Matematka 1
Zadaci za drugi kolokvijum
8
Limesi funkcija i neprekidnost
8.1. Dokazati po definiciji
2x + 1
3
=
3−x
2
x−1
(b) lim
=1
x→+∞ x + 1
(a) lim
(c) lim
x→1
x→1
(d)
1
= +∞
(x − 1)2
lim ln(−x) = +∞
x→−∞
8.2. Odrediti levi i desni limes funkcije u datoj taˇcki
(d) f (x) = x2 + 5, x = 3
(a) f (x) = sgn x, x = 0
(b) g(x) =
1
x−3 ,
(e) g(x) =
x=3
(c) h(x) = [x], x = 4
(f) h(x) =
x+2
x−5 ,
[x2 ],
x=5
x=3
8.3. Vaˇzni limesi
sin x
=1
x→0 x
1
(b) lim (1 + )x = e
x→+∞
x
1
lim (1 + )x = e
x→−∞
x
(a) lim
1
(c) lim (1 + x) x = e
x→0
ax − 1
= ln a
x→0
x
x
e −1
lim
=1
x→0
x
(1 + x)α − 1
(e) lim
=α
x→0
x
loga (1 + x)
(f) lim
= loga e
x→0
x
ln(1 + x)
lim
=1
x→0
x
(d) lim
8.4. Izraˇcunati slede´ce limese
√
√
√
x− a+ x−a
√
(a) lim
x→a
x2 − a2
√
9 + 2x − 5
√
(b) lim
3
x→8
x−2
q
p
√
x+ x+ x
√
(c) lim
x→+∞
x+1
(e)
(f)
(g)
(h)
sin ax
x→0 sin bx
(d) lim
(i)
1
sin x
x→+∞ x
1 − cos x
lim
x→0
x2
tg x
lim
x→0 x
sin2 x
lim 2 3
x→0 tg 2x
cos 2x − 1
lim
x→0 x sin x
lim
8.5. Izraˇcunati graniˇcne vrednosti
p
p
3
x3 + 3x2 − x2 − 2x
(a) lim
x2 − 2x + 3 x2
)
x→+∞ x2 − 3x + 2
tg x − sin x
(f) lim
x→0
x3
π
(g) lim (1 − x) tg x
x→1
2
(e)
x→+∞
xa
− ax
x→a x − a
e2x − e−2x
(c) lim
x→0
x
p
(d) lim
x(x + 2) − x
(b) lim
lim (
1
(h) lim (cos x) x2
x→+∞
x→0
8.6. Izraˇcunati graniˇcne vrednosti
r
1
1+x
(a) lim ln
x→0 x
1−x
1 − e−x
(b) lim
x→0 sin x
cos π2 x
√
(c) lim
x→1 1 − x
2 sin2 x + sin x − 1
(d) limπ
x→ 6 2 sin2 x − 3 sin x + 1
√
1 + x2 − 1
(e) lim √
x→0
16 + x2 − 4
p
p
x2 + 2x − 2 x2 + x + x
(f) lim x
x→+∞
√
1 − 3x + x3 + 3x4
(g) lim
x→+∞
(2x + 12 )(1 − x)
8.7. Ispitati neprekidnost funkcije u taˇcki x = 0
(a) f (x) =
sin x
x
(c) f (x) =
(d) f (x) = sin x1
(b) f (x) = sgn x
8.8. Ispitati neprekidnost i odrediti tip prekida funkcije
 1 1
 x − x+1
, x∈
/ {−1, 0, 1}
(d)
1
− x1
(a) f (x) =
x−1
 0,
x ∈ {−1, 0, 1}
(e)
( 3 2
x −2x −3x
,
x
=
6
3
x−3
(b) f (x) =
10,
x=3
(f)
 1−cos x
x<0
 x2 ,
x2 −4
(c) f (x) =
0≤x<2
x−2 ,
(g)
 √
2
x + 5 − 3, x ≥ 2
8.9. Odrediti A ∈ R tako da je funkcija g(x) =
(a) f (x) =
(b) f (x) =
(c) f (x) =
9
1
x2
f (x) =
f (x) =
ln(1+x)
,
x
x 6= 0
0,
x=0
(
√
cos x √+ 2, x < 0
(1+x)
x
(
f (x) =
x 6= 0
x=0
1,
f (x) =
ex −1
x ,
2 −1
x≤0
0,
−
e
,
1
x2
, x>0
f (x), x 6= 0
neprekidna
A,
x=0
(1+x)3 −1
x
