ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 – Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 10η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/TST215 e-mail: [email protected] Περιεχόμενα Μαθήματος “Επικοινωνίες ΙΙ” Εισαγωγή στα σήματα Δειγματοληψία Ιδανική Πρακτική Κβάντιση Διαμόρφωση βασικής ζώνης Διαμόρφωση πλάτους παλμών (PAM) Διαμόρφωση θέσης παλμών (PPM) Άλγεβρα σημάτων Δέκτες Ομοιόμορφη Αποδιαμορφωτές Ανομοιόμορφη Ανιχνευτές Διαφορική Επιδόσεις συστημάτων PAM και PPM Κωδικοποίηση Σύγκριση συστημάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης Διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση Διασυμβολική παρεμβολή Δέλτα διαμόρφωση Διάγραμμα οφθαλμού Προσαρμοστική δέλτα διαμόρφωση Σχεδίαση άριστων φίλτρων Σίγμα-Δέλτα διαμόρφωση Επιδόσεις συστήματος PAM Σύγκριση συστημάτων Πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης Σύμφωνο ASK, PSK, FSK Ασύμφωνο ASK, PSK, FSK Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 2 Διαμόρφωση mi = {b0, b1,…,bK–1} bit Πομπός m0 = {0, 0} m1 = {0,1} m2 = {1, 0} m3 = {1,1} si(t) Κανάλι AWGN s0 ( t ) s1 ( t ) s2 ( t ) s3 ( t ) r(t) Δέκτης mˆ i bit n(t) Έστω M μηνύματα, mi (i = 0, 1,…, M–1), το καθένα αποτελούμενο από K bit, Κ = log2(M) Ο αριθμός M ονομάζεται τάξη της διαμόρφωσης (modulation order) Τα bit της πηγής είναι ισοπίθανα και συνεπώς τα mi έχουν ίδια πιθανότητα εμφάνισης Ο πομπός αντιστοιχεί κάθε μήνυμα σε ένα Μ-ιαδικό σύμβολο, si(t) Το κανάλι αλλοιώνει τα εκπεμπόμενα σύμβολα Ο δέκτης πρέπει να αναγνωρίσει ποιο ανάμεσα από τα M πιθανά σύμβολα εκπέμφθηκε Βάσει της αντιστοίχισης των bit σε σύμβολα στον πομπό, προκύπτουν τα bit που στάλθηκαν Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3 Διαμόρφωση Ρυθμός μετάδοσης bit Rb: Πόσα bit ανά sec εισέρχονται στον πομπό Ρυθμός μετάδοσης συμβόλων Rs: Πόσα σύμβολα ανά sec εξέρχονται από τον πομπό 10 Tb 5 Ts Πομπός 0001110010 s0(t), s1(t), s3(t), s0(t), s2(t) K=2 10 Tb = 5Ts Tb, Ts: οι διάρκειες 1 bit και 1 συμβόλου, αντίστοιχα, Ts= K Tb Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι R= s R 1 1 = = b Ts K Tb K Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι K φορές μικρότερος από το ρυθμό μετάδοσης bit Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4 Διαμόρφωση Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Pse: Ορίζεται η πιθανότητα n από τα N σύμβολα που στέλνονται να αναγνωριστούν λάθος από το δέκτη Pse = n/N Πιθανότητα σφάλματος bit Pbe: Ορίζεται η πιθανότητα p από τα P bit που στέλνονται να είναι λάθος κατά τη λήψη Pbe = p/P Για 2αδική διαμόρφωση M = 2, κάθε σύμβολο μεταφέρει 1 bit και συνεπώς, κάθε λάθος σύμβολο συνεπάγεται και λάθος στο bit, άρα Pse = Pbe Γενικότερα όμως, η σύνδεση της πιθανότητα σφάλματος συμβόλου με την πιθανότητα σφάλματος bit δεν είναι πάντα εύκολη Π.