Πραγματικοί Αριθμοί

1
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ν ο λ α του 
2
● Το συνολο των φυσικων
αριθμων:
3. Να
δειχτειοτι= α{0,1,2,3,…}
+ 110  20α. Ποτε ισχυει το ισον;
● Το συνολο των
αριθμων:
 = {…,-2,-1,0,1,2,…}.
2. Aνακεραιων
α, β θετικοι
, να συγκρινεται
τους αριθμους Α = α 3 + β 3 , Β = α 2 β + αβ 2 .
μ
*
● Το συνολο των ρητων αριθμων:  = {ρ/ρ= , με μ   και ν   }.
ν
● Το συνολο των αρρητων αριθμων: {x/ το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα
σημεια με μη περιοδικο τμημα}.
● Το συνολο των πραγματικων αριθμων είναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρρητων αριθμων.
● Το συνολο των περιττων αριθμων: {1,3,5,…} η {2ν+1/οπου ν   }.
● Το συνολο των αρτιων αριθμων: {0,2,4,…} η {2ν/οπου ν   }.
Ιδιοτητες Προσθεσης - Πολλαπλασιασμου
ΙΔΙΟΤΗΤΑ
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Αντιμεταθετικη
α+β=β+α
α.β=β.α
Προσεταιριστικη
α+(β+γ)=(α+β)+γ
α.(β.γ)=(α.β).γ
Επιμεριστικη
α.(β+γ)=α.β+α.γ
Ουδετερο στοιχειο
α+0=α
Αντιθετος (προσθ)
Αντιστροφος (πολ)
α+(-α)=0
α.1=α
1
α. =1,
α
α≠0
Παραδειγμα
Αν οι αριθμοι α,β ειναι πραγματικοι και ισχυει: α=β και 5α-6β-2(γ+δ-1)=2-β, να δειχτει
οτι οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι.
Αφου α=β τοτε η δοσμενη ισοτητα γινεται:
H Εννοια του διανυσματος
 5α-6α-2γ-2δ+2)=2-α  5α-5α-2γ-2δ=0  -2γ-2δ=0 
5α-6α-2(γ+δ-1)=2-α
-2(γ+δ)=0  γ+δ=0
Αρα οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι.
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Παραδειγμα
1. Αν α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε ότι: α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3.
2. Αν ο αριθμος α είναι αρρητος τοτε και ο αριθμος α-23 είναι επισης αρρητος.
1. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β=α+1 και γ=α+2
Οποτε: α+β+γ=α+(α+1)+(α+2)=3α+3=3(α+1)=3κ (οπου κ=α+1)
Αρα α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3.
2. Εστω ότι ο αριθμος α-23 είναι ρητος. Τοτε α-23=ρ, οπου ρ είναι ρητος αριθμος.
Όμως
α-23=ρ  α=ρ+23 ατοπο, γιατι:
α είναι αρρητος αριθμος 
  α - 23 είναι αρρητος αριθμος. ρ + 23 είναι ρητος αριθμος
2
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Συνεπειες
•
α = β
α + γ = β + δ
 
γ = δ
 α.γ = β.δ
● α.0=0
● α.(-1)=-α
α ± γ = β ± γ
•α =β  
 α.γ = β.γ, γ  0
● α.β=0  α=0 η β=0
● (–α).β=-α.β
● α.β≠0  α≠0 και β≠0
● (–α).(-β)=α.β
● –(α+β)=-α-β
•
α β α ±β
± =
,γ  0
γ γ
γ
•
α γ α.δ ± β.γ
± =
, β.δ  0
β δ
β.δ
•
1
1 1
= . , α.β  0
α.β α β
•
α γ α.γ
. =
, β.δ  0
β δ β.δ
1
● Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α:β=α. , β  0
β
Iδιοτητες Αναλογιων
α γ
(β.δ  0)
• =  α.δ = β.γ
β δ
α γ
δ γ
• =  =
(α.β.δ  0)
β δ
β α
α γ
α γ α+γ
• =  = =
[β.δ(β + δ)  0]
β δ
β δ β+δ
α γ
α β
=  =
(β.γ.δ  0)
β δ
γ δ
α γ
α +β γ +δ
• = 
=
(β.δ  0)
β δ
β
δ
α γ
α +β α + γ
• = 
=
(β.δ  0, α  β, γ  δ)
β δ
α -β γ - δ
α
• Λογος του α ως προς β λεγεται το πηλικο .
β
α γ
• Αναλογια λεγεται η ισοτητα δυο λογων , εστω : =
β δ
• Οι αριθμοι α, β,γ,δ λεγονται οροι της αναλογιας.
•
• Οι αριθμοι α,δ λεγονται ακροι οροι της αναλογιας.
• Οι αριθμοι β,γ λεγονται μεσοι οροι της αναλογιας.
• Στη περιπτωση που η αναλογια ειναι της μορφης
α β
= ο αριθμος β λεγεται μεσος ανα β γ
λογος των α καιγ .
Παραδειγμα
Αν οι αριθμοι α,β,γ ειναι αναλογοι των αριθμων 3,2,1 αντιστοιχα και ισχυει: α-β+2γ=6,
να βρεθουν οι α, β και γ.
α β γ
(1)
Αφου οι αριθμοι α,β,γ είναι αναλογοι των αριθμων 3,2,1 αντιστοιχα τοτε: = =
3 2 1
β -β
γ 2γ
Επισης ισχυει : =
και =
2 -2
1
2
.
α -β 2γ α - β + 2γ α-β +2γ =6 6
Οποτε η (1) γινεται : =
=
=
=
= 2.
3 -2 2
3-2+2
3
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
● Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α-β=α+(-β)
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Αρα
α
• = 2  α = 3.2  α = 6
3
β  -β 
• =
= 2  β = 2.2  β = 4
2  -2 
•
3
.
γ  2γ 
=
= 2  γ = 1.2  γ = 2
1  2 
Δυναμεις
μ
● Αν α  *+ και μ   , ν  +* οριζουμε: α ν = ν α μ
● Αν α  *+ και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη α x και είναι α x > 0.
2. Ιδιοτητες
● α μ  α ν = α μ+ν
● α μ : α ν = α μ-ν
● (α μ ) ν = α μν
● (α  β) ν = α ν  β ν
α ν αν
) = ν
β
β
α
βν
● ( ) -ν = ν
β
α
2κ
● (-α) = α 2κ
● (-α) 2κ+1 = -α 2κ+1
●(
3. Παρατηρηση
● α=β τοτε αν =βν
● x²+y²=0 ⇔ (x=0 και y=0)
● Αν καποιος αριθμος εχει πολύ μικρη η πολύ μεγαλη απολυτη τιμη, μπορει να γραφτει σε τυποποιημενη μορφη: α.10ν , με 1 ≤ |α| < 10 και ν ακεραιο.
Παραδειγμα
Να λυθει η εξισωση: (x-1)2 +(y-3)2 = 0.
Ειναι
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1



