadani sljede´ci limesi
lim f (x) =
x!+1
1; lim f (x) = 4,
x! 5
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
lim 0 f (x) =
x! 2
1, lim+0 f (x) = +1.
x!2
Matematika II
71
Vrijede teoremi o svojstvima limesa analogni onima u 2. cjelini.
Teorem 3.2 Neka funkcije f; g : X ! R; X
R; imaju granicne vrijednosti u x0 2 R: Tada vrijede
jednakosti (i) (iv) ; kad god su de nirane racunske operacije u R na desnim stranama tih jednakosti.
(i)
lim (f g) = lim f
lim g;
x!x0
(ii)
(iii)
x!x0
lim (f g) = lim f
x!x0
f
x!x0 g
lim
x!x0
lim f
=
x!x0
x!x0
lim g
lim g ; x!x
0
x!x0
lim g;
x!x0
6= 0; g (x) 6= 0; za svaki x 2 X;
lim g
(iv)
lim (f g ) =
x!x0
lim f
x!x0
x!x0
; lim f > 0; f (x) > 0:
x!x0
Teorem 3.3 Neka su f; g : X ! R; X
R; funkcije imaju granicne vrijednosti u x0 2 R tako da je
lim f = y0 = lim g: Ako za funkciju h : X ! R postoji interval I; x0 2 I; tako da je f (x)
h (x)
x!x0
x!x0
g (x) ; za svaki x 2 I \ X; tada i funkcija h ima limes u tocki x0 lim h = y0:
x!x0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
72
3.2 Neprekidnost
De nicija 3.4 Ka emo da je funkcija f : X ! R; X
R neprekidna u tocki x0 2 X ako za svaki niz (xn) u
X koji konvergira u x0 niz (f (xn)) pripadnih funkcijskih vrijednosti konvergira u f (x0).
Funkcija je neprekidna, ako je neprekidna u svakoj tocki x 2 X svoje domene.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
73
Teorem 3.4 Neka je f : X ! R; x0 2 X gomilište skupa X: Tada je f neprekidna ako i samo ako
postoji lim f (x) i vrijedi lim f (x) = f (x0) :
x!x0
x!x0
Primijetimo da je funkcija f neprekidna u svakoj tocki domene koja nije gomilište.
Teorem 3.5 Funkcija f : X ! R; X
R je neprekidna u tocki x0 2 X ako i samo ako
(8" > 0) (9 > 0) (8x 2 X) jx
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x0 j <
) jf (x)
f (x0)j < ".
Matematika II
74
Primjer 3.11 Konstanta c : R !
8R i identiteta id : R ! R su neprekidne. Funkcija f : ( 1; 0) [ f1g [
< 1, za x < 0
(2; 1) ! R zadana sa f (x) =
0, za x = 1 je neprekidna, docim f (x) = sgn (x) nije.
:
1, za x > 0
Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
75
Teorem 3.6 Neka su funkcije f; g : X ! R, X
R; neprekidne u tocki x0. Tada su u tocki x0
neprekidne i funkcije f + g; f g; f g; fg (kada je g (x0) 6= 0). Nadalje, ako je funkcija h : Y ! R;
f (X) Y; neprekidna u tocki y0 = f (x0) ; tada je i kompozicija g f neprekidna u tocki x0.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Zadatak 3.9 Ispitajte neprekidnost funkcije f : R ! R f (x) =
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
76
x sin x1 ; x 6= 0
0; x = 0
Matematika II
77
Ako funkcija f : X ! R nije neprekidna u tocki x0 2 X; tada ka emo da f ima prekid u x0 i to:
uklonjiv prekid, ako postoji lim f (x) 2 R; ali je lim f (x) 6= f (x0) (funkciju mo emo rede nirati da
postane neprekidna)
x!x0
x!x0
neuklonjiv prekid, 1. vrste ako postoje i konacni su lim f (x) i lim+ f (x) ali su medusobno
razliciti
¯
x!x0
neuklonjiv prekid 2. vrste u svim drugim slucajevima
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x!x0
Matematika II
78
Zadatak 3.10 Odredite vrste prekida funkcija:
x2 9
x 3;
x 6= 3
;
5; x = 3
f : R ! R f (x) =
1
f : [0; 1) ! R f (x) =
e x ; x 6= 0
;
1; x = 0
1
f : R ! R, f (x) =
f : R ! R f (x) =
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
e x ; x 6= 0
;
1; x = 0
arctg x1 ; x 6= 0
:
0; x = 0
Matematika II
79
Teorem 3.7 Neka su funkcije f : X ! R; X
lim f = y0 i g neprekidna u y0, onda je
R, i g : Y ! R; Y
x!x0
lim g f = g lim f
x!x0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x0
= g (y0) .
R, takve da je f (X)
Y . Ako je
Matematika II
80
Teorem 3.8 Neka je funkcija f : X ! R; X R; neprekidna na segmentu [a; b] X: Tada je njezino
su enje f j[a;b] omedena
funkcija, tj. postoje neki c; d 2 R; takvi da je f ([a; b]) [c; d] :
¯
Teorem 3.9 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b]
X: Tada njezino
su enje f j[a;b] poprima svoju najmanju vrijednost (minimum) i svoju najve´cu vrijednost (maksimum).
Prethodna dva teorema op´cenito ne vrijede ako se zatvoreni interval [a; b] zamijeni s otvorenim intervalom (a; b). Primjerice funkcija f : (0; 1) ! R f (x) = x1 nije omedena
odozdol, a funkcija g : (1; 2) ! R
¯
g (x) = x nema ekstrema.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
81
Teorem 3.10 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b] X: Tada je slika
f ([a; b]) R segment (koji u slucaju da je su enje f j[a;b] konstanta degenerira u tocku).
