Uvod u linearne funkcije

Uvod u linearne funkcije
Željko Brčić, prof.
OŠ Zrinskih, Nuštar
Vinkovci, 25. kolovoza 2011.
Uvod:
 Državni seminar u Primoštenu
 Izlaganja o PISA testiranju
 PISA ne provjerava znanje matematike,
nego znaju li učenici primjeniti
matematiku pri rješavanju konkretnih
problema
 Trend: poticati takve zadatke u nastavi
 Posjet savjetnika na sat
2
Uvod:
 Nastavna cjelina: Linearna funkcija i
jednadžba pravca (7. razred)
 Tema: Uvod u linearnu funkciju
 Cilj: uvesti pojam linearne funkcije,
način zapisivanja te postupak
izračunavanja promatranjem odnosa
dviju zavisnih veličina na primjerima iz
svakodnevnog života
3
Kako je u udžbeniku?
Za opisivanje veza između raznih veličina upotrebljavaju se
funkcije.
Riječ funkcija nastala je od latinske riječi functio, a znači pravilo.
Primjer:
f(x) = 3 · x + 2
Objašnjenje: Uzet ću vrijednost x-a, pomnožiti s 3, iznosu dodati 2
i dobit ću vrijednost funkcije.
Upamti: Pod pojmom funkcija mislimo na pridruživanje kod kojeg
svakoj vrijednosti jedne veličine pridružujemo točno jednu
vrijednost druge veličine. Budući da je vrijednost druge
veličine y potpuno određena vrijednošću prve veličine x i
funkcijom f, zapisujemo je y = f(x).
4
Koncept moga sata
 Primjeri iz svakodnevnog života
 Učenici sami uočavaju ovisnost jedne
veličine o drugoj
 Iz navedenih primjera postupno dolaze
do “formule” za linearnu funkciju
 Sve opće pojmove usvajaju kroz
konkretne primjere
5
1.sat: Uvodni primjeri
Motivacijski zadatak
Svakoga dana Ivan je u kasicu-prasicu
ubacivao kovanicu od 5 kuna. Koliko je
novca imao na kraju mjeseca, ako je na
početku mjeseca u kasici već bilo 45 kuna?
Iznos novca ovisi o broju dana u mjesecu.
Za 30 dana Ivan je skupio 195 kuna.
7
28
29
30
31
dana
dana
dana
dan
185
190
195
200
kn
kn
kn
kn
8
Primjer 1: Josipov rođendan
Josip je za svoj rođendan od roditelja
dobio 150 kuna, a djed mu je obećao
svakoga mjeseca od mirovine darovati
po 25 kuna.
Što možete zaključiti o iznosu Josipovog
novca?
Iznos Josipova novca ovisi o tome koliko je
mjeseci prošlo od njegova rođendana.
9
Primjer 1: Josipov rođendan
Koliko će novaca Josip imati nakon ...
... mjesec dana?
150+25= 175 kn
... dva mjeseca?
175+25= 200 kn
... tri mjeseca?
200+25= 225 kn
... šest mjeseci?
?
25 kn · 6 + 150 kn = 150+150 = 300 kn
10
Primjer 1: Josipov rođendan
Činjenicu da iznos novca kojeg Josip ima
ovisi o broju mjeseci proteklih od
njegova rođendana možemo prikazati
tablicom.
Broj
proteklih
mjeseci
Iznos
Josipova
novca
(kn)
0
1
2
150 kn 175 kn 200 kn
3
225 kn
6
12
300 kn 450 kn
11
Primjer 1: Josipov rođendan
Iznos Josipova novca
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
Primjer 1: Josipov rođendan
Iznos Josipova novca
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0
2
4
6
8
10
12
14
13
Primjer 1: Josipov rođendan
Iznos Josipova novca
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
Primjer 1: Josipov rođendan
15
Primjer 1: Josipov rođendan
Možemo li doći do “formule” za računanje
iznosa novca kojeg Josip ima?
1.mj.
25 · 1 + 150 = 175
2.mj.
25 · 2 + 150 = 200
3.mj.
25 · 3 + 150 = 225
6.mj.
25 · 6 + 150 = 300
12.mj.
25 · 12 + 150 = 450
20.mj.
25 · 20 + 150 = 650
Iskažite riječima način računanja novca!
16
Primjer 1: Josipov rođendan
Iznos Josipovog novca dobijemo tako da
25 kn pomnožimo s brojem mjeseci i
dodamo 150 kn.
Iznos novca = 25 kn “puta” broj mjeseci
“plus” 150 kn.
n = 25 · m + 150
y = 25x + 150
f(x) = 25x + 150 linearna funkcija
17
Primjer 1: Josipov rođendan
Koliko će novaca imati Josip nakon 15
mjeseci?
Linearna funkcija:
f(x) = 25x + 150
Za x = 15:
f(15) = 25 · 15 + 150 = 375 + 150 = 525
Nakon 15 mjeseci Josip će imati 525 kuna.
18
Primjer 1: Josipov rođendan
Koliko će novaca imati Josip nakon 28
mjeseci?
Linearna funkcija:
f(x) = 25x + 150
Za x = 28:
f(28) = 25 · 28 + 150 = 700 + 150 = 850
Nakon 28 mjeseci Josip će imati 850 kuna.
19
Primjer 1: Josipov rođendan
Josip želi od dobivenog novca kupiti bicikl
koji košta 550 kuna. Nakon koliko mjeseci
će ga moći kupiti?
Josip je od roditelja već dobio 150 kn. Za
bicikl mu još djed treba dati 400 kn.
Kako mu djed ispaćuje po 25 kn, Josipu za
to treba 400 : 25 = 16 mjeseci.
20
Primjer 1: Josipov rođendan
Jesmo li u ovom zadatku mogli koristiti
formulu f(x) = 25x + 150?
Hoćemo li računati f(550)?
25x + 150 = 550
25x = 550 – 150
25x = 400 / : 25
x = 16
21
Primjer 1: Josipov rođendan
Kada će Josip imati ušteđeno točno 1000
kuna?
25x + 150 = 1000
25x = 1000 – 150
25x = 850 / : 25
x = 34
22
Primjer 2: Majstor Jure
Majstor Jure naplaćuje dolazak u stan 50 kn.
Svaki sat rada dodatno naplaćuje 30 kn.
a.) Kako glasi pripadna linearna funkcija po
kojoj majstor Jure računa svoju zaradu?
b.) Koliko će zaraditi za 5 sati rada?
c.) Koliko je Jure radio ako mu je plaćeno
230 kuna?
23
Primjer 2: Majstor Jure
a.) f(x) = 30 · x + 50
b.) f(5) = 30 · 5 + 50 = 150 + 50 = 200
Za 5 sata rada zaradit će 200 kn.
c.) 30x + 50 = 230
30x = 230 – 50
30x = 180
/ : 30
x=6
Majstor Jure je radio 6 sati.
24
Općenito o funkcijama
Upoznali smo dvije linearne funkcije:
f(x) = 25x + 150
f(x) = 30x + 50
Svaka linearna funkcija ima oblik:
f(x) = a·x + b
a = 25, b = 150
a = 30, b = 50
a, b – parametri ili koeficijenti
x – broj mjeseci, broj sati rada – argument
f(x) ili y – iznos Josipova novca, Jurina zarada –
vrijednost funkcije
25
2.sat: Rad u skupinama
Primjer 3: Benzin
Na benzinsku crpku stigla je cisterna
s benzinom. Iz nje se gorivo
istače u tank u kojem je već bilo
80 hektolitara benzina, i to
brzinom od 6 hektolitara u
minuti.
 Zapišite funkciju koja opisuje količinu goriva u
tanku nakon x minuta.
 Koliko će goriva biti u tanku nakon deset minuta?
 Koliko će goriva biti u tanku pola sata od početka
pražnjenja cisterne?
 Nakon koliko vremena je u tanku bilo točno 350
hektolitara benzina?
27
Primjer 4: Vodovod
Novim Zakonom o vodama uveden je fiksni dio usluge
koju plaćaju svi potrošači bez obzira na količinu
potrošene vode. Drugi dio računa ovisi o količini
potrošene vode u m3.
U tablici je dan cjenik „Vinkovačkog vodovoda i
kanalizacije“ za mjesečnu potrošnju vode do 8 m3.
m3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
kn
10
19
28
37
46
55
64
73
82