2
2
(x - 1) + (y - 3) = 0  και
 και
 και
(y - 3)2 = 0


y - 3 = 0
y = 3

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
1. Ορισμοι
● Για κάθε α   και ν  +* οριζουμε: α ν = α.α…α (ν παραγοντες), ν>1
1
● Για κάθε α  * και ν  * οριζουμε: αº= 1 και α -ν = ν
α
4
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ταυτοτητες
● (α±β)²=α²±2αβ+β² (χρησιμη : α²+β²=(α+β)²-2αβ)
● α²-β²=(α+β)(α-β)
● (α+β+γ)²= α²+β²+γ²+2αβ+2αγ+2βγ
● α³±β³=(α+β)( α²∓2αβ+β²)=(α±β)³∓3αβ(α±β)
● (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³
● (α+β)⁴=α⁴+4α³β+6α²β²+4αβ³+β⁴
● αν-βν=(α-β)( αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1)
● αν+βν=(α+β)( αν-1-αν-2β+…-αβν-2+βν-1), (ν περιττος φυσικος)
1
● α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ= [(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²]
2
● α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)=
1
(α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²]
2
● α³+β³+γ³-3αβγ, αν α+β+γ=0 η α=β=γ (Euler)
Παραδειγμα
1. Να λυθει η εξισωση: (x-2)3+(6-2x)3+(x-4)3=0
Παρατηρουμε ότι:
(x-2)+(6-2x)+(x-4)=x-2+6-2x+x-4=0
(Αν α+β+γ=0 τοτε α3+β3+γ3=3αβγ Euler)
Οποτε η εξισωση γινεται:
x - 2 = 0
x = 2
x = 2



3(x-2).(6-2x).(x-4)=0  6 - 2x = 0  2x = 6  x = 3


x = 4
x - 4 = 0
x = 4

x
x
x
2. Να παραγοντοποιηθει η παρασταση: 9 -2.6 +4
Είναι 9x-2.6x+4x =(32)x-2.(2.3)x+(22)x = (3x)2-2.2x.3x+(2x)2 = (3x-2x)2
Η Αποδειξη στα Μαθηματικα
Καθε τι νεο που δημιουργειται στα Μαθηματικα ειναι μια αληθης προταση, που ομως
πρεπει να στηριζεται σε αλλες γνωστες αληθεις προτασεις.
Η αληθεια ομως μιας προτασης - θεωρηματος προκυπτει μεσα απο την διαδικασια
της αποδειξης. Οι κυριοτερες μεθοδοι αποδειξης ειναι:
α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η
β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
● (α-β)⁵=α⁵-5α⁴β+10α³β²-10α²β³+5αβ⁴-β⁵
5
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η (Π α ρ α δ ε ι γ μ α)
3
+
β
+ γ =
0 να αποδειχθει οτι α
Αν α
+ β 3 +
γ 3 = 3αβγ

ΥΠΟΘΕΣΗ
Αποδειξη
α+β+γ =0
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ






α+β =-γ
(α+β)3 =(-γ)3
α3+3α2β+3αβ2+β3=-γ3
α3+β3+γ3 =-3αβ(α+β)
α3+β3+γ3 =-3αβ(-γ)
α3+β3+γ3=3αβγ
Ξεκιναμε απο την υποθεση και με
διαδοχικους συλλογισμους, στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε
κανονες της λογικης, μετα απο καποια
βηματα καταληγουμε στο συμπερασμα.
ΥΠΟΘΕΣΗ
Αποδειξη
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει
το συμπερασμα.
 Εστω α ΟΧΙ αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορ- Με ορθους συλλογισμους και
φης α=2κ+1 , κ   .
με λογικα βηματα καταληγουμε
σε κατι που ερχεται σε αντιθε2
2
2
+ 2κ
 Εχουμε :α = (2κ+1) =2( 2κ