χ. για M = 4, αν στείλαμε το s0(t) το οποίο μεταφέρει το {0,0} και αναγνωριστεί ως s1(t) {0,1}, έχουμε 1 bit λάθος, ενώ αν αναγνωριστεί ως s3(t) {1,1}, έχουμε 2 bit λάθος Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5 Διαμόρφωση Γενικά, η επιλογή του σχήματος διαμόρφωσης γίνεται βάσει: Ρυθμού μετάδοσης bit, Rb Φασματικής απόδοση, Rb / Bw Απόδοσης ισχύος, Eb / N0 Ανοχής στα προβλήματα του καναλιού μετάδοσης Κόστους υλοποίησης Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Παλμός gT(t) πλάτους 1 και διάρκειας Tb gT(t) 1 Διαμόρφωση πλάτους παλμού (pulse amplitude modulation – PAM) Δυαδικό PAM (M = 2) Για το bit “1”, το πλάτος του παλμού είναι +A και η κυματομορφή: s0(t) = A gT(t), 0 ≤ t < Tb Για το bit “0”, το πλάτος του παλμού είναι –A και η κυματομορφή: s1(t) = -A gT(t) , 0 ≤ t < Tb s0(t) A s1(t) Tb t Tb t Tb t -A Σύμβολα δυαδικού PAM (Μ = 2) Διαφορετική έκδοση του δυαδικού PAM είναι το on/off keying: Για το bit “1”, η κυματομορφή είναι s0(t) = A gT(t), 0 ≤ t < Tb Για το bit “0”, η κυματομορφή είναι s1(t) = 0 , 0 ≤ t < Tb s0(t) A s1(t) Tb t Tb t 0 Σύμβολα on/off (Μ = 2) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης gT(t) 1 Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, gT(t), διάρκειας Ts και πλάτους Am = A (2 m + 1 – M), m = 0, 1,…, M–1, δηλ. Ts s3(t) Am = ±A, ±3 A, ±5 A, …, ±(Μ-1) A 0 sm(t) = Am gT(t), 0 ≤ t < Ts = Em s ( t ) dt ∫= 2 m 0 Am2 g ( t ) dt ∫= Ts 2 T 0 s0(t) 0 ∫ Ts t 0 -A Η ενέργεια του συμβόλου sm(t) είναι Ts 3A s1(t) Η αντίστοιχη κυματομορφή είναι t Ts t Ts t s2(t) A Ts t 0 Ts 2 A= 1dt Ts Am2 m 0 -3A Σύμβολα τετραδικού PAM (Μ = 4) Η μέση ενέργεια ανά σύμβολο M-PAM είναι M −1 M −1 Ts 1 M 2 −1 2 2 = Es = Em = Am A Ts 3 M M m 0= m 0 = ∑ Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου ∑ 8 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Φασματική πυκνότητα ισχύος M-PAM Spam(f) = sinc2(f Ts) Η Spam(f) είναι κανονικοποιημένη ώστε η μέση ισχύς να είναι 1 ανεξάρτητα του M Οι μηδενισμοί εμφανίζονται όταν f = k / Ts, με k = ±1, ±2, ±3,… Εύρος ζώνης από μηδενισμό-σε-μηδενισμό (null-to-null bandwidth) B0-0 = 1 / Ts Το εύρος ζώνης είναι ανεξάρτητο του M Spam(f) (dBW/Hz) B0−0 = 1/ Ts = ∫ Spam ( f ) df B90% −1/ Ts -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PAM (M = 2, 4, 8) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9 10 f Ts Εύρος Φάσματος Περιεχόμενη Ισχύς ±1 / Ts 90% ±1.5 / Ts 93% ±2 / Ts 95% ±3 / Ts 96.5% ±4 / Ts 97.5% ±5 / Ts 98% 9 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Διαμόρφωση θέσης παλμού (pulse position modulation – PPM) Δυαδικό PPM Ts / M s0(t) A Για το bit “1”, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως s0(t) = A gT(t), Παλμός gT(t) πλάτους 1 και διάρκειας Ts/M gT(t) 1 0 ≤ t < Tb / 2 Για το bit “0”, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως s1(t) = A gT(t – Tb / 2) , Tb / 2 ≤ t < Tb s0(t) A 0 0 m Ts / M ≤ t < (m + 1) Ts / M s1(t) A Ts/4 2Ts/4 3Ts/4 Ts t 0 0 s2(t) A Ts/4 2Ts/4 3Ts/4 Ts t 0 0 t Tb / 2 Tb t Tb / 2 Tb t s1(t) A Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, gT(t), διάρκειας Ts / M και πλάτους A. Η κυματομορφή του συμβόλου sm(t) είναι sm(t) = A gT(t – m Ts / M ), με m = 0, 1,…, M–1 Ts Σύμβολα δυαδικού PPM (Μ = 2) s3(t) A Ts/4 2Ts/4 3Ts/4 Ts t 0 0 Ts/4 2Ts/4 3Ts/4 Ts Σύμβολα τετραδικού PPM (Μ = 4) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 10 t Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Η ενέργεια του συμβόλου sm(t) για το M-PPM είναι Em= ∫ Ts sm2 ( t ) dt = A2 0 ( m+1)Ts ∫ mTs M M m gT2 t − Ts dt = A2 M ∫ ( m+1)Ts mTs M M 1dt = Ts 2 A M δηλαδή