Autori: mr Vladimir Balti, dr Olivera Mihi, METODIQKA ZBIRKA REXENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 1 Izdavaq: Fakultet organizacionih nauka, Beograd, Jove Ilia 154 Recenzenti: dr Vera Vujqi, Fakultet organizacionih nauka, Beograd dr Predrag Tanovi, Matematiqki institut SANU, Beograd mr ore Krtini, Matematiqki fakultet, Beograd Crteжi i slog: Vladimir Balti CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 512.5/.6(075.8)(076) 514.12(075.8)(076) 517.1/.52(075.8)(076) BALTI, Vladimir, 1973– Metodiqka zbirka rexenih zadataka iz matematike 1 / Vladimir Balti, Olivera Mihi. – Beograd : Fakultet organizacionih nauka, 2010 (Beograd : Alexandria). – 352 str. : ilustr. ; 25 cm. Tiraж 400. – Bibliografija: str. 352. ISBN 978–86–7680–232–6 1. Mihi, Olivera, 1974– [autor] a) Algebra – Zadaci b) Analitiqka geometrija – Zadaci v) Matematiqka analiza – Zadaci COBISS.SR–ID 178813452 ISBN: 978–86–7680–232–6 Fakultet organizacionih nauka, 2010. Tiraж: 400 primeraka Xtampa: ,,Alexandria“, Beograd Sadrжaj PREDGOVOR 6 1. ALGEBARSKE STRUKTURE 1.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarske strukture sa jednom operacijom Algebarske strukture sa dve operacije . . . 1.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarske strukture sa jednom operacijom Algebarske strukture sa dve operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 10 11 11 16 2. LINEARNA ALGEBRA 2.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . Determinante . . . . . . . . . . Sistemi linearnih jednaqina Matrice . . . . . . . . . . . . . Sopstvene vrednosti i vektori 2.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . Determinante . . . . . . . . . . Sistemi linearnih jednaqina Matrice . . . . . . . . . . . . . Sopstvene vrednosti i vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 22 29 38 45 45 51 58 66 3. VEKTORI Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . 3.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektori u prostoru R3 . . . . . . . . . . . Skalarni, vektorski i mexoviti proizvod Primene vektora . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 68 68 70 71 73 74 4. ANALITIQKA GEOMETRIJA 4.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . Ravan . . . . . . . . . . . . . . Prava . . . . . . . . . . . . . . Prava i ravan . . . . . . . . . 4.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 79 80 82 83 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5. NIZOVI 88 5.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6. GRANIQNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST F-JA 6.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graniqne vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asimptote funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graniqne vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asimptote funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 95 95 97 97 98 98 100 101 7. IZVOD, DIFERENCIJAL, LOPITALOVO PRAVILO 102 7.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8. TEJLOROV I MAKLORENOV POLINOM 114 8.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9. ISPITIVAƫE TOKA FUNKCIJA 121 9.1. Teorijski uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10. REXEƫA ZADATAKA 10.1. Algebarske strukture. . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Linearna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemi linearnih jednaqina . . . . . . . . . . . Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sopstvene vrednosti i vektori . . . . . . . . . . . 10.3. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Analitiqka geometrija u prostoru . . . . . . . . 