ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΕΟ13 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ) Κατσέτης Αθανάσιος ΑΣΚΗΣΗ 1 Η συνάρτηση ζήτησης για ένα μονοπώλιο δίνεται από τη σχέση: P  152,5  3Q ενώ η συνάρτηση κόστους από τις σχέσεις: Συνολικό μεταβλητό κόστος VC  0,5Q3  15Q2  175Q και σταθερό κόστος FC  300. (Α) Προσδιορίστε τις συναρτήσεις συνολικού κόστους TC, συνολικού εσόδου TR και κέρδους Π. (Β) Βρείτε για ποιες ποσότητες Q μεγιστοποιείται και ελαχιστοποιείται το κέρδος Π. (Γ) Βρείτε τη συνάρτηση του οριακού κόστους MC και τη συνάρτηση του οριακού εσόδου MR. Υπολογίστε το οριακό κόστος και το οριακό ια την ποσότητα Q που μεγιστοποιεί το κέρδος Π. Τι παρατηρείτε; ΛΥΣΗ P  152,5  3Q η συνάρτηση ζήτησης VC  0,5Q3  15Q2  175Q το μεταβλητό κόστος FC  300 το σταθερό κόστος Α) TC  VC  FC  0,5Q 3  15Q 2  175Q  300 TR  P  Q  152,5  3Q  Q  152,5Q  3Q 2   TR  TC  152,5Q  3Q 2   0,5Q 3  15Q 2  175Q  300     152,5Q  3Q 2  0,5Q 3  15Q 2  175Q  300    0,5Q 3  12Q 2  22,5Q  300 Β) Εφαρμόζω το Κριτήριο α΄ παραγώγου: ΄  1,5Q 2  24Q  22,5   242  4  (1,5)  22,5   441 Q1,2  24  441  2(1,5) Q1  Q2 24  21 1 3 24  21  15 3 Εφαρμόζω το κριτήριο β΄ παραγώγου: Q=1 ΄΄  3Q  24 Q=15  Άρα για Q1 =1 ΄΄ (1)  21  0 ΄΄ (15)  21  0 η συνάρτηση του κέρδους ελαχιστοποιείται ενώ για Q  15 η συνάρτηση του κέρδους μεγιστοποιείται. Γ) MC  TC΄  1,5Q 2  30Q  175 MR  TR΄  152,5  6Q  ύ MC (15)  1,5  15  30  15  175  62,5 MR(15)  152,5  6  15  62,5  Παρατηρώ ότι το οριακό κόστος ισούται με το οριακό έσοδο στην ποσότητα παραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση προσφοράς Ps  Q2  6Q  9 και η συνάρτηση ζήτησης Pd  Q2  10Q  25. (Α) Να βρεθεί το κοινό πεδίο ορισμού των Ps  Pd όταν γνωρίζουμε ότι Ps  0 και η Ps είναι αύξουσα συνάρτηση, ενώ Pd  0 και Pd φθίνουσα συνάρτηση. (Β) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας (Γ) Ποια θα είναι η επίπτωση στην τιμή Pd εάν η ποσότητα Q στο σημείο ισορροπίας αυξηθεί κατά 10%. (Δ) Να υπολογιστεί το πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η τιμή είναι στο επίπεδο της τιμής ισορροπίας που βρέθηκε στο ερώτημα Γ. ΛΥΣΗ Α) Ps  Q2  6Q  9   Q  3 η συνάρτηση προσφοράς 2 Pd  Q2  10Q  25   Q  5 η συνάρτηση ζήτησης 2 Ps  0   Q  3  0 που ισχύει για Q  0 (1) 2 Pd  0   Q  5  0 που ισχύει για Q  0  Q  5 (2) 2 Ps΄  0  2  Q  3 Q  3΄  0  2  Q  3  0  Q  3  0  Q  3 δηλαδή Q  0 (3) Pd΄  0  2 Q  5Q  5΄  0  2 Q  5  0  Q  5  0  0  Q  5 (4) Συναληθεύοντας τις παραπάνω λύσεις (1), (2), (3), (4) προκύπτει 0  Q  5 που είναι και το κοινό πεδίο ορισμού. Β) Ps  Pd   Q  3   Q  5  Q 2  6Q  9  Q 2  10Q  25  2 2 6Q  10Q  25  9  16Q  16  Q  1  ό  ί Αντικαθιστώντας προκύπτει: P  Q 2  6Q  9  P 1  16   ή  ί Γ) Εάν αυξηθεί η ποσότητα παραγωγής