Osnovni podaci Ime: Vedad Paši´c Kabinet: PMF 313 Email: [email protected] (preferirani vid komunikacije) Web: http://www.frontslobode.org/vedad/DifRacun/ FaceBook: Grupa “Matematika” Kabinetski sati: Ponedjeljak 10-11 i srijeda 11-12 Organizacija Predmet ima 2h predavanja i 2h vježbi. Broj kreditnih bodova: 6 ECTS Imat c´ emo kasnije i sedmiˇcne problemske zada´ce. Prisutnoš´cu na nastavi, angažmanom na nastavi i radom na zada´ci može ostvariti 10% ukupne ocjene. Dva testa tokom kursa cˇ ine 60% ukupne ocjene, a finalni ispit 30%. Literatura • Robert A. Adams: Calculus: a complete course; Addison-Wesley-Longman, Toronto (2003) • Howard Anton: Calculus: A new horizon; John Wiley & sons, inc. New York (1999) • Finney, Weir, Giordano: Thomas’ Calculus, 10th ed Addison-Wesley (2001) Manifest Naša misija: Prouˇcavati funkcije jedne promjenljive, njihovu neprekidnost i diferencijabilnost. U našem izuˇcavanju funkcija, bit c´ emo zainteresovani samo za ekplicitni raˇcun, bez previše ulaska u detalje teorije, što ostavljamo za kasnije predmete (Analiza 1 i 2). Dakle, u predmetu c´ emo se pretežno baviti raˇcunom (kao što i samo ime kaže), dok c´ emo dokaze najˇceš´ce izostavljati! Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematiˇckoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija 1 Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x ∈ D po nekom zakonu (pravilu) pridružen jedan i samo jedan y ∈ R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija f realne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje oznaˇcavamo sa f , odnosno y = f (x), x ∈ D. Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (ˇcesto se obilježava i sa Df ) je definiciono podruˇcje ili domen funkcije f . Broj y0 , pridružen vrijednosti x0 argumenta x, zove se vrijednost funkcije u taˇcki x = x0 i oznaˇcava se f (x0 ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznaˇcava se Rf i zove se kodomen funkcije f . Ako nije unaprijed dato definiciono podruˇcje funkcije f , onda se podrazumijeva da je to maksimalan (po inkluziji) skup za cˇ ije elemente x funkcija f (x) ima smisla. 1 Trigonometrijske funkcije 1.1 Definicija i identiteti Sinus i kosinus U ovom poˇcetnom dijelu bavit c´ emo se pregledom trigonometrijskih funkcija, njihovih inversa, te hiperboliˇcnim trigonometrijskim funcijama i njihovim inversima. Ve´cina se prvi puta susretne sa veliˇcinama kosinusa (cos) i sinusa (sin) kao odnosom veliˇcina kateta i hipotenuze u pravouglom trouglu, tj. cos α = nalegla suprotna , sin α = hipotenuza hipotenuza Ovi odnosi samo zavise od ugla α, ne od konkretnog trougla, jer su svi pravougli trougli sa oštrim uglom α medusobno sliˇcni. Medutim u matematici trebamo op´cije definicije cos t i sin t kao funkcija koje su definisane za sve realne brojeve t ∈ R, ne samo za oštre uglove! Stoga su te definicije date u smislu kružnice, a ne trougla. Neka je C kružnica sa centrom u koordinatnom poˇcetku O polupreˇcnika 1. Jednaˇcina te kružnice je x2 + y 2 = 1. Neka je A taˇcka (1, 0) na C. Za bilo koji realan broj t, neka je Pt taˇcka na C udaljenosti |t| od taˇcke A, mjereno u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ako je t > 0, a u smjeru kazaljke na satu ako je t < 0. Koristit c´ emo dužinu luka t kao mjeru veliˇcine ugla ∠AOP . Definicija 1.1. Radijanska mjera ugla ∠AOP je t radijana: ∠AOP = t radijana 2 Slika 1: cos α = b a sin α = c c Iako smo više navikli na mjerenje uglova u stepenima, korelacija je jasna : Kako je taˇcka obim kružnice C 2P i, taˇcka Pπ/2 je jednu cˇ etvrtinu puta oko kružnice od taˇcke A i to je taˇcka (0, 1). Stoga je π radijana = 90◦ , π radijana = 180◦, 2 3π radijana = 270◦ , 2πradijana = 360◦ , . . . 