10.5. Nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Graniqne vrednosti i neprekidnost funkcija . . Graniqne vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . Asimptote funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Izvod, diferencijal, Lopitalovo pravilo . . . 10.8. Tejlorov i Maklorenov polinom . . . . . . . . . 10.9. IspitivaƬe toka i skiciraƬe grafika funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 133 161 161 175 194 213 218 218 233 250 267 267 273 275 277 292 312 5 11. OBNAVƨAƫE SREDƫOXKOLSKE MATEMATIKE 11.1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prioritet operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . StepenovaƬe i korenovaƬe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . StepenovaƬe binoma i trinoma . . . . . . . . . . . . . . . . RazlagaƬa na qinioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Razmere, proporcije i dvojni razlomak . . . . . . . . . . . . 11.2. Linearne i kvadratne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne jednaqine i nejednaqine . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratne jednaqine i nejednaqine . . . . . . . . . . . . . . Sistemi linearnih i kvadratnih jednaqina i nejednaqina Neke jednaqine 4. i 5. stepena . . . . . . . . . . . . . . . . . Apsolutne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iracionalne jednaqine i nejednaqine . . . . . . . . . . . . . 11.3. Eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . Eksponencijalne funkcije, jednaqine i nejednaqine . . . . Logaritamske funkcije, jednaqine i nejednaqine . . . . . . 11.4. Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inverzne trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . 11.5. Rekurentne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearna homogena rekurentna jednaqina sa konst. koef. . LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 327 327 331 331 332 332 332 333 333 334 336 336 337 338 338 338 339 340 345 348 349 352 6 PREDGOVOR Predgovor Ova zbirka zadataka predstavƩa propisanu u beniqku literaturu za predmet Matematika 1 na Fakultetu organizacionih nauka, ali takoe moжe biti veoma korisna i studentima drugih tehniqkih fakulteta, kao i studentima ostalih fakulteta qiji nastavni programi obuhvataju teme koje su ovde obraene. U zbirci se nalazi preko 600 zadataka sa detaƩnim rexeƬima. Takoe, postoji veoma mali broj zadataka qija su rexeƬa data uputstvom za rexavaƬe i rezultatima svih bitnih meukoraka. Zbirka sadrжi i veliki broj slika, koje omoguavaju brжe razumevaƬe i lakxe usvajaƬe izloжenog gradiva. Zbirka se sastoji od jedanaest glava: 1. Algebarske strukture; 2. Linearna algebra; 3. Vektori; 4. Analitiqka geometrija; 5. Nizovi; 6. Graniqne vrednosti i neprekidnost funkcija; 7. Izvod, diferencijal, Lopitalovo pravilo; 8. Tejlorov i Maklorenov polinom; 9. IspitivaƬe toka funkcija; 10. RexeƬa zadataka; 11. ObnavƩaƬe sredƬoxkolske matematike. Svaka glava ove zbirke poqiƬe sa pregledom osnovnih pojmova i tvreƬa potrebnih za rexavaƬe zadataka. Glave 3, 4, 5, 6 i 7 je napisala dr Olivera Mihi, dok je mr Vladimir Balti napisao glave 1, 2, 8, 9, 11, nacrtao sve slike i izvrxio prelom teksta. Oba autora su radila na glavi 10 (prema prethodnom rasporedu). PosledƬa glava predstavƩa svojevrstan repetitorijum gradiva sredƬoxkolske matematike i ukazuje na poqetni stepen znaƬa koji je potreban studentima da bi uspexno savladali ovaj kurs. Izvestan broj zadataka iz zbirke je bio dat na pismenim ispitima i kolokvijumima na FON-u, Saobraajnom fakultetu, Maxinskom fakultetu, Ekonomskom fakultetu i Tehnoloxko-metalurxkom fakultetu Univerziteta u Beogradu. 