close

Enter

Log in using OpenID

BK1-4 - Državni univerzitet u Novom Pazaru

embedDownload
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
BETONSKE KONSTRUKCIJE 1
Osnovne akademske studije, V semestar
Prof dr Stanko Brčić
email: [email protected]
Departman za Tehničke nauke,
GRAÐEVINARSTVO
Državni Univerzitet u Novom Pazaru
2014/15
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno i vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje
oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet
betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u
preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija)
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja:
Slobodno dimenzionisanje preseka
Vezano dimenzionisanje preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno i vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje podrazumeva usvajanje oblika i
dimenzija betonskog preseka, kao i određivanje potrebne
količine armature
Projektant slobodno bira vrstu loma preseka, odn. usvaja
vrednosti dilatacija u betonu i armaturi
Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne
količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka
(iz nekih drugih uslova su poznate dimenzije preseka)
Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i
armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim
karakteristikama
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznate su vrednosti
momenata savijanja Mi za odgovarajuća eksploataciona
opterećenja (i = g, p, ∆).
Broj nepoznatih veličina b, d, Aa je veći od broja jednačina
(dva uslova ravnoteže)
Zbog toga se usvaja širina preseka b
Za uobičajene dimenzije AB greda, širina poprečnog preseka se
bira u granicama 25 - 50 cm, obično se usvaja b = 30cm
Izbor širine zavisi od uslova pravilnog smeštanja armature
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb , εa biraju se
slobodno, uz uslov da barem jedna od njih dostigne graničnu
vrednost:
(1)
εb = 3.5‰
(2) 0 ≤ εb < 3.5‰
(3)
εb = 3.5‰
i
i
i
3.0 ≤ εa < 10‰
εa = 10‰
εa = 10‰
Ne vodi se (formalno, u pisanju) računa o znacima napona i
dillatacija
Od izbora dilatacija zavisi visina poprečnog preseka d
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Na primer, ako se usvoji manja dilatacija u armaturi
(εa < 10‰), a maksimalna u betonu (εb = 3.5‰), povećava
se s, odn. visina pritisnute zone u betonu x
Time se dobija i veća sila pritiska u betonu Dbu , a iz uslova
ravnoteže normalnih sila, veća je i sila u zategnutoj armaturi
Zau = Dbu
Kako je Mu zadata veličina, a unutrašnje sile sprega su veće,
onda mora da bude manji krak sprega unutrašnjih sila z
Time dolazi i do smanjenja visine preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Na taj način, izborom različitih dilatacija εb i εa , preseci
različitih visina imaju istu graničnu nosivost
Konstantan spoljašnji granični momenat savijanja može da se
“prihvati” presecima različitih visina
Ipak, smanjenje visine preseka, na račun povećanja armature
bitno utiče na granična stanja upotrebljivosti (na veličnu
ugiba, pojavu prslina)
Ako ima više zategnute armature u preseku, postoje i problemi
oko smeštaja armature i pravilnog ugrađivanja
Za dilatacije εa ∈ [7 ÷ 10]‰ dobijaju se tehnički i ekonomski
opravdane dimenzije preseka i količine armature
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
U zavisnosti od izabranih dilatacija određuju se parcijalni
koeficijenti sigurnosti, pa se računa granični momenat
savijanja:
X
izabrana εa ⇒ γui ⇒ Mu =
γui Mui
i
Usvaja se kvalitet materijala: marka betona i vrsta čelika ⇒
poznate su računske čvrstoće fB i σv
Za usvojene dilatacije εb i εa iz tablica se određuju koeficijenti
kiµ
¯
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Tablice - lom po betonu εb = 3.5‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Tablice - lom po armaturi εa = 10.0‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Potrebna statička visina h se određuje iz izraza:
s
Mu
h=k
b fB
Potrebna površina armature se određuje iz izraza:
Aa = µ b h = µ
¯bh
Stanko Brčić
σv
fB
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Na osnovu sračunate površine armature Aa bira se prečnik i
broj profila
Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan
razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona
i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije
Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do
zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka
d=h+a
Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na
cele santimetre (odn. na “okruglu cifru”)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Mehanički koeficijent armiranja µ
¯ zavisi samo od dilatacija u
