ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) ΘΕΜΑ 1 β y γ , με α ≠ 0 ή β ≠ 0 Α) Να αποδείξετε ότι η γραμμική εξίσωση ax += παριστάνει ευθεία γραμμή. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 Β)Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0 , τότε το σύστημα είναι κατ’ ανάγκη αδύνατο. ii) Αν (D - 1)2 + (2D - 2)2 = 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση. iii) Ο κύκλος x 2 + y 2 = 1 και η παραβολή = y x 2 + 1 δεν έχουν κοινά σημεία. iv) Ένα κινητό σημείο κινείται πάνω στην ευθεία y = 2. Ένα δεύτερο κινείται ευθύγραμμα από το σημείο Μ(3,0) προς το Ο(0,0). Τα σημεία αυτά θα συναντηθούν στο Ο (0,0) v) Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. ΜΟΝΑΔΕΣ 10 Γ) i) Ποια συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα; ii) Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους; ΜΟΝΑΔΕΣ 3+3 ΘΕΜΑ 2 1  ( λ − 1) x − 2 y = Α) Να λύσετε το σύστημα  ,λ ∈ −2 4 x − ( λ + 1) y = ΜΟΝΑΔΕΣ 9 2  x= 2 y + 10 Β) Να λύσετε το σύστημα  2 και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το 2 x + y = 25  αποτέλεσμα. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ) Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 100ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ; ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ 3 mx + y = 1  Δίνεται το σύστημα ( Σ1) :  , με ορίζουσες D , Dx και Dy m  x + ( 2m − 1) y = α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1) ΜΟΝΑΔΕΣ 5 β) Αν ( x0 , y0 ) η μοναδική λύση του συστήματος (Σ1), να βρείτε την τιμή της παράστασης= A 2 y0 − x0 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 γ) Έστω, επιπλέον, το γραμμικό σύστημα (Σ2) με δύο αγνώστους x, y και ορίζουσες D′ , Dx′ , D′y για τις οποίες ισχύουν: Dx′ D′ D′ D y′ = 0 και Dx′ D′y −A = 2 D′ , όπου A η τιμή της παράστασης του ερωτήματος (β). Αν το σύστημα (Σ2) έχει μοναδική λύση, να βρείτε τη λύση αυτή. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 δ) Για m = 1 i) Να βρείτε τις λύσεις ( x, y ) του συστήματος (Σ1) για τις οποίες ισχύει 2 y 2 + x 2 = 1 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 −1  mx + 2 y − 3 z =  −2 ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ3)  2 x − my + 4 z = −3 x + 4 y − ( m + 4 ) z = 15  ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ 4 Α) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων: xy yω ωx = 6 και = 6, =8 3 y + 5ω 5x + 4 y 3 x + 2ω ΜΟΝΑΔΕΣ 10 Β) Να δείξετε ότι η εξίσωση y 2 − x 2 = 2 x + 1 παριστάνει δύο ευθείες ε1 , ε 2 και να βρείτε το σημείο τομής τους. ΜΟΝΑΔΕΣ 10  x+ y = γ2 Γ) Δίνεται το σύστημα  με α , β , γ ∈  .  β x + y = 2γ − α Να βρείτε τις τιμές του α έτσι, ώστε για κάθε β να υπάρχει ένα τουλάχιστον γ για το οποίο το παραπάνω σύστημα έχει μία τουλάχιστον λύση. ΜΟΝΑΔΕΣ 5