1.4 – 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Να βρεθεί το lim f ( x) , αν υπάρχει , με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της 1) x x0 συνάρτησης f όταν : i. f ( x)  x και x0  0 ii. iii. 2) x και x0  0 x x 1 και x0  1 f ( x)  x  x2 f ( x)  Να εξετάσετε αν είναι καλώς ορισμένα τα παρακάτω όρια : i. lim x  1 x 2 ii. lim x  2 x 1 iii. lim (ln x) x 1 iv. lim x 7  x 5  1 x 1 3) Αν lim f ( x)  2  8 και lim f ( x)  5  2 , να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του λ για x  x0 x  x0 τις οποίες η συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x 0 . 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ1 : ΜΟΡΦΗ 0 f ( x) , αρχικά θέτω όπου x το x 0 x x0 g ( x ) f ( x) l. Περίπτωση 1η Αν το αποτέλεσμα είναι αριθμός l   τότε το lim x  x0 g ( x ) Για να υπολογίσουμε ένα όριο της μορφής lim 0 , τότε 0 παραγοντοποιώ αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής x  x0 . Περίπτωση 2η Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής Περίπτωση 3η Αν προκύψει  0   0 τότε κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προκύπτει όριο 0 , οπότε και εργάζομαι όπως παραπάνω. 0 Περίπτωση 4η Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (που περιέχει ρίζες) και προκύπτει 0 η απροσδιοριστία , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή 0 παράσταση του όρου (ή των όρων που περιέχει ρίζα) της μορφής ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ :  Κοινός παράγοντας : Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους ή κατά ομάδες.  Ταυτότητες : Συνήθως χρησιμοποιούμε τις Ταυτότητες          2   2  3   3  (   )( 2     2 )  3   3  (   )( 2     2 )  Τριώνυμο : Αν Δ>0 τότε x 2  x     ( x  x1 )( x  x2 ) Αν Δ=0 τότε x 2  x     ( x  x1 ) 2 Αν Δ<0 τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται.  Σχήμα Horner : Δόκιμη κάνω πρώτα με το x 0 1A) ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 0 , τότε παραγοντοποιώ 0 αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής x  x0 . Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4) (Άσκηση 3 σελ. 174 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να λυθούν τα όρια : x 4  16 i. lim 3 x 2 x  8 2 x 2  3x  1 ii. lim x 1 x2 1 1 1 x iii. lim x 1 1 1 2 x ( x  3) 3  27 iv. lim x 0 x Λύση :   0 i. 2 x 2  42 ( x 2  4)( x 2  4) ( x  2)( x  2)( x 2  4) x 4  16 0  lim  lim  lim 3  lim 3 x 2 x  2 3 x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4) x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4) x2 x  8 ( x  2)( x 2  4) 32 8   x 2 ( x 2  2 x  4) 12 3 lim 1 1   2( x  1) x   2 x   2 x  3x  1 2 2 1   lim   lim  lim 2 x 1 x 1 ( x  1)( x  1) x 1 ( x  1) 2 x 1 2 ii. 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 2 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ iii. 1 0 x 1 2 0 x  lim x  lim x ( x  1)  lim x( x  1)  lim x  1 lim x 1 x 1 x ( x 2  1) x 1 x 2  1 x 1 ( x  1)( x  1) x 1 ( x  1) 1 2 1 2 2 x x iv. ( x  3) 3  33 ( x  3  3)[( x  3) 2  3( x  3)  32 ] ( x  3) 3  27 0  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x x x 1 0 lim x 0 x( x 2  6 x  9  3x  9  9) x 2  6 x  9  3x  9  9  lim  27 x 0 x 1 1Β) ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (που περιέχει ρίζες) και προκύπτει η απροσδιοριστία 0 , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του 