2 Veoma je jednostavno pre´ci iz radijana u stepene, te iz stepena u radijane: radijan = π 180◦ stepen, stepen = radijan ◦ 180 π Koriste´ci se postupkom opisanim iznad, možemo da nademo taˇcku Pt koja odgovara bilo kojem realnom broju t ∈ R, pozitivnom ili negativnom. Sinus i kosinus definišemo kao koordinate taˇcke Pt . Definicija sinusa i kosinusa Za bilo koji realan broj t ∈ R, kosinus od t ili skra´ceno cos t i sinus od t ili skra´ceno sin t definišemo kao x i y koordinate taˇcke Pt . cos t = x koordinata taˇcke Pt . sin t = y koordinata taˇcke Pt . Neki korisni identiteti Veliki broj korisnih osobina sinusa i kosinusa prate iz cˇ injenice da su koordinate taˇcke Pt koja se nalazi na jediniˇcnoj kružnici, jednaˇcine x2 + y 2 = 1. 3 Slika 2: Jediniˇcna kružnica sa taˇckom Pt , cˇ ije su koordinate (cos t, sin t) Kodomen ili skup vrijednosti sinusa i kosinusa prati iz ove cˇ injenice, naime po definiciji, za bilo koje t ∈ R, imamo −1 ≤ cos t ≤ 1, −1 ≤ sin t ≤ 1. Pitagorina jednakost. Kao koordinate taˇcke na kružnici, x = cos t, y = sin t, one moraju zadovoljavati jednaˇcinu kružnice, tj. (cos t)2 + (sin t)2 = 1. Periodiˇcnost Budu´ci da kružnica ima obim 2π, dodavanje vrijednosti 2π argumentu t dovodi do toga da jednom u potpunosti obidemo kružnicu i vratimo se na isto mjesto! Stoga je Pt+2π = Pt , tako da za svako t ∈ R, imamo cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t. Ovo kaže da su funkcije sinus i kosinus periodiˇcne sa periodom 2π. Parnost i neparnost 4 Budu´ci da je kružnica simetriˇcna u odnosu na x-osu, taˇcke Pt i P−t imaju iste x koordinate i suprotne y koordinate, tj. cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t. Identiteti uglova Dva ugla su komplementarni ukoliko im je zbir π/2 ili 90◦ . Taˇcke P(π/2−t) i Pt su refleksije jedne druge u odnosu na liniju y = x, tako da je x-koordinata jedne ykoordinata druge i obratno! Stoga π π cos − t = sin t, sin − t = cos t. 2 2 Dva ugla su suplementarni ukoliko im je zbir π ili 180◦. Budu´ci da je kružnica takoder Slika 3: Komplementarni uglovi simetriˇcna u odnosu na y-osu, taˇcke Pπ−t i Pt c´ e imati iste y-koordinate i suprotne xkoordinate, tj. cos(π − t) = − cos t, sin(π − t) = sin t. Primjer. Na´ci kosinuse i sinuse uglova π4 , π 3 i π6 . 3π 4 i 4π 3 . Primjer. Na´ci kosinuse i sinuse uglova 5 Slika 4: suplementarni uglovi Sinus i kosinus kao funkcije Sada kada smo definirali kosinus i sinus za bilo koje realno t ∈ R, u smislu radijana, onda oba koncepta možemo da tretiramo kao funkcije jedane realne promjenljive! Kada tretiramo sinus i kosinus kao funkcije, promjenljivu od koje zavise obiˇcno oznacˇ avamo sa x. Obje se izražavaju na sliˇcan naˇcin i obje imaju isti domen i kodomen, kao što smo maloprije napomenuli. sin : R− > [−1, 1], cos : R− > [−1, 1]. Kada nacrtamo grafike obje funkcije, primjetite da je graf funkcije sinus identiˇcan grafu funkcije kosinus, samo pomjeren udesno udaljenost π/2. Slijede´ce formule nam omogu´cuju da izraˇcunamo kosinus i sinus zbira ili razlike dva ugla (tj. dva realna broja). Adicione formule cos(s ± t) = cos s cos t ∓ sin t sin s, sin(s ± t) = sin s cos t ± cos s sin t. Dokaz. Srednjoškolski materijal - vidjeti literaturu! 