 )+1=2λ+1, λ   . ση με τα δεδομενα του προβληλ
ματος ή σε κατι που δεν ισχυει
Δηλαδη α2 περιττος . Αυτο ομως ειναι α τ ο π ο (α τ ο π ο )
(αδυνατο) γιατι ο α2 ειναι αρτιος.
Αναφερουμε γιατι φτασαμε σε
ατοπο και συμπεραινουμε την α Αρα η παραδοχη οτι ο ακεραιος α ειναι περιττος ληθεια της αποδεικτεας προταειναι λαθος .
σης.
Οποτε ο ακεραιος α ειναι αρτιος
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο (Π α ρ α δ ε ι γ μ α)
2
Αν α ακεραιος και α
να δειχθει οτι α αρτιος
αρτιος 


6
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να δειξετε οτι :
• το αθροισμα δυο αρτιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.
• το γινομενο δυο διαδοχικων ακεραιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.
• Εστω οι δυο αρτιοι αριθμοι : α = 2κ καιβ = 2λ (κ, λ  ). Τοτε
κ+λ=ν
α + β = 2κ + 2λ = 2(κ + λ) = 2ν , που σημαινει οτι α + β αρτιος αριθμος.
ν
• Εστω οι δυο διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι ειναι : α και β .
• Αν ο α ειναι αρτιος τοτε : α = 2κ και β = 2κ + 1 (κ  ). Οποτε
2κ2 +κ=ν
α  β = 2κ(2κ + 1) = 4κ + 2κ = 2(2κ + κ) = 2ν , που σημαινει οτι α  β ειναι αρτιος .
2
2
• Αν ο α ειναι περιττος τοτε : α = 2κ + 1 και β = 2κ + 2 (κ  ). Οποτε
α  β = (2κ + 1)(2κ + 2) = 4κ + 6κ + 2 = 2(2κ + 3κ + 1)
2
α  β ειναι αρτιος αριθμος.
2
2κ2 +3κ+1=μ
=
μ
2μ , που σημαινει οτι
λ-1
1
λλ
• Να βρειτε τις τιμες του λ   για τις οποιες εχει νοημα η παρασταση.
• Να βρειτε το λ   ωστε ο αριθμος Α να ειναι ισος με τον αντιστροφο του.
Δινεται η παρασταση : Α =
• Για να εχει νοημα η παρασταση Α, πρεπει :
λ  0
λ  0
λ  0


 
 λ  1 ,

1
λ- 0
(λ - 1)(λ + 1)  0

λ

 λ  -1
Aρα Α εχει νοημα για καθε λ   - {-1, 0, 1}.
• Ειναι
λ (λ - 1)
λ
λ -1
λ -1
= 2
=
=
1
λ -1
(λ - 1) (λ + 1) λ + 1
λλ
λ
Αφου λ  0 ο αριθμος Α εχει αντιστροφο. Για να ειναι ισος με τον αντιστροφο του
Α=
πρεπει :
2
1
 λ 
Α.Α = 1  Α = 1  
= 1  λ 2 = λ 2 + 2λ + 1  λ = (δεκτο).

2
 λ +1
2
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
ν
7
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Εστω οτι ο αριθμος α ειναι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος 4α - 1 ειναι αρρητος.
Εστω οτι ο αριθμος 4α - 1 = ρ, οπου ρ ρητος.
Τοτε, 4α - 1 = ρ  4α = ρ + 1  α =
ρ+1
4
ρ +1
ειναι ρητος οποτε και ο α ειναι ρητος. Ατοπο γιατι απ'την υποθεση ο α
4
ειναι αρρητος. Αρα, ο αριθμος 4α - 1 ειναι αρρητος .
Ομως ο αριθμος
Εστω οι αριθμοι x, y, z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1, 2,3 αντιστοιχα.
Ειναι (απο τις ιδιοτητες των αναλογιων)
x y z 3x 2y
-2z 3x 2y -2z 3x + 2y - 2z (1) 20
= = =
=
=
=
=
=
=
=
= 20
1 2 3 1.3 2.2 -2.3
3
4
-6
3+4-6
1
Αρα
x
 1 = 20
x = 20

y

 = 20   y = 40 Eπαληθευση : 3x + 2y - 2z = 3.20 + 2.40 - 2.60 = 60 + 80 - 120 = 20.
2
z = 60

z
 3 = 20

• Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις :
• A = 25 x - 2  15 x + 9 x
• B = (α - β) 3 + (β - γ) 3 + (γ - α) 3
• Να λυθει η εξισωση : (x + 2) 3 + (4x - 12) 3 + (10 - 5x) 3 = 0
• Eιναι
• Α = 25x - 2  15x + 9x = (52 )x - 2  (5  3)x + (32 ) x = (5x )2 - 2  5x  3x + (3x )2 = (5x - 3x )2
(Η ταυτοτητα : (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2 , με α = 5x , β = 3x )
• Επειδη : (α - β) + (β - γ) + (γ - α) = α - β + β - γ + γ - α = 0, τοτε
B = (α - β)3 + (β - γ)3 + (γ - α)3 = 3(α - β)(β - γ)(γ - α)
(Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε x3 + y3 + z3 = 3xyz)
• Eιναι
(x + 2)3 + (4x - 12)3 + (10 - 5x)3 = 0  (αφου x + 2 + 4x - 12 + 10 - 5x = 0)
x + 2 = 0
 x = -2