Korolar 3.1 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b]
poprima sve vrijednosti izmedu
¯ svoga minimuma i svoga maksimuma.
Korolar 3.2 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b]
sgn (a) 6= sgn (b) : Tada postoji barem jedna nul tocka x0 2 [a; b] funkcije f .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
X: Tada f j[a;b]
X , i neka je
Matematika II
82
P
an (x x0)n potencijski red s konvergencijskim polumjerom r > 0: Tada je
Teorem 3.11 Neka je
P
njegova suma x 7!
an (x x0)n neprekidna funkcija na intervalu (x0 r; x0 + r).
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
83
4 Derivacija
Problem tangente na graf funkcije
Neka je f : X ! R funkcija i x0 2 X gomilište skupa X . Ako je x 2 X; x 6= x0; onda dvije razlicite tocke
T (x0; f (x0)) i X (x; f (x)) na grafu funkcije y = f (x) odreduju
pravac T X koji prolazi tim tockama
¯
kojega nazivamo sekantom krivulje . Jednad ba sekante T X je
f (x0) =
f (x)
x
f (x0)
(
x0
x0 ) ,
pri cemu je k = f (x)x fx0(x0) = tg koe cijent smjera sekante gdje je
nagibni kut sekante prema
pozitivnom polupravcu na osi x.
Ako gibanjem tocke X po grafu prema tocki T dok tocka T miruje sekanta T X poprima jedinstveni
granicni polo aj tada taj pravac nazivamo tangentom u tocki T na graf funkcije f . To znaci da u
tom nakon granicnog procesa x ! x0 nagibni kut prede
¯ u 0 nagibni kut tangente prema pozitivnom
polupravcu na osi x; koe cijent smjera k = tg prede
¯ u koe cijent smjera tangente k0 = tg 0 a jednad ba sekante nakon granicnog procesa x ! x0 (na jednad bu se djeluje sa lim ) prede
¯ u jednad bu
tangente
f (x0) = k0 (
x!x0
x0) ; pri cemu je
f (x)
x!x0
x
k0 = lim
f (x0)
x0
konacan broj (koe cijent smjera tangente, tj. granicni koe cijent smjera sekante)
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
84
Ako je k0 = +1 _ 1 onda je u tom slucaju tangenta okomita na os x pa je njena jednad ba tada
= x0 .
Ako je k0 konacan, tj. tangenta u x0 postoji i nije okomita na os x re´ci c´ emo da je f derivabilna u x0.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
De nicija 4.1 Neka je f : D ! R; D
u tocki x0 ako postoji limes
85
R i x0 2 D; gomilište skupa D: Ka emo da je funkcija f derivabilna
f (x)
x!x0
x
lim
f (x0)
x0
koji je realan broj. Tada, taj broj nazivamo derivacijom funkcije f u tocki x0; i oznacavamo ga s f 0 (x0) : Ka emo
da je funkcija derivabilna ako je derivabilna u svakom gomilištu svoje domene. Ako je D D skup svih tocaka
u kojima je f derivabilna, tada funkciju f 0 : D ! R koja svakoj tocki x0 2 D pridru uje derivaciju f 0 (x0)
funkcije f u x0 nazivamo prvom derivacijom funkcije f: Ako je funkcija f 0 neprekidna tada za f ka emo da je
neprekidno derivabilna.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
86
Po de niciji derivacija nije de nirana u izoliranim tockama funkcije (tangenta na graf funkcije u takvim
tockama nema smisla).
U literaturi se cesto de nira i pojam lijeve (desne) derivacije kao brojeva
lim
x!x0
f (x)
x
f (x)
f (x0)
( lim+
x0
x
x!x0
f (x0)
):
x0
Ako postoje lijeva i desna derivacija funkcije f u x tada vrijedi: f je derivabina u x akko su vrijednosti
lijeve i desne derivacije u x realne i medusobno
jednake.
¯
Cesto se za funkcije oblika f : [a; b] ! R neopravdano govori o derivabilnosti samo u tockama iz (a; b) :
Naime u tockama a i b nema smisla promatrati lijevu (desnu) derivaciju, što ne znaci da nema smisla
promatrati limes kojim de niramo derivaciju.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Teorem 4.1 Ako je f derivabilna u x onda je i neprekidna u x:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
87
Matematika II
88
Ako je funkcija f neprekidna u x a nije derivabilna tada razlikujemo više geomerijski zanimljivih slucajeva:
Postoji limx!x0 f (x)x fx0(x0) ali je jednak 1 (ili 1). Tada postoji tangenta na graf funkcije f u x0 ali
je ona okomita na os x; pa joj je tanges priklonog kuta 1 (ako je fja uzlazna) ili 1 (ako je fja.
silazna)
Ne postoji limx!x0 f (x)x fx0(x0) (npr. lijeva i desna derivacija postoje, ali nisu jednake, ili uop´ce ne
postoje...). Tada ne postoji tangenta na graf funkcije pa ka emo da funkcija u toj tocki ima šiljak.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Zadatak 4.1 Ispitajte derivabilnost funkcija:
a) f (x) = x2 u bilo kojoj tocki x0 2 R;
jxj u bilo kojoj tocki x0 2 R
b) f (x) = p
c) f (x) = 3 2x2 x3u tocki x = 2:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
89
Matematika II
90
Tvrdnja
Derivacija konstantne funkcije cr : R ! R; cr (x) = r; r 2 R; je nulkonstanta, tj.
