ωˆ ωˆ φˆ φˆ φˆ

Δίνεηαι οξςγώνιο ηπίγυνο ABC ( με AB  AC ), εγγεγπαμμένο ζε κύκλο c( O , R ) (με
κένηπο ηο ζημείο O και ακηίνα R ). Η πποέκηαζη ηος ύτοςρ AD ηέμνει ηον
πεπιγεγπαμμένο κύκλο ζηο ζημείο E και η μεζοκάθεηορ (  ) ηηρ πλεςπάρ AB ηέμνει ηην
AD ζηο ζημείο L . Η BL ηέμνει ηην AC ζηο ζημείο M και ηο πεπιγεγπαμμένο κύκλο
c( O , R ) ζηο ζημείο N . Σέλορ η EN ηέμνει ηην μεζοκάθεηο (  ) ζηο ζημείο Z .
Αποδείξηε όηι: MZ  BC  CA  CB ή     .
Δηλαδή “η MZ είναι κάθεηη ζηην BC , αν και μόνο αν ηο ηπίγυνο ABC είναι ιζοζκελέρ
( CA  CB ) ή ηο ζημείο Z ηαςηίζεηαι με ηο κένηπο O ηος πεπιγεγπαμμένος κύκλος
c( O , R ) ”.
Λύζη
ˆ B
ˆ  ˆ θαη θαηά
Δθόζνλ ην ζεκείν L αλήθεη ζηε κεζνθάζεην ηνπ AB , ζα ηζρύεη: A
1
1
ζπλέπεηα AN  BE . Άξα ην ηεηξάπιεπξν ABEN είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ( AB // EN ) , νπόηε ε
ˆ  ˆ .
επζεία (  ) είλαη κεζνθάζεηνο ηεο EN θαη Eˆ  N
1
1
΢σήμα 1
Έζησ ηώξα όηη ην ζεκείν Z ηαπηίδεηαη κε ην ζεκείν O (΢σήμα 1).
ˆN  B
ˆ B
ˆ  90 o .
Τόηε ε EN γίλεηαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ, νπόηε EB
2
3
ˆ  90 o  ˆ .
ˆ A
Αλ Cˆ  ˆ ηόηε από ην εγγεγξακκέλν ηεηξάπιεπξν ABEC έρνπκε: B
2
2
ˆ B
ˆ  90 o ) έρνπκε: B
ˆ  ˆ .
Από ηε ηειεπηαία ηζόηεηα (ζε ζπλδπαζκό κε ηελ ηζόηεηα B
2
3
3
Άξα ην M αλήθεη ζηε κεζνθάζεην ηνπ BC ( MB  MC ).
Τν ζεκείν O αλήθεη επίζεο ζηε κεζνθάζεην ηνπ BC θαη επεηδή ηαπηίδεηαη κε ην ζεκείν Z ,
ζπκπεξαίλνπκε όηη ε MZ είλαη κεζνθάζεηνο ηεο BC .
ΒΑΓΓΔΛΗΣ ΧΥΦΑΣ
Αλ ηώξα ην ηξίγσλν ABC είλαη ηζνζθειέο ( CA  CB ), ηόηε ε κεζνθάζεηνο (  ) ηεο AB είλαη
ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ABC (΢σήμα 2). Γειαδή ην L είλαη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ABC θαη
θαηά ζπλέπεηα ην ζεκείν M είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο LN (ε BM είλαη ύςνο θαη ην ζεκείν
N είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ νξζνθέληξνπ L σο πξνο ηελ AC ).
΢σήμα 2
Τν ζεκείν Z είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο EN (δηόηη ε επζεία (  ) είλαη κεζνθάζεηνο ηεο EN ).
Άξα ε MZ είλαη παξάιιειε κε ηελ AD .
Σηε ζπλέρεηα ζα ππνζέζνπκε όηη ε MZ είλαη θάζεηε ζηελ BC θαη ζα απνδείμνπκε όηη ην
ηξίγσλν ABC είλαη ηζνζθειέο ( CA  CB ) ή ην ζεκείν Z ηαπηίδεηαη κε ην θέληξν O ηνπ
πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ (΢σήμα 3).
Έζησ ινηπόλ όηη ε MZ είλαη θάζεηε ζηελ BC . Τόηε ε MZ ζα είλαη παξάιιειε κε ηελ AE
( MZ // AE ).
Αλ T είλαη ε ηνκή ηεο MZ κε ηελ AN ηόηε ην T είλαη ην κέζν AN (δηόηη Z είλαη ην κέζν ηεο
NE θαη MZ // AE ). Άξα ηα ηξίγσλα MTA θαη MTN έρνπλ ην ίδην εκβαδό
( E1  ( MTA )  ( MTN )  E2 ).
Από ηελ παξαιιειία MZ // AE , πξνθύπηεη ε “κεηαθνξά” γσληώλ ζην ηξίγσλν AMN ζην νπνίν
ε MT είλαη δηάκεζνο.
ˆ (δηόηη ε BLˆ D είλαη εμσηεξηθή γσλία ηνπ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ LEN ).
BLˆ D  2
ˆ Z  2
ˆ Z  2ˆ (δηόηη LD // MZ νπόηε BLˆ D  LM
ˆ ).
LM
1
Φξεζηκνπνηώληαο ηώξα ην γλσζηό ηύπν E   A γηα ην εκβαδό ηξηγώλνπ, έρνπκε:
2
1
1
E1  mn ( 90   )  mx ( 90  2 )
2
2
1
1
E2  kn 2  kx
2
2
ΒΑΓΓΔΛΗΣ ΧΥΦΑΣ
΢σήμα 3
Γηαηξώληαο θαηά κέιε ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο, έρνπκε:
   2

