Neodređeni integral

Neodređeni integral
Dr Špiro Gopčević
Neautorizovani tekst.
1
Agenda
•
•
•
•
•
Pojam primitivne funkcije
Pojam neodređenog integrala
Partikularna primitivna funkcija
Osobine neodređenog integrala
Tablica osnovnih integrala
Neautorizovani tekst.
2
Pojam primitivne funkcije
• Videli smo kako od funkcije f(x) kada
zadovoljava određene uslove dobijamo funkciju
f’(x)
– Operacija kojom dolazimo od funkcije f(x) do
funkcije f’(x) naziva se diferenciranje
– Problem je bio: zadana je funkcije f(x), naći
izvod funkcije f’(x) i diferencijal f’(x)dx
Neautorizovani tekst.
3
Pojam primitivne funkcije
• Inverzan problem predhodnom problemu je:
– Neka je data izvodna funkcija j(x) odnosno
diferencijal funkcije j(x) - j(x)dx
– Naći funkciju F(x) za koju će važiti relacija
F’(x)=j(x)
odnosno
dF(x)= j(x)dx
• Primenjujući matematičku operaciju izvod ili
diferencijal na funkciju F(x) dobija se funkcija
j(x)
Neautorizovani tekst.
4
Pojam primitivne funkcije
F(x) je primitivna funkcija funkcije j(x)
ako je F’(x) = j(x) odnosno dF(x)=
j(x)dx.
Primer:
d
 x 2 − 5 x + 3 = 2 x − 5
dx
d
 x 2 − 5 x − 7  = 2 x − 5
dx
Dakle, x 2 − 5 x + 3 je primitivna funkcija od 2 x − 5
Dakle, x 2 − 5 x − 7 je takodje primitivna funkcija od 2 x − 5
Neautorizovani tekst.
5
Pojam primitivne funkcije
F(x) je primitivna funkcija funkcije j(x)
ako je F’(x) = j(x) odnosno dF(x)=
j(x)dx.
Posto je
d
[C ] = 0 za bilo koju konstantu C ...
dx
d 2
 x − 5 x + C  = 2 x − 5
dx
Pet primitivnih
funkcija od f(x)=2x-5
c = 0, ±2, ±4
x 2 − 5 x + C je primitivna
funkcija od 2 x − 5
Neautorizovani tekst.
6
Pojam primitivne funkcije
• Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije j(x)
onda je F(x)+C, gde je C proizvoljna
konstanta, takođe primitivna funkcija
funkcije j(x).
Neautorizovani tekst.
7
Pojam primitivne funkcije
Da li imaju još neka primitivna funkcija funkcije j(x)?
Pretpostavimo da F1’(x) = j(x) i F2’ (x) = j(x).
Uočimo funkciju F(x)= F 2(x) - F 1(x)
Tada F’(x) = F2’(x)- F1’(x) = j(x) - j(x) = 0
Pošto je izvod konstante nula, sledi F(x)=C
te sledi F2(x) - F1(x)= C
Neautorizovani tekst.
8
Pojam primitivne funkcije
• Ma koje dve primitivne funkcije koje se
odnose na jednu te istu funkciju j(x)
razlikuju se samo za konstantu
Neautorizovani tekst.
9
Pojam neodređenog integrala
Ako je F’(x) = j(x) , i C je proizvoljna
konstanta (parametar nezavistan od x),
tada se skup svih primitivnih funkcija
F(x)+C funkcije j(x) zove opšta primitivna
funkcija ili neodređeni integral od j(x).
Neautorizovani tekst.
10
Pojam neodređenog integrala
• Primer: j(x)=x2
Neodređeni integral funkcije j(x)
x3
jer je
Φ ( x) + C = + C
3
'
x

