Aksijalno naprezanje* Aksijalno napregnuti

Aksijalno naprezanje*
Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.
JM Gere,, BJ Goodno,, Mechanics off Materials,, Cengage
g g Learning,
g, Seventh Edition,, 2009.
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
33
Aksijalno naprezanje
Saint-Venant-ov
Saint
Venant ov (Sen-Venan)
(Sen Venan) princip
Opterećenje iskrivljuje
linije u blizini
njegove primjene
a-a
Linije koje su daleko od
primjene opterećenja
i oslonaca su prave
cc
c-c
Napon i deformacija koji se javljaju u tačkama tijela koje su
dovoljno daleko od područja primjene tog opterećenja biće isti kao
napon i deformacija bilo kojeg opterećenja koje ima istu,
istu statički
ekvivalentnu, rezultantu i koji su primijenjeni u istoj oblasti.
Opterećenje iskrivljuje
linije u blizini oslonaca
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
bb
b-b
⇔
www.mf.unze.ba
34
Aksijalno naprezanje*
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
I) konstantan poprečni presjek i opterećenje
F
σ=
A
σ = Eε
δ =εL =
σ
E
L
ε=
FL
δ=
EA
δ
L
(2 1)
(2.1)
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
35
Aksijalno naprezanje
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
II) promjena parametara po segmentima
Ukoliko je šipka podijeljena na nekoliko aksijalnih sila uzdužno,
uzdužno ili se mijenja poprečni
presjek ili modul elastičnosti, ukupno izduženje je jednako zbiru izduženja pojedinačnih
segmenata u kojima su ove veličine konstantne.
Fi Li
δ =∑
i Ai Ei
(2.2)
Čelična cijev
Al – cijev
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
36
Aksijalno naprezanje
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
III) proizvoljan poprečni presjek i opterećenje
F(x)
F ( x)
σ=
A( x)
F(x)
F ( x)dx
dδ =
A( x) E
σ =εE
dδ
ε=
dx
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
δ =∫
L
0
www.mf.unze.ba
F ( x)dx
d
A( x) E
(2.3)
37
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.1: Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od dva dijela iste dužine (0.6 m), ali
različitih prečnika, i izložen sili od P=110 kN. Dio AB ima prečnik d1=100 mm, a
segment BC d2=60
60 mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio
je napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa.
a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je maksimalno dozvoljeni
prečnik rupe?
b) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d2/2, na kojoj udaljenosti od tačke C treba
primijeniti silu P da se šipka ne skrati 8 mm.
c) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d2/2, a sila primijenjena na krajevima, koja
je dozvoljena dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
38
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.2: Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u laboratoriji je obrađen uniformno kao na
slici čitavom dužinom H. Svaki poprečni presjek stuba je kvadrat, pri čemu je vrh
dimenzija b
b×b,
b, a baza 1.5b
1.5b×1.5b.
1.5b.
Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na vrh. Pri tome
pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina stuba nema uticaj na defromaciju.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
39
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
Problem je statički naodređen ako jednačine ravnoteže nisu dovoljne da bi se odredile sile reakcije.
ΣF = 0
FB − FA − P = 0
Nedovoljno da bi se odredile reakcije!!!
Dodatni uslov za određivanje sile reakcije su:
uslovi kompatibilnosti ili kinematski uslovi
specificiraju ograničenja u pomjeranju koja se javljaju u osloncima ili bilo
kojoj drugoj tački u elementu.
δ A = δB = 0
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
40
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
ΣF = 0
FB − FA − P = 0
δ A = δB = 0
⇔
⇔
FA LAC FB LCB
−
=0
AE
AE
LCB
FA = P
L
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
LAC
FB = P
L
41
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
Princip superpozicije
Princip superpozicije: rezultujući naponi ili pomjeranja u nekoj tački mogu se odrediti algebarskim
sabiranjem napona ili pomjeranja koja su uzrokovana svakom komponentom pojedinačno.
Uslovi za primjenu uslova superpozicije:
1. Opterećenje mora biti linearno u odnosu na napon ili pomjeranje koje treba
odrediti
2. Opterećenje ne smije značajno promijeniti početnu geometriju ili konfiguraciju
elementa na koji djeluje
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
42
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
Metod fleksibiulnosti ili metod sila (jednačina kopatibilnosti predstavljena principom superpozicije)
+
⇔
PLAC
δP =
EA
δ P − δ B = 0 ⇒ PLAC
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
δB =
FB LCB
EA
LAC
− FB L = 0 ⇒ FB = P
L
www.mf.unze.ba
43
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.3: Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri prizmatična segmenta, kao na slici.
Krajnji segmenti imaju površinu poprečnog presjeka od A1=840 mm2 i dužinu L1=200
mm. Srednji segment ima površinu poprečnog presjeka od A2=1260
1260 mm2 i dužinu
L2=250 mm. Opterećenja su: PB=25.5 kN i PC=17.0 kN.
a) Odrediti reakcije RA i RD u fiksiranim osloncima.
b) Odrediti pritisnu aksijalnu silu FBC u srednjem segmentu.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
44
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.4: Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i ovješana pomoću dvije vertikalne žice
u tačkama C i D. Obe žice imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog
materijala modula elastičnosti E.
a) Odrediti napone σC i σD u žicama usljed opterećenja P koje djeluje u tački B.
b) Naći pomjeranje tačke B.
