VIEW

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2010
∆ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
΄Εκτη Σειρά Ασκήσεων
Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 17/12/2010
Ηµεροµηνία Παράδοσης : 14/1/2011
Θέµατα : Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές.
΄Ασκηση 1. Η συνεχής τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.):
½
fX (x) =
a(1 − 0.1|x|) για − 10 ≤ x ≤ 10,
0 αλλιώς,
όπου a µία σταθερά.
(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της σ.π.π. και υπολογίστε το a.
(ϐ) Υπολογίστε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τ.µ. X .
(γ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.), FX (x), της X και δώστε τη γραφική
της παράσταση.
΄Ασκηση 2. Η ποσότητα ψωµιού (σε χιλιάδες κιλά) που πουλάει ένα αρτοποιείο κατά τη διάρκεια
µιας ηµέρας είναι συνεχής τ.µ. X µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

0≤x<3
 cx
c(6 − x) 3 ≤ x < 6
fX (x) =

0
αλλιώς
(α) Υπολογίστε την τιµή της σταθεράς c.
(ϐ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, FX (x), της τ.µ. X .
(γ) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της FX (x) και δείξτε ότι είναι µία έγκυρη α.σ.κ.
(δ) Ποια η πιθανότητα ότι σε µία ηµέρα ϑα πουληθούν : (ι) περισσότερα από 300 κιλά ψωµί, (ιι)
µεταξύ 150 και 900 κιλών ψωµί ;
(ε) Αν A και B είναι τα γεγονότα (ι) και (ιι), αντίστοιχα, είναι τα A και B ανεξάρτητα ;
΄Ασκηση 3. ∆ίδεται η τ.µ. X ∼ U [2, 10], δηλαδή, η X είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [2, 10]. Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος X 2 − 12X + 35 > 0.
΄Ασκηση 4. ΄Ενα κύκλωµα υπολογιστή έχει διάρκεια Ϲωής η οποία αποτελεί µία συνεχή τυχαία
µεταβλητή. ΄Εστω ότι ένα εργοστάσιο παράγει ένα µείγµα ¨καλών¨ και ¨κακών¨ κυκλωµάτων. Για
κάποια ϑετική σταθερά α, η διάρκεια Ϲωής των καλών κυκλωµάτων είναι εκθετικά κατανεµηµένη
µε παράµετρο α ενώ η διάρκεια Ϲωής των κακών κυκλωµάτων είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παϱάµετρο 1000α. ΄Εστω ότι το ποσοστό των καλών κυκλωµάτων είναι p και ότι το ποσοστό των κακών
κυκλωµάτων είναι 1 − p.
(α) Υπολογίστε την πιθανότητα ότι ένα τυχαία επιλεγµένο κύκλωµα εξακολουθεί να λειτουργεί µετά
από t µονάδες χρόνου.
Πιθανότητες - 2010/΄Εκτη Σειρά Ασκήσεων
2
(ϐ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής και την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
της διάρκειας Ϲωής ενός τυχαία επιλεγµένου κυκλώµατος.
(γ) Για να γίνει διαλογή των καλών κυκλωµάτων, κάθε κύκλωµα δοκιµάζεται για t µονάδες χρόνου
και µόνο εκείνα τα οποία δεν χαλάνε κατά τη δοκιµή αποστέλλονται στους πελάτες. Υπολογίστε την
πιθανότητα ότι ένας πελάτης λαµβάνει ένα ¨κακό¨ κύκλωµα ως συνάρτηση των παραµέτρων α, p,
και t. Αν p = 0.9, πόσο πρέπει να διαρκεί η δοκιµή (δηλαδή, πόσο µεγάλο πρέπει να είναι το t)
ώστε η πιθανότητα να στέλνονται κακά κυκλώµατα στους πελάτες να είναι µικρότερη από 1%;
΄Ασκηση 5. Οι τ.µ. X και Y είναι από κοινού Γκαουσιανές µε µέση τιµή µηδέν και διασπορά
µονάδα. Επίσης, ισχύει ότι E[XY ] = 0.5. Υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των
τ.µ. W = X + Y και Z = |W |.
΄Ασκηση 6. ΄Ενα στατιστικό µοντέλο που έχει προταθεί για το επαγγελµατικό πρωτάθληµα µπάσκετ
των ΗΠΑ προβλέπει ότι όταν συναντώνται δύο σχετικά ισοδύναµες οµάδες, ο αριθµός των πόντων
που σκοράρει σε µία περίοδο η εντός έδρας οµάδα µείον τον αριθµό των πόντων που σκοράρει η
ϕιλοξενούµενη οµάδα ακολουθεί κανονική τ.µ. µε µέση τιµή 1.5 και διασπορά 6. Επίσης, το µοντέλο υποθέτει ότι οι διαφορές σκοραρίσµατος κατά τις 4 περιόδους που διαρκεί ένας αγώνας είναι
ανεξάρτητες τ.µ.
(α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσει η εντός έδρας οµάδα ;
(ϐ) Ποια η δεσµευµένη πιθανότητα να κερδίσει η εντός έδρας οµάδα δεδοµένου ότι στο ηµίχρονο
είναι πίσω στο σκορ κατά 5 πόντους ;
(γ) Ποια η δεσµευµένη πιθανότητα να κερδίσει η εντός έδρας οµάδα δεδοµένου ότι στο τέλος της
πρώτης περιόδου προηγείται µε 5 πόντους ;
΄Ασκηση 7. Οι συνεχείς τυχαίες µεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας
πιθανότητας :
½
ax για 1 ≤ x ≤ 2 και 0 ≤ y ≤ x
fX,Y (x, y) =
0 αλλιώς,
όπου a µία σταθερά.
(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση του πεδίου τιµών των τ.µ. X και Y και υπολογίστε το a.
(ϐ) Υπολογίστε την περιθωριακή σ.π.π. της τ.µ. Y , fY (y).
(γ) Υπολογίστε τη δεσµευµένη σ.π.π. της τ.µ. X δεδοµένου του Y = 3/2, fX|Y (x| 23 ), και µετά την
1
1
δεσµευµένη µέση τιµή του X
δεδοµένου του Y = 3/2, E[ X
|Y = 3/2].
(δ) Η τ.µ. Z ορίζεται ως Z = Y − X . Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, FZ (z), και
τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, fZ (z), της τ.µ. Z .
Πιθανότητες - 2010/΄Εκτη Σειρά Ασκήσεων
3
΄Ασκηση 8. ∆ειγµατοληπτούµε το σήµα εξόδου ενός µικροφώνου και ϑεωρούµε τις µετρήσεις µας
ως πειραµατικές τιµές µιας Γκαουσιανής τυχαίας µεταβλητής X µε µηδενική µέση τιµή (µX =
0) και τυπική απόκλιση ίση µε 5 Volts (σX = 5). Η έξοδος του µικροφώνου τροφοδοτείται σε
ένα ενισχυτή. Για την αποφυγή της υπερφόρτωσης του ενισχυτή, χρησιµοποιούµε ένα κύκλωµα
αποκοπής (clipping circuit):