betonu i čeliku: µ
¯ = αb s
Takođe, iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se
µ
¯ = αb s =
Aa1 σv
σv
=µ
b h fB
fB
gde je µ geometrijski koeficijent armiranja:
µ=
Stanko Brčić
Aa1
bh
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Za grede je definisan minimalan koeficijent armiranja µmin :
Aa1
0.25% GA
µ=
≥ µmin gde je µmin =
0.20% RA
bh
Ni u jednom preseku AB grednog nosača ne sme da bude
manje armature od minimalno propisane
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1
Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature za presek
pravougaonog oblika na koji deluju momenti savijanja usled
stalnog (Mg ) i povremenog (Mp ) opterećenja. Dati su podaci:
- momenti savijanja . . . Mg = 60 kNm, Mp = 80 kNm
- širina poprečnog preseka . . . b = 25 cm
- kvalitet materijala . . . MB 30, GA 240/360
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1
Granični momenat savijanja
Mu = 1.6 × 60 + 1.8 × 80 = 240 kNm
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 2.05 kN/cm2
RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2
Usvojene dilatacije u betonu i čeliku (simultani lom)
εb /εa1 = 3.5/10‰
⇒
k = 2.311, µ
¯ = 20.988%, ζb = 0.892
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1
Potrebna statička visina preseka
s
r
Mu
240 × 102
h=k
= 2.311
= 50.0 cm
b fB
25 × 2.05
Potrebna količina zategnute armature
Aa = µ
¯
b h fB
25 × 50 2.05
= 20.988 ×
×
= 24.41 cm2
100 σv
100
24
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Slobodno dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1
Alternativno, potrebna površina armature je
Aa =
Mu
240 × 102
Mu
=
=
= 22.42 cm2
z σv
ζb h σv
0.892 × 50 × 24
Usvojena armatura: 6Φ22 (22.80 cm2 )
Za širinu grede b=25cm ova armatura ne može da se smesti u
jedan red
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Usvojene dimenzije grede - primer 1
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Alternativne dimenzije za različita granična stanja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne
količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka
Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i
armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim
karakteristikama
Znači, kod vezanog dimenzionisanja poznato je:
- momenti savijanja od eksploatacionih opterećenja Mi
- dimenzije poprečnog preseka b, d
- usvojen kvalitet materijala fB , σv
Nepoznato je:
- količina armature u preseku Aa
- stanje dilatacija u preseku s
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Pretpostavlja se da je dilatacija u armaturi između 3 i 10‰
(naravno, zatezanje), pa se izračuna granični momenat
savijanja Mu (usvajaju se minimalne vrednosti γui )
Pretpostavlja se veličina a (rastojanje težišta zategnute
armature od zategnute ivice preseka) . . . uobičajeno je
a ≈ 0.1 d, pa se odredi statička visina h = d − a
Sa određenom statičkom visinom h izračunava se koeficijent k:
k=q
h
Mu
b fB
Stanko Brčić
⇒
iz tablica ⇒
Betonske konstrukcije 1
µ
¯
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Iz tabela za dimenzionisanje se, na osnovu izračunatog k
odredi mehanički koeficijent armiranja µ
¯, pa se očitaju
dilatacije εb , εa
Kontroliše se da li su usvojene odgovarajuće vrednosti
parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li je εa > 3‰)
Određuje se potrebna količina zategnute armature iz izraza:
Aa = µ
¯bh
fB
σv
Stanko Brčić
ili Aa =
Mu
Mu
=
z σv
ζb h σv
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci
Usvaja se prečnik armature i dobijeni broj profila se raspoređuje
u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu
Sračunava se stvarni položaj težišta zategnute armature a, a
time i stvarna statička visina h, pa se poredi sa
pretpostavljenom
U slučaju većeg odstupanja, proračun se ponavlja
U slučju da je dilatacija u armaturi εa < 3‰, presek se dvojno
armira
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2
Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog
pravougaonog oblika na koji deluje granični momenat savijanja
Mu . Dati su podaci:
- granični momenat savijanja . . . Mu = 300 kNm
- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/60 cm
- kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 2.05 kN/cm2
RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2
Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice a1 = 7cm, statička visina preseka je
h = d − a1 = 60 − 7 = 53 cm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2
Koeficijent k je dat sa:
k=q
h
Mu
b fB
=q
53
300×102
40×2.05
= 2.711
Iz tablica se dobija: za εa = 10‰, najbliža vrednost za
k=2.711 je k=2.765, što odgovara dilataciji u betonu
εb = 2.425‰
Za te dilatacije se očitava i µ
¯ = 14.152%, kao i ζb = 0.924
