close

Enter

Log in using OpenID

1 `Ορια Συναρτήσεων (βασικές έννοιες)

embedDownload
1
'Oria Sunart svewn
(basvikèc
)
ènnoiec
Ας θεωρήσvουμε τον χώρο των πραγματικών σvυναρτήσvεων f : Df → Im (f )
Λέγοντας πως μία σvυνάρτησvη f κοντά σvτο α τείνει σvτο l εννοούμε ότι μπορούμε
να φέρουμε το f (x) κοντά σvτο l απαιτώντας το x να είναι πολύ κοντά σvτο α, χωρίς
να ταυτίζονται. Αυτό φαίνεται καλύτερα σvτο παρακάτω σvχήμα
σvχήμα 1
Παρατηρούμε ότι για τιμές του x που πλησvιάζουν σvτο α οι τρείς πρώτες σvυναρτήσvεις έχουν τιμές που πλησvιάζουν σvτο l, ενώ η τέταρτη και η πέμπτη πλησvιάζουν μόνο από αρισvτερά και η έκτη δεν πλησvιάζουν καθόλου. Μόνο για τις τρεις
πρώτες μπορούμε να πούμε πως έχουν όριο σvτο l. Από αυτές μόνο για την πρώτη
ισvχύει ότι f (α) = l αφού αυτό δεν είναι προϋπόθεσvη για το όριο.
Το κριτήριό μας είναι όσvο το x που πλησvιάζει σvτο α η τιμή της σvυνάρτησvης να
πλησvιάζει σvτο l.
Ορισvμός 1: Η σvυνάρτησvη f σvυγκλίνει σvτο lR αν για κάθε ε > 0 υπάρχει
δ > 0 τέτοιο ώσvτε, για κάθε x , αν 0 < |x − α| < δ, τότε |f (x) − l| < ε
Αν μία σvυνάρτησvη έχει όριο σvε κάποιο σvημείο, αυτό το όριο είναι μοναδικό
΄Οπως έχουμε δει η σvυνάρτησvη δεν είναι απαραίτητο να είναι ορισvμένη σvτο
σvημείο που εξετάζουμε το όριο.
Παράδειγμα 1: η σvυνάρτησvη f (x) = sinx x δεν ορίζεται σvτο 0 αλλά όπως φαίνεται
και σvτη γραφική της παράσvτασvη το όριό της υπάρχει και είναι 1.
1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-6
-4
2
-2
4
6
σvχήμα 2
-0.2
ενώ αν μία σvυνάρτησvη ορίζεται σvε κάποιο σvημείο x0 τότε το όριο lim f (x) δεν
x→x0
είναι απαραίτητο να ισvούται με το f (x0 )
Παράδειγμα 2: η σvυνάρτησvη f (x) =
lim f (x) = −2.
x2 −1
x+1
, x 6= 1 , f (−1) = 0 έχει όριο
x→−1
Για τον υπολογισvμό των ορίων μιας σvυνάρτησvης χρησvιμοποιούμε τις παρακάτω
ιδιότητες που προκύπτουν άμεσvα από τον ορισvμό. Αν θεωρήσvουμε δύο σvυναρτήσvεις
f, g lim f (x) = A, lim g (x) = B τότε ισvχύουν
x→x0
x→x0
1. lim (f (x) + g (x)) = A + B
x→x0
2. lim (kf (x)) = kA , kR
x→x0
3. lim (f (x) g (x)) = AB
x→x0
4. lim
x→x0
f (x)
g(x)
=
A
B
Παράδειγμα 3. Χρησvιμοποιώντας σvυνδυασvτικα τις παραπάνω ιδιότητες μπορούμε
να υπολογίσvουμε τα όρια σvυναρτήσvεων της μορφής
2(x2 +1)
f (x) = x+2 όταν το x τείνει σvτις τιμές 1 ή −1
lim [2(x2 +1)] 2(12 +1)
lim f (x) = x→1
= 43
lim (x+2) = 1+2
x→1
x→1
lim
lim f (x) =
x→−1
[2(x2 +1)]
x→−1
lim (x+2)
x→−1
=
2[(−1)2 +1]
−1+2
=4
Για την ίδια σvυνάρτησvη παρατηρούμε ότι σvτην τιμή x = −2 δεν ορίζεται
ωσvτόσvο για να την μελετήσvουμε θα πρέπει να υπολογίσvουμε το όριό της σvε
αυτό το σvημείο.
2
40
20
-4
2
-2
4
-20
-40
Κοιτώντας την γραφική παράσvτασvη της σvυνάρτησvης βλέπουμε το αρισvτερό
σvκέλος να κατευθύνεται προς το −∞ και το δεξί προς το +∞ καθ’ως πλησvιάζουμε
σvτην τιμή −2. ΄Οταν δεν έχουμε κοινό όριο και από τις δύο πλευρές ενός σvημείου
εξετάζουμε χωρισvτά τα πλευρικά όρια. Στο προηγούμενο παράδειγμα γράφουμε
lim f (x) = −∞ και lim f (x) = ∞
x→2−
x→2+
3α
3β
3γ
Στο παραπάνω σvχήμα βλέπουμε μία σvυνάρτησvη που έχει όριο σvτο x = 2 χωρίς
να ορίζεται καθόλου σvε αυτό το σvημείο (3α), μία δεύτερη σvυνάρτησvη που ορίζεται
σvτο x = 3 αλλά δεν έχει όριο σvε αυτό το σvημείο (3β) και τέλος μία σvυνάρτησvη που
ούτε ορίζεται ούτε έχει όριο σvτο x = 3 γιατί το δεξί της σvκέλος τείνει σvτο +∞
ενώ το αρισvτερό της σvτο −∞.
3
σvχήμα 3
Μία σvυνάρτησvη λέγεται σvυνεχής σvτο σvημείο x0 του πεδίου ορισvμού της
• αν υπάρχει το όριο της σvε αυτό το σvημείο
• και αν ισvχύει lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Αν η σvυνάρτησvη δεν ορίζεται σvε κάποιο σvημείο x0 ή αν το όριό της σvτο σvημείο
αυτό είναι διαφορετικό από την τιμή της τότε λέγεται α-σvυνεχής σvτο x0 .
Μία σvυνάρτησvη σvυνεχής σvε κάθε σvημείο ενός διασvτήματος Δ λέγεται σvυνεχής
σvτο Δ.
Θεμελιώδες Θεώρημα Συνέχειας: Αν μία σvυνάρτησvη f είναι σvυνεχής
σvτο κλεισvτό διάσvτημα [a, b] και οι τιμές της f (a), f (b) είναι ετερόσvημες (δηλαδή
f (a) f (b) < 0) τότε η f έχει τουλάχισvτο μία ρίζα σvτο ανοιχτό διάσvτημα(a, b).
Η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος είναι ότι μία σvυνάρτησvη με ετερόσvημες
τιμές σvτα άκρα ενός διασvτήματος, αν είναι σvυνεχής το γράφημά της θα αρχίζει από
το f (a) και θα καταλήγει σvτο f (b) περνώντας υποχρεωτικά από τον οριζόντιο
άξονα τουλάχισvτο μία φορά.
4
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
633 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content