7 I kolokvijum iz predmeta Matematika 1 na FON-u pokrivaju prve 4 glave ove zbirke, a narednih 5 glava pokrivaju II kolokvijum. Na pismenom delu ispita dolaze po 2 zadatka iz svake od kolokvijumskih celina. Zbirka je raena u vixe boja. One sluжe da istaknu bitne elemente, kao i da daju boƩu vizuelnu predstavu. Svi naslovi su dati crvenom i plavom bojom. Definicije pojmova su date kosim plavim slovima. Grafici funkcija su uraeni crvenom bojom, bitne taqke su oznaqene plavom, dok su asimptote predstavƩene sivom bojom. Sve slike u ovoj zbirci su nacrtane pomou programskog paketa WinGCLC autora Predraga Janiqia (na qemu mu se autori svesrdno zahvaƩuju), koji se moжe nai na adresi: http://poincare.matf.bg.ac.rs/ janicic/gclc/index.html Autori imaju vrlo prijatnu duжnost da se zahvale recezentima koji su svojim savetima i sugestijama doprineli da zbirka dobije svoj konaqan izgled. Takoe, autori se zahvaƩuju i koleginici Nadi Andri, koja je detaƩno pregledala kompletan rukopis i dala znatan broj korisnih napomena. Svi oni su doprineli poboƩxaƬu kvaliteta ove zbirke. Autori su unapred zahvalni svima onima koji e ovu kƬigu koristiti i ukazati na grexke i propuste u Ƭoj. Molimo da se napomene dostavƩaju mejlom na sledeu adresu: [email protected] sa naslovom: Zbirka – napomena i tekstom oblika: • broj strane gde se grexka (ili napomena) nalazi; • broj reda na stranici gde se grexka (ili napomena) nalazi; • grexka (originalan tekst); • xta treba da pixe (ispravƩen tekst). Na sledeoj internet adresi (kad odaberete predmet Matematika 1 – Literatura) e se nalaziti ispravke naknadno uoqenih grexaka: http://math.fon.rs Imena i prezimena onih koji prvi pomognu da se odreena grexka uoqi i ispravi bie spomenuta i na sajtu i u zahvalnici narednog izdaƬa zbirke. Na kraju, autori bi жeleli da se zahvale svojim porodicama, koje su bile pune razumevaƬa i davale znaqajnu podrxku tokom pisaƬa ove kƬige. Beograd, septembar 2010. Autori Literatura [1] Vladimir Balti, Diskretne matematiqke strukture – zbirka ispitnih i domaih zadataka iz 2008. i 2009., Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2010. [2] Slobodan Dajovi, Matematika 1, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2009. [3] Rade Doroslovaˇcki, Ljubo Nedovi´c, Testovi iz diskretne matematike i linearne algebre za studente elektrotehniˇckog odseka, FTN, Novi Sad 2002. [4] Dragan ori, urica Jovanov, Rade Lazovi Matematika 1 – zadaci sa ispita i kolokvijuma, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2002. [5] Dragan ori, urica Jovanov, Rade Lazovi Matematika 1 – zbirka zadataka, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2008. [6] Aleksandra Eri, Mila Mari Dedijer, Dalibor Rajkovi Praktikum iz matematike 1, Graevinski fakultet, Beograd, 2008. [7] Milan Merkle, Matematiˇcka analiza – pregled teorije i zadaci, ETF, Beograd 1997. ˇ Zbirka reˇsenih ispitnih zadataka iz matematike 1, [8] Miloˇs Miliˇci´c, Zoran Sami, Saobra´cajni fakultet, Beograd 2006. [9] Pavle Miliˇci´c, Momˇcilo Uˇs´cumli´c, Zbirka zadataka iz viˇse matematike 1, Nauka, Beograd 1994. [10] Slobodan Neˇsi´c, Matematika I – zbirka zadataka, Maˇsinski fakultet, Beograd 1990. [11] Dragan Stevanovi, Vladimir Balti, Slobodan Simi, Miroslav iri, Diskretna matematika – osnove kombinatorike i teorije grafova, DMS, Beograd, 2008. [12] Djurdjica Takaˇci, Stojan Radenovi´c Matematika I za inˇzenjere, Akademska misao, Beograd, 2002. [13] Xepan Uxumli, Milivoje Lazi, Goran Kilibarda, Matematika I – zbirka rexenih ispitnih zadataka iz 2008. i 2009., Prometej, Beograd, 2001. [14] Mirjana Qangalovi, Vesna Manojlovi, Vladimir Balti, Diskretne matematiqke strukture, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2009.
© Copyright 2024 Paperzz
