close

Вход

Log in using OpenID

Analiticka geometrija ravnine – osnovne formule

embedDownload
Udaljenost izmedu dvije toˇ
cke T1 (x1 , y1 ) i T2 (x2 , y2 ):
p
d(T1 , T2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
ordinatna os
Analitiˇcka geometrija ravnine – osnovne formule
II kvadrant
Dijeljenje duˇ
zine T1 T2 toˇckom T (xt , yt ) u omjeru
−λ =
|T1 T |
|T T2 | :
xt =
x1 −λx2
1−λ
yt =
y1 −λy2
1−λ
y
T (x,y)
y
I kvadrant
2
1
apscisna os
-2 -1
x
1
x
2
-1
Pravac u koordinatnom sustavu
ordinatna os
III kvadrant
Eksplicitna jednadˇ
zba pravca:
y =k·x+l

ako je k > 0
 rastu´ci
padaju´
c
i
ako je k < 0
pravac je

vodoravan ako je k = 0
Implicitna jednadˇ
zba pravca:
apscisna os
-2
IV kvadrant
y
+b
A·x+B·y+C =0
ax
y=
Segmentna jednadˇ
zba pravca; ako pravac na osima Ox i Oy
x
y
sijeˇce odsjeˇcke m i n:
+ =1
m n
x
b
Pravac zadan s toˇ
ckom T (x1 , y1 ) i koeficijentom smjera k
y − y1 = k · (x − x1 )
Pravac zadan s dvije toˇ
cke T1 (x1 , y1 ) i T2 (x2 , y2 ):
y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 )
x2 − x1
y2 −y1
x2 −x1
A · x + B · y + C 0
0
√
δ=
A2 + B 2
Udaljenost δ toˇ
cke do pravca; toˇcka T (x0 , y0 ) i pravac Ax+By+C = 0:
Kut ϕ izmedu pravca y = kx + l i osi Ox :
k=
tgϕ = k
Kut ϕ izmedu dva pravca s koeficijentima smjera k1 i k2 :
k2 − k1
tgϕ =
(ako dobijemo ϕ > 90◦ tada kao rezultat uzimamo 180◦ − ϕ)
1 + k1 k2
Uvjet paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca s koeficijentima smjera k1 i k2 : 
 paralelni p1 ||p2 , ako je k1 = k2
pravci p1 i p2 su
 okomiti p1 ⊥p2 , ako je k1 = − k1
2
S
r
Kruˇ
znica
Jednadˇ
zba kruˇ
znice sa srediˇstem S(p, q) i polumjerom r:
(x − p)2 + (y − q)2 = r2
Jednadˇ
zba centralne kruˇ
znice:
x2 + y 2 = r 2
Jednadˇ
zba tangente na kruˇznicu s diraliˇstem D(x0 , y0 ):
Uvjet da bi pravac y = kx + l bio tangenta na kruˇ
znicu:
(x − p)(x0 − p) + (y − q)(y0 − q) = r2
r2 · (k 2 + 1) = (k · p − q + l)2
Elipsa
Svojstvo proizvoljne toˇ
cke T na elipsi:
y
d(T, F1 ) + d(T, F2 ) = 2 · a = const
b
Jednadˇ
zba elipse (a > b):
x2
y2
+ 2 =1
2
a
b
2
2
2
2
2
b ·x +a ·y =a ·b
2
Jednadˇ
zba tangente na elipsu s diraliˇstem D(x0 , y0 ):
x · x0
y · y0
+ 2 =1
a2
b
Uvjet da bi pravac y = kx + l bio tangenta na elipsu:
√
Linearni ekscentricitet:
e = a 2 − b2
ε=
Numeriˇ
cki ekscentricitet:
F1
F2
(-e,0)
(e,0)
x
b
a
a
a 2 k 2 + b2 = l 2
e
a
Hiperbola
y
p
p
1
2
Svojstvo proizvoljne toˇ
cke T na hiperboli:
|d(T, F1 ) − d(T, F2 )| = 2 · a = const
Jednadˇ
zba hiperbole:
x2
y2
− 2 =1
2
a
b
b
F1
b2 · x 2 − a 2 · y 2 = a 2 · b 2
a
p2 . . . y =
ε=
F2
x
(e,0)
b
b
·x
a
Uvjet da bi pravac y = kx + l bio tangenta na hiperbolu:
√
Linearni ekscentricitet:
e = a 2 + b2
Numeriˇ
cki ekscentricitet:
a
(-e,0)
Jednadˇ
zba tangente na hiperbolu s diraliˇstem D(x0 , y0 ):
x · x0
y · y0
− 2 =1
a2
b
Asimptote na hiperbolu:
b
p1 . . . y = − · x
a
e
a 2 k 2 − b2 = l 2
e
a
Parabola
y
r
Svojstvo proizvoljne toˇ
cke T na paraboli:
d(T, F ) = d(T, r)
Jednadˇ
zba parabole:
y 2 = 2p · x
F (p/2,0)
Jednadˇ
zba tangente na parabolu s diraliˇstem D(x0 , y0 ):
y · y0 = p · (x + x0 )
Jednadˇ
zba ravnalice parabole:
r...x = −
p
2
x
p
2
p
2
Uvjet da bi pravac y = kx + l bio tangenta na parabolu:
p = 2kl
v1.2 by tkr
Author
Документ
Category
Без категории
Views
0
File Size
51 Кб
Tags
1/--pages
Пожаловаться на содержимое документа