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Vezano dimenzionisanje
Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2
Potrebna količina zategnute armature
Aa = µ
¯
b h fB
40 × 53 2.05
= 14.152 ×
×
= 15.38 cm2
100 σv
100
40
Alternativno, potrebna površina armature je
Aa =
Mu
Mu
300 × 102
=
=
= 15.31 cm2
z σv
ζb h σv
0.924 × 53 × 40
Usvojena armatura: 6RΦ19 (17.01 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Usvojena armatura grede - primer 2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani preseci
U pritisnutu zonu betonskog preseka uvek se postavlja
montažna (konstruktivna) armatura
Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća
žilavost pritisnute zone betona
Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom
armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i
u pritisnutom delu
Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno
manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju
kao jednostruko armirani
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Dvostruko (dvojno) armiranje se primenjuje u slučajevima kada
jednostruko armiran presek nije u stanju da prihvati granični
momenat savijanja sa dilatacijom u armaturi εa ≥ 3‰
Kod dvostruko armiranih preseka, osim armature u zategnutoj
zoni Aa = Aa1 , računa se i armatura Aa2 u pritisnutoj zoni
Računska armatura u pritisnutoj zoni zahteva i dodatnu
zategnutu armaturu ∆Aa1 kako bi uslovi ravnoteže bili
zadovoljeni
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Granična vrednost momenta nosivosti preseka na savijanje pri
punom iskorišćenju nosivosti jednostruko armiranog preseka,
odn. nosivost preseka pri dilatacijama εb = 3.5‰ i εa = 3‰
je označena sa Mbu :
Mbu =
h
k∗
2
b fB
Vrednosti k ∗ i µ
¯∗1 određuju se iz tablica za dilatacije koje
želimo da zadržimo: εb = 3.5‰ i εa = 3‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Ako je granični momenat savijanja spoljašnjih sila Mu veći od
momenta nosivosti jednostruko armiranog preseka Mbu :
∆Mu = Mu − Mbu > 0
onda je potrebno dvojno armiranje
Razlika momenata ∆Mu se prihvata spregom unutrašnjih sila
Dau i ∆Zau , odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom
armaturom
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Usvaja se da su obe armature ušle u prag tečenja:
εa2 ≥ εq
εa1 ≥ εv
⇒ σa2 = σq = |σv |
⇒ σa1 = σv
Čelik se ponaša praktično isto i pri zatezanju i pri pritisku
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Dijagram napon - dilatacija za armaturni čelik
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Prema tome, zategnuta armatura koja odgovara momentu
nosivosti jednostruko armiranog preseka sa punim
iskorišćenjem je data sa
A∗a1 = µ
¯∗1 b h
fB
σv
A∗a1 =
ili
Mbu
Mbu
= ∗
∗
z σv
ζb h σv
gde je Mbu momenat nosivosti jednostruko armiranog preseka
Mbu =
h
k∗
2
b fB
Vrednosti k ∗ , µ
¯∗1 , kao i ζb∗ određuju se iz tablica za dilatacije
εb = 3.5‰ i εa = 3‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Razlika momenata ∆Mu = Mu − Mbu se prihvata spregom
unutrašnjih sila Dau i ∆Zau , odn. pritisnutom i dodatnom
zategnutom armaturom:
∆Mu = Dau (h − a2 )
⇒ Dau =
∆Mu
(h − a2 )
Prema tome, potrebna površina pritisnute armature Aa2 je
data sa
Dau
∆Mu
Aa2 =
=
σq
σv (h − a2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Kako je, iz uslova ravnoteže unutrašnjih sila Dau = ∆Zau , to
je potrebna dodatna zategnuta armatura data sa
∆Aa1 =
∆Mu
σv (h − a2 )
Prema tome, ukupna površina zategnute armature kod dvojno
armiranog pravougaonog preseka je data sa
Aa1 = A∗a1 + ∆Aa1 = µ
¯∗1 b h
Stanko Brčić
fB
∆Mu
+
σv
σv (h − a2 )
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Čisto pravo savijanje
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Alternativno, ukupna zategnuta armatura može da se odredi i
prema izrazu
Aa1 =
Mbu
∗
ζb h σv
+
∆Mu
σv (h − a2 )
Potrebna pritisnuta armatura je
Aa2 =
Stanko Brčić
∆Mu
σv (h − a2 )
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Dvostruko armirani pravougaoni preseci
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
AB elementi opterećeni ekscentričnom normalnom silom
pritiska, sa napadnom tačkom u osi simetrije, nalaze se u
oblasti velikog ekscentriciteta ako se neutralna linija nalazi
unutar preseka
Znači, jedan deo preseka je zategnut, a drugi je pritisnut
To je složeno savijanje, odn. istovremeni uticaj normalnih sila i
momenata savijanja
Normalna sila može da bude sila pritiska ili sila zatezanja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Potrebne veličine za dimenzionisanje pravougaonih preseka
određuju se iz uslova ravnoteže na isti način kao i u slučaju
čistog pravog savijanja
Poznati su eksploatacioni uticaji Mi i Ni (i = g, p, ∆), odn.
