Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje III. Konveksni skupovi i konveksne funkcije Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Ekonomski fakultet u Osijeku 24. studenog 2012. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 1 / 17 Sadržaj 1 Konveksni skupovi Sustavi linearnih algebarskih nejednadžbi Najbliža i najudaljenija točka Lokalni i globalni minimum Konveksna funkcija Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 2 / 17 Konveksni skupovi Definicija Skup S ⊆ Rn je konveksan ako za proizvoljne dvije točke x , y ∈ S i njihova spojnica xy ⊆ S, tj. ∀x , y ∈ S ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ S, y x ∀λ ∈ [0, 1]. y x Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 3 / 17 Primjer Presjek dva konveksna skupa je konveksan skup. x , y ∈ S1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ S1 x , y ∈ S2 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ S2 x , y ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x + (1 − λ)y ∈ S1 x , y ∈ S1 & x , y ∈ S2 & x + (1 − λ)y ∈ S2 ⇒ ⇒ x + (1 − λ)y ∈ S1 ∩ S2 Definicija Konveksna ljuska skupa S ⊆ Rn je najmanji konveksni skup koji sadrži skup S. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 4 / 17 Primjer Konveksna ljuska skupa S ⊆ Rn može se zapisati kao skup svih konveksnih kombinacija skupa S. S = {x , y } ⊂ R; {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} – Segment [x , y ] ⊂ R 2 {λx + µy + νz : λ + µ + ν = 1} – Trokut 4xyz ⊂ R2 m m P P λi = 1} – Poligon conv(x1 , . . . , xm ) ∈ R2 S = {x1 , . . . , xm } ⊂ R2 ; { λi xi : S = {x , y , z} ⊂ R ; 3 i=1 m P S = {x1 , . . . , xm } ⊂ R ; { i=1 λ i xi : i=1 m P λi = 1} – Poliedar conv(x1 , . . . , xm ) ∈ R3 i=1 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 5 / 17 Sustavi linearnih algebarskih nejednadžbi Primjer x +y ≥1 x −y ≤1 (a) x + y ≥ 1 (b) x − y ≤ 1 (c) x + y ≥ 1 & x − y ≤ 1 2.0 2.0 2.0 1.5 1.5 1.5 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 1 -1 2 3 1 -1 2 3 1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 -1.0 2 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 3 6 / 17 Primjer -4 -3 -2 3 x 2 2 x −y ≤1 1 − x2 − 1 -1 2 3 -1 + y 3 ≤1 y 2 ≤1 x ≥ −3 y ≤3 -2 Poliedar nastaje kao presjek poluravnina. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 7 / 17 Najbliža i najudaljenija točka Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r . 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 8 / 17 Najbliža i najudaljenija točka Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r . 5 4 3 2 1 1 Pravac p : 2 3 4 5 6 ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ; Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 8 / 17 Najbliža i najudaljenija točka Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r . 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ; Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 = ax √ 0 +by0 ; a2 +b 2 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 8 / 17 Najbliža i najudaljenija točka Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r . 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ; Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 = Točke Tm i TM vrhovi su poliedara S; ax √ 0 +by0 ; a2 +b 2 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 8 / 17 Najbliža i najudaljenija točka Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r . 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ; Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je √ 0 +by0 ; c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 = ax a2 +b 2 Točke Tm i TM vrhovi su poliedara S; Funkcija f (x , y ) = ax + by u točki Tm prima najmanju vrijednost, a u točki TM najveću vrijednost. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 8 / 17 Primjer T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5), T6 = (0, 5) r = 3e1 + 4e2 f (x , y ) = 3x + 4y 5 T5 T6 4 T1 3 T4 2 T2 T3 1 1 2 3 4 5 6 f (T1 ) = 16; δ1 = 3.2 f (T2 ) = 12; δ2 = 2.4 f (T3 ) = 13; δ3 = 2.6 f (T4 ) = 23; δ4 = 4.6 f (T5 ) = 32; δ5 = 6.4 f (T6 ) = 20; δ6 = 4 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. fakultet studenog u Osijeku) 2012. 9 / 17 Primjer T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5), T6 = (0, 5) r = 3e2 f (x , y ) = 3y 6 T6 5 T5 T1 4 3 2 T4 T2 T3 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 f (T1 ) = 12; δ1 = 4 f (T2 ) = 4.5; δ2 = 1.5 f (T3 ) = 3; δ3 = 1 f (T4 ) = 6; δ4 = 2 f (T5 ) = 15; δ5 = 5 f (T6 ) = 15; δ6 = 5 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 10 / 17 Primjer T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5), T6 = (0, 5) r = 2e1 f (x , y ) = 2x 6 T6 5 T5 T1 4 f (T1 ) = 0; δ1 = 0 f (T2 ) = 4; δ2 = 2 f (T3 ) = 6; δ3 = 3 3 2 T4 T2 f (T4 ) = 10; T3 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 δ4 = 5 f (T5 ) = 8; δ5 = 4 f (T6 ) = 0; δ6 = 0 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 11 / 17 Primjer 2.5x + 2y ≥ 8, r = 2e1 + 3e2 x + 2y ≥ 5, −x + 2y ≥ −1, f (x , y ) = 2x + 3y 6 5 4 f (T1 ) = 8.5; 3 f (T2 ) = 9; 2 δ2 ≈ 2.5 T1 T2 1 -1 δ1 ≈ 2.36 1 2 3 4 5 6 -1 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 12 / 17 Lokalni i globalni minimum Definicija Neka je f : D → R, D ⊆ Rn proizvoljna funkcija. Kažemo da je xL ∈ D točka lokalnog minimuma funkcije f na skupu D ako postoji okolina O točke xL , tako da je f (x ) ≥ f (xL ) za sve x ∈ O ∩ D. Točku xG zovemo točkom globalnog minimuma funkcije f ako je f (x ) ≥ f (xG ) za sve x ∈ D. xL xG Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 13 / 17 Konveksna funkcija Definicija Neka je D ⊆ Rn konveksan skup. Kažemo da je funkcija f : D → R konveksna ako vrijedi f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x ) + (1 − λ)f (y ) (1) za sve x , y ∈ D i za sve λ ∈ [0, 1]. x y Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 14 / 17 Primjer Sljedeće funkcije su konveksne funkcije f : R2 → R f (x , y ) = ax + by + c - linearna funkcija f : R3 → R f (x , y , z) = ax + by + cz + d - linearna funkcija f : R2 → R f (x , y ) = ax 2 + by 2 + c, a, b ≥ 0 - kvadratna funkcija Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 15 / 17 Primjer Sljedeće funkcije su konveksne funkcije f : R2 → R f (x , y ) = ax + by + c - linearna funkcija f : R3 → R f (x , y , z) = ax + by + cz + d - linearna funkcija f : R2 → R f (x , y ) = ax 2 + by 2 + c, a, b ≥ 0 - kvadratna funkcija Teorem Konveksna funkcija f : K → R definirana na konveksnom skupu K ⊆ Rn postiže jedinstveni globalni minimum. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 15 / 17 Primjer Neka su f , g dvostruko neprekidno derivabilne funkcije, takve da je f (x ) + g(x ) = const. Tada argmin f = argmax g min f + max g = c Ako je x0 stacionarna točka funkcije f , onda je x0 stacionarna točka funkcije g i obratno. f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) = 0 Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 16 / 17 Primjer Neka su f , g dvostruko neprekidno derivabilne funkcije, takve da je f (x ) + g(x ) = const. Tada argmin f = argmax g min f + max g = c Ako je x0 stacionarna točka funkcije f , onda je x0 stacionarna točka funkcije g i obratno. f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) = 0 Ako funkcija f u točki x0 postiže lokalni minimum, onda funkcija g u točki x0 postiže lokalni maksimum. Ako funkcija f u točki x0 postiže lokalni maksimum, onda funkcija g u točki x0 postiže lokalni minimum. f ”(x0 ) + g”(x0 ) = 0 f ”(x0 ) > 0 ⇒ g”(x0 ) < 0, f ”(x0 ) < 0 ⇒ g”(x0 ) > 0, Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 16 / 17 Specijalno, f (x ) + (−f (x )) = 0, pa vrijedi argmin f = argmax(−f ), max(−f ) + min f = 0. f x0 (−f ) Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku, Kvantitativne Sveučilište metodeu Osijeku Ekonomski 24. studenog fakultet u Osijeku) 2012. 17 / 17
© Copyright 2024 Paperzz