ŠEST DOKAZA JEDNE TEOREME IZ GEOMETRIJE

MAT-KOL (Banja Luka)
XVIII (1) (2012), 25-31
ISSN 0354-6969 (p)
ISSN 1986-5228 (o)
Euklidska geometrija / Metodika matematike
ŠEST DOKAZA JEDNE TEOREME U GEOMETRIJI
(Six proofs of one geometric theorem)
Dragoljub Milošević 1 i Borisav Simić 2
Sažetak: U radu dajemo još šest raznih dokaza jedne teoreme o pravilnom
devetouglu.
Ključne riječi: pravilni devetougao, stranica i dijagonalе pravilnog devetougla, lema,
pravougli trougao, slični trouglovi, Pitagorina i Stjuartova teorema, Molvajdove formule,
analitička geometrija.
Abstract: In this paper we give new different proofs of one theorem for the regular
nonagon.
Key words: regular nonagon, side and diagonals of regular nonagon, lemma, right-angled
triangle, similar triangles, Pythagorean and Stewart’s theorem, Mollweide’sformulas, analitic
geometry.
AMS Subject Classification (2010): 51M04, 97G40
ZDM Subject Cllassification (2010): G40
Posebnu pažnju zaslužuju zadaci koji mogu da se riješe na više načina, tj.
zadaci čijem se rješavanju može pristupiti sa različitih pozicija. Pri rješavanju
jednog istog zadatka na više načina upoređivanjem može da se ustanovi koji je od
njih kraći, efektniji i elegantniji. Time se stiče i izgrađuje vještina u rješavanju
zadataka, naročito problemskih.
U [3] prikazana su četri dokaza sljedeće teoreme 3 :
Teorema. U pravilnom devetouglu ABCDEFGHK važi jednakost
AE AD

 2.
AB AE
Dajemo još šest različitih dokaza ove teoreme.
Dokaz 1. Uvodimo sljedeće oznake: AB  a , AC  d , AD  e , AE  D . Tada
se navedena jednakost može napisati kao
1
17. NOU divizije 43, 32 300 Gornji Milanovac, Srbija
173. ulica br. 19/14, 35 000 Jagodina, Srbija
3
Ovdje je ona preformulisana
2
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 25-31
D.Milošević i B.Simić
D e
 2
a D

Koristit ćemo sljedeće dvije leme (pomoćne teoreme).
Lema 1. Ako u ABC je   2  , onda je a  bb  c  .
2
Lema 2. U pravilnom devetouglu dužina stranice jednaka je razlici dužina najduže i
najkraće dijagonale, tj. a  D  d .
Napomena. Dokaz leme 1. nalazi se u [5], a leme 2. u [4].
Sada prelazimo na dokaz teoreme.


Spoljašnji ugao pravilnog devetougla je 360 : 9  40 , a unutrašnji ugao




180  40  140 . Periferijski ugao nad stranicom pravilnog devetougla je 20 , pa




je CAD  20 (sl. 1.). U trouglu ACD je ACD  140  20  120 , što znači




da je ADC  180  20  120  40 .


a
F
a
E
G
a
a
Н
D
40
a
e
120
К
a
20
А

a
d

a

С
a
В
Slika 1.
Kako je ADC  2  CAD  , to možemo primijeniti lemu 1 na ACD :


AC  CD  CD  AD , ili d 2  aa  e  , odnosno d 2  a 2  ae .
2
S obzirom da je d  D  a v. lemu 2  , imamo D  a   a  ae , odakle je
2
2
D 2  ae  2aD . Nakon dijeljenja lijeve i desne strane posljednje jednakosti sa aD
dobijamo traženu jednakost  .
26
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 17-23
D.Milošević i B.Simić
Dokaz 2. Pravilni devetougao ABCDEFGHK je osno simetrična figura. Jedna od
njegovih 9 osa simetrije s sadrži vrh G i središte stranice BC, što znači da su tačke B
i C, odnosno A i D, simetrične u odnosu na tu osu. Zbog toga je BC  s i AD  s ,
pa je BC AD (sl. 2.).
Kako je i AB  CD , zaključujemo da je četverougao ABCD jednakokraki trapez.
F
a
a
E
a
a
Н
D
a
a
ea N
2
К
a
d
s
a
А
С

В
Slika 2.
Neka je BN  AD, N  AD (сл. 2.). Тада је AN 
ea
ea
и DN 
.
2
2
Primjenom Pitagorine teoreme na pravougle trouglove ABN i BDN dobijamo
2
2
2
2
2
2
BN  AB  AN i BN  BD  DN , ili
2
2
2
2
ea
ea
2
2
BN  a  
 i BN  d  
 .
 2 
 2 
Iz posljednje dvije jednakosti slijedi
2
2
ea
ea
2
a 
 ,
  d 
 2 
 2 
2
a odavde je
2
2
d  a  ae
2
 D  a   a 2  ae ,
jer d  D  a (lema 2)
2
 D  ae  2aD / : aD
D e

