close

Enter

Log in using OpenID

1.4 – 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ℜ ∈ x

embedDownload
1.4 – 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   –
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
Να βρεθεί το lim f ( x) , αν υπάρχει , με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της
1)
x x0
συνάρτησης f όταν :
i. f ( x)  x και x0  0
ii.
iii.
2)
x
και x0  0
x
x 1
και x0  1
f ( x) 
x  x2
f ( x) 
Να εξετάσετε αν είναι καλώς ορισμένα τα παρακάτω όρια :
i. lim x  1
x 2
ii. lim x  2
x 1
iii. lim (ln x)
x 1
iv. lim x 7  x 5  1
x 1
3)
Αν lim f ( x)  2  8 και lim f ( x)  5  2 , να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του λ για
x  x0
x  x0
τις οποίες η συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x 0 .
0
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ1 : ΜΟΡΦΗ
0
f ( x)
, αρχικά θέτω όπου x το x 0
x x0 g ( x )
f ( x)
l.
Περίπτωση 1η Αν το αποτέλεσμα είναι αριθμός l   τότε το lim
x  x0 g ( x )
Για να υπολογίσουμε ένα όριο της μορφής lim
0
, τότε
0
παραγοντοποιώ αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της
μορφής x  x0 .
Περίπτωση 2η Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής
Περίπτωση 3η Αν προκύψει

0


0
τότε κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προκύπτει όριο
0
, οπότε και εργάζομαι όπως παραπάνω.
0
Περίπτωση 4η Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (που περιέχει ρίζες) και προκύπτει
0
η απροσδιοριστία , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή
0
παράσταση του όρου (ή των όρων που περιέχει ρίζα)
της μορφής
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
Σελίδα 1
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ :
 Κοινός παράγοντας : Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους ή κατά
ομάδες.
 Ταυτότητες : Συνήθως χρησιμοποιούμε τις Ταυτότητες
         2   2
 3   3  (   )( 2     2 )
 3   3  (   )( 2     2 )
 Τριώνυμο :
Αν Δ>0 τότε x 2  x     ( x  x1 )( x  x2 )
Αν Δ=0 τότε x 2  x     ( x  x1 ) 2
Αν Δ<0 τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται.
 Σχήμα Horner : Δόκιμη κάνω πρώτα με το x 0
1A) ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
0
, τότε παραγοντοποιώ
0
αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής x  x0 .
Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
4) (Άσκηση 3 σελ. 174 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)
Να λυθούν τα όρια :
x 4  16
i.
lim 3
x 2 x  8
2 x 2  3x  1
ii. lim
x 1
x2 1
1
1
x
iii. lim
x 1
1
1 2
x
( x  3) 3  27
iv. lim
x 0
x
Λύση :
 
0
i.
2
x 2  42
( x 2  4)( x 2  4)
( x  2)( x  2)( x 2  4)
x 4  16 0

lim

lim

lim 3
 lim 3
x 2 x  2 3
x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)
x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)
x2 x  8
( x  2)( x 2  4) 32 8


x 2 ( x 2  2 x  4)
12 3
lim
1
1


2( x  1) x  
2 x  
2 x  3x  1
2
2 1

 lim 

lim
 lim
2
x 1
x 1 ( x  1)( x  1)
x 1 ( x  1)
2
x 1
2
ii.
0
0
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 2
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
iii.
1 0
x 1
2
0
x  lim x  lim x ( x  1)  lim x( x  1)  lim x  1
lim
x 1
x 1 x ( x 2  1)
x 1 x 2  1
x 1 ( x  1)( x  1)
x 1 ( x  1)
1
2
1 2
2
x
x
iv.
( x  3) 3  33
( x  3  3)[( x  3) 2  3( x  3)  32 ]
( x  3) 3  27 0
 lim

lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x
1
0
lim
x 0
x( x 2  6 x  9  3x  9  9)
x 2  6 x  9  3x  9  9
 lim
 27
x 0
x
1
1Β) ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (που περιέχει ρίζες) και προκύπτει η απροσδιοριστία
0
, τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του
0
όρου (ή των όρων που περιέχει ρίζα)
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
5) (Άσκηση 4 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)
Να λυθούν τα όρια :
3 x
i.
lim
x 9 9  x
ii.
iii.
iv.
1 1 x2
x 0
x2
x2 2
lim
x 2
x2  5  3
lim
lim
x 4
Λύση :
x 2
x  5x  4
2
0
i.
9 x
(3  x )(3  x )
1
1
3 x 0
 lim
 lim

lim
 lim
x 9
x 9
x 9 9  x
(9  x)(3  x )
(9  x)(3  x ) x9 3  x 6
ii.
1 1 x2 0
1 1 x2
(1  1  x 2 )(1  1  x 2 )
lim

lim

lim

x 0
x 0
x 0 2
x2
x 2 (1  1  x 2 )
x (1  1  x 2 )
0
 lim
x 0
iii.
lim
x 2
 lim
x 2
2
11 x2
x 2 (1  1  x 2 )
x2 2
x2  5  3
0
0
 lim
x 2
 lim
x 0
x2
x 2 (1  1  x 2 )
 lim
x 0
1
1 1 x2
( x  2  2)( x  2  2)( x 2  5  3)
( x 2  5  3)( x 2  5  3)( x  2  2)
( x  2  4)( x 2  5  3)
( x 2  5  9)( x  2  2)
 lim
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
x 2
( x  2)( x 2  5  3)
( x 2  4)( x  2  2)


 lim
x 2
www.pitetragono.gr
1
2
( x  2)( x 2  5  3)
( x  2)( x  2)( x  2  2)

Σελίδα 3
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
 lim
x 2
x2  5  3
( x  2)( x  2  2)

6 3

16 8
0
iv.
x4
( x  2)( x  2)
x 2 0
 lim

lim 2
 lim
x 4
x 4 x  5 x  4
( x  1)( x  4)( x  2) x4 ( x  1)( x  4)( x  2)
1
1
 lim

x 4
( x  1)( x  2) 12
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
6) Να λυθούν τα όρια :
x 2
i. lim
x 2
x2
2
x  81
ii. lim
x 9
x 3
x3
iii. lim
x 3
1 x  2
x3
iv. lim
x  3
x2  7  4
x2  x  2
v. lim
x  1
3x  x 2  8
vi. lim
x 1
vii. lim
x
1
2
x  5  2  2x
3x  7  2 x  2
4x 2  3  2x  3
6x 2  x  1
x2  x3  3 2
x 1
x 1
3
3
x 1  3  x
ix. lim
υποδ. όταν έχω
x 2
x3  4x
viii. lim
είναι
3
2
f ( x )  3 g ( x ) , τότε η συζυγής παράσταση
3
2
f ( x)  3 f ( x )  3 g ( x )  3 g ( x ) δηλ. (3 f ( x )  3 g ( x ) ) 
2
2
3
3
(3 f ( x)  3 f ( x)  3 g ( x)  3 g ( x) )  3 f ( x)  3. g ( x)  f ( x)  g ( x)
x2  x  2
x. lim 3
x 2
x6 2
x  8  3 9  x 1
υποδ. όταν έχω παράσταση της μορφής  f ( x )   g ( x )   ,
x 1
x2  1
τότε διασπάμε τον αριθμό λ σε δυο αριθμούς (Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι των
τιμών που θα προκύψουν από τις  f (x ) και  g (x ) , αν θέσουμε σ’ αυτές όπου x
xi. lim
το x 0 ). Στη συνέχεια χωρίζουμε το κλάσμα σε 2, όπου κάθε κλάσμα περιέχει μια
ρίζα και ένα αριθμό και τέλος υπολογίζουμε το όριο κάθε κλάσματος
πολλαπλασιάζοντας με την κατάλληλη συζυγή παράσταση.
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 4
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
x2  x  2  3 x2  x  6
x 2
x2
3
x 1
xiii. lim
υποδ. όταν έχω στο ίδιο όριο  f ( x ) ,  f ( x ) (δηλ. ριζικά διαφορετικών
x 1
x 1
τάξεων με το ίδιο υποριζο) τότε θέτω  f ( x )  y όπου μ είναι το Ε.Κ.Π. των κ,λ.
xii. lim
x2  1  3 x2  1
xiv. lim
x2  1  1
x  2  33 x  2  4
xv. lim 3
x 1
x2 6 x2
x 0
3
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
2A) Το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι
ίσα, δηλαδή lim f ( x)  l l   αν και μόνο αν : lim f ( x)  lim f ( x)  l . Αν τα πλευρικά
x  x0
x  x0
x  x0 
όρια μιας συνάρτησης είναι διαφορετικά, δηλαδή lim f ( x)  lim f ( x) , τότε λέμε ότι δεν
x  x0
x  x0 
υπάρχει το όριο της f στο x 0 .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
7) (Άσκηση 5 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)
Να βρεθεί (αν υπάρχει), το όριο της f (x) στο x 0 αν :
x 2 , x  1
f ( x)  
5 x, x  1
i.
και x0  1
 2 x, x  1
ii. f ( x)   2
 x  1, x  1
και x0  1
Λύση :
i.
lim f ( x)  lim 5 x  5
x 1
x 1
lim f ( x)  lim x 2  1. Άρα lim f ( x)  lim f ( x) και άρα δεν υπάρχει το lim f ( x)
x 1
ii.
x 1
x 1
x 1
x1
lim f ( x)  lim ( x 2  1)  2
x 1
x 1
lim f ( x)  lim (2 x)  2 . Άρα lim f ( x)  lim f ( x)  2 , άρα υπάρχει το lim f ( x)
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
και μάλιστα lim f ( x)  2
x 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
Να βρείτε αν υπάρχει το lim f ( x) , όταν
8)
x x0
i.
x 9
,x 1

