Prof. Mira Mihajlović Petković

Prof. Mira Mihajlović Petković
1
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ŠILJASTOG KUTA
sin  
nasuprotna kateta a

hipotenuza
c
cos  
priležeća kateta b

hipotenuza
c
tg 
nasuprotna kateta a

priležeća kateta
b
ctg 
Definicijski identiteti
Veza među kutovima pravokutnog trokuta
je     90 ,
pa ih zovemo komplementnarni kutovi.
cos  90     cos 
tg  90     tg
ctg  90     ctg
45 º
ctg 
cos 
sin 
tg  ctg  1
tg 
Tablica vrijednosti trigonometrijskih
funkcija
30 º
sin 
cos 
tg 
sin  90     sin
kut
priležeća kateta
b

nasuprotna kateta a
1
ctg
ctg 
1
tg
Pitagorini identiteti
60 º
sin2   cos 2   1
sin
tg 2  1 
cos
tg
1
ctg
1
Prof. Mira Mihajlović Petković
2
1
cos2 
ctg 2  1 
1
sin2 
Povijest
Trigonometrija je posebna grana matematike. Dolazi od riječi trigonom (trokut)
i metron (mjera). Elemente trigonometrije nalazimo u starogrčkoj matematici. Razvija
se u indijskoj i arapskoj matematici, a do 15. stoljeća prelazi u Europu gdje
doživljava procvat.
Prva trigonometrijska računanja javljaju se vrlo rano još u starom Babilonu i u
Egiptu, a uglavnom zbog potreba astronomije. U Rhindovu papirusu (Ahmesovoj
računici), oko 18. st. pr. Kr. ima naznaka korištenja geometrijskih metoda, koja su
Egipćanima služila pri građenju piramida i mjerenju polja. Koristi se poseban naziv
segt, no ne zna se je li on predstavljao današnji kosinus ili kotangens.
Začetnicima trigonometrije drže se Grci u 3. st. pr. Kr. i to astronom Aristarh i
njegov učenik Hiparh iz Nikeje. On je napravio prve tablice duljina tetiva za različite
središnje kutove. Menelaj (1. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi Sferika prikazuje po prvi
put trigonometriju kao posebnu znanost!. U 2. stoljeću posl. Kr. bitan razvoj
trigonometrije načinio je Ptolomej, tvorac geocentričnog sustava, u svom djelu
poznatom po arapskom nazivu "Almagest". Prve tablice sinus funkcije sastavili su
Indi u 5. st. posl. Kr. Znanje trigonometrije od Inda preuzimaju Arapi u 8. st. Oni
uvode tangens i kotangens. A Europljanin Regiomontan uvodi kosinus funkciju.
Porijeklo imena trigonometrijskih funkcija
Naziv sinus i kosinus u europske jezike stigao tehnikom pokvarenog telefona.
Prvi naziv za sinus i kosinus je jiva i kotijiva, a dali su stari Indijci.
Najprije se rabi naziv ordhajiva (polovica tetive) i to je ime u skladu sa značenjem
sinusa Jiva na sanskrtu znači `tetiva'. Arapi tu riječ prenose kao jiba što na
arapskom nema značenja pa je zamjenjuju s istozvučnicom džaib (što se piše kao i
džiba), a znači “zaljev”. Europski srednjovjekovni prevoditelj (Robert iz Chestera) tu
riječ doslovno vodi latinskoj riječi sinus (zaljev).
Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke.
Naziv kosinus nastao je početkom 17. st. (E. Gunter 1620.) kao kratica od
complementi sinus.
Kosinus prema tome u prijevodu znači: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su
razloga imena dobili kotangens i kosekans.
Prof. Mira Mihajlović Petković
3
Upotreba
Određivanje udaljenosti
Mjeseca
Potrebe mjeriteljstva bile
su kroz povijest, uz
astronomska mjerenja,
najvažniji razlog razvoja
trigonometrije. je odrediti
udaljenost dviju najčešće
nedostupne točake.
Prof. Mira Mihajlović Petković
4
Pitagorin poučak:
Pitagorin poučak:
Zbroj kvadrata kateta jednak je
zbroju kvadrata hipotenuze u
pravokutnom trokutu
a2  b2  c 2
Zbroj kutova u bilo kojem
trokutu iznosi 180°
      180
U pravokutnom trokutu zbroj
kutova α i β jednak je kutu γ
      90
Sukladnost rokuta
Poučci o sukladnosti trokuta
Dva su trokuta sukladna ako su im:
i. - tri stranice jednake
(sss)
ii. - dvije stranice jednake
(sks)
iii. - dva kuta jednaka
(ksk)
iv. dvije stranice jednake i kut nasuprot dulje stranice
.
Prof. Mira Mihajlović Petković
5
(ssk)
Zlatni rez
Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza.
Ukupna dužina a + b je većem segmentu a isto što je a kraćem segmentu b.
U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u zlatnom rezu ako je omjer između sume te
dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni
rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.[1]
Najkasnije od Renesanse, mnogi umjetnici i arhitekte su nastojali svoje radove praviti prema
pravilima zlatnog reza, posebno u obliku zlatnog pravokutnika, u kojem je omjer duže
stranice naspram dužine kraće stranice zlatni rez, a vjerovalo se da je ova proporcija
estetski zadovoljavajuća. Matematičari su proučavali zlatni rez zbog njegovih jedinstvenih i
interesantnih osobina.
Zlatni rez se često označava sa grčkim slovom ϕ (fi). Izgled zlatnog isječka ilustrira
geometrijsku vezu koja definiše ovu konstantu. Izraženo algebarski:
Ova jednačina ima, kao jedinstveno, pozitivno rješenje, algebarsko iracionalan broj
[1]
Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su zlatni
isječak (latinski: sectio aurea), zlatna sredina, zlatni broj i grčko
slovo fi (ϕ).[2][3][4] Ostali termini, koji se susreću, jesu ekstremni i srednji
omjer, medijalni isječak,božanska proporcija, božanski isječak (latinski: sectio
divina), zlatna proporcija, zlatni omjer,[5], te Fidiasova sredina.[6][7][8]
Prof. Mira Mihajlović Petković
6
Primjeri i zadatci
Pravokutni trokut
c 2  a2  b2
c  vc
ab
P
P
2
2
Pitagorin poučak
Površina
c  pq
Opseg
o abc
polumjer opisane kružnice
r 
c
2
 ABC  ACD
a b c
 