Podaci:
i L=1700
1 00 mm, A=18
A 1 mm2, E=210GPa,
210G
h 4 0 mm, c=500
h=450
00 mm, d=1250
d 12 0 mm, P=750
0 N.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
45
Aksijalno naprezanje
Izduženje aksijalno opterećenog elementa: utjecaj temperature
Promjene temperature u elementu proizvode širenje ili skupljanje elementa, stvarajući
tako tzv. termičke deformacije i napone.
Defromacija:
ε T = αΔT
(2.4)
α– koeficijent termalnog širenja materijala, [1/K]
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
Napon:
σ T = ε T E = α (ΔT ) E
(2.5)
Izduženje:
δ T = ε T L = α ( ΔT ) L
(2.6)
www.mf.unze.ba
46
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.5: Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna dijela cilindričnog poprečnog
presjeka nalazi se između dva kruta oslonca kao na slici. Šipka je izložena povećanju
temperature od 30
30°C.
C.
a) Odrediti silu koja vlada u šipki,
b) maksimalni napon u tački C,
c) pomjeranje u tački C.
Podaci: E=6 GPa, α=100·10-6 1/°C.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi – problemi
Opšti princip rješavanja statički neodređenih aksijalno opterećenih elemenata
1. Postaviti jjednačine ravnoteže (statičke,
(
, kinetičke jednačine)
j
)
2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne
deformacije)
3 Postaviti
3.
P t iti relacije
l ij sila-deformacija
il d f
ij (konstitutivne
(k tit ti
relacije)
l ij )
4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
48
Aksijalno naprezanje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi – problemi
M1
M2
M3
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
49
Aksijalno naprezanje
Napon u kosom presjeku
Pojam elementa napona – izolovani segment nekog elementa s ucrtanim naponima koji djeluju na
njegove površine/stranice.
Element napona
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
50
Aksijalno naprezanje
Napon u kosom presjeku
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
51
Aksijalno naprezanje
Napon u kosom presjeku
N = P cos θ
σθ =
N P
= cos 2 θ
A1 A
Istezanje – pozitivan znak
Pritisak – negativan znak
V
P
= − sin θ cos θ
A1
A
Pozitivan znak ako
tangencijalni napon teži
rotirati materijal suprotno
kretanju kazaljke na satu.
satu
τθ = −
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
V = P sin θ
www.mf.unze.ba
52
Aksijalno naprezanje
Napon u kosom presjeku
σθ =
N P
= cos 2 θ = σ x cos 2 θ
A1 A
τθ = −
σθ =
V
P
= − sin θ cos θ = −σ x sin θ cos θ
A1
A
σx
2
τθ = −
(1 + cos 2θ )
σx
2
sin 2θ
1
cos 2 θ = (1 + cos 2θ )
2
1
sin θ cos θ = sin 2θ
2
(2.7)
(2.8)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
53
Aksijalno naprezanje
Napon u kosom presjeku
Maksimalni normalni i tangencijalni napon
σ max = σ x
σ min = 0
τ max =
σx
2
τ min = −
σx
2
za
θ = 0 (τ = 0)
θ = ±90° (τ = 0)
za
θ = 45°
za
za
θ = −45°
(σ =
σx
2
(σ =
)
σx
2
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
)
www.mf.unze.ba
54
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.6: Plastična šipka, pravougaonog poprečnog presjeka, je ugrađena između krutih
oslonaca, ali bez početnog napona. Kada se temperatura u šipki poveća 40 °C, u ravni
pq se javi pritisni napon od 12 MPa.
a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq.
b) nacrtaj element napona orijentisan prema ravni pq i pokaži napone koji djeluju na
sve površi elementa.
Podaci: α=108·10-6 1/°K, E=3 GPa, b=37.5 mm, h=75mm
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
55
Aksijalno naprezanje
Deformacioni rad
δ
W = ∫ Pd
1 δ1
0
Izduženje šipke proizvodi deformaciju, čime se povećava energija šipke, tzv. energiju deformacije
ili deformacioni rad.
δ
U = W = ∫ Pd
1 δ1
0
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
(2.9)
56
Aksijalno naprezanje
Deformacioni rad
Linearno elastično ponašanje materijala
δ
U = W = ∫ Pd
1 δ1 =
0
1
Pδ
2
(2.10)
P2 L
U=
2 EA
(2.11)
EAδ 2
U=
2L
(2.12)
Nejednake šipke
Pi 2 Li
U = ∑U i =
2 Ai Ei
i
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
[ P( x) ]
2
U =∫
L
0
dx
2 A( x) E
www.mf.unze.ba
(2.13)
57
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.7: Odrediti deformacioni rad prizmatične šipke koja je učvršćena u svom gornjem dijelu,
kao na slici, i to za slučajeve:
a) usljed sopstvene težine,
b) usljed sopstvene težine i djelovanja sile P.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
58
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.8: Odrediti okomito pomjeranje tačke B nosača na slici. Uzeti da oba štapa imaju istu
aksijalnu krutost EA.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
59

Download Report