f ( x)   x  5
να βρείτε το lim f ( x)
x1
 x 2  x  2, x  1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 5
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ii.
iii.
iv.
 x2  x  6
,x  3
 3
x  9x
να βρείτε το lim f ( x)
f ( x)   2
x3
 x  3x ,0  x  3
 x 3  9 x
x  2
,1  x  2

f ( x)   x 2  2
να βρείτε το lim f ( x)
x 2
 x  1, 2  x  2

 x2  x  2
,x  2

 x2
να βρείτε το lim f ( x)
f ( x)  
x2
x

2

,x  2

 x 1 1
2B) ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
9) (Άσκηση 9 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)
2x   , x  3
Δίνεται συνάρτηση f ( x)  
. Να βρείτε τις τιμές των  ,    , για τις οποίες
x  3 , x  3
ισχύει lim f ( x)  10 .
x 3
Λύση :
lim f ( x)  10  lim f ( x)  lim f ( x)  10
x 3
x 3
x 3
Έχω : lim f ( x)  10  lim (x  3 )  10  3  3  10 (1)
x 3
x 3
Επίσης : lim f ( x)  10  lim (2x   )  10  6    10 (2)
x 3
x 3
3  3  10  (2)
 6  6  20

Τις (1) και (2) 
με πρόσθεση κατά μέλη έχω :
6    10
6    10
4
 5  10    2 και αντικαθιστώντας στην 1η 3  6  10   
3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
2 x 2   x   , x  1

10) Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  3x  1,1  x  2
όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Να
 x 2  x    2, x  2

βρείτε τα α,β ώστε να υπάρχουν συγχρόνως τα lim f ( x) και lim f ( x) .
x1
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
x2
Σελίδα 6
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΜΟΡΦΗ
0
 
0
ΚΑΙ ΠΡΟΣΗΜΟ ΟΡΙΟΥ (ΟΡΙΑ
ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ)
3Α) Σε αυτή τη μεθοδολογία βρίσκει εφαρμογή το Θεώρημα 1ο σελ.165 που λέει ότι :
 Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 κοντά στο x 0
x  x0

Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 κοντά στο x 0
x  x0
0
Έστω ότι το lim f ( x) οδηγεί ο σε μορφή   και περιέχει όρους της μορφής g (x) .
x x0
0
 Αν το lim g ( x ) είναι θετικό ή αρνητικό, τότε θεωρούμε αντίστοιχα g(x)>0 ή g(x)<0
x x0
κοντά στο x 0 και απαλλασσόμαστε από την παρουσία των απολύτων.
 Αν lim g ( x ) =0, τότε με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων βρίσκουμε το πρόσημο της
x x0
g(x) και εργαζόμαστε με πλευρικά όρια.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
11) Να υπολογιστούν τα όρια :
2 x 1  3 x  5  2
i. lim
x 3
x 1  5  x
x4
ii. lim
x 4
x  4 1 1
x 2  3x  2  x  1
iii. lim
x2  x  x 1
x 1
Λύση :
2 x 1  3 x  5  2
Έχω :
x 1  5  x
lim ( x  1)  2  0 άρα το x  1  0 όταν το x  3
i. lim
x 3
x 3
lim ( x  5)  2  0 άρα το x  5  0 όταν το x  3
x 3
Άρα : lim
x 3
 lim
x 3
2 x 1  3 x  5  2
 lim
2( x  1)  3( x  5)  2
x 1  5  x
(5 x  15)( x  1  5  x )
x 3
( x  1  5  x )( x  1  5  x )
x 1  5  x
 lim
x 3
 lim
x 3
2 x  2  3x  15  2
x 1  5  x

5( x  3)( x  1  5  x )

x 1 5  x
5( x  3)( x  1  5  x )
5( x  3)( x  1  5  x )
5( x  1  5  x )
 lim
5 2
 lim
x 3
x 3
x 3
2x  6
2
2( x  3)
 lim
ii. lim
x 4
x4
x  4 1 1
Έχω :
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 7
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
lim ( x  4)  0 άρα :
x 4
x
x4
-
-
4
0
+
 Αν x  4  0  x  4 δηλ. όταν x  4  τότε :
( x  4)( x  3  1)
x4
( x  4)( x  3  1)
 lim
lim
 lim
2
x

4
x

4
x 4 
x4
( x  3  1)( x  3  1)
x  4 1 1
 Αν x  4  0  x  4 δηλ. όταν x  4  τότε :
(4  x)( 5  x  1)
4 x
 ( x  4)

lim
 lim
 lim
x 4
 ( x  4)  1  1 x4 4  x  1  1 x4 ( 5  x  1)( 5  x  1)
(4  x)( 5  x  1)
 2 . Άρα αφού τα πλευρικά όρια είναι ισα
x 4
4 x
x4
2
τότε : lim
x 4
x  4 1 1
 lim
iii. lim
x 2  3x  2  x  1
x2  x  x 1
x 1
Έχω :
lim ( x 2  3x  2)  0 , lim ( x 2  x)  0
x 1
x 1
Έχω x  3x  2  0  x  1, ή, x  2 επίσης x 2  x  0  x  0, ή, x  1
0
x
-
1
2
2
0
0
x  3x  2
+
+
2
x x
2
+
-
0
1
+
+
+
+
 Αν x  1 δηλ. όταν x  1 τότε :
x 2  3x  2  x  1
 x 2  3x  2  x  1
 x 2  4x  3
lim

lim

lim

x 1
x 1
x 1
x2  x  x 1
x2 1
x2  x  x 1
 ( x  1)( x  3)
1
x 1
( x  1)( x  1)
 Αν x  1 δηλ. όταν x  1 τότε :
x 2  3x  2  x  1
x 2  3x  2  x  1
x 2  2x  1
lim

lim

lim

x 1
x 1  ( x 2  x)  x  1
x 1  x 2  x  x  1
x2  x  x 1
 lim
lim
x 1
( x  1) 2
x 2  2x  1

