close

Enter

Log in using OpenID

"φυσικες μεθοδοι" επιλυσης μαθηματικων προβληματων (2)

embedDownload
"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (2)
Σε συνέχεια της παλαιότερης ανάρτησης μου με τίτλο "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ"
ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ από εδώ, ας δούμε τη λύση μερικών
ακόμη Μαθηματικών προβλημάτων με τη χρήση εννοιών και αρχών της Φυσικής . Η
ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στους φίλους Γ. Δογραματζάκη και Θ. Μαχαίρα.
40 Πρόβλημα ( Η ισορροπία δίνει λύσεις)
Για δεδομένα σημεία Α, Β, Γ και Δ του χώρου ,να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου Ο,
ώστε το άθροισμα των αποστάσεών τους από αυτό : ΑΟ+ΒΟ+ΓΟ+ΔΟ να είναι ελάχιστο.
Απάντηση
Γ
A

TAB

 T
TA 
O

TB
Π1

T

T
B
κοινή διχοτόμος
Δ
Π2
Σχήμα 7
Θεωρούμε τέσσερα όμοια ελατήρια σταθερής τάσης με τάση Τ=1 , τα οποία
συνδέονται όπως στο σχήμα 7, δηλαδή συνδέουν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ με το σημείο Ο. Το
μήκος κάθε ελατηρίου , όπως έχουμε δει είναι ανάλογο της Δυναμικής του ενέργειας .Το
άθροισμα των μηκών των τεσσάρων ελατηρίων, ΑΟ+ΒΟ+ΓΟ+ΔΟ εκφράζει τη Δυναμική
ενέργεια του συστήματος. Άρα το άθροισμα ΑΟ+ΒΟ+ΓΟ+ΔΟ ελαχιστοποιείται , όταν
ελαχιστοποιηθεί η Δυναμική ενέργεια , δηλαδή στην κατάσταση ισορροπίας. Τότε για τις








δυνάμεις (τάσεις) των ελατηρίων θα ισχύει : Τ Α + Τ  + Τ  + Τ  =0  Τ Α + Τ  = - ( Τ  + Τ  )





 Τ ΑΒ = - Τ  (1). Επειδή ΤΑ= ΤΒ =ΤΓ= ΤΔ= 1 η συνισταμένη Τ ΑΒ των Τ Α και Τ 


ˆ και αντίστοιχα η συνισταμένη Τ των Τ και
βρίσκεται στην διχοτόμο της γωνίας 



ˆ .Άρα το σημείο Ο πρέπει να βρίσκεται στην
Τ  βρίσκεται στην διχοτόμο της γωνίας 
ˆ και 
ˆ (στο σχήμα 7 τα επίπεδα
ευθεία που αποτελεί την κοινή διχοτόμο των γωνιών 
Π1 και Π2 είναι κάθετα) και μάλιστα οι γωνίες αυτές να είναι ίσες, διότι με δεδομένο ότι
1
Ξ. Στεργιάδης
2
2
ˆ
ˆ
ΤΑ= ΤΒ =ΤΓ= ΤΔ= 1 : ΤΑΒ= 1  1  2 1 1συν(ΑΟΒ)
 ΤΑΒ= 2  2συν(ΑΟΒ)
( 2)
ˆ
ˆ )=συν( 
ˆ )  
ˆ = 
ˆ .
(2).Ομοίως ΤΓΔ= 2  2συν(ΓΟΔ)
(3). Από (1)  συν( 
(3)
Το άθροισμα των αποστάσεων των τεσσάρων σημείων από το σημείο Ο γίνεται ελάχιστο ,
ˆ και 
ˆ
όταν το σημείο Ο είναι το σημείο τομής της κοινής διχοτόμου των γωνιών 
ˆ και 
ˆ είναι ίσες , 
ˆ = 
ˆ και
που πρέπει να είναι ίσες. Ομοίως οι γωνίες 
έχουν κοινή διχοτόμο και το σημείο Ο θα μπορούσε να βρίσκεται στην κοινή διχοτόμο τους .
50 Πρόβλημα (Κρίκος, χορδή και ισορροπία versus κύκλου, εφαπτομένης και διχοτόμου)
Να βρεθεί το σημείο της περιφέρειας ενός κύκλου, που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας οξείας
γωνίας, για το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων από τις πλευρές της γωνίας γίνεται
ελάχιστο.
Απάντηση
y
A 