3(x + 2)(4x - 12)(10 - 5x) = 0   4x - 12 = 0   x = 3
10 - 5x = 0
x = 2


3
3
3
(Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz)
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1), τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x, y, z.
8
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 2ν + 1 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3, αν ν ειναι θετικος ακεραιος
αριθμος.
Ισχυει : αν - βν = αν -1 + αν -2β + ... + αβ ν-2 + βν -1 (1)
Οποτε
(1)
42ν +1 - 1 = 42ν +1 - 12ν +1 =(4 - 1)(42ν + 42ν-1.1 + ... + 4.12ν -1 + 12ν ) =
2ν
= 3 (4
+ 42ν-1.1
+ 
... + 4.12ν-1 + 12ν

) = 3κ
το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος)
Αρα ο αριθμος 42ν +1 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3.
 Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι.
 Πρεπει
 x(x - 2)  0  x  0 και x  2
 ΑΒ =
x2 -1
x 2 - 2x
και Β =
x(x - 2)
(x - 1)(x + 1)
 (x - 1)(x + 2)  0  x  1 και x  -2
x2 - 1
x2 - 2x
(x - 1)(x + 1) x(x - 2)

=

= 1, αρα Α,Β αντιστροφοι.
x(x - 2) (x - 1)(x + 1)
x(x - 2) (x - 1)(x + 1)
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
 Για ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα Α =
9
AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να δειξετε οτι :
• το αθροισμα δυο περιττων αριθμων ειναι αριθμος
αρτιος.
• το γινομενο δυο διαδοχικων αρτιων αριθμων ειναι
αριθμος αρτιος.
• το γινομενο δυο διαδοχικων περιττων αριθμων ει ναι αριθμος περιττος.
●Πρεπει οι πορονομαστες να
ειναι διαφοροι του μηδενος.
●α, β ειναι αντιστροφοι αν:
αβ = 1.
• Να βρειτε το λ   ωστε ο αριθμος Α να εχει αντι στροφο τον αριθμο 2.
Εστω x, y, z oι γωνιες ενος τριγωνου που ειναι ανα λογες των αριθμων 2, 3, 4 αντιστοιχα.
Να βρεθουν οι γωνιες του τριγωνου.
Εφαρμοστε τη γνωστη μεθοδο
του βοηθητικου αγνωστου στις
αναλογιες.
Εστω οτι ο αριθμος 3α - 6 ειναι αρρητος.
Εφαρμοστε απαγωγη σε ατοπο.
Να δειξετε οτι και ο αριθμος α ειναι αρρητος.
• Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις :
• A = 16x + 2  12x + 9x
• B = (2α - β)3 + (2β - γ)3 + (2γ - α)3, αν α + β + γ = 0
Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε
x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz
• Γ = (α - 3)3 + (3β - 2)3 + (4γ - 5)3, αν α + 3β + 4γ = 10 (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2
• Να λυθει η εξισωση :
• (3x - 10)3 + (4 - x)3 + (6 - 2x)3 = 0
• 27x3 + (x + 4)3 = 64(1 + x)3
Να δειξετε οτι ο αριθμος 5ν +1 - 1 ειναι πολλαπλασιο
του 4, αν ν ειναι θετικος ακεραιος αριθμος.
Αν z = y, να δειχτει οτι οι αριθμοι:
α = x-3y+4z και β = y-x-2z ειναι αντιθετοι.
Φερνουμε τις παραστασεις στην
μορφη αν – βν και κανουμε χρηση γνωστων ταυτοτητων.
α και β ειναι αντιθετοι αν:
α+β=0
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
1
λ
Δινεται η παρασταση : Α =
λ -1
• Να βρειτε τις τιμες του λ   για τις οποιες εχει
νοημα η παρασταση.
λ-
Περιττος : 2ν+1
Αρτιος : 2ν
Διαδοχικοι :
Περιττοι : 2ν-1, 2ν+1, 2ν+3
Αρτιοι: 2ν-2, 2ν, 2ν+2
10
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Διαταξη Πραγματικων Αριθμων
• Ο αριθμος α λεγεται μεγαλυτερος απ’τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α-β ειναι
θετικος αριθμος (α-β > 0).
Συμβολιζουμε: α > β
Ο αριθμος α βρισκεται δεξιοτερα του β στον αξονα των πραγματικων.
-∞
β
α
+∞
Ιδιοτητες
• Αν α > β και β > γ, τοτε α > γ.
• Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ.
αγ > βγ