(8x 2 R)
c0r (x) = 0;
Derivacija prirodne potencije x 7! xn; n 2 N; je funkcija x 7! nxn 1; tj.
(8x 2 R)
Derivacija funkcije sin jest cos, i funkcije cos jest
(8x 2 R)
(xn)0 = nxn 1;
sin tj.
sin0 x = cos x; cos0 x =
sin x;
Derivacija eksponencijalne funkcije x 7! ax je funkcija x 7! ax ln a; tj.
(8x 2 R)
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
(ax)0 = ax ln a; (ex)0 = ex:
Matematika II
91
Teorem 4.2 Neka su funkcije f; g : X ! R, x R; derivabilne u tocki x0 2 X: Tada su u x0 derivabilne
i funkcije f + g; f g; f g; fg (g (x 6= 0)) i vrijedi:
(f g)0 = f g;
(f g)0 = f 0 g + f g 0;
(c f )0 = c f 0; c 2 R;
f
g
0
=
f 0 g f g0
:
g2
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
Tvrdnja
(8x 2 Xtg )
(8x 2 Xctg )
(8x 2 Rn f0g)
92
tg0 x =
1
cos2 x ;
ctg0 x =
1
;
sin2 x
(x n) =
nxn 1:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
93
Teorem 4.3 (Derivacija kompozicije funkcije)
Ako je f : X ! R; X
R; derivabilna u tocki
f (X) ; onda je i funkcijska
x0; a funkcija g : Y ! R; Y
R; derivabilna u tocki y0 = f (x0) 2 Y
kompozicija gf : X ! R; derivabilna u x0 i pri tomu je
(gf )0 (x0) = g 0 (f (x0)) f 0 (x0) :
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
94
Teorem 4.4 (Derivacija inverzne funkcije)
Neka je bijektivna funkcija f : X ! Y; X; Y
R;
derivabilna u tocki x0 i neka je f 0 (x0) 6= 0: Ako je inverzna funkcija f 1 : Y ! X neprekidna u tocki
y0 = f (x0) onda je f 1 derivabilna u tocki y0 i pri tomu je
f
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1 0
(y0) =
1
:
f 0 (x0)
Matematika II
95
Tvrdnja
(8x 2 ( 1; 1))
arcsin0 x =
(8x 2 ( 1; 1))
arccos0 x =
(8x 2 R)
arctan0 x =
p 1 ;
1 x2
p 1 ;
1 x2
1
1+x2 ;
1
(8x 2 R)
arcctg0 x = 1+x
2.
Tvrdnja
Logaritamska funkcija loga ima derivaciju x 7!
8x 2 R+
log0a x =
1
x ln a ;
tj.
1
1
; ln0 x = :
x ln a
x
Tvrdnja
Derivacija op´ce potencije x 7! xr ; r 2 R; je funkcija x 7! rxr
de nirana, tj.
(xr )0 = rxr 1:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1
kad god je ova dobra
Matematika II
96
Tvrdnja
(logaritamska derivacija)
Neka su dane funkcije f; g; h : X ! R; X
R; i neka je
h (x) = f (x)g(x) f g (x) : Ako su f; g i h derivabilne u tocki x0, onda derivacija h0 (x0) dopušta zapis
(f g )0 (x0) =
g 0 (x0) ln f (x0) + g (x0)
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
f (x0)
g(x0 )
)
f
(x
:
0
f 0 (x0)
Matematika II
97
Teorem 4.5 (Fermatov teorem)
Neka funkcija f : X ! R; X
R; poprima u tocki x0 2 (a; b) ;
svoju najmanju ili najve´cu vrijednost na (a; b) : Ako je f derivabilna onda je f 0 (x0) = 0.
Teorem 4.6 (Rolleov teorem)
Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu
[a; b] X i derivabilna na intervalu (a; b) : Ako je f (a) = f (b) onda postoji tocka x0 2 (a; b) takva da je
f 0 (x0) = 0:
Teorem 4.7 (Langrangeov teorem o srednjoj vrijednosti)
Neka je funkcija f : X ! R; X
R;
neprekidna na segmentu [a; b] X i derivabilna na intervalu (a; b) : Tada postoji tocka x0 2 (a; b) takva
da je
f 0 (x0) =
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
f (b)
b
f (a)
:
a
Matematika II
98
Teorem 4.8 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b] X i derivabilna na
intervalu (a; b) : Ako je f 0 (x0) = 0 za svaki x 2 (a; b) ; onda je su enje f j[a;b] konstantna funkcija.