momenti savijanja i normalne sile za posmatrane slučajeve
opterećenja
Sile u preseku Mi i Ni su određene proračunom nosača na
standardni način, pri čemu je osa nosača geometrijsko mesto
težišta poprečnih preseka
Odrede se granični uticaji (parcijalni koeficijenti su za
εa ≤ −3‰):
X
X
Mu =
γui Mi
Nu =
γui Ni
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - proračunski
model
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Postavljaju se dva uslova ravnoteže, spoljašnjih sila Mu i Nu ,
kao i unutrašnjih sila Dbu i Zau (rezultanta napona pritisaka u
betonu i napona zatezanja u armaturi)
Za redukcionu tačku u ravnoteži spregova bira se težište
zategnute armature:
P
⇒ Dbu − Zau − Nu = 0
PN = 0 :
Ma1 = 0 :
⇒ Dbu z − Mau = 0
pri čemu je momenat spoljašnjih sila za težište zategnute
armature dat sa
d
− a1
Mau = Mu + Nu
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
(1)
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Transformisanjem jednačina (1) na isti način kao i za slučaj
čistog savijanja, dolazi se do analognih izraza
Razlika je u tome što se umesto Mu u svim izrazima kod
složenog savijanja javlja Mau
Sve tabele koje se koriste za dimenzionisanje u slučaju čistog
savijanja koriste se i u slučaju složenog savijanja
Kao i kod čistog savijanja, u dimenzionisanju preseka za slučaj
složenog savijanja javljaju se slučajevi
- slobodnog dimenzionisanja
- vezanog dimenzionisanja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Međutim, postupak slobodnog dimenzionisanja je iterativan,
jer se u izrazu za Mau pojavljuje i nepoznata visina preseka d
Širina poprečnog preseka se, u uobičajenim slučajevima, usvaja
u granicama od 30 do 50cm
Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi iz tabela se očitaju
vrednosti koeficijenta k i mehaničkog procenta armiranja µ
¯1
Pošto visina preseka d nije poznata, usvaja se, u prvoj iteraciji,
da je Mau = Mu
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Potrebna statička visina u prvoj iteraciji h(1) određuje se iz
izraza
s
Mu
h(1) = k
b fB
Da bi se odredila visina preseka u prvoj iteraciji, prema relaciji
d(1) = h(1) + a1 , pretpostavlja se da je rastojanje težišta
zategnute armature do zategnute ivice preseka a1 približno
a1 ≈ 0.1 d
Prema tome, visina preseka u prvoj iteraciji je
d(1) = h(1) + 0.1 d(1)
Stanko Brčić
⇒
d(1) ≈ 1.1 h(1)
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Sa tom visinom se određuje momenat spoljašnjih sila za težište
zategnute armature:
!
