256
ïñéæïõóåò
ÏÑÉÆÏÕÓÁ ÔÅÔÑÁÃÙÍÉÊÏÕ ÐÉÍÁÊÁ
¸óôù K Ýíá óþìá êáé Ýóôù n ∈ N. Ç ïñßæïõóá det (A) åíüò ðßíáêá
A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Matn×n (K)
ïñßæåôáé ìÝóù ôïý ôýðïõ ôïý Leibniz:
det (A) :=
X
σ∈S n
sgn(σ) a1 σ(1) a2 σ(2) · · · an σ(n)
ìå ôï Üèñïéóìá åêôåéíüìåíï õðåñÜíù ôïý óõíüëïõ Sn üëùí ôùí áìöéññßøåùí
σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} ,
üðïõ
sgn (σ) :=
Q
1≤i<j≤n
• Êýñéåò éäéüôçôåò:
σ(j)−σ(i)
j−i
∈ {±1} .
(i) det (In ) = 1K ,
(ii) Ç ïñßæïõóá åíüò A ∈ Matn×n (K) éóïýôáé ìå ôçí ïñßæïõóá ôïý áíáóôñüöïõ
ôïõ:
det (A) = det (A| ) .
(iii) ¸óôù λ ∈ K. ÅÜí ï B ∈ Matn×n (K) ðñïêýðôåé áðü ôïí A ∈ Matn×n (K)
ýóôåñá áðü áñéèìçôéêü ðïëëáðëáóéáóìü üëùí ôùí åããñáöþí ôÞò i-ïóôÞò ãñáììÞò
(Þ ôÞò i-ïóôÞò óôÞëçò) ôïý A ìå ôï λ, üðïõ i ∈ {1, ..., n}, Þôïé ýóôåñá áðü ôçí
åêôÝëåóç åíüò óôïé·åéþäïõò ìåôáó·çìáôéóìïý ãñáììþí (Þ óôçëþí) ôýðïõ É, ôüôå
det (B) = λ det (A) .
Åî áõôïý Ýðåôáé üôé
det (λA) = λn det (A) .
(iv) ÅÜí ïé ðßíáêåò A, B, C ∈ Matn×n (K) äéáèÝôïõí ôéò ßäéåò åããñáöÝò óå êÜèå
ãñáììÞ ôïõò ðïõ åßíáé äéÜöïñç ôÞò j-ïóôÞò (ãéá êÜðïéï ðáãéùìÝíï j ∈ {1, . . . , n})
êáé, åðéðñïóèÝôùò, ç j-ïóôÞ ãñáììÞ ôïý C éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôÞò j-ïóôÞò
ãñáììÞò ôïý A êáé ôÞò j-ïóôÞò ãñáììÞò ôïý B, ôüôå
det (C) = det (A) + det (B) .
§ 7.1
257
äáêôõëéïé êáé õðïäáêôõëéïé
(v) ÕðïèÝôïíôáò üôé n > 1 êáé üôé ç k-áóôÞ ãñáììÞ (êáé, áíôéóôïß·ùò, k-áóôÞ
óôÞëç) åíüò ðßíáêá B = (bij )1≤i,j≤n ∈ Matn×n (K) éóïýôáé ìå ôçí l-ïóôÞ ôïõ
ãñáììÞ (êáé, áíôéóôïß·ùò, ôçí l-ïóôÞ ôïõ óôÞëç), üðïõ 1 ≤ k < l ≤ n, Ý·ïõìå
det (B) = 0K .
(vi) ¸óôù üôé n > 1 êáé k, l ∈ N ìå 1 ≤ k, l ≤ n êáé k 6= l, êáé üôé λ ∈ K. ÅÜí
ï ðßíáêáò B ∈ Matn×n (K) ðñïêýðôåé áðü ôïí ðßíáêá A ∈ Matn×n (K) ýóôåñá
áðü ðñüóèåóç ôïý ãéíïìÝíïõ ôÞò k-áóôÞò ãñáììÞò (êáé, áíôéóôïß·ùò, ôÞò k-áóôÞò
óôÞëçò) ìå ôï λ óôçí l-ïóôÞ ãñáììÞ (êáé, áíôéóôïß·ùò, l-ïóôÞ óôÞëç) ôïý A, Þôïé
ýóôåñá áðü ôçí åêôÝëåóç åíüò óôïé·åéþäïõò ìåôáó·çìáôéóìïý ãñáììþí (Þ óôçëþí) ôýðïõ ÉÉ, ôüôå
det (B) = det (A) .