  2   4 .
 2
 
Από ηε ηειεπηαία ηζόηεηα εκηηόλσλ (θαη κε δεδνκέλν όηη νη γσλίεο  , είλαη γσλίεο ηξηγώλνπ)
θαηαιήγνπκε ζηηο ηζόηεηεο:
2  4    2
( A ) ή 2    4    2 

( B ).
2
Από ηελ ηζόηεηα ( A ) ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ηξίγσλν MTN είλαη ηζνζθειέο ( TM  TN ) θαη
ˆ N  90o ).
θαηά ζπλέπεηα ην ηξίγσλν AMN είλαη νξζνγώλην ζην M ( AM
Άξα ε BM είλαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ABC θαη επνκέλσο ην L νξζόθεληξν.
Γειαδή ην ηξίγσλν ABC είλαη ηζνζθειέο ( CA  CB ) δηόηη ε κεζνθάζεηνο KZ είλαη θαη ύςνο.
Από ηελ ηζόηεηα ( B ) ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ηξίγσλν MTN είλαη νξζνγώλην ζην T . Γειαδή ε
MT είλαη κεζνθάζεηνο ηεο AN . Άξα ε MT ζα δηέξρεηαη από ην O (νπόηε Z  O ).
ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢Η
Αλ ην ηξίγσλν ABC είλαη ηζνζθειέο κε CA  CB θαη Cˆ  ˆ  45o , ηόηε ηα ηξίγσλα TMN ,
TMA θαη AMN είλαη νξζνγώληα θαη ηζνζθειή. Τν ηεηξάπιεπξν ABCN είλαη ηζνζθειέο
ηξαπέδην. Άξα ε TM είλαη κεζνθάζεηνο ηεο BC .
Σηε πεξίπησζε απηή θαη ην ζεκείν Z ηαπηίδεηαη κε ην ζεκείν O .
ΒΑΓΓΔΛΗΣ ΧΥΦΑΣ
Οπόηε ε δηάδεπμε ησλ πξνηάζεσλ CA  CB ή     είλαη εγθιεηζηηθή.
ΒΑΓΓΔΛΗΣ ΧΥΦΑΣ

Download Report