κατά 10% από το σημείο ισορροπίας τοτε q  11,10  1,10 , και η ζήτηση γίνεται p  (1,10  5)2  (3,90)2  15, 21 Αρα η μεταβολή στην ζήτηση είναι ότι μειώνεται κατά 16-15,21=0,79 Δ) Ps 25 16 σημείο ισορροπίας 9 Pd Q 0 5 1 1tt ttt y1 Το πλεόνασμα 11 του καταναλωτή (σκιαγραμμένο εμβαδόν) ισούται με  1 0 Pd dQ  1611  1 64 125 64 125 48 3 1 0  Q  5 dQ  16   3  Q  5  0   3  3  16   3  3  3  1 2 61 48 13   3 3 3 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR(Q)  100  16Q  Q2 ό Q είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης, δίνεται και η συνάρτηση οριακού κόστους MC  Q   50  6Q  3Q της επιχείρησης. Επιπλέον, η επιχείρηση έχει πάγιο κόστος 2 (σταθερό) λειτουργίας FC  0 χρηματικές μονάδες. Η επιχείρηση δεν έχει κανένα άλλο έσοδο πέραν των εισπράξεων από τις πωλήσεις του προϊόντος του. (Α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις συνολικού κόστους TC, και μέσου κόστους AC. (B) Να βρεθούν οι συναρτήσεις συνολικού εσόδου TR και ζήτησης Pd( ως συνάρτηση του Q) που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της. (Γ) Να βρεθεί η συνάρτηση συνολικού κέρδους Π της επιχείρησης καθώς και να προσδιορισθούν η ποσότητα Q παραγωγής του προϊόντος που μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης και το μέγιστο κέρδος. (Δ) Να βρεθεί το σύνολο των ποσοτήτων παραγωγής Q που δίνουν μη αρνητικό κέρδος Π της επιχείρησης ΛΥΣΗ MR  Q   100  16Q  Q 2 MC  Q   50  6Q  3Q 2 Α) TC   MC  Q  dQ  TC    50  6Q  3Q 2  dQ  TC  50Q  6Q 2 3Q3   C  50Q  3Q 2  Q3  FC 2 3 Αλλά FC  0  TC  50Q  3Q2  Q3 TC 50Q  3Q 2  Q3  AC  Το μέσο κόστος AC  Q Q 50  3Q  Q   AC  50  3Q  Q  AC  2 2 Q Β) TR   MR  Q  dQ  TR   100  16Q  Q 2  dQ  Q3 TR  100Q  8Q  C 3 2 Αλλά η επιχείρηση δεν έχει σταθερά έσοδα άρα c=0. Άρα TR  100Q  8Q 2  Q3 . 3 Η συνάρτηση ζήτησης Pd βρίσκεται από τον τύπο  Q2  Q 100  8Q   3  TR Q2 Pd   Pd    Pd  100  8Q  . Q Q 3 Γ)   TR  TC    100Q  8Q 2  δηλαδή   100Q  8Q 2  Q3   50Q  3Q 2  Q3  3 Q3 4Q3  50Q  3Q 2  Q3      11Q 2  50Q 3 3 Κριτήριο α΄ παραγώγου ΄  4Q 2  22Q  50 ΄  0  4Q 2  22Q  50  0   222  4  4   50  484  800  1.284 Q1,2  Q1  22  1.284 8 22  35,83  1, 73 8 Q2  22  35,83  7, 23 8 Κριτήριο β΄ παραγώγου ΄΄  8Q  22  ΄΄  7, 23  8  7, 23  22  0 Άρα για Q  7, 23 το κέρδος Π μεγιστοποιείται. Το μέγιστο κέρδος είναι:    4  7, 233  11 7, 232  50  7, 23  432,59 3 Δ) Πρέπει   0 δηλαδή  4Q 3  11Q 2  50Q  0  3  4Q 2  Q  11Q  50   0   ή Q  0   3  2 4Q   11Q  50  0  3 4Q 2  33Q  150  0   332  4  4 150  1.089  2.400  3.489 33  3.489 Q1,2  8 Q1  Q2 33  59, 06 0 8 33  59, 06  11,5 8 Επειδή ο συντελεστής α του τριωνύμου είναι a  4  0 τότε το κέρδος γίνεται ετερόσημο του α όταν Q είναι στο διάστημα εντός των ριζών. Δηλαδή 0  Q  11,5 (η αρνητική λύση απορρίπτεται).