ex −e−x
x
ln(1+x)−ln(1−x)
x
Izvod funkcije
9.1. Izraˇcunati izvod funkcije (tabliˇcni izvodi)
√
3
(d) f (x) = x2 x7
(a) f (x) = x5 − 4x3 + 2x − 3
(b) f (x) =
π
x
+ ln 2
2
3
(e) f (x) = 5 sin x + 3 cos x
5
2
(c) f (x) = 3x − 2x +
x−3
(f) f (t) = arcsin t + 2
2
x≥0
9.2. Izraˇcunati izvod funkcije (izvod proizvoda i koliˇcnika)
(a) f (x) = x ctg x
(g) f (t) = 2t sin t − (t2 − 2) cos t
(b) f (x) = ex cos x
(h) f (t) =
(c) f (x) = sin x ln x2x
(i) f (x)
2x+3
x2 −5x+5
√
√t
f (t) = 1+
1− t
sin x+cos x
f (x) = sin
x−cos x
t2
ln t
= x−1
+ 2 ln x −
(d) f (x) =
(j) f (z) = z arctg z
(e)
(k) f (t) =
(f)
(l) f (x)
ln x
x
2
2
3t+1 − t
= x7 ex
9.3. Izraˇcunati izvod funkcije (izvod sloˇzene funkcije)
√
√
(g) f (x) = ln x + 1 + x2
xex + x
√
(b) f (x) = 3 2ex − 2x + 1 + (ln x)5
(a) f (x) =
(h) f (x) = ctg arcsin x2
√
1
arctg x
(c) f (x) =
(i) f (x) =
(d) f (x) = ln2 x − ln ln x
√
(e) f (x) = tg x
(j) f (x) =
x
cos3 x
2
xx
(k) f (x) = (sin x)cos x
2
x
(f) f (x) = e−x + sin 3x
(l) f (x) = xx
9.4. Izraˇcunati izvod implicitno zadate funkcije y = y(x)
(a) x2 + y 2 = 1
(b) x2 + 2xy − y 2 = 4x
2
2
(c) x 3 + y 3 = 1
(d) ey sin x + ln y cos x = arctg x
9.5. Izraˇcunati izvod parametarske funkcije
(a) x = 2(t − sin t), y = 3(1 − cos t)
(b) x = 4 + 2 cos t, y = −1 + 2 sin t
(c) x = 5(et + e−t ), y = 3(et − e−t )
9.6. Dokazati da je funkcija f (x) reˇsenje diferencijalne jednaˇcine
(a) f (x) = 21 (x2 + 2x + 2), 1 + y 02 = 2yy 00
(b) f (x) = 12 x2 ex , y 00 − 2y 0 + y = ex
9.7. Izraˇcunati drugi izvod (po x) parametarske funkcije
(a) x = ln t, y = t3
(b) x = arctg t, y = ln(1 + t2 )
(c) x = 5(et + e−t ), y = 3(et − e−t )
9.8. Izraˇcunati slede´ci limes i objasniti zaˇsto ne moˇze da se izraˇcuna primenom lopitalovog pravila
lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x
9.9. Izraˇcunati primenom lopitalovog pravila
x − sin x
x→0
x3
ln x
x→0 ctg x
(c) lim
(a) lim
(b) lim
x→0
ln(sin αx)
ln(sin x)
(d) lim x ln x
x→0
3
(e) lim (
1
1
− x
)
x e −1
(f) lim (
x
1
−
)
x − 1 ln x
x→0
x→1
6
e−x − 1 + x6
(g) lim
x→0
arctg x12
1
1
(h) lim ( 2 − 2 )
x→0 sin x
x
9.10. Odrediti minimum i maksimum funkcije f (x) na datom intervalu
(a) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, x ∈ [−1, 5]
(c) f (x) = x3 , x ∈ [−1, 3]