(vii) ÅÜí n > 1 êáé k, l ∈ N ìå 1 ≤ k, l ≤ n, k 6= l, êáé åÜí ï B ∈ Matn×n (K)
ðñïêýðôåé áðü ôïí ðßíáêá A ∈ Matn×n (K) ýóôåñá áðü åíáëëáãÞ ôÞò k-áóôÞò ôïõ
ãñáììÞò (êáé, áíôéóôïß·ùò, ôÞò k-áóôÞò ôïõ óôÞëçò) ìå ôçí l-ïóôÞ ôïõ ãñáììÞ (êáé,
áíôéóôïß·ùò, ìå ôçí l-ïóôÞ ôïõ óôÞëç), Þôïé ýóôåñá áðü ôçí åêôÝëåóç åíüò óôïé·åéþäïõò ìåôáó·çìáôéóìïý ãñáììþí (Þ óôçëþí) ôýðïõ ÉÉÉ, ôüôå
det (B) = − det (A) .
(viii) ÅÜí ï A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Matn×n (K) åßíáé åßôå äéáãþíéïò åßôå Üíù ôñéãùíéêüò åßôå êÜôù ôñéãùíéêüò, ôüôå
det (A) =
Q
aii .
i=1
(ix) Ôï ãéíüìåíï ôùí ïñéæïõóþí äõï ðéíÜêùí A, B ∈ Matn×n (K) éóïýôáé ìå ôçí
ïñßæïõóá ôïý ãéíïìÝíïõ ôïõò, Þôïé éó·ýåé ç éóüôçôá
det (A) det (B) = det (A · B) .
(x) ÅÜí A ∈ Matn×n (K) , B ∈ Matn×m (K) êáé C ∈ Matm×m (K) (n, m ∈ N), ôüôå
det
Ã
A
0m×n
B
C
!
= det (A) det (C) .
(xi) ÅÜí A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Matn×n (K) , üðïõ n > 1, èÝôïõìå ãéá i, j ∈ N ìå
258
ïñéæïõóåò
1 ≤ i, j ≤ n,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ai−1 1
⎜
:= ⎜
⎜ 0K
⎜ a
⎜ i+1 1
⎜
..
⎜
⎝
.
an1
Aij
êáé
A0ij
a11
..
.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
:= ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
a1 j−1
..
.
ai−1 j−1
0K
ai+1 j−1
..
.
an j−1
···
···
···
···
a11
..
.
···
ai−1 1
ai+1 1
..
.
an1
···
···
a1 j−1
..
.
ai−1 j−1
ai+1 j−1
..
.
an j−1
···
0K
..
.
0K
1K
0K
..
.
0K
a1 j+1
..
.
ai−1 j+1
0K
ai+1 j+1
..
.
an j+1
a1 j+1
..
.
ai−1 j+1
ai+1 j+1
..
.
an j+1
⎞
···
a1n
..
.
···
···
···
ai−1 n
0K
ai+1 n
..
.
ann
···
···
a1n
..
.
···
···
ai−1 n
ai+1 n
..
.
ann
···
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ∈ Matn×n (K)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ ∈ Mat(n−1)×(n−1) (K) .
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(Ï
åßíáé ï «åëÜóóùí ðßíáêáò» o ó·çìáôéæüìåíïò áðü ôïí A ∈ Matn×n (K)
ýóôåñá áðü ôç äéáãñáöÞ ôÞò i-ïóôÞò ôïõ ãñáììÞò êáé ôÞò j-ïóôÞò ôïõ óôÞëçò.) Ôo
óôïé·åßo
¡
¢
i+j
det A0ji ∈ K
(*)
cofij (A) := det (Aji ) = (−1)
A0ij
ôïý K ïíïìÜæåôáé óõìðáñÜãïíôáò3 ôïý A óôç èÝóç (i, j) êáé ï
adj (A) := (cofij (A))1≤i,j≤n
ï ðßíáêáò ï ðñïóáñôçìÝíïò óôïí A. H ïñßæïõóá ôïý A åêöñÜæåôáé ùò áêïëïýèùò:
det (A) =
n
P
n
P
aik det (Aik ) =
k=1
(−1)
k=1
i+k
aik det (A0ik ) .
(Áõôüò ï ôýðïò ëÝãåôáé ôýðïò áíáðôýãìáôïò ôÞò det (A) ùò ðñïò ôçí i-ïóôÞ
ãñáììÞ.) Êáô' áíáëïãßáí,
det (A) =
n
P
k=1
akj det (Akj ) =
n
P
k=1
´
³
(−1)k+j akj det A0kj .