d(1)
Mau = Mu + Nu
− a1
2
Sa ovim se određuje statička visina preseka u drugoj iteraciji:
s
Mau
h(2) = k
⇒ d(2) = h(2) + a1
b fB
Ukoliko se dobijena vrednost d(2) razlikuje od prethodne
vrednosti d(1) za više od ≈ 1cm, postupak se ponavlja do
konvergencije
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Kada se postigne zadovoljavajuća tačnost za visinu preseka d,
potrebna površina armature se određuje iz izraza
Aa1 = µ
¯1 b h
Nu
fB
−
σv
σv
ili
Aa1 =
Mau Nu
−
z σv
σv
(2)
Mehanički koeficijent armiranja µ
¯1 dobijen je iz tablica, kao i
koeficijent k, za usvojene dilatacije εa i εb
Prvi član u izrazu za armaturu Aa1 identičan je kao i izraz za
potrebnu armaturu u slučaju čistog savijanja
Drugi član u izrazu za armaturu Nu /σv pretstavlja smanjenje
površine zategnute armature zbog napona pritisaka koje
normalna sila pritiska Nu unosi u presek
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:
- statički uticaji (Mi , Ni ) . . . sračunato je
- kvalitet materijala (fB , σv ) . . . usvojeno je
- dimenzije poprečnog preseka (b, d)
Nepoznato je:
- površina armature (Aa )
- stanje dilatacija (s)
Na osnovu procenjenog rastojanja težišta zategnute armature
a1 određuje se statička visina preseka h i sračunava granični
momenat savijanja za težište zategnute armature Mau
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Sa određenim Mau i statičkom visinom h, izračunava se
koeficijent k:
k=q
h
⇒
Mau
b σv
εb , εa1 , µ
¯1
Potrebna površina armature se određuje iz izraza (2):
Aa1 = µ
¯1 b h
fB
Nu
−
σv
σv
ili
Aa1 =
Mau Nu
−
z σv
σv
gde je z = ζb h ≈ 0.9 h krak unutrašnjih sila Dbu i Zau
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Na osnovu dobijene potrebne površine zategnute armature
usvoji se prečnik i broj šipki i raspoređuje se u poprečnom
preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu
Odredi se stvarni položaj težišta zategnute armature i stvarna
statička visina
Stavrna statička visina se poredi sa pretpostavljenom i u
slučaju odstupanja (većeg od 5-10%) proračun se ponavlja sa
“tačnijom” statičkom visinom
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki
ekscentricitet
Dvojno armiranje preseka
Ako se dobije da je εa < 3‰, presek se dvojno armira, isto
kao i u slučaju čistog savijanja
Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi εb = 3.5‰ i
εa1 = 3‰ iz tablica se očitaju vrednosti k ∗ i µ
¯∗1
Sa ovim se izračunava moment nosivosti jednostruko
armiranog preseka Mabu :
Mabu =
Stanko Brčić
h
k∗
2
b fb
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki
ekscentricitet
Dvojno armiranje preseka
Granični momenat koji treba da prihvate pritisnuta i dodatna
zategnuta armatura ∆Mau je dat sa
∆Mau = Mau − Mabu
Ukupna površina zategnute armature (osnovne, koja odgovara
nosivosti jednostruko armiranog preseka i dodatne) je data sa
Aa1 = µ
¯∗1 b h
fB
∆Mau
Nu
−
+
σv
σv (h − a2 )
σv
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki
ekscentricitet
Dvojno armiranje preseka
Alternativno, ukupna površina zategnute armature je data sa
Aa1 =
Mau
∆Mau
Nu
+
−
z σv
σv (h − a2 )
σv
Potrebna površina pritisnute armature je data sa
Aa2 =
Stanko Brčić
∆Mau
σv (h − a2 )
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - dvojno armiranje
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki
ekscentricitet
Dvojno armiranje preseka - usvajanje armature
U zavisnosti od dobijenih površina pritisnute i ukupne
zategnute armature:
1
2
3
Aa2 ≤ Aa1 . . . i zategnuta i pritisnuta armatura se usvajaju u
skladu sa dobijenim površinama
Aa1 ≤ Aa2 ≤ 1.5 Aa1 . . . obe zone se armiraju simetrično sa
srednjom vrednošću zbira površina
Aa2 > 1.5 Aa1 . . . presek se armira simetrično, ali se površina
armature određuje primenom dijagrama interakcije M − N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog
pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog
i povremenog opterećenja. Dati su podaci:
-
stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN
povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN
dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm
kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 40
⇒ fB = 25.5 M P a = 2.55 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište)
Mu = 1.6 Mg + 1.8 Mp = 2000 kNm
Nu = 1.6 Ng + 1.8 Np = 2400 kN
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je
h = d − a1 = 90 − 8 = 82 cm
Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na
težište zategnute armature:
d
Mau = Mu + Nu
− a1 = 2888 kNm
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Bezdimenzionalni koeficijent k je