W B
O
οριζόντιο επίπεδο Π
διχοτόμος
y
A
ΡΟ
h
O
x

W
α Σ
 Ρ Ρ’
Ο

β
x
B
οριζόντιο επίπεδο Π
Σχήμα 8
Σχήμα 9
ˆ και
Στο σχήμα 8 φαίνεται το οριζόντιο επίπεδο (Π) στο οποίο βρίσκονται η οξεία γωνία xΟy
ο κύκλος κέντρου Ο. Στη θέση του κύκλου τοποθετούμε έναν κυκλικό κρίκο και «περνάμε»
από αυτόν στο σημείο Ρ και από τις πλευρές της γωνίας στα σημεία Α και Β μια χορδή , η
οποία δεν παρουσιάζει τριβές με τον κρίκο και την γωνία. Αν στα άκρα της χορδής
κρεμάσουμε δύο ίσα βάρη W, τότε το σύστημα θα ισορροπεί, όταν η χορδή είναι κάθετη στις
πλευρές της γωνίας, διότι σε άλλη περίπτωση η συνιστώσα της τάσης της χορδής θα
προκαλούσε την ολίσθησή της κατά μήκος των πλευρών της γωνίας. Έτσι τα τμήματα ΡΑ και
ˆ .
ΡΒ της χορδής αντιστοιχούν στις αποστάσεις του σημείου Ρ από τις πλευρές της γωνίας xΟy
Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής Δυναμικής ενέργειας το επίπεδο (Π).Η Δυναμική ενέργεια
του συστήματος είναι U= -2Wh όπου h=το μήκος των κατακόρυφων τμημάτων της χορδής
που σε σχέση με το μήκος της χορδής l είναι: h=l-(ΡΑ+ ΡΒ).Άρα η Δυναμική ενέργεια του
συστήματος δίνεται από τη σχέση :U= -2W  l - (ΡΑ + ΡΒ)  .Από την τελευταία σχέση
προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή για το άθροισμα ΡΑ+ Ρ Β , τόσο μεγαλύτερη είναι
η Δυναμική ενέργεια του συστήματος, επομένως η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος ΡΑ+ Ρ Β
αντιστοιχεί στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος όπου η Δυναμική ενέργεια είναι
ελάχιστη. Από την ισορροπία του συστήματος όπως φαίνεται στο σχήμα 9 για τις δυνάμειςτάσεις της χορδής Τ στην διεύθυνση της εφαπτομένης στον κρίκο (κύκλο) έχουμε ότι :
T=W
Τσυν αˆ =Τσυν βˆ  Wσυν αˆ = Wσυν βˆ  συν αˆ = συν βˆ  αˆ = βˆ (1).
Δηλαδή το άθροισμα των αποστάσεων από τις πλευρές της γωνίας γίνεται ελάχιστο , όταν
τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ σχηματίζουν με την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Ρ ίσες γωνίες.
Γοητευτικό συμπέρασμα
ˆ είναι κάθετη στην
Η συνθήκη αˆ = βˆ αποδεικνύει ότι και η διχοτόμος της γωνίας xΟy
εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Ρ διότι από το τετράπλευρο ΑΡΒΟ :
2
Ξ. Στεργιάδης
(1)
ˆ =1800 - Ρˆ  xΟy
ˆ =1800 – ( 1800 - αˆ - βˆ )  xΟy
ˆ = αˆ + βˆ 
xΟy
(1)
ˆ =2 αˆ  xΟΡ
ˆ = αˆ και ΡΟy
ˆ = βˆ , άρα αφού ΡΑ  Οx τότε και ΟΣ  στην
xΟy
εφαπτομένη του κύκλου στο Ρ. Επομένως η θέση του σημείου Ρ όταν το άθροισμα ΡΑ+ Ρ Β
γίνεται ελάχιστο βρίσκεται στο άκρο της ακτίνας του κύκλου που είναι παράλληλη στη
ˆ και κατευθύνεται προς την κορυφή της γωνίας. Αντίθετα το
διχοτόμο της γωνίας xΟy
ˆ γίνεται
άθροισμα των αποστάσεων του σημείου Ρ από τις πλευρές τις γωνίας xΟy
μέγιστο ,όταν το σημείο Ρ βρίσκεται στο άκρο της ακτίνας του κύκλου που είναι παράλληλη
ˆ και κατευθύνεται προς το «άνοιγμα» της γωνίας (θέση Ρ΄).
στη διχοτόμο της γωνίας xΟy
60 Πρόβλημα (Η καλλίτερη «μανούβρα» γίνεται στην «ισορροπία»)
Δύο διάδρομοι με πλάτη α και β αντίστοιχα σχηματίζουν ορθή γωνία. Ποιο είναι το μέγιστο
μήκος ενός ιστού που μπορεί να περάσει από την γωνία καθώς αυτός μετακινείται από τον
ένα διάδρομο στον άλλο;
Απάντηση Το μέγιστο μήκος που μπορεί να περάσει από την
γωνία, αντιστοιχεί στο ελάχιστο μήκος που πρέπει να έχει ένα
πτυσσόμενο αντικείμενο (π.χ μιας πτυσσόμενης σκάλας), ώστε
καθώς περνάει από τη γωνία τα άκρα του, μόλις να ακουμπούν
στις εσωτερικές επιφάνειες των εξωτερικών τοίχων ΛΚ και ΚΜ
των διαδρόμων. (Σχήμα 10)
Θα χρησιμοποιήσουμε ένα «μηχανικό αναλογικό computer».Μια
πτυσσόμενη ράβδος που αποτελείται από ένα αερόκενο κύλινδρο
που έχει έμβολο και φέρει στα άκρα της Α και Β δύο δακτύλιους
που μπορούν να κινούνται στις εσωτερικές επιφάνειες των
εξωτερικών τοίχων των διαδρόμων χωρίς τριβές. (Σχήμα 11) Στο
σημείο επαφής Γ της ράβδου με την εσωτερική γωνία που
*
Λ
σχηματίζουν οι διάδρομοι , υπάρχει χιτώνιο (sleeve) που
επιτρέπει στη ράβδο να ολισθαίνει ελεύθερα χωρίς τριβές.
Η Δυναμική ενέργεια της πτυσσόμενης ράβδου είναι μονότονη
συνάρτηση του μήκους της ΑΒ. Η ελάχιστη τιμή της
Δυναμικής ενέργειας ,άρα και του μήκους της ράβδου,
αντιστοιχεί στην κατάσταση ισορροπίας όπου η συνισταμένη
των δυνάμεων και των ροπών που επιδρούν στη ράβδο πρέπει
να είναι μηδέν. Στη ράβδο επιδρούν οι αντιδράσεις των τοίχων
στα άκρα Α και Β της ράβδου που είναι κάθετες στους τοίχους
και η αντίδραση από τη γωνία Γ που επίσης είναι κάθετη στη
ράβδο ,αφού το χιτώνιο δεν παρουσιάζει τριβές κατά την
επαφή του με την γωνία Γ. Στην κατάσταση ισορροπίας οι
τρεις δυνάμεις πρέπει να συντρέχουν στο σημείο Ο.