• Αν γ > 0 τοτε: α > β   α β
γ > γ

ΔΕΝ αφαιρουμε- διαιρουμε
κατα μελη ανισοτητες
• Αν γ < 0 τοτε: α > β  αγ < βγ .
• Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ.
• Αν α > β και γ > δ, τοτε: α.γ > β.δ (α,β,γ,δ θετικοι αριθμοι).
• Αν α,β θετικοι και ν  * , τοτε: α > β  α ν > β ν
Παραδειγμα
1. Αν α+β=6 να αποδειξετε ότι: ● α.β ≤ 9
Είναι
α+β=6  β=6-α (1)
● α2+β2 ≥ 18
(1)
● α.β ≤ 9  α(6-α) ≤ 9  6α-α2 ≤ 9  α2-6α+9 ≥ 0  (α-3)2 ≥ 0 , που αληθευει.
(1)
● α2+β2 ≥ 18  α2+(6-α)2 ≥ 18  α2+36-12α+α2 ≥ 18  α2+36-12α+α2-18 ≥ 0 
2α2+18-12α ≥ 0  2(α2-6α+9) ≥ 0  (α2-6α+9) ≥ 0  (α-3)2 ≥ 0 , που αληθευει.
(α - β) 2
2
2
2. Να συγκρινετε τους αριθμους: Α=α -αβ+β και Β=
.
2
Θα ελεγξουμε την διαφορα των δυο αριθμων, προκειμενου να βρουμε ποιος είναι μεγαλυτερος.
Είναι
(α - β)2
2α2 - 2αβ + 2β2 - α2 + 2αβ - β2 α2 + β2
2
2
Α-Β = α -αβ+β =
=
0
2
2
2
Δηλαδη, Α-Β ≥ 0  Α ≥ Β
● Η ισοτητα ισχυει όταν: α = β = 0.
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
• Ο αριθμος α λεγεται μικροτερος απ’τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α-β ειναι
αρνητικος αριθμος (α-β < 0).
Συμβολιζουμε: α < β
Ο αριθμος α βρισκεται αριστεροτερα του β στον αξονα των πραγματικων.
-∞
α
β
+∞
11
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Διαστηματα
Πρακτικα διαστημα ειναι ενα κομματι της ευθειας x’x των πραγματικων αριθμων
δηλαδη ενα συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βοηθεια μιας
ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων.
διαστημα (με άκρα α , β)
συμβολισμος
α  x  β
κλειστο διαστημα
[α , β]
α<x<β
ανοικτο διαστημα
(α , β)
α<x  β
ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια
(α , β]
α  x<β
κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια
[α , β)
α  x
κλειστο αριστερα, μη φραγμενο ανω
[α , +  )
α<x
ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο ανω
(α , +  )
x  β
μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια
(-  ,β]
x<β
μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια
(-  ,β)
x 
το συνολο των πραγματικων
(-  ,  )
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
ανισωση
12
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αποδειξετε οτι :
2
α 2 + β2  α + β 
•
 

2
 2 
• α 2 + β 2 + γ 2 + 3  2(α + β + γ)
α β
• +  2, αν α > 0 και β > 0
β α
• Ειναι
2
α2 + β2 + γ2 + 3  2(α + β + γ)  α2 + β2 + γ2 + 3  2α + 2β + 2γ 
(α2 - 2α + 1) + (β2 - 2β + 1) + (γ2 - 2γ + 1)  0 
(α - 1)2 + (β - 1)2 + (γ - 1)2  0 , που αληθευει.
• Ειναι
α>0
α β
α
β
+  2  αβ. + αβ.  2.αβ  α2 + β2  2αβ  α2 + β2 - 2αβ  0  (α - β)2  0,
β>0
β α
β
α
που αληθευει.
• Αν α 2 + β 2 = 2 και γ 2 + δ 2 = 4, να δειξετε οτι : αγ + βδ  3
• Αν 1  κ  4 και 2  λ  3, μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται ο αριθμος
κ 2 - λ2
;
κλ
• Ισχυει :
2
(α - γ)  0


2
(β - δ)  0
2
2
α - 2αγ + γ  0 (+) 2
 α - 2αγ + γ2 + β2 - 2βδ + δ2  0 
 2
2
β - 2βδ + δ  0
2αγ + 2βδ  α2 + γ2 + β2 + δ2  2(αγ + βδ)  2 + 4  αγ + βδ  3
• Ειναι
• 1  κ  4  1  κ2  16 (1)
• 2  λ  3  4  λ 2  9  -9  -λ2  -4 (2)
Απο (1) + (2) κατα μελη, προκυπτει : - 8  κ2 - λ 2  12 (3)
1 1
1 1
    1 (4)
4 κ
κ 4
1 1 1
1 1 1
•2  λ  3      
(5)
2 λ 3
3 λ 2
1
1
1
(6)
Απο (4).(5) κατα μελη, προκυπτει :


12 κλ 2
-8 κ2 - λ 2 12
2 κ2 - λ 2
Απο (3).(6) κατα μελη, προκυπτει τελικα :
6


- 
12
κλ
2
3
κλ
•1  κ  4  1 
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
α2 + β2  α + β 
α2 + β2 α2 + β2 + 2αβ