δεν εξαρτάται από το m Συνεπώς και η μέση ενέργεια ανά σύμβολο είναι Es = Em Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των συμβόλων PPM είναι ότι δεν αλληλοεπικαλύπτονται χρονικά και άρα ∫ Ts sm ( t ) sn ( t ) dt = 0, ∀ m ≠ n 0 Σήματα για τα οποία ισχύει η παραπάνω ιδιότητα χαρακτηρίζονται ως ορθογώνια (orthogonal) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 11 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Φασματική πυκνότητα ισχύος δυαδικού PPM Tb 1 fT sin c 2 b (1 − cos (π fTb ) ) + δ ( f ) 4 2 2 Το φάσμα του 2-PPM περιέχει τόσο συνεχές φάσμα όσο και διακριτό Στο 2-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f = 2 k / Tb με k = ±1, ±2, ±3,… S2apm(f), S2ppm(f) Σε σύγκριση με το 2-PAM, το 2-PPM απαιτεί διπλάσιο εύρος ζώνης S 2 ppm (= f) = 2-PPM: B0−0 2-PAM 2-PPM 1/ Ts 2-PAM: B0−0 = 2/ Ts (dBW/Hz) = ∫ S2pam ( f ) df B90% −1/ Ts = ∫ S2ppm ( f ) df B93% −2/ Ts -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Φασματική Πυκνότητα Ισχύος 2-PAM και 2-PPM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 12 f Tb Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Φασματική πυκνότητα ισχύος τετραδικού PPM Ts fT π fTs 2 π fTs 1 sin c 2 s 1 − cos 2 S 4 ppm ( f ) = cos + δ ( f ) 4 4 2 4 4 Γενικά, το φάσμα του M-PPM περιέχει τόσο συνεχές όσο και διακριτό φάσμα Στο M-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f = k M / Ts με k = ±1, ±2, ±3,… Σε σύγκριση με το M -PAM, το M -PPM απαιτεί Sppm(f) (dBW/Hz) M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης = 2-PPM: B0−0 M=2 M=4 2/ Ts = ∫ S2ppm ( f ) df B93% M=8 −2/ Ts 4-PPM: B0−0 = 4/ Ts = ∫ S4ppm ( f ) df B91% −4/ Ts = 8-PPM: B0−0 8/ Ts = ∫ S8ppm ( f ) df B90% −8/ Ts -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PPM (M = 2, 4, 8) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 13 f Ts Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Ενέργεια συμβόλου Τα σύμβολα M-PAM έχουν μεταξύ τους διαφορετική ενέργεια Τα σύμβολα M-PPM έχουν μεταξύ τους όλα ίδια ενέργεια Μέση ενέργεια ανά σύμβολο Στο M-PAM η μέση ενέργεια ανά σύμβολο αυξάνεται με το M Στο M-PPM η μέση ενέργεια ανά σύμβολο μειώνεται με το M Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 14 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Τόσο στο M-PAM όσο και στο M-PPM μπορούν να χρησιμοποιηθούν παλμοί διάρκειας Ts και Ts / M, αντίστοιχα, διαφορετικοί από τετραγωνικούς Παλμοί για M-PAM: gT(t) 1 gT(t) 1 Ts t Παλμοί για M-PPM: Ts t gT(t) 1 gT(t) 1 Ts / M Ts t Ts / M Ts t Ως συνέπεια της διάρκειας των παλμών gT(t) προκύπτει ότι: Στο M-PAM το απαιτούμενο εύρος ζώνης διατηρείται σταθερό καθώς αυξάνει το M Στο M-PPM το απαιτούμενο εύρος ζώνης αυξάνει καθώς αυξάνει το M Το M-PPM απαιτεί εύρος ζώνης M φορές μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του M-PAM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 15 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Σύγκριση M-PPM με M-PAM ως προς εύρος ζώνης (ίδιος ρυθμός μετάδοσης bit Rb) Για να μεταδώσουμε K bit με M-PAM χρειάζονται: M = 2K σύμβολα Διάρκεια κάθε παλμού Ts = K / Rb Εύρος ζώνης παλμού περίπου BW = 1 / (2 Ts) = Β95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW = Rb / [2 