lim
 1
 x 2  2 x  1 x1  ( x  1) 2
Άρα αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα τότε δεν υπάρχει το lim
x 1
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
x 2  3x  2  x  1
x2  x  x 1
Σελίδα 8
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
12) Να υπολογιστούν τα όρια :
x  2  x2  4
i. lim
x 2
x 5 3
ii. lim
x 3
iii. lim
x  3  2x  6
x2  9
x2  9  x  3
x 3
x2 5
3Β) Στην κατηγορία ασκήσεων που θα δούμε, βρίσκει εφαρμογή το Θεώρημα 2ο σελ. 166
που λέει ότι :
 Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x 0 και ισχύει f ( x)  g ( x) κοντά στο x 0 , τότε
lim f ( x )  lim g ( x) . (Σχόλιο : το παραπάνω Θεώρημα ισχύει και όταν f ( x  g ( x) )
x x0
x x0
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
13) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει xf ( x)  3 f ( x)  x 2  x  6 για κάθε x   και
το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x) .
x 3
x 3
Λύση :
Το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός άρα :
x1
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  l  
x 3
x 3
x 3
Για κάθε x   ισχύει : xf ( x)  3 f ( x)  x 2  x  6  f ( x)( x  3)  x 2  x  6
 Αν x  3  0  x  3 τότε f ( x)( x  3)  x 2  x  6  f ( x) 
x2  x  6
x3
x2  x  6
( x  2)( x  3)
 l  lim
Άρα lim f ( x)  lim
 l  5 (1)
x 3
x 3
x


3
x3
x3
x2  x  6
 Αν x  3  0  x  3 τότε f ( x)( x  3)  x 2  x  6  f ( x) 
x3
2
x  x6
( x  2)( x  3)
 l  lim
Άρα lim f ( x)  lim
 l  5 (2)
x 3
x 3
x 3
x3
x3
Από (1) και (2) προκύπτει ότι l  5  lim f ( x)  5
x 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
14) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει xf ( x)  2 f ( x)  x 2  5x  6 για κάθε x   και
το lim f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x) .
x2
x2
15) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει : xf ( x)  f ( x)  x 2  2 x  3 , για κάθε x   και
το lim f ( x ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim f ( x ) .
x1
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
x1
www.pitetragono.gr
Σελίδα 9
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΩΝ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
4Α) Όταν γνωρίζουμε το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση f (x ) και
θέλουμε να βρούμε το lim f ( x ) , τότε εργαζόμαστε ως εξής : θέτουμε με g (x ) την
x x0
παράσταση του ορίου που γνωρίζουμε, λύνουμε ως προς f (x ) και υπολογίζουμε το
lim f ( x ) .
x x0
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
16)
(Άσκηση 4 σελ. 176 σχολικό βιβλίο Β΄ ΟΜΑΔΑΣ)
Να βρείτε το lim f ( x) , αν :
x1
i. lim 4 f ( x)  2  4 x   10
x 1
ii. lim
x 1
f ( x)
1
x 1
Λύση :
i.
Έστω 4 f ( x)  2  4 x  g ( x) , άρα lim g ( x)  10
x 1
ii.
Θα λύσω ως προς f (x) : 4 f ( x)  2  4 x  g ( x)  4 f ( x)  g ( x)  4 x  2 
g ( x)  4 x  2
g ( x)  4 x  2  10  4  2
, άρα lim f ( x)  lim
f ( x) 