2
+
C
=
x


 3

3
x3
+ C obuhvata sve primitivne funkcije
3
od
j(x)=x2
Neautorizovani tekst.
11
Pojam neodređenog integrala
Proces nalaženja primitivne funkcije odnosno
neodređenog integrala
zove se integriranje.
Notacija:
d
[ Φ ( x) + C ] = ϕ ( x)
dx
“Izvod od F(x)+C je
j(x).”
∫ ϕ ( x) dx = Φ( x) + C
“Neodređeni integral
funkcije j(x) je F(x)+C”
Uočavate ove dve naredbe za suprotne procese
Neautorizovani tekst.
12
Pojam neodređenog integrala
• Integralni i diferencijalni račun su međusobno
inverzne operacije.
• Integracija je postupak iznalaženja primitivne
(prvobitne) funkcije na osnovu izvoda ili
diferencijala te funkcije.
• Funkcija j(x) se integrand
• Promjenljiva x se naziva integraciona
promjenljiva.
• Kada integriramo integrand j(x) dobijamo
neodređeni integral F (x)+C
Neautorizovani tekst.
13
Pojam neodređenog integrala
• Funkcije koje imaju isti izvod razlikuju samo za jednu
proizvoljnu konstantu C, tj. ako je F '(x)= j(x), tada je i
[F(x)+C]'= j(x)
• Funkcija F(x)+C je najopšija funkcija koja ima kao izvod
funkciju j(x) ili kao direrencijal j(x)dx
• Konstanta C je neodređena i po njoj se i integral naziva
neodređeni integral.
• Zbog proizvoljnosti, neodređenosti konstante C, skup
primitivnih funkcija funkcije beskonačan.
Neautorizovani tekst.
14
Pojam neodređenog integrala
• Primer:
′ = 3x 2
2
3
3
3
x
dx
x
C
,
jer
je
x
C
=
+
+
(
)
∫
′ = ex
x
x
x
e
dx
=
e
+
C
,
jer
je
e
+
C
(
)
∫
Neautorizovani tekst.
15
Partikularna primitivna funkcija
• Da bi se iz skupa primitivnih funkcija
y= F(x)+C
funkcije j(x) izdvojila jedna određena, dovoljno je
dati početni uslov
y= y0 za x= x0
iz kojeg se zatim određuje konstanta
y0 = F(x0)+C
C = y0 - F(x0 )
Pet primitivnih
a zatim i primitivna funkcija
funkcija od f(x)=2x-5
c = 0, ±2, ±4
y = F(x)+ y0 - F(x0 )
koja se zove partikularna primitivna funkcija
Neautorizovani tekst.
16
Pojam neodređenog integrala
Primer: Za funkciju j(x) = 2x treba odrediti
primitivnu funkciju koja prolazi kroz tačku A(1,2)
Rešenje: ∫ 2xdx = x2 + C , a prema uslovu
zadatka
y0 =2 =F(1)+C= 12 + C
odakle sledi daje C=1. Tada postoji samo jedno
jedino rješenje, a to je primitivna funkcija:
y(x) = x2 +1
Neautorizovani tekst.
17
Osobine neodređenog integrala
• Svaka neprekidna funkcija j(x) na
intervalu (a, b) ima na tom intervalu
primitivnu funkciju F(x)
Neautorizovani tekst.
18
Osobine neodređenog integrala
• Diferencijal neodređenog integrala jednak je
podintegralnom izrazu
∫ ϕ ( x ) dx =Φ ( x ) + C
d  ∫ ϕ ( x ) dx  = d Φ ( x ) + C  = Φ ' ( x ) dx = ϕ ( x ) dx


Operacije d (diferenciranja) i ∫ (integriranja) izvedene u
navedenom redu potiru jedna drugu
( ∫ ϕ ( x ) dx ) = ( Φ( x) ) ' = ϕ ( x )
'
Neautorizovani tekst.
19
Osobine neodređenog integrala
• Neodređeni integral diferencijala neke
funkcije jednak je podintegralnoj funkciji
∫ d ϕ ( x ) = ϕ ( x ) + C
∫ ϕ ' ( x ) dx = ϕ ( x ) + C
Neautorizovani tekst.
20
Osnovna pravila integracije
• ∫ kj(x)dx = k ∫ j(x)dx
k – konstanta, nezavisna od x
• Integral zbira
∫ (j 1(x) + j2(x))dx = ∫ j1 (x)dx + ∫ j2(x)dx
• Integral razlike
∫ (j1(x) - j2(x))dx = ∫ j1 (x)dx - ∫ j2(x)dx
Neautorizovani tekst.
21
Tablica osnovnih integrala
n +1
x
n
x
∫ dx = n + 1 + C , za n ≠ -1.
1
∫ x dx = ln x + C
x
x
e
dx
=
e
+C
∫
x
a
x
a
∫ dx = lna +C , a > 0, a ≠ 1
∫ cos( x)dx = sin( x) + C
∫ sin( x)dx = − cos( x) + C
Neautorizovani tekst.
22
Tablica osnovnih integrala
1
∫ cos2 x dx = tan x + C
∫
1
1− x
2
dx = arcsin x + C
1
∫ 1 + x 2 dx = arctan( x) + C
−1
∫ sin 2 x dx = cot x + C
∫
−1
1− x
2
dx = arccos( x) + C
−1
∫ 1 + x 2 dx = arc cot x + C
Neautorizovani tekst.
23
Tablica osnovnih integrala
*
1
1
x
∫ a 2 + x 2 dx = a arctan  a  + C
*
*
*
1
1
a+x
∫ a 2 − x 2 dx = 2a ln a − x + C ,
1
1
x−a
dx
=
ln
+ C,
∫ x2 − a2
2a x + a
∫
1
x2 ± a2
dx = ln x + x ± a + C
2
2
*
∫
x
dx = arcsin   + C
a
a2 − x2
1
Tablica osnovnih integrala dobija se iz tablice osnovnih izvoda
Integrali obeleženi sa * su polutablični integrali.
Računaju se pomoću osnovne tablice integrala primenom neke od
metoda integracije
Neautorizovani tekst.
24
Neautorizovani tekst.
25

Download Report