log2(M)] Για να μεταδώσουμε K bit με M-PPM χρειάζονται: M = 2K σύμβολα διάρκειας Ts = K / Rb Διάρκεια κάθε παλμού Tp = Ts / M = K / (Μ Rb) Εύρος ζώνης παλμού περίπου BW = M / (2 Ts) ≅ Β95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW = M Rb / [2 log2(M)] Συνεπώς για να μεταδοθούν δεδομένα με ρυθμό Rb, το M-PPM απαιτεί M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης καναλιού σε σχέση με το M-PAM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 16 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Κάθε κυματομορφή sm(t) την αντιμετωπίζουμε ως ένα διάνυσμα Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο πραγματικών κυματομορφών sm(t) και sn(t), οι οποίες ορίζονται στο διάστημα [t1, t2], είναι t2 sm ( t ) , sn ( t ) = sm ( t ) sn ( t ) dt ∫ t1 Αν <sm(t), sn(t) > = 0, όταν m ≠ n τα sm(t) και sn(t) είναι ορθογώνια Σημειώνουμε την ομοιότητα με την Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων f =iˆ f1 + ˆj f 2 + kˆ f3 και g =iˆ g1 + ˆj g 2 + kˆ g3 είναι 3 f g = fn gn Αν f g = 0 , τότε τα f και g ∑ n =1 είναι ορθογώνια μεταξύ τους f ⊥ g Το μέτρο ή νόρμα μιας κυματομορφής sm(t), στο διάστημα [t1, t2], είναι = sm ( t ) = sm ( t ) , sm ( t ) ∫ t2 sm2 ( t ) dt t1 Η νόρμα συνδέεται με την ενέργεια της κυματομορφής ως Em = ||sm(t)||2 Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο κυματομορφών sm(t) και sn(t), στο διάστημα [t1, t2], είναι d m ,n = sm ( t ) − sn ( t ) = sm ( t ) − sn ( t ) , sm ( t ) − sn ( t ) = ∫ t2 t1 Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου sm ( t ) − sn ( t ) dt 2 17 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Έστω N το πλήθος κυματομορφών ψm(t) με m = 0, 1,…, M – 1 με την παρακάτω ιδιότητα 0,αν m ≠ n 1,αν m = n ψ m ( t ) ,ψ n ( t ) = Το σύνολο των N κυματομορφών αποτελούν μια ορθοκανονική βάση (orthonormal basis) Έχουν μοναδιαία ενέργεια = Eψ m ψ= 1 m (t ) 2 Ο αριθμός N ονομάζεται διάσταση (dimension) του χώρου των κυματομορφών ψ1 N=3 N=2 N=1 ψ0 ψ2 ψ1 ψ0 ψ0 Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 18 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Είναι χρήσιμο να αναπαραστήσουμε ένα M-ιαδικό σύνολο συμβόλων σε μία ορθοκανονική βάση με N ≤ M Παρέχει σύντομο χαρακτηρισμό των σημάτων Απλοποιεί την ανάλυσή τους Παρέχει μια γεωμετρικού τύπου αναπαράσταση των σημάτων Η εύρεση της βάσης του χώρου είναι γενικά ένα δύσκολο πρόβλημα Ένας εύκολος τρόπος να βρεθεί μία βάση είναι με ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt Η βάση που προκύπτει δεν είναι μοναδική ψ1 N=2 sm(t) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου ψ0 19 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Διαδικασία ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt: Η 1η κυματομορφή της ορθοκανονικής βάσης προκύπτει ως ψ 0 (t ) = με E0 την ενέργεια του s0(t) 1 s0 ( t ) E0 Η 2η κυματομορφή προκύπτει ως ψ 1 (t ) = 1 s1 ( t ) − c1,0 ψ 0 ( t ) E1 με E1 την ενέργεια του s1 ( t ) − c1,0 ψ 0 ( t ) και c1,0 = ∫ ∞ −∞ s1 ( t )ψ 0 ( t ) dt Η k-ιωστή (k = 0, 1, 2, M-1) κυματομορφή προκύπτει ως = ψ k (t ) με Ek την ενέργεια του sk ( t ) − 1 Ek k −1 ∑c k ,i i =0 Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου sk ( t ) − k −1 ∑ i =0 ck ,i