0 όρου (ή των όρων που περιέχει ρίζα) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5) (Άσκηση 4 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να λυθούν τα όρια : 3 x i. lim x 9 9  x ii. iii. iv. 1 1 x2 x 0 x2 x2 2 lim x 2 x2  5  3 lim lim x 4 Λύση : x 2 x  5x  4 2 0 i. 9 x (3  x )(3  x ) 1 1 3 x 0  lim  lim  lim  lim x 9 x 9 x 9 9  x (9  x)(3  x ) (9  x)(3  x ) x9 3  x 6 ii. 1 1 x2 0 1 1 x2 (1  1  x 2 )(1  1  x 2 ) lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 2 x2 x 2 (1  1  x 2 ) x (1  1  x 2 ) 0  lim x 0 iii. lim x 2  lim x 2 2 11 x2 x 2 (1  1  x 2 ) x2 2 x2  5  3 0 0  lim x 2  lim x 0 x2 x 2 (1  1  x 2 )  lim x 0 1 1 1 x2 ( x  2  2)( x  2  2)( x 2  5  3) ( x 2  5  3)( x 2  5  3)( x  2  2) ( x  2  4)( x 2  5  3) ( x 2  5  9)( x  2  2)  lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ x 2 ( x  2)( x 2  5  3) ( x 2  4)( x  2  2)    lim x 2 www.pitetragono.gr 1 2 ( x  2)( x 2  5  3) ( x  2)( x  2)( x  2  2)  Σελίδα 3 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ  lim x 2 x2  5  3 ( x  2)( x  2  2)  6 3  16 8 0 iv. x4 ( x  2)( x  2) x 2 0  lim  lim 2  lim x 4 x 4 x  5 x  4 ( x  1)( x  4)( x  2) x4 ( x  1)( x  4)( x  2) 1 1  lim  x 4 ( x  1)( x  2) 12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 6) Να λυθούν τα όρια : x 2 i. lim x 2 x2 2 x  81 ii. lim x 9 x 3 x3 iii. lim x 3 1 x  2 x3 iv. lim x  3 x2  7  4 x2  x  2 v. lim x  1 3x  x 2  8 vi. lim x 1 vii. lim x 1 2 x  5  2  2x 3x  7  2 x  2 4x 2  3  2x  3 6x 2  x  1 x2  x3  3 2 x 1 x 1 3 3 x 1  3  x ix. lim υποδ. όταν έχω x 2 x3  4x viii. lim είναι 3 2 f ( x )  3 g ( x ) , τότε η συζυγής παράσταση 3 2 f ( x)  3 f ( x )  3 g ( x )  3 g ( x ) δηλ. (3 f ( x )  3 g ( x ) )  2 2 3 3 (3 f ( x)  3 f ( x)  3 g ( x)  3 g ( x) )  3 f ( x)  3. g ( x)  f ( x)  g ( x) x2  x  2 x. lim 3 x 2 x6 2 x  8  3 9  x 1 υποδ. όταν έχω παράσταση της μορφής  f ( x )   g ( x )   , x 1 x2  1 τότε διασπάμε τον αριθμό λ σε δυο αριθμούς (Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι των τιμών που θα προκύψουν από τις  f (x ) και  g (x ) , αν θέσουμε σ’ αυτές όπου x xi. lim το x 0 ). Στη συνέχεια χωρίζουμε το κλάσμα σε 2, όπου κάθε κλάσμα περιέχει μια ρίζα και ένα αριθμό και τέλος υπολογίζουμε το όριο κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζοντας με την κατάλληλη συζυγή παράσταση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ x2  x  2  3 x2  x  6 x 2 x2 3 x 1 xiii. lim υποδ. όταν έχω στο ίδιο όριο  f ( x ) ,  f ( x ) (δηλ. ριζικά διαφορετικών x 1 x 1 τάξεων με το ίδιο υποριζο) τότε θέτω  f ( x )  y όπου μ είναι το Ε.Κ.Π. των κ,λ. xii. lim x2  1  3 x2  1 xiv. lim x2  1  1 x  2  33 x  2  4 xv. lim 3 x 1 x2 6 x2 x 0 3 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 2A) Το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι ίσα, δηλαδή lim f ( x)  l l   αν και μόνο αν : lim f ( x)  lim f ( x)  l . Αν τα πλευρικά x  x0 x  x0 x  x0  όρια μιας συνάρτησης είναι διαφορετικά, δηλαδή lim f ( x)  lim f ( x) , τότε λέμε ότι δεν x  x0 x  x0  υπάρχει το όριο της f στο x 0 . ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7) (Άσκηση 5 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να βρεθεί (αν υπάρχει), το όριο της f (x) στο x 0 αν : x 2 , x  1 f ( x)   5 x, x  1 i. και x0  1  2 x, x  1 ii. f ( x)   2  x  1, x  1 και x0  1 Λύση : i. lim f ( x)  lim 5 x  5 x 1 x 1 lim f ( x)  lim x 2  1. Άρα lim f ( x)  lim f ( x) και άρα δεν υπάρχει το lim f ( x) x 1 ii. x 1 x 1 x 1 x1 lim f ( x)  lim ( x 2  1)  2 x 1 x 1 lim f ( x)  lim (2 x)  2 . Άρα lim f ( x)  lim f ( x)  2 , άρα υπάρχει το lim f ( x) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 και μάλιστα lim f ( x)  2 x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρείτε αν υπάρχει το lim f ( x) , όταν 8) x x0 i. x 9 ,x 1  f ( x)   x  5 να βρείτε το lim f ( x) x1  x 2  x  2, x  1  ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 5 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ii. iii. iv.  x2  x  6 ,x  3  3 x  9x να βρείτε το lim f ( x) f ( x)   2 x3  x  3x ,0  x  3  x 3  9 x x  2 ,1  x  2  f ( x)   x 2  2 να βρείτε το lim f ( x) x 2  x  1, 2  x  2   x2  x  2 ,x  2   x2 να βρείτε το lim f ( x) f ( x)   x2 x  2  ,x  2   x 1 1 2B) ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9) (Άσκηση 9 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ) 2x   , x  3 Δίνεται συνάρτηση f ( x)   . Να βρείτε τις τιμές των  ,    , για τις οποίες x  3 , x  3 ισχύει lim f ( x)  10 . x 3 Λύση : lim f ( x)  10  lim f ( x)  lim f ( x)  10 x 3 x 3 x 3 Έχω : lim f ( x)  10  lim (x  3 )  10  3  3  10 (1) x 3 x 3 Επίσης : lim f ( x)  10  lim (2x   )  10  6    10 (2) x 3 x 3 3  3  10  (2)  6  6  20  Τις (1) και (2)  με πρόσθεση κατά μέλη έχω : 6    10 6    10 4  5  10    2 και αντικαθιστώντας στην 1η 3  6  10    3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 2 x 2   x   , x  1  10) Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  3x  1,1  x  2 όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Να  x 2  x    2, x  2  βρείτε τα α,β ώστε να υπάρχουν συγχρόνως τα lim f ( x) και lim f ( x) . x1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr x2 Σελίδα 6 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΜΟΡΦΗ 0   0 ΚΑΙ ΠΡΟΣΗΜΟ ΟΡΙΟΥ (ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ) 3Α) Σε αυτή τη μεθοδολογία βρίσκει εφαρμογή το Θεώρημα 1ο σελ.165 που λέει ότι :  Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 κοντά στο x 0 x  x0  Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 κοντά στο x 0 x  x0 0 Έστω ότι το lim f ( x) οδηγεί ο σε μορφή   και περιέχει όρους της μορφής g (x) . x x0 0  Αν το lim g ( x ) είναι θετικό ή αρνητικό, τότε θεωρούμε αντίστοιχα g(x)>0 ή g(x)<0 x x0 κοντά στο x 0 και απαλλασσόμαστε από την παρουσία των απολύτων.  Αν lim g ( x ) =0, τότε με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων βρίσκουμε το πρόσημο της x x0 g(x) και εργαζόμαστε με πλευρικά όρια. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 11) Να υπολογιστούν τα όρια : 2 x 1  3 x  5  2 i. lim x 3 x 1  5  x x4 ii. lim x 4 x  4 1 1 x 2  3x  2  x  1 iii. lim x2  x  x 1 x 1 Λύση : 2 x 1  3 x  5  2 Έχω : x 1  5  x lim ( x  1)  2  0 άρα το x  1  0 όταν το x  3 i. lim x 3 x 3 lim ( x  5)  2  0 άρα το x  5  0 όταν το x  3 x 3 Άρα : lim x 3  lim x 3 2 x 1  3 x  5  2  lim 2( x  1)  3( x  5)  2 x 1  5  x (5 x  15)( x  1  5  x ) x 3 ( x  1  5  x )( x  1  5  x ) x 1  5  x  lim x 3  lim x 3 2 x  2  3x  15  2 x 1  5  x  5( x  3)( x  1  5  x )  x 1 5  x 5( x  3)( x  1  5  x ) 5( x  3)( x  1  5  x ) 5( x  1  5  x )  lim 5 2  lim x 3 x 3 x 3 2x  6 2 2( x  3)  lim ii. lim x 4 x4 x  4 1 1 Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ lim ( x  4)  0 άρα : x 4 x x4 - - 4 0 +  Αν x  4  0  x  4 δηλ. όταν x  4  τότε : ( x  4)( x  3  1) x4 ( x  4)( x  3  1)  lim lim  lim 2 x  4 x  4 x 4  x4 ( x  3  1)( x  3  1) x  4 1 1  Αν x  4  0  x  4 δηλ. όταν x  4  τότε : (4  x)( 5  x  1) 4 x  ( x  4)  lim  lim  lim x 4  ( x  4)  1  1 x4 4  x  1  1 x4 ( 5  x  1)( 5  x  1) (4  x)( 5  x  1)  2 . Άρα αφού τα πλευρικά όρια είναι ισα x 4 4 x x4 2 τότε : lim x 4 x  4 1 1  lim iii. lim x 2  3x  2  x  1 x2  x  x 1 x 1 Έχω : lim ( x 2  3x  2)  0 , lim ( x 2  x)  0 x 1 x 1 Έχω x  3x  2  0  x  1, ή, x  2 επίσης x 2  x  0  x  0, ή, x  1 0 x - 1 2 2 0 0 x  3x  2 + + 2 x x 2 + - 0 1 + + + +  Αν x  1 δηλ. όταν x  1 τότε : x 2  3x  2  x  1  x 2  3x  2  x  1  x 2  4x  3 lim  lim  lim  x 1 x 1 x 1 x2  x  x 1 x2 1 x2  x  x 1  ( x  1)( x  3) 1 x 1 ( x  1)( x  1)  Αν x  1 δηλ. όταν x  1 τότε : x 2  3x  2  x  1 x 2  3x  2  x  1 x 2  2x  1 lim  lim  lim  x 1 x 1  ( x 2  x)  x  1 x 1  x 2  x  x  1 x2  x  x 1  lim lim x 1 ( x  1) 2 x 2  2x  1  lim  1  x 2  2 x  1 x1  ( x  1) 2 Άρα αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα τότε δεν υπάρχει το lim x 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr x 2  3x  2  x  1 x2  x  x 1 Σελίδα 8 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 12) Να υπολογιστούν τα όρια : x  2  x2  4 i. lim x 2 x 5 3 ii. lim x 3 iii. lim x  3  2x  6 x2  9 x2  9  x  3 x 3 x2 5 3Β) Στην κατηγορία ασκήσεων που θα δούμε, βρίσκει εφαρμογή το Θεώρημα 2ο σελ. 166 που λέει ότι :  Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x 0 και ισχύει f ( x)  g ( x) κοντά στο x 0 , τότε lim f ( x )  lim g ( x) . (Σχόλιο : το παραπάνω Θεώρημα ισχύει και όταν f ( x  g ( x) ) x x0 x x0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 13) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει xf ( x)  3 f ( x)  x 2  x  6 για κάθε x   και το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x) . x 3 x 3 Λύση : Το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός άρα : x1 lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  l   x 3 x 3 x 3 Για κάθε x   ισχύει : xf ( x)  3 f ( x)  x 2  x  6  f ( x)( x  3)  x 2  x  6  Αν x  3  0  x  3 τότε f ( x)( x  3)  x 2  x  6  f ( x)  x2  x  6 x3 x2  x  6 ( x  2)( x  3)  l  lim Άρα lim f ( x)  lim  l  5 (1) x 3 x 3 x   3 x3 x3 x2  x  6  Αν x  3  0  x  3 τότε f ( x)( x  3)  x 2  x  6  f ( x)  x3 2 x  x6 ( x  2)( x  3)  l  lim Άρα lim f ( x)  lim  l  5 (2) x 3 x 3 x 3 x3 x3 Από (1) και (2) προκύπτει ότι l  5  lim f ( x)  5 x 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 14) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει xf ( x)  2 f ( x)  x 2  5x  6 για κάθε x   και το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x) . x2 x2 15) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει : xf ( x)  f ( x)  x 2  2 x  3 , για κάθε x   και το lim f ( x ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x ) . x1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ x1 www.pitetragono.gr Σελίδα 9 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4Α) Όταν γνωρίζουμε το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση f (x ) και θέλουμε να βρούμε το