Korolar 4.1 Neka su funkcije f; g : X ! R, X
R; neprekidne na segmentu [a; b] X i derivabilne
na intervalu (a; b) : Ako je f 0 (x) = g 0 (x) za svaki x 2 (a; b) onda je su enje (f g) j[a;b] konstantna
funkcija.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
99
Teorem 4.9 (L'Hospitalovo pravilo)
0 = lim g ili lim f =
x!x0
x!x0
Neka za funkcije f; g : X ! R; X
R, vrijedi lim f =
x!x0
1 = lim g; gdje je x0 2 R gomilište skupa X . Ako postoji interval I =
x!x0
(x0 r; x0 + r) ili, u slucaju da je x0 = 1; postoji interval I = (a; 1) (za x0 = 1; postoji interval
I = ( 1; a)) takav da su f i g na In fx0g neprekidno derivabilne i postoje limesi lim f 0 i lim g 0, onda
x!x0
je
x!x0
f0
f
lim = lim 0 :
x!x0 g
x!x0 g
L'Hopitalovo pravilo vrijedi i kod neodredenih
oblika
¯
0
0
i
1
1
pri racunanju limesa oblika lim+ fg i lim
uz uvjet da postoje "desni" interval (x0; x0 + r); odnosno "lijevi" (x0
neprekidno derivabilne na njemu.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x!x0
x!x0
f
g
r; x0) takav da su funkcije f i g
Matematika II
100
Zadatak 4.2 Ispitajte mogu´cnost primjene L'Hopitalovog pravila na sljede´ce limese:
sin x
x!0 x
lim
x + sin x
x!1 x
sin x
lim
lim+ x ln2 x
x!0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
101
Vrijedi sljede´ca aproksimacija prirasta derivabilne funkcije u tocki x0
f 0 (x0) x0;
f (x0)
pri cemu je
f (x0) = f (x)
f (x0) ;
x0 = x
x0 :
Takoder,
¯ vrijedi i sljede´ca aproksimacija vrijednosti derivabilne funkcije u tocki x pomo´cu vrijednosti
funkcije i derivacije u tocki x0
f (x)
f (x0) + f 0 (x0) (x
Za preciznije ocjene su nam potrebne derivacije višega reda.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x0 ) :
Matematika II
102
De nicija 4.2 Neka je f : D ! R; D
R derivabilna na D: Ako je funkcija f 0 : D ! R derivabilna u
nekoj tocki x0 2 D (x0 je gomilište od D) tada ka emo da je funkcija f dva puta derivabilna u tocki x0. Ako
je D
D skup svih tocaka u kojima je f 0 derivabilna, tada funkciju f 00 : D ! R koja svakoj tocki x0 2 D
pridru uje drugu derivaciju f 00 (x0) funkcije f u x0 nazivamo drugom derivacijom funkcije f: Ako je funkcija f 00
neprekidna tada za f ka emo da je dva puta neprekidno derivabilna.
Derivacije višega reda de niramo anaolgno tj. derivacija n-tog reda funkcije f je derivacija prvoga reda (n 1)ve derivacije
f
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
(n 1)
0
= f (n)
Matematika II
103
Teorem 4.10 (Taylor)
Neka je funkcija f : X ! R; X
R, ima na intervalu I
(f jI )n ; n 2 N; i neka je x0 2 I bilo koja tocka. Tada je, za svaki x 2 I;
f 0 (x0)
(x x0) +
f (x) = f (x0) +
1!
1
X
f (n) (x0)
(x x0)n
=
n!
n=0
f (n) (x0)
+
(x
n!
x 0 )n +
X sve derivacije
=
ako i samo ako je lim (Rn (x)) = 0; gdje je
n!1
f (n+1) (x0 + (x
Rn (x) =
p n!
pri cemu je p 2 N i
x0))
(x
x0)n+1 (1
)n+1
p
;
2 (0; 1).
Potencijski red
f (x) =
1
X
f (n) (x0)
n=0
n!
(x
x 0 )n
nazivamo Taylorovim redom (razvojem) funkcije f u tocki x0. Posebno za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (razvoju) funkcije f:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
104
Sve elementarne funkcije dopuštaju razvoj u Taylorov red za svaki x 2 R ili x 2 I; gdje je I odgovaraju´ci
interval na kojemu niz (Rn (x)) konvergira u 0:
Primjer 4.1 Razvoj funkcije f (x) =
1
1 x
na inrevalu ( 1; 1) u Maclaurinov red je geometrijski red
1
X
xn
n=0
Primjer 4.2 Razvoj funkcije x 7! ex u Maclaurinov red na R je
ex =
1
X
xn
n=0
n!
:
Primjer 4.3
1
X
x2n+1
sin x =
( 1)
; x 2 R:
(2n
+
1)!
n=0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
n
Matematika II
Teorem 4.11 Potencijski red
105
1
P
anxn, de niran na svomu konvergencijskomu intervalu I = ( r; r),
n=0
odreduje
derivabilnu funkciju na I; cija derivacija je dana potencijskim redom na I
¯
1
X
annxn 1;
n=1
odnosno potencijski red smijemo derivirati "clan po clan"
!0
1
1
1
X
X
X
an x n =
(anxn)0 =
annxn 1:
n=0
n=0
n=1
Primjer 4.4 Poka ite da je potencijski red 1 + 2x + 3x +
2
( 1; 1) i da on predstavlja funkciju x 7!
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1
:
(1 x)2
n 1
+ nx
+
=
1
P
n=1
nxn
1
konvergentan na
Matematika II
Teorem 4.12 Neka je funkcija f : X ! R; X R; derivabilna na intervalu I
(silazna) ako i samo ako je f 0 (x) 0 (f 0 (x) 0) za svaki x 2 I:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
106
X . Tada je f jI uzlazna
Matematika II
107
De nicija 4.3 Re´ci c´ emo da je tocka x0 kriticna tocka funkcije f : X ! R; X
R, ako je f neprekidna u
x0 i ili f nije derivabilna u x0 ili je f 0 (x0) = 0: Pri tomu, u slucaju f 0 (x0) = 0; x0 nazivamo i stacionarnom
tockom funkcije f .
Teorem 4.13 (Nu an uvjet za ekstrem)
Neka je funkcija f : X ! R; X R; neprekidna u tocki
x0 2 X i neka je u x0 lokalni ekstrem funkcije f , onda je x0 njena kriticna tocka.
