Model jednostavne linearne regresije Regresijska analiza je najčešće korištena metodologija u ekonometriji, a bavi se opisivanjem ovisnosti jedne varijable o jednoj ili više drugih varijabli. Varijabla od primarnog interesa, čije se varijacije objašnjavaju pomoću varijacija drugih varijabli naziva se zavisnom (regresand) varijablom, a varijable kojima se objašnjavaju varijacije zavisne varijable nazivaju se nezavisnim (regresorskim) varijablama. y f ( x1, x2 ,, xK ) y f ( x1 , x2 ,, xK ) Modelom jednostavne linearne regresije izražena je stohastička linearna veza između zavisne varijable y i nezavisne varijable x, koja se može formalno opisati izrazom: y f (x) f ( x) 0 1 x Linearnost se odnosi na način na koji se parametri i greške relacije pojavljuju u regresijskoj jednadžbi, a ne na odnos među varijablama. Primjerice, modeli: yi 0 1 xi i 2 yi 0 1 ln xi i yi 0 1 cos xi i Model: 1 i yi 0 xi e je nelinearni model koji se logaritamskom transformacijom može svesti na linearni oblik: ln yi ln 0 1 ln xi i yi 0 1 xi i y1 0 1 x1 1 y 2 0 1 x 2 2 yi 0 1 xi i y n 0 1 x n n y X i 1,2,..., n y1 y 2 y yi y n 1 1 X 1 1 x1 x2 xi xn 0 1 1 2 i n Polazne pretpostavke u analizi modela jednostavne linearne regresije su: Veza između zavisne varijable y i nezavisne varijable x je linearna. Varijabla x je deterministička varijabla ili se alternativno pretpostavlja da su njene vrijednosti fiksne u ponovljenim mjerenjima (uzorcima). Greške relacije u prosjeku ne utječu na zavisnu varijablu E ( i ) 0 Zbog jednostavnosti se pretpostavlja da je analizirani uzorak izabran na slučajan način, te da su stoga bilo koje dvije slučajne varijable međusobno nezavisne, a time su i nekorelirane, tj Cov( i , j ) E ( i j ) 0 Također se polazi od pretpostavke da su i normalno distribuirane slučajne varijable s jednakom varijancom, i ~ N (0, 2 ) Var ( i ) 2 i 1, ,n Normalna razdioba pretpostavlja se zbog spoznaje da su slučajne pogreške pri mjerenju normalno distribuirane. Pretpostavka o nepromjenjivosti ili homoskedastičnosti varijance uvodi se jer se pretpostavlja da varijacije slučajnih odstupanja od regresije ne ovise o razini varijable x, tj. da se ne razlikuju u različitim područjima vrijednosti nezavisne varijable. Pretpostavke (1) – (3), bez pretpostavke o obliku distribucije grešaka relacije, nazivaju se Gauss Markovljevim uvjetima. Statistička povezanost varijabli x i y Postoje različite metode procjenjivanja parametara, a najčešće se koriste: metoda najmanjih kvadrata, metoda momenata i metoda najveće vjerodostojnosti. Ako nisu ispunjene polazne pretpostavke o modelu, vrijednosti parametara procjenjuju se robusnim metodama. Broj opservacije Metoda najmanjih kvadrata y x 1 y1 x1 2 y2 x2 3 y3 x3 4 y4 x4 5 y5 x5 . . . . . . . . . n yn xn (mjerenja) yi ( ˆ0 ˆ1 xi ) minimum Među različitim metodama mjerenja udaljenosti najčešće je korištena metoda najmanjih kvadrata. Metoda najmanjih kvadrata (Least Square method; LS-metoda) sastoji se u izboru onih procjena nepoznatih parametara koje minimiziraju sumu kvadrata odstupanja empirijskih vrijednosti zavisne varijable od procijenjenih ili regresijskih vrijednosti yˆ i ˆ0 ˆ1 xi , tj.: n 2 ˆ ˆ ( yi 0 1 xi ) S (ˆ0 , ˆ1 ) minimum i 1 n S ( ˆ0 , ˆ1 ) 2 ( yi ˆ0 ˆ1 xi ) 0 ˆ0 i 1 n S ( ˆ0 , ˆ1 ) 2 xi ( yi ˆ0 ˆ1 xi ) 0 ˆ1 i 1 n n i 1 i 1 ˆ ˆ y n i 0 1 xi 0 n y i 1 n i n y ˆ 0 ˆ1 x i 1 i n x 0 y ˆ0 ˆ1 x tj. regresijski pravac prolazi točkom x, y slijedi da je: ˆ0 y ˆ1 x n n n 1 n 1ˆ n 2 ˆ xi yi n yi n 1 xi xi 1 xi 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n ˆ1 n n x y i 1 n xi yi i 1 i i 1 xi n 2 i 1 x i n i 1 n i 2 n ˆ1 x y i 1 n i x i 1 2 i i nx y nx 2 ˆ0 y ˆ1 x 1 ˆ ( X X ) X y 1 1 ( X X ) x1 n n x i i 1 x1 x2 xi xn n xi i 1 n 1 1 1 1 xi xn 1 1 1 x2 xi i 1 n 2 x i i 1 n 1 1 n 2 xi i1n x i i 1 n n ( xi2 nx 2 ) i 1 y1 y n 2 y i 1 1 1 1 i 1 X y n x1 x 2 xi x n yi x y i i i 1 y n Odnosno jednadžba glasi: 2 xi xi i 1 i 