lim f ( x ) , τότε εργαζόμαστε ως εξής : θέτουμε με g (x ) την x x0 παράσταση του ορίου που γνωρίζουμε, λύνουμε ως προς f (x ) και υπολογίζουμε το lim f ( x ) . x x0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 16) (Άσκηση 4 σελ. 176 σχολικό βιβλίο Β΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να βρείτε το lim f ( x) , αν : x1 i. lim 4 f ( x)  2  4 x   10 x 1 ii. lim x 1 f ( x) 1 x 1 Λύση : i. Έστω 4 f ( x)  2  4 x  g ( x) , άρα lim g ( x)  10 x 1 ii. Θα λύσω ως προς f (x) : 4 f ( x)  2  4 x  g ( x)  4 f ( x)  g ( x)  4 x  2  g ( x)  4 x  2 g ( x)  4 x  2  10  4  2 , άρα lim f ( x)  lim f ( x)    2 x 1 x 1 4 4 4 f ( x) Έστω  h( x) , άρα lim h( x)  1 x 1 x 1 x 1 f ( x) Θα λύσω ως προς f (x) :  h( x)  f ( x)  ( x  1)h( x) x 1 Άρα lim f ( x)  lim( x  1)h( x)  (1  1)  1  0 x 1 x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 17) Αν για τη συνάρτηση f :    είναι lim x 1 (1  x) f ( x)  x 2  1 1 x  10 , να βρεθεί το lim f ( x). x1 4Β) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ax 2   4 18) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε lim x 1 x 1 x 2  x   3 x 2 x2  2x 19) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 10 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Σε περιπτώσεις που η εύρεση του lim f ( x) δεν ανάγεται σε καμία από τις προηγούμενες x x0 περιπτώσεις (π,χ, δεν γνωρίζουμε τον τύπο της ή έχουμε ανισωτικές σχέσεις) τότε χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής. Ιδιαίτερα η ύπαρξη διπλής ανισότητας της μορφής ( x)  ( x)  ( x) είναι χαρακτηριστική για εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής. Επίσης η ανισότητα της μορφής : ( x )  ( x )  ( x)  ( x)  ( x) γράφεται : οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε κριτήριο παρεμβολής ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 20) Να βρεθεί το όριο lim f ( x) στις παρακάτω περιπτώσεις : x x0 i. 4 x  6 x  2  f ( x)  3  5 x 2  2 x  2 , x 0  2 ii. 2 x 3  8x  ( x  2) f ( x)  3x 3  6 x 2  4 x  8 , x0  2 2 Λύση : i. 4 x 2  6 x  2  f ( x)  3  5 x 2  2 x  2  4 x 2  6 x  1  f ( x )  5 x 2  2 x  5 Είναι : lim (4 x 2  6 x  1)  29 και lim (5x 2  2 x  5)  29 x 2 x 2 Άρα από κριτήριο παρεμβολής (κ.π.) lim f ( x)  29 x 2 ii. 2 x  8x  ( x  2) f ( x)  3x  6 x  4 x  8 Για να απομονώσω στη μέση την f (x) και να εφαρμόσω κ.π., πρέπει να διαιρέσω κάθε μέλος με το x  2 . Διακρίνω περιπτώσεις :  Αν x  2  0  x  2 δηλ. όταν x  2  τότε : 2 x 3  8x 3x 3  6 x 2  4 x  8 3 3 2 2 x  8 x  ( x  2) f ( x)  3x  6 x  4 x  8   f ( x)  x2 x2 3 2 2 x  8x 2 x( x  4) 2 x( x  2)( x  2) lim  lim  lim  16 x 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 3x 3  6 x 2  4 x  8 ( x  2)(3x 2  4) lim  lim  16 Άρα από κ.π. lim f ( x)  16 (1) x 2 x 2 x 2 x2 x2   Αν x  2  0  x  2 δηλ. όταν x  2 τότε : 2 x 3  8x 3x 3  6 x 2  4 x  8 2 x 3  8 x  ( x  2) f ( x)  3x 3  6 x 2  4 x  8   f ( x)   x2 x2 3x 3  6 x 2  4 x  8 2 x 3  8x   f ( x)  x2 x2 3 2 3x  6 x  4 x  8 ( x  2)(3x 2  4) lim  lim  16 x 2 x 2 x2 x2 2 x 3  8x 2 x( x 2  4) 2 x( x  2)( x  2) lim  lim  lim  16 x 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 Άρα από κ.π. lim f ( x)  16 (2). Από (1) και (2) lim f ( x)  16 . 