Zadatak 4.3 Primjenom teorema prethodnoga teorema
pronadite
¯ ekstreme funkcije f (x) = ax2 +bx+c; f (x) =
p
p
3
x2; te poka ite na funkcijima f (x) = x3 i f (x) = 3 2x2 x3 da obrat toga teorema ne vrijedi tj. tocka mo e
biti kriticna a da u njoj nije lokalni ekstrem.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
108
Re´ci c´ emo da funkcija f : X ! R; X
R; prolaskom kroz tocku x0 2 X mijenja predznak ako
postoji interval (x0 r; x0 + r) takav da je sgn f j(x0 r;x0) sgn f j(x0;x0+r) 6= 0:
Teorem 4.14 (Prvi dovoljni uvjet za ekstrem)
Neka je funkcija f : X ! R; X
R; derivabilna
0
na intervalu I X: Ako prolaskom kroz tocku x0 2 I derivacija (f jI ) mijenja predznak, onda funkcija f
ima u x0 lokalni ekstrem. Pri tom, ako se, prirastom varijable x, predznak od f 0 promijeni iz negativnoga
u pozitivni, f u x0 ima lokalni minimum, a u protivnom lokalni maksimum.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
109
Teorem 4.15 (Drugi dovoljni uvjet za ekstrem)
Neka je funkcija f : X ! R; X
R; dva puta
derivabilna u svojoj kriticnoj tocki x0 i neka je f 00 (x0) 6= 0: Tada funkcija f ima u tocki x0 ekstrem, i to
maksimum cim je f 00 (x0) < 0; odnosno minimum cim je f 00 (x0) > 0:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
110
De nicija 4.4 Re´ci c´ emo da je funkcija f : X ! R; X
I , ako
R; konkavna (konveksna) na intervalu ili segmentu
(8x1; x2 2 I) x1 < x2 ) f
x1 + x2
2
f (x1) + f (x2)
2
(8x1; x2 2 I) x1 < x2 ) f
x1 + x2
2
f (x1) + f (x2)
:
2
Ako u de niciji umjesto znaka ve´ce (manje)-jednako stavimo znak stroge nejednakosti tada govorimo
o strogoj konveksnosti i konkavnosti.
Geometrijski, funkcija f je konkavna (konveksna) na I ako se du ina T1T2; T1 (x1; f (x1)) ; T2 (x2; f (x2))
nalazi "ispod" ("iznad") pripadnoga grafa, za svaki x1; x2 2 I .
Ako je f derivabilna onda karakterizaciju mo emo izre´ci i ovako:
funkcija f je konveksna (konkavna) na I ako se tangenta u tocki T (x; f (x)) na graf funkcije nalazi
"ispod" ("iznad") toga grafa, za svaki x 2 I .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
111
Teorem 4.16 Neka je funkcija f : X ! R; X
R; neprekidna na segmentu [a; b]
X i dva puta
derivabilna na intervalu (a; b) : Tada je f konkavna (konveksna) na [a; b] onda i samo onda, ako je
00
00
f j(a;b)
0 ( f j(a;b)
0).
De nicija 4.5 Re´ci c´ emo da funkcija f : X ! R; X
R; ima u tocki x0 2 X in eksiju (ili obratište), ako
postoji r > 0 takav da je f na [x0 r; x0] X strogo konveksna i na [x0; x0 + r] strogo konkavna ili obratno.
Tocku (x0; f (x0)) nazivamo in eksijskom tockom na grafu funkcije f .
Teorem 4.17 Neka je funkcija f : X ! R; x
R; dva puta derivabilna na (a; b)
X i neka je
x0 2 (a; b) : Ako je f 00 (x0) = 0 i ako prolazom kroz tocku x0 druga derivacija f 00 mijenja predznak, onda
funkcija f ima in eksiju u x0:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
112
Teorem 4.18 Neka funkcija f : X ! R; X
R; ima na intervalu (x0 r; x0 + r) ; r > 0; derivaciju
(n 1)-vog reda i n-tu derivaciju u tocki x0, n 2: Tada vrijedi:
(i)
Ako je f 0 (x0) =
= f (n 1) (x0) = 0; f (n) (x0) 6= 0 i n paran, onda funkcija f ima u tocki x0
lokalni ekstrem i to lokalni maksimum kad je f (n) (x0) < 0; a lokalni minimum kad je f (n) (x0) > 0;
(ii)
Ako je f 0 (x0) =
= f (n 1) (x0) = 0; f (n) (x0) 6= 0 i n neparan, onda funkcija f ima u tocki x0
in eksiju.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
113
De nicija 4.6 Neka je dana funkcija f : X ! R; X
ima za asimptotu pravac
R: Re´ci c´ emo da funkcija f; odnosno njezin graf
f,
a (x) = kx + l;
p
ako je lim jf (x)
a (x)j = 0 ili lim jf (x) a (x)j = 0. (Primijetimo da 1; odnosno 1 mora biti
x! 1
gomilište od X; tj X ne smije biti omeden).
¯
Ako je pri tomu k = 0; tj. a (x) = l; govorimo o horizontalnoj asimptoti, a ako je k 6= 0 o kosoj asimptoti.
x!1
Pravac p
a (x) = kx + l je asimptota od
k = lim
x!1
f
tocno onda kad sljede´ci limesi postoje i konacni su
f (x)
; l = lim (f (x)
x!1
x
kx) ;
odnosno
k = lim
x! 1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
f (x)
; l = lim (f (x)
x! 1
x
kx) :
Matematika II
114
De nicija 4.7 Neka je dana funkcija f : X ! R; X
R i x0 gomilište od X: Re´ci c´ emo da je pravac
x = x0
vertikalna asimptota s lijeva (s desna) ako je
lim f (x) =
x!x0
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1 ( lim+ f (x) =
x!x0
1).