(b) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, x ∈ [−10, 12]
(d) f (x) = x4 + 2, x ∈ [−5, 5]
9.11. Odrediti lokalne ekstremume funkcije
(x−2)(8−x)
x2
(a) f (x) = x ln x
(c) f (x) =
(b) f (x) = x − arctg x
(d) f (x) = 2 sin 2x + sin 4x
9.12. Na´ci intervale zakrivljenosti i prevojne taˇcke funkcije
(a) f (x) = (x + 1)4
(b) f (x) = x2 ln x
(c) f (x) = x − arctg x
(d) f (x) = (1 + x2 )ex
(e) f (x) =
1
x+3
(d) f (x) =
1
1−ex
x
x2 −4x+3
9.13. Na´ci asimptote grafika funkcije
(a) f (x) = x + ln x
2
(b) f (x) = e−x + 2
(c) f (x) =
(e) f (x) =
1
x3
x2 +9
(f) f (x) = e x
9.14. Skicirati grafik funkcije
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x
f (x) = 1−ln
√x2
√
f (x) = 8 + x − 8 − x
f (x) = sin 2x + cos 2x
√
f (x) = x2 − 6x
f (x) = (x − x2 )e−x
x
f (x) = √
3 2
(g) f (x) =
10
(h) f (x) =
ln
√x
x
√
(i) f (x) = ln
1+x2 −1
x
2
x
(j) f (x) = arcsin √2x4 −2x
2 +1
(k) f (x) = (1 + x) ln x+1
x+2
x −1
x
1
1+e− x
(l) f (x) = 1 − e2x−x
2
Neodred¯eni integral
10.1. Izraˇcunati integrale
Z
√
√
(a) ( x + 1)(x − x + 1) dx
Z
(b) (6x2 + 8x + 3) dx
Z
1
(c)
(sin x −
) dx
sin2 x
Z
(d)
(5x + x5 ) dx
Z
1
1
1
+ 2+
) dx
x x
1 + x2
Z
1
+ ex ) dx
(f) ( √
2
1−x
(e)
10.2. Izraˇcunati integrale (smena promenljive)
Z
dx
(a)
x−a
(
Z
(b)
4
dx
(x − a)n
Z
Z
dx
− a2
Z
x
dx
(g)
a2 + x2
Z
x3
(h)
dx
x8 − 2
dx
√
(c)
a2 − x2
Z
dx
√
(d)
2
x ± a2
Z
dx
(e)
2
a + x2
(f)
10.3. Izraˇcunati integrale (smena promenljive)
Z
dx
(a)
Z 1 + sin x
(b)
cos2 2x dx
Z p
(c)
a2 − x2 dx
x2
x3
dx
2 − x2
Z
dx
p
(e)
2
(x + a2 )3
Z
(d)
10.4. Izraˇcunati integrale (parcijalna integracija)
Z
(a)
xln x dx
Z
(b)
x2 ln x dx
Z
ln2 x dx
(c)
Z
p
(d)
ln(x + 1 + x2 ) dx
Z
ln x
√ dx
(e)
x
√
Z
(f)
xsin x dx
Z
(g)
xcos 3x dx
Z
(h)
ex cos x dx
Z
(i)
arcsin x dx
Z
(j)
10.5. Izraˇcunati integrale (parcijalna integracija)
Z
x
(a)
dx
sin2 x
Z
(b)
3x cos x dx
Z
(c)
x sin x cos x dx
Z
(d) (x2 − 2x + 5)e−x dx
xarctan x dx
Z
(e)
x
x3 e− 3 dx
Z
(f)
sin(ln x) dx
Z
(g)
sin 2xe3x dx
Z
(h)
(x2
dx
+ a2 )n
10.6. Izraˇcunati integrale (racionalne funkcije)
(a)
R
x3 +1
x3 −5x2 +6x
Z
(b)
x3
Z
(c)
Z
(d)
Z
dx
+1
Z
dx
(f)
3
(x + 1)2
Z 2
x +1
(g)
dx
x6 + 1
Z 5
x − 2x4 + 3x3 − 4x2 − x
(h)
dx
(x − 1)2 (x2 + 1)
dx
(e)
x
dx
− 3x + 2
dx