6 1 3Π -2 Π - -Π Π Π 2 2 3Π Π - 2 2 2Π -1 1 3Π -2 Π - -Π Π Π 2 2 3Π Π - 2 2 2Π -1 1 3Π -2 Π - -Π Π Π 2 2 3Π Π - 2 2 2Π -1 Slika 5: Grafici funkcija cos x i sin x π . Primjer. Na´ci vrijednost cos 12 Iz adicionih formula dobijamo posebni sluˇcaj kada je s = t, tj. dobijamo formule za kosinus i sinus dvostrukog ugla: Dvostruki ugao sin(2t) = 2 sin t cos t. cos(2t) = cos2 t − sin2 t = 2 cos2 t − 1 = 1 − 2 sin2 t, Riješivši ove zadnje dvije jednakosti za cos2 t i sin2 t, dobivamo cos2 t = 1 + cos 2t 2 i sin2 t = 1 − cos 2t . 2 Druge trigonometrijske funkcije Postoje još cˇ etiri druge trigonometrijske funkcije (mada dvije od njih rijetko koristimo!), a to su tangens, kotangens, sekans i kosekans. Definicija 1.2. Tangens, kotangens, sekans i kosekans se definišu pomo´cu sinusa i kosinusa na slijede´ci naˇcin tg t = sin t , cos t sec t = 1 , cos t ctg t = cos t , sin t csc t = 1 . sin t 7 Grafik tangensa tgHxL Grafik sekansa secHxL 5 5 3 3 1 3Π - Π -Π - 2 2 1 3Π Π -1 3Π Π 2 2 -Π 3Π 2 2 -3 -5 -5 5 3 3 1 1 3Π Π 3Π Π 2 Π 2 2 Grafik kosekansa cscHxL 5 -1 3Π Π -1 -3 Π -Π 2 - 2 Grafik kotangensa ctgHxL - Π 2 Π -Π 2 2 3Π Π -1 -3 -3 -5 -5 Π 2 2 Slika 6: Ostale trigonometrijske funckije Oˇcito ove funkcije nisu definisane za sve t ∈ R! Nikada ne smijemo dijeliti s nulom, dakle, tangens i sekans nisu definisani kada je cos t = 0, tj. kada je t = π2 + kπ, k ∈ Z, dok kotangens i kosekans nisu definisati kada je sin t = 0, tj. kada t = kπ, k ∈ Z. Medjutim, kodomen tangensa i kotagensa funkcija je sada cijeli skup realnih brojeva R! Koji je kodomen funkcija sekans i kosekans? (Vježba!). Funkcije sinus, kosinus i tangens nazivaju se primarnim trigonometrijskim funkcijama, dok se ostale nazivaju sekundarnim trigonometrijskim funkcijama. Da biste se sjetili gdje su primarne funkcije pozitivne ili negativne, koristi se tzv. CAST pravilo. 1 Primjer. Na´ci sinus i tangens ugla θ ∈ π, 3π 2 za koji je cos θ = − 3 . Kao i sinus i kosinus, sekans i kosekans su 2π periodiˇcne funkcije, medutim tangens i kotangens su π periodiˇcne funkcije. Trigonometrija Trigonometrijske funkcije se tako nazivaju jer se koriste kako bi se izrazio odnos izmedu stranica i uglova unutar trougla. Primjer. U pravouglom trouglu ABC, dužina hipotenuze je 5, dok je ugao kod tjemena A 30◦ . Odrediti katete. U bilo kojem trouglu ABC, vrijede 8 Sinusna teorema sin A sin B sin C = = a b c Kosinusna teorema a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = a2 + c2 − 2ac cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. Primjer. Trougao ABC ima stranice a = 2, b = 3 i ugao C = 40◦ . Na´ci stranicu c i sinus ugla B. Primjer. U trouglu ABC, ugao B = 30◦ , b = 2 i c = 3. Na´ci a. 1.2 Inverzne trigonometrijske funkcije Mi se u ovom kursu ne´cemo baviti konceptom inverznih funkcija u uop´cenom smislu, no ve´c otprije znamo slijede´ce: Definicija 1.3. Funkcija f : D 7→ K naziva se injektivnom ili jedan-na-jedan ukoliko je zadovoljen uslov ∀x, y ∈ D, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y). Definicija 1.4. Ukoliko je funkcija f : D 7→ K injektivna, onda ona ima inverznu funkciju f −1 : K 7→ D, takvu da je y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y). Primjer takve funkcije je inverzna funkcija funkcije f : R+ 7→ R+ , definisane sa √ f (x) = x2 . Njena inverzna funkcija je naravno kvadratni korjen f −1 (x) = x, koja takoder ide iz R+ u R+ Primjetite restrikciju na domenu, tj. kodomenu. Inverzna funkcija je, bez velikog iznenadenja, takoder injektivna i sama ima invers. Koji? Pa naravno samu funkciju f , tj y = (f −1 )−1 (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x). Takoder, jasno je da f (f −1 )(x) = x, f −1 (f (y)) = y. Grafovi inverznih funkcija su refleksije u odnosu na pravu y = x! Primjer. Pokazati da je funkcija f (x) = 2x − 1 jedan-na-jedan i na´ci njenu inverznu funkciju f −1 (x). 9 3 2 1 0.5 -0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 -1 Slika 7: Refleksija inverzne funkcije Osobine inverznih funkcija • y = f −1 (x) ⇒ x = f (y); • Domen f −1 je kodomen od f i obratno; • f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ Df ; • f (f −1 (x)) = x, ∀x ∈ Df −1 ; • (f −1 )−1 (x) = f (x), ∀x ∈ Df ; • Grafik funkcije f −1 je refleksija grafa f u odnosu na y = x. Invertovanje funkcija koje nisu jedan-na-jedan (što je posebno znaˇcajno kod trigonometrijskih funkcija) se radi na naˇcin da se ograniˇci domen funkcije na onaj dio domena na kojem funkcija moža jeste jedan-na jedan! Kao primjer, posmatrajmo funkciju f (x) = x2 . Domen ove funkcije su svi realni brojevi, i ona oˇcito nije jedan-na-jedan, jer je f (−a) = f (a), ∀a ∈ R. Medutim, ukoliko definišemo funkciju F (x) = x2 , 0 ≤ x < ∞, ona ve´c jeste jedan-na-jedan i može se invertovati, i njen invers je oˇcito F −1 (x) = 10 √ x. 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Slika 8: Inverzna funkcija f (x) = x2 Inverzna sinusna funkcija - arkus sinus Definišimo novu funkciju Sin x (primjetite veliko slovo) da bude identiˇcno jednaka funkciji sin x, ali restrikovana tako da joj domen bude interval [− π2 , π2 ], tj. Sin x = sin x, ako − π π ≤x≤ . 2 2 Ova funkcija je sada jedan-na-jedan, jer je strogo rastu´ca na svojoj domeni [π/2, π/2], 1 3Π - -Π 2 Π Π 2 2 3Π Π - 2 -1 Slika 9: Ograniˇcena funkcija Sin x tj. uzima sve vrijednosti izmedu [−1, 1] i to tako da h π πi ∀x, y ∈ − , , x 6= y ⇒ Sin x 6= Sin y. 2 2 Pošto je Sin jedan-na-jedan, to znaˇci da postoji njena inverzna funkcija, koju oznaˇca11 vamo sa sin−1 x ili arcsin x, koja se naziva inverzna sinusna ili arkus sinus funkcija. Arkus sinus ili arcsin funkcija y = arcsin x ⇐⇒ x = Sin y ⇐⇒ x = sin y i − π π ≤y≤ . 2 2 Graf ove funckije je refleksija funkcije sinus oko linije y = x, a domen ove funkcije je [−1, 1], dok je kodomen [− π2 , π2 ]. arcsin(Sin x) = x za Sin(arcsin x) = x za π π ≤x≤ 2 2 −1 ≤ x ≤ 1. − Π 2 1 -1 Π 2 Slika 10: Funkcija arcsin x 1. arcsin(1/2) = √ 2. arcsin − 22 = − π4 . Primjer. π 6. 12 3. arcsin(−1) = − π2 4. arcsin 2 nije definisano, jer 2 nije u kodomenu funkcije sin. 5. sin(arcsin 0.7) = 0.7. π 6. arcsin(sin 4π 5 ) = arcsin(sin 5 ) = π 5. 7. Pojednostaviti izraz tg(arcsin x). 