 4α2 + 4β2  2α2 + 2β2 + 4αβ 

2
2
2
4


2
2
2α + 2β - 4αβ  0  2(α2 + β2 - 2αβ)  0  2(α + β)2  0 , που αληθευει.
• Ειναι
13
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αποδειξετε οτι :
(α + β)2
• α - αβ + β 
4
2
α
1
• 
4 4 + α4
α +β
•
< 1, αν α > 1 και β > 1
1 + αβ
2
2
• Αν x2 + y2 = 1 και z2 + ω2 = 5, να δειξετε οτι :
• Αν 1  α  2 και 3  β  4, μεταξυ ποιων αριθ μων βρισκονται οι παραστασεις :
•α +β
•α -β
•
α2 + β2
αβ
α +β β
<
4
3
● Αν α,β,γ > 0, τοτε να δειξετε οτι :
● α2+1  2α
● (α2+1)(β2+1)(γ2+1)  8αβγ
● Aν 3α < β να αποδειξετε οτι : α <
● Να δειξετε οτι:
● α2 - 4α +5 > 0
● β2 +6β +11 > 0
● Αν α>β>γ τότε να δείξετε ότι :
(α-β)(β-γ)(γ-α) < 0
● Ισχυει: (α-β)2= α2-2αβ + β2
και (α-β)2≥ 0
● Προσθεση κατα μελη των δοσμενων αφου τις μετασχηματισουμε καταλληλα.
● Προσθετουμε διαδοχικα α και
β στη δοσμενη σχεση και ...
● Ολα στο πρωτο μελος για τη
πρωτη και ....
Για τη δευτερη χρησιμοποιουμε
τη πρωτη και ...
● Μετασχηματιζω το α μελος
σε αθροισμα θετικων και ...
● Βρειτε το προσημο των διαφορων με τη βοηθεια της δοσμενης σχεσης και ...
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
xz + yω  3
● Ολα στο μεγαλο μελος και
καταληγουμε σε κατι αληθινο.
● Αν πολλαπλασιασουμε με θετικο αριθμο τα μελη ανισοτητας, δεν αλλαζει η φορα της.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14
Απολυτη Τιμη
Ορισμος
Για κάθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως:
 α
|α|= 
-α
αν α  0
αν α < 0
α2 =|α|, |-α|=|α|, | α v |=|α|v , |α|2=α2
α |α|
∙ |αβ|=|α|.|β| | |=
με β≠0
β |β|
∙
∙ ||α|-|β|| ≤ |α±β| ≤ |α|+|β|
∙ |α|<|β| ⇔ α²< β²
∙ |α|+|β|=0 ⇔ α=0 και β=0
∙ Αν θ > 0 ισχυουν:
1. |x| < θ ⇔ -θ < x < θ
2. |x| > θ ⇔ x < -θ η x > θ
x = ± θ

∙ η εξισωση |x|=θ ⇔  x = 0
 αδυνατη

αν θ > 0
αν θ = 0
αν θ < 0
∙ Αν Α(α,0) και Β(0,β) σημεια του x’x τοτε d(Α,Β)=|a-β|.
● Αν θ > 0 τοτε |x|< θ  - θ < x < θ
x|<θ  |x|2<θ2  x2<θ2  x2-θ2<0  (x+θ)(x-θ)<0 (x-θ< x+θ) 
x + θ > 0
x > - θ
 
 -θ < x < θ

x - θ < 0
x < θ
● Αν θ > 0 τοτε |x| > θ  x < - θ η x > θ
|x|> θ  |x|2> θ2  x2> θ2  x2-θ2> 0  (x+θ)(x-θ)>0 
x + θ < 0
x + θ > 0
x < -θ
x > -θ
η 

η 
 x < -θ η x > θ

x - θ < 0
x - θ > 0
x < θ
x > θ
● |α+β| ≤ |α|+|β|
|α+β| ≤ |α|+|β| |α+β|2 ≤ (|α|+|β|)2  (α+β)2 ≤ |α|2+2|α||β|+|β|2 
α2+2αβ+β2≤ α2+2|αβ|+β2  2|αβ| ≥ 2αβ  |αβ| ≥ αβ που αληθευει.
Σημειωση: Η ισοτητα ισχυει αν οι α,β ειναι ομοσημοι.
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Συνεπειες Ορισμου
∙ |α| ≥ 0, η απολυτη τιμη του α είναι μη αρνητικος αριθμος.
∙ -|α| ≤ α ≤ |α|
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
15
Για x0   και ρ > 0, ισχυει :
| x - x0 | < ρ  x  (x0 - ρ, x0 + ρ)  x0 - ρ < x < x0 + ρ
Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση |x - x0 | < ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος
(x0 - ρ, x0 + ρ) που εχει κεντρο το x0 και ακτινα ρ.
ρ μοναδες

d(x,x )
ρ μοναδες
ο  


xο -ρ
x
xο
xο -ρ


x'
x
 Στην περιπτωση που x0 = 0, ειναι : | x | < ρ  x  (-ρ, ρ)  - ρ < x < ρ
d(x,x )
ο


ρ μοναδες
ρ μοναδες
 

x xο -ρ
xο
xο -ρ




x'
x
 Στην περιπτωση που x0 = 0, ειναι : | x | > ρ  x < - ρ η x > ρ
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
Για x0   και ρ > 0, ισχυει :
| x - x0 | > ρ  x  (- , x0 - ρ)U (x0 + ρ,+  )  x < x0 - ρ η x > x0 + ρ
Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση | x - x0 | > ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξονα
x'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(x0 ) αποσταση μεγαλυτερη του ρ.
16
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αποδειξετε οτι :
α+β
|<1
1 + αβ
• Αν | α - 1 | < 2 και | β - 2 | < 3, τοτε : | α - β | < 6
• Αν | α | < 1 και | β | < 1, τοτε : |
• Ειναι
| α |< 1


| β |< 1
Ετσι
2
2
2
2
| α | < 1
α < 1
α - 1 < 0

 2 2 2
2
| β | < 1
β < 1
1 - β > 0
(1)

2
(α + β) < (1 + αβ)  α + β + 2αβ < 1 + 2αβ + α β  α2 +β
- 1 - α2β2 < 0 

2
2
2
2
2 2
α2 (1 - β2 ) - (1 - β2 ) < 0  (1 - β2 )(α2 - 1) < 0, που αληθευει λογω της (1).
• Ειναι
| α - 1 |< 2
-2 < α - 1 < 2
-2 + 1 < α - 1 + 1 < 2 + 1
-1 < α < 3





-3 < β - 2 < 3
-3 + 2 < β - 2 + 2 < 3 + 2
-1 < β < 5
| β - 2 |< 3
4< 6
-1 < α < 3
-1 < α < 3 (+)
6
<
α
β
<
4


 - 6 < α - β < 6  | α - β | < 6.