(x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3
dx
+1
x3
10.7. Izraˇcunati integrale (trigonometrijske funkcije)
5
x4
Z
10
(a)
Z
(b)
Z
3
sin x cos x dx
(f)
sin4 x cos2 x dx
(g)
Z
Z
Z
5
(c)
sin x dx
(h)
Z
Z
dx
(d)
4
sin x cos2 x
Z
dx
(e)
sin x
(i)
Z
(j)
10.8. Izraˇcunati integrale (neke iracionalne funkcije)
Z r
x−1
(a)
x
dx
x+1
Z
dx
√
√
(b)
x+ 3x
11
dx
1 + sin x + cos x
3 sin x + 2 cos x
dx
2 sin x + 3 cos x
1 + tan x
dx
1 − tan x
cos 2x
dx
4
cos x + sin4 x
cos x
dx
sin4 x
Z
√
(c)
dx
√
2x − 1 − 4 2x − 1
Odred¯eni integral i primene integrala
11.1. Izraˇcunati vrednost odredjenih integrala
1
Z
(a)
(2x + 1)
50
dx
(g)
0
t dt
(b)
2
0 t +1
Z 1r
(c)
1+
4
(h)
3
4
1 dx
x x2
(i)
Z
x2 e−x dx
(k)
0
π
2
dx
1 + x2
√
1 − x2
dx
x2
dx
(1 + x2 )2
x cos x dx
0
e2π
Z
(f)
1
(j)
−1
3
(e)
√
2
2
Z
0
Z
1
Z
|x2 − 6x + 8| dx
(d)
4
3
Z
8
Z
x + 1 dx
1
3
Z
3√
Z
Z
sin ln t dt
(l)
1
e
ln x dx
1
11.2. Izraˇcunati povrˇsinu lika u ravni, ograniˇcenog krivama
(a) y = sin x, y = cos x, x = 0, x =
π
2
(g) 4x + y 2 = 0, y = 2x + 4
(b) y = x − 1, y 2 = 2x + 6
(h) y = x, y = x3
(c) y 2 = x, x − 2y = 3
(i) y = x2 , y =
(d) y = cos x, y = sin 2x, x = π2 , x = π
(j) y = ex , y =
(e) y = |x| , y = (x +
1)2
− 7, x = −4
(k)
(f) y = x−1 , y = x−2 , x = 1, x = 2
x2
+
4y 2
2
x2 +1
e3x , x
= 4,
x2
=1
− y2 =
1
4
(l) x2 + y 2 = 1, y = x2 − 1, y = −x
11.3. Izraˇcunati zapreminu tela dobijenog rotacijom krive
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y
y
y
y
y
√
= x, x ∈ [0, 1] oko x-ose
= x3 , y = 8, x = 0 oko y-ose
= x, y = x2 oko x-ose
= x, y = x2 oko prave y = 2
= x4 , y = 1 oko prave y = 2
(f) y = x2 , y 2 = x oko x-ose
(g) y = 2x − x2 , y = 0, x = 0, x = 1, oko
y-ose
(h) y = x, y = x2 oko y-ose
6
11.4. Izraˇcunati duˇzinu krive
(a) y = sin x izmed¯u dva uzastopna preseka sa x - osom
√
(b) y = 2 x, x ∈ [0, 1]
√ √
(c) y = ln x, x ∈ [ 3, 8]
(d) y = ln cos x, x ∈ (0, π3 )
(e) y = arcsin e−x , x ∈ [0, 1]
√
√
(f) y = 13 x x − x izmed¯u preseka sa x - osom
(g) x =
12
y2
4
− 12 ln y, y ∈ [1, e]
Nesvojstveni integral
12.1. Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala
+∞
Z
(a)
Z0
dx
x
(c)
−∞
1
+∞
Z
(b)
xex dx
+∞
Z
dx
x2
(d)
dx
1 + x2
−∞
1
12.2. Izraˇcunati vrednost nesvojstvenih integrala
Z +∞
dx
(a)
x(ln x)3
e
Z
+∞
(b)
−∞
7
e−|x|