vc q b
 ABC CBD
a b c


p vc a
 ACD CBD
vc
q b


p vc a
1. Izračunaj ostale elemente pravokutnog trokuta ako je zadano:
a) a  73.45cm, b  22,56cm
b) c  5.25cm,   5211' 21''
c) c  7.15cm,  6251'31''
d) a  4,25cm,  2312'56 ''
e) b  7,25cm,   6342' 26 ''
f)
c  5.25cm, a  2.58cm
g) c  9.65cm, b  7.28cm
Prof. Mira Mihajlović Petković
7
2. Odredi šiljaste kutove pravokutnog trokuta i površinu trokuta ako je a = 7.8,
b = 5.2.
3. U pravokutnom trokutu je  = 56°43`15``, b = 7. Nađi nepoznate elemente toga
trokuta.
4. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je a  56.31cm ,   5240' 25' ' .
5. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je b  16.31cm,  6241'35 '' .
6. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je p  6.31cm,   3241'35 '' .
7. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je q  26.51cm,  4241'35 '' .
8. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je p  34,25cm,v c  23,45cm
9. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je q  14,55cm,v c  13,25cm
10. Izračunaj površinu pravokutnog trokuta, ako je p  34,67cm, a  56,45cm .
11. Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je a  c  52cm ,  3915' .
12. Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je b  c  72cm,   2945 ' .
13. Odredi nepoznate elemente na slici:
Prof. Mira Mihajlović Petković
8
Jednakokračni trokut
a v
2
o  a  2b
P
Površina
Opseg
P
b  v1
2
2
a
b     v2
2
v
a
sin  
cos  
b
2b
2