 2
x 1
x 1
4
4
4
f ( x)
Έστω
 h( x) , άρα lim h( x)  1
x 1
x 1
x 1
f ( x)
Θα λύσω ως προς f (x) :
 h( x)  f ( x)  ( x  1)h( x)
x 1
Άρα lim f ( x)  lim( x  1)h( x)  (1  1)  1  0
x 1
x 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
17) Αν για τη συνάρτηση f :    είναι lim
x 1
(1  x) f ( x)  x 2  1
1 x
 10 , να βρεθεί το lim f ( x).
x1
4Β) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:
ax 2  
4
18) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε lim
x 1
x 1
x 2  x  
3
x 2
x2  2x
19) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε lim
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 10
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
Σε περιπτώσεις που η εύρεση του lim f ( x) δεν ανάγεται σε καμία από τις προηγούμενες
x x0
περιπτώσεις (π,χ, δεν γνωρίζουμε τον τύπο της ή έχουμε ανισωτικές σχέσεις) τότε
χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής. Ιδιαίτερα η ύπαρξη διπλής ανισότητας της
μορφής ( x)  ( x)  ( x) είναι χαρακτηριστική για εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής.
Επίσης η ανισότητα της μορφής : ( x )  ( x )
 ( x)  ( x)  ( x)
γράφεται :
οπότε
μπορούμε να εφαρμόσουμε κριτήριο παρεμβολής
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
20) Να βρεθεί το όριο lim f ( x) στις παρακάτω περιπτώσεις :
x x0
i.
4 x  6 x  2  f ( x)  3  5 x 2  2 x  2 , x 0  2
ii.
2 x 3  8x  ( x  2) f ( x)  3x 3  6 x 2  4 x  8 , x0  2
2
Λύση :
i.
4 x 2  6 x  2  f ( x)  3  5 x 2  2 x  2  4 x 2  6 x  1  f ( x )  5 x 2  2 x  5
Είναι : lim (4 x 2  6 x  1)  29 και lim (5x 2  2 x  5)  29
x 2
x 2
Άρα από κριτήριο παρεμβολής (κ.π.) lim f ( x)  29
x 2
ii.
2 x  8x  ( x  2) f ( x)  3x  6 x  4 x  8
Για να απομονώσω στη μέση την f (x) και να εφαρμόσω κ.π., πρέπει να διαιρέσω
κάθε μέλος με το x  2 . Διακρίνω περιπτώσεις :
 Αν x  2  0  x  2 δηλ. όταν x  2  τότε :
2 x 3  8x
3x 3  6 x 2  4 x  8
3
3
2
2 x  8 x  ( x  2) f ( x)  3x  6 x  4 x  8 
 f ( x) 
x2
x2
3
2
2 x  8x
2 x( x  4)
2 x( x  2)( x  2)
lim
 lim
 lim
 16
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x2
3x 3  6 x 2  4 x  8
( x  2)(3x 2  4)
lim
 lim
 16 Άρα από κ.π. lim f ( x)  16 (1)
x 2
x 2
x 2
x2
x2

 Αν x  2  0  x  2 δηλ. όταν x  2 τότε :
2 x 3  8x
3x 3  6 x 2  4 x  8
2 x 3  8 x  ( x  2) f ( x)  3x 3  6 x 2  4 x  8 
 f ( x) 

x2
x2
3x 3  6 x 2  4 x  8
2 x 3  8x

 f ( x) 
x2
x2
3
2
3x  6 x  4 x  8
( x  2)(3x 2  4)
lim
 lim
 16
x 2
x 2
x2
x2
2 x 3  8x
2 x( x 2  4)
2 x( x  2)( x  2)
lim
 lim
 lim
 16
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x2
Άρα από κ.π. lim f ( x)  16 (2). Από (1) και (2) lim f ( x)  16 .
3
3
x 2
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
2
x 2
www.pitetragono.gr
Σελίδα 11
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ – ΟΡΙΟ
ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6Α (ΒΑΣΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ)
Για την εύρεση τριγωνομετρικών ορίων χρησιμοποιούμε τα εξής βασικά όρια :
 ( x)
x
x
 lim
1
 1 και lim
 1(  0) ή ακόμα lim
x 0 x
x 0 x
 ( x ) 0  ( x )
 ( x)  1
 x  1
 x  1
 lim
0
 0 και lim
 0 (  0) ή ακόμα lim
x 0
x 0
 ( x ) 0
x
x
 ( x)
Η τεχνική εύρεσης είναι ίδια με αυτή που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη ενότητα.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
21)
(Άσκηση 6 σελ. 175 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)
Να βρείτε τα όρια
 4 x
 3x
 x
 x  x 
i. lim
ii. lim
iii. lim
iv. lim 

x 0
x

0
x

0
x

0
x
x
 2 x
 x 
Λύση :
i. lim
 3x
x 0
x 0
 lim 3
x 0
x
3 lim
0
0
 3x u 3 x
3x
 3x
x 0
3x
 3 lim
u 0
 3 lim
u
u
 3x
3x
 5 x
 x 
v. lim  3
vi. lim

x 0
x 0 x  x
5x  4  2


θέτω u  3x , όταν x  0 τότε u  0 άρα
 3 1  3
x
 x
x
x 1
1
ii. lim
 lim  x  lim
 lim