Matematika II
115
5 Neodredeni
integral
¯
De nicija 5.1 Neka su dani interval (ili njihova unija) I , prebrojiv podskup A
I , funkcija f : X ! R; pri
cemu je InA X R: Svaku neprekidnu funkciju F : I ! R sa svojstvom F 0 (x) = f (x) za svaki x 2 InA
nazivamo primitivnom funkcijom za funkciju f na intervalu I:
Cesto se za funkciju F iz prethodne de nicije ka e samo primitivna funkcija, ako se pri tom misli
na primitivnu funkciju na cijelom podrucju de nicije X funkcije f ili na nekom "najve´cem" prirodnom
intervalu I X: U osnovnim primjerima skup A je najceš´ce ; ili je konacan skup koji sadr i sve tocke
u kojima F nije derivabilna.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
116
Primjer 5.1 Primitivna funkcija F funkcije f : R ! R f (x) = sgn (x) je funkcija F : R ! R F (x) = jxj :
Pri tome je (u terminima prethodne de nicije) X = I = R; A = f0g :
Primjer 5.2 Primitivna funkcija F funkcije f : Rn f0g ! R f (x) = x1 je funkcija F : Rn f0g ! R
F (x) = ln jxj : Pri tome je (u terminima prethodne de nicije) X = I = Rn f0g ; A = ;:
Takoder
¯ primitivna funkcija je i svaka funkcija oblika F (x) = ln jxj+C; gdje je C 2 R bilo koja konstanta.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
117
Primjer 5.3 Funkcija F : R ! R
3x; x 1
;
x; x < 1
F (x) =
nije primitivna funkcija funkcije f : R ! R
3; x 1
1; x < 1
f (x) =
budu´ci da nije neprekidna. Ali funkcija F1 : R ! R
F1 (x) =
3x; x 1
x + 2; x < 1
jest. Pri tome je X = I = R i A = f1g (F1 je neprekidna ali nije derivabilna u 1).
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
118
Teorem 5.1 Ako za danu funkciju f : X ! R; X
R; postoji primitivna funkcija F : I ! R; gdje je
I
X interval, onda je svaka funkcija G : I ! R; G (x) = F (x) + c; c 2 R; primitivna za funkciju
f: Štoviše, ako su F; G : I ! R derivabilne primitivne funkcije za f i pri tomu je F 0 = G0; onda je
G = F + r; za neki r 2 R:
Primjer 5.4 Primitivna funkcije za f : R ! R f (x) = x su funkcije F (x) = 12 x2 i G (x) = 12 x2 + 1; ali po
prethodnomu teoremu jedine derivabilne primitivne funkcije su oblika F (x) = 12 x2 + C; C 2 R:
Primjer 5.5 Funkciji f : Rn f0g ! R f (x) = x1 primitivne funkcije su sve funkcije oblika F : Rn f0g ! R
F (x) = ln jxj+C; no budu´ci da domena funkcije f nije interval, to ne mo emo primijenom prethodnoga
teorema zakljuciti da su sve derivabilne primitivne funkcije iskljucivo toga oblika. No, primjenom istoga
teorema na svaki od intervala ( 1; 0) i (0; 1) slijedi da su sve primitivne funkcije od f oblika
F : Rn f0g ! R F (x) =
C1; C2 2 R:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
ln x + C1; x > 0
;
ln ( x) + C2; x < 0
Matematika II
119
De nicija 5.2 Za danu funkciju f : X ! R; X
R; skup svih njezinih primitivnih funkcijaRna intervalu ili
njihovoj uniji) I nazivamo neodredenim
integralom funkcije f na intervalu I i oznacujemo sa f (x) dx:
¯
U skladu s Teoremom 5.1. za primitivnu funkciju na intervalu ima smisla pisati
Z
f (x) dx = F (x) + C;
pri cemu f nazivamo podintegralnom funkcijom, x-integracijskom varijablom, a C -integracijskom
konstantom.
R
Isti se zapis (radi jednostavnosti) koristi i za primitivne funkcije na uniji intervala (primjerice x1 dx =
ln jxj + C .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
120
R
Teorem 5.2 Neka je f (x) dx = F (x) + C neodredeni
integral funkcije f na I: Tada za svaki x 2 InA
¯
(gdje jeR A kao u De niciji 5.1) vrijedi:
0
(i) R f (x) dx = f (x)
(ii)
F 0 (x) dx = F (x) + C:
Teorem 5.3 Neka funkcije fi : X ! R; X
R; i = 1; :::; n; n 2 N; dopuštaju primitivne funkcije na
intervalu I X; te neka su 1; :::; n 2 R konstante. Tada i funkcija 1f1 + + nfn dopušta primitivnu
funkciju na I i vrijedi
Z
Z
Z
( 1f1 +
+ nfn) dx = 1 f1 (x) dx +
+ n fn (x) dx:
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
121
Teorem 5.4 (Teorem o supstituciji)
Neka za funkciju f postoji neka primitivna funkcija na intervalu I: Nadalje, neka je ' : J ! I; J -interval, strogo monotona derivabilna bijekcija. Tada je
Z
f (x) dx = G ' 1 (x) + C;
gdje je G primitivna funkcija na J za funkciju (f ') '0; tj.
Z
f (' (t)) '0 (t) dt = G (t) + C:
Teorem o supstituciji jamci da se zadani integral smije rješavati zamjenom x = ' (t) i dx = '0 (t) dt tj.