1 > -β > -5
-5 < -β < 1
• Να απλοποιηθει η παρασταση :
Α = 3 | α - β | + 5 | β - α | - | α + 2β | + | 2α - β |, αν α > β > 0.
• Να υπολογιστουν οι τιμες του ακεραιου α, αν :
• | α - 5 |= 5 - α και • | 2α - 3 |= 2α - 3.
• Ειναι
•α > β  α -β > 0
•β < α  β - α < 0
(+)
α > 0
 α > 0 (+)
α > 0
α > 0

 α + 2β > 0

 2α - β > 0
•
•
β > 0
2β > 0
α > β
α - β > 0
Ετσι, η παρασταση Α γινεται :
Α = 3(α - β) + 5[-(β - α)] - (α + 2β) + (2α - β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - 2β + 2α - β = 9α - 11β
• Αφου
α < 5
3
| α - 5 |= 5 - α
α - 5 < 0

  α <5
τοτε 


3  2
2α - 3  0
| 2α - 3 |= 2α - 3
 α  2
 α ακεραιος
Αρα οι τιμες του α ειναι : 2, 3 και 4.
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
α +β
|α +β|
<1 
< 1  | α + β |<| 1 + αβ |  | α + β |2 <| 1 + αβ |2 
1 + αβ
| 1 + αβ |
17
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αποδειξετε οτι :
α β
• Αν αβ  0, τοτε :
+
2
β
α
• Αν | 2α - 1 |  1 και | β + 1 |  2, τοτε :
| α - β | 4
• Να αποδειξετε οτι :
• | 1 - α | + | 1 - β |=| α - β |, αν α < 1 < β.
• | 3α - 7 |= 3α - 7 και • | 2α - 8 |= 8 - 2α.
α
|α|
|=
για αβ≠0
β
| β|
και ...
● Βρειτε πρωτα μεταξυ ποιων
αριθμων βρισκονται οι α και β
και ...
● Βρειτε το προσημο των παραστασεων μεσα στα απολυτα
και ...
● Χρησιμοποιειστε τον ορισμο
της απολυτης τιμης και ...
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
• | 1 - α | + | 2 - β | + | 3 - γ |= 6 + | α + β + γ |,
αν α < β < γ < 0.
• Να υπολογιστει η τιμη του ακεραιου α, αν :
● Ισχυει: |
18
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ριζες
Ορισμος
Για κάθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μοναδικος
θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ώστε x ν =α.
Ο αριθμος x ονομαζεται θετικη νιοστη ριζα του α και συμβολιζεται ν α
Δηλαδη: x ν =α ⇔ x = ν α με α,x ≥ 0 ν  *+ .
Ιδιοτητες
●α
μ
ν
=
αμ
ν
●
● ( ν α )μ = ν α
μ
●
α ν β = ν αβ
●
ν
ν
α
α
=ν
β
β
●
ν μ
ν
Αποδειξη
● Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 τοτε
●


ν
α.β = αβ
ν
Αρα

ν
α.β
 =
ν
● Αν α ≥ 0 τοτε
●
 α
μν
Αρα
μν
ν
α
α =
●
μν
=

ν
α .ν β
μ ν
=α
 
μ ν
●
ν
α .ν β
 α
μν
    
ν
α
 οποτε και
=
ν
ν
μν
ν
αν β = α ν β
●
ν
α=
νμ
αμ
ν
.
ν
ν
β
α.β =
= αβ
α .ν β
ν
α
α
μν
α = νμ α
●
α .ν β
ν
ν
 