συνφˆ
ΟΓ
Από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο Γ Α : σφ φˆ =
 ΟΓ=ΑΓ
(1)
ΑΓ
ημφˆ

ημφˆ
ΟΓ
Από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο Γ Β : εφ φˆ =
 ΟΓ=ΓΒ
(2)
ΓΒ
συνφˆ
συνφˆ
ημφˆ
Από τις (1) και (2) : ΑΓ
= ΓΒ
(3)
ημφˆ
συνφˆ

Από το ορθογώνιο τρίγωνο Α Δ Γ : ημ φˆ =
α
ΑΓ
3
 ΑΓ=
α
ημφˆ
Α
α
Γ
β
Β
Σχήμα 10
Α
α
Δ

NA φ
Ο
φ
Γ

ΖN

N
Κ
Β
B
φ
β
Μ
Σχήμα 11
(4)
Ξ. Στεργιάδης

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΖΒ : συν φˆ =
β
ΓΒ
 ΓΒ=
β
συνφˆ
( 5)
συνφˆ
ημφˆ
ημ 3φˆ
β
α
=β

=
 εφ φˆ = 3 .Το ελάχιστο μήκος της
2
2
3
(5)
ημ φˆ
συν φˆ
συν φˆ α
β
ράβδου αλλά και μέγιστο μήκος του ιστού που μπορεί να περάσει από τη γωνία είναι :
(4)
α
β
ΑΒ =ΑΓ+ΓΒ  ΑΒ=
+
.
(5)
ημφˆ συνφˆ
(4)
Από (3)  α
*Χιτώνιο =sleeve(Αγγλ)=σύνδεσμος σύνδεσης σωλήνων. Αξίζει να λεχθεί ότι το «sleeve»
ως όρος της μηχανικής είναι δάνειο από την πρώτη σημασία του όρου που είναι «μανίκι
ρούχου».Εύλογο αφού περιβάλλει τους υπό σύνδεση σωλήνες. Η σύνδεση των τμημάτων της
πτυσσόμενης ράβδου θα μπορούσε να γίνει με «μούφα» = εξάρτημα σύνδεσης σωλήνων σε
υδραυλικές εγκαταστάσεις. Το «μούφα» μπορεί να έχει προέλθει από το muffe(Γερμ)=μανίκι,
ή από το muff(Αγγλ)=περιχειρίδα, μανκόν(manchon, Γαλλ=μανσέτα)),γούνινο εξάρτημα της
γυναικείας ενδυμασίας κατά το 190 αιώνα, αλλά και προσφάτως, όπου τα χέρια μπαίνουν
μέσα σ’ ένα γούνινο «σωλήνα» που αντικαθιστά τη χρήση γαντιών, όταν μάλιστα τα δάκτυλα
φέρουν μεγάλα δακτυλίδια, ή από το moufle(Γαλλ)=ρύγχος. Επικρατέστερη θεωρείται η
εκδοχή ο όρος «μούφα» να προέρχεται εκ της Γερμανικής ,αφού στα μέσα του 1830 ο όρος
υπάρχει στον δεύτερο τόμο του « Handbuch der theoretishen und practischen
Wasserbaukunst» = «Εγχειρίδιο της θεωρητικής και πρακτικής υδραυλικής». Με την έλευση
του Όθωνα και των Βαυαρών προφανώς το παλάτι και τα σπίτια των αυλικών έπρεπε να
έχουν υδραυλικές
εγκαταστάσεις.
Χιτώνιο=sleeve
Μούφες =muffe
Περιχειρίδα=manchon
Αλλά και …
Raccord (ρακόρ) -Manchon
PVC- Manchon
Συνεχίζεται...;
4
Ξ. Στεργιάδης
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
165 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content