Z
Z
f (x) dx = f (' (t)) '0 (t) dt = G (t) + C = G ' 1 (x) + C:
R
p
3
1+
x
p
dx;
2
x
Primjer 5.6
uvodimo supstituciju x = t6; odnosno u terminima teorema: ' : (0; 1) ! (0; 1) ;
p
5
x=p
' (t) = t6 je derivabilna bijekcija, t = ' 1 (x) = 6 x dx = '0 (t)
dt
=
6t
dt, pa je
p
R 1+t2 5
R 1+ 3 x
R 2
R 4
p
3
5
6
t
t
6
2
5
p
dx =
2
t3 6t dt = 6 t dt + 6 t dt = 6 3 + 6 5 = 2 x + 5 x + C:
x
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
122
R
dx = ax + b = t x =
Primjer 5.7 e
teorema dana sa ' : R ! R ' (t) = t a b , a
ax+b
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
t b
a
dx = dta =
G (t) = a1 et:
R
et dta = a1 et = a1 eax+x + C: Ovdje je funkcija ' iz
Matematika II
123
Teorem 5.5 (Teorem o parcijalnoj integraciji)
Ako su funkcije u; v : I ! R; gdje je I interval ili
njihova unija, neprekidno derivabilne, onda vrijedi
Z
Z
u (x) v 0 (x) dx = u (x) v (x)
v (x) u0 (x) dx
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
124
6 Odredeni
integral
¯
Svaki konacani skup D = fx0; x1; :::; xng
[a; b] ; n 2 N; takav da je a = x0 < x1 <
nazivamo rastav segmenta [a; b].
Neka D = D ([a; b]) oznacuje skup svih rastava segmenta [a; b].
Ako su D1; D2 2 D i D1 D2; ka emo da D2 pro njuje D1:
Primjerice,
D1 =
1
0; ; 1; 2
2
i D2 =
1 3
0; ; ; 2
3 2
su rastavi segmenta [0; 2], a njihova unija
D3 = D1 [ D2 =
je takoder
¯ rastav koji pro njuje i D1 i D2.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1 1 3
0; ; ; 1; ; 2
3 2 2
< xn = b
Matematika II
125
Neka je f : [a; b] ! R omedena
funkcija. Svakom rastavu D = fx0; x1; :::; xng 2 D ([a; b]) pridru ujemo
¯
broj, tzv. integralnu sumu funkcije f ,
S (f ; D;
1 ; :::; n )
= S (f ; D) =
n
X
f ( i) (xi
xi 1 ) ;
i=0
n-torku ( 1; :::; n) :
pri cemu je i 2 [xi 1; xi] ; i = 1; :::; n; a je pokrata za uredenu
¯
Drugacijim odabirom tocaka i dobivamo, za istu funkciju i isti rastav, novu integralnu sumu.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
126
De nicija 6.1 Neka je f : [a; b] ! R omedena
funkcija. Re´ci c´ emo da je funkcija f integrabilna (u Rie¯
manovom smislu) ako postoji broj J (f ) = J 2 R takav da, za svaki " > 0; postoji neki rastav D0 segmenta
[a; b] sa svojstvom da, za svaki rastav D što pro njuje D0 i svaku integralnu sumu S (f ; D) ; bude
jS (f ; D)
Jj < ":
Broj J nazivamo (Riemanovim) odredenim
integralom funkcije f i oznacavamo ga sa
¯
Zb
f (x) dx;
a
pri tomu se ka e da je a donja, a b gornja integralna granica.
Za funkciju g : X ! R; X
R; ka emo da je integrabilna na [a; b]
integrabilna funkcija.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
X ako je njezino su enje f = gj[a;b]
Matematika II
127
Teorem 6.1 Ako je omedena
funkcija f : [a; b] ! R neprekidna na skupu [a; b] nA; gdje je A
¯
prebrojiv, onda je f integrabilna funkcija.
Teorem 6.2 Ako je f : X ! R; X R; integrabilna funkcija na segmentu [a; b]
(i)
f integrabilna i na svakom podsegmentu [c; d] [a; b] ;
Rd
Rr
Rd
(ii)
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx; c; d; r 2 [a; b] ;
c
(iii)
[a; b].
m (b
c
a)
[a; b]
R; onda je
r
Rb
f (x) dx
M (b
a
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
a), gdje m (M ) bilo koja donja (gornja) meda
¯ funkcije f na
Matematika II
128
Teorem 6.3 Ako je funkcija f : [a; b] ! R integrabilna onda je funkcija
F : [a; b] ! R; F (x) =
Zx
f (t) dt
a
derivabilna u svakoj tocki x0 u kojoj je funkcija f neprekidna i pri tomu je F 0 (x0) = f (x0) : Ako je skup
svih prekidnih tocaka funkcije f prebrojiv, onda je F primitivna funkcija za f:
Teorem 6.4 (Newton-Leibnizova formula)
f : [a; b] ! R prebrojiv. Tada vrijedi
Zb
Neka je skup svih prekidnih tocaka integrabilne funkcije
f (x) dx = F (b)
F (a) ;
a
pri cemu je F : [a; b] ! R bilo koja primitivna funkcija za f .
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
129
Primjer 6.1 Riješite odredeni
integral
¯
Z5
f (x) dx
0
f (x) =
2x; x < 2
3x2; x 2
primjenom Newton-Leibnizove formule i primjenom Teorema 6.2.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
130
Teorem 6.5 Za svako preslikavanje f : [a; b] ! R; postoji barem jedna tocka c 2 (a; b) takva da je
f (c) =
1
b
a
Zb
a
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
f (x) dx:
Matematika II
131
Napomena 6.1 De nicija odredenog
integrala
¯
Rb
f (x) dx =
a
R
[a;b]
f (x) dx omedene
funkcije f : [a; b] !