 cos 
cos  sin 
2
2
2v

a
tg  
tg 
a
2 2v
v
v
sin   1
sin   1
a
b
sin
14. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice 12
cm, a kut nasuprot osnovici 75 .
15. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 12 cm,
a kut nasuprot osnovici 75 .
16. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 12 cm,
a kut uz osnovicu 75 .
17. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice
8cm, a kut nasuprot osnovici 55 .
18. Ako je duljina kraka 4cm,a kut na osnovici 42 , odredi površinu jednakokračnog
trokuta?
19. Odredi duljinu visine na krak u jednakokračnom trokutu kojemu je osnovica 5 cm i
kut uz osnovicu 35°.
20. Osnovica jednakokračnog trokuta je 12cm, a krak je od visine na osnovicu dulji za
2 cm. Odredi kutove i opseg trokuta
Prof. Mira Mihajlović Petković
9
Pravokutnik
Površina
Opseg
P  ab
o  2a  2b
b
d
a
cos  
c
 b
tg 
2 a
 b
sin 
2 d
 a
cos 
2 d
2
d  a2  b2
sin  
21. Odredi površinu i opseg pravokutnika ako dijagonala duljine 10cm zatvara s
dužom stranicom kut od 6535' .
22. Odredi površinu i opseg pravokutnika ako duža stranica duljine 10cm zatvara s
dijagonalom kut od 6535' .
23. Površina pravokutnika je 45cm2,a kut među dijagonalama je 42 . Odredi duljine
stranica.
24.
Konstrukcija zlatnog pravokutnika:
1. Konstruiraj jedinični kvadrat (crveno).
2. Povuci liniju sa sredine jedne stranice u suprotan kut.
3. Iskoristi tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji
definira dužu dimenziju pravokutnika.
Na osnovu pravila zlatnog reza konstruiraj pravokutnik kome je kraća stranica 5 cm i
izračunaj kut između njegovih dijagonala.
Prof. Mira Mihajlović Petković
10
Romb
P  a v
Površina
Opseg
e f
2
o  a  2b  c
P

f
v

sin  
2 2a
a

e
cos 
2 2a
 f
tg 
2 e
    180
sin
25. Ako je omjer dijagonala romba 3 : 4, koliki su kutovi.
26. U rombu su dijagonale dugačke 12 i 14. Odredi šiljasti kut romba.
27. Odredi šiljasti kut romba kojem je površina 240cm2, a stranica 17cm.
28. Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 1,4 m, kome
su sve stranice jednake. Koliki kut zatvaraju te stranice.
Pretpostavka je da je
zmaj smješten na
papiru kao na slici:
Kolika je površina
iskorištenog i
neiskorištenog
papira?
Prof. Mira Mihajlović Petković
11
Jednakokračni trapez
Površina:
sin  
v
b
P
ac
v
2
cos  
ac
2b
2  2  360
ac 
d2  v2  

 2 
2
29. Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove jednakokračnog
trapeza ako je površina 45cm2.
30. Osnovice jednakokračnog trapeza su duljine 8 cm i 6cm, površina mu je
14 3cm 2 .Nađi duljinu kraka b i dijagonale trapeza.
31. Dulja osnovica jednakokračnog trapeza je duljine 8 cm, a krak 6 cm, a visina mu
je 4 cm.Nađi unutrašnje kutove trapeza i površinu..
32. Zadana je duljina dijagonale jednakokračnog trapeza 12 cm, te duljine osnovica 6
i 8 cm. Odredi visinu i površinu trapeza.
33. Ako je opseg trapeza 40 cm, a duljine osnovica su 14 i 10 cm. Odredi površinu i
duljinu dijagonale trapeza.
34. Ako je omjer duljina osnovica trapeza 5 : 4, krak je duljine 7 cm, a šiljasti kut uz
veću osnovicu 67 , odredi površinu i opseg trapeza.
35. Ako je razlika duljina osnovica 5 cm, krak jednakokračnog trapeza 8 cm i visina 5
cm, odredi površinu i duljinu dijagonale trapeza.
Prof. Mira Mihajlović Petković
12
Obodni i središnji kut
Za obodni i središnji kut
iznad iste tetive vrijedi da
je obodni kut duplo manji
od središnjeg kuta, što
vidimo na slici. Dobili
smo dva jednakokračna
trokuta BCA i BCS, pa
koristimo formule za taj
trokut.
36. Koliki je obodni kut nad tetivom duljine 10cm ako je polumjer kružnice 15cm?
37. Odredi duljinu tetive ako je obodni kut nad tom tetivom 75 , a polumjer kružnice
6cm.
Pravilni n-terokut
Kad znamo da je