k=q
h
Mau
b fB
=q
82
2888×102
40×2.55
= 1.541
Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao i
εa = 1.10‰
Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armira
Iz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k ∗ = 1.719
iµ
¯∗ = 43.589%
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za
εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰
2
h
Mabu =
bfB
k∗
tako da se dobija
Mabu =
0.82
1.719
2
0.40 × 25.5 × 103 = 2321 kNm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Razlika u graničnim momentima:
∆Mau = Mu − Mabu = 2888 − 2321 = 567 kNm
se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature
Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do
pritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armatura
je
∆Mau
567 × 102
Aa2 =
=
= 18.41 cm2
σv (h − a2 )
40 (82 − 5)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Ukupna površina zategnute armature je
Aa1 = µ
¯∗1 b h
∆Mau
Nu
fB
+
−
σv
σv (h − a2 )
σv
odnosno,
Aa1 =
43.589
2.55
2400
40 × 82 ×
+ 18.41 −
= 49.55 cm2
100
40
40
Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature
su: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3
Kako je Aa2 < Aa1 , obe zone se armiraju prema izračunatim
površinama armature
Usvaja se sledeća armatura:
zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28
(49.26 cm2 )
pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28
(18.47 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
U slučaju ekscentričnog zatezanja važe svi izrazi kao i za slučaj
ekscentričnog pritiska
Umesto pozitivne sile pritiska N u prikazane relacije sila
zatezanja Z se unosi sa negativnim znakom
Tako, na primer, granični momenat za težište zategnute
armature, za ekscentrično zatezanje, dat je sa
d
Mau = Mu − Zu
− a1
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Statička visina preseka se određuje iz relacije
s
Mau
h=k
b fB
dok se potrebna površina zategnute armature odrđuje iz izraza
Aa1 = µ
¯1 b h
ili iz relacije
Aa1 =
Stanko Brčić
fB
Zu
+
σv
σv
Mau Zu
+
z σv
σv
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4
Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog
pravougaonog oblika na koji deluju granični momenat Mu i sila
zatezanja Zu . Dati su podaci:
- granični uticaji . . . Mu = 770 kNm, Zu = 720 kN
- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 35/70 cm
- kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice: a1 = 0.1 d = 7 cm
Statička visina preseka
h = d − a1 = 70 − 7 = 63 cm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4
Granični momenat u odnosu na težište zategnute armature:
d
0.70
Mau = Mu − Zu ( − a1 ) = 770 − 720 ×
− 0.07
2
2
Dobija se Mau = 568.4 kNm
Koeficijent k je jednak:
k=q
h
Mau
b fB
=q
Stanko Brčić
63
568.4×102
35×2.05
= 2.238
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4
Za k = 2.238 iz tablica se očitava εb /εa = 3.5/9.05‰, kao i
µ
¯1 = 22.576% i ζb = 0.884
Potrebna površina zategnute armature
Aa1 = µ
¯1 b h
fB
Zu
+
σv
σv
Zamenom vrednosti se dobija
Aa1 = 22.576 ×
35 × 70 2.05 720
×
+
= 43.51 cm2
100
40
40
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Vezano dimenzionisanje
Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4
Alternativno, potrebna površina zategnute armature može da
se odredi iz izraza
Aa1 =
Mau Zu
568.4 × 102
720
+
=
+
= 43.52 cm2
z σv
σv
0.884 × 63 × 40
40
Usvaja se 9RΦ25 (44.18 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
Prikaz usvojenog armiranja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T preseka
Grede T preseka - opšte napomene
U betonskim konstrukcijama, posebno u zgradarstvu, veoma
česte su grede T ili Γ preseka
Tipičan primer su AB ploče oslonjene na AB grede (monolitno
izvedene)
Uobičajeno je da su ploče iznad greda (mada ploče mogu da
budu i “okačene” o grede)
Takvi elementi se izvode u isto vreme i pretstavljaju monolitnu
celinu
Ukoliko su ploča i neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj
oblasti, onda se greda i odgovarajući deo ploče posmatraju kao
grede T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Grede T preseka - opšte napomene
Ukoliko je neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda
se greda posmatra kao standardna greda pravougaonog preseka
Kod tavanica koje čine AB ploče oslonjene na sistem greda,
obično u dva ortogonalna pravca, na mestu ukrštanja greda
nalaze se AB stubovi
Delovi greda “u polju”, dakle u srednjim zonama između
oslonačkih stubova, pretstavljaju grede T preseka (zategnuta je
donja zona)
Delovi istih greda u zonama iznad stubova pretstavljaju grede