¯
R; dopušta de nirati i odredeni
integral su enja te funkcije na (a; b) ; (a; b] ili [a; b) i to na isti nacin tj.
¯
Zb
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx =
(a;b)
Z
f (x) dx =
Z
[a;b)
(a;b]
Napomena 6.2 Odredeni
integral omedene
funkcije f : X ! R; X =
¯
¯
Z
X
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
n Z
X
bi
f (x) dx =
f (x) dx
i=1 a
i
f (x) dx:
n
S
i=1
[ai; bi] de niramo sa
Matematika II
132
Neki pribli ni integracijski postupci
U slucaju da nismo u mogu´cnosti eksplicite izracunati integral
R
f (x) dx; a onda ni
Rb
a
f (x) dx; ili kada
je postupak tocnog izracunavanja prekompliciran zadovoljavamo se i nekim pribli nim rezultatom koji
je dovoljno blizu tra enoga. Navedimo tri takva pribli na integracijska postupka.
Jednu grubu procjenu daje formula iz Teorema 6.2.
m (b
a)
Zb
a
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
f (x) dx
M (b
a) :
Matematika II
133
Neka je D = fx0; x1; :::; xng 2 D ([a; b]) ekvidistantan rastav tj. xi+1
Za integralne sume
J =
n 1
X
f (xi) x
n
X
f (xi) x
xi =
x; za svaki i = 0; :::; n
1:
i=0
J+ =
i=1
ka emo da aproksimiraju integral
Rb
f (x) dx pravokutnicma (budu´ci da navedene formule predstavljaju
a
zbroj površina n-pravokutnika s bazama
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x a visinama f (xi) ili f (xi 1) ; i = 1; :::; n:
Matematika II
134
Ako sve susjedne tocke Ti = (xi; yi) ; yi = f (xi) ; i = 0; :::; n; na grafu spoje du inama dobiva se
poligonalna crta koja pribli no aproksimira graf funkcije f (to bolje što je rastav niji). Izraz
JT =
J + J+
2
odnosno
n
xX
(yi
JT =
2 i=1
yi 1 )
nazivamo trapeznom formulom (budu´ci da ona predstavlja zbroj površina n-trapeza visine
novica yi i yi 1; za svaki i = 0; :::; n):
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
x a os-
Matematika II
135
Nepravi integral
Odredeni
integral je de niran samo za omedene
funkcije i za podrucje integracije koje je segment.
¯
¯
Ako za neomedenu
funkciju f : [a; b] ! R vrijedi lim 0 f (x) = 1 ili (i) lim+ f (x) = 1; c 2 [a; b] i ako
¯
za svaki "; > 0 su enje f j[a;c
su limesi
"]
i f j[c+
lim
"!0
;b]
Zc
je integrabilna funkcija, tada u slucaju da postoje i konacani
"
f (x) dx i lim
ka emo da nepravi integral
Zb
!0
c+
a
Rb
x!c
x!c
f (x) dx
f (x) dx konvergira i jednak je
a
Zb
f (x) dx = lim
a
U protivnom ka emo da divergira.
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
"!0
Zc
a
"
f (x) dx + lim
Zb
!0
c+
f (x) dx:
Matematika II
136
U slucaju c = a ili c = b prethodna de nicija nepravog integrala prelazi u
Zb
f (x) dx = lim
Zb
f (x) dx
f (x) dx = lim
Zb
f (x) dx:
!0
a+
a
ili
Zb
"!0
a
a
Zadatak 6.1 Ispitajte konvergenciju nepravih integrala
Z1
1
p dx
x
Z1
1
dx
x3
0
1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
"
Matematika II
137
Ako za funkciju f : ( 1; b] ! R vrijedi da je su enje f j[a;b] integrabilna funkcija za svaki a < b tada
ako postoji i konacan je limes
lim
a! 1
ka emo da nepravi integral
Rb
Zb
f (x) dx
a
f (x) dx konvergira i jednak je
1
Zb
f (x) dx = lim
1
a! 1
Zb
f (x) dx:
a
U protivnom se ka e da divergira.
Analogno se de nira i nepravi integral oblika
Z+1
Zb
f (x) dx = lim
f (x) dx:
b!1
a
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
a
Matematika II
Napokon nepravi integral oblika
138
+1
R
f (x) dx se svodi na prethodna dva stavljaju´ci
1
Z+1
Z+1
Z+1
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
1
1
c
za bilo koji c 2 R:
Zadatak 6.2 Ispitajte konvergenciju nepravih integrala
Z+1
1
dx
1 + x2
1
Z+1
x3dx:
1
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
Matematika II
139
Neke primjene odredenog
integrala
¯
Površina dijela ravnine izmedu
¯ osi x, pravaca x = a i x = b; te grafa funkcije f : [a; b] ! R; ako je
f (x) 0 (f (x) 0); za svaki x 2 [a; b] je
P =
Zb
f (x) dx
a
P =
Zb
f (x) dx:
a
Duljina grafa integrabilne funkcije f : [a; b] ! R je
l=
Zb q
a
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1 + [f 0 (x)]2dx:
Matematika II
140
Jednakim formulama se mo e izracunati površina odnosno duljina grafa neintegrabilne funkcije ako pri
+1
R 1
tomu odredeni
integral tretiramo kao nepravi. Primjerice broj
¯
¯
1+x2 dx predstavlja površinu neomedenog
dijela ravnine izmedu
¯ osi x i grafa funkcije f (x) =
Prirodoslovno-matematicki fakultet Sveucilišta u Mostaru
1
1+x2 :
1
© Copyright 2024 Paperzz