Koliko iznosi fiksni dio vodne usluge, a koliko plaća korisnik
za svaki potrošeni „kubik“ (m3) vode?
Kako glasi linearna funkcija kojom se računa cijena vode
ovisno o broju potrošenih m3 vode?
Koliko iznosi račun kućanstva koje je potrošilo 16 m3 vode?
Moj račun iz VVK-a za travanj iznosio je 127 kuna. Koliko je
moja obitelj potrošila vode toga mjeseca?
28
Primjer 5:
Internet
Telefonska kompanija naplaćuje
uporabu interneta tako da
na fiksni iznos mjesečne
pretplate doda iznos koji
ovisi o količini internet
prometa u gigabajtima.
Cjenik kompanije dan je
grafikonom:




Koliko iznosi mjesečna pretplata, a koliko plaća korisnik za svaki potrošeni
gigabajt?
Kako glasi linearna funkcija kojom se računa cijena uporabe interneta ovisno
o broju potrošenih gigabajta?
Koliko iznosi račun korisnika koji ima promet od 16 gigabajta?
Marko je dobio račun od 255 kuna. Koliko je gigabajta potrošio tog
mjeseca?
29
Primjer 6: Taxi
U gradu postoje dvije tvrtke koje nude usluge
taksi prijevoza.
Taksi služba „Ford“ svoje usluge naplaćuje prema sljedećem cjeniku:
start 12 kuna, a cijena po prijeđenom kilometru 9 kuna.
Konkurentska tvrtka „Audi“ polazak sa stajališta naplaćuje 25 kuna, a
svaki prijeđeni kilometar dodatnih 8 kuna.




Napiši formule prema kojima se računa cijena prijevoza taksijem
ovisno o broju prijeđenih kilometara (za obje tvrtke).
Koliko će se platiti vožnja duga 8 km u jednoj, odnosno drugoj tvrtki?
Koliki je put prešla gospođa Žurić taksijem „Ford“ ako je račun platila
138 kuna?
Koliko bi taj put platila u tvrtki „Audi“?
30
Zaključak:
Matematiku u osnovnoj školi ne treba
učiti radi nje same, nego radi primjene
u stvarnom životu. Ako neki postupak
ne možete primjeniti u realnoj situaciji,
onda njega nije niti potrebno znati.
D
A
C
B
Hvala na pozornosti!
31

Download Report