360
, gdje je
n
N – broj stranica pravilnog n-terokuta.
r- radijus opisane kružnice,
a v visina karakterističnog trokuta
n-terokuta i radijus upisane kružnice,
i vidimo da je karakteristični trokut
jednakokračan, samo primijenimo već
poznate formule za taj trokut.
Prof. Mira Mihajlović Petković
13
38. Kolika je površina pravilnog deveterokutna opisanog kružnici polumjera 4cm?
39. Kolika je površina pravilnog peterokuta koji je upisan u kružnicu polumjera 8cm?
Primjena trigonometrije
40. Tunel dužine 450 m spušta se pod kutom od 12°40´. Koliko je izlaz iz tunela niži
od ulaza.
41. Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 3,8 m, kome
je kut između dvije manje stranice   71,08 . .
Pretpostavka je da je zmaj smješten na papiru kao na slici: Kolika je površina
iskorištenog i neiskorištenog papira?
Uputstvo: Koristi formulu za površinu deltoida P 
e f
i svojstvo da dijagonala e
2
dijeli kut  na jednake dijelove. Zmaj iz zadatka 28. će mnogo slabije letjeti nego
zmaj iz ovog zadatka.
Prof. Mira Mihajlović Petković
14
42. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera
podnožje reklame vidi se pod kutom 42 , a njen vrh pod kutom 45 . Kolika je visina
reklame?
43. Sa prozora visokog 20m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 12 , a sa
zemlje (točno ispod prozora) pod kutom od 58 . Koliko je visoka zgrada?
Prof. Mira Mihajlović Petković
15
Rješenje: Zgrada je visoka h = x + y
Iz trokuta BDA je tg12 
x
x
 DB 
DB
tg12
Iz trokuta CEA je tg 58 
x y
x y
 CE 
CE
tg 58
A kako je
DB  CE 
x
x y
x
x  20

i y  20 =>

tg12 tg 58
tg12 tg 58
=> x  tg 58   x  20   tg12
Riješimo jednadžbu po x:
x  tg 58  x  tg12  20  tg12
x  tg 58  x  tg12  20  tg12
Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo:
1,3875 x  4, 2511/ :1,3875
x  3, 06  3m
=> Zgrada je visoka h=23 metra.
Prof. Mira Mihajlović Petković
16
Samostalni projekt:
A. Dana je mreža cesta i neki elementi te mreže. Izračunaj nepoznate duljine i
kutove označene na slici.
B. Marko treba skrenuti u mjestu A da bi stigao do mjesta C najkraćim putem. Koliko
mu se produžuje put ako ne skrene sa autoputa kod mjesta A, nego kod:
I. Mjesta D
II. Mjesta B
C: Ako pretpostavimo da vozi prosječnom brzinom v  90
ako je skrenuo je skrenuo u:
I. Mjestu D
II. Mjestu B
III. Mjestu F
Prof. Mira Mihajlović Petković
17
III. Mjesta F
km
, koliko će kasnije stići
h
D. Ako žuri na intervju za posao i mora stići točno na vrijeme, a uračunao je da će
stići 20 minuta ranije, ako točno skrene, koliko si nonšalantnosti može dozvoliti pri
praćenju izlaza sa autoputa, tj. koliko izlaza može propustiti, da bi stigao na
vrijeme.
Rješenja:
A.
X=_____________
Y=_____________
l=_____________
z=_____________
v=_____________
t=_____________
  ___________
  ___________
  ___________
  ___________
  ___________
  ___________
B.
s0  d  A,C   _________________
I
s1  d  A, D   d  D, E   d  E,C   _________________
II.
s2  d  A, B   d  B,C   _________________
III.
s3  d  A, F   d  F ,C   _________________
s1  s1  s0  __________________
s2  s2  s0  __________________
s3  s3  s0  __________________
C.
Vrijeme 
t
I:
II.
s
v
put
brzina
s1
 _________________
v
s
t 2  2  _________________
v
t1 
Prof. Mira Mihajlović Petković
18
III.
t3 
s3
 _________________
v
D.
Može si dozvoliti da skrene na izlazima: _________________________.
Prof. Mira Mihajlović Petković
19
Primjer ispita znanja
1. Zadan je pravokutan trokut s elementima :
I. a = 9.1 cm, b = 6.6 cm, nađi preostale elemente trokuta : c, , β te
površinu trokuta.
II. c = 7.1 cm i  = 45° 38´, nađi preostale elemente trokuta : a, b, β te
površinu trokuta.
2. Popuni tablicu
Kut 
sin
78°56´53″
0,34567
cos
tg
ctg
0,9876
0.3267
1.0981
3. Zadan je jednakokračni trokut s elementima a= 11.2 cm i b= 13.5 cm,
izračunaj preostale elemente trokuta visinu v, kutove , β, te površinu
trokuta.
4. Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove tog
trapeza ako je površina 45cm2.
5. Pod koji se kutom sijeku Ulica Lipa i Ulica Japanskih trešanja? Ikoliko je
duga Ulica Japanskih trešanja
Prof. Mira Mihajlović Petković
20
Prof. Mira Mihajlović Petković
21

Download Report