8. Kako izgleda funkcija arcsin(sin x) za sve realne x? Π 2 3Π -2 Π - -Π Π Π 2 2 3Π Π - 2 2 2Π Π 2 Slika 11: Funkcija arcsin(sin x) Inverzni tangens ili arc tg Inverzna funkcija tangensa se definiše na sliˇcan naˇcin kao i inverzni sinus, tj. ograniˇcavanjem domena funkcija tg x na (− π2 , π2 ), tj. inverzijom nove jedan-na-jedan funkcije Tg x = tg x, ako − π π <x< . 2 2 Π 2 Π 2 Slika 12: Funkcija arc tg x 13 Inverznu tangens funkciju tg−1 ili arc tg x definišemo kao y = arc tg x ⇐⇒ ⇐⇒ x = Tg y x = tg y i − π π <y< . 2 2 Kao što smo vidjeli, graf funkcije je refleksija grafa funkcije tangens oko ose y = x, te je domen funkcije (−∞, ∞), dok je kodomen [− π2 , π2 ]. Primjer. 1. tg(arc tg 3) = 3 2. arc tg(tg 3π 4 ) = arc tg(−1) = − π4 . 3. Na´ci cos(arc tg 2). Ostale inverzne trigonometrijske funkcije Funkcija cos x je jedan-na-jedan na intervalu [0, π], tako da bismo inverznu kosinus funkciju ili cos−1 x ili arccos x mogli da definišemo kao y = arccos x ⇐⇒ x = cos y i 0 ≤ yπ. Medutim, znamo da je cos y = sin( π2 − y), a π2 − y je u intervalu [− π2 , π2 ] kada je y ∈ [0, π], pa stoga nas gornja definicija vodi do π π π y = arccos x ⇐⇒ x = sin − y ⇐⇒ arcsin x = − y = − arccos x. 2 2 2 Stoga je jednostavnije definisati inverznu kosinus funkciju kao π − arcsin x, 2 Identiteti vezani za arkus kosinus su arccos x = arccos(cos x) = x, cos(arccos x) = x, za − 1 ≤ x ≤ 1. za 0 ≤ xπ, za − 1 ≤ x ≤ 1. Inversi kosekansa, sekansa i kotangensa se se mogu izraˇcunati pomo´cu kalkulatora. No veoma ih je jednostavno izraˇcunati koriste´ci se reciprocitetom - npr. za sekans: 1 arcsec x = arccos , za |x| ≥ 1. x Sliˇcno djelujemo za inverse kosekansa i kotangensa: 1 1 arccsc x = arcsin , |x| ≥ 1 arcctg x = arc tg , x 6= 0. x x 14 Π Π 2 1 -1 Slika 13: Funkcija arccos x Π 2 1 -1 Slika 14: Funkcija arcsec x 2 Hiperboliˇcne funkcije Prije nego uvedemo pojam hipeboliˇcnih funkcija, podsjetimo se kako se definiše eksponencijalna funkcija: Trebamo dakle da definiramo šta podrazumijevamo pod izrazom ax , ako je x bilo koji 15 realan broj. U tome cilju, pretpostavimo da je data realna funkcija ϕ sa osobinama • (∀x, y ∈ Q)(ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y)); • (∀b ∈ R) ( lim ϕ(x) = ϕ(b)). Qx→b Stav Ako realna funkcija ϕ zadovoljava gornje uslove , tada je ϕ(x) ≡ 0 ili ima reprezentaciju na skupu realnih brojeva ϕ(x) = ax , ϕ(1) = a > 0. Prirodno je funkciju ϕ, koja zadovoljava prethodnu tvrdnju, a nije identiˇcki konstanta, nazvati eksponencijalnom funkcijom i, kao što smo definirali, ϕ(x) = ax , a ∈ R+ \ {1} je jedna od elementarnih matematiˇckih funkcija. Naravno, posebni i dobro poznati sluˇcaj imamo kada je a = e, tj. bazi prirodnog logaritma! y x x y=a,a>1 y=a,0<a<1 1 0 1 x Sjetimo se da se svaka realna funkcija definisana za sve realne brojeve može predstaviti (jedinstveno!) kao suma jedne parne i jedne neparne funkcije. Kako? f (x) = f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) + = P (x) + N (x). 2 2 Hiperboliˇcne funkcije cosh i sinh su u osnovi (respektivno) parna i neparna funkcija cˇ iji je zbir eksponencijalna funkcija ex ! 