  2 , q.e.d.
a D
Dokaz 3. Neka je
S   HD  FE
(sl. 3.). U trouglu DSE je

SED  40 (spoljašnji ugao pravilnog devetougla)
27
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 25-31
D.Milošević i B.Simić
i



EDS  HDS  HDE  180  60  120 .
Trouglovi ACD i DSE su podudarni (pravilo USU), pa je
DS  AC  d i SE  AD  e .
S obzirom da trouglovi ACD i HSF imaju jednake uglove, zaključujemo da je
ACD ∽ HSF . Zbog toga imamo:
CD : HF  AC : SF
 a : d  d : a  e 
2
2
 d  a  ae
2
 D  a   a 2  ae , zbog d  D  a (lema 2)
2
 D  2aD  ae
2
 D  ae  2aD / : aD
D e

  2 , q. e. d.
a D
F
a
a
E
G
d
d
a

Н 40

20 40a
40
D
40
e
120
D


d
S
a
a
e
К
a
20

a
А

120 С
d
a
В
Slika 3.
Dokaz 4. Na osnovu Stjuartove teoreme primijenjene na DSF (sl. 3.), imamo

2

2
2
SF  EF  ES  DE  DF  SE  DS  EF


a  e  ae  a   a  e  d
 a  e  ae  a 2  d 2e  d 2 a

2
2
2
2
/ : a  e 
 ae  a  d
2
 ae  a 2  D  a  , jer d  D  a (lema 2)
28
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 17-23
D.Milošević i B.Simić
2
 ae  D  2aD
 D 2  ae  2aD / : aD
D e

  2 , q. e. d.
a D
Dokaz 5. Upotrebit ćemo Molvajdove formule:
ab

c
cos
 
2
sin
i

ab

c
2
sin
 
2
cos
,

2
gdje su a, b, c stranice i  ,  ,  unutrašnji uglovi trougla ABC.
Primjenom prve formule na BCD (sl. 4.) dobijamo
140  20
d a
cos 60
2


,
a
20
sin 10
sin
2
a primjenom druge formule na ABD , imamo
40  20
sin
sin 10
d a
2


.
e
120
cos 60
cos
2
cos
F
a
a
E
G
a
a
Н
D
a
e
К
a
А
40
a
120
В
Slika 4.
Tada je
29
20  a
20
d 140
С

20
a
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 25-31
D.Milošević i B.Simić
d  a d  a cos 60 sin 10



1
a
e
sin 10 cos 60
 d 2  a 2  ae
2
 D  a   a 2  ae , jer d  D  a (lema 2)
 D 2  ae  2aD / : aD
D e

  2 , q.e.d.
a D
Dokaz 6. Koristit ćemo analitičku geometriju. Izaberemo Dekartov pravougli
koordinatni sistem u ravni tako da vrhovi A i B pravilnog devetougla ABCDEFGHK
budu simetrični u odnosu na koordinatni početak O (središte stranice AB) i da
stranica AB pripada apscisnoj osi (sl. 5.).
y
F
a
a
G
E
a
a
Н
D
a
a
К
a
a
 a 
A  , 0 
 2 
O
e

C  , yC 
2

x
a 
B , 0 
2 
Slika 5.
Zbog CK AB i CK  e , koordinate vrhova A, B i C pravilnog devetougla su:

 a 
a 
e
A  , 0  , B , 0  i C  , yc  .

 2 
2 
2
Odredimo ordinatu yc tačke C; imamo
2
2
ea
2
2
AC  d  
  yc ,
 2 
30
MAT-KOL (Banja Luka), XVIII (1)(2012). 17-23
D.Milošević i B.Simić
a odavde je
2
ea
2
yc  d  
 .
 2 
2
e
a 
 e  a  
2
Kako je BC  a , B , 0  i C  , d  
 , dobijamo
2
2  
2 



2
2
2
 e  a   2  e  a  
BC  a 2  

d



 ,
 2  
 2  
a odavde je
2
2
a  d  ae
2
 d  a 2  ae
2
 D  a   a 2  ae , jer je d  D  a (lema 2)
 D 2  ae  2aD / : aD
D e

  2 , q.e.d.
a D
LITERATURA
[1] Š. Arslanagić, Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 2004.
[2] V. Blagojević, Teoreme i zadaci iz planimetrije, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva,
I. Sarajevo, 2002.
[3] D. Milošević, Neke teoreme o pravilnom devetouglu , Tangenta (Beograd), 42/2
(2005/06), 15 – 16.
[4] D. Milošević, Razni dokazi jedne teoreme u geometriji, MAT - KOL (Banja Luka), XVII
(1) (2011), 49 - 54.
[5] D. Milošević, Četiri teoreme o pravilnom devetouglu, MAT - KOL (Banja Luka), XVIII
(1) (2012), 5 - 15.
(Pristiglo u redakciju 03.10.2011. revidirana verzija 15.11.2011. Dostupno na internetu od
28.11.2011.)
31

Download Report