 1  1
x 0 x
x

0
x

0
x 0
x
x x
x  x
1
 4 x

4
x
0
4x
0
 4 x
 4 x
1
 4 x
4x  1 
 lim
iii. lim
 lim

 lim  4 x  lim
x 0
x 0  2 x   4 x
x 0  2 x  4 x
x 0  2 x
x 0  2 x
 2 x  4 x
2x
2x
 4 x
 4 x
*
4x
1
1
1 1

lim 4 x 
  2 lim 4 x 
 2   2
x

0
x

0
 2 x  4 x
 2 x  4 x
2x
1 1
2x
2x
 4 x u 4 x
u
* θέτω u  4 x , όταν x  0 τότε u  0 άρα lim
 lim
1
0
0
x 0
u 0 u
4x
v

2
x
 2 x
v
θέτω v  2 x , όταν x  0 τότε v  0 άρα lim
 lim
1
x 0 2 x
v 0 v
0
 x  x  0
 x 
iv. lim 
  lim 1 
  11  0
x 0
x 
 x  x 0 
0
 x 
x
1
1

  lim
v. lim  3
 2
 1  1
  lim
x 0  x ( x 2  1) 
x 0 x
x 0 x  x
1
x 1




 x  0
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 12
ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1.4-1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0   – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
vi. lim
x 0
lim
x 0
 5 x
5x  4  2
0
0
 lim
x 0
 5 x( 5 x  4  2)
( 5 x  4  2)( 5 x  4  2)
 5 x( 5 x  4  2)
 lim
 5 x
x 0
5x
5x
 lim
 5 x( 5 x  4  2)
5x  4  4
x 0

*
 ( 5 x  4  2) 1  4  2  4
* θέτω u  5x , όταν x  0 τότε u  0 άρα lim
x 0
 5 x u 5 x
5x
 lim
u
u 0
u
1
6Β (ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ)
Αν lim f ( x) =0 και για τη συνάρτηση g ισχύει ότι   g (x)   τότε lim  f ( x) g ( x)  =0
x 0
x x0
Η απόδειξη προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής. Πράγματι, είναι :
  f ( x)  f ( x) g ( x)   f (x) Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο.
Συμπέρασμα : (μηδενική συνάρτηση)x(φραγμένη συνάρτηση)=μηδενική συνάρτηση
Χαρακτηριστικό της περίπτωσης «μηδενική επί φραγμένη» είναι η ύπαρξη στο όριο : (
1
1
1
1
με lim g ( x )  0 )
, 
 ,  και γενικά 
x  x0
x
x
g ( x)
g ( x)
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
22) Να υπολογίσετε τα όρια :
1
3 


i. lim  x  ii. lim  ( x 3  2 x) 2 
x 0
x 0
x
x 


Λύση :
1

i.
lim  x 
x 0
x

x a   a xa
1
1
1
1
Έχω x  x    x , άρα x  x  x  x  x
x
x
x
x
1

Εφαρμόζω κ.π. και lim  x   0 , lim x  0 άρα από κ.π. lim  x   0
x 0
x 0
x 0
x

3 

ii.
lim  ( x 3  2 x) 2 
x 0
x 

3
Παρατηρώ ότι lim x 3  2 x  0 (μηδενική) και  1   2  1 (φραγμένη)
x 0
x
Άρα έχω όριο της μορφής «μηδενική επί φραγμένη»
3
3
( x 3  2 x) 2  x 3  2 x   2  x 3  2 x , άρα
x
x
3
3
( x 3  2 x) 2  x 3  2 x   x 3  2 x  ( x 3  2 x) 2  x 3  2 x
x
x




Εφαρμόζω κ.π. και lim  x 3  2 x  0 , lim x 3  2 x  0
x 0
3

άρα από κ.π. lim ( x 3  2 x) 2
x 0
x

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
x 0

0

www.pitetragono.gr
Σελίδα 13
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
3
File Size
890 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content