ψ i ( t ) ψ i ( t ) και ck ,i = ∫ ∞ −∞ sk ( t )ψ i ( t ) dt 20 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt τετραδικού σήματος (M = 4) Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = 3 Τα sm(t) εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψm(t) μέσω των διανυσμάτων s0 = (√2, 0, 0), s1 = (0, √2, 0), s2 = (0, -√2, 1) και s3 = (√2, 0, 1) ψ0(t) 1/√2 1 2 3 t s0(t) 1 -1 s1(t) 1 -1 s0 ( t ) = 2ψ 0 ( t ) s2(t) 1 1 2 3 t -1 s3(t) 1 1 2 3 t -1 s1 ( t ) = 2ψ 1 ( t ) 1 2 3 t s2 ( t ) = − 2ψ 1 ( t ) + ψ 2 ( t ) s3 ( t ) = 2ψ 0 ( t ) + ψ 2 ( t ) ψ1(t) 1/√2 -1 /√2 1 2 3 t ψ2(t) 1 1 2 3 t Τετραδικό σήμα (M = 4) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 1 2 3 t Ορθοκανονική βάση με N = 3 21 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt τετραδικού σήματος (M = 4) Τα sm(t) εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψm(t) μέσω των διανυσμάτων s0 = (√2, 0, 0), s1 = (0, √2, 0), s2 = (0, -√2, 1) και s3 = (√2, 0, 1) Τα σημεία στα οποία καταλήγουν τα διανύσματα απαρτίζουν το διάγραμμα αστερισμού (constellation diagram) του τετραδικού σήματος ψ2 s0 ( t ) = 2ψ 0 ( t ) s1 ( t ) = 2ψ 1 ( t ) s2 ( t ) = − 2ψ 1 ( t ) + ψ 2 ( t ) s3 ( t ) = 1 2ψ 0 ( t ) + ψ 2 ( t ) s1 ψ1 Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου O s2 -√2 s3 s0 √2 ψ0 √2 22 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης Ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt M-PAM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PAM μπορούν να αναπαρασταθούν ως gT(t) 1 sm(t) = Am gT(t), 0 ≤ t < Ts με Am = A (2 m + 1 – M), m = 0, 1,…, M – 1 Ep = ∫ Ts gT2 ( t ) dt 0 Ts t Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt, εύκολα προκύπτει ότι: Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = 1 Η συνάρτηση βάσης έχει μορφή ψ0(t) = gT(t) / √Ep, 0 ≤ t < Ts Τα M-ιαδικά σύμβολα εκφράζονται μέσω της συνάρτησης βάσης ως sm(t) = sm ψ0(t), 0 ≤ t < Ts με sm = Am √Ep Δεδομένου ότι η διάσταση της ορθοκανονικής βάσης είναι N = 1, το διάγραμμα αστερισμού είναι μονοδιάστατό (θεωρώντας Ep = 1) -5A Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου -3A -A A 3A 5A ψ0(t) 23 Διαμόρφωση Σημάτων Βασικής Ζώνης gT(t) 1 Ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt M-PPM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PPM μπορούν να αναπαρασταθούν ως Ts / M sm(t) = A gT(t – m Ts / M), m Ts / M ≤ t < (m + 1) Ts / M, με m = 0, 1,…, M – 1 Ep = ∫ ( m+1)Ts M mTs M Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt, εύκολα προκύπτει ότι: Ts t m gT2 t − Ts dt M Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = M Η συναρτήσεις βάσης έχουν μορφή ψm(t) = gT(t – m Ts / M) / √Ep, m Ts / M ≤ t < (m + 1) Ts / M ψ2 Τα σύμβολα εκφράζονται μέσω των συναρτήσεων βάσης ως sm ( t ) = Es ψ m ( t ) , A m m +1 Ts ≤ t < Ts M M με Es να είναι η ενέργεια κάθε συμβόλου Es = A2 Ep Δεδομένου ότι N = M, το διάγραμμα αστερισμού δε μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά όταν M > 3 s0 = Es ,0,,0 , s1 = 0, Es ,0,,0 , …, και sM −1 = 0,0,,0, Es M M M Επικοινωνίες ΙΙ (Κ17) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου s1 ψ1 s2 s0 O A ψ0 A Διάγραμμα αστερισμού για M = 3 και Ep = 1 24
© Copyright 2024 Paperzz