(Týðïò áíáðôýãìáôïò ôÞò det (A) ùò ðñïò ôçí j-ïóôÞ óôÞëç.) Ùò åê ôïýôïõ, ãéá
k, l ∈ N ìå 1 ≤ k, l ≤ n, Ý·ïõìå
½
n
P
üôáí k 6= l,
0K ,
akj coflj (A) =
det
(A)
,
üôáí
k = l,
j=1
3
Ðñïóï·Þ! Óôïí ïñéóìü (*) õðåéóÝñ·åôáé ï Aji , ü·é ï Aij !
§ 7.1
259
äáêôõëéïé êáé õðïäáêôõëéïé
êáé
n
P
aik cofil (A) =
i=1
ïðüôå
½
üôáí k =
6 l,
0K ,
det (A) , üôáí k = l,
det (A) In = A · adj (A) = adj (A) · A.
(xii) ÅÜí A ∈ Matn×n (K) , ôüôå
A ∈ GLn (K) ⇐⇒ det (A) 6= 0K .
(xiii) ÅÜí A ∈ GLn (K), ôüôå
A−1 = det (A)−1 adj (A)
êáé
det (adj (A)) = det (A)
n−1
¡
¢
−1
⇒ det A−1 = det (A) .
(xiv) Káíüíáò ôïý Cramer. ÅÜí A = (aij )1≤i,j≤n ∈ GLn (K) êáé
b = (b1 , . . . , bn ) ∈ K n ,
ôüôå ôï óýóôçìá ãñáììéêþí åîéóþóåùí
A · x| = b|
äéáèÝôåé ìßá êáé ìüíïí ëýóç, Þôïé ôï
x = (x1 , . . . , xn ) = b · (A| )−1 = det (A)−1 (b · adj (A| )) ∈ K n ,
ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïý ïðïßïõ äßäïíôáé áðü ôýðï
⎛
a11
⎜
xj = det (A)−1 det ⎝ ...
an1
ãéá êÜèå j ∈ {1, . . . , n}.
···
a1,j−1
..
.
b1
..
.
a1,j+1
..
.
···
···
an,j−1
bn
an,j+1
···
⎞
a1n
.. ⎟
. ⎠
ann
260
ïñéæïõóåò
ÏÑÉÆÏÕÓÁ ÅÍÄÏÌÏÑÖÉÓÌÏÕ
¸óôù V Ýíáò äéáíõóìáôéêüò ·þñïò äéáóôÜóåùò n ∈ N êáé Ýóôù B ìéá äéáôåôáãìÝíç âÜóç áõôïý. Ç ïñßæïõóá det (f ) åíüò f ∈ EndK (V ) åßíáé ç ïñßæïõóá
¡
¢
det (f ) := det MB
B (f )
ôïý ðßíáêá ðáñáóôÜóåþò ôïõ ùò ðñïò ôçí B. Ç det (f ) äåí åîáñôÜôáé áðü ôç óõãêåêñéìÝíç åðéëïãÞ ôÞò B, äéüôé ãéá ïéáäÞðïôå Üëëç äéáôåôáãìÝíç âÜóç B 0 ôïý V
Ý·ïõìå
¡ B ¢−1
0
B
B
B0
B
B
MB
B0 (f ) = TB0 · MB (f ) · TB = TB0 · MB (f ) · TB0
(âë. ðüñéóìá 5.2.35), ïðüôå
³
´
¡ B ¢
¡ B¢
¡ B ¢−1
¡
¢
0
det MB
= det MB
B (f ) .
B0 (f ) = det TB0 det MB (f ) det TB0
• Êýñéåò éäéüôçôåò:
(i) det (idV ) = 1K ,
(ii) det (f ) = det (f | ) , ∀f ∈ EndK (V ).
(iii) Ãéá ïéïõóäÞðïôå f, g ∈ EndK (V ) éó·ýåé ç éóüôçôá
det (f ◦ g) = det (f ) det (g) = det (g ◦ f ) .
(iv) ÊáôÜ ôï ðüñéóìá 5.2.23,
f ∈ AutK (V ) ⇐⇒ det (f ) 6= 0K .
(v) ÅÜí f ∈ AutK (V ), ôüôå
det(f −1 ) = det (f )−1 .
(vi) ÅÜí f, g ∈ EndK (V ) êáé f 6= 0V V , g 6= 0V V , ôüôå éó·ýåé ç óõíåðáãùãÞ:
f ◦ g = 0V V =⇒ det (f ) = det (g) = 0K .

H λύση στην ηχομόνωση!