3 3 x 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 2 x 2 www.pitetragono.gr Σελίδα 11 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ – ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6Α (ΒΑΣΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ) Για την εύρεση τριγωνομετρικών ορίων χρησιμοποιούμε τα εξής βασικά όρια :  ( x) x x  lim 1  1 και lim  1(  0) ή ακόμα lim x 0 x x 0 x  ( x ) 0  ( x )  ( x)  1  x  1  x  1  lim 0  0 και lim  0 (  0) ή ακόμα lim x 0 x 0  ( x ) 0 x x  ( x) Η τεχνική εύρεσης είναι ίδια με αυτή που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη ενότητα. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 21) (Άσκηση 6 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να βρείτε τα όρια  4 x  3x  x  x  x  i. lim ii. lim iii. lim iv. lim   x 0 x  0 x  0 x  0 x x  2 x  x  Λύση : i. lim  3x x 0 x 0  lim 3 x 0 x 3 lim 0 0  3x u 3 x 3x  3x x 0 3x  3 lim u 0  3 lim u u  3x 3x  5 x  x  v. lim  3 vi. lim  x 0 x 0 x  x 5x  4  2   θέτω u  3x , όταν x  0 τότε u  0 άρα  3 1  3 x  x x x 1 1 ii. lim  lim  x  lim  lim   1  1 x 0 x x  0 x  0 x 0 x x x x  x 1  4 x  4 x 0 4x 0  4 x  4 x 1  4 x 4x  1   lim iii. lim  lim   lim  4 x  lim x 0 x 0  2 x   4 x x 0  2 x  4 x x 0  2 x x 0  2 x  2 x  4 x 2x 2x  4 x  4 x * 4x 1 1 1 1  lim 4 x    2 lim 4 x   2   2 x  0 x  0  2 x  4 x  2 x  4 x 2x 1 1 2x 2x  4 x u 4 x u * θέτω u  4 x , όταν x  0 τότε u  0 άρα lim  lim 1 0 0 x 0 u 0 u 4x v  2 x  2 x v θέτω v  2 x , όταν x  0 τότε v  0 άρα lim  lim 1 x 0 2 x v 0 v 0  x  x  0  x  iv. lim    lim 1    11  0 x 0 x   x  x 0  0  x  x 1 1    lim v. lim  3  2  1  1   lim x 0  x ( x 2  1)  x 0 x x 0 x  x 1 x 1      x  0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 12 ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ vi. lim x 0 lim x 0  5 x 5x  4  2 0 0  lim x 0  5 x( 5 x  4  2) ( 5 x  4  2)( 5 x  4  2)  5 x( 5 x  4  2)  lim  5 x x 0 5x 5x  lim  5 x( 5 x  4  2) 5x  4  4 x 0  *  ( 5 x  4  2) 1  4  2  4 * θέτω u  5x , όταν x  0 τότε u  0 άρα lim x 0  5 x u 5 x 5x  lim u u 0 u 1 6Β (ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ) Αν lim f ( x) =0 και για τη συνάρτηση g ισχύει ότι   g (x)   τότε lim  f ( x) g ( x)  =0 x 0 x x0 Η απόδειξη προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής. Πράγματι, είναι :   f ( x)  f ( x) g ( x)   f (x) Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. Συμπέρασμα : (μηδενική συνάρτηση)x(φραγμένη συνάρτηση)=μηδενική συνάρτηση Χαρακτηριστικό της περίπτωσης «μηδενική επί φραγμένη» είναι η ύπαρξη στο όριο : ( 1 1 1 1 με lim g ( x )  0 ) ,   ,  και γενικά  x  x0 x x g ( x) g ( x) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 22) Να υπολογίσετε τα όρια : 1 3    i. lim  x  ii. lim  ( x 3  2 x) 2  x 0 x 0 x x    Λύση : 1  i. lim  x  x 0 x  x a   a xa 1 1 1 1 Έχω x  x    x , άρα x  x  x  x  x x x x x 1  Εφαρμόζω κ.π. και lim  x   0 , lim x  0 άρα από κ.π. lim  x   0 x 0 x 0 x 0 x  3   ii. lim  ( x 3  2 x) 2  x 0 x   3 Παρατηρώ ότι lim x 3  2 x  0 (μηδενική) και  1   2  1 (φραγμένη) x 0 x Άρα έχω όριο της μορφής «μηδενική επί φραγμένη» 3 3 ( x 3  2 x) 2  x 3  2 x   2  x 3  2 x , άρα x x 3 3 ( x 3  2 x) 2  x 3  2 x   x 3  2 x  ( x 3  2 x) 2  x 3  2 x x x     Εφαρμόζω κ.π. και lim  x 3  2 x  0 , lim x 3  2 x  0 x 0 3  άρα από κ.π. lim ( x 3  2 x) 2 x 0 x  ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ x 0  0  www.pitetragono.gr Σελίδα 13