Y = g(X) =
X, |X| ≤ 10
−10, X < −10

10, X > 10
(α) Υπολογίστε αναλυτικά τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.µ. Y .
(ϐ) Γράψτε ένα απλό πρόγραµµα (σε MATLAB) για να δηµιουργήσετε N = 103 πειραµατικές τιµές
των τ.µ. X και Y . Χρησιµοποιείστε τη συνάρτηση randn() της MATLAB για τη δηµιουργία των τιµών
της τ.µ. X . Χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση hist() της MATLAB δώστε τη γραφική παράσταση της
προσέγγισης της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της τ.µ. Y (το λεγόµενο και ιστόγραµµα της
Y ) και συγκρίνετέ την µε την ακριβή γραφική παράσταση της σ.π.π. της Y που έχετε υπολογίσει
στο (α).
(γ) Επαναλάβετε το ϐήµα (ϐ) για N = 105 . Τι παρατηρείτε στην προσέγγιση της σ.π.π. της Y ;
Υπόδειξη : ΄Ενα MATLAB primer µπορείτε να ϐρείτε στην ιστοσελίδα του µαθήµατος. Για την γραφική παράσταση του ιστογράµµατος, χρησιµοποιείστε τις ακόλουθες εντολές :
miny = min(y);
maxy = max(y);
NumBins = 51;
h = hist(y,NumBins);
for k=1:NumBins,
bincenters(k) = miny + ((maxy-miny)/NumBins)*(k-1/2);
end
h = h / sum(h); % normalize PDF estimate
plot(bincenters,h);
legend(’Histogram PDF estimate’);

Download Report