'Askhsh 1 Na knete tic prxeic ¸ste na 35 A = √ + 110 − 82 49 ∆= aplopoihjoÔn oi arijmoÐ: 7 B =2− 3 − 2 ! 3 4 − 2(3 − 6) + 4 − 3 2 3 4 Γ= 2− 1− 1 3 2 3 q√ √ √ √ E = ( 47 − 22)( 47 − 22) 'Askhsh 2 Na gÐnoun oi prxeic: (ab)2 · b−1 · (a2 b)−3 a2 b−2 · (b5 a)−1 · a · (a2 ba)−2 'Askhsh 3 An Π= kai a = 10−3 , b = 10−2 ab−2 · (a−1 b2 )4 · (ab−1 )2 a−2 b · (a2 b−1 )3 · a−1 b na apodeÐxete ìti Π = 100 . 'Askhsh 4 Na upologÐsete thn tim thc parstashc h i2010 h i2 − (−2)−3 + A = 2011 · (−1)2002 + (−1)2003 1 (−8)2 'Askhsh 5 a + b + c = 1997 A = a + 2b + 3c An kai b + 2c = 15 . 1 na aplopoi sete thn parstash 'Askhsh 6 Na apodeÐxete ìti 3 5 7 2+ + · 4 2 3+ 1+ − 2+ 4 5 ! 77 : 1+ =5 228 2 3 1 2 'Askhsh 7 Na apodeÐxete ìti 2 + 32 − 1 3 22 + 23 + 1 32 3 2 − 3 1 + 233 = · 2 2 1 + 32 23 − 32 'Askhsh 8 Prte ènan opoiond pote akèraio arijmì. meno tou. Pollaplasiste ton me ton mejepì- Tìte to apotèlesma pou br kate eÐnai pnta kat èna ligìtero apì to tetrgwno tou arijmoÔ pou brÐsketai anmesa touc. kai 5·5 = 25 ìti autì sumbaÐnei . Pardeigma: Knte merik dik sac paradeÐgmata gia na peisteÐte. gia opoiad pote trida 4 · 6 = 24 ApodeÐxte diadoqik¸n arijm¸n. 'Askhsh 9 Prte tèsseric siste pnta ton kat deigma: opoiousd pote pr¸to dÔo 7 · 10 = 70 sigoureuteÐte. me ton ligìtero kai diadoqikoÔc teleutaÐo. apì to 8 · 9 = 72 . Tìte ginìmeno akèraiouc to twn arijmìuc. apotèlesma dÔo pou mesaÐwn Pollapla- br kate arijm¸n. eÐnai Par- Knte merik dik sac paradeÐgmata gia na ApodeÐxte ìti autì sumbaÐnei gia opoiad pote tetrda diadoqi- k¸n arijm¸n. 'Askhsh 10 'Enac majht c kaj¸c èpaize me touc arijmoÔc ègraye 6 4+2 15 · 15 = · 15 = 4 + 2 · = 4 + 2 · 5 = 4 + 10 = 14 3 3 3 30 = 14 ? 30 = 2 · 15 = dhlad br ke . Ti p ge strab 2 'Askhsh 11 Na upologÐsete touc arijmoÔc A = 1004 + 1005 · 1004 − 1006 · 1003 B = 10043 − 10042 · 1003 − 1004 · 1003 − 1004 AntÐ na knete touc pollaplasiasmoÔc skefteÐte ìti 1005 = 1004 + 1 kai 1006, 1003 parìmoia ta . 'Askhsh 12* Na aplopoi sete touc arijmoÔc A = 317 · 5172 · 0 · 5 · 6189 · 35 B = (−1)2011 ∆= ShmeÐwsh: 2500 4250 E= Γ= 1 2 3 4 99 · · · · ... · · 100 2 3 4 5 100 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 499 + 500 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 998 + 1000 Kai ta pènte jèloun skèyh all qreizontai mìno aplèc idiìthtec pou xèrete. 'Askhsh 13 Na breÐte to prìshmo tou paraktw arijmoÔ (−2)(−4)(−6) · ... · (−2010) (−1)(−3)(−5) · ... · (−2009)(−2011) 'Askhsh 14 Se ti yhfÐo telei¸nei o arijmìc B =1·2·3·4·5·6·7·8·9 ? 3 MporeÐte na to breÐte qwrÐc na knete ìlouc autoÔc touc pollaplasiasmoÔc. 'Askhsh 15 BreÐte ton epìmeno arijmì (dhlad breÐte me poi logik ftiqnontai oi a- rijmoÐ) sta paraktw 1, 2, 3, 4, 5, ... 3, 6, 9, 12, 15, ... 3, 1, −1, −3, −5, ... 1, 4, 9, 16, 25, ... 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 2, 4, 7, 11, 16, 22, ... 