μ ν
α.β =
αν = α
μν

= 

 
μ ν
οποτε και
α
μ ν
μ
ν
 α

 =

α =
ν
μν
ν
=α
α
Παραδειγμα
Να γραψετε χωρις ριζες την παρασταση : 3 - 2 2
2
3 - 2 2 = 1 + 2 - 2 2 = 12 + 2 - 2.1. 2 = (1 - 2)2 =| 1 - 2 |= 2 - 1
Να βρεθει η τιμη της παραστασης : • 7 45 - 3 125 - 6 5
• 2 .3 4 .6 32
• 7 45 - 3 125 - 6 5 = 7 9.5 - 3 25.5 - 6 5 = 7 9 5 - 3 25 5 - 6 5 =
= 7.3. 5 - 3.5. 5 - 6 5 = 21 5 - 15 5 - 6 5 = 0
• Ε.Κ.Π.(2, 3, 6) = 6, οποτε
2 .3 4 .6 32 = 6 23 . 6 42 6 32 = 6 23 . 6 24 6 25 = 6 23.24.25 = 6 212 = 6 (22 )6 = 22 = 4
Να γραψετε με ρητο παρονομαστη την παρασταση :
1
3- 2
1
=
3- 2
.
3+ 2
3+ 2
=
3+ 2
( 3 - 2)( 3 + 2)
=
1
3- 2
3+ 2
( 3)2 - ( 2)2
= 3+ 2
Να γραψετε με τη βοηθεια μιας ριζας τη παρασταση :
4
4
4
2 3 2 2 = 2 3 2.22 = 2 6 23 =
4 6
4
23 2 2
2326 = 24 2326 = 6.4 2326 = 4 8
=
3+ 2
=
1
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
ν
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
19
Να βρεθει η τιμη της παραστασης :
Α = 8 + 3 5 - 2 3 - 2 2 - 45 + 2 .3 4 .6 32
Ειναι
• 8 = 4.2 = 4. 2 = 2 2
• 3 - 2 2 = 2 + 1 - 2 2 = ( 2)2 + 12 - 2.1. 2 = ( 2 - 1)2 =| 2 - 1 |=
= 2 - 1, αφου 2 > 1
• 45 = 9.5 = 9. 5 = 3 5
Οποτε η παρασταση γινεται
Α = 2 2 + 3 5 - 2( 2 - 1) - 3 5 + 4 = 2 2 - 2 2 + 2 + 4 = 6
• Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση :
Α = 5- | x - 2 | + 3 | x | -x
• Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση :
Β = 54535 5
• Να συγκρινετε τους αριθμους :
• 2 +1
• 5 -1
• Για να οριζεται η παρασταση Α, πρεπει :
5- | x - 2 |  0
| x - 2 |  5
-5  x - 2  5




| x |  x, αληθευει για καθε x
| x | -x  0
| x |  x
- 5 + 2  x - 2 + 2  5 + 2  -3  x  7
• Ειναι
4
5 4 5 3 5 5 = 5 5 3 5.52 = 5 4 5 6 53 = 5 4 6 53.56 = 524 59
• Εστω :
Ειναι
2 + 1 > 5 - 1 (1)
5 > 2 5 > 2 
Οποτε η (1)
2 +1 > 5 -1
5 - 2 > 0 (2)
(2)
5 - 2 < 2 ( 5 - 2)2 < 22  5 - 2 5. 2 + 2 < 4 
2 10 > 3  (2 10)2 > 32  4.10 > 9  40 > 9, που αληθευει.
Αρα
2 +1 >
5 -1
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
• 2. 3 4. 6 32 = 2. 3 22 . 6 25 = 6 23 . 6 24 . 6 25 = 6 23.24.25 = 6 212 = 6 (22 )6 = 4
20
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με ρητο παρονομαστη :
3
2
2
•Α=
•Β =
•Γ = 3
6
5 - 3
5 - 33
35
• Ειναι
Α=
3
6
35
=
3. 6 3
6
=
35 . 6 3
36 3
6
35.3
=
36 3
6
=
36
36 3 6
= 3
3
• Ειναι
=
5- 3
=
2 ( 5 + 3)
( 5 - 3) ( 5 + 3)
=
=
2( 5 + 3)
( 5) - ( 3)
2
2
=
2( 5 + 3)
=
5-3
2( 5 + 3)
= 5+ 3
2
• Ειναι
Γ=
=
2
3
5 - 33
=

2 ( 3 5)2 + 3 5. 3 3 + ( 3 3)2

( 5 - 3) ( 5) + 5. 3 + ( 3)
3
3
3

2 ( 3 5)2 + 3 5. 3 3 + ( 3 3)2
( 5) - ( 3)
3


3
3
3
2 ( 3 5)2 + 3 5. 3 3 + ( 3 3)2
2
2
3
 = 2 (
 =(
3
3
3
3
2

=
5)2 + 3 5. 3 3 + ( 3 3)2
5-3
=
5)2 + 3 5. 3 3 + ( 3 3)2 = 3 25 + 3 15 + 3 9
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
2
Β=
21
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να βρεθει η τιμη των παραστασεων :
Α = ( 117 - 7 + 48)( 63 - 48)
Β = ( 3 24 - 5 3 81 + 2 3 375) 3 3
Γ = (4 32 - 5 72 + 3 40) : 8
● Mετατρεψτε σε καταλληλα
γινομενα τα υπορριζα και ...
● Να κανετε πραξεις μεταξυ
των ριζων και ...
Δ = 24  3 - 3  3 + 3
Ε = 14 + 6 5 - 14 - 6 5
Ζ = 3 20 - 14 2 + 3 20 + 14 2
Α = | x - 1 | + | x - 2 | -4
• Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρα σταση :
3
Β = 5 38 3 3
Γ = 5 5 25 25 5
• Να συγκρινετε τους αριθμους :
• 2 +3
α
5
Β=
2
α2 - β2
•Δ =
•Η =
α
α+ β
α -β
3
μ ν
μν
α = α και ...
● Θεωρειστε τον εναν μεγαλυτερο απ’τον αλλο και ...
• 3 +2
Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με
ρητο παρονομαστη :
•Α =
● Το υπορριζο ειναι μη αρνητικος αριθμος και ...
● Χρησιμοποιειστε την ιδιοτητα:
α- β
3
Ε=
Θ=
2
4
0, 0016
1- 2
1+ 2
1
3
7 - 36
● Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και
α -1
παρονομαστη, ωστε να προΓ=
2
κυψει οπαρονομαστης ρητος.
α -1
α + 1 + α - 1 ● Κανετε χρηση δυναμεων και
Ζ=
ταυτοτητων.
α +1 - α -1
3
Ι= 3
4 -1
Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
• Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση :

Download Report