ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 11 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 22 2 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 33 3 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 44 4 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 55 5 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 66 6 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 77 7 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 88 8 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 99 9 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 10 1010 Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου (ως προς τις πλευρές του) βρίσκονται επάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του . ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 11 11 Τα ύψη τριγώνου, διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού του . ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 12 12 Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου (ως προς τα μέσα των πλευρών του) βρίσκονται επάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 13 13 Η ΖΕ είναι αντιπαράλληλος της ΒΓ. Αν Τ μέσο της ΖΕ τότε η ΑΚ είναι συμμετροδιάμεσος. AΔ,OA ισογώνιες συζυγείς. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 14 14 Το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο τριγώνου, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (ευθεία του Euler). HG=2OG ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 15 15 Τα μέσα των πλευρών, τα ίχνη των υψών και τα μέσα των αποστάσεων ορθοκέντρου-κορυφών, βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο (κύκλος του Euler). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 16 16 Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου είναι ομοιόθετος του κύκλου Euler. Κέντρο του κύκλου Euler είναι το μέσο του ΟΗ. Ακτίνα του κύκλου Euler είναι R/2. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 17 17 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 18 18 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 19 19 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 20 20 Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 21 21 Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 22 22 Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). MM 1 + MM 2 = KK 2 − KK 1 = υ β = υ γ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 23 23 Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ . ΡΔ + ΡΕ + ΡΖ = υα ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 24 24 Οι προβολές σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου στις πλευρές τριγώνου, βρίσκονται σε ευθεία (ευθεία Simson). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 25 25 Η γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες Simson (που αντιστοιχούν στα σημεία Κ και Μ) ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ΚΜ. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 26 26 AA2 // A1 B1 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 27 27 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 28 28 Το μέσο του ΜΗ ανήκει στην ευθεία Simson που αντιστοιχεί στο σημείο Μ και τον κύκλο του Euler. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 29 29 Τα συμμετρικά σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου, ως προς τις πλευρές τριγώνου, βρίσκονται σε ευθεία που περνά από το ορθόκεντρό του. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 30 30 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 31 31 Αν Δ, Ε, Ζ είναι σημεία στις πλευρές τριγώνου, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΖΕ, ΒΔΖ και ΓΔΕ περνάνε από το ίδιο σημείο (Σημείο Miquel του τριγώνου). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 32 32 Σε πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΖ, ΒΓΕ και ΓΔΖ περνάνε από το ίδιο σημείο (Σημείο Miquel του τετραπλεύρου). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 33 33 Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο, τότε το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου βρίσκεται επάνω στην ΕΖ. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 34 34 Τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το σημείο Miquel του τετραπλεύρου . ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 35 35 Τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το σημείο Miquel του τετραπλεύρου . ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 36 36 Ευθεία Simson πλήρους τετραπλεύρου. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 37 37 Τα μέσα των διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου είναι συνευθειακά. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 38 38 Οι διχοτόμοι . . . δημιουργούν ρόμβο. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 39 39 Σημείο των μέσων (βαρύκεντρο τετραπλεύρου). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 40 40 Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο, οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών του προς τις απέναντι κορυφές του, περνάνε από το ίδιο σημείο (αντίκεντρο τετραπλεύρου). ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 41 41 Το αντίκεντρο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SMN. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 42 42 Οι διαγώνιες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι κάθετες μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο Ρ. Η κάθετη από το Ρ προς οποιαδήποτε πλευρά του, περνάει από το μέσο της απέναντι πλευράς. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 43 43 Το κέντρο Ο απέχει από κάθε πλευρά, το μισό του μήκους της απέναντι πλευράς. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 44 44 Οι εφαπτόμενες στις κορυφές του τετραπλεύρου ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ2012 2012 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΨΥΧΑΣ ΨΥΧΑΣΒΑΓΓΕΛΗΣΒΑΓΓΕΛΗΣ- 45 45