pravougaonog preseka (zategnuta je gornja zona)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Grede T preseka - opšte napomene
Ivične grede u tavanici (ploča je samo sa jedne strane grede)
su grede Γ preseka
Grede između ivičnih su grede T preseka
Ako je debljina ploče označna sa dpl , a x je visina pritisnute
zone preseka, za T preseke mora da bude ispunjen uslov
x > dpl (neutralna osa mora da bude u gredi, odn. u rebru)
Ako je x ≤ dpl u pitanju je greda pravougaonog preseka B/d
(širina je jednaka širini ploče b ili B, a visina je jednaka d visina ploče i rebra ispod)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Grede T preseka - opšte napomene
Odgovarajući deo ploče levo i desno od grede, koji se tretira
kao deo grede T preseka, naziva se računska aktivna širina
ploče B
Monolitnost veze između ploče i rebra obezbeđuju naponi
smicanja na spoju ploče i rebra
Osim toga, monolitnost veze ploče i rebra se obezbeđuje i
odgovarajućom armaturom u ploči upravno na pravac rebra
(grede)
Raspodena normalnih napona na delu ploče, levo i desno od
rebra, je krivolinijska
Intenzitet normalnih napona u ploči se smanjuje sa udaljenjem
od rebra
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Aktivna širina ploče grede T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Aktivna širina ploče grede T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Aktivna širina ploče grede T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Aktivna širina ploče kod greda T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Grede T preseka - opšte napomene
Nosači T preseka proračunavaju se kao pravougaoni preseci u
slučajevima kada se
1
2
neutralna linija nalazi u ploči x ≤ dpl
neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploča nalazi u zategnutoj
zoni preseka (npr. iznad oslonaca kod kontinualnih nosača)
U drugim slučajevima, kada je neutralna osa u rebru, a ploča
je pritisnuta, dimenzionsanje se vrši kao za T presek
U zavisnosti od odnosa računske aktivne širine ploče B i širine
rebra b, postoje različiti pristupi proračunu
1
2
za B/b > 5 . . . uprošćeni postupak proračuna
za B/b ≤ 5 . . . tačniji postupak proračuna
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Sadržaj
1
Čisto pravo savijanje
Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci
2
Čisto složeno savijanje
Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet
Dvojno armirani pravougaoni preseci
Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet
3
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka
Kada je ispunjen uslov B/b > 5, grede T preseka se
dimenzionišu po uprošćenom postupku
Osnovna pretpostavka uprošćenog postupka je zanemarivanje
nosivosti rebra: ukupna sila pritiska u preseku je sila pritiska u
ploči Dbu = Dbpu
Dodatna pretpostavka je da je napon pritiska po debljini ploče
konstantan i jednak naponu u sredini debljine ploče σbp
(uprosečeni su naponi pritisaka po debljini ploče)
Na osnovu toga, krak untrašnjih sila je poznat i iznosi
z = h − dp /2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka
Greška koja se čini u uprošćenom proračunu je relativno mala,
a proračun je jednostavniji
Kada je B/b > 5, ili još više, zanemarena pritisnuta površina
betona na delu rebra je relativno mala u odnosu na površinu
pritisnute ploče
Osim toga, u zoni pritisnutog rebra su i naponi σb mali (blizina
neutralne ose)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka
Druga pretpostavka je osrednjavanje stvarnog dijagrama
napona pritisaka u ploči na pravougaoni oblik
Ordinata pravougaonog dijagrama napona je jednaka naponu
σbp ili σbs u vlaknu na sredini debljine ploče (kome odgovara
dilatacija u betonu εbp = εbs )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Zbog relativno velike pritisnute površine betona, dilatacije u
betonu retko prelaze vrednosti εb ≈ 0.5 ÷ 1.5‰
Zbog toga, T preseci (po pravilu) dostižu granično stanje loma
po armaturi εa = 10‰
Kao i kod “običnih” pravougaonih preseka, dimenzionisanje
preseka u slučaju čistog ili složenog savijanja svodi se na
- slobodno dimenzionisanje
- vezano dimenzionisanje
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Veličine potrebne sa slobodno dimenzionisanje T preseka
dobijaju se iz dva uslova ravnoteže (kao i za dimenzionisanje
pravougaonih preseka)
Granična sila pritiska u ploči i granična sila zatezanja u
armaturi su
Dbu = Dbpu = B dp σbp
Zau = Aa σv
Uslov ravnoteže normalnih spoljašnjih i unutrašnjih sila (za
slučaj čistog pravog savijanja) je:
X
N = o : ⇒ B dp σbp − Aa σv = 0