1, 2, 6, 42, 1806, ... 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... Na exhgeÐsete eÐnai polÔ th logik dÔskolo oi pio ìmorfoi na arijmoÐ sac. to H duskolÐa breÐte. auxnei Parìlauta me autoÐ th eÐnai seir. oi pio To teleutaÐo shmantikoÐ kai onomzontai pe- se ìla ta majhmatik. 'Askhsh 16* Oi zugoÐ rittoÐ. zugoÔ noÔ ìti me arijmoÐ Autì me to 2 to rtioc to 2 onomzontai ìnoma den touc rtioi dwjeÐ perisseÔei perisseÔei sun kai èqei rtio upìloipo upìloipo dÐnei rtio. perittìc sun rtio dÐnei perittì. 1 . en¸ oi diìti en¸ monoÐ ìtan an knoume ParathreÐste EpÐshc arijmoÐ knoume perittìc me sun th th diaÐresh diaÐresh difora perittì enìc enìc mo- paradeÐgmata dÐnei rtio kai ProspajeÐste na apodeÐxete ìti aut ta trÐa sumbaÐnoun pnta. Upìdeixh: alli¸c ton Ja qreiasteÐ tuqaÐo èqoun th morf èqoun oi 2κ na perittì. ìpou κ parast sete AfoÔ oi akèraioc. kpwc rtioi ton tuqaÐo diairoÔntai me rtio to 2 kai kpwc shmaÐnei ìti Me parìmoio trìpo breÐte th morf pou perittoÐ. 4 'Askhsh 17* Na apodeÐxete ìti to jroisma, rht¸n arijm¸n eÐnai rhtìc Upìdeixh: JumhjeÐte me èna rhtì arijmì ρ ìti h diafor, to ginìmeno kai to phlÐko dÔo arijmìc. rhtoÐ arijmoÐ eÐnai tìte uprqoun akèraioi ta κ, λ klsmata. me λ 6= 0 'Ara ìtan tètoioi ¸ste èqou- ρ= κ . λ 'Askhsh 18** 'Estw x rhtoÐ. Na apodeÐxete ènac pragmatikìc arijmìc ìti kai o tètoioc ¸ste x arijmìc oi arijmoÐ x7 x12 kai na eÐnai na eÐnai eÐnai rhtìc. 'Askhsh 19** 'Estw x, y, z rhtoÐ. Na apodeÐxete pragmatikoÐ arijmoÐ tètoioi ìti o arijmìc ¸ste x2 + y 2 + z 2 oi arijmoÐ xy, yz, zx eÐnai rhtìc. 'Askhsh 20** Na apodeÐxete ìti to jroisma rhtoÔ kai rrhtou eÐnai rrhtoc. EpÐshc na apodeÐxete ìti to ginìmeno rhtoÔ kai rrhtou eÐnai rrhtoc (ektìc an o rhtìc eÐnai to 0 √ ). DeÐxte epÐshc ìti to jroisma m¸n llote eÐnai rrhtoc kai llote rhtìc. ìti to 2 kai to ginìmeno dÔo rrhtwn arij- Qrhsimopoi ste an to qreiasteÐte eÐnai rrhtoc arijmìc. 'Askhsh 21* O dieujunt c enìc gumnasÐou mzeye 25 majhtèc sunolik apì tic treic txeic tou sqoleÐou gia na summetsqoun sthn qorwdÐa. ston 9 majhtèc apì Upìdeixh: no Apl autoÔc logik . brÐskontai sthn Ðdia Ti ja sunèbaine ? 'Askhsh 22 5 an Na apodeÐxete ìti toulqi- txh. den tan al jeia to zhtoÔme- 'Ena ploÐo xekinei apì to limni A kai taxideÔei 5 mÐlia nìtia, sth sunè- qeia 6 mÐlia anatolik, xan 3 mÐlia nìtia kai agkuroboleÐ sto limni B. Pìsa mÐlia apèqei to limni A apì to ? limni B 'Askhsh 23* DÐnetai èna tuqaÐo trÐgwno. DeÐxte ìti eÐnai dunatì na kalufjeÐ olìklhro to epÐpedo apì apeÐrwc poll trÐgwna Ðdia me to dosmèno, ètsi ¸ste opoiad pote dÔo tètoia trÐgwna na mhn epikalÔptontai. 'Askhsh 24 Treic njrwpoi, o BasÐlhc, o Gi¸rgoc BasÐlhc lèei ìti o Gi¸rgoc yeÔdetai. kai o NÐkoc al jeia mia sunomilÐa. O O Gi¸rgoc lèei ìti o NÐkoc yeÔdetai. NÐkoc lèei ìti kai o BasÐlhc kai o NÐkoc yeÔdontai. lèei thn eÐqan O Poiìc yeÔdetai kai poiìc ? 