16 Historija hiperboliˇcnih funkcija Hiperboliˇcne funkcije su analogoni uobiˇcajenih tigonometrijskih (ili kružnih) funkcija. Osnovne hiperboliˇcne funkcije su sinh i cosh, tj. hiperbolni sinus i kosinus. Na isti naˇcin na koji su taˇcke (cos t, sin t) odredivale jediniˇcnu kružnicu centriranu u (0, 0), tj. x2 + y 2 = 1, taˇcke (cosh t, sinh t) formiraju desnu polovicu ekvilateralne hiperbole, tj. x2 − y 2 = 1, x > 0! Slika 15: Definicija sinh i cosh Hiperboliˇcne se funkcije pojavljuju kao rješenja nekih veoma važnih linearnih diferencijalnih jednaˇcina, važnim u mnogim granama fizike, kao što su teorija elektromagnetizma, prenosa toplote, fluidne dinamike te specijalne relativnosti. Hiperboliˇcne funckije vra´caju realne vrijednosti za realan argument koji se naziva hipebolni ugao. U kompleksnoj analizi, one su samo racionalne funkcije eksponencijalnih funkcija. Ove funkcije su se pojavile 1760tih godina i uveli su ih nezavisno jedan od drugog Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert. Riccati je koristio Sc. i Cc. kao oznake ([co]sinus circulare) kako bi oznaˇcio kružne funkcije, a Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico) kako bi oznaˇcio hiperboliˇcne funkcije. Lambert je usvojio imena sinh i cosh i oba se imena koriste, zavisno od autora i dan danas. No mnogo je uobiˇcajenije da se sinh x i cosh x, ovaj puta kao funkcije realnog argumenta i realne vrijednosti, a ne 17 pomo´cu hiperboliˇcnog ugla, definišu kao parni i neparni dio eksponencijane funkcije, kao što je sluˇcaj u kompleksnoj analizi. Definicija 2.1 (Hipeboliˇcni kosinus i hiperboliˇcni sinus). Za bilo koji realan broj x, hipeboliˇcni kosinus, cosh x i hiperboliˇcni sinus, sinh x, su definisani pomo´cu cosh x = ex + e−x , 2 : sinh x = ex − e−x 2 coshHxL, sinhHxL> 1 1 -1 -1 Slika 16: Hiperboliˇcne funkcije sinh x i cosh x Osobine hiperboliˇcnih funkcija Budu´ci da se svaka taˇcka (cosh t, sinh t) nalazi na jediniˇcnoj hiperboli x2 − y 2 = 1, imamo identitet: cosh2 t − sinh2 t = 1, ∀t ∈ R. Identitet je lako dokazati i formulama za hiperboliˇcne funkcije. Primjetite da je, sliˇcno kao i kod trigonometrijskih funkcija, cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, te je kao i kosinus, hiperboliˇcni kosinus je parna, a kao i sinus, hiperboliˇcni sinus je neparna funkcija. 18 Adicione formule cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x cosh(2x) sinh(2x) = cosh2 x + sinh2 x = 1 + 2 sinh2 x = 2 cosh2 x − 1 = 2 sinh x cosh x Analogno trigonometrijskim funkcijama, cˇ etiri druge hiperboliˇcne funkcije se mogu definisati: sinh x ex − e−x = x cosh x e + ex cosh x ex + ex coth x = = x sinh x e − e−x 1 2 = x cosh x e + e−x 1 2 , cschx = = x sinh x e − e−x tanh x = , sechx = 1 -1 Slika 17: Hiperboliˇcna funkcija tanh x Inverzne hiperboliˇcne funkcije Funkcije sinh x i tanh x su rastu´ce i stoga jedan-na-jedan za svaki argument x ∈ R, pa stoga imaju inverzne funkcije, koje oznaˇcavamo sa arcsinh x i arctanh x. y = arcsinh x ⇐⇒ x = sinh y y = arctanh x ⇐⇒ x = tanh y. Budu´ci da su hipeboliˇcne funkcije izražene pomo´cu ekponencijalnih, ne iznenaduje da se inverzne hiperboliˇcne mogu izraziti pomo´cu logaritama! p arcsinh x = ln x + x2 + 1 arctanh x = 1 ln 2 19 1+x 1−x Budu´ci da cosh nije jedan-na-jedan, onda je na sliˇcan naˇcin kao cos x moramo ograniˇciti, stoga definišimo principalnu vrijednost Cosh x = cosh x, (x ≥ 0). Inverzna funkcija, arccosh x je definisana pomo´cu: y = arccosh x ⇐⇒ x = Cosh y ⇐⇒ x = cosh y, (y ≥ 0). Kao i kod sinusa dobivamo formulu p arccosh x = ln x + x2 − 1 20
© Copyright 2024 Paperzz