(3)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Krak unutrašnjih sila, odn. krak sile pritiska do težišta
zategnute armature je z = h − dp /2
Uslov ravnoteže momenata P
spoljašnjih i unutrašnjih sila za
težište zategnute armature
Ma1 = 0 je:
Dbpu z − Mu = 0
(4)
ili, unošenjem izraza za Dbp , kao i za krak sila
B dp σbp (h −
Stanko Brčić
dp
) = Mu
2
Betonske konstrukcije 1
(5)
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Ako se napon u sredini ploče σbp unapred usvoji, onda se iz (5)
dobija nepoznata staticka visina preseka:
h=
dp
Mu
+
σbp B dp
2
(6)
Napon u sredini ploče najčešće se bira u granicama
0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB
Ove granice za napon u sredini ploče daju ekonomične i
tehnički opravdane dimenzije preseka
Veće iskorišćenje napona pritiska u betonu dalo bi manju visinu
preseka, ali i veću količinu zategnute armature
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Uprošćeni proračun T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče x0
može da se odredi iz sličnosti trouglova i izrazi preko dilatacija
u betonu i armaturi (videti prethodnu sliku)
dp
h
−
x
+
0
2
x0
=
εbp
εa
odakle se dobija
εbp
x0 =
εbp + εa
dp
dp
h−
= s0 h −
2
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
(7)
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Osim toga, potrebno je da se proveri da li je zadovoljen uslov
maksimalne dilatacije u pritisnutom vlaknu betona:
εb = εbp
x0 +
x0
dp
2
≤ 3.5‰
(8)
Napon pritiska u sredini ploče σbp se usvaja u nekom iznosu,
obično u intervalu 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB
Time je, takođe, usvojena i dilatacija εbp u sredini debljine
ploče, zbog veze σ − ε za beton:
f
B
za 0 ≤ εb ≤ 2‰
4 (4 − εb ) εb
σb =
(9)
fB
za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Naime, rešavanjem veze (9) po εb dolazi se do kvadratne
jednačine po εb :
σb
=0
ε2b − 4 εb + 4
fB
Rešenja ove jednačine su
ε1,2
b
r
σb
= 2(1 ± 1 −
)
fB
Samo znak − ima smisla, tako da je za usvojen napon u
sredini ploče σbp odgovarajuća dilatacija εbp data sa
r
σbp
εbp = 2(1 − 1 −
)
(10)
fB
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Tako, na primer, za neke vrednosti napona σbp u uobičajenom
intervalu dobija se
- za σbp = 0.30 fB
- za σbp = 0.50 fB
- za σbp = 0.75 fB
⇒
⇒
⇒
Stanko Brčić
εbp = 0.327 ‰
εbp = 0.586 ‰
εbp = 1.000 ‰
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Ako se neutralna osa nalazi u ploči, x0 ≤ dp /2, presek se
proračunava kao pravougaoni, širine B
Ako je neutralna osa u rebru x0 > dp /2, potrebna površina
zategnute armature se određuje iz uslova ravnoteže normalnih
sila:
B dp σbp
M
u Aa =
ili Aa =
d
σv
σv h − 2p
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:
- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi )
- geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp )
- mehaničke karakteristike (M B, σv )
Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:
- površina potrebne armature (Aa )
- položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sračunaju se granični statički uticaji
X
Mu =
γui Mi
Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice a1 , pa se odredi statička visina
h = d − a1
Iz uslova ravnoteže momenata (5) se odredi napon pritiska u
sredini ploče:
M
u
σbp =
d
B dp h − 2p
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U slučaju da se dobije da je σbp > fB , postupak se prekida i
vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra)
Iz veze σ − ε, prema relaciji (10), odredi se dilatacija u sredini
ploče:
r
σbp
εbp = 2(1 − 1 −
)
εa = 10 ‰ ⇒ s0
fB
Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa (7):
εbp
dp
dp
x0 =
h−
= s0 h −
εbp + εa
2
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Uprošćeni proračun T preseka
x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp /2
neutralna osa je ispod ploče (u rebru)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Čisto pravo savijanje
Čisto složeno savijanje
Grede T ili Γ preseka
Opšte napomene
Uprošćeni proračun T preseka
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji
uslov (8):
d
x0 + 2p
≤ 3.5‰
εb = εbp
x0
Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp /2), presek se
dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × d
Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp /2, potrebna
površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže
normalnih sila)
M
u Aa =
d
σv h − 2p
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
8
File Size
2 121 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content