'Askhsh 25 Pìsa yhfÐa èqei o arijmìc N = 12345678910111213...201020112012 ? 'Askhsh 26 Se èna autoÐ nhsÐ pou xeran o zoun lène ènac dÔo pnta ton eÐdh yèmata. llon: loujec apant seic: anjr¸pwn, Mìlic Pìsoi 0, 1, 2, 3, 4 . apì autoÐ pou rwt same sac lène Pìsoi apì lène pènte thn autoÔc pnta apì thn al jeia autoÔc, ? al jeia oi P rame tan yeÔtec kai opoÐoi tic akì- ? 'Askhsh 27 To triplsio arijmoÔ. enìc Na brejeÐ arijmoÔ auxhmèno kat 18 isoÔtai me to tetrgwno tou o arijmìc autìc. 'Askhsh 28 H MarÐa skèfthke dÔo arijmoÔc φ + ω = 15 kai gia touc autoÔc 2φ + 3ω = 40 . dÔo arijmoÔc φ kai ω , gia touc opoÐouc isqÔoun oi sqèseic H fÐlh thc MarÐac , h Iwnna, uposthrÐzei pwc isqÔei epiplèon 6 ìti φ2 − ω = 5 . 'Eqei dÐkio h ? Iwnna 'Askhsh 29 Me th bo jeia miac kleyÔdrac 9 5 7 lept¸n kai mÐac lept¸n na metr sete qrìno lept¸n. 'Askhsh 30 An sto embadìn enìc tetrag¸nou prosjèsoume Pìso m koc èqei h pleur tou 4 prokÔptei h perÐmetroc tou. ? 'Askhsh 31* Se 14 rièqei mia kouti 1 2 sokolta kouti me 2 uprqoun 3 sokoltec. eÐnai 3 25 Akìma megalÔteroc sokoltec kouti perièqoun sokoltec eÐnai mÐa, dÔo kai eÐnai gnwrÐzoume tou 6 kai ìti megalÔteroc treic gnwstì ìti o o arijmìc arijmìc apì 17 . ìti Na twn kje twn koutÐ pe- kouti¸n sokolat¸n prosdiorÐsete me sta pìsa sokoltec. 'Askhsh 32 Na gryete me sÔmbola tic paraktw frseic: a) To triplsio b) To jroisma enìc arijmoÔ auxhmèno kat twn tetrag¸nwn tri¸n 5 . arijm¸n. g) To exaplsio enìc arijmoÔ eÐnai megalÔtero apì to tetrgwnou tou meiwmèno kat d) To 7 . tetrgwno tou ginìmenou dÔo arijm¸n. e) To phlÐko twn tetrag¸nwn dÔo arijm¸n eÐnai Ðso me to jroisma twn arijm¸n aut¸n. z) 'Enac h) To j) H arnhtikìc arijmìc. jroisma twn riz¸n dÔo arijm¸n. rÐza tou ajroÐsmatoc dÔo arijm¸n. 'Askhsh 33** 7 a) Na apodeÐxete thn tautìthta b) Na x(x − 1) 2 2 + (x + 1)(x − 1) = 2x4 − 2x3 − x2 + 1 lÔsete thn exÐswsh Upìdeixh: 2x4 − 2x3 − x2 + 1 = 0 . ParagontopoÐhsh pou isqÔei gia qrhsimopoi¸ntac a kje pragmatikì arijmì katllhla th a2 ≥ 0 sqèsh . 'Askhsh 34*** Na breÐte touc α, β, γ pragmatikoÔc arijmoÔc pou ikanopoioÔn thn exÐswsh: α2 + β 2 + γ 2 + 2α − 4β + 6γ + 14 = 0 'Askhsh 35 Me 42 kìmh louloÔdia h anjodèsmec, Pìsa louloÔdia GewrgÐa Ðdiec me thc leÐpoun 7 èftiaxe tic anjodèsmec. prohgoÔmenec, all Jèlei èqei na ftixei 22 mìno 9 a- louloÔdia. ? 'Askhsh 36 Gia na parakolouj soun mia jeatrik parstash pl rwsan sunolik san sunolik gia ton 70 62 eur¸. kje gonèa eur¸. En¸ lloi 3 3 goneÐc goneÐc me ta me ta 5 paidi 4 paidi touc, touc, pl rw- Pìso kostÐzei to eisit rio gia to kje paidÐ kai pìso ? 'Askhsh 37 'Estw orjog¸nio ABGD kai trÐgwno AED èqei embadìn to embadìn E 12 shmeÐo pnw sthn pleur AB. DÐnetai kai to trÐgwno DEG èqei embadìn 35. tou trig¸nou EBG. 8 ìti to Na breÐte
© Copyright 2024 Paperzz
