Uvod u linearnu algebru i analitičku geometriju
IV Vježbe: Skalarni proizvod vektora
Definicija: Skalarnim ili unutrašnjim proizvodom vektora a i b zvemo skalar jednak
proizvodu intenziteta vektora a i b i kosinusa ugla između vektora a i b . Skalarni proizvod
vektora a i b označavamo sa a  b . Prema tome, a  b  a  b  cos a, b .
 
Kako je projekcija vektora a na vektor b data sa projb a  a cos
 a, b  , skalarni proizvod
vektora a i b možemo pisati u obliku a  b  a proja b  b projb a .
Iz definicije skalrnog proizvoda neposredno slijedi i formula za izračunavanje kosinusa ugla
a b
između vektora a i b : cos a , b 
.
a b
 
Osobine skalrnog proizvoda vektora su:
1) a  b  b  a a, b V ;


  a , b V ,  
3)  a  b   c  a  c  b  c a , b , c V ;
2)  a  b    a   b  a  b
4) a  a  a
2
;
a V ;
5) a  b  0  a  0  b  0  a  b
a , b V .
1. Izračunati skalarni proizvod vektora a  3 p  2q i b  p  4q , gdje su p i q
uzajamno normalni jedinični vektori.
1
2
2. Naći brojnu vrijednost skalara 3 m  2m  n  4 n , ako je m  ,
3
 m, n  

3
n 6 i
.
3. Izračunati dužine dijagonala paralelograma ako su mu strane vektori a  2 p  2q i
b  p  3q gdje je p  2 2,
q 3 i
 p, q  

4
.
4. Odrediti ugao kojeg zaklapaju vektori a  3 p  2q i b  p  5q gdje su p i q
uzajamno mormalni ortovi.
1
Uvod u linearnu algebru i analitičku geometriju
5. Izračunati a  b ako je a  13 , b  19 i a  b  24 .
6. Dati su vektori a  p  3q, b  7 p  5q, c  p  4q i d  7 p  2q . Odrediti ugao
između vektora p i q ako je a  b i c  d .
7. Strane paralelograma ABCD su AB  a i AD  b . Izraziti visinu koja odgovara
strani AB pomoću vektora a i b .
8. Pomoću vektora dokazati kosinusnu i pitagorinu teoremu!
9. Dokazati da je centralni ugao dva puta veći od periferijskog ugla nad istom tetivom.
10. Dokazati da je vektor hipotenuzine visine geometrijska sredina hipotenuzinih
odsječaka.
11. Naći projekciju vektora a  10m  2n na vektor b  5m  12n , gdje su m i n
uzajamno normalni ortovi.
12. Ako su dati a ,
b,
 a, p  i
b , p  , naći projekciju vektora a  b na vektor
p.
2

III-ispit-AG-2012