1n n x n yi i ˆ 0 i 1 i 1 n ˆ n 1 n ( xi2 nx 2 ) xi yi i 1 i 1 n n Primjer Analizira se prihod od prodaje proizvoda (u tisućama HRK) u ovisnosti o izdacima za promidžbene aktivnosti u trgovinama na malo (u tisućama HRK). Podaci se odnose na maloprodajno poslovanje odabranog poduzeća u tridesetak prodavaonica Slavonsko-Baranjske županije, a vezani su uz period od III. kvartala 2005. do II. kvartala 2008. godine, tabela 3.1. Kvartalni izdaci za promidžbene aktivnosti i prihod od prodaje PRIHOD yi 3212 4284 4145 4096 4632 4741 5321 6863 7173 8270 8300 9435 70472 IZDACI ZA PROMIDŽBENE AKTIVNOSTI xi 171 190 197 200 204 224 290 374 389 423 436 546 3644 Dijagram rasipanja omogućuje da se uoči: Oblik veze među odabranim varijablama Smjer povezanosti Jakost povezanosti U konkretnom slučaju, procijenjena regresijska jednadžba glasi: yˆ 968.99930 16.14819x Regresijski koeficijent ˆ1 16.14819 pokazuje da će se na temelju procijenjenog modela, za povećanje izdataka za promidžbene aktivnosti u iznosu od tisuću kuna prihod u prosjeku povećati za 16.14819 tisuća kuna. Konstantni član u modelu rijetko se interpretira i često nema suvislo značenje. Regresijske vrijednosti i rezidualna odstupanja x1 171 yˆ1 ˆ0 ˆ1 x1 yˆ1 968.99930 16.14819171 3730.34 x2 190 yˆ 2 ˆ0 ˆ1 x2 yˆ 2 968.99930 16.14819 190 3747.34 Rezidualna odstupanja razlike su stvarnih vrijednosti zavisne varijable od procijenjenih ˆi yi yˆ i i=1,2,...n Relativna rezidualna odstupanja ˆi , rel ˆi yi yˆ i 100 100 yi yi U konkretnom primjeru, prvo rezidualno odstupanje je: ˆ1 y1 yˆ1 3212 3730.34 518.340 ˆ1,rel y1 yˆ1 518.340 100 100 16.1374% y1 3212 Regresijska jednadžba sa standardiziranim regresijskim varijablama y * i yi y x * i y xi x x U tom slučaju jednadžba ne sadrži konstantni član i poprima oblik: * * ˆ yˆ 1 x * Očitavanjem rezultata (Standardized Estimate) programskog ispisa iz tabele 3.2 dobiva se: yˆ 0.98832x * * Procijenjeni parametar tumači se na slijedeći način: Povećaju li se izdaci za promidžbene aktivnosti za jednu standardnu devijaciju, prihod će se u prosjeku povećati za 0.98832 standardnih devijacija. ˆ1* Analiza varijance u modelu jednostavne linearne regresije • Rezidualna odstupanja koriste se za mjerenje prilagođenosti regresije opažanjima iz uzorka. Naime, nakon što se odredi procijenjeni regresijski pravac postavlja se pitanje je li izračunata regresija dobra. Općenito se smatra da je regresija dobro prilagođena opažanjima iz uzorka ako je velik dio proporcije varijance varijable y (procijenjene na osnovi uzorka) protumačen modelom. Jednadžba analize varijance ( yi y ) ( yˆi y ) ( yi yˆi ) n n n 2 2 2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y ) i i i i i 1 i 1 i 1 ST n ST yi y i 1 2 SP SP SR n n i 1 i 1 2 2 ˆ ˆ ( y y ) SR ( y y ) i i i • Ako se zbrojevi kvadrata podijele s odgovarajućim stupnjevima slobode dolazi se do sredina kvadrata koje su nezavisne procjene komponenti varijance. Zbrojevi kvadrata, stupnjevi slobode, sredine kvadrata i druge informacije predočuju se u tabeli analize varijance (ANOVA) Dijagrami rasipanja i pripadne vrijednosti koeficijenta linearne korelacija r • Analizom prihoda od prodaje proizvoda (varijabla y u tisućama HRK) u ovisnosti o izdacima za promidžbene aktivnosti u trgovinama na malo (varijabla x u tisućama HRK), za maloprodajno poslovanje odabranog poduzeća Slavonsko-Baranjske županije, dobivena je regresijska jednadžba: yˆ 968.99930 16.14819x • Analizom prihoda od prodaje proizvoda (varijabla y u tisućama HRK) u ovisnosti o izdacima za promidžbene aktivnosti u trgovinama na malo (varijabla x u tisućama HRK), za maloprodajno poslovanje odabranog poduzeća Slavonsko-Baranjske županije, dobivena je regresijska jednadžba: yˆ 968.99930 16.14819x Jednosmjerni t-testovi hipoteze o značajnosti regresijskog parametra ˆ1 0 ˆ1 t1 ˆ SE( 1 ) SE( ˆ1 ) p vrijednost P t (n 2) temp p vrijednost H1 Napomena
© Copyright 2024 Paperzz
